11. x2 y + 5xy + 4 y = 0; y1 = 12. x2 y
1
, y2 = 2
ln x
x2 − xy + 2 y = 0; y1 = x cos(ln x), y2 = x sen(ln x) x
En los los pr problemas oblemas 13 al al 16 sustit sustituir uir y erx dentro de la ecuación diferencial dada para determinar todos los valores de la constante r, r, para los cuales y erx es una solución de la ecuación. 13. 3 y = 2 y 15. y + y −
2y = 0
14. 16.
4y = y 3y + 3y − 4y = 0
ficar primero que y ( x En los problemas 17 al 26 veri veri fi x) satisface la ecuación diferencial dada. Después determinar un valor de la constante C, tal que y( x x) satisfaga la condición inicial dada. Usar una computadora o calculadora grá fica (si se desea) para trazar varias soluciones de la ecuación diferencial dada, y destacar la que satisfaga la condición inicial. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
y + y = 0; y(x) = Ce − x , y(0) = 2 y = 2 y ; y(x) = Ce 2x , y(0) = 3 y = y + 1; y(x) = Ce x − 1, y(0) = 5 y = x − y; y(x) = Ce − x + x − 1, y(0) = 10 3 y + 3x 2 y = 0; y(x) = Ce − x , y(0) = 7 e y y = 1; y(x) = ln(x + C), y(0) = 0 dy + 3 y = 2x 5 ; y(x) = 14 x 5 + Cx − 3, y(2) = 1 x dx xy − 3 y = x 3 ; y(x) = x 3 ( C + ln x), y(1) = 17 y = 3x 2(y 2 + 1); y(x) = tan (x 3 + C), y(0) = 1 y + y tan x = cos x; y(x) = (x + C) cos x, y (p) = 0
35. En una ciudad con una población fi ja de P personas, la razón de cambio respecto del tiempo de un número N de
personas que han escuchado cierto rumor es proporcional al número de ellas que aún no lo han escuchado. 36. En una ciudad con una población fi ja de P personas, la razón de cambio respecto del tiempo de un número N de personas infectadas con cierta enfermedad contagiosa es proporcional al producto del número de aquellas que tienen la enfermedad y al número de las que no la tienen. En los problemas 37 al 42 determinar por inspección inspección al menos una solución de la l a ecuación diferencial diferencial dada. Esto es, aplicar el conocimiento sobre derivadas para hacer una suposición inteligente, y posteriormente probar su hipótesis. 37. y = 0 39. xy + y = 3x 2 41. y + y = e x
43. (a) Si k es una constante, mostrar que una solución gene-
ral (de un parámetro) de la ecuación diferencial dx
= kx d t
44.
En los problemas problemas 27 al 31 una función y g( x x) se describe por alguna propiedad geométrica de su grá fica. Escriba una ecuación diferencial de la forma dy/ dx dx f( x x, y) que tenga la función fun ción g como como su solución solución (o como como una de sus soluciones). soluciones).
45.
27. La pendiente de la gráfica de g en el punto ( x x, y) es la suma de x y y. 28. La línea tangente a la grá fica de g en el punto ( x x, y) corta el eje de las x en el punto ( x 2, 0). x/ 2, 29. Toda línea recta normal a la gráfica de g pasa a través del
46.
punto (0, 1). Proponga: ¿cómo sería la grá fica de la función g? 30. La gráfica de g es normal a toda curva de la forma y x2 k (siendo k constante) en el punto donde se encuentran. 31. La línea tangente a la grá fica de g en ( x, y) pasa a través del punto ( y, x).
47. En los problemas 32 al 36 escribir —en la forma de las ecuaciones (3) a la (6) de esta sección— una ecuación diferencial que sea un modelo matemático de la situación descrita.
32. La razón de cambio respecto del tiempo de una población P es proporcional a la raíz cuadrada de P. 33. La razón de cambio respecto del tiempo de la velocidad v
38. y = y 40. (y )2 + y 2 = 1 42. y + y = 0
2
está dada por x(t ) 1/(C kt ), donde C es una constante arbitraria. (b) Determinar por inspección una solución del problema de valor x¿ kx2, x(0) 0. (a) Continuando con el problema 43, asumir que k es positiva y diseñar grá ficas de soluciones de x¿ kx2 para varios valores positivos de x(0). (b) ¿Cómo difieren estas soluciones si la constante k es negativa? Considérese que una población de P roedores satisface la ecuación diferencial dP/ dt dt kP2. Inicialmente, hay P(0) 2 roedores, y su número se va incrementando a razón de dP/ dt dt 1 roedores por mes cuando hay P 10 individuos. ¿Cuánto tiempo tomará a esta población crecer a un ciento de roedores? ¿A un millar? ¿Qué está sucediendo aquí? Supóngase que la velocidad v de un barco costero en el agua satisface la ecuación diferencial d v/ dt k v2. La vev/ dt locidad inicial de la embarcación es v(0) 10 metros/ segundo (m/ s), s), y v disminuye a razón de 1 m/ s2 cuando s. ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que la velov 5 m/ s. cidad del barco disminuya a 1 m/ s? s? ¿A 101 m/ s? s? ¿Cuándo se detiene el barco? En el ejemplo 7 vimos que y( x x) 1/ (C x) de fine una familia monoparamétrica de soluciones de la ecuación diferencial dy/ dx dx y2. ( a) Determinar un valor de C tal que y(10) 10. (b) ¿Existe un valor de C tal que y(0) 0? No obstante, por inspección, ¿se puede encontrar una solución de dy/ dx dx y2 tal que y(0) 0? (c) La figura 1.1.8 muestra las grá ficas de las soluciones de la forma y( x x) 1/ (C x) ¿Estas curvas solución llenan todo el
