Ejercicios Resueltos de Funciones PROBLEMA 1: Considere las funciones f (x) =
√
x + 2
g (x ) = x 2 1 (f g )(x) = (g f )(x)
y
encontrar los valores de x, para los cuales Soluci´ Solucion: o´ n: (f
−
◦
√
2
◦
◦ g)(x) = f (g(x)) = f (x − 1) = x − 1 √ (g ◦ f )(x) = g (f (x)) = g ( x + 2) 2) = (x + 2) − 1 = x + 1 √ por lo tanto: x − 1 = x + 1 ⇐⇒ x + 1 = x + 2x + 1 ⇐⇒ 2x = 0 ⇐⇒ x = 0 2
2
PROBLEMA 2: Encontrar la funcion o´ n inversa de f (x) =
2
2
1−
1 x
¿ coincide el dominio de f con el de f −1 ? Soluci´on: Sea y =
1−
1
2
=⇒ y = 1 −
x
1 x
=⇒
1 1 −1 por lo tanto f x ( ) = 1 − y2 1 − x2 El domi domini nio o de f es: Df =
{x ∈ IR | 1 −
1
x
1 x
= 1 − y 2 =⇒ x =
≥ 0} =
(−∞, 0) ∪ [1, ∞) El domi domini nio o de f −1 es: Df − IR − {−1, 1}
1
PROBLEMA 3: Considere la funci´on: on:
= {x ∈ IR | x2 = 1} =
f (x) =
x2 si x ≤ 0 1 si x > 0 2
x
Hallar su dominio y rango, as´ as´ı como el de su inversa. Soluci´on: El domi domini nio o de f son todos odos los numer u´ meros os real reales es,, y su rang rango o es [0, En el inte interv rval alo o ( tienee inv inversa ersa,, pero ero la func funciion o´ n , 0), no tien restringida al intervalo [0, ) tiene como inversa:
−∞
f −1(x) = Instituto Nacional
∞
si x = 0 Tanto el dominio como el rango de f −1 √ 1 si x > 0 es [0, ).
0
x
∞) .
∞
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PROBLEMA 4: Hallar el dominio y rango de las siguientes funciones:
1 a) f (x) = 2 x +1 Soluci´on: IR, por lo tanto el dominio x2 + 1 = 0 para toda x de f es todo IR, y como x 2 + 1 1 el rango es (0, 1].
b) g (x) =
∈
√
x2
≥
−4
Soluci´on: g tiene sentido si x2
Dg
2
− 4 ≥ 0, ⇐⇒ x ≥ = (−∞, −2] ∪ [2, ∞), y su rango es [0, ∞).
PROBLEMA 5: Considerar las funciones f (x) = encontrar:
√
4 =
x + 1 y g (x) = x2
a) El dominio de f
d) (f g )(x)
b) El dominio de g
e) (f
c) (f + g )(x)
f) (g
⇒
− 1,
◦ g)(x) ◦ f )(x)
Soluci´on: Para f : Dominio [ 1,
− ∞), rango: [0, ∞). Para g : Dominio (−∞, ∞), rango: [−1, ∞). √ (f √ + g )(x) = x + 1 + x − 1, (f · g )(x) = (x 1) x + 1. √ (f ◦ g)(x) = x − 1 + 1 = |x|, g ◦ f )(x) √ ( x + 1) − 1 = x. 2
2
2
+ =
2
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PROBLEMA 6: Encontrar la funci o´ n inversa de f (x) =
x + 1 x
Soluci´on:
x
f no existe si x = 0, luego si xy
⇐⇒
x(y − 1) = 1 −1
Por lo tanto f
=
⇐⇒
+ 1 = y =⇒ x + 1 = 1 x = x−1 x
1 x−1
PROBLEMA 7:
√
Para la siguiente funcio´ n f (x) =
1 − x, hallar: 1
a) Su dominio
c) f
b) f
d) f −1 y su dominio
◦ f
◦ f
Soluci´on: Dominio: x IR, tales que 1 tanto el dominio es ( , 1].
∈
−∞ √ (f ◦ f )(x) = f ( 1 − x) = (f
1
√
1
− x ≥ 0 =⇒ x ≤ 1, por lo
− √ − 1
1
x
1 √ 1− 1−x
◦ f )(x) = f 1 − x = √ 1 − x = y =⇒ 1 − x = y =⇒ x = 1 − y , luego, f − existe en (−∞, 1] y f − (x) = 1 − x . 2
1
2
1
2
PROBLEMA 8: Encontrar el dominio y los ceros de la siguiente funci o´ n racional: 2
x + x − 2 f (x) = x2 − 9
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´ Solucion: Dominio: { x
∈ IR − {−3, 3}
IR
|
Ceros: {x ∈ IR
|
2
x
2
= 0} = {x ∈ − 9
x
+ x − 2 = 0} = {x ∈
|
IR
IR
2
= 9} =
x
| (x +2)(x −
1) = 0} = {− 2, 1} PROBLEMA 9: Encontrar el dominio de las siguiente funciones: a) f (x) = Solucio´ n:
1
b) g (x) =
√
−1 +
x + 1
√
x + 1 +
√
x + 2
a) El dominio de f es: Df = x 1+ IR IR x 1, x = 0 = [
√ x + 1 { ∈ | − = 0, x + 1 ≥ 0} = {x ∈ | ≥ − } −1, 0) ∪ (0, ∞)
b) El dominio de g es: Dg = x IR x +
{ ∈ | 1 ≥ 0, x + 2 ≥ 0} = {x ∈ IR|x ≥ −1, x ≥ −2} = [−1, ∞) PROBLEMA 10: Sea f (x) =
2x − 1 1 + 2x
encontrar: a) f
1 1 + x
y f
x 2 − 2x
Soluci´on: 2
a) f
b) f
1 − 1 x
= f
x
1+
2
2−x
=
x
x
2+x
=
x
2−x 2 + x
1+ 2 − 1 = = 2−2 1+2
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x x
1+x
2+2x−2+2x
2−2x
2−2x
1+x
2−2x+2+2x
2−2x
2−2x
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4x = =x 4
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PROBLEMA 11: Considerar la funci´on:
f (x) =
3
si −3 ≤ x ≤ 2 5 − x si 2 < x ≤ 6
Encontrar el rango de f y demostrar que no es inyectiva. Soluci´on: Como 2 < x ≤ 6 =⇒ −6 ≤ −x < −2 =⇒ 5 − 6 ≤ 5 − x < −2 + 5 =⇒ −1 ≤ 5 − x < 3 y como f (x) = 3 para −3 ≤ x ≤ 2, el rango de f es [−1, 3]. Claramente f no es inyectiva pues f (0) = 3 = f (1) y 0 = 1. PROBLEMA 12: Econtrar el dominio de f ◦ g si f (x) =
1 2 y g (x) = . 2x − 2 x − 4
Soluci´on: El dominio de f es Df = {x ∈ IR | x = 1} = IR − {1} El dominio de g es Dg = IR | x = 4} = IR − {4}
{x ∈ IR | 2x − 2 = 0} =
{x ∈ IR | x − 4 = 0} = {x ∈
El dominio de f ◦ g es Dg − {x ∈ IR | g (x) = 1} = 2 IR − {4} − x ∈ IR | x− = 1 = IR − {4, 6} 4 PROBLEMA 13: ´ inversa de Hallar la funcion
f (x) = Instituto Nacional
1
− x si x ≤ −1 3− si x > −1 2 x
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Soluci´on:
f (x) =
1
− x si x ≤ −1 rango: [2, ∞) 3− si x > −1 rango: −∞, 2) 2 x
f −1(x) =
1
− x si x ≥ 3 − 2x si x <
2 2
PROBLEMA 14: Encontrar el dominio y rango de la funci´on f (x) =
√
x2 + 2 .
Soluci´on: 2
{ ∈ IR | x + 2 ≥ 0} = IR √ El rango es el intervalo [ 2, ∞) El dominio de f es x
PROBLEMA15: Encontrar el dominio de f + g , f − g , f · g si f (x) = g (x) = 3+2 x .
1
x−2
y
Soluci´on:
= 2} y El dominio de f es el conjunto Df = {x ∈ IR | x = − 3} el dominio de g es el conjunto D g = { x ∈ IR | x Por lo tanto el dominio de f + g , f Df ∩ Dg = IR − {−3, 2}. PROBLEMA16: A partir de las funciones f (x) = calcular: a) (f + g )(2) b) (f − g )(−2)
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− g , f · g es igual a
2x − 1 y g (x) = x2 + 2, 2
c) (f · g )(3) d)
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f g
(−3)
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Soluci´on:
2 · 2 − 1 3 15 +(2 2)+2 = +6 = 2 2 2 (2)(−2) − 1 b) (f − g )(−2) = f (2) − g (2) = − (−2)2 − 2 = 2 5 −17 − − 6 = 2 2 2(3) − 1 5 55 · (32 + 2) = · 11 = c) (f · g )(3) = f (3) · g (3) = 2 2 2 2(−3)−1 7 f f (−3) 2 (−3) = = = − d) (−3)2 + 2 22 g g (−3) a) (f + g )(2)
= f (2)+g (2) =
PROBLEMA 17: x
Encontrar f ◦ g y g ◦ f si f (x) = Soluci´on:
(f g )(x) = f (g (x)) = ◦
(g
◦
g (x) g (x)−2
f )(x) = g (f (x)) =
2(x 2) 2 −
−
=2
−
=
2 1 f (x) −
2 1−x 2 1−x
=
x−2
=
2
−
2 1
−
x
−2
x
2
y g (x) =
2 1−x 2−2+2x 1−x
=
=
−
2 2x
2 −2−x x−2
x
1 x
=
=
1 x
2 −2 x−2
=
x
PROBLEMA 18: Hallar el dominio de f /g si f (x) = 2 x.
√ −
√ 2x − 2 y g(x)
=
Soluci´on: El dominio de f es el conjunto Df = x IR 2x [1, ) y el dominio de g es el conjunto Dg = x
∞
x = (
}
−∞, 2]
{ ∈ | − 2 ≥ 0} = { ∈ IR | 2 ≥
Por lo tanto el dominio de f /g es el conjunto: Df Dg x IR g(x) = 0 = [1, ) ( , 2] = [1, ) , 2] x IR 2 x = 0 = [1, ) ( , 2] x ( IR x = 2 = [1, ) ( , 2] 2 = [1, 2)
∩ −{ ∈ | √ } ∞ ∩ −∞ ∞∩ −∞ −{ ∈ | − } ∞ ∩ −∞ −{ ∈ | } ∞ ∩ −∞ − { } Instituto Nacional
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PROBLEMA 19: Considerar la funcio´ n f (x) = 2x − 4 a). Demostrar que es inyectiva en todo su dominio b). Encontrar su funcio´ n inversa e indicar su dominio c). Comprobar que (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 ◦ f )(x) = x Soluci´on: Claramente el dominio de la funci´on es el conjunto de los n´umeros reales, luego ∀a, b ∈ IR, tales que f (a) = f (b) =⇒ 2a − 4 = 2b − 4 =⇒ 2a = 2b =⇒ a = b, por lo tanto f es inyectiva. y +4
Sea y = f (x) =⇒ y = 2x − 4 =⇒ y + 4 = 2x =⇒ x = 2 por lo tanto la funci o´ n inversa es f −1 (x) = x+4 y su dominio 2 son todos los n u´ meros reales. x+4 (f ◦ f −1)(x) = f (f −1(x)) = f ( x+4 ) = 2( ) 2 2 x + 4 − 4 = x, por otro lado
(f −1 ◦ f )(x) = (f −1)(f (x)) =
(2x−4)+4 2
=
2x 2
−
4 =
=x
PROBLEMA 20:
√ Sean f (x) = x−1 (f ◦ g )(x) = (g ◦ f )(x)
y g (x) = x2 , resolver la ecuaci´on
Soluci´on:
√
(f ◦ g )(x) √ = f (g (x)) = x2 − 1 adem´as (g g (f (x)) = ( x − 1)2 = x − 1.
◦ f )(x)
=
igualando las expresiones anteriores tenemos:
√ x − 1 = x − 1 ⇐⇒ x − 1 = x − 2x + 1 ⇐⇒ 2
2
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2
1 = (x 1)2 x2 2x = 2 x = 1
−
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⇐⇒
−
⇐⇒
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PROBLEMA 21: Estudiar el tipo de simetr´ıa que tiene la siguiente funcio´ n seccionada:
f (x) =
x2 − 1 si |x| ≥ 3 si x ∈ (−3, 3) 8
Solucio´ n: Se estudia la simetr´ıa en cada secci´on:
(− ) − 1 | | ≥ 3 (− ) = 8 ∈ (−3 3) − 1 | | ≥ 3
f Luego
x
x
f (−x) =
x2
8
2
si x si x
,
si x si x ∈ (−3, 3)
Por consiguiente f es par pues f (x) = f (−x). PROBLEMA 22: Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) Una funci´on tiene que ser necesariamente par o impar. b) Si el dominio de f es [0, ∞), entonces f no puede ser par. c) Una funci´on que tiene un eje de simetr´ıa es necesariamente par. d) Si f (x) es una funci´on par, entonces −f (x) es impar. Soluci´on: a) Falso. La funci´on f (x) = x2 + x no es ni par ni impar. b) Verdadero. Si el dominio de f es [0 , ∞), entonces f (−x) no tiene sentido para x > 0 y, por lo tanto, no puede cumplirse que f (x) = f (−x), es decir, f no puede ser par. c) Falso. La funci´onn f (x) = x2 − 6x + 8 tiene como eje de simetr´ıa el eje de la par´abola y no es par. d) Falso. f (x) = |x| es par y, sin embargo, −f (x) no es impar. Instituto Nacional
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PROBLEMA 23: 3
Demostrar que las funciones f (x) = x + 1 y g (x) = son inversas la una de la otra.
3
(x − 1)
Soluci´on:
(f ◦ g )(x) = f (g (x)) = f ( (x − 1)) = ( (x − 1))3 + 1 = (x − 1) + 1 = x =⇒ (f ◦ g )(x) = x 3
(g √ 3
3
3
◦ f )(x) = g(f (x)) = g(x x = x =⇒ (g ◦ f )(x) = x
+ 1) =
3
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√ 3
x3 + 1
−1
=
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