DISTRIBUCION NORMAL La distribución normal es muy importante por lo siguiente: 1. Es la distribución a la que se aproximan la mayoría de los fenómenos físicos,
Químicos, Biólogicos 2. Se ha tomado como base en la inferencia estadística paramétrica
3. Otras distribuciones bajo ciertas circunstancias se pueden aproximar a la normal
la Chi cuadrada, 4. Es la base para definir otras distribuciones de importancia tales como la t de Student y F de Fisher. CARACTERISTICAS DE LA DISTRIBUCION NORMAL 1. Forma
Es una campana simétrica con respecto a su centro La curva tiene un solo pico; por tanto, es unimodal. La media de una población distribuida normalmente cae en el centro de su curva normal. Debido a la simetría de la distribución normal de probabilidad, la mediana y la moda de la distribución se encuentran también en el centro; en consecuencia, consecuencia, para una curva normal, la media, la mediana y la moda tienen el mismo valor. Los dos extremos de la distribución normal de probabilidad se extienden indefinidamente y nunca tocan el eje horizontal
2. Parámetros
Está caracterizada por dos parámetros
a).- Parámetro de localización: La media
b).- Parámetro de forma: La varianza
3. Función de densidad
Para determinar las áreas bajo la curva de función de densidad normal se requiere integrar la ecuación anterior, desafortunadamente no existe una solución exacta para la integral, por lo que su evaluación solamente puede obtenerse utilizando métodos de aproximación. Por esta razón, se aprovechó la propiedad de transformación de cualquier curva normal a la NORMAL ESTÁNDAR utilizando una nueva variable aleatoria Z llamada variable aleatoria normal estándar. Si X ~ N, ( σ2 ) entonces X puede transformarse en Z
ÁREAS BAJO LA CURVA NORMAL 2
No importa cuáles sean los valores de la µ y σ para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva es 1.00, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que: 1.Aproximadamente 68% de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de±1 desviación estándar de la media. 2.Aproximadamente 95.5 % de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviación estándar de la media. 3.Aproximadamente 99.7 % de todos los valores de una población normalmente distribuida se encuentra dentro de± 3 desviación estándar de la media.
USO DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR Áreas bajo la distribución de probabilidad Normal Estándar entre la media y valores positivos de Z
µ = 0 y σ²=1 Z
.00 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3.0 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 4.0
0.00000 0.03983 0.07926 0.11791 0.15542 0.19146 0.22575 0.25804 0.28814 0.31594 0.34134 0.36433 0.38493 0.40320 0.41924 0.43319 0.44520 0.45543 0.46407 0.47128 0.47725 0.48214 0.48610 0.48928 0.49180 0.49379 0.49534 0.49653 0.49744 0.49813 0.49865 0.49903 0.49931 0.49952 0.49966 0.49977 0.49984 0.49989 0.49993 0.49995 0.49997
.01
0.00399 0.04380 0.08317 0.12172 0.15910 0.19497 0.22907 0.26115 0.29103 0.31859 0.34375 0.36650 0.38686 0.40490 0.42073 0.43448 0.44630 0.45637 0.46485 0.47193 0.47778 0.48257 0.48645 0.48956 0.49202 0.49396 0.49547 0.49664 0.49752 0.49819 0.49869 0.49906 0.49934 0.49953 0.49968 0.49978 0.49985 0.49990 0.49993 0.49995 0.49997
.02
0.00798 0.04776 0.08706 0.12552 0.16276 0.19847 0.23237 0.26424 0.29389 0.32121 0.34614 0.36864 0.38877 0.40658 0.42220 0.43574 0.44738 0.45728 0.46562 0.47257 0.47831 0.48300 0.48679 0.48983 0.49224 0.49413 0.49560 0.49674 0.49760 0.49825 0.49874 0.49910 0.49936 0.49955 0.49969 0.49978 0.49985 0.49990 0.49993 0.49996 0.49997
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.01197 0.05172 0.09095 0.12930 0.16640 0.20194 0.23565 0.26730 0.29673 0.32381 0.34849 0.37076 0.39065 0.40824 0.42364 0.43699 0.44845 0.45818 0.46638 0.47320 0.47882 0.48341 0.48713 0.49010 0.49245 0.49430 0.49573 0.49683 0.49767 0.49831 0.49878 0.49913 0.49938 0.49957 0.49970 0.49979 0.49986 0.49990 0.49994 0.49996 0.49997
0.01595 0.05567 0.09483 0.13307 0.17003 0.20540 0.23891 0.27035 0.29955 0.32639 0.35083 0.37286 0.39251 0.40988 0.42507 0.43822 0.44950 0.45907 0.46712 0.47381 0.47932 0.48382 0.48745 0.49036 0.49266 0.49446 0.49585 0.49693 0.49774 0.49836 0.49882 0.49916 0.49940 0.49958 0.49971 0.49980 0.49986 0.49991 0.49994 0.49996 0.49997
0.01994 0.05962 0.09871 0.13683 0.17364 0.20884 0.24215 0.27337 0.30234 0.32894 0.35314 0.37493 0.39435 0.41149 0.42647 0.43943 0.45053 0.45994 0.46784 0.47441 0.47982 0.48422 0.48778 0.49061 0.49286 0.49461 0.49598 0.49702 0.49781 0.49841 0.49886 0.49918 0.49942 0.49960 0.49972 0.49981 0.49987 0.49991 0.49994 0.49996 0.49997
0.02392 0.06356 0.10257 0.14058 0.17724 0.21226 0.24537 0.27637 0.30511 0.33147 0.35543 0.37698 0.39617 0.41308 0.42785 0.44062 0.45154 0.46080 0.46856 0.47500 0.48030 0.48461 0.48809 0.49086 0.49305 0.49477 0.49609 0.49711 0.49788 0.49846 0.49889 0.49921 0.49944 0.49961 0.49973 0.49981 0.49987 0.49992 0.49994 0.49996 0.49998
0.02790 0.06749 0.10642 0.14431 0.18082 0.21566 0.24857 0.27935 0.30785 0.33398 0.35769 0.37900 0.39796 0.41466 0.42922 0.44179 0.45254 0.46164 0.46926 0.47558 0.48077 0.48500 0.48840 0.49111 0.49324 0.49492 0.49621 0.49720 0.49795 0.49851 0.49893 0.49924 0.49946 0.49962 0.49974 0.49982 0.49988 0.49992 0.49995 0.49996 0.49998
0.03188 0.07142 0.11026 0.14803 0.18439 0.21904 0.25175 0.28230 0.31057 0.33646 0.35993 0.38100 0.39973 0.41621 0.43056 0.44295 0.45352 0.46246 0.46995 0.47615 0.48124 0.48537 0.48870 0.49134 0.49343 0.49506 0.49632 0.49728 0.49801 0.49856 0.49896 0.49926 0.49948 0.49964 0.49975 0.49983 0.49988 0.49992 0.49995 0.49997 0.49998
0.03586 0.07535 0.11409 0.15173 0.18793 0.22240 0.25490 0.28524 0.31327 0.33891 0.36214 0.38298 0.40147 0.41774 0.43189 0.44408 0.45449 0.46327 0.47062 0.47670 0.48169 0.48574 0.48899 0.49158 0.49361 0.49520 0.49643 0.49736 0.49807 0.49861 0.49900 0.49929 0.49950 0.49965 0.49976 0.49983 0.49989 0.49992 0.49995 0.49997 0.49998
Observe en esta tabla la localización de la columna identificada con z. El valor de z está derivado de la formula:
X = valor de la variable aleatoria que nos preocupa = media de la distribución de la variable aleatoria µ σ = desviación estándar de la distribución Z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución Utilizamos Z en lugar del número de desviaciones estándar porque las variables aleatorias normalmente distribuidas tienen muchas unidades diferentes de medición: dólares, pulgadas, partes por millón, kilogramos, segundos. Como vamos a utilizar una tabla, la tabla I, hablamos en términos de unidades estándar (que en realidad significa desviaciones estándar), y denotamos a éstas con el símbolo z.
µ = 50 σ = 25 X -25 0 25 50 75 100 125 x− σ ----------------------------------------- Z= -3 -2 -1 0 1 2 3
La tabla representa las probabilidades o áreas bajo la curva normal calculadas desde la hasta los valores particulares de interés X. Usando la ecuación de Z, esto corresponde a las probabilidades o áreas bajo la curva normal estandarizada desde la media ( z = 0) hasta los valores transformados de interés Z. Sólo se enumeran entradas positivas de Z en la tabla, puesto que para una distribución simétrica de este tipo con una media de cero, el área que va desde la media hasta +Z (es decir, Z desviaciones estándar por encima de la media) debe ser idéntica al área que va desde la media hasta –Z (es decir, Z desviaciones estándar por debajo de la media). También podemos encontrar la tabla que indica el área bajo la curva normal estándar que corresponde a P(Z < z) para valores de z que van de –3.49 a 3.49. Al usar la tabla observamos que todos los valores Z deben registrarse con hasta dos lugares decimales. Por tanto, nuestro valor de interés particular Z se registra como +0,2 para leer el área de probabilidad bajo la curva desde la media hasta Z = +0,20, podemos recorrer hacia abajo la columna Z de la tabla hasta que ubiquemos el valor de interés Z. Así pues, nos detenemos en la fila Z = 0,2; A continuación, leemos esta fila hasta que intersecamos la columna que contiene el lugar de centésimas del valor Z. Por lo tanto, en la tabla, la probabilidad tabulada para Z = 0.20 corresponde a la intersección de la fila Z = 0,2 con la columna Z = 0,00 como se muestra. Z
.00 0.0
0.00000
.01
0.00399
.02
0.00798
.03
.04
.05
.06
.07
.08
.09
0.01197
0.01595
0.01994
0.02392
0.02790
0.03188
0.03586
0.03983 0.07926
0.1 0.2
0.04380 0.08317
0.04776 0.08706
0.05172 0.09095
0.05567 0.09483
0.05962 0.09871
0.06356 0.10257
0.06749 0.10642
0.07142 0.11026
0.07535 0.11409
PROBLEMA RESUELTO DE LA DISTRIBUCION NORMAL Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están distribuidos normalmente con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos. Solución 1. 1. Paso Establecer datos µ = 450 gramos σ = 20 gramos P(425 < X > 486) = ? 2. 2. Paso Determinar la variable aleatoria relacionada x− = Z σ
3. 3. Paso Elaborar gráfica del problema
425 450 486 Paso Cálculos 425 − 450 = = −1.25 Z 20
= Z
486 − 450 = 1.80 20
P ( 425
5. 5. Paso Conclusión la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos es de 0.8585.
1. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de 3 años con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que la duración de las piezas esta distribuida normalmente , encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 años.
Solución 1. Paso Establecer datos µ = 3.0 años σ = 0.5 años X > 3.5 años 2. Paso Determinar la variable aleatoria relacionada x− = Z σ
3. Paso Elaborar gráfica del problema
3.0 3.5 4. Paso Cálculos
= Z
3.5 − 3.0 = 1.0 0.5
P ( X > 3.5 ) = P ( Z > 1.0 ) 5. Paso Encontrar la probabilidad utilizando la tabla
P ( Z > 1.0 ) = .5 - .3413 = 0.1587 6. Paso Conclusión la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 años es de 0.1587
2. En un examen la calificación promedio fue 3.5 y la desviación estándar 0.3. Las calificaciones siguen una distribución normal. a) ¿ Qué porcentaje de estudiantes tuvo notas por debajo de 2.0? b) ¿ Qué porcentaje de estudiantes tuvo notas por encima de 4.0. Solución 1. Paso Establecer datos µ = 3.5 σ = 0.3 X < 2.0 X > 4.0 2. Paso Determinar la variable aleatoria relacionada x− = Z σ
3. Paso Elaborar gráfica del problema
2.0 3.5 4.0 4. Paso Cálculos
= Z
2.0 − 3.5 = −5 0.3
= Z
4 .0 − 3 . 5 = 1.67 0.3
P ( X < 2.0 ) = P ( Z < -5.0 ) P (X > 4.0) = P (Z > 1.67) 5. Paso Encontrar la probabilidad utilizando la tabla P ( Z < -5.0 ) = 0 P ( Z > 1.67) = .5 - .4525 = .0475 6. Paso Conclusión Ningún estudiante obtuvo calificaciones por debajo de 2.0 y solamente el 4.75% obtuvo calificaciones por arriba de 4.0.
PROBLEMAS PROPUESTOS DE LA DISTRIBUCION NORMAL 1) 1) Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está a) a la izquierda de z = 1.43 b) a la derecha de z = - 0.89 c) Entre z = -2.16 y z = - 0.65 2) 2) Encuentre el valor de z si el área bajo una curva normal estándar a) a la derecha de z es 0.3622 b) a la izquierda de z es 0.1131 c) entre 0 y z, con z > 0, es 0.4838 d) entre –z y z, con z > 0, es 0.9500 3) 3) Los alambres que se utilizan en cierta computadora deben tener una resistencia entre 0.12 y 0.14 ohms. Las resistencias reales de los alambres producidos por la compañía A tienen una distribución normal con media de 0.13 ohms y una desviación estándar de 0.005 ohms. a) ¿ Cuál es la probabilidad de que un alambre seleccionado al azar de la producción la compañía A satisfaga las especificaciones? b) Si se utilizan cuatro de estos alambres en un sistema y los seleccionan de la compañía A ¿cuál es la probabilidad de que los cuatro satisfagan las especificaciones? 4) Se supone que los resultados de un examen tienen una distribución normal con media de 78 y varianza de 36. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que presenta examen obtenga una calificación mayor de 72?
b) Suponga que los estudiantes que se encuentran en el 10% superior de la distribución se les asigna una calificación A ¿cual es la calificación mínima que debe tener un estudiante para obtener una A?. c) ¿Cuál debe ser la calificación mínima aprobatoria si el evaluador pretende que solamente el 28.1% de los estudiantes apruebe? 5) Algunos estudios muestran que el rendimiento de gasolina de autos compactos vendidos en USA se distribuye normalmente con una media de 25.5 mpg y una desviación estándar de 4.5 mpg a) ¿Que porcentaje de autos compactos tiene un rendimiento de 30 mpg o más? b) Si un fabricante desea diseñar un auto compacto más económico que el 95% de los autos compactos actuales ¿cuál debe ser el rendimiento del nuevo auto? 6) El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos industriales emitidos durante el primer trimestre de 1975 fue de 8.55% con una desviación estándar de 0.70%. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañía FLEX fue de 7.1% ¿qué podemos decir de la situación financiera de esta firma durante el trimestre mencionado? 7) Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue de 646 millones de acciones (Barron’s. Enero de 1998). La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal, con desviación estándar de unos 100 millones de acciones. a) ¿Cuál es la probabilidad de que el volumen negociado sea menor de 400 millones de acciones? b) ¿Qué porcentaje de las veces el volumen negociado es mayor de 800 millones de acciones. c) Si la Bolsa quiere emitir un boletín de prensa sobre el 5% de los días más activos, ¿qué volumen activará la publicación? 8) La edad promedio que tiene una persona al casarse por primera vez es de 26 años (U:S News & World Report, 6 de junio de 1994). Suponga que las edades en el primer casamiento tienen una distribución normal, con desviación estándar de 4 años. a) Cual es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga menos de 23 años de edad. b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga entre 20 y 30 años de edad? c) El 90% de las personas que se casan por primera vez, ¿a qué edad lo hacen? 9) Mensa es una asociación internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una persona debe tener un coeficiente intelectual de 132 o más alto (USA today, 13 de febrero de 1992). Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se distribuyen normalmente con promedio de 100 y desviación estándar de 15, ¿qué porcentaje de personas califican para ser miembros de mansa?
10) Trace una curva normal para una variable aleatoria x que tiene una media µ = 100 y σ = 10. Indique los valores de 70, 80, 90, 100, 110, 120 y 130 desviación estándar en el eje horizontal.
DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS Si se extrae una muestra al azar de tamaño n, de una población infinita con media y una varianza σ2, entonces las observaciones de la muestra son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. La media de la muestra, calculada como
x
1 = ( x1 + x2 + • • • + n
xn )
Que es una combinación lineal de variables aleatorias dividida por una constante, que También es una variable aleatoria normal, y el valor esperado y la varianza de la distribución por muestreo de x puede derivarse sencillamente. Primero, observamos que (x) E
1 =
n
1 ( x + = E n 1
[E ( x1 ) +
E ( x2 ) + • • • + E ( xn )]
1 =
x2 + • • • xn )
n
( n µ ) = µ
Es decir, esperanza de la media de la muestra es la media de la población. Luego, puesto que se considera que las observaciones de la muestra son variables aleatorias independientes, la propiedad de aditividad se verifica para la varianza. Es decir, la varianza de la suma es la suma de las varianzas. Además, puesto que V ( xi ) = σ 2 tenemos 1
V ( x ) = V ( n
1 =
n
2
∑x ) i
[V ( x1 ) + V ( x2 ) + • • • V ( xn )]
1 =
n
( nσ 2 )
2
2 σ
= n En esta derivación hemos empleado el teorema de que la varianza de una constante multiplicado por una variable es igual al cuadrado de la constante multiplicado por la varianza de la variable. El error estándar de la media, mide la variabilidad entre medias muestrales.
σ x
=
V (x )
=
σ
n
lo que revela que σ x es menor que σ . Además, indica que cuando n → ∞ , σ x → 0 . Así, cuanto mayor es la muestra, tanto menor es la fluctuación entre medias muestrales extraídas de la misma población. Si se toman muestras de una población finita, sin reposición, como en los casos anteriores, debe de introducirse un factor de corrección para población finitas para calcular el error estándar de la media. A saber:
σ x
=
σ
N −n
n
−1 N
Cuando la población progenitora es normal, la distribución de por muestreo es también normal, por pequeña que sea la muestra. ¿Qué ocurre cuando no puede especificarse la distribución de probabilidad de la población a partir de la cual se obtiene la muestra? Para obtener una idea con respecto a la distribución de muestreo de X cuando el modelo de probabilidad de la población de interés no se especifica. Pasar al teorema del limite central. Por lo tanto podemos decir que la
µ x
De esta manera la ecuación para la transformación de cualquier media muestral en una variable normal estándar será:
Propiedades de la Media aritmética Entre varias propiedades matemáticas importantes de la media aritmética para una distribución normal están: Insesgamiento Implica el hecho de que el promedio de todas las medias muestrales posibles (de un tamaño de muestra dado n) será igual a la media de población
µ x
.
Eficiente Se refiere a la precisión de la muestra de estadística como un estimador del parámetro de población. Para distribuciones como la normal, la media aritmética se considera más estable de muestra a muestra que otras mediciones de tendencia central. Para una muestra de tamaño n, la media de muestra se acercará más, en promedio, a la media de población que cualquier otro estimador. Consistencia Se refiere al efecto del tamaño de muestra sobre la utilidad de un estimador. Al incrementarse el tamaño de muestra, la variación de la media de muestra de la media de población se hace más pequeña, de manera que la media aritmética de muestra se vuelve una mejor estimación de la media de población. PROBLEMA RESUELTO DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CON 2 σ CONOCIDA O n ≥ 30 Suponga que una máquina dispensadora de bebidas gaseosas la cantidad que envasa es una variable X que tiene una distribución normal con media µ = 10 onzas y una desviación estándar σ = 1. Y nos proponemos hacer 25 mediciones del líquido dispensado. a) Exprese el significado X b) ¿Qué distribución tiene la X ? c) ¿ Cuál es la probabilidad de X sea por lo menos 10.3?
Solución
a)
X = cantidad promedio de gaseosa dispensada en las 25 mediciones.
b)
X tiene
una distribución normal con
µ x
= µ x = 10
6. 1. Establecer datos n =25 µ = 10 onzas σ = 1.0 P( X ≥ 10.3) = ? 2. Elaborar gráfica del problema
10 10.3 3. Aplicar la fórmula para estandarizar los valores de x − Z =
X
σ
n
4. Encontrar el valor de z Z =
10.3 − 10.0 = 1.5 1 25
P( X ≥ 10.3) = P≥( 1.5 Z ) 5. Encontrar la probabilidad del valor de Z utilizando la tabla P ( Z ≥ 1.5 )= 0.5 – 0.4332 = 0.0668 6. Conclusión la probabilidad de que la media sea mayor o igual a 10.3 es .0668
PROBLEMAS PROPUESTOS DE DISTRIBUCION MUESTRAL DE MEDIAS CON σ 2 CONOCIDA On ≥ 30
1. La eficiencia en lumen por vatio de cierto tipo de focos tiene una media poblacional de 9.5 y una desviación estándar de 0.5, según las especific productor. Los requerimientos de una habitación en la que deben instalarse ocho de estos focos exigen que la eficiencia media de los ocho focos sea mayor que 10. Calcular la probabilidad de que esta especificación se cumpla, suponiendo que las mediciones de la eficiencia están distribuidas normalmente. 2. Refiriéndose al ejercicio anterior, ¿Cuál tendría que ser la eficiencia media para cada foco si hay que cumplir con la especificación establecida para la habitación con una probabilidad aproximada de 0.80? (Suponga que la desviación estándar para la eficiencia permanece constante). 3. María Barrios es auditora de una gran compañía de tarjetas de crédito y sabe que en promedio, el saldo mensual de determinado tipo de clientes es de $ 112, con una desviación estándar de $65. Si María revisa 50 cuentas de este tipo de clientes seleccionadas al azar, ¿ cual es la probabilidad de que el saldo mensual promedio esté: a).- por debajo de $100? b).- entre $100 y $130? 4. El presidente de una compañía telefónica está molesto con el número de teléfonos producidos por la empresa que salen defectuosos. En promedio, 120 teléfonos son devueltos diariamente con una desviación estándar de 81. El presidente ha decidido que, a menos que logre una seguridad del 85% de que en los próximos 40 días no serán devueltos mas de 135 teléfonos, ordenará revisar el proceso ¿tomará esta medida? 5. Supóngase que el número de barriles de petróleo crudo que produce un pozo diariamente es una variable aleatoria con una distribución no especificada. Si se observa la producción de 64 días seleccionados en forma aleatoria y si se sabe que la desviación estándar del número de barriles por díaσ =16, es determine la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no mas de 4 barriles del verdadero valor promedio () de la producción diaria.
