SESION 9c

UBICACIÓN DEL CENTRO DE MASA Y CENTRO DE RIGIDEZ EN EDIFICACIONES CON MUROS DE DUCTILIDAD LIMITADA

DATOS COMPLEMENTARIOS: 

Altura libre de piso a techo (h) : 2.40 m



Espesor del muro (e) : 0.10 m



Modulo de Elasticidad del Concreto (Ec) : 2173000 T/m 2



Peso por unidad de Volumen : 2.4 T/m 3



Coeficiente de Poisson : 0.2



Coeficiente de Expansión Térmica: 9.900 E-06



Resistencia a la compresión del concreto (f´c) : 2100 T/m 2



Esfuerzo de Fluencia del Acero (fy) : 42000 T/m2

DR. GENNER VILLARREAL CASTRO

ING. MARCO CERNA VASQUEZ ~2~


SOLUCION

CÁLCULO DEL CENTRO DE MASA Para determinar la ubicación en el eje X e Y del centro de masa de una edificación, se indica que deben cumplirse las siguientes expresiones:

;

PROCEDIMIENTO 1. Teniendo en consideración el plano general, se le asignará una

codificación a cada muro de la estructura en los ejes X e Y para poder realizar los cálculos con mayor eficiencia. Se puede visualizar los nombres DR. GENNER VILLARREAL CASTRO



de los muros en el siguiente plano. Cabe resaltar que la junta de dilatación de fragua (1) es a criterio del proyectista.

JUNTA EN MURO

Mx1

Mx2

Mx3

Mx4

My1 My15

My12

My7

My2

JUNTA EN MURO

My5 My9 Mx5

My6

Mx7

Mx8

My8 My3

My16

Mx6

My10

My14

Mx9 JUNTA EN MURO

My13

Mx10

Mx11

My11 My4 Mx12

Mx13 JUNTA EN MURO

Plano 1. Distribución y codificación de los muros

(1) Para muros mayores de 4 metros se recomienda una junta de dilatación de fragua por la concentración de esfuerzos que pueda experimentar el muro.

2. Luego se determinan las características de los Muros, necesitando conocer

su longitud y distancia al centroide de cada muro en los dos ejes. En los DR. GENNER VILLARREAL CASTRO



siguientes planos, se especifica el procedimiento que se debe seguir para determinar las características que necesitamos. 3.150 y

Mx1

x 0 0 7 . 0

My1

My7

My2

My5 Mx5

Plano 2. Ejemplo de la My6

longitud de un muro

Mx7

1.675 y

Mx1

x 0 5 3 . 0

My1

My7

My2

My5 Mx5

Plano 3. Ejemplo de las My6

distancias al centroide para un muro

Mx7

Luego, al haber obtenido las características necesarias de los muros en X e Y, se procesan los valores como se muestra en las Tablas 1 y 2 para el caso de Centro de Masa. DR. GENNER VILLARREAL CASTRO



Tabla 1. Cuadro de Cálculos de los Muros en el eje X MURO X MX1 MX2 MX3 MX4 MX5 MX6 MX7 MX8 MX9 MX10 MX11 MX12 MX13

H 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4

e 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.12 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10

L 3.25 0.65 1.93 0.88 1.50 1.70 3.35 1.00 3.25 0.65 3.50 3.40 0.65

γ (T/m3)

2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Σ

P 1.872 0.3744 1.1088 0.504 0.864 0.9792 1.9296 0.6912 1.872 0.3744 2.016 1.9584 0.3744 14.9184

X 1.675 3.675 6.363 9.763 0.85 5 1.675 5.45 1.725 3.825 7.4 1.8 3.825

PX 3.136 1.376 7.055 4.921 0.734 4.896 3.232 3.767 3.229 1.432 14.918 3.525 1.432 53.654

Tabla 2. Cuadro de Cálculos de los Muros en el eje Y MURO Y MY1 MY2 MY3 MY4 MY5 MY6 MY7 MY8 MY9 MY10 MY11 MY12 MY13 MY14 MY15 MY16

H 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4

e 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10

L 0.70 1.75 0.70 1.05 0.65 1.55 3.90 0.40 0.65 2.40 1.85 3.80 0.60 2.50 2.60 3.50

γ (T/m3)

2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 2.4 Σ


P 0.4032 1.008 0.4032 0.6048 0.3744 0.8928 2.2464 0.2304 0.3744 1.3824 1.0656 2.1888 0.3456 1.44 1.4976 2.016 16.4736

Y 0.35 2.975 6.25 8.525 3.125 3.925 1.95 5.7 3.475 6 8.125 2 6.9 6.05 1.3 4.35

PY 0.141 2.999 2.520 5.156 1.170 3.504 4.380 1.313 1.301 8.294 8.658 4.378 2.385 8.712 1.947 8.770 65.628



3. Mediante las

expresiones indicadas anteriormente, calculamos las

coordenadas de ubicación del Centro de Masa de este edificio.

Para la coordenada X

Para la coordenada Y




CALCULO DEL CENTRO DE RIGIDEZ Para el presente cálculo, se adoptó un criterio de sección transformada, pues al presentarse muros en sentido transversal a los analizados, estos tienen una cierta participación favorable a la rigidez de los mismos.

La sección transformada fue considerada 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección y lugar del muro transversal, así también como para el lado opuesto del mismo. En muros donde las longitudes de los muros transversales fueron menores que 0.80 m, se consideró la longitud real dividida en partes iguales para cada lado del muro.

Para el cálculo del centro de rigidez, deben de cumplirse las siguientes expresiones:

; PROCEDIMIENTO




1. Como ejemplo ilustrativo se tomó los muros MX11 y MY4. Los resultados obtenidos de esta sección, fueron con el soporte del programa AutoCAD2007. A continuación se detalla el análisis realizado:

MURO MY4

5 0 . 1



Longitud real: 3.50m



Espesor: 0.10 m

My4 Mx12 3.40

Plano 4. Sección del Muro

Sección Transformada:

My4

Plano 5. Sección transformada del Muro MY4 Mx12

0.40

0.40

En el plano, se puede visualizar la sección transformada del muro MY4. El muro perpendicular MX12, cuya longitud es mayor de 0.80m, nos indica que debemos considerar 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección del muro transversal.




2. Aplicando el comando Massprop, obtenemos: 

Área (At): 0.1850 m2



Principal moments and X-Y directions about centroide: (i)

J: 0.0200 along (0.0000 1.0000)

Gráfico 1. Ventana del comando Massprop del Muro MY4

3. Con las siguientes cuatro ecuaciones se procederá a obtener los datos necesarios del muro en estudio.


ING. MARCO CERNA VASQUEZ ~ 10 ~


Donde: Ec: Modulo de elasticidad del concreto h: altura libre (2.4 m) G: Módulo de Corte : Coeficiente de Poisson

4. Con el factor “K” obtenemos KYi, resultante del producto de K con Yi

(distancia del punto de origen al centroide de la sección o muro real. El resumen de los cálculos realizados se presenta en las Tablas 3 y 4.

5. De igual forma, realizamos el mismo proceso para el muro MX11. El

procedimiento de este muro se muestra a continuación. DR. GENNER VILLARREAL CASTRO



MURO MX11



Longitud real: 3.50m



Espesor: 0.10 m

My14

0 6 . 0

0 5 . 2

My13

Mx11 3.50

Plano 6. Sección del Muro

Sección Transformada:

0 4 . 0

0 3 . 0 0 3 . 0

0 4 . 0

Plano 7. Sección transformada del Muro MX11

En el plano anterior, se puede visualizar la sección transformada del muro en estudio. El muro perpendicular MY14, al ser mayor de 0.80m, nos indica que consideraremos 4 veces el espesor del muro (0.40 m) en la dirección del muro transversal, en cambio, el muro DR. GENNER VILLARREAL CASTRO



MY13 se dividirá en dos partes iguales (0.30m) para cada lado del muro indicado.

6. Aplicando el comando Massprop, obtenemos: 

Área (At): 0.500 m2



Principal moments and X-Y directions about centroide: (i)

J: 0.7736 along (0.0000 1.0000)

Gráfico 2. Ventana del comando Massprop

7. Como en el ejemplo anterior, usaremos las ecuaciones para obtener los datos necesarios del muro en estudio.




8. Con el factor “K” obtenemos KXi, resultante del producto de K con Xi

(distancia del punto de origen al centroide de la sección o muro real. El resumen de los cálculos realizados se presentan en las Tabla 3 y 4.

Tabla 3. Cuadro de Cálculo de los Muros en el eje X

MURO X MX1 MX2 MX3 MX4 MX5 MX6 MX7 MX8 MX9 MX10 MX11 MX12 MX13

Sección Transformada Area J 0.415 0.4839 0.065 0.0023 0.273 0.0716 0.178 0.0162 0.305 0.1154 0.325 0.1530 0.415 0.3428 0.120 0.0100 0.445 0.5985 0.155 0.0077 0.500 0.7736 0.430 0.5455 0.155 0.0077

f 1.277 1.000 1.416 2.029 2.033 1.912 1.239 1.000 1.369 2.385 1.429 1.265 2.388


K 6760.376 103.901 2036.931 520.047 1841.958 2290.699 6256.656 427.222 6800.009 268.440 7376.806 7276.516 268.350

X 1.675 3.675 6.363 9.763 0.85 5 1.675 5.45 1.725 3.825 7.4 1.8 3.825

KX 11323.629 381.836 12960.994 5077.223 1565.664 11453.493 10479.898 2328.361 11730.015 1026.783 54588.364 13097.729 1026.437



42227.90995

137040.427

Tabla 4. Cuadro de Cálculo de los Muros en el eje Y

MURO Y MY1 MY2 MY3 MY4 MY5 MY6 MY7 MY8 MY9 MY10 MY11 MY12 MY13 MY14 MY15 MY16

Sección Transformada Area J 0.15 0.0063 0.255 0.0599 0.15 0.0063 0.185 0.02 0.155 0.0061 0.245 0.0699 0.47 0.734 0.13 0.0061 0.155 0.0077 0.24 0.0002 0.325 0.1731 0.55 1.0721 0.15 0.0063 0.33 0.2175 0.34 0.2421 0.35 0.0003

f 2.143 1.457 2.143 1.762 2.385 1.581 1.205 3.250 2.385 1.000 1.757 1.447 2.500 1.320 1.308 1.000

K 239.460 1740.510 239.460 664.634 224.853 1743.686 9028.241 177.676 268.440 9.425 2673.117 8284.838 223.764 4212.691 4528.190 14.137 34273.11961

Y 0.35 2.975 6.25 8.525 3.125 3.925 1.95 5.7 3.475 6 8.125 2 6.9 6.05 1.3 4.35

KY 83.811 5178.018 1496.622 5666.007 702.666 6843.969 17605.069 1012.754 932.829 56.548 21719.072 16569.675 1543.971 25486.778 5886.647 61.494 110845.930

En el siguiente plano, se muestra las secciones transformadas de todos los muros de la edificación, que fueron usados para obtener los parámetros del Cálculo de Rigidez.




SECCIONES TRANSFORMADAS

Mx1

Mx3

Mx2

Mx4

Mx7

Mx8

Mx6

Mx5

Mx11

Mx10 Mx9

Mx12

Mx13




Plano 8. Secciones transformadas de los muros del eje X




SECCIONES TRANSFORMADAS

My1

My3

My4

My2

My8 My5 My7

My6

My9

My12

My10 My13 My11

My16

My14

My15




Plano 9. Secciones transformadas de los muros del eje Y

9. Mediante las

expresiones indicadas anteriormente, calculamos las

coordenadas de ubicación del Centro de Rigidez de este edificio.

Para la coordenada X

Para la coordenada Y

En el siguiente plano, ubicamos los valores obtenidos para el caso del Centro de Masa y Centro de Rigidez, para luego realizar los ajustes que fueran necesarios, con la finalidad de cumplir con la Norma E030, con la determinación del Centro de Masa Real.







y x

4 3 2 . 3

3 8 9 . 3

3.245

CR 3.596

CM

Plano 10. Ubicación del Centro de Masa y Centro de Rigidez




10. Ahora procederemos a calcular las respectivas excentricidades que nos

brindará el nuevo centro de masa.

Entre el centro de masas y el centro de rigidez se cumple:

ex =Xcm-Xcr = 3.596 - 3.245 = 0.351

ey =Ycm-Ycr = 3.983 - 3.234 = 0.749

Para efectos de torsión se consideró la excentricidad accidental (Norma E030-2006) en cada nivel, como 0.05 veces la dimensión del edificio en la dimensión perpendicular a la aplicación de la fuerza.

ex’ =0.05 Lx = 0.05*10.30 = 0.515

ey’ =0.05 Ly = 0.05*9.05 = 0.453

11. Finalmente el cambio del centro de masa con respecto a la excentricidad accidental es:

Xcm = 3.596 + 0.515 = 4.111 m Ycm = -(3.983 + 0.453) =- 4.436 m


(2)



(2) En este caso, al estar ubicado el punto (0, 0) en la parte superior (ver planos), el signo de esta excentricidad cambia.




y x

4 3 2 . 3

6 3 4 . 4

3.245

CR

4.111

CM

Plano 11. Ubicación del Nuevo Centro de Masa



SESION 9c

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