ECUACION Y FUNCIONES DE BESSEL ECUACIONES DIFERENCIALES
WILLIAM ANDRES MOLINA PERDOMO 1075233529
PROFESOR: NORMA MERCADO
3 DE OCTUBRE DE 2009
UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE MECANICA MEDELLIN - ANTIOQUIA 2009
TABLA DE CONTENIDO 1. 2. 3. 4. 5.
Reseña Histórica. Solución de la ecuación de Bessel, Funciones de Bessel y Propiedades Una aplicación concreta de las funciones de Bessel. Conclusiones Bibliografía
1. RESEÑA HISTÓRICA Bessel, Friedrich Wilhelm (1784 - 1846).
Nació el 22 de julio de 1784 en Minden, Westphalia (ahora Alemania). Desde joven y durante su trabajo en Bremen comenzó a interesarse por la geografía y navegación considerando el problema de la ubicación de los barcos en el mar. Estos interrogantes lo llevaron a estudiar astronomía, matemáticas y realizar observaciones para determinar la longitud geográfica. En 1804 Bessel escribió un trabajo sobre el cálculo de la órbita del cometa Halley y lo envió a Heinrich Olbers, quien en ese momento era la persona más experta en cometas, este trabajo impresionó a Olbers quien lo publicó y recomendó a Bessel convertirse en astrónomo profesional. En 1806 comenzó a trabajar en el observatorio Lilienthal cerca a Bremen. En este sitio adquirió gran experiencia en la observación planetaria especialmente de Saturno, sus anillos y satélites. En 1809, a la edad de 26 años se posesionó como director del Nuevo Observatorio Königsberg de Prusia y como profesor de astronomía. Previamente había recibido el doctorado en astronomía de la universidad de Göttingen por recomendación de Gauss. Durante esta época recibió el premio Lalande del instituto de Francia por sus investigaciones sobre refracción y fue elegido miembro de la academia de Berlín pero declinando su postulación como director del observatorio de esta ciudad. Fue en este observatorio en donde Bessel emprendió el trabajo de determinar la posición y el movimiento de mas de 50.000 estrellas lo cual lo llevó a la determinación de la paralaje de la estrella 61 Cygn Cygn i, el primero de la historia y calculó su distancia en 10,3 años luz. Bessel utilizó los datos de Bradley para crear un sistema de referencia de la posición de las estrellas y planetas, dedujo los errores dados por la refracción atmosférica de la luz, la presesión de la tierra y otros efectos.
En 1830 calculó la posición media y aparente de 38 estrellas para un periodo de 100 años. En 1841 anunció que Sirio tenia una estrella compañera lo que se confirmó diez años mas tarde al calcularse la órbita de Siruio B esta estrella fue observada en 1862 por Alvan Alvan Graham Clark. Señaló las irregularidades en el movimiento de Urano lo que abrió las puertas al descubrimiento de Neptuno. Neptuno. En 1817 introdujo las funcion es de Bessel o funciones cilíndricas, que utilizó en la mecánica gravitatoria, pero que se aplican en otros campos como la propagación de ondas electromagnéticas y de calor. Las funciones de Bessel aparecen como coeficientes en las series de expansión de la perturbación indirecta de un planeta causada por el movimiento del Sol. Murió el 17 de Marzo de 1846 en Königsberg, Prusia.
2. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE BESSEL, FUNCIONES DE BESSEL PROPIEDADES
Y
FUNCIONES DE BESSEL. LA FUNCIÓN GAMMA La ecuación diferencial
0 ´´
´
(1)
donde p es una constante no negativa, se llama la ecuación ecuación d e Bessel , y sus soluciones funcion es de Bessel. Bessel . Estas funciones aparecieron por primera vez en las investigaciones de Daniel Bernoulli sobre las oscilaciones de la cadena colgante y de nuevo en la teoría de Euler de las vibraciones de una membrana circular y en los estudios de Bessel acerca del movimiento de los planetas. Más recientemente, las funciones de Bessel han encontrado aplicaciones diversas en física e ingeniería en relación con propagación de ondas, elasticidad, movimiento de fluidos y especialmente en la teoría del potencial y en la teoría de la difusión con simetría cilíndrica. Aparecen incluso en algunos problemas interesantes de matemática pura, pero antes es preciso definir las funciones de Bessel mas importantes y obtener algunas de sus propiedades más sencilla.
La definición de la función J p(x). Comenzamos nuestro estudio de las soluciones de (1) observando que tras dividir por x 2 los coeficientes de y’ e y son P(x) = 1/x y Q(x) = (x2-p2)/x2, luego xP(x)=1 y x 2Q(x) = -p 2+x2. Así pues, el origen es un punto singular regular, la ecuación indicial 30-(5) es m 2-p2=0 y los exponentes son m 1=p y m 2=-p. del teorema 30-A se desprende que (1) admite una solución de la forma
∑ ∑ +
(2)
∑ +− 1 +−
Donde a0 ≠ 0 y la serie de potencias solución, escribimos
converge para todo x. con el fin de hallar tal
′
e
Estas formulas nos permiten expresar los términos de la izquierda en la ecuación (1) como
∑1 + + −+ ,
+ Sumando esas series e igualando a cero el coeficiente de x n+p se obtiene, después de simplificar, la siguiente formula de recurrencia para los a n:
2 − 0 3 2 − 4 2
O sea,
Sabemos que a 0 es no nulo y, por lo demás, arbitrario. Como a -1 = 0, (4) nos dice que a1 = 0; y aplicando repetidas veces (4) se deduce que a n = 0 para todo n impar. Los coeficientes no nulos de nuestra solución (2) son, por consiguiente,
+ a, + 424 2.42224 626 2.4.6222426 , …,…, 1 2 1 22! 1 2 23! 1 2 3 ⋯ =11 2!! 1 … 5
y la solución es
∞
La función de Besel de primera clase de orden p , denotada J p(x), se define poniendo a0=1/2p p! en (5), de modo que
+ Jpx 2! =1 2! 1 … =1 ! 2 ! 6 1 Jx =1 ! 2 1 2 24 246 ⋯ 7 + 1 1 1 Jx =11 !! 1! 2 2 1!2! 2 2!3! 2 ⋯ 8 ∞
∞
Las funciones de Bessel más útiles son las de orden 0 y las de orden 1, que son
Sus gráficas, que se muestran en la figura 1, revelan varias propiedades interesantes de las funciones J 0(x) y J1(x): cada una de ellas tiene oscilación amortiguada, lo que produce un número infinito de ceros; además, estos ceros ocurren alternadamente, recordando a las funciones seno y coseno, esta analogía se refuerza por la relación J’0(x)= -J1(x).
Figura 1.
Jp(x), tal como la define (6), carece de sentido a menos que el número real y no negativo p sea entero, ya que solo en tal caso tiene sentido el factor (p+n)! en los denominadores, veamos cómo superar esta dificultad.
! 0,1,2 … − − Γ , > 0 9
La función gamma. El objetivo de esta disgresión es asignar un significado razonable
Γ
y útil a p! y mas en general cuando el número real no negativo p no es un entero. Lo lograremos introduciendo la función gamma definida por
−
El factor 0 tan rápidamente cuando t ∞ que esta integral impropia converge en el extremo superior, independientemente del valor de p. sin embargo, en el extremo inferior se tiene 1, y el factor t p-1 ∞ siempre que p<1. La restricción a p positivos es necesaria para garantizar la convergencia en el extremo inferior.
−
Es fácil ver que
Γ 1 Γ 10 − − − − Γ 1 lim→ lim→ Γ0 ∫ l→im −−
Ya que integrando por partes se obtiene
Ya que
0 cuando b
∞, usando el hecho de que
Γ1 − 1
11 Γ2 1Γ1 1, Γ3 2Γ2 2.1, Γ4 3Γ3 3.2.1, Γ 1 ! 12
Entonces (10) da
y en general
para cualquier entero n ≥ 0.
Empezábamos la presentación de la función gamma bajo la hipótesis de que p es no negativo y hemos mencionado al final que la integral (9) no existe si p = 0. No obstante podemos definir para muchos valores negativos de p sin recurrir a esa integral si escribimos (10) en la forma
Γp
Γ Γ 1
13
Esta extensión de la definición es necesaria en las aplicaciones y comienza así: Si -1
Γ
Γ 1
l→im Γ l→im Γp 1 ±∞,
Γ
Según que p 0 por la derecha o por la izquierda. La función se comporta de manera análoga cerca de todos los enteros negativos, y su grafica ofrece el aspecto que muestra la Figura 2.
Figura 2.
Necesitamos asimismo el hecho curioso de que
Γ 12 √
Γ
14 1/Γ1/Γ 0 ! !Γ1 ≥ 0 1/ !
Esto se indica en la figura pero su demostración no la incluiremos en esta monografía. Como nunca se hace cero, la función estará definida y se comportara bien para todos los valores de p si convenimos que para p = 0, -1,-2 ,… Estas ideas nos permiten definir
mediante mediante
!!
Para todo valor de , excepto los enteros negativos, y por la fórmula (12) esta función tiene su significado habitual cuando es un entero no negativo. Su recíproca, 1/ , está definida para todo , y toma valor 0 siempre que es un entero negativo.
1/Γ1
La función gamma es una función extremadamente importante por derecho propio. Ahora bien, nuestro único propósito al introducirla introducirla aquí es garantizar garantizar que la función , definida por (6), tenga sentido para todo . Queremos advertir que hemos logrado más que eso: como ha adquirido significado para todo , (6) define una función de x perfectamente respetable para todo valor de , sin excepción alguna.
La solución general de la ecuación de Bessel. Nos encontramos en la siguiente
2
posición: hemos hallado una solución particular de (1) correspondiente al exponente , a saber, : con el fin de hallar la solución general, nos falta construir una segunda solución independiente, o sea, que no sea múltiplo constante de . Una tal solución se llama una función de Bessel de segunda clase. Parece natural ensayar con el otro exponente, . Pero al hacerlo esperamos encontrar dificultades siempre que la diferencia sea cero o un entero positivo, esto es, siempre que la contante no negativa sea un entero o semientero. Resulta que las dificultades esperadas son graves sólo en el primer caso.
–
Por consiguiente, comenzamos suponiendo que no es entero. En tal caso, sustituimos por en nuestro tratamiento previo, y es fácil convencerse de que la discusión sigue en pie casi sin modificaciones. La única excepción es que (3) se convierte en
2 2 − 0 1/2 1 0 0 ⋯0 /2− −− 1 15 ! ! = 1! 2− 0 − − 0 −− 16 ≥ 0 /2− /2− −− 1 1 ! ! = = ! ! ;
y si , entonces, haciendo , vemos que no es obligado tomar . Sin embargo, como lo que queremos es una solución particular, es ciertamente admisible tomar . El mismo problema aparece cuando p = 3/2 y n = 3, etcétera, y los resolvemos tomando en todos los casos. Todo lo demás funciona como antes, y obtenemos una segunda solución
El primer término de esta serie es
de modo que es no acotada cerca de , estas dos soluciones son independientes e
. Como
es acotada cerca de
es la solución general de (1).
La solución es completamente distinta cuando ahora
es un entero
. La fórmula (15) es
1/ ! 0 1 0 −− ∑= 11+ /+!! 1 ∑= 1 !/+! 11 −− −−
Ya que los factores variable muda por , obtenemos
Esto demuestra que
son son cero cuando . Reemplazando la , 1, … y haciendo, en compensación, que la suma comience en
no es independiente de
.
, así que en este caso
no es la solución general de (1) y la búsqueda debe continuar.
Es en este momento cuando la historia se complica y nos limitamos a esbozarla. Una posible salida consiste en usar el método de la Sección 16 de [1], que lleva fácilmente a
≠ 0 − − cos sen
como segunda solución independiente de . Es costumbre, pese a ello, proceder de manera algo distinta, como sigue. Cuando no es un entero, cualquiera función de la forma (16) con es una función de Bessel de segunda clase, incluida la propia . La función de Bessel de segunda clase se define como
−−
17
Esta elección, excéntrica a primera vista, tiene sus buenas razones, como vamos a ver. Antes, sin embargo, se debe observar observar que (16) se puede escribir en la forma equivalente
, 18 lim→ 19 20
Todavía nos queda el problema de qué hacer cuando es un entero , porque (17) no tiene sentido en ese caso. Un cuidadoso análisis lleva a la conclusión de que la función definida por
existe y es una función de Bessel de segunda clase; y se sigue que
es la solución general de la ecuación de Bessel en todos los casos, sea entero o no. La gráfica de corresponde a la curva de trazo discontinuo en la Figura 1. Esa gráfica ilustra el hecho importante de que para todo , la función es no acotada cerca del origen. Por consiguiente, si estamos interesados tan sólo en soluciones de la ecuación de Bessel que sean acotadas cerca de , como sucede con frecuencia en las aplicaciones, debemos hacer en (20).
≥ 0 0 0
Vamos ya con la prometida explicación de la sorprendente elección (17). Ya hemos comentado que existen varias maneras de definir las funciones de Bessel de segunda clase. Las definiciones (17) y (19) son particularmente convenientes, por dos razones. En primer lugar, la forma de (17) hace que sea muy fácil probar la existencia del límite (19). Y, además, estas definiciones implican que el comportamiento de , para grandes valores de x, se adapta bien al de . Para entender qué queremos decir
0 1 14 21 4 cos sen 1√ √ 1
con esto, recordemos que el cambio de variable de Bessel (1) en
0
transforma la ecuación
Cuando es muy grande, (21) se aproxima a la ecuación diferencial familiar , que tiene soluciones independientes y . Por tanto, esperamos que, para grandes , cualquier función de Bessel comporte como alguna combinación lineal de
Esta esperanza viene corroborada por el hecho de que
e
donde
= − − + 2 4 2 → ∞ y
están acotadas al hacer
se
PROPIEDADES DE LAS LAS FUNCIONES DE BESSEL La función de Bessel
/2+ 1 = ! !
1
se ha definido para todo número real
como
En esta sección analizaremos varias propiedades de estas funciones que son útiles en sus aplicaciones.
+ +⁄ [ ] −− 2 [− ]− ++ 3 [ ] 2+1!!+ ! 2+−1!!+− 1 1 ! = = +− =1 ! 21! −− ∓ ′ −− 4 ++ 5 2 −− ++ 6 2 −− ++ 7
Identidades y las funciones
Y
. Vamos a empezar considerando las fórmulas
Para llegar a (2) basta multiplicar la serie (1) por
y derivar:
La verificación de (3) es análoga; Si se efectúan las derivaciones en (2) y (3) y se dividen los resultados por , las fórmulas se convierten en
Y
Si (4) y (5) se suman y se restan, queda:
Y
Estas formulas hacen posible expresar las funciones de Bessel y sus derivadas en términos de otras funciones de Bessel. Una aplicación interesante de (7) tiene su origen en las formulas:
// 2 sin −/−/ 2 cos // 1 // −/−/ 2 sin cos // 34 // −/−/ 2 3sin 3 coscos sin −/−/ 1 −/−/ // 2 cos sin −/−/ 3 −/−/ −/−/ 2 3cos 3 sisin cos
Se sigue ahora de (7) que:
Y
Además,
Y
Es obvio que los cálculos de esta índole se pueden continuar infinitamente y, en consecuencia, toda función de Bessel J m+1/2 (x) (con m entero) es elemental. Liouville probó que estos son los únicos casos en que J p(x) es elemental. Otra aplicación de (7) se recoge al final del apéndice C, donde mostramos como proporciona la fracción continua de Lambert para la función tangente. Esta fracción continua encierra un enorme valor histórico, ya que llevó a la primera demostración del carácter irracional de π. Escritas en la forma:
−− 8 − ++ 9 Las formulas (2) y (3) sirven para integrar muchas expresiones sencillas que involucran a las funciones de Bessel. Así, por ejemplo, cuando p = 1, (8) da:
10 En el caso de integrales más complicadas, donde el exponente no se ajuste al orden de la función de Bessel como lo hace en (8) y (9), suele ser preciso recurrir a integración por partes.
Ceros y series de Bessel. Se sigue que para todo valor de p la función Jp(x) tiene infinitos ceros positivos. Eso es cierto, en particular, para Jo(x). Los ceros de esta función se conocen con mucha precisión y sus valores están tabulados en muchos libros de tablas matemáticas. Los primeros cinco son aproximadamente 2.4048, 5.5201, 8.6537, 11,7915 y 14.9309; sus distancias sucesivas son 3.1153, 3.1336, 3.1378 y 3.1394. Los correspondientes ceros positivos y diferencias para J 1(x) son 3.8317, 7.0156, 10.1735, 13.3237 y 16.4706; y 3.1839, 3.1579, .1502 y 3.1469. ¿A qué viene tanto interés en los ceros de Jp(x)? A menudo es necesario en física matemática desarrollar una función dada en términos de funciones de Bessel, dependiendo del tipo de desarrollo del problema entre manos. Los desarrollos más simples y más útiles de este tipo son las series de la forma:
= ⋯
11
Donde f(x) está definida sobre el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 y los λ n son los ceros positivos de alguna función de Bessel fija Jp(x) con p ≥ 0. Hemos elegido el intervalo 0 ≤ x ≤ 1 por una simple cuestión de comodidad. Pero todas las formulas que vayamos escribiendo se pueden adaptar, por un simple cambio de variable, a int ervalos de la forma 0 ≤ x ≤ a. El cometido de tales desarrollos en la física es similar que el de las series de Legendre, ilustrado en el apéndice A, donde consideramos un problema de temperaturas sobre una esfera. En el apéndice B enseñamos como se usa (1) para resolver la ecuación de ondas en dos dimensiones para una membrana circular vibrante. A la luz de nuestra expericne4ica expericne4ica previa con las series de Legendre, Legendre, esperamos que la determinación de los coeficientes de (1) se base en ciertas propiedades integrales de las funciones . Lo que necesitamos aquí es el hecho de que:
{01 ≠ 12 2 ++
Estas formulas dicen que las funciones son ortogonales con respecto a la función peso x sobre el intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Las demostraciones al final de esta sección, pero antes vamos a poner de manifiesto su utilidad.
Supuesto que sea factible un desarrollo del tipo (11), multiplicando por integrando formalmente término a término de 0 a 1 y usando (12) se llega a:
2 ++ 2 ++ 13
,
Y sustituyendo m por n se obtiene la siguiente fórmula para a n:
La serie (11), con sus coeficientes calculados mediantes (13), se llama la serie de Bessel (o a veces serie de Fourier-Bessel) de la función f(x). Como de costumbre, enunciamos sin demostración un teorema de cierta envergadura que da condiciones bajo las cuales la serie converge realmente con suma f(x).
Teorema A. (Teorema del desarrollo de Bessel) Supongamos que f(x) y f ’(x) tiene a lo sumo un numero finito de discontinuidades con salto en el intervalo 0 ≤ x ≤ 1. Si 0 < x < 1, entonces la serie de Bessel (11) converge a f(x) cuando x es un punto de continuidad de esta función, y a cuando x es punto de discontinuidad. cuando
1/21/2
Es natural preguntarse que ocurre en los extremos del intervalo. En x = 1 la serie converge a cero independiente de la naturaleza de la función, porque todo es cero. La serie converge a cero también en x = 0, si p > 0 y a f(+0) si p = 0.
2 1 1 0 2 2 1= 0≤x<1
Como ilustración, vamos a calcular la serie de Bessel de la función f(x) = 1 en el , donde se sobrentiende que los intervalo 0 ≤ x ≤ 1 en términos de las funciones . En este caso (13) es: λn son los ceros positivos de
Por (10) vemos que
Luego
De donde se sigue que
es la deseada serie de Bessel.
Demostración de las propiedades de ortogonalidad. Para establecer (12), nótese que y = Jp(x) es solución de de
1 1 0
1 0 14 1 0 15 1 1 16 0 1 [ ] 0 1 1 0 17 2 Si a y b son constantes positivas distintas, las funciones satisfacen las ecuaciones:
y
Y
′′
′
Ahora multipliquemos multipliquemos estas ecuaciones ecuaciones respectivamente respectivamente por resultados y obtenemos ′
′
′
, restamos los
′
Y tras multiplicar por x, eso nos dice que ′
Integrando (16) desde
′
hasta
′
′
resulta
′
′
La expresión entre corchetes se anula claramente en , y en el otro extremo del intervalo tenemos y . Por consiguiente, la integral de la izquierda es cero si y son ceros distintos positivos y de ; es decir, tenemos
que es la primera parte de (12).
Finalmente, vamos a calcular la integral en (17) cuando ′ , se convierte en
= . Si (14) se multiplica por
2 2 2 2 0 2 0 0 1 2 ∫ [ ] 18 0 1 1 1 1 1 2 2 1 1 ++ 2 2 ′ ′′
O sea,
′
′
′
,
′
Así que integrando entre
y
se obtiene ′
Cuando dice que
, la expresión entre corchetes se anula, y como
′
, (18) nos
′
Ahora ponemos ponemos
y obtenemos
′
Donde el último paso utiliza (5). La demostración de (12) está determinada.
PROPIEDADES ADICIONALES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL Desgraciadamente, una justificación completa exigiría varios teoremas de cálculo avanzado, lo cual no resta interés al conocimiento de los resultados.
J x −⁄ Jx Jxt 1t−− 1 ⁄− = −− 1 − 2 =−
La función generatriz. Las funciones de Bessel
de orden entero están ligadas
entre si por:
Como
, eso se suele escribir en la forma
Para demostrar (1) multipliquemos formalmente las dos series:
∑= !!
y
− ∑= −! −
(3)
El resultado es lo que se llama una serie doble, cuyos términos son todos los posibles productos de un término de la primera serie por uno de la segundo. El hecho de que cada una de las series implicadas sea absolutamente convergente, permite concluir que esa serie doble converge a la suma apropiada con independencia del orden de sus términos. Para cada entero fijado n ≥ 0, obtenemos un términ o de la serie doble que contiene la potencia t n justamente cuando j = n + k; y teniendo en cuenta todos los posibles valores de k, el coeficiente total de t n es:
1 + 1 2+ = ! 2+ ! 2 =1 ! !
Analógicamente, Analógicamente, un término con t -n (n≥1) aparece precisamente cuando k = n + j, de manera que el coeficiente total de t -n es:
1 1+ + 2+ = ! 2 ! 2+ 1 =1 ! ! 1
Y la demostración de (1) está terminada.
Una consecuencia simple de (2) es la fórmula de suma
=− −− 4 −− + − =−
Para probarla, notemos en primer lugar que
Ahora bien, bien, el producto producto de las dos exponencia exponenciales les de la izquierda izquierda es también también
=− − − =− =− =−
Y (4) se deduce inmediatamente al igualar los coeficientes de t n en esas expresiones. Cuando n = 0, (4) se escribe
=− −− = −− = −− =11 =12
O sea
2 2 ⋯ 5 1 2 2 … 6 | | ≤ 1 | | ≤ √ 2− =− 7 cos cos cos cos cos x sen θ =− cos 8
Si sustituimos y por –x usamos el hecho de que J n(x) es par o impar según lo sea n, la (5) produce una identidad notable:
de la que se deduce que
y
para n = 1, 2,…
Formula integral de Bessel. Cuando
, el exponente del miembro de la izquierda
en (2) para a ser:
Y (2) se convierte en
Como partes real e imaginaria en (7) vemos que
y
y
, igualando las
sen x sen θ =− sen 9 ,cos cos 1 − − cos x sen θ 2 cos2 10 = sen x sen θ 2 = −− sen21 11 Si
ahora
utilizamos las relaciones , entonces (8) y (9) se convierten en
y
Y
0 1 2 2… cos 2 2… sen2 2 2…
Nótese, como caso particular de (10), que
Además, poniendo poniendo
Y
proporciona la interesante serie:
en (10) y (11) obtenemos las formulas:
que corroboran los estrechos lazos existentes entre las funciones de Bessel y las funciones trigonométricas. La aplicación más importante de (8) y (9) es la demostración de la formula integral de Bessel
1 cos cos cos coscos =− cos cos 0
En efecto, si multiplicamos (8) por
, (9) por
y sumamos
Integrando ambos lados de a , el de la derecha se reduce a , y sustituyendo m por n llega a la formula (12). En sus trabajos sobre astronomía, Bessel
encontró que las funciones muchas de sus propiedades.
++
en esta versión integral y partiendo de essa obtuvo
Algunas fracciones continuas.
Si escribimos la identidad
−− 2 ++ −− 2 22 1 1 24 ⋯
como
−−
dividiendo por Jp(x) se obtiene
−−/
Se trata de un desarrollo en fracción continua infinita del cociente . No vamos a investigar la teoría de tales desarrollos aquí. Sin embargo, puede ser interesante llamar la atención sobre el hecho de que cuando p = ½ se sigue del problema 46-5 que
// cot
así que:
tan
1 1 3 1 1 5 ⋯)
Esta fracción continua fue descubierta en 1761 por Lambert, quien la utilizo para demostrar que π no es racional. Razono así: si x es un numero racional no nulo, la forma de seta fracción continua implica que tan x no puede ser racional; pero , de modo que ni ni son racionales. Algunas pequeñas lagunas en el argumento de Lambert fueron cubiertas por Legendre unos 30 años mas tarde.
1
/4
tan/4
Las funciones de Bessel de primera especia presentan algunas propiedades interesantes, entre las que cabe mencionar, resumimos las siguientes: 1. 2. 3.
[ ] −− [− ] − ++ −−
4. 5. 6.
++ 2 −− ++ ++ −−
3. UNA APLICACIÓN APLICACIÓN CONCRETA DE LAS FUNCIONES DE BESSEL FUNCIONES DE BESSEL Y MENBRABAS VIBRANTES Una de las aplicaciones físicas más sencillas de las funciones de Bessel se da con la teoría de Euler de las vibraciones de una membrana circular. En este contexto se entiende por membrana una fina lámina uniforme de material flexible en un estado de tensión uniforme y sujeta a lo largo de una cierta curva cerrada del plano Cuando Cuando tal membrana se desplaza ligeramente de su posición de equilibrio y se suelta, las fuerzas de recuperación que la deformación produce la hacen vibrar. Nuestro problema consiste en analizar este movimiento vibratorio.
.
La ecuación del movimiento. Haremos varias hipótesis de simplificación que nos permitan formular una ecuación en derivadas parciales, y confiamos en que esa ecuación describa el movimiento con una precisión razonable. Estas hipótesis se resumen en una sola afirmación: sólo consideramos pequeñas oscilaciones de una membrana vibrante libre. Las varias formas en que usaremos esta hipótesis aparecerán por el camino.
,,. : : ,,, ∆, , ∆, ∆ ∆ ∆ ∆,, ∆ ∆ ∆ ∆ 1
En primer lugar, supongamos que las vibraciones son tan pequeñas que cada punto de la membrana se mueve sólo en la dirección , con desplazamiento dado en el instante por una función Consideremos un pequeño fragmento de la membrana (Fig. 3) limitado por planos verticales que pasan por los siguientes puntos del plano y . Si es la masa por unidad de area, la masa de ese fragmento será y por la segunda ley de Newton vemos que y
Es la fuerza que actúa sobre él en la dirección
.
Figure 3.
∆
Cuando la membrana está en la posición de equilibrio, la tensión constante tienen el siguiente significado físico: A lo largo de cualquier segmento de longitud , el material a un lado ejerce una fuerza normal al segmento y de magnitud , sobre el material del otro lado. En este caso las fuerzas sobre aristas opuestas de nuestro pequeño
∆
fragmento son paralelas al plano y se cancelan entre sí. Cuando la membrana está curvada, como en la posición instantánea del movimiento que muestra la figura 3, suponemos que la deformación es tan pequeña que la tensión es todavía pero ahora actúa paralelamente al plano tangente, por lo que presenta una componente vertical apreciable. Es la curvatura de nuestro trozo de membrana la que produce magnitudes diferentes para esas componentes verticales sobre aristas opuestas, y es a la vez responsable de las fuerzas de recuperación que darán lugar al movimiento. Analizamos estas fuerzas fuerzas suponiendo que el fragmento de membrana denotado está sólo ligeramente curvado. Eso hace posible sustituir los senos de ciertos ángulos pequeños por sus tangentes en lo que sigue. A lo largo de las aristas y , las fuerzas son perpendiculares al eje y casi paralelas al eje , con pequeñas componentes aproximadamente iguales a
∆∆ +∆ ∆∆ ∆∆ +∆ ∆ ,,. ∆+∆ ∆ +∆ +∆∆ +∆∆ ∆→0 ∆→0 2 y
de modo que su suma viene a ser
,
Los subíndices en esas derivadas parciales indican sus valores en los puntos y Haciendo lo mismo en las aristas Haciendo y , hallamos que la fuerza total en la dirección (despreciando todas las fueras externas) es aproximadamente
así que (1) se puede expresar en la forma
Si ahora denotamos
y hacemos
e
, eso nos lleva a
que es la ecuación de ondas bidimensional. Tal vez los estudiantes se sientan algo escépticos ante los argumentos conducentes a (2). Si es así, sepan que no están solos en tal inquietud, por que la cuestión de qué cabe admitir como una deducción satisfactoria de la ecuación diferencial que describe
un fenómeno físico nunca es sencilla, y en el caso de la ecuación de ondas, una discusión más detallada no nos llevaría a ninguna parte, ya que la membrana es, al fin y a la postre, atómica y no continua. Tal vez la actitud más sensata sea aceptar nuestra exposición como un argumento de plausibilidad que sugiere la ecuación de ondas como modelo matemático. Podemos adoptar esta ecuación como un axioma de la mecánica racional que describe una “membrana ideal” cuyo comportamiento matemático puede ajustarse o no al de las membranas reales [13].
La membrana circular . Ahora nos especializamos al caso de una membrana circular, en la que es lógico usar coordenadas polares con el origen en su centro. En estas circunstancias la ecuación de ondas toma la forma:
,Ѳ, 0
1 1 Ѳ
3
Donde es una función de las coordenadas polares y del tiempo. Por conveniencia, suponemos que la membrana tiene radio 1, de modo que en su posición de equilibrio se ajusta al círculo r = 1. De acuerdo con esto, nuestra condición de contorno es:
1,Ѳ, 0 4
Hemos de hallar una solución de (3) que satisfaga esa condición de contorno y ciertas condiciones iniciales que concretaremos más adelante. Al aplicar el método de separación separación de variables, variables, empezamos empezamos por buscar soluciones soluciones particulares de la forma:
,Ѳ, Ѳ 5 1 1 ѲѲ 1 6 Ѳ
Introduciendo (5) en (3) y reordenando se llega a:
Como el miembro de la izquierda en (6) es solo función de r y , mientras que el de la derecha solo depende de t, ambos deben ser constantes. Para que la membrana vibre, ha de ser periodica; y el lado derecho de (6) muestra que para garantizar tal cosa la constante de separación tiene que ser negativa. En consecuencia, igualamos cada lado de (6) a – λ2 con λ > 0, y obtenemos con ellos las dos ecuaciones:
Y
λ 0 7
1 1 ѲѲ λ 8 Es claro que (7) tiene
coscos sin 9 λ ѲѲ 10
Como solución general, y (8) se puede escribir:
Ѳ
En (10) tenemos una función de r a la izquierda y una función de a la derecha, luego de nuevo ambas han de ser iguales a una constante. Recordemos ahora que el ángulo polar de un punto en el plano viene determinado modulo un múltiplo entero entre 2 π y que, por naturaleza del problema, el valor de v en cualquier punto ha de ser independiente del valor de usado para describir dicho punto. Eso exige que v sea una constante o no constante y periódica, con periodo 2 π. A la vista del lado derecho en (10) es claro que esas posibilidades quedan cubiertas escribiendo la constante de separación en la forma n 2 donde n=0, 1, 2,…, y entonces (10) se desdobla en:
Ѳ
Y
Ѳ
Ѳ Ѳ 0 11 λ 0 12 Ѳ coscosѲѲ sinѲѲ 13 J λr 14 1 0 J λr 0 15
Recordando que v es constante o periódica con periodo 2 π, vemos que (11) implica
para cada n, aunque (13) no es la solución general de (11) cuando n = 0. A continuación, es evidente que (12) no es sino una forma algo enmascarada de la ecuación de bessel de orden n, con una solución acotada J n (λr) y una solución independiente no acotada Y n (λr). Puesto que es necesariamente acotada cerca de r = 0, descartamos la segunda solución y escribimos:
La condición de contorno (4) se puede satisfacer ahora exigiendo que decir:
, es
J x J λr cosѲ sinѲ cos sin 16
J x
Así pues, los valores admisibles de λ son los ceros positivos de la función , y vimos que tiene una infinidad de tales ceros. Concluimos, por tanto, que las soluciones particulares (5) que este análisis proporciona son múltiplos constantes del listado infinito de funciones:
donde n= 0, 1, 2,…, y para cada n los λ correspondientes son las raíces positivas de (15).
Condiciones iniciales especiales. lo anterior pretendía mostrar como aparecen las funciones de Bessel de todo orden en la física. Enseña además el significado físico de los ceros positivos de esas funciones. Por motivos de simplicidad nos limitamos en lo que sigue a un caso especial: la membrana esta desplazada a una forma z = f(r), independiente de la variable , y entonces se suelta partiendo del reposo en el instante t = 0. Eso quiere decir que imponemos las condiciones iniciales:
Ѳ ,Ѳ,0 17 = 0 18 ,Ѳ, Ѳ J x Ѳ J λr cosλ sinλ n1, 2 , … cosλ n1, 2 , … J λrcos
El problema determinar la forma
en cualquier instante posterior t > 0.
La estrategia consiste en adaptar las soluciones particulares ya conocidas a las condiciones iniciales dadas. Para empezar, la parte (17) que dice que la forma inicial es independiente de implica que es constante, asi que (13) obliga a que n = 0. Si los ceros positivos de se denotan por λ1, λ2,…λn, esa observación reduce el listado de funciones (16) a:
A continuación, (18) implica que c 2 = 0, y eso nos deja con los múltiplos constantes de las funciones:
Hasta este momento no hemos usado el hecho de que las sumas de soluciones de (13) son también soluciones. Según esto, las soluciones formales más generales son las series infinitas:
za J λ r cos λ =
19
como último eslabón intentemos satisfacer (17) poniendo t = 0 en (19) e igualando el resultado a f(r):
fra J λ r =
el teorema del desarrollo de Bessel garantiza que esta representación es válida siempre que f(r) se comporte suficientemente bien, si los coeficientes se definen por:
2 J λr
Con esos coeficientes, (19) es una solución formal de (3) que cumple las condiciones de contorno e iniciales dadas. Esto concluye nuestra discusión.
4. CONCLUCIONES
Las funciones de de Bessel han encontrado aplicaciones diversas en física e ingeniería en relación con propagación de ondas, elasticidad, movimiento de fluidos y especialmente en la teoría del potencial y en la teoría de la difusión con simetría cilíndrica. Aparecen incluso en algunos problemas interesantes de matemática pura.
5. BIBLIOGRAFIA [1] Simmons, George F. “Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas”. Segunda edición, McGraw-Hill, 1993.
[2] Donald L. Kreider, Robert G. Kuller, Donald R. Ostberg. “Ecuaciones diferenciales”. Fondo educativo internacional S.A., 1973. [3] Ph.D Richard Bronson, “Teoría y Problemas de Ecuaciones Diferenciales Modernas con transformadas de Laplace, Métodos Numéricos, Métodos de matrices y problemas de valor eigen”. Mc -Graw-Hill, 1976.
[4] Mercado Cruz, Norman Ce sar, “Notas para un curso de Ecuaciones Diferenciales”. Universidad de Antioquia, 2007. [5] Dennis G. Zill, “Ecuaciones Diferenciales con Aplicaciones de Modelado”. Sexta Edición. International Thomson Editores S.A., 1997.
