´ ´ UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´ISIMA CONCEPCION FACULTAD DE INGENIER´ IA
´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y F´ISICA APLICADAS
PAUTA TEST 2
´ ALGEBRA (IN1001C)
1 2 Nota
Problema Problema 1. [30 puntos] puntos] Sea la funci´ on on f : Dom(f ) ⊆
R
−→
cuyo gr´afico afico es el dado. Considerando la gr´ afica determine afica determine
R, f (x)
=
x + 1 x2 − 1
(a) [5 puntos] Si f es una funci´on on par, impar o ninguna de ellas. Justifique adecuadamente. Desarrollo: La funci´on on no es par, pues no es sim´ sim´etrica etrica con respeto al eje x; tampoco es impar pues no es sim´etrica etrica con respeto al origen.
(b) [5 puntos] ¿Es f creciente?, ¿Es f decreciente?. Justifique adecuadamente. Desarrollo: f es decreciente en el conjunto ] − ∞, 1[∪]1, +∞[.
(c) [20 puntos] A puntos] A partir de las siguiente restricci´ on on f :] − ∞, 1[−→
R, f (x)
=
x + 1 x2 − 1
¿f posee pos ee inversa?, en caso afirmativo, afirmat ivo, def´ınala. ınala. Desarrollo: La restricci´on on es inye inyecti ctiv va, pero no es sobrey sobreyect ectiv iva, a, pues pues el codomini codominioo no es igual igual al 1 recorrido. Rec(f ) =] − ∞, 0] − {− 2 }.
Problema Problema 2. [30 puntos] puntos]
(a) [12 puntos] Asocie puntos] Asocie a cada gr´afica afica de f 1 , f 2 , f 3 la funci´on on que la represente: i. y = 0.5 + 2 x
ii. y = e
iii. y = ln l n(x − 1) + 2
x
Desarrollo: i. f 1 (x) = e
ii. f 2 (x) = ln l n(x − 1) + 2
x
iii. f 3 (x) = 0.5 + 2 x
(b) [6 puntos] ¿cu´ puntos] ¿cu´ al al es el dominio de f 1 , f 2 , f 3 ? Desarrollo: Dom(f 1 ) = R Dom(f 2 ) =]1, +∞[ Dom(f 3 ) = R puntos] ¿cu´ (c) [6 puntos] ¿cu´ al al es el recorrido de f 1 , f 2 , f 3 ? Desarrollo: Rec(f 1 ) =]0, +∞[ Rec(f 2 ) = R Rec(f 3 ) =]2, +∞[. aficas dadas” sean crecientes (d) [3 puntos]¿cu´ puntos]¿cu´ al al es la condici´ on on para que las “funciones de las gr´ o decrecientes? Desarrollo:
i. f 1 (x) = e es creciente, pues e > 1 ii. f 2 (x) = ln l n(x − 1) + 2 es 2 es creciente pues e > 1. 1 . iii. f 3 (x) = 0.5 + 2 es decreciente, pues 0 pues 0 < 0 .5 < 1. 1 . x
x
(e) [3 puntos]¿cu´ puntos]¿cu´ al al es la intersecci´ on on de cada gr´ afica afica con los ejes? Desarrollo: i. f 1 (x) = e corta al eje y en y = 1 y no corta al eje y . ii. f 2 (x) = ln l n(x − 1) + 2 corta 2 corta al eje x en x = 1 y no corta al eje y . iii. f 3 (x) = 0.5 + 2 corta al eje y en y = 3 y no corta al eje x. x
x
rsm/mg/rr/mt/eo/mg/me/eo/mc/rm/jr/mf/am
Martes 8 de Mayo de 2012
