265 Ecuaciones de segundo grado Resolución de ecuaciones completas de segundo grado sin denominadores aplicando la fórmula general Procedimiento 1. Se lleva la ecuación a la forma 2. Se identifican los coeficientes a, b y c, con su respectivo signo 3. Se hallan las raíces de la ecuación aplicando la fórmula general
Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general:
266 Ecuaciones de segundo grado Resolución de ecuaciones completas de segundo grado sin denominadores aplicando la fórmula general Procedimiento 1. Se suprimen paréntesis y se efectúan las operaciones indicadas 2. Por reducción de términos semejantes, se lleva la ecuación a la forma 3. Se hallan las raíces de la ecuación aplicando la fórmula general
267 Ecuaciones de segundo grado
Procedimiento 1. Se lleva la ecuación a la forma 2. Se identifican los coeficientes b y c, con su respectivo signo 3. Se hallan las raíces de la ecuación aplicando la fórmula particular
Resolver las siguientes ecuaciones aplicando la fórmula particular:
268 Ecuaciones de segundo grado Resolución de ecuaciones de segundo grado con denominadores Procedimiento 1. Se lleva la ecuación a la forma 2. Se identifican los coeficientes a, b y c, con su respectivo signo 3. Se hallan las raíces de la ecuación aplicando la fórmula general
Resolver las siguientes ecuaciones por la fórmula general:
269 Ecuaciones de segundo grado Resolución de ecuaciones de segundo grado por descomposición en factores Procedimiento Nota1: De la aritmética sabemos que cualquier cantidad multiplicada por 0 da 0 y, por extensión, que si uno de los factores de un producto de una cantidad finita de factores es 0, el producto final es 0. Teniendo esto presente, procedemos de la siguiente manera: 1. Transformamos la ecuación de tal modo que podamos factorizarla 2. En el miembro izquierdo de la ecuación escribimos todos los términos, ya prestos a factorizar o ya factorizados; y, en el miembro derecho escribimos 0, esto es, igualamos la ecuación a 0 3. Factorizamos 4. Igualamos cada uno de los factores a 0 5. Despejamos a x en cada factor
Resolver por descomposición en factores:
270 Ecuaciones literales de segundo grado
Procedimiento 1. Se lleva la ecuación a la forma 2. Se factoriza el miembro izquierdo; y, como el producto de dos factores da cero cuando uno cualquiera de ellos es cero, se iguala cada uno de los factores a 0 y se despeja para x. 3. También se pude aplicar la fórmula general:
previamente identificando los coeficientes a, b y c.
Resolver las ecuaciones:
271 Ecuaciones literales de segundo grado Ecuaciones incompletas Procedimiento Para resolver ecuaciones incompletas en las que falta el término en x, esto es, cuando b = 0, se procede de la siguiente manera: 1. Se escribe la ecuación en la forma 2. Se identifican los valores numéricos de los coeficientes a y c 3. Se sustituyen los valores numéricos de los coeficientes en la fórmula
Deducción de la fórmula (*):
Resolver las ecuaciones:
272 Ecuaciones literales de segundo grado Ecuaciones incompletas Procedimiento Para resolver ecuaciones incompletas en las que falta el término c, esto es, cuando c = 0, se procede de la siguiente manera: 1. Se escribe la ecuación en la forma 2. Se factoriza la ecuación anterior obteniendo la ecuación equivalente 3. Se iguala cada uno de los factores anteriores a cero
4. Como se puede deducir una de las soluciones siempre es cero; la otra solución se calcula sustituyendo los valores numéricos de los coeficientes a y b en (*) Resolver las ecuaciones:
273 Ecuaciones de segundo grado con radicales Ecuaciones con radicales que se reducen a segundo grado. Soluciones extrañas Procedimiento 1. Se despeja la incógnita como se enseña en los Ejercicios 251 y 252 2. Se sustituyen las raíces obtenidas en la ecuación original 3. En el caso de que al sustituir uan raíz y realizar las operaciones se llegue a una falsedad, se desecha esta raíz 4. Si al sustituir y realizar las operaciones indicadas se llega a una identidad, se toma esta raíz como la solución de la ecuación Resolver las ecuaciones siguientes haciendo la verificación con ambas raíces:
274 Ecuaciones de segundo grado Representación y solución gráfica de ecuaciones de segundo grado Procedimiento Nota: la forma general de la función cuadrática es La gráfica de una función cuadrática (de segundo grado) es una parábola; para representar gráficamente dicha función se procede así: 1. Se construye una tabla de valores ( seis pares de valores son suficientes) 2. Es indispensable hallar las coordenadas del vértice de la parábola. Para hallar la abscisa del vértice se utiliza la fórmula:
La ordenada o valor de la función en el vértice se halla sustituyendo el valor de x, obtenido mediante la fórmula anterior, en la ecuación y realizar las operaciones indicadas 3. También es muy útil hallar las coordenadas del punto donde la gráfica corta al eje y, lo cual se consigue sustituyendo la x por 0 y operando. La conclusión final es que la gráfica corta al ejey en c 4. Se ubican en el plano cartesiano los puntos cuyas coordenadas hemos hallado en los pasos precedentes, y se unen mediante una curva 5. La solución gráfica de la ecuación de segundo grado (las raíces de la ecuación, esto es, los valores de x para los cuales la ecuación da 0) son los puntos donde la gráfica corta al eje x.
Representar gráficamente las funciones:
x y
-5 6
-4 0
-3/2 -25/4
0 3
2 -1
1 0
2 6
Resolver gráficamente las ecuaciones:
Como se puede observar en la fig., la gráfica corta al ejex en 1 y en 3; por lo tanto, la solución de la ecuación es: x y
-1 8
4 3
5 8
Como se puede observar en la fig., la gráfica corta al ejex en 2 y en 4; por lo tanto, la solución de la ecuación es: x y
0 8
1 3
3 -1
5 3
6 8
Como se puede observar en la fig., la gráfica corta al ejex en -1 y en 3; por lo tanto, la solución de la ecuación es: x y
-2 5
0 -3
1 -4
2 -3
4 5
Como se puede observar en la fig., la gráfica corta al ejex en -3 y en -1; por lo tanto, la solución de la ecuación es: x y
-5 8
-4 3
-2 -1
0 3
1 8
Como se puede observar en la fig., la gráfica corta al ejex en -3 y en 2; por lo tanto, la solución de la ecuación es:
x y
-2 -4
-1 -6
-1/2 -25/4
275 Problemas que se resuelven por ecuaciones de segundo grado
0 -6
1 -4
278 Teoría de las ecuaciones de segundo grado Dadas las raices de una ecuación de segundo grado, determinar la ecuación Procedimiento 1. Hallamos la suma de las raíces: dicha suma con el signo cambiado será el coeficiente del segundo término de la ecuación 2. Hallamos el producto de las raíces: dicho producto será el coeficiente del tercer término de la ecuación 3. Escribimos la ecuación. El coeficiente del primer término es 1. Nota: si la ecuación tiene coeficientes fraccionarios, podemos eliminar los denominadores multiplicando cada término de la ecuación por el m.c.d. (mínimo común múltiplo de los denominadores)
Determinar la ecuación cuyas raíces son:
279 Teoría de las ecuaciones de segundo grado Dadas la suma y el producto de dos números, hallar los números
Procedimiento 1. Escribimos una ecuación de segundo grado con los siguientes coeficientes: a = 1; b: suma de los números con el signo cambiado (dada); c: producto de los números (dado) 2. Hallamos las raíces de la ecuación (por factorización o aplicando la fórmula general)
Encontrar los números sabiendo que:
280 Teoría de las ecuaciones de segundo grado Descomponer un trinomio en factores hallando las raíces Procedimiento 1. Se ordena el trinomio en forma descendente 2. Igualamos el trinomio a cero 3. Aplicando la fórmula general, se hallan las raíces de la ecuación 4. Se descompone el trinomio en tres factores: el coeficiente de x^2, x menos una de las raíces, x menos la otra raíz 5. Se operan las fracciones y se simplifica, si es el caso
Descomponer en factores, hallando las raíces:
281 Teoría de las ecuaciones de segundo grado Representación gráfica de las variaciones del trinomio de segundo grado
Procedimiento Para observar las variaciones de un trinomio de segundo grado es conveniente representarlo gràficamente en el plano cartesiano. La gràfica de una ecuaciòn de segundo grado es una paràbola. Para determinar las propiedades del trinomio trazando la paràbola en el plano cartesiano se tienen en cuenta los siguientes pasos:
Representar los siguientes trinomios y estudiar sus variaciones:
x y
-1 6
0 2
1 0
3/2 -1/4
2 0
x y
-5 0
-4 5
-2 9
0 5
1 0
282 Ecuaciones Binomias
3 2
4 6
Procedimiento
Resolver las ecuaciones:
283 Ecuaciones Trinomias Ecuaciones bicuadradas
Procedimiento
Resolver las ecuaciones siguientes, hallando todas las raíces:
284 Ecuaciones Trinomias Procedimiento
Resolver las ecuaciones:
284 Ecuaciones Trinomias
Procedimiento
Resolver las ecuaciones:
