APLICACIONES DE DISTRIBUCIÓN NORMAL 1.- Un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de la línea de producción es auto administrativo, por esto cada supervisor requiere. un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio que se lleva completar el programa es de 500 h. y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 h. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 h. para completar el programa?. X=
tiempo medio que se lleva completar el programa en horas, X N(500,100)
por lo tanto, P(X> 500) = 0.5
Sol: 0,5
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome entre 500 h. y 650 h. para completar el programa de entrenamiento?. P( 500 < X < 650) = P(0
650 − 500 ) = P( Z< 1.5 ) – P(Z 0 ) = 0.9332 – 0.5000 100 Sol: 0,4332
c) ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar tomará menos de 580 h. para completar el programa? P( X < 580) = P( Z <
580 − 500 ) = P(Z < 0.8) 100
Sol; 0,7881
d) El director del programa desea saber qué proporción de participantes requiere entre 550 y 650 h. para completar el programa. ¿Qué responde Ud? P( 550 < X < 650) = P( 0.6915
550 − 500 650 − 500
2.- La cantidad real de café express que vierte una máquina en tazas de 4 onzas se puede considerar como una variable aleatoria con distribución normal de = 0.04 onzas. a) Si sólo el 2% de las tazas contiene menos de 4 onzas de café. ¿Cuál es el contenido medio de estas tazas? X=
llenado medio de café por taza, en onzas, X N(, 0.04)
P( X < 4.00) = P( Z < es -2.88, por lo que
4.00 − µ ) = 0.02 == > el percentil 2 de la distribución normal estándar 0.04 4.00 − µ = -2.88 . Se despeja = contenido medio.Sol: = 4,082 onzs. 0.04
b) El jefe de local considera que se está regalando café, decide ajustar la máquina para que el 10.03% de las tazas tenga menos de 4 onzas. ¿Qué valor de la media le indica Ud como el adecuado?
4.00 − µ ) = 0.1003 == > el percentil 10.03 de la distribución normal 0.04 4.00 − µ estándar es -1.28, por lo que = -1.28 . Se despeja = contenido medio adecuado 0.04 para el ajuste requerido. Sol: = 4,0512 onzas P( X < 4.00) = P( Z <
3.- Un estudio reciente reveló que el 64% de las mujeres mayores de 18 años, consideran a la nutrición la prioridad en su vida. Se seleccionó una muestra de 60 mujeres. Determinar la probabilidad de que: a) 32 o más consideren importante la dieta diaria. X = Número de mujeres que considera importante la nutrición en una muestra de 60 mujeres.. X B (60; 0.64) Siendo n > 50 y np > 5, la distribución de probabilidad de X se puede aproximar a una normal Y N(np, np(1-p)) = N(38.4, 13.824) P(X 32) = P( X 32 ) = 1 – P( X < 32) = 1 - P(Y 32 -0.5) = 1 – P(Y 31.5) (31.5) − 38.4 ) = 1 – P(Z < -1.8558) 1 –P(Z < -1.86) = 1 – 0.0314 3.718 .Sol: 0,9686
< 1 – P(Z <
b) Más de 32 pero menos de 43 consideren importante el aspecto dietético. P( 32 < X < 43) = P( X < 43) – P ( X 32) = P( Y < 43 – 0.5) – P (Y 32 + 0.5) = P( Z <
(42.5) − 38.4 (32.5) − 38.4 ) - P( Z )= 3.718 3.718
P( Z < 1.1027) – P(Z < -1.5869) = 0.8643 – 0.0559
Sol: 0,8084
c) Exactamente 44 consideren fundamental la alimentación. P( X = 44) = P(Y 44.5) – P(Y < 43.5) = P( Z <
(44.5) − 38.4 (43.5) − 38.4 ) - P( Z )= 3.718 3.718
P( Z < 1.6406) – P(Z < -1.3717) = 0.9495 – 0.9147
Sol: 0.0348
4.- El gasto mensual en alimentación para familias de cuatro personas en una comuna grande es en promedio de $420 con una desviación estándar de $80 (en miles). Si los gastos mensuales en alimentación siguen una distribución normal: a) ¿Qué porcentaje de familias gasta menos de $350 miles? X = gasto mensual en alimentación ( en miles de $) Proporción de familias con gasto inferior a $350 miles = P( X < 350) = P(Z <
(350) − 420 ) = P(Z < -0.875) P(Z < -0.88) 80
Sol:18,94%
b) ¿Qué porcentaje de estos gastos es menor de $250 o mayor de $450?
P( (X <250) (X > 450)) = P( (X <250) + P( (X > 450) pues los intervalos son excluyentes entre sí. P( (X <250) = P( Z < -2.125) P( Z < -2.13) = 0.0166 P( (X > 450) = 1 - P( (X 450) P( (X 450)= P( Z 0.375) P( Z < 0.38) = 0.6480 == > P( (X > 450) = 0.352 P( (X <250) + P( (X > 450) = 0.0166 + 0.352
Sol: 36,86%
c)¿Cuál es el gasto máximo de las familias que pertenecen al 25% de familias que menos gastos realizan en alimentación.? Las familias que pertenecen al grupo del 25% que menos gasta en alimentación constituye el “Primer Cuartil”; éste representa la porción inferior al separar la distribución del gasto en 4 porciones de 25% cada una: el gasto máximo de dichas familias es el límite superior del gasto para esa porción y formalmente es X0.25. Se sabe que esto se traduce en P( X X0.25 ) = 0.25 == > P( Z
X 0.25 − 420
80 = $366,4 miles
X 0.25 − 420 80
) = 0.25
= -0.67 (seleccionando el percentil correspondiente a 0.2514). Se despeja X0.25
X 0.25 − 420
= -0.676 (interpolando para los valores 0.2514 y 0.2483). Se despeja X0.25 = 80 $365,92 miles . Este último es más exacto. 5.- En una repartición pública la compra mensual de papel para impresora es una variable aleatoria que se ha analizado durante dos años y se ha descubierto que, a pesar de las reducciones de presupuesto, la media se mantuvo en $3.000000. Si aceptamos que la compra mensual se distribuye aproximadamente normal, a) calcule la desviación estándar si la probabilidad que en un mes la compra de papel supere los $3.800000 es 0.1515. X = Gasto en papel de impresora (en mm$) X N(3, 2) 3.8 − 3.0 P( X > 3.8) = 0.1515 == > P( X 3.8) = P( Z ) = 1 – 0.1515 = 0.8485 σ Se deduce, usando la tabla de la distribución normal que
0.8 = 1.03 σ
= 0.776699. La desviación estándar es $776 699. b) después de un año el encargado de adquisiciones nota que las compras que superan los $3.800000 constituyen el 33% del total; sin embargo, la variabilidad parece no haber cambiado¿ cómo podría Ud. explicar este fenómeno? Si variabilidad no cambia == > = 0.776699. 3.8 − µ P( X > 3.8) = 0.33 == > P( X 3.8) = P( Z ) = 1 – 0.33 = 0.67 0.776699
== >
3.8 − µ = 0.44. despejando = $3.458252 se obtiene el gasto medio del ultimo año 0.776699
c) Este año el presupuesto se restringe a $4.000000 mensual ¿cuántos meses no se podrá dar curso a todos los pedidos de papel? P( X > 4) = 1 - P (X 4) 4 − 3.458252 P( X 4) = P( Z ) = P( Z 0.6975) P(Z 0.7) = 0.7580 0.776699 P( X > 4) = 0.2420 == > el 24,2% de los meses del año no se alcanza a cubrir todos los pedidos. Esto corresponde a 2.9 meses en un año. Problemas recopilados y resuleltos por la Prof. Sonia Klimpel
