Distribucion Normal

DISTRIBUCION NORMAL

ING. SERGIO LOPEZ NIETO

DISTRIBUCIÓN NORMAL o campana de Gauss-Laplace


DISTRIBUCIÓN NORMAL o campana de Gauss-Laplace


Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones esta es tadís dístic ticas. as. Su pr prop opio io no nomb mbre re ind indica ica su ex exte tend ndida ida ut utili iliza zació ción, n, justificada justifica da por la frecuencia o normalid normalidad ad con la que ciertos fenóm fe nómeno enoss tie tiend nden en a par parece ecers rse e en su co comp mport ortam amien iento to a es esta ta distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de densidad cuya gráfica tiene forma de campana.


En resumen, la importancia de la distribución normal se debe principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos naturales que siguen el modelo de la normal Caracteres morfológico morfológicos s de individuos (personas, animales, plantas,...) de una especie,

p.ejm. tallas, pesos, envergad envergaduras, uras, diámetros, perímetros,... Caracteres fisiológico fisiológicos s , por ejemplo: efecto de una misma dosis de un fármaco, o de una

misma cantidad de abono. Caracteres sociológ sociológicos icos , por ejemplo: consumo de cierto producto por un mismo grupo de

individuos, puntuaciones de examen. Caracteres psicológ psicológicos icos , por ejemplo: cociente intelectual, grado de adaptación a un

medio,... cometidoss al medir ciertas magnitud magnitudes. es. Errores cometido Valores estadísticos muestrales, por ejemplo : la media. Otras distribucion distribuciones es como la binomial o la de Poisson son aproximaciones normales, ...

Y en general general cualquier cualquier característica que se obtenga obtenga como como suma de de muchos factores.


Función de densidad

µ = media σ = desviación desviación estándar estándar π = 3.14 3.1416 16 e = 2.71828


La distribución normal posee las siguientes características principales: 1.- Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media, mediana, y la moda son iguales y se localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es 1. 2.- Es simétrica respecto a la media. 3.- Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central, es decir , la distribución es asintótica. La curva se aproxima más y más al eje de las X. sin tocarlo en realidad, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones. 4.- La localización de una distribución normal se determina a través de la media µ. La dispersión o propagación de la distribución se determina por medio de la desviación estándar σ.


La distribución normal queda definida por dos parámetros, su media y su desviación estándar y la representamos así : N(µ,σ) Para cada valor de µ y σ tendremos una función de densidad distinta, por lo tanto la expresión N(µ,σ) representa una familia de distribuciones normales. Está caracterizada por dos parámetros a).- Parámetro de localización: La media

b).- Parámetro de forma: La varianza


Figura: Distribuciones gaussianas con igual media pero varianza diferente.


Figura: Distribuciones gaussianas con diferentes medias e igual desviación.


La media determina la posición y la desviación estándar la forma. Una desviación estándar menor, genera una curva más delgada.


Curvas normales con diferente media y desviación estándar


El punto máximo de f(x) se encuentra en x = 

f ( x )

x 


La variable puede tomar valores de (–

f ( x )

x 






El área total bajo la curva es 1

f ( x )

0.5

0.5

x 


Sus puntos de inflexión se encuentran en



f ( x )

Punto de inflexión

Punto de inflexión

x 






DISTRIBUCIÓN DE PROBABLIDAD NORMAL ESTÁNDAR Una variable aleatoria que tiene una distribución normal con media de cero y desviación estándar de uno es conocida como una distribución de probabilidad normal estándar.

f (z ) f ( z )

1 

2

e



( z ) 2 / 2




z

DISTRIBUCIÓN DE PROBABLIDAD NORMAL ESTÁNDAR La letra z es comunmente usada para designar a la variable aleatoria normal estándar mediante la conversión de la varaiable x por medio de la siguiente relación matemática.

x z







 donde:

= = x= z=  

f ( z )


media de la distribución. desviación estándar de la distribución. variable aleatoria. variable aleatoria estándar.

1 

2

e



( z ) 2 / 2

Los valores de Z antes de la media son negativos, después de la media son positivos

f (z )

z Z -




Z +

Un valor x = 12 lo queremos transformar a valor z

f ( x ) Desviación estándar = 0.8

Desviación estándar =1

12



0


Z=

x z

f ( x ) Desviación estándar = 0.8 12 z





10

.8



2.5


12



0


Z = 2.5

x z

Observe que P(x<10) = P(z<0) =0.50 porque son áreas equivalentes

f ( x ) Desviación estándar = 0.8


x 

0


z

Uso de la tabla normal estándar. Áreas acumuladas desde z = - 3.49 hasta z = 3.49

•

z

0

0.01

0.02

• • • • • • • • • • • • • • •

-3.4 … -2.9 -2.8 -2.7 -2.6 -2.5 … 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 … 3.4

0.0003 … 0.0019 0.0026 0.0035 0.0047 0.0062 ..... 0.9938 0.9953 0.9965 0.9974 0.9981 … 0.9997

0.0003 … 0.0018 0.0025 0.0034 0.0045 0.0060 ….. 0.9940 0.9955 0.9966 0.9975 0.9982 … 0.9997

0.0003 … 0.0018 0.0024 0.0033 0.0044 0.0059 ….. 0.9941 0.9956 0.9967 0.9976 0.9982 … 0.9997


0.03 0.0003 … 0.0017 0.0023 0.0032 0.0043 0.0057 ….. 0.9943 0.9957 0.9968 0.9977 0.9983 … 0.9997

0.04

0.05

0.0003 … 0.0016 0.0023 0.0031 0.0041 0.0055 ….. 0.9945 0.9959 0.9969 0.9977 0.9984 … 0.9997

0.0003 … 0.0016 0.0022 0.0030 0.0040 0.0054 ….. 0.9946 0.9960 0.9970 0.9978 0.9984 … 0.9997

0

0.06

0.07

z

0.08

0.09

0.0003 0.0003 0.0003 0.0002 … … … … 0.0015 0.0015 0.0014 0.0014 0.0021 0.0021 0.0020 0.0019 0.0029 0.0028 0.0027 0.0026 0.0039 0.0038 0.0037 0.0036 0.0052 0.0051 0.0049 0.0048 ….. ….. ….. ….. 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986 … … … … 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

Uso de la tabla normal estándar. • • •

Ejemplo: Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que cae a) A la izquierda de z =1.43

p( z < 1.43 ) = ?

área 0


1.43

Uso de la tabla normal estándar. área 1.43

P( z < 1.43) = 0.9236 Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

0 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207

0.02 0.03 0.5080 0.5120 0.5478 0.5517 0.5871 0.5910 0.6255 0.6293 0.6628 0.6664 0.6985 0.7019 0.7324 0.7357 0.7642 0.7673 0.7939 0.7967 0.8212 0.8238 0.8461 0.8485 0.8686 0.8708 0.8888 0.8907 0.9066 0.9082 0.9222 0.9236

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319

Observe, para calcular p(z <1.43) es : la acumulada a 1.43 que es 0.9236, ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Uso de la tabla normal estándar.

1-0.9236 0.9236 1.43

P( z >1.43) = 0.0764 Z 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

0 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192

0.01 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207

0.02 0.03 0.5080 0.5120 0.5478 0.5517 0.5871 0.5910 0.6255 0.6293 0.6628 0.6664 0.6985 0.7019 0.7324 0.7357 0.7642 0.7673 0.7939 0.7967 0.8212 0.8238 0.8461 0.8485 0.8686 0.8708 0.8888 0.8907 0.9066 0.9082 0.9222 0.9236

0.04 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251

0.05 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265

0.06 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279

0.07 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292

0.08 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306

0.09 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319

Observe, para calcular p(z >1.43) es : a 1 le restamos la acumulada a 1.43 que es 0.9236, por lo tanto p(z > 1.43 ) = 0.0764 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Uso de la tabla normal estándar. • • •

Ejemplo: Dada una distribución normal, encuentre el área bajo la curva que cae a) Entre z = -1.5 y z =1.43

p(- 1.5 < z < 1.43) = ?

área

-1.5


0

1.43

Uso de la tabla normal estándar. P(-1.5 < z < 1.43) = .9236 Z -1.5 … … 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4

0 0.0668 … … 0.5000 0.5398 0.5793 0.6179 0.6554 0.6915 0.7257 0.7580 0.7881 0.8159 0.8413 0.8643 0.8849 0.9032 0.9192

0.01 0.0655 … … 0.5040 0.5438 0.5832 0.6217 0.6591 0.6950 0.7291 0.7611 0.7910 0.8186 0.8438 0.8665 0.8869 0.9049 0.9207

0.02 0.03 0.0643 … … 0.5080 0.5478 0.5871 0.6255 0.6628 0.6985 0.7324 0.7642 0.7939 0.8212 0.8461 0.8686 0.8888 0.9066 0.9222

0.0630 … … 0.5120 0.5517 0.5910 0.6293 0.6664 0.7019 0.7357 0.7673 0.7967 0.8238 0.8485 0.8708 0.8907 0.9082 0.9236


área

- .0668 = .8568 0.04 0.0618 … … 0.5160 0.5557 0.5948 0.6331 0.6700 0.7054 0.7389 0.7704 0.7995 0.8264 0.8508 0.8729 0.8925 0.9099 0.9251

0.05 0.06 0.0606 … … 0.5199 0.5596 0.5987 0.6368 0.6736 0.7088 0.7422 0.7734 0.8023 0.8289 0.8531 0.8749 0.8944 0.9115 0.9265

0.0594 … … 0.5239 0.5636 0.6026 0.6406 0.6772 0.7123 0.7454 0.7764 0.8051 0.8315 0.8554 0.8770 0.8962 0.9131 0.9279

-1.5

0.07

0.08

0.0582 … … 0.5279 0.5675 0.6064 0.6443 0.6808 0.7157 0.7486 0.7794 0.8078 0.8340 0.8577 0.8790 0.8980 0.9147 0.9292

0.0571 … … 0.5319 0.5714 0.6103 0.6480 0.6844 0.7190 0.7517 0.7823 0.8106 0.8365 0.8599 0.8810 0.8997 0.9162 0.9306

1.43

0.09 0.0559 … … 0.5359 0.5753 0.6141 0.6517 0.6879 0.7224 0.7549 0.7852 0.8133 0.8389 0.8621 0.8830 0.9015 0.9177 0.9319

Observe: área = F(1.43) – F(-1.5)

Observe, que esta tabla tiene valores acumulados a partir de z = 0, hay tablas acumuladas desde z = -3.4 , por lo que el estudiante debe tener cuidado en la tabla que va usar.


Porcentajes de área en algunos intervalos comunes. El 68.26% de los valores de una variable aleatoria normal están entre +/- 1 desviación estándar de la media. El 95.44% de los valores de una variable aleatoria normal están entre +/- 2 desviaciones estándar de la media. El 99.72% de los valores de una variable aleatoria normal están entre +/- 3 desviaciones estándar de la media.



APROXIMACION DE LA DISTRIBUCION NORMAL Y LA BINOMIAL Si un problema implica una muestra de 60, generar una distribución binomial para dicha cantidad tan grande habría consumido demasiado tiempo. Un enfoque más eficiente consiste en aplicar la aproximación de la distribución normal a la binomial. Parece razonable emplear la distribución normal ( continua ) en sustitución de la distribución binomial ( discreta) para valores grandes de n pues, conforme n se incrementa , una distribución binomial se aproxima cada vez más a una distribución normal.


La distribución normal una buena aproximación de la distribución binomial cuando np y n(1-p) son ambos 5 por lo menos. Sin embargo, antes de aplicar la aproximación normal, debe estar seguro de que la distribución de interés sea en verdad una distribución binomial.

Suponga que la administración de Santoni Pizza Restaurant se da cuenta que 70% de sus nuevos clientes regresan a comer . ¿Cuál es la probabilidad de que 60% o más clientes regresen a comer durante una semana en la que 80 nuevos (primera vez) clientes comen en Santoni?


Observe en la siguiente gráfica, una distribución binomial que representa el problema, además una tabla donde aparecen las probabilidades para diferentes valores de x ( de 43 a 68 ) que se calcularon con la fórmula de la binomial

P(X ≥ 60) = 0.063+0.048+ … + 0.001) = 0.197 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Observe que µ de la distribución normal es el promedio de una binomial. La variancia de la distribución normal es la varaiancia de la binomial. Además observe que queremos calcular P( x≥ 60), o sea desde 60 en adelante, pero aquí aparece desde 59.5 , esto se debe a un factor de corrección de continuidad. Notará que llegamos a la misma respuesta que en la binomial


Factor de corrección de continuidad: Valor de 0.5 restado o sumado, según se requiera, a un valor seleccionado cuando una distribución de probabilidad discreta se aproxima por medio de una distribución de probabilidad continua.

Como aplicar el factor de corrección : 1.- Para la probabilidad de que por lo menos ocurra x, se utiliza el área por encima de ( x-.5 ) ejemplo : P(x≥ 60) se toma de 59.5 2.- Para la probabilidad de que ocurra mas x, se utiliza el área por encima de ( x+.5 ) ejemplo : P(x > 60) se toma de 60.5 3.- Para la probabilidad de que ocurra x o menos, se utiliza el área debajo de ( x+.5 ) ejemplo : P(x≤ 60) se toma de 60.5 4.- Para la probabilidad de que ocurra menos que x, se utiliza el área debajo de ( x-.5 ) ejemplo : P(x< 60) se toma de 59.5 5.- Para la probabilidad de que ocurra exactamente x , se utiliza el área entre x± .5 , por ejemplo P( x = 60) se toma el área desde 59.5 a 60.5 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

P ( x≥ 60) = ?

1.- Para la probabilidad de que por lo menos ocurra x, se utiliza el área por encima de ( x-.5 ) ejemplo : P(x≥ 60) se toma de 59.5


ejemplos ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Una refaccionaria vende auto-partes y refacciones incluyendo un popular aceite multigrado. Cuando la existencia de este aceite cae a 20 galones, se pone una orden de relleno. El encargado de la tienda está preocupado porque las ventas han disminuido debido a inexistencias mientras que espera por una orden. Se ha determinado que el plazo de demanda (x) está normalmente distribuido con una media de 15 galones y una desviación estándar de 6 galones El encargado quisiera saber la probabilidad de inexistencia, p ( x > 20).


La tabla normal estándar muestra un área acumulada de 0.7967 hasta z = 0.83. El área después de z =0.83 es de 1-0.7967 = 0.2033 La probabilidad de inexistencia es de 0.2033. z = ( x -  )/

= (20 - 15)/6

Area = .2967

= .83

Area = 0.2033 Area = 0.7967 0 .83 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

z

Tabla con valores acumulados a partir de z = 0 z

.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

.0

.0000 .0040 .0080 .0120 .0160 .0199 .0239 .0279 .0319

.0359

.1

.0398 .0438 .0478 .0517 .0557 .0596 .0636 .0675 .0714

.0753

.2

.0793 .0832 .0871 .0910 .0948 .0987 .1026 .1064 .1103

.1141

.3

.1179 .1217 .1255 .1293 .1331 .1368 .1406 .1443 .1480

.1517

.4

.1554 .1591 .1628 .1664 .1700 .1736 .1772 .1808 .1844 .1879

.5

.1915 .1950 .1985 .2019 .2054 .2088 .2123 .2157 .2190 .2224

.6

.2257 .2291 .2324 .2357 .2389 .2422 .2454 .2486 .2518 .2549

.7

.2580 .2612 .2642 .2673 .2704 .2734 .2764 .2794 .2823 .2852

.8

.2881 .2910 .2939 .2967 .2995 .3023 .3051 .3078 .3106 .3133

.9

.3159 .3186 .3212 .3238 .3264 .3289 .3315 .3340 .3365 .3389


Si el encargado de la refaccionaria quiere que la probabilidad de inexistencia sea de 0.05, Cuál sería el punto de reordenamiento?

Area = 0.05 Area = .5

Area = .45

z .05 El valor de z que tiene el área hacia su derecha de 0.05, es de 1.645 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Ahora observamos el área después de la media de 0.4500 en la tabla de Probabilidad normal estándar para encontrar el valor correspondiente a z.05 z

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.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

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1.5

.4 33 2 .4 34 5 .4 35 7 .4 37 0 .4 38 2 .4 39 4 .4 40 6 .4 41 8 .4 42 9 .4 44 1

1.6

.4 45 2 .4 46 3 .4 47 4 .4 48 4 .4 49 5 .4 50 5 .4 51 5 .4 52 5 .4 53 5 .4 54 5

1.7 .4 55 4 .4 56 4 .4 57 3 .4 58 2 .4 59 1 .4 59 9 .4 60 8 .4 61 6 .4 62 5 .4 63 3 1.8

.4 64 1 .4 64 9 .4 65 6 .4 66 4 .4 67 1 .4 67 8 .4 68 6 .4 69 3 .4 69 9 .4 70 6

1.9

.4 71 3 .4 71 9 .4 72 6 .4 73 2 .4 73 8 .4 74 4 .4 75 0 .4 75 6 .4 76 1 .4 76 7

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= 1.645 es el valor de z que tiene el área de 0.05 hacia su derecha.

z .05


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El valor correspondiente de x es dado por x =  + z .05

= 15 + 1.645(6) = 24.87

Un punto de reordenamiento de 24.87 galones situaría la probabilidad de una inexistencia durante el plazo de demanda a 0.05. Tal vez la refaccionaria debería mandar su punto de reordenamiento a 25 galones para mantener la probabilidad debajo de .05.


La vida media de una lámpara, según el fabricante, es de 68 meses, con una desviación de 5 meses. Se distribuye según una distribución normal. En un lote de 10 000 lámparas. a) ¿Cuántas lámparas superarán previsiblemente los 75 meses? b) ¿Cuántas lámparas se estropearán antes de 60 meses?


a). Solución z = (75 -68)/5 = 1.4 p (X > 75) = p (z > 1.4) = 1 - P (z ≤ 1.4) = 1 – 0.9192 = 0.0808 Por lo tanto el 8.08% de las lámparas (808 lámparas) superarán los 75 meses.

Aquí es usando una tabla acumulada comenzando de z = 0

b). Solución z = (60 -68)/5 = -1.6 P (X ≤ 60) = (z ≤ -1.6) = P (z> 1.6) = 1 - P (z ≤ 1.6) = 0.0548 Por lo tanto, el 5.48% del lote (548 lámparas) no llegarán probablemente a durar 60 meses


tabla acumulada comenzando de z = 0 z

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.00

.01

.02

.03

.04

.05

.06

.07

.08

.09

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1.5

.4 33 2 .4 34 5 .4 35 7 .4 37 0 .4 38 2 .4 39 4 .4 40 6 .4 41 8 .4 42 9 .4 44 1

1.6

.4 45 2 .4 46 3 .4 47 4 .4 48 4 .4 49 5 .4 50 5 .4 51 5 .4 52 5 .4 53 5 .4 54 5

1.7 .4 55 4 .4 56 4 .4 57 3 .4 58 2 .4 59 1 .4 59 9 .4 60 8 .4 61 6 .4 62 5 .4 63 3 1.8

.4 64 1 .4 64 9 .4 65 6 .4 66 4 .4 67 1 .4 67 8 .4 68 6 .4 69 3 .4 69 9 .4 70 6

1.9

.4 71 3 .4 71 9 .4 72 6 .4 73 2 .4 73 8 .4 74 4 .4 75 0 .4 75 6 .4 76 1 .4 76 7

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Se está calculando un área simétrica

P (z> 1.6) = 1 - P (z ≤ 1.6) = 0.0548

-1.6

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1.6

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Un profesor determinó que el promedio final en su curso de estadística tiene una distribución normal con media de 72 y desviación estándar de 5. Decidió asignar las calificaciones del curso de manera que 15% de los alumnos reciban una calificación de A. ¿Cuál es el promedio más bajo que un alumno puede tener para obtener una A?

Sea x el promedio más bajo. Encuentre x de manera que P(X > x) = 0.15. El valor z correspondiente es 1.04. Así se tiene:

x=zσ+µ

x = 1.04(5)+72 = 77.2 0.15

X=77.2 Z=1.04 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Un informe reciente de BusinessWeek señala que el 20 % de los empleados le roba a la empresa cada año. Si una compañía tiene 50 empleados.¿ Cuál es la probabilidad de que menos de 5 roben? µ = np = (50) (.20) = 10

σ = √npq = √(50)(.2)(.8)=2.828

P(x <5 ) ? P(x<5) = p(z ≤ -1.94) = .0262 2.62%

Z Z=-1.94 ING. SERGIO LOPEZ NIETO

Un informe reciente de BusinessWeek señala que el 20 % de los empleados le roba a la empresa cada año. Si una compañía tiene 50 empleados.¿ Cuál es la probabilidad de que más de 5 roben? µ = np = (50) (.20) = 10

σ = √npq = √(50)(.2)(.8)=2.828

P(x >5 ) ? P(x>5) = p(z ≥ -1.59) = 0.9441 94.41%


Un informe reciente de BusinessWeek señala que el 20 % de los empleados le roba a la empresa cada año. Si una compañía tiene 50 empleados.¿ Cuál es la probabilidad de que por lo menos 5 roben? µ = np = (50) (.20) = 10

σ = √npq = √(50)(.2)(.8)=2.828

P(x ≥5 ) ? P(x≥5) = p(z ≥ -1.94) = 0.9738 97.38%


Un informe reciente de BusinessWeek señala que el 20 % de los empleados le roba a la empresa cada año. Si una compañía tiene 50 empleados.¿ Cuál es la probabilidad de que 5 roben? µ = np = (50) (.20) = 10

σ = √npq = √(50)(.2)(.8)=2.828

P(x =5 ) ? P(x=5) = p( -1.94
Z Z=-1.94 Z= -1.59


Distribucion Normal

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