Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
BAB III Solusi Deret dari Persamaan Differensial
Misalkan persamaan differensial berikut y′ = 2 xy. Persamaan differensial ini bila diselesaikan dengan metode yang telah dipelajari pada BAB 8 dapat dinyatakan dy dy 2 2 x 2 = 2 xy → = 2 xdx → ln y = x + C → y = exp( x + C ) = C ' e dx y Sekarang akan dicoba solusi yang berupa deret pangkat
Bila didiferensialkan:
Substitusi ke persamaan diffesensial yang dimaksud a1 + 2a2 x + 3a3 x
2
+ ... =
2 x (a0
2
)
+ a1 x + a3 x + ...
maka akan diperoleh: Sehingga akan diperoleh hubungan Untuk n ganjil Untuk n genap
Karena hanya deret dengan n genap yang muncul, maka dapat dituliskan (ambil n = 2m): a2 m
2
=
2m
a2 m − 2
=
1 m
a2 m − 2
sedangkan lebih lanjut dapat dituliskan a2 m− 2
=
2 2m − 2
a2 m− 2 − 2
=
1 m −1
a2 m−4
Demikian seterusnya sehingga menjadi
-1-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
Dengan koefisien-koefisien yang diperoleh tersebut, solusi y dapat dituliskan menjadi 1 1 2 4 2m y = a0 + 0 + a0 x + 0 + a0 x + 0 + ... + a0 x + ... 2 m! ∞
=
a0
∑
x
2m
m!
m =0
Bila solusi menggunakan deret tersebut dibandingkan dengan solusi cara biasa (menggunakan integral) yang telah disinggung pada bagian awal, maka akan diperoleh ∞ x 4 x 2 n 2 + ... = a0 ∑ y = C ' e = C ' 1 + x + 2 ! n=0 n!
x
2
∞
x 2 n
∑ n! n =0
dengan a0 = C ′ ′ .
Polinom Legendre
Persamaan differensial Legendre merupakan persamaan differensial yang berbentuk
dengan l adalah konstanta. Persamaan differensial tersebut akan banyak dijumpai manakala menyelesaikan persamaan differensial parsial dalam sistem koordinat bola. Solusi persamaan differensial tersebut adalah dalam bentuk polinomial yang dikenal sebagai polinom Legendre. Misalkan solusi untuk y y berbentuk deret pangkat dalam x turunan pertama dan keduanya adalah
Substitusikan ke persamaan differensial Legendre tersebut di atas akan menghasilkan (1 − x 2 ) 2a2
[a
+ l (l + 1)
0
2
+ 6a3 x + 12a4 x + + a1 x +
a2 x 2
+
20a5 x 3
a3 x 3
+
a4 x 4
+ ... + n ( n − 1) a n x + ... +
an x
n
]= 0
-2-
n− 2
− 2 x a1 +
2a2 x + 3a3 x 2
+
4a4 x 3
+ ... +
nan x
n−1
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
Bila disusun dalam bentuk tabel agar lebih mudah dianalisa n 0 2 3 4 x x x x x x 2a2 0 − n( n − 1) an −2a2 −6a3 −12a4 0 −2a1 −4a2 −6a3 −8a4 − 2nan l(l+1)a0 l(l+1)a1 l(l+1)a2 l(l+1)a3 l(l+1)a4 l (l + 1)an Bila koefisien dari masing-masing suku pangkat x tersebut dijumlahkan, masing-masing harus memberikan nilai sama dengan nol agar persamaan differensial tersebut terpenuhi. Artinya
yang memberikan nilai konstanta a:
n
Sedangkan dari koefisien x diperoleh
Dapat diperoleh hubungan antara an+2 dengan an, yaitu
Artinya untuk n genap, koefisien an dapat dinyatakan dalam a0, sedangkan untuk suku yang ganjil dapat dinyatakan dalam a1. Dengan demikian solusi dari persamaan Legendre dapat dinyatakan dalam a0 dan a1:
-3-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L 2
2
Deret tersebut konvergen untuk x < 1 sedangkan bila x = 1 deret tersebut menjadi bersifat divergen {lihat kembali pembahasan tentang konvergensi deret pada kuliah Fismat I, BOAS BAB I}. Dalam banyak penggunaannya di bidang Fisika, x adalah nilai cosinus dari suatu sudut θ dan konstanta l adalah bilangan bulat bukan negatif. Tinjau kasus untuk l = 0. Untuk kasus ini deret a1 dapat dituliskan menjadi: x +
2! 3 x 3!
+
4! 5 x 5!
+
6
x 7!
7
+ ...
yang bersifat divergen. Sedangkan untuk deret a0 dituliskan menjadi
1 − 0 + 0 − 0 + ... yang artinya bersifat konvergen. 2
Untuk l = 1, deret a0 bersifat divergen (pada x = 1) sedangkan a1 bersifat konvergen. Secara umum dapat digeneralisasi bahwa untuk nilai l tertentu, salah satu deret bersifat konvergen sementara deret 2
yang satunya lagi divergen pada x = 1. Dengan demikian untuk suatu harga l tertentu terdapat polinom untuk y, misalnya untuk l = 0 y = a0; untuk l = 1 y = a1 x dan seterusnya. Masing-masing mempunyai konstanta a0 ATAU a1. Jika x = 1, maka diperoleh suatu suku konstanta tersebut dipilih sedemikian agar diperoleh nilai y = 1 untuk x x). banyak yang dinamakan POLINOM LEGENDRE, yang dituliskan sebagai Pl( x
Misalkan untuk l = 0, maka y = a0. Agar y = 1, maka artinya a0 = 1. Dinyataka Din yatakan n P0( x x) = 1. Untuk l = 1 telah diperoleh bahwa y = a1 x. Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a1 = 1 sehingga x) = x. dinyatakan P1( x
Untuk l = 2, diperoleh y = a0(1
−
2
3 x ). Agar y = 1 untuk x = 1, maka artinya a0 =
1 1 2 2 dituliskan P2 ( x ) = − (1 − 3 x ) = (3 x 2 2
−1/2,
sehingga
− 1)
Dengan cara yang sama dapat diperoleh ungkapan untuk P3( x x), P4( x x) dan seterusnya. Berikut ini adalah polinom Legendre untuk beberapa nilai l:
x) tersebut sering disebut juga sebagai FUNGSI LEGENDRE JENIS PERTAMA. Polinom Legendre Pl( x
Terdapat juga FUNGSI LEGENDRE JENIS KEDUA yang merupakan solusi untuk setiap l yang x) namun berupa deret tak hingga. Fungsi jenis kedua ini biasanya dilambangkan dengan Ql( x
penggunaannya tidak sesering fungsi jenis pertama. -4-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
Plot fungsi Legendre jenis pertama untuk l = 2, 3, 4 dan 5.
Polinom Legendre juga dapat diperoleh menggunakan rumus Rodrigues, yaitu Pl ( x ) =
l 1 d l
2 l! dx
l
( x
2
)
−1
l
l Misalkan v = ( x 2 − 1) , maka
2 ( x − 1)
dv
=
dx
dv dx
2
= l ( x − 1)
l −1
(2 x) dan
2 2 2 l 1 l ( x − 1)l ( x − 1) − (2 x ) = l ( x − 1) (2 x) = 2lxv
Fungsi Pembangkit untuk Polinom Legendre
Fungsi berikut ini dinamakan fungsi pembangkit untuk polinom Legendre: Φ ( x, h) =
2
1 / 2
(1 − 2 xh + h ) −
untuk h
<1
Fungsi tersebut bila diuraikan dalam deret pangkat menghasilkan: Φ ( x, h) =
(1 − (2 xh − h ) )
= 1+
−1 / 2
2
1 2
=1+
1 2
2
(2 xh − h ) +
(2 xh − h 2 ) + 38 (2 xh − h 2 ) 2
= 1 + xh −
1 2
= 1 + xh + h
h2
+
3 8
( x
2
2 3 2
(4 x 2 h 2 −
1 2
3
1 3 2 2
2!
+ ...
+ ...
− 4 xh + h
4
) + ...
) + ... = P ( x) + hP ( x) + h o
2 2
(2 xh − h )
1
∞
2
P2 ( x ) + ... =
∑ h P ( x) l
l
l =0
-5-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L x) tersebut bila dihitung untuk nilai x=1 akan memberikan Polinom Pl( x
(1 − 2h + h ) 2
Φ (1, h) = ≡
−1 / 2
=
1
=
(1 − h)
1
2
1− h
2
= 1 + h + h + ...
2
Po (1) + P1 (1) + h P2 (1) + ...
dengan demikian haruslah terpenuhi bahwa Pl (1) = 1 yang merupakan sifat polinom Legendre. Dapat ditunjukkan pula bahwa polinom Pl( x x) tersebut memenuhi persamaan Legendre. Hubungan rekursif pada polinom Legendre:
Hubungan rekursif tersebut dapat digunakan untuk mencari polinom Legendre untuk l tertentu bila diketahui polinom dengan l yang lebih kecil. Misalnya, karena P0 ( x ) = 1 dan P1 ( x) = x , maka 2 2 P2 ( x ) = 3 xP1 ( x) − 1P0 ( x) = 3 x − 1 → P2 ( x) =
1 2
(3 x
2
)
−1
Contoh penggunaan polinom Legendre dan fungsi pembangkit dalam persoalan elektrostatik: Potensial elektrostatik pada jarak d dari sebuah muatan titik adalah V =
kq d
dapat dinyatakan d = R − r
=
r R − 2 Rr cosθ + r = R 1 − 2 cosθ + R R 2
r
2
2
Maka V =
kq r r = 1 − 2(cosθ ) + d R R R
kq
2
−1 / 2
Kuntitas dalam kurung siku tersebut mempunyai bentuk yang sama dengan fungsi pembangkit sehingga V =
kq d
=
kq
Φ
R
-6-
Φ,
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
dengan
Φ = Φ cos θ ,
r
merupakan fungsi pembangkit polinom Legendre. Maka dapat dituliskan
R l
r Φ= V = Pl (cos θ ) ∑ R R l =0 R kq
kq
∞
Jika terdapat banyak beberapa muatan qi pada posisi ri maka potensial oleh salah satu muatan qi adalah V i =
l
l
∞ r P (cos θ ) r i Pl (cos θ i ) = kqi ∑ i l l +1 i ∑ R l =0 R R l =0 ∞
kqi
dan potensial total akibat seluruh muatan adalah ∞
V =
∑V = k ∑ q ∑ i
i
i
i
l =0
l
r i Pl (cos θ i ) 1
R l +
Orthogonalitas dan Normalisasi Polinom Legendre
x) dan B( x x) dikatakan ortogonal pada selang ( a,b) jika Dua buah fungsi A( x b
∫ A( x) B( x)dx = 0 a
Jika keduanya merupakan fungsi komplex, maka syarat ortogonalnya menjadi b
∫ A ( x) B( x)dx = 0 *
a
Jika terdapat sekumpulan fungsi An( x x) dengan n = 1,2,3, ... dan
0 * An ( x ) Am ( x)dx = konstanta a b
∫
jika m ≠ n ≠
0
jika m = n
x) adalah kumpulan fungsi yang ortogonal. Contohnya adalah fungsi sin nx maka dikatakan bahwa An( x
yang merupakan fungsi ortogonal pada selang ( −π,π). Polinom Legendre juga merupakan fungsi yang ortogonal pada selang ( −1,1) dan dinyatakan 1
∫ P ( x) P ( x)dx = 0 l
m
kecuali
l
=
m
−1
-7-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut: Substitusi polinom Legendre Pl( x x) ke persamaan Legendre menghasilkan: d
[(1 − x
dx
2
) Pl '] + l (l + 1) Pl
=
0 (*)
dan untuk polinom Legendre Pm( x x) d
[(1 − x
dx
2
) Pm '] + m(m + 1) Pm
=0
(**)
Bila persamaan (*) dikalikan dengan Pm( x x) diperoleh d
Pm
dx
[(1 − x
2
) Pl '] + Pml (l + 1) Pl
=
0
(***)
Bila persamaan (**) dikalikan dengan Pl( x x) diperoleh Pl
d dx
[(1 − x
2
) Pm '] + Pl m(m + 1) Pm
=0
(****)
Kemudian kedua persamaan terakhir dikurangkan sehingga diperoleh d
[(1 − x
d
) Pl '] − Pl
[(1 − x
]
) Pm ' + [l (l + 1) − m(m + 1)]Pl Pm dx dx Pm
=
2
d dx
2
=
0
[(1− x2 )( Pm Pl ' − Pl Pm ') ]
Bila diintegralkan dari −1 sampai 1 akan didapat: 1
∫ P
m
−1
d dx
[(1 − x
2
) Pl '] − Pl
d dx
[(1 − x
2
) Pm '] + [l (l + 1) − m(m + 1)]Pl Pm dx = 0
1
d 2 ∫ −1 dx [(1 − x )( Pm Pl '− Pl Pm ' )] + [l (l + 1) − m(m + 1)]Pl Pm dx = 0 1
1
∫ d [(1 − x )( P P '− P P ' )] + ∫ [l (l + 1) − m(m + 1)]P P dx = 0 2
m l
l
m
l
−1
m
−1
2
(1 − x )( Pm Pl '− Pl Pm ' )
1
1
+
−1
[l (l + 1) − m(m + 1)]∫ Pl Pm dx = 0 −1
=0
1
[l (l + 1) − m(m + 1)]∫ Pl Pm dx = 0 −1
Karena suku dalam kurung pada baris terakhir tersebut umumnya tidak sama dengan nol (kecuali bila l = m), maka yang harus bernilai nol adalah integral tersebut dengan demikian didapat bahwa 1
∫ P ( x) P ( x)dx = 0 l
m
kecuali
l
=
m
−1
Karena sembarang polinom orde n dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom Legendre orde ≤ n, maka artinya
-8-
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L 1
∫ P ( x).(sembarang polinom dengan orde < l )dx = 0 l
−1
b
∫
b
∫
*
2
* 2 x) pada selang ( a,b) dinyatakan dengan A ( x ) A( x )dx = A ( x) dx = N . Besar suatu fungsi A( x a
a −1
x) tersebut dibagi dengan N , maka besarnya menjadi 1. N disebut sebagai faktor Artinya jika fungsi A( x
normalisasi. Untuk polinom Legendre dapat dinyatakan (dengan menggunakan hubungan rekursif): lPl ( x) = xPl ' ( x) − Pl −1 ' ( x) x), maka akan menjadi l (Pl ) bila persamaan tersebut dikalikan dengan Pl( x
2
= xPl Pl '− Pl Pl −1 '
kemudian bila diintegralkan antara −1 sampai 1 akan didapat: 1
l
1
1
∫ (P ) dx = ∫ xP P ' dx − ∫ P P 2
l
l
−1
l
−1
l
l −1
' dx
−1
Karena Pl −1 ' dapat dinyatakan sebagai polinom dengan derajat kurang dari l, maka integral kedua pada persamaan di atas sama dengan nol. Dengan demikian: 1
l
∫ (Pl )
2
1
1
1
∫
∫
∫
−1
−1
−1
1
−1
x
∫ 2 d ( P
dx = xPl Pl ' dx − 0 = xPl Pl ' dx = xPl d ( Pl ) =
l
2
)
−1
2
Kemudian bila diselesaikan dengan cara integral parsial (ambil u = x /2 dan dv = d (Pl )) maka integral tersebut menjadi 1
1
1
1
1 x 2 2 l ∫ (Pl ( x) ) dx = ∫ d ([Pl ( x)] ) = [[Pl ( x)] ] − ∫ [Pl ( x )] dx 2 2 −1 2 −1 −1 −1 2
x
2
1 1 1 −1 2 2 (Pl (−1) ) − ∫ [Pl ( x)]2 dx = (Pl (1) ) − 2 2 −1 2 l karena Pl (−1) = (−1) , maka Pl (−1) akan bernilai
yang sembarang maka akan diperoleh (Pl (−1) )
2
-9-
−1
=1
jika l ganjil dan bernilai 1 jika l genap. Untuk l
sehingga persamaan di atas menjadi
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L 1 1 1 −1 2 2 2 l ∫ (Pl ( x) ) dx = (Pl (1) ) − (Pl (−1) ) − ∫ [Pl ( x )] dx 2 2 1 2 1 1
2
−
−
1
1
−
−
1 1 1 = −− − [Pl ( x)]2 dx = 1 − ∫ (Pl ( x) )2 dx ∫ 2 2 2 1 2 1 1
dengan demikian 1
l
1
1
∫ (P ( x) ) dx + 2 ∫ (P ( x)) dx = 1 2
2
l
l
−1
−1
1
1 2 l + ∫ (Pl ( x) ) dx = 1 2 −1 1
2 ( ) P ( x ) dx = l ∫
1 l+
−1
1
2
=
2l + 1
2
Maka bila sifat ortogonal dan normalisasi digabungkan menjadi satu ungkapan, akan diperoleh ungkapan ortonormal untuk polinom Legendre yaitu yang dinyatakan jika l ≠ m 0 ∫ 1 Pl ( x) Pm ( x)dx = 2 jika l = m 2l + 1 1
−
1
2
∫ P ( x) P ( x)dx = 2l + 1 δ l
m
lm
−1
Karena polinom-polinom Legendre merupakan kumpulan yang ortogonal lengkap pada selang ( −1,1), maka kita dapat mengekspansi suatu fungsi dengan menggunakan deret Legendre. Caranya sama dengan saat kita menggunakan deret Fourier untuk mengekspansi suatu fungsi. Misalkan suatu fungsi yang dinyatakan dengan f ( x x) di mana:
0 untuk − 1 < x < 0 f ( x ) = 1 untuk 0 < x < 1 x) tersebut akan diekspansikan menggunakan deret Legendre maka artinya fungsi f ( x x) Jika fungsi f ( x
tersebut dinyatakan sebagai kombinasi linier dari polinom Legendre: ∞
f ( x ) =
∑ c P ( x) l
l
l =0
dengan cl adalah koefisien yang akan dicari. Bila persamaan di atas dikalikan dengan polinom Legendre kemudian diintegralkan dalam selang 1
−1
sampai 1 maka akan diperoleh
1
∞
∫ f ( x) P ( x)dx = ∑ c ∫ P ( x) P ( x)dx m
−1
l
l =0
l
m
−1
dengan menggunakan sifat ortonormalitas polinom Legendre, maka didapat - 10 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L 1
1
∞
∫
∑ c ∫ P ( x) P ( x)dx = c
−1
l =0
f ( x) Pm ( x)dx =
l
l
m
2 m
−1
2m + 1
Dengan demikian, maka: 1
1
∫
∫ (P0 ( x) )
−1
−1
1
1
2
f ( x ) P0 ( x)dx = c0
1
∫
dx ⇒ (1)(1)dx = 2c0 ⇒ c0 0 1
2
∫ f ( x) P ( x)dx = c ∫ (P ( x)) dx ⇒ ∫ (1)( x)dx = 3 c 2
1
1
−1
1
1
−1
1
1
3
∫ f ( x) P ( x)dx = c ∫ (P ( x) ) dx ⇒ ∫ (1) 2 x 2
2
2
−1
⇒ c1 =
0
1
2
=
−1
0
2
−
1
1 2 3 4
2
dx = c2 ⇒ c2 2 5
=0
...dan seterusnya... Sehingga dapat dinyatakan: ∞
f ( x ) =
∑ c P ( x) = l
l
1 2
P0 ( x ) + 34 P1 ( x ) − 167 P3 ( x) + ...
l =0
Fungsi Legendre Terasosiasi
Persamaan differensial berikut sangat erat kaitannya dengan persamaan Legendre: (1 − x
2
) y ' '−2 xy'+ l
(l + 1) −
m2 y = 0 2 1 − x
Solusi persamaan tersebut adalah: m
2 m / 2
y = (1 − x )
d
dx
m
(Pl ( x) ) m
yang disebut sebagai fungsi Legendre terasosiasi dan dituliskan sebagai Pl ( x) , jadi: m
d
(Pl ( x)) fungsi Legendre terasosiasi dx m Dapat juga dinyatakan menggunakan rumus Rodrigues: 2 m / 2
m
Pl ( x ) = (1 − x )
m
Pl ( x )
=
1 2l l!
l +m
(1 − x
2 m / 2
)
d
dx l + m
( x
2
)
−1
l
Untuk harga m tertentu, fungsi Legendre terasosiasi juga merupakan kumpulan fungsi ortogonal pada selang (−1,1). Konstanta normalisasi fungsi Legendre terasosiasi adalah:
- 11 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L 1
∫ [P
m
l
2
( x )] dx = 2
(l + m)!
2l + 1 (l − m)!
−1
Metode Frobenius
Banyak persamaan differensial yang solusinya tidak dapat dinyatakan dalam deret pangkat yang ∞
berbentuk
∑ a x
∞
n
melainkan dalam bentuk y =
n
∑ a x
n =0
n+ s
n
, misalnya saja
n= 0
x 3 + ... x sin x = x x − 3! 1 / 2
y =
Tinjau suatu persamaan differensial x 2 y ' '+4 xy'+ ( x 2
+ 2) y = 0
(*)
∞
Dengan menggunakan bentuk y =
∑ a x
n+ s
n
, maka dapat dinyatakan
n =0
∞
y = a0 x
s
+ a1 x
s +1
+ a2 x
s+ 2
+ ... =
∑ a x
n+ s
n
n =0 ∞
y ' = sa0 x
s −1
s
+ ( s + 1) a1 x + ( s + 2) a1 x
s +1
+ ... =
∑ (n + s)a x
n + s −1
n
n =0 ∞
y ' ' = ( s − 1) sa0 x
s−2
+
s (s + 1)a1 x
s −1
s
+ ( s + 1)( s + 2) a1 x + ... =
∑ (n + s)(n + s − 1)a x
n + s −2
n
n =0
Bila disubstitusikan kembali ke persamaan differensial (*), maka akan menjadi
n x ∑ (n + s )(n + s − 1)an x n 0 ∞
2
=
n
n =0
+4
∞
+ s −1
=
∞
n+ s
+ ( x 2 + 2) ∑ an x n s = 0 n 0
∞
∞
∑ (n + s)(n + s − 1)a x
+ 4 x ∑ (n + s )an x n n 0
+ s −2
∑ (n + s)a x n
n =0
+
=
∞
n+ s
+
∑ a x
∞
n+ s+ 2
n
+2
n=0
∑ a x
n+ s
n
x 2 y 2 y
0
n =0
Bila koefisien pangkat dari x disusun dalam tabel akan menghasilkan s s +1 s+2 ... x x x x 2 y ' ' 4 xy'
=
s+n
s (s − 1)a0
(s + 1) sa1
(s + 2)( s + 1)a2
x (n + s )(n + s − 1)an
4sa0
4( s + 1)a1
4( s + 2)a2
4(n + s )an
a0
an − 2
2 a2
2 an
2a0
2a1 - 12 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
Agar jumlah deret pangkat tersebut sama dengan nol, maka artinya koefisien dari masing-masing pangkat x juga sama dengan nol. Hal ini memberikan o
s
Kolom pertama (koefisien x ): 2
s ( s − 1) a0 + 4sa0 + 2a0 = 0 → ( s − 3s + 2) a0 = 0
untuk a0 sembarang, maka bagian yang dalam kurunglah yang sama dengan nol, sehingga s
2
− 3s + 2 =
0 yang disebut sebagai persamaan index. Bila persamaan ini diselesaikan akan
diperoleh s = −1 atau s = −2. o
s+1
Untuk s = −1, maka kolom kedua (koefisien x
):
2a1 = 0 yang berarti a1 = 0 s+n
sedangkan kolom kelima (koefisien x (n − 1)(n − 2)an
[
an n
2
) akan memberikan:
+ 4( n − 1)an + an−2 + 2an = 0
]
+ n − 2 + 2 = − an−2
diperoleh an = −
an [(n − 1)(n + 2 ) + 2] = −an−2
an−2 n(n + 1)
untuk n ≥ 2
an [n(n + 1)] = −an−2
karena telah diperoleh bahwa a1 = 0, maka ini berarti untuk n yang ganjil pastilah an = 0, sedangkan untuk n yang genap, an dapat dinyatakan dalam a0. a2
a0
=−
a0
=−
2.3
3!
; a4
a2
=−
a0
=
4.5
=
2.3.4.5
a0
5!
; a6
=−
a4
=−
6.7
a0
7!
; dst
maka solusi untuk y y adalah ∞
y =
∑ a x
n+s
n
=
1
a0 x −
n =0
−
a0
3!
x +
a0
5!
x
3
+ ...
x 3 x 5 a0 = a0 x x − + − ... = 2 sin x x 3! 5! −2
=sin x
o
s+1
Untuk s = −2, kolom kedua (koefisien x 2a1 − 4a1 + 2a1
=0
) akan memberikan:
yang terpenuhi untuk sembarang nilai a1 s+2
dari kolom ketiga (koefisien x a0
+ 2a 2 = 0
) akan diperoleh
yang memberikan a2
=−
a0
2 s+n
dan dari kolom kelima (koefisien x ) akan memberikan: an − 2 2 an (n − n ) = −an−2 an = − n(n − 1) Maka untuk n genap an dapat dinyatakan dalam a0 sedangkan untuk n ganjil, an dapat dinyatakan dalam a1 - 13 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L a2
=−
a3
=−
a0
=−
a0
2.1
2!
a1
=−
a1
3.2
3!
; a4
=−
; a5
=−
a2
a0
=
4.3 a3
a0
=
4.3.2.1 =
a1
5.4
5!
; a7
4!
; a6
a5
=−
a4
=−
=−
6.5
a0
6!
a1
=−
7.6
7!
maka bentuk y y adalah ∞
y =
∑ a x
n+s
=
n
a0 x −
2
+ a1 x
n =0
= a0 x
−1
−
a0
2!
−
a1
3!
− + − + ... + a1 x 2! 4! 6! x 2 x 4 x 6 2 = a0 x − + − + ... + a1 x 1 2! 4! 6! −2
x 2
1
x 4
−
x +
−1
−
a0 cos x x
o
2
4!
x
3! −2
x
+
2
+
x 3
a1
5! −
5!
x
x 5
7!
3
−
a0
6!
x
4
−
a1
x 7!
5
+ ...
+ ...
x 3 x 5 x 7 x − + − + ... 3! 5! 7!
=cos x
=
a0
=sin x
a1 sin x
+
x
2
Solusi lengkap untuk y adalah jumlah dari y yang diperoleh dengan s =
−1
dan y yang
diperoleh dengan s = −2 y = y s=−1 + y s=−2 y =
a0 x 2
sin x +
b0 x 2
cos x +
b1 x
sin x
Cara tersebut di atas dinamakan cara (metode) Frobenius.
Fungsi Bessel
Persamaan Bessel adalah persamaan differensial yang berbentuk: x 2 y ' '+ xy'+( x 2 − p 2 ) y = 0
dengan p adalah konstanta yang disebut orde fungsi Bessel y. Karena x( xy' ) = x ( x' y '+ xy ' ' ) = x ( y '+ xy' ' ) = xy'+ x 2 y ' ' , maka persamaan Bessel tersebut di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk: x( xy ' ) + ( x 2 − p 2 ) y = 0
Untuk menyelesaikan persamaan differensial di atas, dapat digunakan metode Frobenius, dengan ∞
memisalkan y =
∑ a x n
n+ s
, maka berturut-turut akan diperoleh:
n =0
- 14 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L ∞
y ' =
∑ a (n + s) x
n + s −1
n
n =0 ∞
∑ a (n + s) x
xy' =
n+ s
n
n =0 ∞
( xy' )' =
∑ a (n + s) x 2
n+ s −1
n
n =0 ∞
x( xy' )' =
∑ a (n + s) x 2
n+ s
n
n =0
bila deret-deret tersebut disubstitusi ke persamaan Bessel dan koefisien pangkatnya disusun dalam bentuk tabel maka dapat diperoleh: x
s
x
2
x( xy ' )
s +1
x
(1 + s ) 2 a1
s a0
2
− p
y
2
a0
− p
2
...
x
s+n
( 2 + s ) 2 a2
2 (n + s ) a n
a0
an − 2
x 2 y − p
s+2
a1
− p
2
− p
a2
2
an
s
Persamaan index diperoleh dari kolom pertama (koefisien x ), yaitu: ( s 2 − p 2 )a0 o
=
0 yang memberikan nilai s = ± p
Untuk s = p s+1
Kolom kedua (koefisien x (1 + p )
2
− p
2
)a
1
=0
(1 + 2 p )a1 = 0
) memberikan hubungan
===> karena p positif, maka berarti a1 = 0 s+n
kemudian dari kolom terakhir (koefisien x n(n + 2 p )an an
) memberikan hubungan
= − an − 2
an − 2
=−
n(n + 2 p )
sehingga didapat a1
=
a3
a2
=−
a6
=−
=
a5
= .... = 0
a0
=−
2(2 + 2 p ) a4
6(6 + 2 p )
a0
4(1 + p ) =−
; a4
=−
a2
8(2 + p )
=
a0
32(2 + p )(1 + p )
;
a0
12.32(3 + p )(2 + p )(1 + p )
Secara umum untuk n genap dapat dituliskan kembali dalam bentuk: a2 n − 2 a 2 n− 2 =− 2 a2 n = − 2n(2n + 2 p ) 2 n(n + p ) - 15 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
kemudian dengan mengingat kembali hubungan rekursif fungsi gamma: Γ ( p + 2) =
( p + 1)Γ ( p + 1) ==> ( p + 1) =
Γ ( p + 2) Γ ( p + 1)
Γ ( p + 3) = ( p + 2)Γ ( p + 2) = ( p + 2)( p + 1)Γ ( p + 1) ==> ( p + 2)( p + 1) =
Γ ( p + 3) Γ ( p + 1)
maka a2
=−
a4
=
a6
=−
a0
=−
4(1 + p )
a0
=−
2
2 (1 + p )
a0
2
2
Γ ( p + 2)
a0
=
32(2 + p)(1 + p )
a0Γ ( p + 1)
=
4
2!2 (2 + p )(1 + p )
a0 Γ ( p + 1)
2!2
4
Γ ( p + 3)
a0 Γ ( p + 1)
3!26 Γ ( p + 4)
Dengan demikian bentuk solusi y untuk s = p adalah ∞
y =
∑ a x
n+ s
n
n=0
=
a0 x p
−
a0 Γ ( p + 1)
2
2
Γ ( p + 2)
p
x = a0 2 2 p
x
2+ p
+
a0Γ ( p + 1)
2!2
4
Γ ( p + 3)
x
4+ p
−
a0 Γ ( p + 1)
3!2
6
Γ ( p + 4)
x
6 + p
+ ...
2 4 1 1 1 x x Γ ( p + 1) − + Γ (1)Γ ( p + 1) Γ (2)Γ ( p + 2) 2 Γ (3)Γ ( p + 3) 2 6 1 x − Γ ( 4)Γ ( p + 4) 2
yang disebut sebagai fungsi Bessel jenis pertama orde p. Lebih umum dituliskan dalam bentuk:
x J p ( x) = ∑ n =0 Γ ( n + 1)Γ ( n + p + 1) 2 ∞
o
(−1) n
2 n + p
Untuk s = − p dengan cara yang sama akan diperoleh
x J − p ( x) = ∑ n =0 Γ ( n + 1)Γ (n − p + 1) 2 ∞
(−1) n
2 n− p
ini berkaitan dengan solusi kedua dari fungsi Bessel. Solusi lengkap dari persamaan Bessel adalah kombinasi dari kedua solusi di atas, yaitu solusi pertama (s = p) dan solusi kedua ( s = − p). Hanya saja solusi kedua lebih umum dinyatakan dalam ungkapan x) ataupun fungsi Weber Y p( x x). Solusi persamaan Bessel fungsi yang lain yaitu fungsi Neumann N p( x
telah ditabelkan dan biasanya solusi lengkapnya dituliskan dalam bentuk y = AJ p ( x ) + BN p ( x ) atau y = AJ p ( x ) + BY p ( x)
- 16 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L x) dan Y p( x x) adalah fungsi Neumann dan fungsi Weber yaitu: di mana A dan B konstanta sedangkan N p( x N p ( x) = Y p ( x ) =
cos(π p ) J p ( x ) − J − p ( x ) p ) sin(π
Plot fungsi Bessel jenis pertama
Hubungan Rekursi untuk Fungsi Bessel
Berikut ini adalah beberapa hubungan rekursif yang berkaitan dengan fungsi Bessel d dx d dx
[ x J ( x)] = x J p
p
p
[ x
− p
J p ( x)
p −1
] = − x
J p−1 ( x) + J p +1 ( x) =
( x)
− p
J p+1 ( x )
2 p
J p ( x) x J p−1 ( x) − J p+1 ( x) = 2 J p ' ( x) p p J p ' ( x ) = − J p ( x ) + J p −1 ( x) = J p ( x) − J p +1 ( x) x x
Fungsi Bessel Jenis lainnya
x) dan N p( x x), jenis fungsi Bessel lainnya adalah: Selain J p( x Fungsi Hankel atau dinamakan juga fungsi Bessel jenis ketiga:
H p(1) ( x ) = J p ( x) + iN p ( x ) H p( 2) ( x ) = J p ( x ) − iN p ( x )
- 17 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L Fungsi Bessel Hiperbolik = hyperbolic Bessel function / Fungsi Bessel termodifikasi
I p ( x ) = i − p J p (ix) K p ( x ) =
π 2
1
(1)
i p+ H p (ix )
yang merupakan solusi dari persamaan differensial x 2 y ' '+ xy'−( x 2 + p 2 ) y = 0
Fungsi Bessel Sferik n
jn ( x) =
1 d sin x J ( 2 n+1) / 2 ( x ) = x − 2 x x dx x
y n ( x) =
1 d cos x Y ( 2 n+1) / 2 ( x ) = − x − 2 x x dx x
π
n
n
π
n
(1)
= jn ( x) + iyn ( x )
( 2)
= jn ( x) − iyn ( x)
hn hn
Fungsi Kelvin 3 / 2
J 0 (i x ) = ber x + i bei x 1 / 2
K 0 (i x ) = ker x + i kei x
Fungsi Airy
Ai( x ) = Bi( x) =
1 x
π 3 x
3
K 1 / 3 (23 x 3 / 2 )
[ I ( x ) + I ( x )] −1 / 3
2 3
3 / 2
2 1 / 3 3
3 / 2
Contoh penggunaan fungsi Bessel
Pendulum sederhana yang panjang talinya merupakan fungsi waktu. Energi kinetik sistem dinyatakan dengan T =
1 2
mv
2
=
1 2
θ
•
m(l θ )
2
Sedangkan energi potensialnya (dengan mengambil posisi titik penggantung sebagai acuan dengan potensial 0): - 18 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L V = −mgl cosθ
Lagrangian sistem ini dinyatakan sebagai 1
L = T − V =
2
•
2
2
ml θ
+ mgl cos θ
Persamaan Lagrangenya: d 2 • ml θ + mgl sin θ = 0 dt
Misalkan panjang tali berubah terhadap waktu dan dinyatakan dengan l dt =
1
d
dl
v
=
dt
v
= l0 + vt
dl
= vdt
d dl
Dengan demikian akan diperoleh d 2 • ml θ + mgl sin θ = 0 dt •
2lm θ
dl dt
2
+ ml
d θ
2
2
dt
+ mgl sin θ = 0
dan untuk simpangan yang kecil dapat digunakan pendekatan sin θ ≈ θ sehingga persamaan differensial tersebut menjadi •
2l θ
dl dt
+l
2
d 2θ 2
+
dt
glθ = 0 2lv
2
d θ dl
+v
2 2
l
d 2θ dl
2
+
glθ = 0 → l
d 2θ dl
2
+2
d θ
+
dl
gθ v2
=
0
Persamaan tersebut mempunyai bentuk persamaan bessel yang umum: a 2 − p 2 c 2 1 − 2a c −1 2 y ' '+ y '+ (bcx ) + y = 0 yang mempunyai solusi berbentuk 2 x x y = x a Z p (bx c )
Persamaan differensial tersebut dapat dituliskan menjadi 2
d θ dl
2
+
2 d θ l dl
+
g lv 2
θ = 0
yang berarti 1 − 2a = 2 → a = −
1 2
; 2c − 2 = −1 → c =
sehingga solusinya adalah 1 2 gl ) θ = Z 1 ( v l
- 19 -
1 2
2
; b c
2
=
g v
2
→b=
2 v
2 2 2 g ; a − p c
= 0 → p = 1
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L Ortogonalitas fungsi Bessel
Misalkan suatu fungsi Bessel yang nilai nolnya adalah α dan β . Persamaan differensial yang solusinya berupa fungsi Bessel u = J p(α x) adalah x ( xu ' )'+(α 2 x 2 − p 2 )u = 0
(*)
dan yang solusinya dinyatakan dengan v = J p( β x) adalah berbentuk x( xv' )'+( β 2 x 2
− p
2
)v = 0
(**)
Jika (*) dikalikan dengan v sedangkan persamaan (**) dikalikan dengan u kemudian keduanya dikurangkan akan diperoleh: xv( xu ' )'+(α 2 x 2 − p 2 )uv = 0 xu ( xv' )'+( β 2 x 2
− p
2
)uv = 0
v( xu ' )'−u ( xv' )' + (α 2 − β 2 ) xuv = 0 =
d dx
(vxu ' − uxv ' )
Bila persamaan tersebut diintegralkan dalam selang (0,1) akan diperoleh: 1
d
∫ dx [vxu'−uxv'] + (α
2
2
− β
) xuv = 0
0 1
1
d
∫ dx [vxu'−uxv'] + ∫ (α
2
0
2
− β
) xuvdx = 0
0
1
1
[vxu'−uxv'] 0 + (α − β 2
2
∫
) xuvdx = 0 0
Untuk nilai x = 0 [vxu'−uxv'] = 0 , sedangkan bila x = 1, u = J p(α ) = 0 dan v = J p( β ) = 0. Dengan 1
demikian [vxu'−uxv'] 0
=0,
maka dari persamaan terakhir di atas akan diperoleh:
1
2
(α
2
− β
∫
1
2
) xuvdx = 0 atau (α 0
2
− β
∫
) xJ p (α x ) J p ( β x )dx = 0 0
Jika α ≠ β maka integral tersebutlah yang harus sama dengan 0. Jika α = β maka integral tersebut tidak sama dengan nol dan ini memberikan kondisi ortogonalitas fungsi Bessel, yaitu
- 20 -
Catatan Kuliah FI-2281 Fisika Matematik IIB – SOLUSI DERET DARI PERSAMAAN DIFFERENSIA L
0 ∫ 0 xJ p (α x) J p ( β x)dx = 1 J p2 1 (α ) = 1 J p2 1 (α ) = 1 J ' p2 (α ) 2 2 2 1
+
−
- 21 -
jika α ≠ β jika α = β
