Función de Bessel De Wikipedia, la enciclopedia libre (Redirigido desde Funciones de Bessel) Bessel) Saltar a: navegación navegación,, búsqueda n !ate!"tica !ate!"tica,, las funciones de Bessel, pri!ero de#inidas por el !ate!"tico Daniel Bernoulli $ Bernoulli $ !"s tarde generali%adas por Friedric& Bessel, Bessel, son soluciones canónicas y(x) canónicas y(x) de de la ecuación di#erencial de di#erencial de Bessel:
(') donde es un nú!ero real o co!pleo* l caso !"s co!ún es cuando es un entero n, aunque la solución para no enteros es si!ilar* l nú!ero se deno!ina orden de las #unciones de Bessel asociadas a dic&a ecuación* Dado que la ecuación anterior es una ecuación di#erencial de segundo orden, tiene dos soluciones lineal!ente independientes* independientes* +unque $ dan co!o resultado la !is!a #unción, es convenión de#inir di#erentes #unciones de Bessel para estos dos par"!etros, pues las #unciones de Bessel en #unción del par"!etro son #unciones suaves casi doquiera* -as #unciones de Bessel se deno!inan ta!bi.n #unciones cil/ndricas, o ar!ónicos cil/ndricos porque son solución de la ecuación de -aplace en -aplace en coordenadas cil/ndricas* cil/ndricas*
Contenido 0ocultar 1 •
' +plicaciones
•
2 Funciones de Bessel ordinarias o
2*' Funciones de Bessel de pri!era especie: 3
2*'*' 4ntegrales de Bessel
2*'*2 Relación con las series &ipergeo!.tricas
2*'*5 Relación con los polino!ios de -aguerre
o
•
5 Funciones de 7ankel: 7('), 7(2) o
•
2*2 Funciones de Bessel de segunda especie: 6
5*' Solución general de la ecuación de Bessel
8 Funciones de Bessel !odi#icadas: 4, 9 o
8*' Funciones de Bessel !odi#icadas de pri!era especie: 4
o
8*2 Funciones de Bessel !odi#icadas de segunda especie: 9
o
8*5 Solución general de la ecuación de Bessel !odi#icada
o
8*8 Funciones es#.ricas de Bessel: n,$n
o
8* Funciones de 7ankel es#.ricas: & n
o
8*; Funciones es#.ricas de Bessel !odi#icadas: in,k n
o
8*;*' Función generatri%
8*;*2 Relaciones di#erenciales
8*< Funciones de Riccati=Bessel: Sn,>n,?n,@n
•
Apansiones asintóticas
•
; ropiedades
•
< Ceore!a del roducto
•
7ipótesis de Bourget
•
E Derivadas de 3, 6, 4, 7, 9 o
E*' Derivada baando el /ndice p a p '
o
E*2 Derivada subiendo el /ndice p a p ' dependenc$
o
E*5 Gtras relaciones i!portantes
•
'H 4dentidades Seleccionadas
•
'' I.ase ta!bi.n
•
'2 Jotas
•
'5 Re#erencias
•
'8 nlaces eAternos
[editar] Aplicaciones -a cuación de Bessel aparece cuando se buscan soluciones a la ecuación de -aplace o a la ecuación de 7el!&olt% por el !.todo de separación de variables en coordenadas cil/ndricas o es#.ricas* or ello, las #unciones de Bessel son especial!ente i!portantes en !uc&os proble!as de propagación de ondas, potenciales est"ticos $ cualquier otro proble!a descrito por las ecuaciones de 7el!&olt% o -aplace en si!etr/as cil/ndricas o es#.ricas* >uando se resuelven siste!as en coordenadas cil/ndricas, se obtienen #unciones de Bessel de orden entero ( K n) $ en proble!as resueltos en coordenadas es#.ricas, se obtienen #unciones de Bessel de orden se!ientero ( K n ' L 2), por ee!plo: •
Gndas electro!agn.ticas en gu/as de onda cil/ndricas*
•
Modos transversales electro!agn.ticos en gu/as ópticas*
•
>onducción del calor en obetos cil/ndricos*
•
Modos de vibración de una !e!brana delgada circular (o con #or!a de anillo)*
•
Di#usión en una red*
Ca!bi.n se usan #unciones de Bessel en otro tipo de proble!as co!o en procesado de seNales*
[editar] Funciones de Bessel ordinarias -as #unciones de Bessel ordinarias de orden , lla!adas si!ple!ente #unciones de Bessel de orden son soluciones de la ecuación de Bessel (')* Aisten dos #or!as si!ples de eApresar la solución general de la ecuación di#erencial de Bessel con par"!etro , que est"n asociadas a las #unciones de Bessel ordinarias de pri!era $ de segunda especie*
[editar] Funciones de Bessel de primera especie: J α
-as #unciones de Bessel de pri!era especie $ orden son las soluciones de la ecuación di#erencial de Bessel que son #initas en el origen ( x K H) para enteros no negativos $ divergen en el l/!ite para negativo no entero* l tipo de solución $ la nor!ali%ación de J ( x) est"n de#inidos por sus propiedades abao indicadas* s posible de#inir la #unción J ( x) por su eApansión en serie de Ca$lor en torno a x K H:0'1
O( z ) es la #unción Pa!!a de uler , una generali%ación del #actorial para nú!eros co!pleos* stas #unciones cu!plen que: •
Si , entonces J ( x) $ J ( x) son lineal!ente independientes, $ por tanto una solución general de la ecuación de Bessel puede eApresarse co!o una co!binación lineal de ellas*
•
Si
, entonces se cu!ple:021
por lo que las dos soluciones dean de ser lineal!ente independientes* n este caso, la segunda solución lineal!ente independiente ser" una #unción de Bessel de segunda especie* -as #unciones de Bessel son #unciones oscilatorias (co!o las #unciones seno o coseno) que decaen proporcional!ente a (co!o nos lo !ostrar"n las #or!as asintóticas de estas #unciones !"s abao), aunque los ceros de estas #unciones no son, en general, periódicos, eAcepto de #or!a asintótica para grandes x*
Funciones de Bessel de pri!era especie, 3(A), para órdenes enteros KH,',2*
>o!o casos particulares, se tienen las dos pri!eras #unciones de Bessel enteras:
[editar] Integrales de Bessel
ara valores enteros de n, se tiene la siguiente representación integral:
Que ta!bi.n se puede escribir co!o:
sta es la #or!a usada por Bessel en su estudio de estas #unciones, $ a partir de esta de#inicion deduo varias propiedades de las !is!as* sta de#inición integral puede eAtenderse a órdenes no enteros aNadiendo otro t.r!ino integral:
Ca!bi.n se tiene, para
[editar] Relación con las series hipergeométricas
-as #unciones de Bessel son un caso especial de #unción &ipergeo!.trica
sta #ór!ula est" relacionada con la eApansión de las #unciones de Bessel en #unción de la #unción de Bessel>li##ord* [editar] Relación con los polinomios de Laguerre
-as #unciones de Bessel pueden eApandirse en serie de polino!ios de -aguerre Lk para cualquier par"!etro t arbitrario co!o051
[editar] Funciones de Bessel de segunda especie: Y α -as #unciones de Bessel de segunda especie, denotadas por Y ( x), son soluciones de la ecuación di#erencial de Bessel, stas #unciones divergen en el origen (x K H)*
Funciones de Bessel de segunda especie, 6(A), para órdenes KH,',2* + estas #unciones Y ( x) ta!bi.n se les lla!a a veces funciones de Neumann o de Weber, $ a veces se denotan por N ( x)* ara no enteros, se de#inen a partir de las #unciones de pri!era especie J ( x) !ediante la siguiente #ór!ula:
n el caso en el que tenga!os un orden entero n, la #unción es de#inida co!o el siguiente l/!ite sólo v"lido para no enteros:
que nos da el siguiente resultado en #or!a integral:
ara el caso en el que tenga!os no enteros, la de#inición de Y ( x) es redundante (co!o queda claro por su de#inición de arriba)* or otro lado, cuando es entero, Y ( x) es la segunda solucción lineal!ente independiente de la ecuación de Bessel, ade!"s, de #or!a si!ilar a lo que ocurr/a con las #unciones de pri!era especie, se cu!ple que:
+!bas J ( x) $ Y ( x) son #unciones &olo!or#as de x en el plano co!pleo cortado por el ee real negativo* >uando es un entero, no &a$ puntos de ra!i#icación, $ las #unciones de Bessel son #unciones enteras de x* Si #ia!os x, entonces las #unciones de Bessel son #unciones enteras respecto a la variable *
[editar] Funciones de an!el: H α"#$% H α"&$ Gtra #or!ulación i!portante de las dos solucciones lineal!ente independientes de la ecuación de Bessel son las funciones de an!el
$
as/ de#inidas:081
donde i es la unidad i!aginaria* stas co!binaciones lineales son ta!bi.n conocidas co!o las funciones de Bessel de tercera especie* -as #unciones de 7ankel de pri!era $ segunda especie son usadas para representar las solucciones de ondas entrantes $ salientes de una ecuación de ondas en si!etr/as cil/ndricas respectiva!ente (o viceversa dependiendo de la convección de signo de la #recuencia)* stas #unciones son as/ no!bradas en &onor de 7er!ann 7ankel* Tsando la de#inición dada arriba, estas #unciones se pueden escribir en #unción de las #unciones de Bessel de pri!er orden J ( x) as/:
Si es un entero, se tiene que calcular de las eApresiones de arriba as/:
-a siguiente relación es v"lida para todo valor de , sea entero o no:01
Aiste una representación integral de las #unciones de 7ankel (útil para el c"lculo de propagadores de la ecuación de 9lein=Pordon):0;1
[editar] 'olución general de la ecuación de Bessel -a solución general de la ecuación di#erencial de Bessel con par"!etro viene dada en t.r!inos de las #unciones de Bessel ordinarias o de las #unciones de 7ankel* Dic&a solución general puede eApresarse co!o:
(2) Donde A $ B son dos constantes arbitrarias*
[editar] Funciones de Bessel modificadas: I α% K α -as #unciones de Bessel ordinarias son v"lidas para va lores co!pleos del argu!ento x, $ un caso especial!ente i!portante es aquel con argu!ento i!aginario puro* n este caso, la ecuación de Bessel se trans#or!a en la ecuación de Bessel modificada0<1
(5)
$ sus dos soluciones lineal!ente independientes son las funciones de Bessel modificadas de pri!er $ segundo tipo: I α( x) $ K α( x) respectiva!ente*01
[editar] Funciones de Bessel modificadas de primera especie: I α -as #unciones de Bessel !odi#icadas de pri!era especie $ orden vienen dadas por:
st"n relacionadas con las #unciones de Bessel ordinarias !ediante la siguiente igualdad: * •
Si entonces I ( x) $ I ( x) son lineal!ente independientes, $ por tanto dan una solución general de la ecuación de Bessel*
•
Si
entonces J ( x) no est" de#inida en x K H*
>asos particulares:
[editar] Funciones de Bessel modificadas de segunda especie: K α -as #unciones de Bessel !odi#icadas de segunda especie $ orden se de#inen a partir de las #unciones !odi#icadas de pri!era especie para órdenes no enteros !ediante las siguiente #ór!ula:
ara los casos en los que sea entero ( orden no entero al entero as/:
), tene!os que to!ar el l/!ite del
+de!"s se puede escribir esta #unción a partir de la #unción de 7ankel de pri!era especie as/:
Aisten varias representaciones integrales de estas #unciones* -a siguiente de K (A) es útil para el c"lculo del propagador de Fe$n!an en Ceor/a >u"ntica de >a!pos:
-as funciones de Bessel modificadas de segunda especie &an sido ta!bi.n lla!adas: •
Funciones de Basset
•
Funciones de Bessel !odi#icadas de tercera especie
•
Funciones de MacDonald
•
Funciones de 7ankel !odi#icadas0E1
+l contrario que las #unciones de Bessel ordinarias, J and Y , las cuales son #unciones oscilatorias para argu!entos reales, las #unciones de Bessel !odi#icadas, I and K , son eAponencial!ente creciente $ decreciente respectiva!ente* >o!o la #unción de Bessel ordinaria J , la #unción I va a cero en x K H para U H $ es #inita en x K H para K H* +n"loga!ente, K diverge en x K H*
Función de Bessel !odi#icada de pri!era
Función de Bessel !odi#icada de segunda
especie, 4(A), para KH,',2,5*
especie, 9(A), para KH,',2,5*
[editar] 'olución general de la ecuación de Bessel modificada -a solución general de la ecuación di#erencial de Bessel !odi#icada con par"!etro viene dada por:
(8) Donde A $ B son dos constantes arbitrarias*
[editar] Funciones esféricas de Bessel: j n% yn
Funciones es#.ricas de Bessel de pri!er orden, n(A), para nKH,',2*
Funciones es#.ricas de Bessel de segundo orden, $n(A), para nKH,',2* >uando se solucciona la ecuación de 7el!&olt% en coordenadas es#.ricas por separación de variables, la ecuación radial tiene la #or!a:
Donde n es un entero positivo* -as dos solucciones lineal!ente independientes de esta ecuación se deno!inan funciones esféricas de Bessel jn( x) $ yn( x), $ est"n relacionadas con las #unciones de Bessel ordinarias J n( x) $ Y n( x) por:0'H1
yn se escribe ta!bi.n co!o nn o Vn* + esta #unción a veces se le lla!a función esférica de (eumann* -as #unciones es#.ricas de Bessel se pueden o btener a partir de las siguientes #ór!ulas:
-a #unción de Bessel es#.rica jH( x) es la Función sinc desnor!ali%ada* ara n K H,' $ 2 tene!os:0''1
0'21
-a #ór!ula general es:
[editar] Funciones de an!el esféricas: h n -as #unciones es#.ricas de 7ankel se de#inen de #or!a an"loga a las no es#.ricas:
De &ec&o, esto nos dice que eAisten eApresiones cerradas de las #unciones de Bessel de orden se!ientero en t.r!ino de #unciones trigono!.tricas $, por tanto, ta!bi.n de las #unciones es#.ricas de Bessel* De esto se deduce que, para n entero no negativo se tiene:
$ es la #unción co!plea conugada de esta (para x real)* De esta #ór!ula se pueden deducir las #or!as cerradas de las #unciones es#.ricas de Bessel ordinarias, por ee!plo, jH( x) K sin( x) L x $ yH( x) K cos( x) L x, $ as/ para cualquier argu!ento n*
[editar] Funciones esféricas de Bessel modificadas: i n%k n Ca!bi.n eAisten an"logos es#.ricos de las #unciones de Bessel !odi#icadas:
*
k n( x) se pueden escribir de #or!a cerrada, usando la #ór!ula de
dada arriba co!o:
[editar] Función generatri)
Se pueden obtener las #unciones de Bessel es#.ricas a partir de las siguientes #unciones generatrices:0'51
[editar] Relaciones diferenciales
-a siguiente relación di#erencial se cu!ple para
[editar] Funciones de Riccati*Bessel: S n%C n%+n%,n -as #unciones de Riccati=Bessel son una pequeN a !odi#icación de las #unciones de Bessel es#.ricas:
stas #unciones satis#acen la siguiente ecuación di#erencial:
sta ecuación di#erencial $ sus soluciones, las ecuac iones de Riccati=Bessel, se usan para resolver el proble!a de scattering de ondas electro!agn.ticas por una es#era, proble!a conocido co!o scattering de Mie tras la publicación por ve% pri!era de estos resultados por Mie en 'EH* I.ase por ee!plo, Du (2HH8)*0'81
Según Deb$e ('EHE) se usa a veces la notación n,X n en ve% de S n,C n*
[editar] -.pansiones asintóticas -as #unciones de Bessel tienen las siguientes eApansiones asintóticas para no negativos* ara pequeNo argu!ento
, se tiene:0'1
donde Y es la constante de uler=Masc&eroni $ O( x) es la #unción Pa!!a de uler * >o!o aproAi!ación asintótica al in#inito, (cuando tene!os un argu!ento tal que veri#ica ), se obtienen las siguientes aproAi!aciones:0'1
ara K'L2 estas #ór!ulas son eAactas* -as eApansiones asintóticas del resto de #unciones de Bessel se obtienen a partir de las !ostradas arriba $ de sus relaciones con las #unciones de Bessel de pri!era especie* +s/, las aproAi!aciones asintóticas al in#inito de las #unciones de Bessel !odi#icadas (es decir, para argu!entos x que veri#iquen ) se tiene:
Mientras que el l/!ite de !u$ bao argu!ento,
, se obtiene:
[editar] /ropiedades ara enteros de orden K n, J n( x) se puede de#inir a partir de la serie de -aurent de la siguiente #unción generatri%:
aproAi!ación to!ada por * +* 7ansen en '85* sta eApresión puede generali%arse a órdenes no enteros usando integración de contorno u otros !.todos* Gtra eApresión i!portante para órdenes enteros es la identidad de 3acobi=+nger :
identidad que es usada para eApandir ondas planas en una serie in#inita de ondas cil/ndricas o para encontrar la serie de Fourier de un tono de una seNal de FM* M"s general!ente, una #unción se puede eApandir en una serie de la #or!a
que se deno!ina eApansión de Jeu!ann de * -os coe#icientes de esta serie en el caso Z K H tienen la siguiente #or!a eApl/cita
donde !k son los polino!ios de Jeu!ann*0';1 Aisten #unciones que ad!iten la siguiente representación espec ial
con
debido a la rtelación de ortogonalidad
M"s general!ente, si f tiene un punto de ra!i#icación donde f ( z ) K
[
ak J Z k ( z ),
k K H entonces
o
donde
es la trans#or!ada de -aplace de *0'<1
Gtra !anera de de#inir las #unciones de Bessel son la representación de oisson $ la #ór!ula de Me&ler=Sonine:
donde " U 'L2 $ z es un nú!ero co!pleo*0'1 sta #ór!ula es especial!ente útil cuando se trabaa con trans#or!adas de Fourier * -as #unciones J ( x), Y ( x), recurrencia:
$
cu!plen las siguientes relaciones de
Donde # denota J , Y , $ ('), o $ (2)* stas dos identidades se suelen co!binar para obtener otras relaciones distintas* or ee!plo, se pueden calcular #unciones de Bessel de !a$ores órdenes (o !a$ores derivadas) a partir de #unciones de Bessel de !enor orden o de derivadas de !enor orden* n particular, se cu!ple:
-as #unciones !odi#icadas de Bessel cu!plen relaciones si!ilares:
-as relaciones de recurrencia ser"n en este caso:
donde C denotar" a I o a e\i K * stas relaciones son útiles para proble!as de di#usión discreta* -a división de la ecuación de Bessel por x es una ecuación &er!/tica o auto=adunta, por lo que sus solucciones deben cu!plir deter!inadas relaciones de ortogonalidad para unas condiciones de contorno adecuadas* n particular, se cu!ple:
donde U ', ]n,m es la delta de 9ronecker , $ u,m es el !=.si!o cero de J ( x)* sta relación de ortogonalidad puede ser usada para eAtraer coe#icientes de las series de Fourier=Bessel,
donde una #unción se eApande en una base de #unciones de Bessel J ( xu,m) para #io $ m variable* (Gbtener una relación an"loga para #unciones de Bessel es#.ricas es trivial*) Se puede obtener de #or!a in!ediata una relación an"loga para #unciones de Bessel es#.ricas:
Gtra relación de ortogonalidad es la ecuaci%n de cie&&e:
para U ' L 2 $ siendo ]( x) la #unción delta de Dirac* sta propiedad se usa para construir eApansiones de #unciones arbitrarias co!o series de #unciones de Bessel !ediante la trans#or!ada de 7ankel* ara #unciones de Bessel es#.ricas, la relación de cierre es:
para U '* Gtra propiedad i!portante de la ecuación de Bessel, que se deriva de la identidad de +bel, es el Wronskiano de las soluciones:
donde A $ B son dos soluciones cualesquiera independientes de la ecuación de Bessel $ C es una constante independiente de x (que depende de $ de las #unciones de Bessel consideradas)* or ee!plo, se cu!ple:
Aiste un gran nú!ero de integrales e identidades que involucran a #unciones de Bessel que no est"n aqu/ reproducidas, pero que se pueden encontrar en las re#erencias*
[editar] 0eorema del /roducto -as #unciones de Bessel veri#ican un teore!a del producto
donde ^ $ Z son nú!eros co!pleos cualesquiera* Tna #ór!ula si!ilar se cu!ple para Y Z( z ) $ el resto de #unciones de Bessel0'E1 02H1
[editar] ipótesis de Bourget Bessel de!ostró que, para n no negativos, la ecuación J Z( x) K H tiene un nú!ero in#inito de soluciones en x*02'1 >uando las #unciones J n( x) se representan en la !is!a gr"#ica, ninguno de los di#erentes ceros de cada #unción J n( x) parece coincidir, eAcepto el cero situado en x K H* ste #enó!eno se conoce co!o ipótesis de Bourget, en &onor al !ate!"tico #ranc.s del siglo _4_ que estudió las #unciones de Bessel* -a &ipótesis dice que, para cualesquiera enteros and , las #unciones J n( x) $ J n m( x) no tienen ceros co!unes, a eAcepción del cero en el origen x K H* sta &ipótesis #ue de!ostrada por Siegel en 'E2E*0221
[editar] 1eri2adas de J α , Y α , I α , H α , K α -as siguientes #ór!ulas pueden encontrarse en*0251
[editar] 1eri2ada 3a4ando el 5ndice p a p 6 # ara
Mientras que para y '( x) K K '( x), se tiene
[editar] 1eri2ada su3iendo el 5ndice p a p 7 # dependenc8 ara
Mientras que para y '( x) K I '( x), se tiene
[editar] 9tras relaciones importantes ara siguientes relaciones:
[editar] Identidades 'eleccionadas
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, se cu!plen las
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