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Ejercicios Resueltos Cap´ıtulo Cap´ ıtulo I Funciones
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PROBLEMA 1:
√ f (x) = x + 2 Considere las funciones f (
y
g (x) = x2
−1
encontrar los valores de x, para los cuales
(f g )(x )(x) = (g f )( f )(x x)
◦
◦
Solucion: o´ n: Page 2 Page 2 of of 26 26
2
(f g )(x )(x) = f ( f (g (x)) = f ( f (x
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2
◦ √ (g ◦ f )( f )(x x) = g (f ( f (x)) = g ( x + 2) = (x (x + 2) − 1 = x + 1 √ por lo tanto: x − 1 = x + 1 ⇐⇒ x + 1 = x + 2x + 1 ⇐⇒ 2x = 0 ⇐⇒ x = 0 2
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√ − 1) = x − 1 2
2
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PROBLEMA 2:
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f (x) = Encontrar la funcion o´ n inversa de f ( Contents
1
− x1
¿ coincide el dominio de f con el de f −1?
Solucion: o´ n:
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1 1 y =1 = Sea y = x 1 1 − 1 por lo tanto f (x) = 2 1 y 1 x2
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⇒
2
−
El domi domini nio o de f es: Df =
( Close
−
1 = x
[1, ∞) −∞, 0) ∪ [1,
−
⇒
2
− y =⇒ x =
−
{x ∈
El domi domini nio o de f −1 es: Df −1 = 1, 1 IR
− {− }
1 =1 x
IR
{x ∈
1
| 1 − ≥ 0}
=
2
=
x
IR
| x = 1}
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PROBLEMA 3: Considere la funci on: o´ n:
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f ( f (x) =
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≤
2
Hallar su dominio y rango, as´ as ´ı como el de su inversa. Soluci´on: on: El domi domini nio o de f son son tod todos los los numer u´ meros os re real ales es,, y su ra rang ngo o [0, ). es [0, , 0), no tien En el inte interv rval alo o ( tienee inv inversa, rsa, pero pero la func funci´ i´on on [0, ) tiene como inversa: restringida al intervalo [0,
∞
−∞
∞
f −1(x) = Close
x2 si x 0 1 si x > 0 x
0
√1x
si x = 0 si x > 0
[0, Tanto el dominio como el rango de f −1 es [0,
∞).
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PROBLEMA 4: Una Una dete determ rmin inad adaa coop cooper erat atiiva ha ca calc lcul ulad ado o que que su cose cosech chaa anual de manzanas es de 100 000 kg, que piensa vender a raz on o´ n de 7.00 pesos/kg. Cada semana que transcurre se estropean 2 000 kg de manzanas, y para compensar la p erdida, e´ rdida, los miembros de la cooperativa aumentan en 1.40 pesos el precio del kilogramo por cada semana que pasa. Escribir la funci´on on que determina el valor de las manzanas, dependiendo de las semanas transcurridas. transcurridas. Solucion: o´ n:
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Si tran transc scur urre ren n x sema semana nas, s, el numer u´ mero o de manz manzan anas as que que hay hay es 100000-2000x, y el kilo cuesta 7.00 + 1.4x pesos, luego el precio total de las manzanas es: f(x)=(100000-2000x)(7.00 + 1.4 x ) pesos.
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PROBLEMA 5: Title Page
Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones: Contents
1 f (x) = 2 a) f ( x +1 Soluci´on: on:
x2 + 1 = 0 para toda x IR, por lo tanto el dominio 1 el rango es (0, (0, 1]. de f es todo IR, y como x2 + 1
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∈
≥
√ b) g (x) = x − 4 2
Solucion: o´ n:
g tiene sentido si x2 4 0, x2 Dg = ( , 2] [2, [2, ), y su rango es [0, [0, ).
− ≥ −∞ − ∪ ∞
⇐⇒
∞
≥
4 =
⇒
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PROBLEMA 6:
√ f (x) = x + 1 Considerar las funciones f (
y g (x) = x2
encontrar: Contents
a) El dominio de f
)(x) d) (f g )(x
b) El dominio de g
e) (f
− 1,
)(x) ◦ g)(x f )(x x) f) (g ◦ f )(
)(x) c) (f + g )(x Solucion: o´ n:
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Para f : Dominio [ 1,
[0, ∞). − ∞), rango: [0, Para g : Dominio (−∞, ∞), rango: [−1, ∞). √ (f √+ g )(x )(x) = x + 1 + x − 1, (f · g )(x )(x) = (x 1) x + 1. √ (f )(x) = x − 1 + 1 = |x|, g ◦ f )( f )(x x) ◦ g)(x √ ( x + 1) − 1 = x. 2
2
Quit
2
2
+ =
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PROBLEMA 7: Encontrar el dominio, rango, periodo y ceros y = senx .
|
|
Soluci´on: on:
[0, 1] y su periodo es π . El dominio de f es IR, su rango es [0, Los ceros de la funci on o´ n son 0, π, 2π
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PROBLEMA 8:
x+1 f (x) = Encontrar la funcion o´ n inversa de f ( x Solucion: o´ n:
x+1 f no existe si x = 0, luego si = y = x 1 xy x(y 1) = 1 x= x 1 1 1 − Por lo tanto f = x 1
⇒
⇐⇒
−
⇐⇒
−
−
x+1 =
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PROBLEMA 9:
√ f (x) = 1 − x, hallar: Para la siguiente funci´on on f ( a) Su dominio c) f ◦ b) f ◦ f d) f − y su dominio 1
f
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1
Solucion: o´ n:
Page 10 10 of of 26 26
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Dominio: x IR, tales que 1 , 1]. tanto el dominio es (
∈
−∞ √ (f ◦ f )( f )(x x) = f ( f ( 1 − x) =
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(f Close
)(x) = f ◦ f 1 )(x
√
1 1
−x
− x ≥ 0 =⇒ x ≤ 1, por lo √ 1− 1−x
=
1
− √11− x
√1 − x = y =⇒ 1 − x = y =⇒ x = 1 − y , luego, f − existe en (−∞, 1] y f − (x) = 1 − x . 2
Quit
1
2
2
1
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PROBLEMA 10:
Contents
Enco Encont ntra rarr el domi domini nio o y los los ce cero ross de la sigu siguie ient ntee func funcii on o´ n racional:
x2 + x 2 f ( f (x) = x2 9
−
Solucion: o´ n:
−
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2
Dominio: x 3, 3 IR
2
{ ∈ IR | x − 9 = 0} = {x ∈ IR | x = 9} = − {− } +2)(x − Ceros: {x ∈ IR | x + x − 2 = 0} = {x ∈ IR | (x +2)(x 1) = 0} = {−2, 1} 2
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PROBLEMA 11: Encontrar el dominio de las siguiente funciones:
1
√ −1 + x + 1 √ √ b) g (x) = x + 1 + x + 2 f (x) = a) f (
Soluci´on: on: Page 12 12 of of 26 26
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a) El dominio de f es: Df = x IR 1 + x + 1 = 0, x + 1 1, x = 0 = [ 1, 0) (0, (0, ) IR x
√ { ∈ |− | ≥− } − ∪ ∞
b) El dominio de g es: Dg = x IR x + 1
≥ 0} = {x ∈
{ ∈ | ≥ 0, x + 2 ≥ 0} = {x ∈ IR|x ≥ −1, x ≥ −2} = [−1, ∞)
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PROBLEMA 12:
2x 1 f (x) = Sea f ( 1 + 2x 2x
−
1+x y f 2 2x
1 encontrar: a) f x
−
Solucion: o´ n: Page 13 13 of of 26 26
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Quit
2
2 x
1
−
− − −
1 a) f x
= f
1+x b) f 2 2x
x
1+
=
2
=
2
x
2+x
x
x
1+x 2 2x
−
1+2
1
1+x 2 2x
−
=
2 x 2+x
−
2+2x 2+2x 2 2x 2 2x+2+2x 2 2x
− = − − −
=
4x =x 4
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PROBLEMA 13:
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Considerar la funci on: o´ n:
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Quit
f ( f (x) =
3 5
−
3 x 2 si x si 2 < x 6
− ≤ ≤ ≤
Encontrar el rango de f y demostrar que no es inyectiva. Solucion: o´ n: Como 2 < x
≤ 6 =⇒ −6 ≤ −x < −2 =⇒ 5 − 6 ≤ 5 − x < −2 + 5 =⇒ −1 ≤ 5 − x < 3 y como f ( f (x) = 3 para −3 ≤ x ≤ 2, el rango de f es [−1, 3]. f (0) = 3 = f (1) f (1) y 0 = Claramente f no es inyectiva pues f (0) 1.
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PROBLEMA 14:
1
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f (x) = Econtrar el dominio de f g si f (
◦
Solucion: o´ n:
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El domi domini nio o de f es Df = x IR x = 1 = IR 1
Quit
−2
x
−4
{x ∈ IR | 2x − 2 = 0}
{ ∈ | }
.
=
−{ } El dominio de g es D = {x ∈ IR | x − 4 = 0 } = {x ∈ IR | x = 4} = IR − {4} El domi domini nio o de f ◦ g es D − {x ∈ IR | g (x) = 1} = IR − {4} − x ∈ IR | − = 1 = IR − {4, 6} g
g
Close
2x
y g (x) =
2
2
x 4
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PROBLEMA 15:
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Hallar la funcion o´ n inversa de
f ( f (x) =
x − −
1
3 x 2
si x si x >
≤ −1 −1
Solucion: o´ n:
Page 16 16 of of 26 26
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f ( f (x) =
x − −
1
3 x 2
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f −1(x) = Close
Quit
si x si x >
[2, ∞) ≤ −1 rango: [2, −1 rango: −∞, 2)
1 3
−x − 2x
2 si x si x < 2
≥
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PROBLEMA 16:
Encontrar el dominio y rango de la funci´on on
√ f ( f (x) = x
Solucion: o´ n: Page 17 17 of of 26 26
El dominio de f es x
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2
{ ∈ IR | x + 2 ≥ 0} = IR √ El rango es el intervalo [ 2, ∞)
2
+ 2.
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PROBLEMA17:
f (x) = A partir de las funciones f (
2x
Page 18 18 of of 26 26
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a) (f + g )(2) b) (f
2
2
calcular: Contents
− 1 y g(x) = x
+ 2,
c) (f g )(3)
·
− g)(−2)
d)
Solucion: o´ n:
− f g
( 3)
2 2 1 3 15 2 f + g )(2) = f (2)+ f (2)+gg (2) = + (2 )+2 = + 6 = a) (f + 2 2 2 (2)( 2) 1 f (2) g (2) = ( 2)2 2 = b) (f g )( 2) = f (2) 2 5 17 6= 2 2 2(3) 1 2 5 55 f (3) g (3) = (3 + 2) = 11 = c) (f g )(3) = f (3) 2 2 2 2(−3)−1 f f ( f ( 3) 7 2 ( 3) = = = d) g g ( 3) ( 3)2 + 2 22
− − − − − ·
−
· −
− − −− −
−
· − −
− ·
−
·
−
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PROBLEMA18: Encontrar el dominio de f + g , f g (x) = 3+2 x .
f (x) = − g, f · g si f (
1 x 2
−
y
Soluci´on: on: Page 19 19 of of 26 26
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El dominio de f es el conjunto Df = el dominio de g es el conjunto Dg = x
{x ∈ IR | x = 2} y { ∈ IR | x = −3} Por lo tanto el dominio de f + g , f − g , f · g es igual a D ∩ D = IR − {−3, 2}. f
Close
Quit
g
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PROBLEMA 19:
f (x) = Hall Hallar ar el domi domini nio o de f /g si f ( 2 x.
√−
√2x − 2 y g(x)
=
Solucion: o´ n:
Page 20 20 of of 26 26
El dominio de f es el conjunto Df = x IR 2x [1, [1, ) y el dominio de g es el conjunto Dg = x
∞
x =( Go Back
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}
−∞, 2]
{ ∈ | − 2 ≥ 0} = { ∈ IR | 2 ≥
Por lo tanto el dominio de f /g es el conjunto: Df Dg x IR g (x) = 0 = [1, [1, ) ( , 2] = [1, [1, ) ( , 2] x IR 2 x = 0 = [1, [1, ) ( , 2] x [1, ) ( , 2] 2 = [1, [1, 2) IR x = 2 = [1,
∩ −{ ∈ | √ } ∞ ∩ −∞ ∞∩ −∞ − { ∈ | − } ∞ ∩ −∞ − { ∈ | } ∞ ∩ −∞ − { }
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Page 21 of 26 of 26
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Quit
PROBLEMA 2O: Encontrar f
f (x) = ◦ g y g ◦ f si f (
x x 2
−
2
y g (x) =
1 x
−
Solucion: o´ n:
f (g (x)) = (f g )(x )(x) = f (
g (x) g (x) 2
◦ (g ◦ f )( f )(x x) = g (f ( f (x)) = − = 2−x − 2(x 2) 2
− = 2
1 f (x)
−
2 1−x 2 1−x
−2 =
2 1−x 2−2+2x 1−x
= 1−2 = − x
x
2
=
2 2x
2 −2−x x−2
x
=
=
1 x
2 −2 x−2
=
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PROBLEMA 21: f (x) = 2x Consider Considerar ar la funci funcion o´ n f (
−4
a). Demostrar que es inyectiva en todo su dominio Title Page
b). Encontrar su funci on o´ n inversa e indicar su dominio Contents
c). Comprobar que (f Solucion: o´ n:
Page 22 22 of of 26 26
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1
1
)(x) = (f − ◦ f )( f )(x x) = x ◦ f − )(x
Clar Claram amen ente te el domi domini nio o de la func funciio´ n es el conjunto de los f (a) = f ( f (b) = numeros u´ meros reales, luego a, b IR, tales que f ( 2a 4 = 2b 4 = 2a = 2b = a = b, por lo tanto f es inyectiva.
−
∀ − ⇒
∈
⇒
⇒
y +4
f (x) = y = 2x 4 = y + 4 = 2x = x = 2 Sea y = f ( por lo tanto la funci on o´ n inversa es f −1(x) = x+4 y su dominio 2 son todos los n umeros u´ meros reales.
⇒
− ⇒
⇒
x+4 (f f −1 )(x )(x) = f ( f (f −1(x)) = f ( f ( x+4 ) = 2 ( ) 2 2 x + 4 4 = x, por otro lado
◦
Quit
(f −1
− f )(x x) = (f − )(f )(f ((x)) = ◦ f )( 1
(2x 4)+4 2
−
=
2x 2
=x
−4
=
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PROBLEMA 22: Contents
Page 23 23 of of 26 26
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√ f (x) = x − 1 y Sean f ( (f ◦ g )(x )(x) = (g ◦ f )( f )(x x) Soluci´on: on:
Quit
√x − 1 adem´ f )(x x) ademas a´ s (g ◦ f )(
(f g )(x )(x) = f ( f (g (x)) = g (f ( f (x)) = ( x 1)2 = x 1.
◦
√ −
−
2
=
igualando las expresiones anteriores tenemos:
√x − 1 = x − 1 ⇐⇒ x − 1 = x − 1 = x − 2x + 1 ⇐⇒ 2x = 2 ⇐⇒ 2
2
2
Close
g (x) = x2, re reso solv lver er la ec ecua uaci ci´on o´ n
2
(x 1)2 x=1
−
⇐⇒
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PROBLEMA 23: Estu Estudi diar ar el tipo tipo de sime simetr tr´´ıa que que tie tiene la sigu siguie ient ntee func funcii on o´ n seccionada:
Contents
f ( f (x) =
x2 8
−1
si x si x
| |≥3 ∈ (−3, 3)
Solucion: o´ n: Se estudia la simetr´ simetr´ıa ıa en cada seccion: o´ n: Page 24 24 of of 26 26
f ( f ( x) =
−
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−
( x)2 8
−1
si x si x
| |≥3 ∈ (−3, 3)
Luego Full Screen
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Quit
x2 8
−
−1
si x si x
| |≥3 ∈ (−3, 3) f (x) = f ( f (−x). Por consiguiente f es par pues f ( f ( f ( x) =
PROBLEMA 24: Home Page
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Contents
Dete Determ rmin inar ar si las las sigu siguie ient ntes es afirm afirmac acio ione ness son son verd verdad ader eras as o falsas: a) Una funci´on on tiene que ser necesariamente par o impar.
[0, b) Si el dominio de f es [0,
∞), entonces f no puede ser par.
c) Una funcion o´ n que tiene un eje de simetr´ simetr ´ıa ıa es necesariamente par.
f (x) es una funcion d) Si f ( o´ n par, entonces Page 25 25 of of 26 26
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Quit
Solucion: o´ n:
f (x) es impar. −f (
f (x) = x2 + x no es ni par ni ima) Falso also.. La func funciion o´ n f ( par. [0, ), entonces f ( f ( x) no b) Verdadero. Si el dominio de f es [0, tiene sentido para x > 0 y, por lo tanto, no puede cumplirse que f ( f (x) = f ( f ( x), es decir, f no puede ser par. f (x) = x2 6x + 8 tiene como eje de c) Falso. La funci´onn onn f ( simetr´ simetr´ıa ıa el eje de la par abola a´ bola y no es par. f (x) = x es par y, sin embargo, f ( f (x) no es impar. d) Falso. f (
∞
−
−
−
||
−
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PROBLEMA 25: 3
Page 26 26 of of 26 26
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f (x) = x + 1 y g (x) = Demostrar que las funciones f ( son inversas la una de la otra.
Close
Quit
3
(x
1)
Soluci´on: on:
−
−
(f g )(x )(x) = f ( f (g (x)) = f ( f ( (x 1)) = ( (x (x 1) + 1 = x = (f g )(x )(x) = x
◦ − ⇒ ◦ f )(x x) = g (f ( f (x)) = g (x √(gx ◦=f )( x =⇒ (g ◦ f )( f )(x x) = x 3
3
Full Screen
−
3
3
3
+ 1) =
√x 3
3
1))3 + 1 =
+1
−1
=
