´ blica de El Al Universid Unive rsidad ad Publica u Alto to Car Carrer rera a de Ing Ingeni enier er´ ıa Civi Civil l Primer Pri mer Sem Semestr estre e 201 2014 4 La Paz - Bol Bolivi ivia. a.
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Docente: Dr. Mario ξττo
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Jueves Jue ves 03 de Jul Julio io del 2014
C.I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Firma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P a t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . M a t e r n o . . . . . . . . . . . . . . . .. . . N o m b r e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
( 6 puntos) (a) Halle dos soluciones reales y linealmente independientes de la ecuaci´ on diferencial 2 = 0 en el caso en que p 0.. (b) Resuelva la ecuaci´ on diferencial y = x y + py + qy qy = p − 4q < 0 y + y = x sen x utilizandoo el m´etodo utilizand etodo de d e variaci´ on de par´ ametros. ′′
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( 6 puntos) (a) Considere la ecuaci´ on diferencial y + P P ((x)y + Q Q((x)y = R R((x). Suponga que que as que yg (x, c1 , c2 ) es la soluci´ on general de y p (x) es una de sus soluciones particulares y adem´ su ecuaci´ on homog´enea enea asociada. a sociada. Pruebe que si y (x) es cualquier soluci´ on de la ecuaci´ on y + + y p (x) para una selecci´ on adecuada de las P ((x)y + Q P Q((x)y = R R((x), entonces y (x) = yg (x, c1 , c2 ) + y 2x e constantes c on diferencial y utili u tilizand zandoo el m´etodo etodo c 1 y c c 2 . (b) Resuelva la ecuaci´ y + 4y + 4y = 2 x +1 de variaci´ on de par´ ametros. ′′
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−
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( 6 puntos) Resolver la ecuaci´ on diferencial utilizand utilizandoo el e l m´etodo etodo de variaci´ on de par´ ametros: 2y − 8y = = e y + 2y e 2x ′′
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6
1 − 2 x x
,
x > 0
( 6 puntos) Hallar la soluci´ on general de y − 2y = x + 2e 2 ex utilizand utilizandoo el M´etodo etodo de Coeficientes x + Indeterminados.
( 6 puntos) Se encontr´ o experimentalmente que un peso de 2lb 2 lb estira estira un resorte 6 pulgadas. Si el peso se suelta desde la posici´on on de equilibrio con una velocidad dirigida hacia abajo de 2 pulg/s pulg/s,, determine: a) La ecuaci´on on diferencial y condiciones iniciales que describen el movimieno. b) La ecuaci´ on del movimiento. c) La posici´on, on on, velocidad y aceleraci´on on del peso 4 segundos s egundos despu´es. es.
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Por favor, coloque el inicial del apellido pater paterno no en el cuadr cuadro. o. Que tengas ´exito. exito.
