ESTADÍSTICA I ING. VICTOR SALAZAR POLANCO ESPECIALISTA EN LOGISTICA
Facultad de Ingeniería Universidad del Magdalena Santa Marta - 2011
DISTRIBUCIÓN NORMAL VARIABLE ALEATORIA CONTINUA
a) b) c) d)
Es un método para hallar la probabilidad cuando se trabaja con variables aleatorias continuas, es decir, con aquellas que permiten ser fraccionadas. Este método utiliza la curva de Gauss, llamada también curva normal o curva de probabilidad, la cual es simétrica y tiene forma de campana. En la distribución Normal, el método para hallar la probabilidad depende de las medidas paramétricas siguientes:
Media Muestral Media Proporcional Diferencia de Medias Muestrales Diferencia de Proporciones Muestrales
DISTRIBUCIÓN NORMAL CURVA DE PROBABILIDAD
PROPIEDADES:
La curva es simétrica. 50%
El área bajo la curva es igual al 100%.
50%
x
µ
La curva no toca el eje horizontal (x) ya que es asintótica, se prolonga indefinidamente.
100%
La media µ se localiza en el centro, es decir, cada parte es igual al 50%.
x
X toma valores de menor a mayor, es decir, de izquierda a derecha. La variante estadística Z = (X - µ ) / es una medida de las desviaciones estándar o de las llamadas unidades estandarizadas, conocida como desviación normal.
µ
x Z
-3
-2
-1 -
0
1
2 +
3
DISTRIBUCIÓN NORMAL FÓRMULA
donde: µ : Media Poblacional. : Media Aritmética, media muestral o media de la muestra. : Desviación.
Esta fórmula convierte valores de X a Z. Luego su valor se localiza en la tabla de áreas bajo la curva normal de probabilidad, como se mostrará más adelante.
DISTRIBUCIÓN NORMAL a) b) c) d)
Ejemplo 22: Encontrar el área bajo la curva de Z: Entre Z = -1.12 y Z = 2.33 A la derecha de Z = 1.45 A la Izquierda de Z = 0.80 Entre Z = 0.75 y Z = 1.64
R/: Estos valores de Z fueron calculados con la fórmula:
Para saber el área que corresponde cada valor debemos buscarlo en la tabla de área bajo la curva normal de probabilidad que se muestra a continuación.
DISTRIBUCIÓN NORMAL TABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
a)
Entre Z = -1.12 y Z = 2.33
La tabla nos dice que cuando Z es -1.12, su área equivale a 0.3686, y cuando Z es 2.33 su área es 0.4901. Estos valores los ubicamos en la curva de probabilidad de la siguiente manera.
La suma de sus áreas nos dará el resultado deseado. A = (-1.12 < Z < 2.33) = ? A = 0.3686 + 0.4901 = 0.8587
DISTRIBUCIÓN NORMAL TABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
b) A la derecha de Z = 1.45
La tabla nos dice que cuando Z es 1.45, su área equivale a 0.4265. Este valor lo ubicamos en la curva de probabilidad y sombreamos hacia la derecha de la siguiente manera.
Sabemos que cada mitad de la curva equivale a un 50% del área total. Como debemos saber qué área le corresponde a la parte sombreada, lo que debemos hacer es una resta, quedando el planteamiento y el resultado: A = ( Z > 1.45 ) = 0.50 – 0.4265 = 0.0735
DISTRIBUCIÓN NORMAL TABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
c) A la izquierda de Z = 0.80
La tabla nos dice que cuando Z es 0.80, su área equivale a 0.2881. Este valor lo ubicamos en la curva de probabilidad y sombreamos hacia la izquierda de la siguiente manera.
Sabemos que cada mitad de la curva equivale a un 50% del área total. Como las áreas se unen debemos sumarlas para saber qué le corresponde a la parte sombreada, quedando el planteamiento y el resultado: A = ( Z < 0.80 ) = 0.50 + 0.2881 = 0.7881
DISTRIBUCIÓN NORMAL TABLA DE ÁREA BAJO LA CURVA NORMAL DE PROBABILIDAD (TABLA Z)
d) Entre Z = 0.75 y Z = 1.64
La tabla nos dice que cuando Z es 0.75, su área equivale a 0.2734, y cuando Z es 1.64 su área es 0.4495. Estos valores los ubicamos en la curva de probabilidad de la siguiente manera.
La tabla y la gráfica nos indican que desde el 0 hasta 1.64, el área es de 0.4495. Sin embargo, debemos restarle el área que hay desde el O hasta 0.75 (A=0.2734). De este modo hallaremos el área entre 0.75 y 1.64. A = (0.75 < Z < 1.64) = ? A = 0.4495 – 0.2734 = 0.1761
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA MUESTRAL
Fórmula
Esta fórmula transforma valores de a Z para poder hallar la probabilidad de un suceso mediante el uso de la tabla del área bajo la curva de probabilidad normal. Ejemplo 23: En un banco de ahorros, la cuenta media es de $159.320 con una desviación estándar de $18.000. ¿Cuál es la probabilidad de que un grupo de 400 cuentas, elegidas al azar, tenga un depósito medio de $160.000 o más? R/: El ejercicio trata con una variable que permite ser fraccionada (dinero). Por lo tanto sabemos que estamos ante un caso de distribución normal, donde para el cálculo de la probabilidad debemos aplicar la fórmula de Z que trabaja con la media muestral o media aritmética . Los datos que nos arroja el enunciado son los siguientes: µ = 159.320 = 18.000 n = 400 P ( > 160.000) = ? Reemplazando se tiene que:
Como se resolvió anteriormente, se trata de hallar el área sombreada bajo la curva, cuyo valor corresponde a la probabilidad. Si bien sabemos que la mitad del área total corresponde a un 0.50, y que desde el 0 hasta el 0.76 hay 0.2764 de área, el valor que le corresponde a la parte sombreada será la diferencia de ambas. Se tiene entonces que:
Z = 0.76 A (0.2764)
P( > 60) = 0.50 – 0.2764 = 0.2236 P( > 60) = 0.2236 x 100 = 22.36% La probabilidad de que un grupo de 400 cuentas elegidas al azar tenga un depósito medio de 160.000 o más es del 22.36%.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA PROPORCIONAL A diferencia de la distribución normal de medias muestrales, al trabajar con proporciones no se usa la desviación, dado que esta se halla con respecto a una media aritmética. En media proporcional se trabaja –como su nombre lo indica- con proporciones, es decir, con características cualitativas, como por ejemplo, la proporción de estudiantes que llegan tarde a clase, Ejemplo: Supongamos que de un total de 30 estudiantes, 5 llegan tarde a clase. Se pide la proporción de estudiantes impuntuales. R/: 5 / 30 = 0.1666 x 100 = 16.66% de los estudiantes llegan tarde a clase.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA PROPORCIONAL FÓRMULA
donde:
P = Proporción Poblacional. = Proporción Muestral. n = Muestra. Ejemplo 24: Se sabe que el 25% de los estudiantes de un colegio usan anteojos. ¿Cuál es la probabilidad de que 8 o menos usen anteojos en una muestra de 36 estudiantes? R/: El ejercicio nos pide hallar una probabilidad, para lo cual, primero debemos tener en cuenta los datos que nos arroja y saber además si la característica es cuantitativa o cualitativa. En primer lugar, vemos que nos dan una proporción poblacional (25%), y sabemos que se trata de una característica cualitativa porque se están preguntando sobre los que usan y no usan anteojos, es decir, el modo de registro es por palabras (sí usa, no usa) más no por números. La fórmula nos pide dos proporciones, una poblacional y una muestral. La poblacional es aquella que cubre la totalidad de la población, es decir, la proporción general (25% de los estudiantes del COLEGIO usan anteojos). También nos da una proporción muestral, es decir, aquella proporción que se saca de una muestra, siendo: = 8 / 36 = 0.22 (proporción de estudiantes que usan anteojos)
DISTRIBUCIÓN NORMAL
MEDIA PROPORCIONAL FÓRMULA De acuerdo a lo anterior tenemos que: P = 0.25 P(
= 0.22
n = 36
< 0.22) = ?
Reemplazando: Z = -0.41 A(0.1591) Se sombrea hacia la izquierda porque el ejercicio nos pide 8 o menos, y recordemos que los números negativos se sombrean hacia el lado izquierdo. Se trata entonces de hallar el área de la zona sombreada. Si bien sabemos que desde el 0 hasta 0.41 existe un área e 0.1591, entonces la parte sombreada corresponde a la diferencia, tal como se muestra a continuación: P(
< 0.22) = 0.50 – 0.1591 = 0.3409 x 100 = 34.09%
La probabilidad de que 8 o menos estudiantes usen anteojos en una muestra de 36, es de 34.09%.
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
En este tema se trabajan con dos medias poblacionales ( µx; µy ), dos medias muestrales ( ), dos desviaciones ( OX; OY ) y dos muestras (n1; n2 ), es decir, con dos poblaciones y lo que se busca es encontrar la probabilidad de la ocurrencia de un suceso teniendo en cuenta dos poblaciones. Fórmula:
DISTRIBUCIÓN NORMAL
DIFERENCIA DE MEDIAS MUESTRALES
Ejemplo 25: Se obtiene una muestra aleatoria de 100 elementos de una población normal, que tiene media 50 y desviación estándar 8. Luego se saca otra muestra aleatoria de 400 elementos de una población que tiene media 40 y desviación estándar 12. Encontrar la probabilidad de que la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o más. R/: El ejercicio nos da todos los elementos necesarios para encontrar la probabilidad mediante una diferencia de medias muestrales. Reemplazando tenemos que: P(
Z = -2 A (0.4772)
>8)=?
La probabilidad de que la media de la primera muestra exceda a la de la segunda en 8 o más se encuentra sumando las áreas sombreadas, de tal forma que: P(
> 8 ) = 0.4772 + 0.50 = 0.9772 x 100 = 97.72%
DISTRIBUCIÓN NORMAL DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES
En este tema no se trabaja con desviaciones. Sólo se trabaja con proporciones poblaciones ( P1; P2 ) y muestrales ( ). Al igual que el tema anterior, trata de encontrar la probabilidad de un evento teniendo en cuenta dos poblaciones. Fórmula:
DISTRIBUCIÓN NORMAL DIFERENCIA DE PROPORCIONES MUESTRALES
Ejemplo 26: Consideremos dos máquinas que producen un determinado artículo. La primera produce por término medio un 14% de artículos defectuosos, en tanto que otra, produce el 20% de artículos defectuosos. Si se obtienen muestras de 200 unidades en la primera y 100 unidades en la segunda, ¿cuál es la probabilidad de que A supere a B en 8% o más? R/: Como vemos el ejercicio trata con características cualitativas, ya que el modo de registro es por palabras (defectuosos, no defectuosos). Reemplazando tenemos que:
Z = 2.98 A(0.4986)
La probabilidad de que A supere a B en 8% o más se halla con la diferencia de sus áreas de la siguiente manera:
DISTRIBUCIÓN NORMAL SÍNTESIS En la distribución normal se presentan cuatro casos, siendo: Media Muestral, de Proporciones, diferencia de medias muestrales y diferencia de proporciones. En Media muestral se trabaja con una Media Poblacional, una media muestral, una desviación y una sola muestra. En diferencia de medias muestrales se trabaja con dos de cada una SIEMPRE. En media de proporciones NO SE TRABAJA CON DESVIACIONES. Se trabaja con una sola proporción poblacional, una sola proporción muestral y una sola muestra. En diferencia de proporciones se trabaja con dos de cada una.
