Ejercicios Funciones de Bessel

M´ etodos etod os Matem´ aticos aticos III. II I. Grupo 36. Prof. J.V. Alvarez. Ejercicios de aplicaci´ on on y repaso. Propiedades de las funciones de Bessel. on de Bessel en coordenada radial y su forma can´  onica. s/n.) Ecuaci´  Comprueba que la ecuaci´ o n de Bessel que aparece como la parte on radial de EDP con Laplaciano 2 2d R r 2 d r

+r

dR + (λr2 dr

2

(1 )

m2 )y = 0 x2

(2 )

− m )R = 0

se puede reducir a la forma can´ onica: onica: d2 y 1 dy + + (1 d2 x x dx

utilizando el cambio r

x

→√

λ

−

y R( r )

→ y(x)

Soluci´ on: on: Dividimos por r2 en todos los t´erminos erminos y dado que λ > 0 hacemos x el cambio r = √λ . Las derivadas cambian de la forma d2 d2 r d dr

d2 = λ 2 d x d = λ dx

(3)

√

(4)

sustituyend sustituyendoo los cambios cambios obtenemos: obtenemos: d2 y 1 dy + (λ λ 2 +λ d x x dx

−

m2 λ 2 )y = 0 x

(5 )

como λ = 0 obtenemo obtenemoss (2)



s/n.) Ecuaci´  on de Bessel cerca de su punto singular  x = 0 Dada la ecuaci´on on de Bessel escrita en la forma: d2 y 1 dy + + (1 d2 x x dx

−

m2 )y = 0 x2

(6 )

donde m puede ser un n´ umero u mero real. real. Co Comp mprue rueba ba que el comporcompor2 tamiento de las soluciones para valores de x m es del tipo ley



de potencias y (x) = xk .

Soluci´ on: si x on de Bessel queda: m2 entonces la ecuaci´



1 dy d2 y + d2 x x dx

−

m2 y=0 x2

(7)

sustituimos y (x) = xk en la ecuaci´ on y obtenemos k (k 1)xk−2 + kxk−2 m2 xk−2 = 0

−

−

(8)

Notese que aunque las derivadas son de distinto orden todos los t´erminos siguen la misma ley de potencias. Si queremos anular el miembro de la izquierda para cualquier valor de x. k (k

− 1) + k − m

2

=0

(9)

luego el exponente esta restringido a valer k = m para valores de x m, las dos funciones linealmente independientes que componen la soluci´on son: (10) y (x) Axm + Bx −m

±



∼

s/n.) Soluci´  on en forma de serie de la ecuaci´  on de Bessel. Consideremos la soluci´on de la ecuaci´on de Bessel para valores de x no necesariamente peque˜ nos. Centr´emonos en las soluciones que no divergen en el punto singular x=0. Como sabemos esas son las funciones de Bessel J m (x), las escribiremos como: J m (x) = xm zm (x)

(11)

y por tanto m > 0. Sup´on que zm (x) se puede expandir en serie n de Taylor zm (x) = ∞ . n=0 C n x Sustituye y (x) en la ecuaci´on (2) y comprueba que se satisface la relaci´on: ∞ ∞ n+m 2 2 + (12) C n (n + m) m x C n xn+m+2 = 0



 

n=0

−





n=0

on de recurrencia entre los coeficientes C n s/n.) Relaci´ 

Si encontramos los coeficientes C n sabremos calcular, al menos en principio, las funciones de Bessel. Para ello queremos encontrar una relaci´ on de recurrencia (es decir, una ecuaci´ on que permita calcular un el coeficiente C n en funci´on de otros coeficientes de orden menor ) . Comprueba que para n 2 se cumple C n = n(C  . n+2m)

≥

−

n−2

Soluci´ on: Para encontar una ecuaci´ on en los coeficientes tenemos que igualar las potencias de x. Reformulamos el segundo sumatorio de (13) de la forma ∞ ∞ n+m 2 2 + (13) C n (n + m) m x C n−2 xn+m = 0

 



−

n=0



n=2

al tener todos los exponentes igualados para n > 2, podemos escribir la suma:

∞ {C  (n + m) − m  + C  − }x 2

n

2

n

2

n+m

=0

(14)

n=2

como la igualdad debe cumplirse para todo x, entonces debe anularse la expresi´ on entre corchetes luego C n =

− n(nC +−2m) n

2

(15)

para n > 2.

s/n.) Algunas propiedades de las funciones de Bessel. Comprueba que las funciones de Bessel escritas en forma de serie: ∞ ( 1)n x 2n+m (16) J m (x) = n! Γ(n + m + 1) 2 n=0



−

Cumplen las siguientes propiedades:

• J  (0) = 1. • J  (0) = 0 si m > 1. 0

m



• La paridad de J  (x) viene dictada por la paridad m. m

s/n.) Funciones de Bessel en forma de serie. Comprueba que las funciones de Bessel escritas en forma de serie: ∞ ( 1)n x 2n+m J m (x) = (17) n n m !Γ( + + 1) 2 n=0

−





Satisfacen la siguiente relaci´ on para la derivada: d x−m J m (x) = dx



 −x−

m

J m+1 (x)

(18)

¿Cual es la derivada de J 0 (x)?

Soluci´ on: Podemos escribir la funci´ on x−m J m (x) en forma de serie y derivar t´ermino a t´ermino: ( 1)n d d ∞ x2n m − x J m (x) = dx dx n=0 n! Γ(n + m + 1) 22n+m ∞ ( 1)n d 2n = x 2n+m dx ! Γ( + + 1) 2 n n m n=0 ∞ 2n( 1)n = x2n−1 n+m 2 n! Γ(n + m + 1) 2 n=1 ∞ ( 1)n−1 x2(n−1)+1 = (n 1)! Γ((n 1) + (m + 1) + 1) 22(n−1)+m+1





 

− − n=1

−



−

−

− −

N´otese que hemos escrito Γ(n + m + 1) = Γ((n 1) + (m + 1) + 1) buscando que aparezca la combinaci´ on (n 1) . Podemos hacer  entonces el cambio de variable n = n 1 en el sumatorio. ∞ ( 1)n x2n +1 d − m (19) x J m (x) = dx n ! Γ(n + (m + 1) + 1) 22n +m+1



 −

n =0

− −

−



−





ahora multiplicamos y dividimos por x−m



n

x  −x− ∞ (−1) n ! Γ(n + (m + 1) + 1) 2

d x−m J m (x) = dx

m



2n +m+1

n =0

d

sustituyendo m = 0 en la ecuaci´ on encontramos dx J 0 (x) =

=

−x−

(20) J 1 (x)

−

m

J m+1 (x)