NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009
FUNGSI BESSEL 1. PERSAMAAN DIFERENSIAL BESSEL Fungsi Bessel dibangun sebagai penyelesaian persamaan diferensial.
(
)
x 2 y ''+xy'+ x 2 - n 2 y = 0 , n ³ 0
(1)
yang dinamakan persamaan diferensial Bessel. Penyelesaian umum (1) diberikan oleh
y = c1 J n (x) + c2Yn (x) (2) Penyelesaian J n (x) , yang mempunyai limit berhingga untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis pertama dan berorde n. penyelesaian Yn (x) yang tak mempunyai limit berhingga [yaitu tak terbatas] untuk x mendekati nol dinamakan fungsi Bessel jenis keduan dan berorde-n atau fungsi Neumann.
Jika peubah bebas x pada (1) diganti lx di mana l suatu konstanta, persamaan yang dihasilkan adalah x 2 y '+xy'+(l2 x 2 - n 2 ) y = 0
(3)
Yang mempunyai penyelesaian umum y = c1 J n (lx) + c2Yn (lx)
(4)
2. FUNGSI BESSEL JENIS PERTAMA Didefinisikan fungsi Bessel jenis pertama berorde n sebagai :
(5) Atau
(6)
Di mana
adalah fungsi gamma. Jika n bilanngan bulat positif,
(7) Jika n setengah atau bilangan ganjil positif, J n (x) dapat dinyatakan dalam sukusuku sinus dan cosinus. Sebuah fungsi J n (x) , n > 0 dapat didefinisikan dengan mengganti n oleh – n pada (5) atau (6). Jika n suatu bilangan bulat, maka kita dapat menunjukkan bahwa :
(8) Jika n bukan suatu bilangan bulat, maka J n ( x) dan J n (x) bebas linear, dan untuk kasus ini penyelesaian umum (1) adalah y AJ n (x) B n J n (x) , n ¹ 0,1,2,3,...
(9)
3. FUNGSI BESSEL JENIS KEDUA Kita akan mendefinisikan fungsi Bessel jenis kedua berorde n sebagai :
(10) Untuk kasus di mana n =0,1,2,3,… diperoleh uraian deret berikut untuk
Y n x .
(11)
Di mana 0,5772156... adalah konstanta Euler dan
(12)
NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009 4. FUNGSI PEMBANGKIT UNTUK J N X (GENERATING FUNCTION)
(13) Dinamakan fungsi pembangkit untuk fungsi Bessel jenis pertama berorde bulat,
yang sangat banyak gunanya dalam memperoleh sifat-sifat fungsi ini untuk nilai n bulat dan kemudian seringkali dapat dibuktikan berlaku untuk semua n. 5. RUMUS-RUMUS PENGULANGAN (RECURRENCE FORMULA) Hasil berikut ini berlaku untuk setiap nilai n.
Jika n adalah suatu bilangan bulat rumus tersebut dapat dibuktikan dengan fungsi pembangkit. Perhatikan bahwa hasil 3 dan 4 berturut-turut setara dengan 5 dan 6. Fungsi Yn
x
memenuhi hasil yang sama seperti di atas, di mana Yn
menggantikan J n x.
6. FUNGSI-FUNGSI YANG BERHUBUNGAN DENGAN FUNGSI BESSEL a. Fungsi Hankel Jenis Pertama dan Kedua, yang berturutturut didefinisikan oleh :
H n 1 x J n x iYn x,
Hn2
x J n x iYn x
b. Fungsi Bessel yang Dimodifikasi. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis pertama berorde n didiefinisikan oleh :
(14)
Jika n bilangan bulat, I-n (x) = In (x)
(15)
x
Tetapi jika n bukan bilangan bulat, In x dan In x bebas linear. Fungsi Bessel yang dimodifikasi jenis kedua berorde n didefinisikan oleh :
(16) Fungsi ini memenuhi persamaan diferensial (17) Dan penyelesaian umum persamaan ini adalah (18) atau jika n ¹ 0,1,2,3,...
y AIn x BIn x
(19)
c. Fungsi Ber, Bei, Ker, Kei. Fungsi Bern x dan Bein x adalah bagian
riil dan imajiner dari
di mana
yaitu
(20) Fungsi Kern x dan Kein x adalah bagian riil dan imajiner dari
dimana yaitu :
(21) Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan
x2 y"xy' ix2 n2 y 0
(22)
NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009 yang membangun teknik kelistrikan dan lapangan lainnya. Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah :
(23) 7. PERSAMAAN-PERSAMAAN YANG DITRANSFORMASIKAN KE DALAM PERSAMAAN BESSEL Persamaan (24) Fungsi-fungsi ini berguna sehubungan dengan persamaan
(25) di mana Jika 0, persamaannya dapat diselesaikan sebagai persamaan Euler atau Cauchy. 8. RUMUS ASIMTOTIK UNTUK FUNGSI BESSEL Untuk nilai x besar kita mempunyai rumus asimtotik berikut ini :
(26) 9. NILAI NOL FUNGSI BESSEL Kita dapat menunjukkan bahwa jika n suatu bilangan riil, J
n
x
0
mempunyai tak berhingga banyaknya akar yang semuanya riil. Perbedaan di antara akar-akar yang berurutan mendekati jika nilai akarnya membesar. Ini dapat dilihat dari (26). Kita dapat juga menunjukkan bahwa akar-akar J n x 0 terletak di antara J n1 x 0 dan J n1 x 0 . Catatan serupa dapat juga dibuat untuk Yn x
10. KETEGAK-LURUSAN (ORTHOGONALITY) FUNGSI BESSEL Jika dan dua konstanta berbeda, kita dapat menunjukkan :
(27)
Sedangkan,
(28) Dari (27) kita lihat bahwa dan adalah dua akar berbeda dari persamaan (29) di mana R dan S konstanta, maka : (30) yang menyatakan bahwa fungsi dan Perhatikanlah bahwa sebagai kasus khusus (29) kita melihat bahwa dan dapat merupakan dua akar berbeda dari J
n
x 0 atau J 'n x 0 . Kita dapat juga
mengatakan bahwa fungsi-fungsi J
n
x,
J
n
x
tegaklurus terhadap fungsi
kepadatan x. 11. DERET FUNGSI-FUNGSI BESSEL Seperti pada kasus Deret Fourier, kita dapat menunjukkan bahwa jika f(x) memenuhi syarat Dirichlet [di halaman 197] maka di setiap titik kekontinuan f(x) pada selang 0 < x < 1 terdapat suatu uraian deret Bessel yang berbentuk
(31) di mana, adalah akar-akar positif (29) dengan
dan
(32) Di titik ketak-kontinuan deret di ruas kanan (31) konvergen ke yang dapat digunakan untuk menggantikan ruas kiri
NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009 Dalam kasus S = 0 sehingga 1 , 2 ,... adalah akar-akar dari J n x = 0
(33) Jika R = 0 dan n = 0, maka deret (31) dimulasi dengan suku tetap (34) 12. METODE FROBENIUS Persamaan diferensial orde dua homogen yang ditulis dalam bentuk
standar : P ( x ) y '' +Q ( x ) y ' + R ( x ) y=0
(35)
Jika x0 adalah sebuah titik biasa (ordinary point) dari persamaan (35). Nilai y pada deret Taylor dikembangkan di persekitaran titik x 0. Biasanya, pengembangan titik yang dipilih adalah saat x 0 = 0. Hasilnya berupa deret Maclaurin berikut: ∞
y=∑ an x ( 36 ) n
n=0
Dengan mensubstitusikan y ke dalam persamaan (35) dengan
an
sebagai suatu koefisien, dan pada akhirnya akan didapat persamaan rekurensi untuk hasil ke-n , dan ditulis dengan mengembangankan deret pada hasil
an
. Pengembangan yang didapat sebagai berikut:
∞
y=∑ an x n ( 37 ) n=0
∞
y =∑ n a n x '
n−1
n=1
∞
y =∑ n ( n−1 ) a n x ''
n=2
∞
=∑ ( n+ 1 ) a n+1 x n ( 38 ) n=0
n−2
∞
=∑ ( n+ 2 )( n+1 ) a n+2 x (39) n=0
n
Jika x0 merupakan titik singular regular dari persamaan (35), P( x) y + Q ( x ) y' + R ( x ) y =0 sehingga
solusi
dapat
ditentukan
dengan metode Frobenius atau dengan kata lain sebagai pengembangan dari deret Laurent. Dalam metode Frobenius, dapat diambil sebuah solusi dari persamaan deret berpangkat berikut. y=x
k
∞
∑ an x n (40) n=0
Sehingga y=x
k
∞
∞
∑ an x =∑ a n x n+ k (41) n
n=0
n=0
∞
y '=∑ an ( n+k ) x k+n−1 ( 42) n=0
y = sum from {n =0} to {∞} {{a} rsub {n} left (n + k right ) {( n + k- 1) x} ^ {k + n- 2}}
Nilai y, y’, dan y” disubstitusikan ke dalam persamaan diferensial biasa dengan koefisien ke
an
an
hingga di dapat rumus rekurensi untuk hasil
, lalu ditulis dalam pengembangan deret untuk hasil dari Dengan menyamakan nilai
an
an
.
ke 0 akan didapat persamaan
penunjuk (persamaan indicial) yang akan memberikan nilai k pada pengembangan deret tersebut. Sebagai contoh persamaan orede kedua homogen berikut : (44) Persamaan (44) disubstitusikan ke persamaan (36), (37), (38) sehingga menjadi sebagai berikut (45) Persamaan penunjuk (persamaan indicial) yang didapat saat n =0 adalah
NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009 (46) an
Nilai
didefinisikan sebagai nilai bukan nol sehingga, k2 –m2
= 0 sehingga k = ±m. Ambil nilai untuk kasus k = m sehingga persamaan (45) mendapatkan hasil: a1
(sehingga
= 0) dan
Untuk n = 2, 3, 4, . . . sehingga n >1
(47)
Persamaan (47) disubstitusi kembali ke persamaan (36), disusun kembali dan disederhanakan sehingga memberikan solusi deret yang didefinisikan sebagai fungsi Bessel pertama Jm(x), dengan solusi non singular untuk persamaan (11). Untuk kasus m = -k, prosesnya analog (sama) dan didapat solusi J-m(x) = (-1)m Jm(x) Teorema 1 (Metode Frobenius) Setiap persamaan diferensial berbentuk y + {b ( x )} over {x} y’ +
c( x) y=0 x2
(48) Dengan fungsi-fungsi b(x) dan c(x) analitik pada x = 0, mempunyai sekurang-kurangnya satu penyelesaian yang dapat dinyatakan dalam bentuk y ( x )=x
r
∞
∑ am x m
m =0
¿ x r ( a0 + a1 x +a2 x 2+ … ) , ( a0 ≠ 0 ) .. atu penyelesaian yang dapat dinyatakan dalam bentuk louren(49)
Di mana pangkat r dapat merupakan bilangan (riil atau komplek) yang sebarang (dan r dipilih sehingga a0
0)
Persamaan tersebut juga mempunyai penyelesaian kedua (sedemikian hingga kedua penyelesaian ini bergantung linier) yang mungkin serupa dengan persamaan (48) (dengan r yang berbeda dan koefisein-koefisein yang berbeda) atau barangkali mengandung bentuk logaritma. Hal yang penting adalah bahwa di persamaan (49) mempunyai deret pangkat yang dikalikan dengan sebuah pangkat dari x yang pangkatnya r tidak dibatasi berupa bilangaan bulat tak-negatif. Untuk menyelesaikan (14) dapat ditulis 2
x y + xb ( x ) y' + c ( x )y=0 Jabarkan b(x) dan c(x) dalam deret pangkat, b ( x )=b 0+ b1 x +b 2 x 2+ … , c ( x )=c 0 +c 1 x+ c2 x 2+ … Kemudian diferensialkan (49) suku demi suku untuk memperoleh ∞
y ' (x)= ∑ ( m+ r ) am x m +r−1=x r −1 ( r a0 + ( r + 1 ) a 1 x +… ) m =0
y left (x right ) = sum from {m =0} to {∞} {left (m + r right ) ( m + r- 1) {a} rsub {m} {x} ^
louren ..atu penyelesa ian yang dapat dinyatakan dalam bentuk louren
Dengan memasukkan semua deret ini ke dalam (49) kita peroleh r
r
x ( r ( r−1 ) a0 +… ) + ( b0 + b1 x +… ) x ( r a0 + … ) + ( c 0 +c 1 x +… )( a0 +a1 x+ … ) =0
(50) Sekarang kita menyamakan jumlah semua koefisien dari setiap pangkat x dengan nol, seperti sebelumnya. Ini menghasilkan suatu sistem persamaan yang mengandung koefisien-koefisien
am
yang tidak
diketahui. Pangkat terkecil adalah xr dan persamaan kaitannya adalah [r(r – 1) + b0r + c0]a0 = 0 Karena asumsi a0
≠ 0, maka pernyataan didalam kurung siku (besar)
harus sama dengan nol. Ini memberikan
NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009 r2 + (b0 – 1)r + c0 = 0
(51)
Persamaan kuadrat yang penting ini disebut persamaan penunjuk (persamaan “indicial”) dari persamaan diferensial (48). Metode yang kita gunakan akan menghasilkan suatu basis penyelesaian. Salah satu dari kedua penyelesaian akan selalu berbentuk (49), dengan r adalah akar dari persamaan (51). Bentuk dari penyelesaian lainnya akan ditunjukkan oleh persamaan penunjuk ; bergantung pada akarakarnya. Terdapat tiga kasus yang mungkin seperti dinyatakan dalam teorema berikut. Teorema 2 [Metode Frobenius. Bentuk penyelesaian kedua] Anggaplah persamaan diferensial (48) memenuhi anggapan-anggapan dalam Teorema 1. Misalkan r1 dan r2 merupakan akar-akar persamaan indicial (51). Maka kita mempunyai tiga buah kasus berikut ini. Kasus 1. Akar-akar yang berbeda yang tidak dibedakan oleh bilangan bulat. Basis penyelesaiannya adalah Y1(x) =
x r (a0 + a1x + a2x2 +. . .) 1
(52)
Dan Y2(x) =
x
r2
(A0 + A1x + A2x2 +. . .)
(53)
Secara berurutan koefisien-koefisiennya diperoleh dari persamaan (50) dengan berturut-turut r = r1 dan r = r2. Kasus 2. Akar rangkap r1 = r2 = r. Basis penyelesaianya adalah Y1(x) =
x r (a0 + a1x + a2x2 +. . .)
r=
1 2 (1 – b0)
(54)
(yang mempunyai bentuk umum yang sama dengan sebelumnya)dan Y2(x) = y1(x) ln x +
x
r
(A0 + A1x + A2x2 +. . .)
(x>0).
(55)
Kasus 3. Akar-akar yang dibedakan oleh suatu bilangan bulat. Basis penyelesaianya adalah Y1(x) =
x r (a0 + a1x + a2x2 +. . .) 1
(56)
(mempunyai bentuk umum yang sama dengan sebelumnya) Y2(x) = ky1(x) ln x +
x r (A0 + A1x + A2x2 +. . .) 2
(57)
Di mana akar-akarnya menunjukka bahwa r1 – r2 > 0 dan k mungkin menjadi nol.
NAMA : SENJA YUNIYARSIH NIM : A1C314009
