FILTROS BESSEL
FILTROS BESSEL Aproximación de Bessel.
Para una transmisión sin distorsión de fase o retraso la función de transferencia debe ser:
la cual proporciona fase lineal o retraso constante. Mediante esta función, la salida es una réplica exacta de la entrada retrasada segundos. Una aproximación todo polo para -sτ e es:
donde los coeficientes bi se obtienen imponiendo un retraso máximamente plano. Los polinomios así obtenidos son los polinomios de Bessel, y los f iltros, filtros de Bessel. Estos coeficientes siguientes:
bi
del denominador se obtienen mediante las funciones de Bessel
Siendo
Los polinomios de Bessel para ordenes n ≤ 10, siendo n el orden del filtro en nuestro caso, se encuentran tabulados por lo que no es necesario aplicar los cálculos anteriormente descritos. Para filtros de n mayor se obtienen de modo recurrente de la siguiente forma:
Un detalle a tener en cuenta es que a mayor orden del filtro se obtiene mayor precisión del retraso constante de la fase. Si dividimos bi / b0 :
Para n → ∞
Luego,
Que corresponde a un retraso constante normalizando s por 1/τ. Los filtros Bessel son ineficientes en términos de selectividad de ganancia (o sea, cuando se usan como aproximación en magnitud). Por ejemplo, para ω = ω p la atenuación de un filtro Butterworth de cuarto orden es de 50 dB mientras que se necesita un filtro Bessel de orden 7 para conseguir la misma atenuación. Por esta razón es preferible utilizar filtros diseñados en ganancia y utilizar ecualizadores de fase. Diseño de filtros bessel.
Para ello nos ayudaremos de los datos obtenidos en las tablas y suponiendo filtros tipo Sallen - Key, siendo; n = el orden del filtro i = número del filtro parcial ai, bi = los coeficientes del filtro Ki = cociente entre la frecuencia de corte de cada filtro parcial con respecto a la frecuencia de corte del filtro total. Qi = factor de calidad de cada filtro parcial
EJEMPLO: Con los datos de la tabla anterior diseñaremos un filtro pasa bajos de orden 5 con estructura Sallen-Key.
Lógicamente consistirá como en los filtros de Butterworth en poner en cascada un filtro tipo Sallen-Key de orden uno con otros dos más de orden dos como se muestra en la figura siguiente:
H(s)= (G1/(a 1 s+1))* (G2/(a 2 s2+ b2 s +1)* (G3/(a 3 s2+ b3 s +1) De ahí manipulando correctamente y cogiendo los valores de a’s y b’s de la tabla obtenemos:
Los coeficientes serían, a1=0,6656 b1=0; a2=1,1402, b2=0,4128; a3=0,6216, b3=0,3245. Elegiremos C1=C2=C4=1nF. A continuación mostraremos como varía la magnitud vs frecuencia y fase vs frecuencia.
Implementación en Matlab.
El Matlab tiene funciones que nos implementan tanto filtros de Butterworth, Chebychev, y Bessel. Podemos probar sin problemas copiando el siguiente código y graficar la respuesta del filtro que se nos antoje. Código: [b,a] = besself(5,100000); freqs(b,a)
% % Plot frequency response
Téngase en cuenta que 5 es el orden del filtro y 100000 es la frecuencia a partir de la cual la fase de de ser lineal con la frecuencia A continuación mostramos la representación del diagrama de BODE que nos da MatLab para comprobar los resultados teóricos. Haremos estas operación para distintas W y distintos órdenes de filtros.
Ahora con orden 20 y W= 100000000. [b,a] = besself(20,100000000); freqs(b,a) % Plot frequency response
