EJERCICIO 9C-3 En la preparación de la forja de un blanco para engrane, una palanquilla de acero de 200mm de diámetro y 400mm de altura se recalca a 1000°Chasta formar una torta de 100mm de espesor. Un lubricante de grafito reduce la fricción μ=0.2. como parte de su proceso de diseño, a) haga un boceto de la operación, b) calcule la presión promedio de la matriz, c) la fuerza que se requiere para forjar la parte si se usa una prensa hidráulica con una velocidad de 3m/min exprese el resultado final en unidades USCS. SOLUCION Datos de entrada Diámetro inicial, d0 = 200mm Altura inicial, h0 = 400mm Altura final hF = 400mm Temperatura, T = 1000°C Coeficiente de fricción, μ = 0.2 Velocidad v = 3 m/min Especificación del acero: AISI SAE 1045 a) Boceto de la operación
fig. 1 Esquema del proceso
fig. 2 Comportamiento de la pieza
Desarrollo de la parte b: Presión promedio de la matriz. Por simple inspección, se sabe que el trabajo es en caliente, ya que se está forjando la pieza a 1000 °C. Por esta razón, el esfuerzo de fluencia se asume como: (1) f C m i Donde C = coeficiente de la resistencia, m = exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación y έ = tasa de deformación. Además
v , donde v = velocidad y h = altura de la h
pieza. Inicialmente se tiene que h = 400 mm, y como se considera la velocidad constante = 3m/min se tiene que:
m 1000mm 1min v 3 min 1m 60s 0.125 s 1 h 400mm
Para este acero, C = 120 MPa y m = 0.13 1, de la ecuación 1 se tiene que:
f (120MPa)(0.125s 1 ) 0.13 91.6MPa Para encontrar la presión de forjado se sigue de la siguiente ecuación: (2) pa f Qa 2 Donde Qa se encuentra en la figura 3 mediante la relación d/h de la cual se obtiene lo siguiente: d 0 200mm 0.5 h0 400mm
Fig. 3 Presiones promedio De esta relación se tiene que Qa = 1 por ende, de la ecuación 2: pa (91.6MPa)(1) 91.6MPa
Como ya se sabe, la fuerza aplicada es perpendicular al area de contacto entre el dado y la superficie de la pieza. En este orden de ideas se tiene que: (3) Fa pa Ac Donde Ac = area de contacto. Para este problema, como es un cilindro el area está dada por: A0
4
d2
A0
4
(200mm) 2 31415,9mm 2
Luego de obtener este resultado de la ecuación 3 se tiene que:
Fa (91.6MPa )(31415.9mm 2 )
1KN 1000MN
Fa 2876.93KN
Este mismo proceso se hace para alturas que varíen cada 100 mm hasta llegar a la altura deseada. En este caso para h1 = 300 mm. Para poder hallar el diámetro correspondiente a esta altura se necesita el volumen inicial dado por: V
d 0 h0 2
(200mm) 2 (400mm) 12566370.6mm 3
4 4 Como se considera la invariabilidad del volumen y al despreciar el abarrilamiento mostrado en la figura 1 se tiene que el diámetro correspondiente a 300 mm es:
4 V 4 (12566370.6mm3 ) h1 (300mm) Y además, el area de contacto es: d1
A1
4
d1 230.9mm
(230.9mm) 2 41887.9mm 2
La tasa de deformación está dada por: m 1000mm 1 min v 3 min 1m 60s 0.167 s 1 h1 300mm
Por ende, el esfuerzo de fluencia en esta etapa es:
f (120MPa)(0.167s 1 ) 0.13 95.07MPa
d1 230.9mm 0.77 con un coeficiente de rozamiento de 0.2 h1 300mm Qa = 1. Por consiguiente la presión ejercida es:
Para una relación
pa (91.6MPa)(1) 91.6MPa
De aquí se tiene que la fuerza aplicada es: Fa (95.07 MPa )(41887.9mm 2 ) Fa 3982.08KN
Estos resultados se muestran en la tabla 2.
1KN 1000MN
Tabla 1. Datos de entrada del problema Acero 1045 en caliente C=120 Mpa m=0,13 v=50 m/s T=1000ºC Do=200mm ho=400mm 3 V=12566370,6mm
Tabla 2. Resultados del problema3
Punto Num.
h (mm)
Deformación unitaria ε
Tasa de deformación έ (1/s)
Esfuerzo de fluencia σf N/ mm2
Ec. (9-3)
Ec.(8-5b)
Ec.(8-10)
Ec.(8-11)
d1 (mm)
A1 (mm2)
Ec4
Ec. (9-2c)
Ec. (9-2b)
Qa
pa N/ mm2
Fa KN
fig. 9-6
Ec. (9-7)
Ec. (9-4)
d/h
0
400
200,0
31415,9
0
0
0,125
91,58
0,50
1
91,58
2876,93
1
300
230,9
41887,9
0,25
0,288
0,167
95,07
0,77
1
95,07
3982,08
2
250
253,0
50265,5
0,17
0,182
0,200
97,35
1,01
1
97,35
4893,11
3
200
282,8
62831,9
0,20
0,223
0,250
100,21
1,41
1,01
101,21
6359,38
4
100
400,0
125663,7
0,50
0,693
0,500
109,66
4,00
1,2
131,59
16536,30
EJERCICIO 9C – 7 La brida del ejemplo 9 – 23 se forja de acero 1045 en una prensa hidrauilca a 1000 ºC. la velocidad de la presna es de 70 mm/s; se usa un lubricante grafitado. Tome las dimensiones del anillo de la extensión de la figura 7 – 9b. El campo de la rebaba es de 6 mm de ancho. Para evaluar los meritos relativos de los diseños alternos, estime la fuerza de forjado para la configuración de a) la figura del ejemplo 9 – 23ª (material de desecho plana de 5 mm de espesor9 y b) la figura del ejemplo 9 – 23b (rebaba interna). DECLARACION DE VARIABLES 𝑃 = Presión del troquelo móvil
[Mpa]
𝜎𝑓 = Esfuerzo de fluencia promedio
[Mpa]
𝑄𝑝 = Factor de multiplicación de la presión ( Qa )
[Adimensional]
𝐴𝐹 = Área final de contacto entre troqueles
[mm2]
𝐶 = Coeficiente de resistencia de trabajo en caliente
[Adimensional]
𝜀 = Tasa de deformación
[𝑠 −1 ]
𝑣 = Velocidad del ariete
[mm/s]
𝐹 = Fuerza de la prensa
[kN]
La figura del ejemplo 9- 23 del libro (Procesos de manufactura – John A. Schey), tomamos las medidas de la brida mostrada del ejemplo 7-9 que se muestra en la siguiente figura.
La utilización de forjado por matriz de impresión es muy útil para la creación de formas complejas con gran precisión y muy buen acabado. La brida indicada puede fabricarse por medio de un cilindro inicialmente; calentado la pieza para
trabajar en caliente, el proceso obtiene un mejor resultado debido a la disminución de esfuerzos de compresión y una buena resistencia para la pieza. La fuerza de la prensa es un factor que se debe promediar debido a que varía de acuerdo a la forma de la pieza y dentro de esta misma. Para el cálculo de la tasa de deformación necesitamos calcular una altura promedio debido a la forja. Para ello se necesita la área proyectada y calcular el volumen de la brida. Se parte de que el volumen de la brida es: 𝑉 = 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝜋(𝑟 2 𝑒𝑥𝑡 − 𝑟 2 𝑖𝑛𝑡 ) 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝜋(502 − 22,12 ) 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 6319,6 𝑚𝑚3 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝜋(𝑟 2 𝑒𝑥𝑡 − 𝑟 2 𝑖𝑛𝑡 ) 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝜋(352 − 7,12 ) 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 3690,1 𝑚𝑚3 𝑉 = 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝑉𝐷𝑖𝑠𝑐 .𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑉 = 6319,6 𝑚𝑚3 + 3690,1 𝑚𝑚3 𝑉 = 10009,7 𝑚𝑚3
En la anterior imagen se encuentra una vista superior de la brida en donde el área gris denota el volumen de la rebaba. De aquí sacamos la deducción del área proyectada manejando el radio de 6 mm adicional de rebaba que se forma en la pieza.
𝐴𝐹 = 𝜋𝑟 2 𝐴𝐹 = 𝜋(56 𝑚𝑚)2 𝐴𝐹 = 9852 𝑚𝑚2 = Según la regla general de la rebaba mostrada se calcula una altura promedio: 𝑝𝑟𝑜𝑚 = 0,015 𝐴𝐹
0,5
𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,48 𝑚𝑚 Se define la tasa de deformación como el cociente entre la velocidad de la prensa y la altura promedio, entonces se tiene que: 𝜀=
𝜀=
𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 70
𝑚𝑚 𝑠
1,48 𝑚𝑚
𝜀 = 47,297 𝑠 −1 En la tabla 8 – 3 Propiedades de manufactura de varias aleaciones no ferrosas (Procesos de manufactura – John A. Schey) se encuentran los valores siguientes: 𝐶 = 120 𝑀𝑃𝑎 𝑚 = 0,13 El esfuerzo de fluencia promedio se calcula así: 𝜎𝑓 = 𝐶 𝜀
𝑚
𝜎𝑓 = 120 𝑀𝑃𝑎 47,297 𝑠 −1
0,13
𝜎𝑓 = 198,111 𝑀𝑃𝑎 Forma forjada Sencilla y sin rebaba. 3–5 Sencilla y con rebaba. 5–8 Compleja (costillas altas y 8 - 12 almas delgadas)
𝑸𝒄
En este tipo de forjado utiliza la ecuación de esfuerzo de fluencia en caliente con la variación de que la deformación real pasa a ser la tasa promedio de
deformación 𝜀𝑝𝑟𝑜𝑚 . La constante C se define como el coeficiente de resistencia y m es la constante de sensibilidad a la tasa de deformación. El factor de multiplicación 𝑄𝑐 cuantifica la complejidad de la forma que posee la pieza, los valores de este factor aparecen en la tabla 1, por lo general la fuerza de forja para aceros se mantiene por debajo de 700 MPa. De aquí tomamos el valor del factor de multiplicación de la fuerza en 8. Por lo tanto, se tiene que una aproximación de la fuerza aplicada está dada por: 𝐹 = 𝜎𝑓 𝑄𝑐 𝐴𝐹 𝐹 = 198,111 𝑀𝑃𝑎 8 9852 𝑚𝑚2 𝐹 = 15614,23 𝑘𝑁.
EJERCICIO 9C-8 Una palanquilla de 𝑑𝑜 = 50 𝑚𝑚 y 𝑜 = 75 𝑚𝑚 de Una aleación de Al 2017 se comprimirá hasta 1 = 20 𝑚𝑚 de altura en una prensa hidráulica (velocidad del 𝑚𝑚 ariete 100 𝑠 ) a 500 º C entro yunques sin lubricar. (a) Para el final de la carrera, obtenga la presión en la interfaz y La fuerza de la prensa. (b) ¿Que incremento en el esfuerzo y en la fuerza ocurriría si la pieza de trabajo se enfriara hasta 400 º C? DECLARACION DE VARIABLES 𝑑𝑂 = Diámetro inicial
[mm]
𝑑𝐹 = Diámetro final
[mm]
𝑂 = Altura inicial
[mm]
𝐹 = Altura final
[mm]
𝑣 = Velocidad del ariete
[mm/s]
𝐴𝑂 = Área inicial de contacto entre troqueles
[mm2]
𝐴𝐹 = Área final de contacto entre troqueles
[mm2]
𝜎𝑓 = Esfuerzo de fluencia promedio
[Mpa]
𝐶 = Coeficiente de resistencia de trabajo en caliente
[Adimensional]
𝜀 = Tasa de deformación
[𝑠 −1 ]
𝑚 =Exponente de sensibilidad a la tasa de deformación
[Adimensional]
𝑄𝑝 = Factor de multiplicación de la presión ( Qa )
[Adimensional]
𝑃 = Presión del troquelo móvil
[Mpa]
𝐹 = Fuerza de la prensa
[kN]
𝜀 = Deformación real
[mm/mm]
𝑉 = Volumen de la pieza
[mm3]
INFORMACION INICIAL 𝑑𝑂 = 50 𝑚𝑚 𝑂 = 75 𝑚𝑚 𝐹 = 20 𝑚𝑚 𝑣 = 100
𝑚𝑚 𝑠
DESARROLLO El ejercicio establece que el material a trabajar es una aleación de aluminio Al 2017 y que posteriormente se le aplicara un proceso de forjado para obtener una pieza final. Para el inciso a) se parte que el material se encuentra a 500 °C, por lo que se definirán las condiciones a esta temperatura. Se considera un trabajo en caliente, por lo tanto se manejara el coeficiente de resistencia (C) y la tasa de sensibilidad a la deformación (m). En la tabla 8 – 3 Propiedades de manufactura de varias aleaciones no ferrosas (Procesos de manufactura – John A. Schey) se encuentran los valores siguientes: 𝐶 = 36 𝑀𝑃𝑎 𝑚 = 0,12 Cabe mencionar que la tabla 8 – 3 restringe estos valores para deformaciones reales iguales a 0,5. Si se determina la deformación real para este caso, se tiene que: 𝜀 = ln
𝑂 𝐹
𝜀 = ln
75 𝑚𝑚 20 𝑚𝑚
𝜀 = 1,322
A pesar de estar muy alejado el valor del indicado por la tabla, en ausencia de otras fuentes de información bajo ciertas condiciones, en el desarrollo de este ejercicio se empleara la tabla 8 – 3 asumiendo que si corresponde. Para poder determinar la tasa de deformación, necesitamos encontrar la altura promedio desarrollada en el proceso de forjado, para ello se utilizara la siguiente ecuación: 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑉 𝐴𝐹
Como se trata de un cilindro se tiene por lo tanto que: 𝑉 = 0,25𝜋𝑂 𝑑𝑂2 𝑉 = 0,25𝜋(75 𝑚𝑚)(50 𝑚𝑚)2 𝑉 = 147262,16 𝑚𝑚3 Para determinar el área de contacto final, se parte de que el volumen es constante durante el proceso por lo tanto: 𝑉𝑂 = 𝑉𝐹 0,25𝜋𝑂 𝑑𝑂2 = 0,25𝜋𝐹 𝑑𝐹2 𝑑𝐹 =
𝑑𝐹 =
𝑂 𝑑𝑂2 𝐹 75 𝑚𝑚 50 𝑚𝑚 20 𝑚𝑚
2
𝑑𝐹 = 96,8246 𝑚𝑚 De esta manera el área de contacto será: 𝐴𝐹 = 0,25𝜋𝑑𝐹2 𝐴𝐹 = 0,25𝜋 96,8246 𝑚𝑚
2
𝐴𝐹 = 7363,1079 𝑚𝑚2 ≅ 7,36312 10−3 𝑚2 Ya teniendo el área final de contacto y el volumen, podemos determinar una altura promedio: 𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑉 𝐴𝐹
147262,16 𝑚𝑚3 7363,1079 𝑚𝑚2
𝑝𝑟𝑜𝑚 =
𝑝𝑟𝑜𝑚 = 20 𝑚𝑚 = 0,02 𝑚 Se define la tasa de deformación como el cociente entre la velocidad de la prensa y la altura promedio, entonces se tiene que: 𝜀=
𝜀=
𝑣 𝑝𝑟𝑜𝑚 100
𝑚𝑚 𝑠
20 𝑚𝑚
𝜀 = 5 𝑠 −1 Para determinar el esfuerzo promedio surgido en la pieza por causa del forjado y en trabajo en caliente, se tiene que: 𝜎𝑓 = 𝐶 𝜀
𝑚
𝜎𝑓 = 36 𝑀𝑃𝑎 5 𝑠 −1
0,12
𝜎𝑓 = 43,6696 𝑀𝑃𝑎 En la prensa hidráulica, debido a que los yunques están sin lubricar, se establece que es un caso de fricción adherida. Esto conlleva a establecer que para la presión requerida, debemos multiplicar el esfuerzo promedio por un factor de multiplicación de la presión, el cual abarca los efectos de la fricción e implicaciones geométricas. La grafica mostrada en la figura 9 – 6 (Procesos de manufactura – John A. Schey) muestra una relación del factor de multiplicación de la presión respecto al cociente entre el diámetro final respecto a la altura promedio. 𝑑𝐹 𝑝𝑟𝑜𝑚
=
96,8246 𝑚𝑚 = 4,84 20 𝑚𝑚
En la grafica tendremos en cuenta la curva experimental debido a la condición de no lubricación, por lo tanto:
Por inspección se determina que el factor de multiplicación de la presion corresponde a un valor de 1,48. Por lo tanto, la presión requerida para estas condiciones será: 𝑃 = 𝜎𝑓 𝑄𝑝 𝑃 = 43,6696 𝑀𝑃𝑎 1,48 = 64,631 𝑀𝑃𝑎 Partiendo de la definición de la presión como una fuerza ejercida sobre un área determinada, la fuerza necesaria para llevar a cabo el forjado será entonces: 𝐹 = 𝑃𝐴𝐹 𝐹 = 64,631 103 𝑃𝑎 7,36312 10−3 𝑚2 𝐹 = 475885,87 𝑁 = 475,9 𝑘𝑁 Para el inciso b) el material se trabaja con una temperatura de 400 ºC. Esto implica que la constante de resistencia y exponente a la tasa de deformación van a cambiar, por lo tanto: 𝐶 = 90 𝑀𝑃𝑎 𝑚 = 0,12 La tasa de deformación sigue siendo la misma ya que no depende de los valores de la temperatura, por lo tanto el nuevo esfuerzo promedio será:
𝜎𝑓 = 90 𝑀𝑃𝑎 5 𝑠 −1
0,12
𝜎𝑓 = 109,174 𝑀𝑃𝑎 Por inspección se determina que el factor de multiplicación de la presión corresponde a un valor de 1,48. Por lo tanto, la nueva presión requerida para estas condiciones será: 𝑃 = 𝜎𝑓 𝑄𝑝 𝑃 = 109,174 𝑀𝑃𝑎 1,48 = 161,577 𝑀𝑃𝑎 Partiendo de la definición de la presión como una fuerza ejercida sobre un área determinada, la fuerza necesaria para llevar a cabo el forjado será entonces: 𝐹 = 𝑃𝐴𝐹 𝐹 = 161,577 103 𝑃𝑎 7,36312 10−3 𝑚2 𝐹 = 1189713,813 𝑁 = 1189,71 𝑘𝑁 El esfuerzo requerido para la forja del material a 500 ºC corresponde a 43,6696 𝑀𝑃𝑎, y cuando se enfría a 400 ºC se necesita un esfuerzo de 109,174 𝑀𝑃𝑎. El incremento se debe que a menor temperatura los esfuerzos para deformar se incrementan. El incremento neto fue de 65,5044 𝑀𝑃𝑎. Respecto a la fuerza, a 500 ºC se requieren 475,9 𝑘𝑁, mientras que a 400 ºC se necesitan 1189,71 𝑘𝑁. De esta manera se concluye que el incremento de la fuerza cuando la pieza se enfría 100 ºC es de 713,81 𝑘𝑁. R=/: a. La presión en la interfaz corresponde a 64,631 𝑀𝑃𝑎, y la fuerza de aplicación es de 475,9 𝑘𝑁. b. El incremento de la fuerza es de 713,81 𝑘𝑁 mientras que el de la presión es de 65,5044 𝑀𝑃𝑎.
EJERCICIO 9C-9 En el ejemplo 9-3 se calculó que se necesita una energía de 36250 N.m para forjar en caliente la palanquilla. En el ejemplo 9-17 se determino que un martinete de 2000Kg sería suficiente para suministrar esta energía. Ahora suponga que un martinete de 1000Kg es el mas grande disponible. Del ejemplo 9-17 se sabe que se suministrara 18KN.m de energía. La planta propone forjar en tres golpes. Como parte sus diseños del proceso, haga los cálculos aproximados para ver si esto es posible. (Sugerencia: en la figura 9-5 divida el área bajo la curva fuerzadesplazamiento en tres zonas desiguales, recordando que el golpe inicial más suave es más eficiente y puede suministrar mayor energía. Empiece suponiendo una altura de 20mm en el primer golpe; calcule la energía requerida; si es menor que la suministrada por el martinete, proceda al segundo golpe hasta 12.5mm y luego al tercero tomando la palanquilla hasta los 10mm finales. Es posible que se deban hacer iteraciones para encontrar una solución razonable). SOLUCION DATOS DE ENTRADA Diámetro inicial, d0 = 50mm Altura inicial, h0 = 50mm Altura final hF = 10mm Temperatura, T = 1000°C Coeficiente de fricción, μ = 0.2 Velocidad v = 6 m/s Especificación del acero: AISI SAE 1045 a) Boceto de la operación
Fig. 4 Martinete de 1000Kg
Fig. 5 Comportamiento de la pieza
Para analizar el comportamiento del material con respecto a la energía suministrada por el martinete (18KN.m), veremos si esta energía suministrada es suficiente para lograr la deformación requerida en el diseño de la empresa.
Tomamos 3 intervalos de deformación, el primero de 50mm a 20mm; el segundo de 20mm a 12.5mm; y el tercero de 12.5mm a 10mm. Se preparo una hoja de calculo para analizar en intervalos cada paso. PRIMER PASO (50mm a 20mm): Por simple inspección, se sabe que el trabajo es en caliente, ya que se está forjando la pieza a 1000°C. Por esta razón, el esfuerzo de fluencia se asume como:
f C m Donde C = coeficiente de la resistencia, m = exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación έ = tasa de deformación. A demás
v , h
Donde v = velocidad h = altura de la pieza. Inicialmente se tiene que h = 50mm, y como se considera la velocidad constante = 6m/s se tiene que:
m 1000mm v 6 s* 1m 120s 1 h 50mm
Para este acero, C = 120 MPa y m = 0.13 5, de la ecuación 1 se tiene que:
f (120MPa)(120s 1 ) 0.13 223.6MPa Para encontrar la presión de forjado se sigue de la siguiente ecuación: pa f Qa Donde Qa se encuentra en la figura 3 mediante la relación d/h de la cual se obtiene lo siguiente: d 0 50mm 1 h0 50mm De esta relación se tiene que Qa = 1 por ende, de la ecuación 3: pa (223.6MPa)(1) 223.6MPa
Como ya se sabe, la fuerza aplicada es perpendicular al area de contacto entre el dado y la superficie de la pieza. En este orden de ideas se tiene que:
Fa pa Ac 6
Donde Ac = area de contacto. Para este problema, como es un cilindro el area está dada por: A0
4
d2
A0
4
(50mm) 2 1963.49mm 2
Luego de obtener este resultado de la ecuación 4 se tiene que:
Fa (223.6MPa )(1963.49mm2 ) Fa 439.04 KN Este mismo proceso se hace para alturas que varíen cada 10mm hasta llegar a la altura deseada. Estos resultados se muestran en la tabla 3. Tabla 3 Resultados de iteraciones Punto h Num. mm
0 1 2 3
50 40 30 20
d1 mm
A1 mm^2
ec
epsilon
Ec. (9-2c) 50,0 55,9 64,5 79,1
Ec. (9-2b) 1963,5 2454,4 3272,5 4908,7
Ec. (9-3) 0 0,20 0,25 0,33
Ec. (8-5b) 0 0,223 0,288 0,405
Tabla 4 Especificaciones del proceso Acero 1045 en caliente C=120 Mpa m=0,13 v=6000 mm/s T=1000ºC Do=50mm ho=50mm V=98174,7704mm^3
epsilon punto 1/s Ec. (8-10) 120 150 200 300
sigma f N/mm^2 Ec. (8-10) 223,60 230,18 238,95 251,89
d/h
1,00 1,40 2,15 3,95
Qa
fig. 9-6 1 1,01 1,1 1,15
pa N/mm^2
Fa KN
Ec. (9-7) 223,60 232,48 262,85 289,67
Ec. (9-4) 439,04 570,60 860,17 1421,92
Fig. 6 Grafica fe fuerza de forjado Vs. h Midiendo el área bajo la curva por medio de particiones de la figura ¿? Tenemos que: Cada cuadricula del área debajo la curva es 1KN.m y si aproximadamente hay 21.6 cuadros, tenemos que la energía que se requiere para deformar la pieza hasta esas dimensiones es de 21.6KN.m, y el martinete de 1000Kg no puede proporcionar esta energía. Por lo tanto es inviable realizar este procedimiento. Nota: no se analizo en los otros intervalos, dada la inviabilidad del proceso.
EJERCICIO 9C - 13 La seccione en H que se muestra en la figura del ejemplo 7 – 10ª (Procesos de Manufactura, John A, Shey), se va a extruir de una aleación de Al 6061. La sección es de 52 mm de ancho 50 mm de ancho, 50 mm de altura, y el espesor del patín y en el alma es de 3mm. a) Dibuje un bosquejo de la sección; realice cualquier cambio necesario en el diseño, en su análisis, para facilitar la extrusión. b) Obtenga la presión de extrusión y la fuerza mínima para la extrusión sin lubricación de una palanquilla de 150 mm de diámetro a 500 °C, si con la extrusión emerge a una velocidad de 1 m/s. c) Obtenga la presión máxima de extrusión para una palanquilla de 450 mm de longitud. 𝜀 = Deformacion homogénea 𝜀 = Tasa de deformación 𝑚 = Exponente de sensibilidad a la tasa de deformación 𝛼 = Angulo de la matriz o dado 𝑛 = Exponente de endurecimiento 𝑏 = Constante empírica del dado 𝑎 = Constante empírica del dado 𝑃 = Presion ejercida por el pison
(mm/mm) (𝑠 −1 ) (adimensional) (°) (adimensional) (adimensional) (adimensional) (Mpa)
𝐿 = Longitud del tocho remanente 𝐶 = Coeficiente de resistencia 𝐹 = Fuerza ejercida por el pison 𝜀𝑥 = Deformacion de Extrusión 𝑅𝑥 = Relacion de extrusión 𝐷𝑜 =Diametro Inicial del tocho 𝐷𝐸 = Diámetro Equivalente del perfil 𝐴1 = Área inicial seccional Primer diseño 𝐴2 = Área inicial seccional Segundo diseño 𝐴𝑜 = Area seccional del tocho 𝐴𝐸 = Área equivalente 𝜎𝑓𝑚 = Esfuerzo de fluencia promedio por deformación
(mm) (MPa) (N) (mm/mm) (adimensional) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (mm2) (mm2) (Mpa)
𝑤 = Ancho del perfil 𝑎 = Espesor del alma 𝑝 = Espesor del patin
(mm) (mm) (mm)
𝐻 = Altura del perfil 𝑣 = Velocidad de extrusión 𝐾𝑃 = Factor de Forma 𝑃1 = Perímetro Primer Diseño 𝑃2 = Perímetro Segundo Diseño 𝑃𝐸 = Perímetro Equivalente 𝜏𝑖 = Resistencia al cortante 𝜏𝑓 = Cortante de fluencia
(mm) (m/s) (adimensional) (mm) (mm (mm) (MPa) (MPa)
INFORMACION INICIAL Diámetro Inicial del tocho 𝐷𝑜 = 150 𝑚𝑚 Coeficiente de resistencia 𝐶 = 37 𝑀𝑃𝑎 Exponente de sensibilidad a la tasa de deformación 𝑚 = 0,16 Longitud del tocho remanente 𝐿 = 450 𝑚𝑚 𝑚 Velocidad de extrusión 𝑣 = 1 𝑠 DESARROLLO
El ejercicio propone un diseño inicial que se piensa extruir en una aleación Al 6061, el cual se muestra a continuación con sus medidas originales en milímetros:
Mediante la siguiente tabla tomada de Procesos de Manufactura – John A. Schey, se establecen relaciones entre el ancho del perfil (w) y el espesor del alma (ha).
Por lo tanto, cuantitativamente se tendrán dos opciones de análisis, los cuales son:
Tomando como referencia el ancho 𝑤 = 44 𝑚𝑚, se buscara un valor para el espesor del alma (𝑎 ). Tomando como referencia el espesor del alma 𝑎 = 3𝑚𝑚, se buscara un valor para el ancho (𝑤).
En el primer caso, se procede a determinar el respectivo espesor del alma para un ancho de 44 mm.
Claramente se puede ver que para un ancho determinado de 44 mm corresponde un espesor del alma de 2,67 mm. Si hacemos un bosquejo de este diseño quedaría así: 𝐴1 = 418,8 𝑚𝑚2 𝑃1 = 294,6 𝑚𝑚
En el segundo caso de análisis se buscara un valor para el ancho del perfil correspondiente a un espesor de alma de 3 mm.
Por lo tanto se puede ver que para este caso, el ancho del perfil debe ser de 64,92 mm. Haciendo un bosquejo de esta sección quedaría así: 𝐴2 = 494,76 𝑚𝑚2 𝑃1 = 335,84 𝑚𝑚
Se puede indicar que los dos diseños se le hicieron una evaluación de sus medidas a partir de la gráfica anterior. El criterio de selección para este caso será aquel que tenga una menor área seccional, ya que esto reduce los costos de fabricación. Por lo tanto nuestro diseño será el primero. Cuando se va a realizar alguna extrusión, se debe tener en cuenta la forma del dado, ya que esta afecta directamente la presión ejercida por el pisón sobre el tocho. Cabe aclarar que las secciones complejas tenderán a complicar el cálculo de dicha presión, por lo tanto al no ser una sección circular, se determinara un área equivalente redonda de la misma magnitud del perfil, que tenga el mismo efecto sobre el tocho y luego se determina un factor de forma, valor importante para la determinación de la presión.
Inicialmente se tiene que el área seccional del perfil que es de 418,8 mm 2, por lo tanto a partir de la fórmula del área de un círculo, se procede a determinar el diámetro equivalente a esa área: 𝐴𝐸 = 0,25𝜋. 𝐷𝐸2 𝐷𝐸 = 2
𝐴𝐸 𝜋
𝐷𝐸 = 2
418,8 𝑚𝑚2 𝜋
𝐷𝐸 = 23,09 𝑚𝑚 Para determinar si necesitamos hallar un factor de forma, primero debemos establecer que la relación entre el perímetro del perfil y el perímetro del círculo equivalente se encuentra entre valores que van desde 1,0 hasta 6,0. El perímetro del círculo equivalente será: 𝑃𝐸 = 𝜋𝐷𝐸 𝑃𝐸 = 𝜋 23,09 𝑚𝑚 𝑃𝐸 = 72,55 𝑚𝑚 El perímetro del perfil es de 294,6 𝑚𝑚, por lo tanto la relación seria: 𝑃1 294,6 𝑚𝑚 = = 4,06 𝑃𝐸 72,55 𝑚𝑚 Efectivamente la relación se encuentra en el rango permisible para determinar el factor de forma. Por la tanto se procede a su determinación mediante la siguiente ecuación, sacada del libro (Fundamentos de manufactura moderna – Mikell P. Groover): 𝑃1 𝐾𝑃 = 0,98 + 0,02 𝑃𝐸 𝐾𝑃 = 0,98 + 0,02
2,25
294,6 𝑚𝑚 72,55 𝑚𝑚
2,25
𝐾𝑃 = 1,448 Este valor refleja el impacto que tiene un área compleja sobre la presión, y está dada por la ecuación siguiente:
𝑃 = 𝐾𝑃 . 𝜎𝑓𝑚 . 𝜀𝑥 Para determinar la presión ejercida por el pisón, se deben determinar las variables de deformación tanto homogénea como también la de extrusión. En primer lugar, determinamos la relación de extrusión entre el área del tocho y el área equivalente del perfil, determinada anteriormente. 𝑅𝑥 =
𝐴𝑜 𝐴𝐸
𝑅𝑥 =
0,25𝜋. 𝐷𝑜2 0,25𝜋. 𝐷𝐸2
𝑅𝑥 =
𝐷𝑜2 𝐷𝐸2
150 𝑚𝑚 2 𝑅𝑥 = 23,09 𝑚𝑚 2 𝑅𝑥 = 42,20 Como la deformación homogénea está en función de la relación de extrusión, se calcula de la siguiente manera: 𝜀 = ln 𝑅𝑥 𝜀 = ln 42,20 𝜀 = 3,74 El ángulo del dado es muy importante ya que hay consideraciones que determinan en gran manera la efectividad de la extrusión. Se sabe que para ángulos muy pequeños el área superficial del dado aumenta, provocando un incremento en la fricción del sistema dado-tocho, y si hay mayor fricción, mayor será la potencia que tendrá que impartir el tocho. Análogamente, un ángulo muy grande provoca turbulencia en el flujo de material a través de la abertura del dado, provocando también incremento en la presión del pisón. Por lo tanto, teniendo en cuenta estas consideraciones, se tomara en cuenta un ángulo de 30°. Se sabe que por medio de la ecuación propuesta por Johnson en su libro (ThePressurefortheColdExtrusion of LubricatedRodthroughSquareDies of ModerateReduction at SlowSpeeds), se determinan las constantes empíricas características de cada dado (a, b), en donde a = 0,8, mientras que b oscila entre valores que van desde 1,2 hasta 1,3. Para nuestro análisis se tomaran los valores de a = 0,8 y b = 1,3.
Habiendo hecho el anterior análisis, procedemos a determinar la deformación de extrusión, que está en función de las constantes empíricas y de la deformación homogénea: 𝜀𝑥 = 𝑎 + 𝑏𝜀 𝜀𝑥 = 0,8 + 1,3(3,74) 𝜀𝑥 = 5,662 A partir del exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación (m), se establece que tipo de trabajo se hará. Para este caso m = 0,16 (tabla 8 – 3 Procesos de manufactura – John A. Schey). Como se encuentra entre 0,05 y 0,3, se puede establecen entonces que es un trabajo en caliente. Como en este caso, estamos tratando con una extrusión en caliente, hay que tener en cuenta la tasa de deformación, ya que esta depende de la velocidad con que se realiza la extrusión, en este caso 1,0 m/s. Para determinar la tasa de deformación media, procedemos a usar la ecuación propuesta por Jhon A. Schey: 6𝑣𝐷𝑜2 tan 𝛼 𝜀= 𝜀 𝐷𝑜3 − 𝐷𝐸3 𝜀=
6 1
𝑚 𝑠
0,15 𝑚
0,15 𝑚
3
2
tan 30°
− 0,02309 𝑚
3
3,74
𝜀 = 86,69 𝑠 −1 Teniendo en cuenta de que estamos tratando con una extrusión en caliente, se van a determinar el coeficiente de resistencia (C) y el exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación (m). Dichos valores se encuentran en la tabla 8 – 3 Propiedades de manufactura de varias aleaciones no ferrosas (Procesos de manufactura – John A. Schey). Por lo tanto se tiene que: 𝐶 = 37 𝑀𝑃𝑎 𝑚 = 0,16 El esfuerzo de fluencia en caliente esta dado en función de la tasa media de deformación, el coeficiente de resistencia y el exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación, por lo tanto se tiene que: 𝜎𝑓𝑚 = 𝐶 𝜀
𝑚
𝜎𝑓𝑚 = 37 𝑀𝑃𝑎 86,69 𝑠 −1
0,16
𝜎𝑓𝑚 = 75,56 𝑀𝑃𝑎 Partimos de que se da una extrusión indirecta, para evitar os efectos de la fricción por el movimiento relativo del tocho respecto al contenedor. Ahora si podemos determinar la presión que el pisón le deberá imprimir al tocho para poder extruir, y se calcula así teniendo en cuenta el factor de forma: 𝑃 = 𝐾𝑃 . 𝜎𝑓𝑚 . 𝜀𝑥 𝑃 = 1,448 75,56 𝑀𝑃𝑎 5,662 𝑃 = 619,48 𝑀𝑃𝑎 En consecuencia, la fuerza mínima será entonces: 𝐹 = 𝑃𝐴𝑜 𝐹 = 619,48 106
0,25𝜋 0,15𝑚
2
𝐹 = 10947,11 𝑁 ≅ 10,95 𝑘𝑁 Para calcular la máxima presión que ejerce el pisón sobre un tocho de 450 mm de longitud, debemos tener en cuenta la fricción que se genera entre el tocho y el contenedor, por lo tanto en primer lugar debemos determinar dicha presión que pueda vencer la fricción y se determina así: 𝑃 = 𝐾𝑃 . 𝜎𝑓𝑚 . 𝜀𝑥 +
2𝐿 𝐷𝑜
𝑃 = 1,448 75,56 𝑀𝑃𝑎
5,662 +
2 0,45 𝑚 0,15 𝑚
𝑃 = 1275,95 𝑀𝑃𝑎 Esta presión no es la máxima ya que en los casos de extrusión directa ya que muchas veces los efectos del esfuerzo cortante generado por la fricción son poco relevantes cuando la fricción es baja. Pero en los casos donde la fricción es considerable, el esfuerzo cortante de fluencia juega un rol importante en el flujo del material a través de la matriz. Por lo tanto teniendo en cuenta estas consideraciones, a la presión básica se le debe añadir la presión que implica vencer esa resistencia al cortante de fluencia, asumiendo adhesión por parte del tocho al contenedor lo cual implica que la resistencia al cortante de la interfaz (𝜏𝑖 ) se asuma la misma magnitud del esfuerzo al cortante de fluencia 𝜏𝑓 , el cual a su vez se considera como la mitad del esfuerzo normal promedio de fluencia 𝑌𝑓 . Cabe mencionar que dicha presión debido al cortante de fluencia se puede eliminar o hacerla bastante cercana a cero mediante la utilización de un
lubricante muy efectivo. Pero en este aparte, se trabajara sin lubricante, por lo tanto determinaremos la máxima presión. Por lo tanto la presión máxima está definida por: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑃 +
4𝜏𝑖 𝐿 𝐷𝑜
Luego entonces asumiendo las consideraciones anteriores se tiene que: 𝜏𝑖 = 𝜏𝑓 = 0,5𝜎𝑓𝑚 Entonces se tiene que: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑃 +
4 0,5𝜎𝑓𝑚 𝐿 𝐷𝑜
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1275,95 𝑀𝑃𝑎 +
4(0,5(75,56 𝑀𝑃𝑎)(0,45 𝑚) 0,15 𝑚
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1275,95 𝑀𝑃𝑎 + 453,36 𝑀𝑃𝑎 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1729,31 𝑀𝑃𝑎 R=/: a. Se tuvo en cuenta el área seccional, factor que reduce costos de fabricación. Los cambios al diseño original modificaron las dimensiones del perfil, quedando así:
b. La presión de extrusión y la fuerza mínima para la extrusión sin lubricación de un tocho de 150 mm de diámetro a 500 °C, teniendo en cuenta que la pieza emerge a una velocidad de 1 m/s, son 619,48 MPa y 10,95 kN respectivamente. c. La presión máxima para un tocho de 450 mm de longitud corresponde a 1729,31 MPa.
9C- 13 La seccione en H que se va a extruir de una aleación de al 6061. La sección es de 52 mm de ancho 52 mm de atura y el espesor del patín y el alma es de 3mm. a) Dibuje un bosquejo de la sección; realice cualquier cambio necesario en el diseño, en su análisis, para facilitar la extrusión. b) Obtenga la presión de extrusión y la fuerza mínima para la extrusión sin lubricación de una palanquilla de 150 mm de diámetro a 500 °C, si con la extrusión para una palanquilla de 450 mm de longitud
Características del aluminio: El aluminio es un material FCC, lo cual lo hace un material que se deforma fácilmente en todas las temperatura, las piezas que se pueden fabricar (extrusión) en este material por lo general son complejas y con dimensiones reducidas y complicadas, las aleaciones de aluminio se extruyen en forma isotérmica y con matrices planas fabricadas en acero. La extrusión en aluminio se realiza sin lubricante. -
El proceso se realiza de manera isotérmica Se utiliza matriz plana Extrusión de manera directa Sin lubricación
-
El material sale en forma de H
Para facilitar el proceso nos remitimos en primera estancia a la temperatura de extrusión, debido a que la temperatura de solidus del aluminio 6061 es de 582°C, según tabla 8-3 del schey, pag292, para facilitar la extrusión trabajaría con un 75% de la temperatura de fusión que es aproximadamente 435 °C, para evitar que el material sufra fragilidad en caliente. En cuanto a las dimensiones del perfil, las recomendaciones en el diseño son de realizarle un redondeo en las esquinas del alma, a razón de que los cambios bruscos de sección acumulan las tenciones residuales haciendo frágil esta zona, por ende al realizarle el redondeo se minimiza la posibilidad de fractura. Las dimensiones del alma y de los patines, al ser una aleación de aluminio son factibles de producir, pues se nos recomienda según la figura 9-25 del schey, en el cual se puede apreciar que el espesor mínimo posible, se encuentra a 2.5mm – 3 mm, pues al aumentarle las dimensiones a el alma y a los patines, se puede estar fabricando un perfil que no fue el solicitado y si vemos los aumentos en los costos por ampliar estas dimensiones, vemos que al aumentar las dimensiones estaríamos gastando un exceso de material de 150 mm 3 , por cada milímetro de perfil fabricado, sin saber cuanto seria el tamaño de la producción y en caso de productividad es un factor que influiría mucho.
-
Datos de entrada
Material: Al 6061 Wf= ancho de la sección = 52 mm Hf = altura de la sección = 52 mm tpatin= espesor del patin = 3 mm talma= espesor del alma = 3mm D0= diámetro de la palanquilla = 150 mm T = temperatura del proceso = 500 Vf= velcidad a la que emerge la extrusión = 1 m/s
-
Variables
Pe = presión de extrusión (Mpa) Qe = factor de multiplicador de la presión en extrusión m = exponente de sensibilidad a la tasa de deformación C = coeficiente de la resistencia para trabajo en caliente (Mpa) V0 = velocidad del ariete o de entrada (mm) Df= diámetro de la piza extruida Єm = tasa media de deformación α = Angulo del cono de la entrada de la matriz (°) A0 = área de la sección transversal de la palanquilla (mm2) Af= área de la sección transversal de la pieza extruida (mm2) Fmin= fuerza mínima de extrusión
Solución A partir de el ejemplo 9-13 del schey (pag 365) obtenemos el valor de C = 37 Mpa y de m = 0.17 y para εm utilizamos la ecuación 9-24 del shey. Primero debemos encontrar la aéreas iníciales y finales 𝜋
𝐴0 = 4 (150 𝑚𝑚)2 = 1767.46 mm2 El área final seria 𝐴𝑓 = 2 3 ∗ 52 +
52 − 6 ∗ 3
= 450 𝑚𝑚2
Proseguimos a hallar el valor de de la velocidad del ariete, utilizando la ecuación de balance de materia. 𝑉0 =
𝐴𝑓 𝑉𝑓 450𝑚𝑚2 ∗ 1 ∗ 103 𝑚𝑚 𝑠 = = 25.46 𝑚𝑚 𝑠 𝐴0 17671.46 𝑚𝑚2
Con estos valores de área final e inicial encontramos el valor de la deformación por medio de la ecuación 9-23 del schey (pag 355), y para el valor de Df se hace una aproximación del área final a un radio de una circunferencia
𝜀 = 𝐿𝑛
𝐴0 17671.46 𝑚𝑚2 = 𝐿𝑛 = 3.67 𝐴𝑓 450 𝑚𝑚2
Se toma como diámetro final un diámetro supuesto, que depende de el área final de la sección.
𝐷𝑓 =
450𝑚𝑚2 ∗ 4 = 23.93 𝑚𝑚 𝜋
6 𝑉0 𝐷𝑜2 tan 𝛼 6 ∗ 25.46 ∗ 150 2 tan 45 𝜀𝑚 = 𝜀= (3.67) = 3.75 𝐷𝑜3 − 𝐷𝑓3 150 3 − (23.93)3
𝜎𝑓𝑚 = 37 𝑀𝑝𝑎 ∗ 3.750.17 = 46.32 𝑄𝑒 = 0.8 + 1.2𝜀 = 0.8 + 1.2 3.75 = 5.3 Reemplazando estos valores en la presión 𝑃𝑒 = 46.32 𝑀𝑝𝑎 ∗ 5.3 = 245.49 𝑀𝑝𝑎 Para hallar la fuerza mínima de extrusión usamos el esfuerzo de fluencia mínimo, para lo cual se hace necesario, graficar los valores en papel log – log y así obtener la grafica de proporcionalidad entre el esfuerzo de fluencia con cada deformación. En primera instancia, como tenemos el coeficiente de resistencia es igual a 37 Mpa, así que lo ubicamos en la grafica en el eje de las ordenadas y lo proyectamos para ε = 1 en el eje de las abscisas, como ya se que el valor de m=0.17 tenemos el valor de la pendiente y por ende el valor de los esfuerzos y de la taza de deformación. Después de haber realizado la grafica obtuvimos unos valores de: 𝜎𝑓𝑚𝑖 = 43 𝑀𝑝𝑎
𝜎𝑚𝑎𝑥 = 52 𝑀𝑝𝑎
La fuerza mínima seria 𝐹𝑚𝑖𝑛 = 𝜎𝑓𝑚𝑖𝑛 𝐴0 𝑄𝑒 = 43 𝑀𝑝𝑎 ∗ 17671.46𝑚𝑚2 ∗ 5.25 = 4000 𝑘𝑁 Esta es la fuerza mínima de extrusión.
Para la presión máxima de extrusión, utilizamos la ecuación 9-25a del schey, donde el esfuerzo máximo de fluencia fue obtenido por la grafica. 𝑃𝑒𝑚𝑎𝑥 = 𝜎𝑓 𝑚𝑎𝑥 𝑄𝑒 = 52 𝑀𝑝𝑎 ∗ 5.25 = 273 𝑀𝑝𝑎 La presión máxima de extrusión es 273 MPa.
EJERCICIO 9C – 14 La extrusión del problema 9c-13 se hará en una aleación de Al 7075 a 450°C. La extrusión emerge con severas grietas transversales a la dirección de extrusión. a) Identifique la causa del problema. b) Con base en los datos del ejemplo 8-19, defina las condiciones de extrusión que la harían segura. DECLARACION DE VARIABLES 𝜀 = Deformacion homogénea 𝜀 = Tasa de deformación 𝑚 = Exponente de sensibilidad a la tasa de deformación 𝛼 = Angulo de la matriz o dado 𝑛 = Exponente de endurecimiento 𝑏 = Constante empírica del dado 𝑎 = Constante empírica del dado 𝑃 = Presion ejercida por el pison 𝐿 = Longitud del tocho remanente 𝐶 = Coeficiente de resistencia 𝐹 = Fuerza ejercida por el pison 𝜀𝑥 = Deformacion de Extrusión 𝑅𝑥 = Relación de extrusión 𝐷𝑜 = Diametro Inicial del tocho 𝐷𝐸 = Diámetro Equivalente del perfil 𝐴1 = Área inicial seccional Primer diseño 𝐴2 = Área inicial seccional Segundo diseño 𝐴𝑜 = Area seccional del tocho 𝐴𝐸 = Área equivalente 𝜎𝑓𝑚 = Esfuerzo de fluencia promedio por deformación
(mm/mm) (𝑠 −1 ) (adimensional) (°) (adimensional) (adimensional) (adimensional) (Mpa) (mm) (MPa) (N) (mm/mm) (adimensional) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (mm2) (mm2) (Mpa)
𝑤 = Ancho del perfil 𝑎 = Espesor del alma 𝑝 = Espesor del patin
(mm) (mm) (mm)
𝐻 = Altura del perfil 𝑣 = Velocidad de extrusión
(mm) (m/s)
𝐾𝑃 = Factor de Forma 𝑃1 = Perímetro Primer Diseño 𝑃2 = Perímetro Segundo Diseño 𝑃𝐸 = Perímetro Equivalente 𝜏𝑖 = Resistencia al cortante 𝜏𝑓 = Cortante de fluencia
(adimensional) (mm) (mm (mm) (MPa) (MPa)
DESARROLLO Se tomarán en cuenta los cálculos realizados en el ejercicio 9C – 13. Por lo tanto pieza a extruir será la siguiente:
Se tomaran los mismos valores para las variables en las cuales el tipo de material no afecta el cálculo, las cuales son las siguientes: 𝐷𝐸 = 23,09 𝑚𝑚 𝑃𝐸 = 72,55 𝑚𝑚 𝐾𝑃 = 1,448 𝑅𝑥 = 42,20 𝜀 = 3,74 𝜀𝑥 = 5,662 𝜀 = 86,69 𝑠 −1 Como se trata de una aleación de aluminio Al 7075, los valores del coeficiente de resistencia y el exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación cambian, y a partir de la tabla 8 – 3 Propiedades de manufactura de varias aleaciones no ferrosas (Procesos de manufactura – John A. Schey) se tiene que: 𝐶 = 40 𝑀𝑃𝑎
𝑚 = 0,13 El esfuerzo de fluencia en caliente esta dado en función de la tasa media de deformación, el coeficiente de resistencia y el exponente de la sensibilidad a la tasa de deformación, por lo tanto se tiene que: 𝜎𝑓𝑚 = 𝐶 𝜀
𝑚
𝜎𝑓𝑚 = 40 𝑀𝑃𝑎 86,69 𝑠 −1
0,13
𝜎𝑓𝑚 = 71,45 𝑀𝑃𝑎 De la misma forma que en el ejercicio 9C – 13, se determinara la presión mínima: 𝑃 = 𝐾𝑃 . 𝜎𝑓𝑚 . 𝜀𝑥 𝑃 = 1,448 71,45 𝑀𝑃𝑎 5,662 𝑃 = 585,79 𝑀𝑃𝑎 En consecuencia, la fuerza mínima será entonces: 𝐹 = 𝑃𝐴𝑜 𝐹 = 585,79 106
0,25𝜋 0,15𝑚
2
𝐹 = 10351,73 𝑁 ≅ 10,35 𝑘𝑁 Para calcular la presión sobre un tocho de 450 mm de longitud como lo indica el ejercicio 9C – 13, se utiliza la formula deducida del mismo ejercicio: 𝑃 = 𝐾𝑃 . 𝜎𝑓𝑚 . 𝜀𝑥 +
2𝐿 𝐷𝑜
𝑃 = 1,448 71,45 𝑀𝑃𝑎
5,662 +
2 0,45 𝑚 0,15 𝑚
𝑃 = 1206,54 𝑀𝑃𝑎 Asumiendo la consideración del ejercicio 9C – 13, se tendrá en cuenta los esfuerzos cortantes provocados por el flujo de material, por lo tanto la presión máxima será: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑃 +
4𝜏𝑖 𝐿 𝐷𝑜
Luego entonces asumiendo las consideraciones anteriores se tiene que: 𝜏𝑖 = 𝜏𝑓 = 0,5𝜎𝑓𝑚
Entonces se tiene que: 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 𝑃 +
4 0,5𝜎𝑓𝑚 𝐿 𝐷𝑜
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1275,95 𝑀𝑃𝑎 +
4(0,5(71,45 𝑀𝑃𝑎)(0,45 𝑚) 0,15 𝑚
𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1206,54 𝑀𝑃𝑎 + 428,7 𝑀𝑃𝑎 𝑃𝑚𝑎𝑥 = 1455,24 𝑀𝑃𝑎 Comparando este valor de presión máxima ejercido en un tocho de aleación de aluminio Al 7075 con el valor de presión máxima ejercido en un tocho de aleación aluminio Al 6061, se puede ver que es un poco menor. Sin embargo, el ejercicio establece que hay severas grietas transversales en la dirección de extrusión. Los procesos de fabricado de piezas que conllevan extrusión pueden generan defectos que afectaran la resistencia y la calidad del material. Existen tres grandes defectos en esta área: agrietamiento de superficie, tubos y agrietamientos internos. Para este caso nos centraremos en agrietamientos de superficie. La temperatura superficial de trabajo afecta directamente la uniformidad de la superficie. Por lo tanto, si la temperatura, la fricción o la velocidad de extrusión son demasiado altas, la temperatura superficial también se incrementara y por lo tanto surgirán los agrietamientos y desgarres de la superficie. Bajo esas consideraciones podemos establecer una primera posible causa del agrietamiento transversal en la pieza. Según la tabla 8 – 3 Propiedades de manufactura de varias aleaciones no ferrosas (Procesos de manufactura – John A. Schey) podemos apreciar que la temperatura de trabajado para las aleaciones de aluminio Al 7075, la temperatura usual de trabajo corresponde a un rango de valores que van desde los 260 hasta los 450 °C. En el enunciado establecen que la temperatura a la cual se trabajara es de 450, por lo que se estaría trabajando en temperaturas críticas, siendo una posible causa de las grietas. Según el ejemplo 8 – 19, se pueden sacar muchas conclusiones a partir del ensayo propuesto. Primeramente hay que tener en cuenta que aumentar la velocidad de extrusión es muy perjudicial, ya que provoca una menor reducción del área, lo cual limita el área a la cual se va a trabajar. Además de eso, la temperatura a la cual la reducción de área empieza a descender. Así que un
parámetro muy importante para realizar una buena extrusión, es ante todo mantener una velocidad de extrusión relativamente lenta.
9C – 14 La extrusión del problema 9c-13 se hará en una aleación de Al 7075 a 450°C. La extrusión emerge con severas grietas transversales a la dirección de extrusión. a) Identifique la causa del problema. b) Con base en los datos del ejemplo 8-19, defina las condiciones de extrusión que la harían segura. Material 7075 Temperatura de solidus= 475°C La palanquilla entra a la maquina extrusora con una temperatura de 450 °C, al realizar el proceso la palanquilla adquiere una variación de la temperatura, una de perdida, si el proceso no es isotérmico, y de ganancia, por la deformación y por la fricción, esta variación de la temperatura depende mucho de la de la taza de deformación, pues entre mayor sea la taza de deformación mayor será la energía adquirida, por ende la temperatura aumentara en una mayor proporción, teniendo en cuenta que la temperatura de solidusde el material es de 475°C y los datos suministrados de el ejemplo 8-19, podemos deducir que el material a una temperatura de 460°C, ya esta presentando fragilidad en caliente y si el material entra a 450°C, más la energía absorbida, vemos que la temperatura se acerca o en el peor de los casos sobrepasa la temperatura de solidus del material, lo cual es una de las razones fundamentales del agrietamiento de las piezas extruidas, debido a La fragilidad de la parte superficial del material.
Para salida en I
Para salida en H
Por el análisis estructural mediante simuladores vemos claramente que influye mucho la forma de salida, sin tener un soporte, en la salida de la forma 1, podemos inferir que por el sector rojo que representa un alto esfuerzo al que esta sometido el perfil, puede ser causante de grietas superficiales, otra razón que puede afectar es la variación brusca de la temperatura a la salida de el proceso, pues también genera grietas superficiales. B) las condiciones que consideraría para hacer un proceso más seguro serian las siguientes: -
Reduciría la temperatura de trabajo a 420°C, para evitar la fragilidad en caliente, y sin perder los beneficios de la extrusión en caliente.
-
Colocaría el perfil en forma de H, y al mismo tiempo colocaría un soporte de rodillos para evitar la flexión, generando más fricción pero asegurando la salida en forma correcta del perfil.
-
Le haría un análisis a la variación de la temperatura a la salida, y si la variación de la temperatura es considerable, diseñaría en la salida una cabina que evite este factor que puede hacerme insegura la extrusión, tal vez no se tenga mucho en cuenta, pero esta variación puede ser muy perjudicial, y producir grietas.
EJERCICIO 9C-22 Una lámina de latón 70/30 se lamina hasta una dureza 06; por definición, esto se obtiene a través de una reducción del 50%. Calcula la TS esperada y compárela con el valor dado en el ejemplo 8-7. (Sugerencia: como los esfuerzos de ingeniería y real no son muy diferentes en un material altamente endurecido por deformación, la TS se puede tomar como el esfuerzo de fluencia del material después del trabajo en frio. La deformación en el ensayo de tensión se deberá agregar a la deformación por laminación). Variables de entrada K = Coeficiente de resistencia
[N/𝑚𝑚2 ]
n = factor de endurecimiento 𝜀 = Deformacion unitaria ingenieril
(mm/mm)
𝜎𝑓 = Esfuerzo de fluencia
(MPa)
TS = Esfuerzo de Tracción
(MPa)
DESARROLLO Según el ejemplo propuesto 8 – 7, el valor correspondiente para el TS es de 595 MPa correspondiente a una reducción del 50 %. Bajo la consideración del ejercicio, para determinar el TS esperado debemos determinar el esfuerzo de fluencia para dicha condición. Mediante la tabla 8 – 2, determinamos el coeficiente de resistencia (K) y el factor de endurecimiento (n) del latón 70/30: K = 500 [N/𝑚𝑚2 ] n = 0,41 La tabla 8 – 2 propone una reducción en el área de salida del 75 %. Bajo esas condiciones podemos establecer el área final en función del área inicial, y de esta manera determinar la deformación unitaria ingenieril: 𝐴𝑓 = 25%𝐴0 𝐴𝑓 = 0,25𝐴0
Para determinar la deformación se tiene que: 𝜀 = 𝑙𝑛
𝐴0 𝐴𝑓
𝜀 = 𝑙𝑛
𝐴0 0,25𝐴0
𝜀 = 𝑙𝑛
1 0,25
𝜀 = 1,386294
𝑚𝑚 𝑚𝑚
Teniendo este valor para la deformación unitaria, se procede a determinar el esfuerzo de fluencia: 𝜎𝑓 = 𝐾𝜀 𝑛 𝜎𝑓 = 500 N/𝑚𝑚2 1,3862940,41 𝜎𝑓 = 571,65 𝑀𝑃𝑎 Al considerar el esfuerzo de fluencia igual al TS, se puede afirmar que el TS esperado corresponde a 571,65 MPa.
Comparando este valor con el del ejemplo 8 – 7, se puede ver por inspección de que su resultado no varía mucho. R=/: Se concluye que si se quiere lograr una dureza 06 en una lámina 70/30 se puede aplicar una laminación con una reducción del 50 % con una alta confiabilidad de obtener la dureza requerida.
EJERCICIO 9C-23. Una plancha de una aleación de Al 2017 de 200 mm de espesor y 800 mm de ancho se lamina en caliente, a una temperatura de 500 °C y a 100 m/min, en un molino equipado con rodillos de trabajo con un diámetro de 600 mm, usando una emulsión lubricante que da μ = 0.2. En un diseño preliminar el proceso, se propuso una reducción de 30 mm en la primera pasada. (a) Dibuje un boceto del proceso. (b) Verifique si la reducción es posible; si no, calcule la reducción permisible. (c) Obtenga la fuerza del rodillo y (d) el requerimiento neto de potencia para la reducción permitida. Explique si hay posibilidades de desarrollar (e) defectos internos o (f) agrietamiento de las orillas; explique por qué. Declaración de variables:
Espesor inicial de la plancha (t0). t0 = 200. Unidades (milímetros) Ancho inicial de la plancha (w0). w0 = 800 mm. Unidades (milímetros) Temperatura del proceso (T). T = 500°c. Unidades (grados Celsius) Velocidad tangencial del rodillo (vr). vr= 100 m/min. Unidades (metro sobre minuto) Radio de los rodillos (R). R = 300 mm. Unidades (milímetros) Coeficiente de fricción (μ). μ = 0.2. Unidades (adimensional) Draft o reducción en el espesor (d). d = 30 mm. Unidades (milímetros) Tasa de deformación (ε). Unidades (segundos a la menos uno) Longitud proyectada (Lp). Unidades (milímetros) Coeficiente de resistencia (C). Unidades (adimensional) Exponente de sensibilidad a la tasa de deformación (m). Unidades (adimensional) Esfuerzo a la fluencia (σf ). Unidades (Mega Pascales) Draft máximo (dmax). Unidades (milímetros) Fuerza del rodillo (F). unidades () Factor de multiplicación de la presión (Q i ) Respuesta a):
dmax = μ2 R dmax = 0.2 2 ∙ 300 mm dmax = 12 mm Respuesta b):Hallando el draft máximo del problema notamos que la reducción que se propone al iniciar el proceso no es posible, ya que sobrepasa el valor de la máxima reducción hallado matemáticamente
Por lo cual continuamos los cálculos del ejercicio con la reducción máxima hallada dmax = 𝑡0 − 𝑡𝑓 12mm = 200 𝑚𝑚 − 𝑡𝑓 𝑡𝑓 = 188 𝑚𝑚 Con la siguiente ecuación determinaremos la fuerza de laminado (ecuación 9-41ª del Shey). Pr = (1.15)𝜎𝑓 ∙ 𝑄𝑖 ∙ 𝐿 ∙ 𝑊
Para hacer uso de esta ecuación debemos hallar la longitud proyectada (Lp) y el esfuerzo de fluencia (𝜎𝑓 ). Podemos hallar la longitud proyectada a través de la ecuación 21.11 del groover. 𝐿𝑝 =
𝑅 (𝑡0 − 𝑡𝑓 )
𝐿𝑝 =
300 mm 200 − 188 mm 𝐿𝑝 = 60 mm
Tenemos la ecuación 8-11 del Shey, para poder hallar el esfuerzo de fluencia 𝜎𝑓 = 𝐶 ∙ 𝜀 𝑚 El coeficiente de resistencia (C) y el exponente a la sensibilidad de la tasa de deformación (m) los tenemos en la tabla 8-3 del libro Shey. Por lo que hallamos la tasa de deformación (𝜀 ), que según la ecuación 9-40 del shey podemos calcular así:
𝜀=
vr 𝑡0 𝑙𝑛 𝐿𝑝 𝑡𝑓
𝑚𝑚
1666.67 vr 𝑡0 200 𝑚𝑚 𝑠 𝜀 = 𝑙𝑛 = 𝑙𝑛 𝐿𝑝 𝑡𝑓 60 𝑚𝑚 188 𝑚𝑚 𝜀 = 1.718𝑠 −1 Por tabla tenemos que C = 36 m = 0.12 Por lo que ahora podemos hallar el esfuerzo de fluencia 𝜎𝑓 = 𝐶 ∙ 𝜀 𝑚 𝜎𝑓 = 36 ∙ 1.718 0.12 𝜎𝑓 = 38.42 𝑀𝑃𝑎 El factor 𝑄𝑖 es determinado por la figura 9-9 del Shey. Pero para poder determinar el valor, 𝑡 𝐿
debemos hallar la relación 0 . 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠
𝑡0 𝐿
𝑡0 200 = = 3.33 𝐿 60
> 1 la homogeneidad de la deformación predomina. Procedemos a hallar el factor de
la multiplicación de la presión 𝑄𝑖
Haciendo una medida aproximada tomamos 𝑄𝑖 = 1.6 Ahora procedemos a hallar la fuerza del rodillo Pr = (1.15)𝜎𝑓 ∙ 𝑄𝑖 ∙ 𝐿𝑝 ∙ 𝑊 𝐿 ∙ 𝑊 = 60 𝑚𝑚 ∙ 800𝑚𝑚 1𝑚 2 𝐿 ∙ 𝑊 = 48000𝑚𝑚2 ∙ 1000 𝑚𝑚 𝐿 ∙ 𝑊 = 0.048𝑚2
2
Se realizó lo anterior para evitar la inconsistencia de unidades Pr = (1.15) 38.42 𝑀𝑃𝑎 ∙ 1.6 ∙ 0.048 𝑚2 Pr = 3.39 MN Respuesta c):Pr = 3.39 MN Ahora podemos hallar la potencia requerida a través de la ecuación 9-43ª del Shey 𝑃 = 𝑃𝑟 𝐿 𝑃=
𝑉𝑟 𝑅
3.39 𝑀𝑁 0.06𝑚 1.67𝑚/𝑠 0.3 𝑚 𝑗 𝑃 = 1132260 𝑠
1 𝑝 745.7 𝑗/𝑠 𝑃 = 1518.38 𝑝
𝑃 = 1132260 𝑗/𝑠 ∙ Respuesta d):
𝑃 = 1518.38 𝑝
9C-24 En la pasada final del laminado en caliente en la plancha del problema 9C-23, se reduce de 5.0 mm a 3.5 mm. La temperatura disminuyó a 400 °C. Recalcule la fuerza del rodillo y la potencia requerida.
DECLARACIÓN DE VARIABLES: w0 = Ancho Inicial De La Placa t0 = Espesor Inicial De La Placa tf= Espesor Final De La Placa R = Radio Del Rodillo vr= Velocidad Tangencial Del Rodillo T = Temperatura A La Cual Se Realiza El Laminado μ = Coeficiente De Fricción Del Lubricante 𝜀 = Tasa Promedio De Deformación QP = Factor Multiplicador De La Presión 𝜎𝑓 = Esfuerzo De Fluencia L= Distancia De Contacto C = Coeficiente De Resistencia m = Exponente De Sensibilidad A La Tasa De Deformación. dmax = Draft Máximo Pr = Presión Del Rodillo d = Reducción Propuesta En La Pasada Final
DATOS DE ENTRADA: w0 = 800 mm
t0 = 5 mm tf = 3.5 mm R = 300 mm vr=100 m/ min T = 400°C μ = 0.2 Para el Diámetro tenemos: d = 5 mm – 3.5 mm d = 1.5 mm dmax = μ2 R dmax = (0.2)2 * 300 mm dmax = 12 mm Dado que el diámetro d es menor que el dmax., se puede realizar la reducción.
L R(t 0 t f ) L 300mm(5 3.5)mm L 21.21mm
.
Vr t 0 ln L tf
.
1666.7m / s 5mm ln 21.21mm 3.5mm
.
Como es trabajo en caliente
28.03s 1
correspondiente: . m
f C
f 90 * (28.03) 0.12 f 134.26MPa Para determinar la Presión del Rodillo tenemos: Pr (1.15)
Q f
i
LW
El factor LW lo podemos definir: LW 21.21mm * 800mm LW 16969mm2 0.017m 2
Entonces:
se dispone a utilizar la fórmula
t0 5mm L 21.21mm t0 0.23mm L Como t0 es menor que 1, la influencia de la fricción son fundamentales, por lo que el factor multiplicador de la presión Qp se determina de la figura
Entonces en la grafica con el coeficiente de fricción μ = 0.2 tenemos que Qp=1.6 a) Pr = (1.15) (134.26 MPa) (1.6) (0.017m2) Pr = 4190 KN Para calcular la Potencia. b)
Vr R (4190kN )(0.021m)(1.67m / s ) P 0.3m P 489kJ / s P Pr L
P 489,811kW
EJERCICIO 9C-25Para reducir el enfriamiento, la velocidad de laminación se incremente a 10 m/s en el problema 9C-24. Obtenga su efecto en la tasa de deformación, en el esfuerzo de fluencia, en la fuerza del rodillo y en la potencia requerida.
DECLARACIÓN DE VARIABLES: w0 = Ancho Inicial De La Placa t0 = Espesor Inicial De La Placa tf= Espesor Final De La Placa R = Radio Del Rodillo vr= Velocidad Tangencial Del Rodillo T = Temperatura A La Cual Se Realiza El Laminado μ = Coeficiente De Fricción Del Lubricante 𝜀 = Tasa Promedio De Deformación QP = Factor Multiplicador De La Presión 𝜎𝑓 = Esfuerzo De Fluencia L= Distancia De Contacto C = Coeficiente De Resistencia m = Exponente De Sensibilidad A La Tasa De Deformación. dmax = Draft Máximo Pr = Presión Del Rodillo d = Reducción Propuesta En La Pasada Final
DATOS DE ENTRADA: w0 = 800 mm t0 = 5 mm tf = 3.5 mm
R = 300 mm vr=10 m/ s T = 400°C μ = 0.2 a)Para la tasa de deformación, tenemos una variación: .
Vr t 0 ln L tf
.
10m / s 5mm ln 21.21mm 3.5mm
.
0.168s 1
b) Como vemos, la tasa de deformación, disminuyó
considerablemente debido al efecto del aumento de la velocidad. Para el esfuerzo de fluencia, por tal, tenemos: . m
f C
f 90 * (0.168) 0.12 f 72.66MPa Para determinar la Presión del Rodillo tenemos: Pr (1.15)
Q f
i
LW
Según el ejercicio anterior LW 16969mm2 0.017m 2
Entonces de la grafica con el coeficiente de fricción μ = 0.2 tenemos que Qp=1.6(ver ejercicio anterior), de donde: c) Pr = (1.15) (72.66 MPa) (1.6) (0.017m2) Pr = 2272.8 KN La Potencia se recalcularía de esta forma: d)
Vr R (2272.8kN )(0.021m)(10m / s ) P 0.3m P 1590.9kJ / s P Pr L
P 1590.9kW
EJERCICIO 9C-27 Explore el efecto del diámetro del rodillo sobre la fuerza y la potencia de laminado para la última pasada (1.0 a 0.7 mm) del problema 9C-26, al laminar en un molino de dos rodillos (D = 800 mm), de cuatro (D = 300 mm) y en uno Sendzimir (D = 30 mm). El análisis de este problema y su posterior resolución implica la utilización de los datos obtenidos como solución en los problemas 9C – 24, 9C – 24 y 9C – 26. Primeramente, se tiene en cuenta de que el problema establece tres condiciones: Utilizando un molino de dos rodillos:
Figura 1. Molino de dos rodillos
Utilizando un molino de cuatro rodillos:
Figura 2. Molino de cuatro rodillos Utilizando un molino Sendzimir (20 rodillos):
Figura 3. Molino Sendzimir
Partiendo de la resolución del ejercicio 9C – 26, se establece que la problemática involucra un proceso de laminado en el cual para efectos de lograr una mayor productividad, se colocan varios molinos en línea o conocidos como molinos en tándem o continuos, mostrado en la figura 4.
Figura 4. Molino en tándem Declaración de variables 𝐴1 = Área final bastidor uno 𝐴2 = Área final bastidor dos 𝐴3 = Área final 𝐴𝑜 = Área inicial 𝐷𝐶 = Diámetro Molino de cuatro rodillos 𝐷𝐷 = Diámetro Molino de dos rodillos 𝐷𝑆 = Diámetro Molino Sendzimir 𝐹𝐶 = Fuerza Molino de cuatro rodillos 𝐹𝐷 = Fuerza Molino de dos rodillos 𝐹𝑆 = Fuerza Molino Sendzimir ∆𝑚𝑎𝑥 = Máxima reducción 0 = Espesor inicial 𝑓 = Espesor final K = Coeficiente de resistencia 𝐿𝐶 = Longitud Molino de cuatro rodillos 𝐿𝐷 = Longitud Molino de dos rodillos 𝐿𝑆 = Longitud Molino Sendzimir n = Exponente de endurecimiento 𝑃𝐶 = Potencia Molino de cuatro rodillos 𝑃𝐷 = Potencia Molino de dos rodillos 𝑃𝑆 = Potencia Molino Sendzimir 𝑄𝑃 = Factor intensificador de presión 𝑅𝐶 = Radio Molino de cuatro rodillos 𝑅𝐷 = Radio Molino de dos rodillos 𝑅𝑆 = Radio Molino Sendzimir 𝑉1 = Velocidad final bastidor uno
[mm2] [mm2]
[mm2] [mm2] [mm] [mm] [mm] [N]
[N] [N] [mm] [mm] [mm] [N/mm2] [mm] [mm] [mm] [W]
[W] [W]
[mm] [mm]
[mm] [m/s]
𝑉2 = Velocidad final bastidor dos 𝑉3 = Velocidad final 𝑉𝑜 = Velocidad inicial w = Ancho 𝜀0 = Limite de deformación unitaria inicial 𝜀𝑓 = Limite de deformación unitaria inicial 𝜎𝑓 = Esfuerzo de fluencia medio 𝜇 = Coeficiente de fricción
[m/s]
[m/s] [m/s]
[mm] [mm/ mm] [mm/ mm] [N/mm2]
Datos de entrada 𝐷𝐶 = 200 mm 𝐷𝐷 = 800 mm 𝐷𝑆 = 30 mm 0 = 1,0 mm 𝑓 = 0,7 mm K = 380 MPa w = 800 mm 𝜇 = 0,05 Para la aleación AL 2017 n = 0,15 Consideraciones y ecuaciones Mediante el enunciado del problema, se determina que es una laminación en frio y que anteriormente el material se endureció debido a deformación por trabajo en frío, por lo que se considera un proceso en estado estable. Esto implica el uso del esfuerzo de fluencia medio que se calcula a partir de la siguiente ecuación:
𝜎𝑓 =
𝜀𝑓 𝑛+1 − 𝜀0 𝑛+1 𝐾 𝜀𝑓 − 𝜀0 𝑛+1
Debemos tener en cuenta que para la reducción máxima de espesor, usamos la siguiente ecuación: ∆𝑚𝑎𝑥 = 0 − 𝑓
𝑚𝑎𝑥
= 𝜇2 𝑅
De la misma manera para determinar la longitud de contacto, utilizamos esta ecuación: 𝐿=
𝑅 0 − 𝑓
Es necesario conocer la deformación real unitaria, calculada con la siguiente ecuación: 𝜀 = ln
0 𝑓
Se conoce que el flujo volumétrico de material entrante es el mismo flujo volumétrico a la salida. Sabiendo que el producto del área de sección por la velocidad en dicho punto es el flujo volumétrico, se establece la relación entre la entrada y la salida, por lo tanto para el cálculo de velocidades se tiene la siguiente ecuación: 𝐴0 𝑉0 = 𝐴𝑓 𝑉𝑓 Para el calculo de la fuerza del rodillo debemos tener en cuenta la razón h/L, ya que si esta relación se encuentra por encima de la unidad se debe tener en cuenta el factor de multiplicación de presión (Qi); mientras que si la relación se encuentra por debajo de la unidad se debe tener cuenta el factor de intensificación de la presión (QP). Para tales casos, se tiene que: h/L> 1 → 𝐹 = 1.15 . 𝜎𝑓𝑚 . Q 𝑖 . 𝐿. 𝑤 h/L< 1 → 𝐹 = 1.15 . 𝜎𝑓𝑚 . Q 𝑃 . 𝐿. 𝑤 La potencia requerida toma en cuenta la fuerza del rodillo, como también la velocidad y la longitud de contacto. Por lo tanto se determina así: 𝑃=
𝐹. 𝐿. 𝑉 𝑅
Desarrollo y solución del problema La solución del problema, se dividirá en tres divisiones, determinadas por cada tipo de molino. MOLINO DE DOS RODILLOS Se establecen los datos de diámetro y radio respectivos: 𝐷𝐷 = 800 mm 𝑅𝐷 = 400 mm
Necesitamos encontrar la deformación por endurecimiento de la lámina, el que recibió en el molino tándem indicado en el ejercicio 9C – 26. Para ello necesitamos las deformaciones unitarias reales en el primer rodillo (𝜀0 ) y en el tercer rodillo (𝜀𝑓 ): 𝜀0 = ln
2,0 mm = 0,2877 1,5 mm
1,0 mm = 0,3567 0,7 mm Mediante datos tabulados, se estable que el valor del coeficiente de resistencia para el material es de K = 380 N/mm2. Teniendo estos datos se procede a determinar el esfuerzo de fluencia medio. 𝜀𝑓 = ln
𝜎𝑓 =
𝜀𝑓 𝑛+1 − 𝜀0 𝑛+1 𝐾 𝜀𝑓 − 𝜀0 𝑛+1
𝜎𝑓 =
380 N/mm2 (0.3567)1.15 − (0,2877)1.15 0,3567 − 0,2877 1.15
𝜎𝑓 = 320,55 N/mm2 Ahora, se procede a determinar la reducción máxima del espesor que pueden realizar los rodillos de la siguiente manera: ∆𝑚𝑎𝑥 = 𝜇2 . 𝑅𝐷 ∆𝑚𝑎𝑥 = 0,05 2 . 400 mm ∆𝑚𝑎𝑥 = 1 mm Teniendo cuenta los datos del problema, se analiza la reducción en el espesor. = 𝑜 − 𝑓 = 0,3 𝑚𝑚 Claramente, el rodillo abarca ese espesor. Esto significa que se esta usando el rodillo adecuado. Para definir la fuerza ejercida por los rodillos, primero determinaremos la longitud de contacto: 𝐿𝐷 = 400 mm 1,0 mm − 0,7 mm 𝐿𝐷 = 10,95 mm Para este caso de dos rodillos, establecemos la relación h/L: 1 𝑚𝑚 = 0,0913 10,95 𝑚𝑚 Al ser menor que la unidad esta relación, trabajaremos con el intensificador de la presión QP para el cual necesitaremos la relación L/H:
10,95 𝑚𝑚 = 10,95 1 𝑚𝑚 Mediante la siguiente grafica, determinaremos el QP correspondiente para una relación de L/H = 10,95.
Por inspección el factor de intensificación de la presión es igual a QP = 1,31. Sabiendo este dato se procede a determinar la fuerza ejercida por los dos rodillos: 𝐹𝐷 = 1,15 𝜎𝑓 . Q 𝑝 . 𝐿𝐷 𝑤 N 𝐹𝐷 = 1,15 320,55 mm2
1,31 10,95 mm 800 mm
𝐹𝐷 = 4230279,117 𝑁 = 4230,23 𝑘𝑁 Mediante la ecuación del flujo volumétrico, se procede a determinar la velocidad a la salida del molino tándem: 𝐴0 𝑉0 = 𝐴3 𝑉3 Despejando la velocidad de salida en el tercer rodillo, tenemos que:
𝑉3 =
𝐴0 𝑉0 𝐴3
Inicialmente el espesor de la placa es de 2,0 mm y al final del molino registra un espesor de 0,7 mm. Las variaciones en el ancho w se desprecian por lo que se asume un valor constante de 800 mm. La velocidad inicial en el primer rodillo corresponde a 120 m/min = 2 m/s. Sabiendo esta información, se determina la velocidad a la salida del tercer rodillo: 𝑉3 =
800 𝑚𝑚 2,0 𝑚𝑚
2
𝑚 𝑠
800 𝑚𝑚 0,7 𝑚𝑚
𝑉3 = 5,71
𝑚 𝑚 = 342,86 𝑠 𝑚𝑖𝑛
Esa velocidad a la salida del tercer rodillo del molino tándem propuesto en el ejercicio 9C – 26 será la velocidad de salida para el molino de dos rodillos correspondiente al primer inciso del ejercicio 9C – 27. Como ultima variable, se determinara la potencia del molino con los dos rodillos. Por lo tanto: 𝑃𝐷 =
𝑃𝐷 =
𝐹𝐷 . 𝐿𝐷 . 𝑉 𝑅𝐷 4230279,117 𝑁 0,01095 m
5,71
𝑚 𝑠
0,4 𝑚
𝑃𝐷 = 661240,022 𝑊 = 661,24 𝑘𝑊 La potencia requerida en el molino de dos rodillos es de 661,24 kW. MOLINO DE CUATRO RODILLOS Se establecen los datos de diámetro y radio respectivos: 𝐷𝐶 = 300 mm 𝑅𝐷 = 150 mm Las deformaciones son las mismas que en el inciso del molino de dos rodillos, debido a que la placa inicialmente se endureció en un molino tándem. Esta consideración se Tendrá en cuenta para el molino Sendzimir. 𝜀0 = 0,2877 𝜀𝑓 = 0,3567
De la misma manera el esfuerzo de fluencia medio es el medio es el mismo: 𝜎𝑓 = 320,55 N/mm2 Ahora, se procede a determinar la reducción máxima del espesor que pueden realizar los rodillos de la siguiente manera: ∆𝑚𝑎𝑥 = 𝜇2 . 𝑅𝐶 ∆𝑚𝑎𝑥 = 0,05 2 . 150 mm ∆𝑚𝑎𝑥 = 0,375 mm Teniendo cuenta los datos del problema, se analiza la reducción en el espesor. = 𝑜 − 𝑓 = 0,3 𝑚𝑚 Claramente, el rodillo abarca ese espesor aunque casi llegando al límite. De igual manera esto significa que se esta usando el rodillo adecuado. Determinaremos la longitud de contacto: 𝐿𝐶 = 150 mm 1,0 mm − 0,7 mm 𝐿𝐶 = 6,71 mm Para este caso de dos rodillos, establecemos la relación h/L: 1 𝑚𝑚 = 0,149 6,71 𝑚𝑚 Al ser menor que la unidad esta relación, trabajaremos con el intensificador de la presión QP para el cual necesitaremos la relación L/H: 6,71 𝑚𝑚 = 6,71 1 𝑚𝑚
Mediante la siguiente grafica, determinaremos el QP correspondiente para una relación de L/H = 6,71.
Por inspección el factor de intensificación de la presión es igual a QP = 1,15. Sabiendo este dato se procede a determinar la fuerza ejercida por los dos rodillos: 𝐹𝐶 = 1,15 𝜎𝑓 . Q 𝑝 . 𝐿𝐶 𝑤 N 𝐹𝐷 = 1,15 320,55 mm2
1,15 6,71 mm 800 mm
𝐹𝐷 = 2275642,149 𝑁 = 2275,64 𝑘𝑁 La velocidad sigue siendo la misma a la salida del tercer rodillo, que será la misma al salir del molino de cuatro rodillos: 𝑉3 = 5,71
𝑚 𝑚 = 342,86 𝑠 𝑚𝑖𝑛
Como ultima variable, se determinara la potencia del molino con los dos rodillos. Por lo tanto: 𝑃𝐷 =
𝐹𝐷 . 𝐿𝐷 . 𝑉 𝑅𝐷
𝑃𝐷 =
2275642,149 𝑁 0,00671m
5,71
𝑚 𝑠
0,15 𝑚
𝑃𝐷 = 581261.2057 𝑊 = 581,26 𝑘𝑊 La potencia requerida en el molino de dos rodillos es de 581,26 kW. MOLINO SENDZIMIR Se establecen los datos de diámetro y radio respectivos: 𝐷𝑆 = 30 mm 𝑅𝑆 = 15 mm Las deformaciones son las mismas que en el inciso del molino de dos rodillos, debido a que la placa inicialmente se endureció en un molino tándem. Esta consideración se tendrá en cuenta para el molino Sendzimir. 𝜀0 = 0,2877 𝜀𝑓 = 0,3567 De la misma manera el esfuerzo de fluencia medio es el medio es el mismo: 𝜎𝑓 = 320,55 N/mm2 Ahora, se procede a determinar la reducción máxima del espesor que pueden realizar los rodillos de la siguiente manera: ∆𝑚𝑎𝑥 = 𝜇2 . 𝑅𝑆 ∆𝑚𝑎𝑥 = 0,05 2 . 15 mm ∆𝑚𝑎𝑥 = 0,0375 mm Teniendo cuenta los datos del problema, se analiza la reducción en el espesor. = 𝑜 − 𝑓 = 0,3 𝑚𝑚 Como se puede observar, la máxima reducción del espesor provocada por el rodillo es mucho menor que la establecida por el problema. Claramente este rodillo no es apto para la laminación de esta placa. R=/: Se evaluaron tres condiciones distintas para el laminado de una tira con una reducción de 2 mm a 0,7 mm. Para la primera condición, es decir un molino de dos rodillos, la fuerza necesaria y la potencia de laminado fueron 4230,23 𝑘𝑁 y 661,24 𝑘𝑊 respectivamente.
Para la segunda condición, es decir un molino de cuatro rodillos, la fuerza necesaria y la potencia de laminado fueron 2275,64 𝑘𝑁 y 581,26 𝑘𝑊 respectivamente. La última condición propuso la utilización de un molino Sendzimir. Al momento de calcular la máxima reducción en el grosor de la placa, pudimos observar que no satisfacía la reducción propuesta por el ejercicio. Por lo tanto, se considera que el molino no es apto para el laminado. EJERCICIO 9C-28 Una tira se lamina en frío en un molino tándem. Las reducciones ocurren en cuatro bastidores, desde 0.6 a 0.45 a 0.3 a 0.2 y a 0.14 mm. (a) Calcule la deformación de ingeniería y la natural para cada pasada. (b) Obtenga la deformación en una sola pasa de 0.6 a 0.14 mm. (c) Sume las deformaciones de ingeniería del inciso (a) y compare el resultado con la deformación calculada en el inciso (b); repita esta operación para deformaciones naturales. (d) ¿Se pueden sumar las deformaciones de ingeniería? (e) ¿y las deformaciones naturales? DECLARACION DE VARIABLES 1 = Grosor inicial
(mm)
2 = Grosor final
(mm)
𝜖 = Deformación unitaria natural
(mm/mm)
𝜀 = Deformación unitaria ingenieril
(mm/mm)
Una posible representación gráfica de la situación problema se muestra a continuación:
La lámina sufre un proceso de laminación en cuatro etapas. Se procederá a determinar cada una de las deformaciones unitarias naturales 𝜖 e ingenieriles 𝜀 .
a) Al tener cuatro rodillos, tendremos cuatro deformaciones unitarias tanto ingenieriles como naturales. Para la deformación unitaria ingenieriles utilizaremos la siguiente ecuación: 𝜀 = 𝑙𝑛
1 2
Para la deformación unitaria natural utilizaremos la siguiente ecuación: 𝜖=
1 − 2 1
Deformaciones unitarias:
1 = 0,6 𝑚𝑚 y 2 = 0,45 𝑚𝑚 → Primera pasada
𝜀1 = 𝑙𝑛 𝜖1 =
0,6 𝑚𝑚 − 0,45 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,25 0,6 𝑚𝑚 𝑚𝑚
1 = 0,45 𝑚𝑚 y 2 = 0,3 𝑚𝑚 → Segunda pasada
𝜀2 = 𝑙𝑛 𝜖2 =
0,45 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,4055 0,3 𝑚𝑚 𝑚𝑚
0,45 𝑚𝑚 − 0,3 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,3333 0,45 𝑚𝑚 𝑚𝑚
1 = 0,3 𝑚𝑚 y 2 = 0,2 𝑚𝑚 → Tercera pasada
𝜀3 = 𝑙𝑛 𝜖3 =
0,6 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,2877 0,45 𝑚𝑚 𝑚𝑚
0,3 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,4055 0,2 𝑚𝑚 𝑚𝑚
0,3 𝑚𝑚 − 0,2 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,3333 0,3 𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝜀4 = 𝑙𝑛
1 = 0,2 𝑚𝑚 y 2 = 0,14 𝑚𝑚 → Cuarta pasada 0,2 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,3567 0,14 𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝜖4 =
0,2 𝑚𝑚 − 0,14 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,3 0,2 𝑚𝑚 𝑚𝑚
R=/: 𝑚𝑚
Para la primera pasada se tiene una deformación unitaria ingenieril de 0,2877 𝑚𝑚 y una 𝑚𝑚
deformación unitaria natural de 0,25 𝑚𝑚 . En la segunda y tercera pasada se obtuvieron las mismas deformaciones unitarias tanto ingenieril como natural correspondientes a 0,4055
𝑚𝑚 𝑚𝑚
y 0,3333
𝑚𝑚 𝑚𝑚
respectivamente. 𝑚𝑚
En la cuarta y ultima pasada se tiene una deformación unitaria ingenieril de 0,3567 𝑚𝑚 y una 𝑚𝑚
deformación unitaria natural de 0,3 𝑚𝑚 . b) Se asume una sola etapa en que la lamina pasa de 0,6 mm directamente a 0,14. Se procederá a determinar las respectivas deformaciones. 1 = 0,6 𝑚𝑚 2 = 0,14 𝑚𝑚
Ingenieril: 𝜀 = 𝑙𝑛
0,6 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 1,4553 0,14 𝑚𝑚 𝑚𝑚
Natural: 𝜖=
0,6 𝑚𝑚 − 0,14 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,7667 0,6 𝑚𝑚 𝑚𝑚
R=/: Para una pasada de 0,6 mm reducida hasta 0,14 mm, se obtuvo una deformación unitaria 𝑚𝑚
𝑚𝑚
ingenieril de 1,4553 𝑚𝑚 ; y se obtuvo una deformación unitaria natural de 0,7667 𝑚𝑚 . c) Analizaremos la suma de cada deformación calculada en el inciso a) Ingenieriles: 𝜀𝑇 = 𝜀1 + 𝜀2 +𝜀3 + 𝜀4 𝜀𝑇 = 0,2877
𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 + 0,4055 + 0,4055 + 0,3567 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝜀𝑇 = 1,4554
𝑚𝑚 𝑚𝑚
Naturales: 𝜖 𝑇 = 𝜖1 + 𝜖2 + 𝜖3 + 𝜖4 𝜖 𝑇 = 0,25
𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 + 0,3333 + 0,3333 + 0,3 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚 𝑚𝑚
𝜖 𝑇 = 1,2166
𝑚𝑚 𝑚𝑚
R=/: Sumando las deformaciones en cada pasada se obtuvo una deformación unitaria ingenieril total de 1,4554
𝑚𝑚 𝑚𝑚
y una deformación unitaria natural total de 1,2166
𝑚𝑚 . 𝑚𝑚
d) Para el caso de las deformaciones naturales se puede ver que sumado cada una de las deformaciones en cada pasada, este valor esta muy lejos del valor calculado asumiendo una sola pasada. Calculando el error porcentualmente se tiene: %𝐸 =
1,2166 − 0,7667 . 100% = 36,98 % 1,2166
Claramente se puede apreciar un error con alto grado de imperfección. Si se tienen varias pasadas de una lámina en varios rodillos, calcular una deformación asumiendo una sola pasada generará una desviación del valor real en un índice muy grande. Factores que pueden ocasionar este fenómeno pueden ser que como se trata de un trabajo en frio, la acritud tiene grandes implicaciones en el resultado. R=/: Si se pueden sumar las deformaciones unitarias naturales, pero no se puede calcular la deformación asumiendo una sola pasada. e) Para el caso de las deformaciones unitarias ingenieriles, claramente podemos ver de que el mismo valor calculado en la suma de cada pasada es el mismo tal como si se asumiera una sola pasada. R=/: Si se pueden sumar las deformaciones unitarias ingenieriles. Su valor será el mismo si se asume una sola pasada.
EJERCICIO 9C-31 Retome el problema 9C – 27. Calcule la fuerza del rodillo si se somete una tensión trasera igual a la mitad del esfuerzo de fluencia de entrada, y a una tensión frontal igual a la mitad del esfuerzo de fluencia de salida. Como se esta tomando como base el ejercicio 9C – 27, de manera general se trabajaran dos molinos, el de dos rodillos y el de cuatro rodillos. No se tendrá en cuenta el molino Sendzimir porque como se demostró anteriormente, la máxima reducción del espesor no admite la que propone el ejercicio. DECLARACION DE VARIABLES 0 = Espesor inicial 𝑓 = Espesor final 𝐿𝐶 = Longitud Molino de cuatro rodillos 𝐿𝐷 = Longitud Molino de dos rodillos 𝜎𝑓 = Esfuerzo de fluencia medio 𝜎𝑓𝑜 = Esfuerzo de fluencia a la entrada 𝜎𝑓 𝑓 = Esfuerzo de fluencia a la salida 𝜀0 = Deformación unitaria a la entrada 𝜀𝑓 = Deformación unitaria a la salida 𝑄𝑃 = Factor intensificador de presión 𝐹𝐶 = Fuerza Molino de cuatro rodillos 𝐹𝐷 = Fuerza Molino de dos rodillos
[mm] [mm] [mm] [mm] [N/mm2] [N/mm2] [N/mm2] [mm/ mm] [mm/ mm] [N] [N]
DESARROLLO En mi primer lugar procederemos a calcular los esfuerzos de fluencia tanto en la entrada como en la salida. Previamente a esto, debemos calcular las deformaciones unitarias ingenieriles. Por lo tanto se tiene: Para la entrada se parte de que la lamina pasa de un grosor de 2,0 mm a 1,5 mm, por lo tanto: 0 = 2,0 𝑚𝑚 𝑓 = 1,5 𝑚𝑚 Determinando la deformación, se tiene: 𝜀0 = 𝑙𝑛
2,0 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,2877 1,5 𝑚𝑚 𝑚𝑚
Mediante la tabla 8 – 3 (Procesos de manufactura – Jhon A. Schey) se establecen los valores del coeficiente de resistencia (K) y el exponente de endurecimiento (n) para el material de aleación Al 2017: 𝐾 = 380
𝑁 𝑚𝑚2
𝑛 = 0,15 Ahora se procede a calcular el respectivo esfuerzo de fluencia en la entrada, y sigue asi: 𝜎𝑓𝑜 = 𝐾𝜀 𝑛 𝜎𝑓𝑜 = 380
𝑁 𝑚𝑚2
0,2877
𝑚𝑚 𝑚𝑚
0,15
𝜎𝑓𝑜 = 228 𝑀𝑃𝑎 Para la salida se parte de que la lamina pasa de un grosor de 1,0 mm a 0,7 mm, por lo tanto: 0 = 1,0 𝑚𝑚 𝑓 = 0,7 𝑚𝑚 Determinando la deformación, se tiene: 𝜀0 = 𝑙𝑛
1,0 𝑚𝑚 𝑚𝑚 = 0,3567 0,7 𝑚𝑚 𝑚𝑚
Ahora se procede a calcular el respectivo esfuerzo de fluencia en la salida, y sigue asi: 𝜎𝑓𝑜 = 𝐾𝜀 𝑛 𝜎𝑓𝑜 = 380
𝑁 𝑚𝑚2
0,3567
𝑚𝑚 𝑚𝑚
0,15
𝜎𝑓 𝑓 = 325,53 𝑀𝑃𝑎 Inicialmente piden calcular la fuerza del rodillo asumiendo la mitad del esfuerzo de fluencia entrante, por lo tanto: 𝜎𝑓 =
𝜎𝑓𝑜 228 𝑀𝑃𝑎 = = 114 𝑀𝑃𝑎 2 2
Del ejercicio 9C – 27, se establecio que para los dos molinos, se iba a trabajar con el intensificador de potencia 𝑄𝑃 , y también tendiendo la consideración de que el ancho w no varia. Tanto el intensificador de potencia como la longitud de contacto se determinaron anteriormente para un molino de dos rodillos, por lo tanto se tiene que: 𝑄𝑃 = 1,31 𝐿𝐷 = 10,95 𝑚𝑚 Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de dos rodillos: 𝐹𝐷 = 1,15𝜎𝑓 𝑄𝑃 𝐿𝐷 𝑤
𝐹𝐷 = 1,15 114 𝑀𝑃𝑎 1,31 10,95 𝑚𝑚 800𝑚𝑚 𝐹𝐷 = 1504451,16 𝑁 ≅ 1504,45 𝑘𝑁 Para el molino de cuatro rodillos, se tienen valores distintos correspondientes al intensificador de potencia y la longitud de contacto: 𝑄𝑃 = 1,15 𝐿𝐶 = 6,71 𝑚𝑚 Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de cuatro rodillos: 𝐹𝐶 = 1,15𝜎𝑓 𝑄𝑃 𝐿𝐶 𝑤 𝐹𝐶 = 1,15 114 𝑀𝑃𝑎 1,15 6,71 𝑚𝑚 800𝑚𝑚 𝐹𝐶 = 809306,52 𝑁 ≅ 809,31 𝑘𝑁 Como segundo ítem piden calcular la fuerza del rodillo asumiendo la mitad del esfuerzo de fluencia de salida, por lo tanto: 𝜎𝑓 =
𝜎𝑓𝑜 325,53 𝑀𝑃𝑎 = = 162,765 𝑀𝑃𝑎 2 2
Del ejercicio 9C – 27, se establecio que para los dos molinos, se iba a trabajar con el intensificador de potencia 𝑄𝑃 , y también tendiendo la consideración de que el ancho w no varia. Tanto el intensificador de potencia como la longitud de contacto se determinaron anteriormente para un molino de dos rodillos, por lo tanto se tiene que: 𝑄𝑃 = 1,31 𝐿𝐷 = 10,95 𝑚𝑚 Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de dos rodillos: 𝐹𝐷 = 1,15𝜎𝑓 𝑄𝑃 𝐿𝐷 𝑤 𝐹𝐷 = 1,15 162,765 𝑀𝑃𝑎 1,31 10,95 𝑚𝑚 800𝑚𝑚 𝐹𝐷 = 2147999,94 𝑁 ≅ 2147,99 𝑘𝑁 Para el molino de cuatro rodillos, se tienen valores distintos correspondientes al intensificador de potencia y la longitud de contacto: 𝑄𝑃 = 1,15 𝐿𝐶 = 6,71 𝑚𝑚
Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de cuatro rodillos: 𝐹𝐶 = 1,15𝜎𝑓 𝑄𝑃 𝐿𝐶 𝑤 𝐹𝐶 = 1,15 162,765 𝑀𝑃𝑎 1,15 6,71 𝑚𝑚 800𝑚𝑚 𝐹𝐶 = 1155498,03 𝑁 ≅ 1155,49 𝑘𝑁 R=/: La fuerza de un rodillo sometido a una tensión trasera igual a la mitad del esfuezo de fluencia de entrada corresponde a 1504,45 𝑘𝑁 para un molino de dos rodillos; y para un molino de cuatro rodillos es de 809,31 𝑘𝑁. La fuerza de un rodillo sometido a una tensión frontal igual a la mitad del esfuezo de fluencia de salida corresponde a 2147,99 𝑘𝑁para un molino de dos rodillos; y para un molino de cuatro rodillos es de 1155,49 𝑘𝑁.
21.6 Un molino de laminación en caliente tiene 8 bastidores. Las dimensiones de la plancha inicial son: espesor = 3.0 pulg, ancho = 15.0 pulg y longitud = 10.0 pulg.el espesor final será 0.3 pulg el diámetro del rodillo en cada bastidor = 36 pulgy la velocidad de rotación en el bastidor 1 = 30 rev/min. Se ha observado que la velocidad de la plancha que entra en el bastidor 1 = 240 pies/min. Suponga que no ocurre ensanchamiento de la plancha durante el la secuencia de laminado. La reducción porcentual del espesor es igual en cada bastidor y se supone que el deslizamiento hacia delante será igual en cada bastidor. Determine a) la reducción porcentual en cada bastidor, b) la velocidad de rotación de los rodillos en los bastidores del 2 al 8, c) el deslizamiento hacia adelante, d) ¿cual es el draft en los bastidores 1 y 8? Y e) ¿cual es la longitud y la velocidad de salida de la tira final que sale del bastidor 8? Declaración de variables:
Espesor inicial de la placa ( ). 3.0 pulg .Unidades (pulgadas). Espesor final de la placa ( ). 0.30 pulg .Unidades (pulgadas). Longitud inicial de la placa ( ). 10.0 pulg. Unidades (pulgadas). Longitud final de la placa ( ). Unidades (pulgadas). Velocidad de entrada de la plancha =240 pies /min = 2880 pulg/min . unidades Ancho inicial de la placa ( w0 ) w0 = 15.0 pulg. Unidades (pulgadas).
Diámetro de los rodillos (D) D = 36 pulgentonces el radio (R) R=16 pulg. Unidades (pulgadas sobre minuto o pies sobre minutos) (pulgadas). Volumen de la lamina (V). Unidades pulgadas al cubo ( )
Adelgazamiento o draft ( d ) y adelgazamiento máximo o draft máximo ( d max ).Unidades (pulgadas).
Velocidad de rotación del rodillos 1 ( ). = 30rev /min. Unidades (revoluciones sobre minuto). Deslizamiento hacia adelante (S). unidades (adimensional). Velocidad del rodillo . unidades (pulgadas sobre minuto o pies sobre minutos) Velocidad final de trabajo . unidades (pulgadas sobre minuto o pies sobre minutos) Reducción (r) . unidades (adimensional)
Grafica del proceso de laminación de este ejercicio:
Para desarrollar el ejercicio, debemos tener en cuenta el tipo de material, que en este caso no nos lo indican, por lo que asumimos que el material es apropiado para realizarle el proceso, y también tener en cuenta que tipo de trabajo se realiza, para este ejercicio el proceso se realiza en caliente aunque no especifican temperatura, por lo cual debemos utilizar las ecuaciones para este tipo de trabajo. También debemos tener en cuenta las condiciones que nos da el ejercicio las cuales son:
No ocurre ensanchamiento en la plancha durante el proceso de laminado por lo cual tenemos que .
La reducción porcentual (r) del espesor es igual en cada bastidor.
El deslizamiento hacia delante (S) será igual.
Para desarrollar el primer punto del ejercicio utilizaremos las siguientes formulas: Draft que esta dado por la ecuación 21.1 del groover
Y la reducción que esta dado por la ecuación 21.2 del groover
Ahora como el porcentaje de reducción debe ser igual para cada uno de los bastidores y pasar de 3.0 pulg de espesor a 0.3 pulg en la salida del ultimo bastidor, procedemos a hallar el porcentaje de reducción una forma de hallarlo es por tanteo. Primero despejaremos el espesor inicial la ecuación de reducción así:
de
Debemos tener en cuenta que para cada pasada el espesor final del primer bastidor va ha hacer el espesor inicial del segundo bastidor y así sucesivamente hasta llegar al segundo bastidor. Ahora para encontrar el r adecuado para que a medida que se vaya haciendo el proceso de laminado a la pieza esta tendrá siempre el mismo porcentaje de reducción por lo cual si tomamos un numero al azar por ejemplo r = 0.20, lo reemplazamos en la formula (1) y resolvemos para el primer proceso de laminado con
3.0 pulgobtenemos
Esto nos indica que en la primera pasada el espesor de la plancha se redujo a 2.4 repetimos este proceso para la segunda fase de laminado ahora con tendremos
y si
y el mismo r
Y si seguimos así para las demás fases de laminado tendremos que al llegar al 8 bastidor nuestro lamina se habrá reducido hasta 0.50 pulg lo cual nos indica que para el r = 0.20 no es la reducción adecuada para llegar a una reducción de 0.30 pulg que es la condición que requiere el ejercicio en el octavo bastidor. Ahora si usamos otro r al azar por ejemplo r = 0.30 y realizamos el procedimiento anterior tendremos que para la primera fase de laminado
Y para la segunda fase de laminado
Y si continuamos así hasta llegar a la octava fase de laminado donde y otra vez tenemos que para r = 0.3 no es la reducción adecuada. Pero entonces el r adecuado para nuestro proceso se encuentra en un valor entre 0.2 y 0.3, por lo que promediamos entre los dos valores
dándonos el resultado de 0.25 para comprobar esto realizaremos el procedimiento anterior con tal de verificar que es el r adecuado.
Y para la segunda fase de laminado
Y para las demás fases Tabla 1:
fase de laminado reducción ( r ) 1 0,25 2 0,25 3 0,25 4 0,25 5 0,25 6 0,25 7 0,25 8 0,25
espesor inicial pulg 3 2,250 1,688 1,266 0,949 0,712 0,534 0,400
Espesor final pulg 2,250 1,688 1,266 0,949 0,712 0,534 0,400 0,300
Draft (pulg) 0,75 0,562 0,422 0,317 0,237 0,178 0,134 0,1
Esto nos indica que para r = 0.25 concluimos que para la fase 8 del laminado obtenemos la reducción deseada que es
0.3 pulg
Respuesta a):el porcentaje de reducción es r = 0.25 para cada bastidor
Para calcular la velocidad de rotación de los rodillos (v r) en los bastidores del 2 al 8 y el deslizamiento hacia delante S, utilizaremos la ecuación 21.5 del groover
Lo primero que tenemos que saber es que durante las fases de laminado por conservación de la materia el volumen de la plancha permanece constante y. de igual manera, la velocidad volumétrica del material antes y después debe ser la misma. Para esto utilizamos la ecuación 21.4 del groover
Donde
y
son las velocidades de entrada y salida del material de trabajo.
Como el ancho de material se mantiene contante durante la faces de laminado tendremos tenemos que
Ahora para hallar la velocidad del rodillo del segundo bastidor necesitaremos saber la velocidad con la que sale la lamina en el primer bastidor, para ello reemplazamos en (2)
Ahora con este valor procederemos a encontrar el desplazamiento S hacia delante del mismo bastidor.
Con la condición que nos da el ejercicio suponiendo que el S es igual en cada bastidor procederemos a hallar la velocidad de cada rodillo en cada bastidor. Para esto despejaremos
de la ecuación de desplazamiento hacia adelante S:
Respuesta c):el deslizamiento hacia delante S= 0.1317 para cada bastidor
Ahora la velocidad del los rodillos en los demás bastidores suponiendo un S= 0.1317 y repitiendo el proceso anterior utilizaremos la tabla para hacer mas rápido los cálculos Tabla 2: V0 de la plancha
Vf de la plancha (
Vr
( ) 2880,00 3840,00 5118,48 6824,64 9104,32 12134,83 16179,78 21600,00
) 3840,00 5118,48 6824,64 9104,32 12134,83 16179,78 21600,00 28800,00
( ) 3393,13 4522,83 6030,44 8044,82 10722,66 14296,88 19086,33 25448,44
fase de laminado L0(pulg) Lf(pulg) 1 2 3 4 5 6 7 8
10.00 13,33 17,77 23,70 31,61 42,13 56,18 75,00
13,33 17,77 23,70 31,61 42,13 56,18 75,00 100,00
Respuesta b):la velocidad de rotación de los rodillos en los bastidores del 2 al 8 son: Vr fase de laminado 1 2 3 4 5 6 7 8
( ) 3393,13 4522,83 6030,44 8044,82 10722,66 14296,88 19086,33 25448,44
Para calcular el draft utilizaremos la ecuación la ecuación 21.1 del groover
Con los espesores inicial ( fase de laminación
y final (
) calculados en la tablas 1 resolvemos para cada
Respuesta d): Tabla 3: espesor inicial fase de laminado pulg 1 3 2 2,250 3 1,688 4 1,266 5 0,949 6 0,712 7 0,534 8 0,400
Espesor final 2,250 1,688 1,266 0,949 0,712 0,534 0,400 0,300
pulg
Draft (pulg) 0,75 0,562 0,422 0,317 0,237 0,178 0,134 0,1
Para calcular la longitud y la velocidad de salida de la tira final que sale del bastidor 8 Para esto utilizamos la ecuación 21.4 del groover
De esta ecuación despejaremos
y después dirigiéndonos a la tabla 2 y la tabla 3 y tomamos los
valores correspondiente a los espesores inicial y final (
y
) la velocidad inicial del laminado
ya antes calculados para la octava fase de laminado los cuales corresponde a =0,3 pulgy
Respuesta e):
= 21600,00
= 0,4 pulg ,
EJERCICIO 21.7 Una placa de 10 pulg de ancho y 1.0 pulg de espesor se reduce en un solo paso en un molino de dos rodillos a un espesor de 0.80 pulg. El rodillo tiene un radio de 20 pulg. Y su velocidad = 50pies/min. El material de trabajo tiene un coeficiente de resistencia = 35 000 lb/pulg2 y un exponente de endurecimiento por deformación = 0.2. Determine: a) la fuerza de laminación, b) el momento de torsión y c) la potencia requerida para realizar esta operación. DECLARACION DE VARIABLES w0 = Ancho Inicial De La Placa t0 = Espesor Inicial De La Placa 𝑡𝑓 = Espesor Final De La Placa R = Radio Del Rodillo 𝑉𝑟 = Velocidad Tangencial Del Rodillo L = Distancia de Contacto F = Fuerza Del Rodillo T = Par De Torsión P = Potencia K = Coeficiente De Resistencia n = Coeficiente De Endurecimiento Por Deformación 𝑌𝑓 = Esfuerzo De Fluencia Promedio 𝜂= Velocidad De Rotación Del Rodillo
DATOS DE ENTRADA 𝜔0 = 10 pulg 𝑡0 = 1.0 pulg 𝑡𝑓 = 0.8 pulg R = 20 pulg 𝑉𝑟 = 50 pies/min k = 35 000 lb/pulg2 n = 0.2
Es un molino de laminación básico que consiste en dos rodillos opuestos, estos rodillos tienen diámetros que van desde (0.6 a 1.4) m. La configuración de dos rodillos puede ser reversible o no reversible. En el molino no reversible los rodillos giran siempre en la misma dirección y el trabajo siempre pasa a través del mismo lado, a diferencia del molino reversible, que permite la rotación de los rodillos en ambas direcciones, de manera que el trabajo pueda pasar a través de cualquier dirección, lo cual permite una serie de reducciones que se hacen por medio del mismo juego de rodillos, pasando simplemente el trabajo varias veces desde direcciones opuestas. La desventaja de la configuración reversible es un
significativo torque debido a la rotación de grandes rodillos y los problemas técnicos asociados a la reversibilidad de la dirección. La disminución del espesor es proporcional al aumento de la longitud con poca influencia en la anchura. Suponiendo lo anterior, el valor del ensanchamiento lateral usualmente depende del diámetro, las propiedades plásticas del metal y el porcentaje de disminución (20%). Según Trinks1 “el ensanchamiento es de 0.25 a 0.40 veces la reducción multiplicada por la longitud de contacto”. Despreciando, por lo anterior la relación anchura e incremento de la anchura: 𝐿=
𝑅(𝑡0 − 𝑡𝑓 )
𝐿 = 20"(1.0" − 0.8") 𝐿 = 20"(0.2") 𝐿 = 2" Ensanchamiento lateral = 0.25𝑥20%𝑥2 = 0.1 𝑉𝑟 = 50 pies/min = 10 pulg/seg. .
ln
to 1" ln 0.223 tf 0.8" 𝑌𝑓 = 𝑌𝑓 =
𝐾𝜀 𝑛 𝑛+1
35000𝑙𝑏/𝑖𝑛2 (0.223)0.2 = 21604.68𝑙𝑏/𝑖𝑛2 0.2 + 1
a) La fuerza de laminación la definimos: 𝐹 = 21604.68 𝑙𝑏
𝐹 = 𝑌𝑓 𝜔𝐿
𝑖𝑛2
10 𝑖𝑛 2 𝑖𝑛 = 432093.5 𝑙𝑏
b) El Momento de torsión: 𝑇 = 0.5𝐹𝐿 = 0.5 432093.5 2𝑖𝑛 𝑇 = 432093.5 𝑙𝑏 𝑖𝑛. c) La Potencia requerida v 10 pug / seg vr R r 0.5rad / seg R 20 pu lg P 2NFL FL 0.5rad / seg * 432093.53lb * 2 pu lg 432093.53lb pu lg/ seg
1hp 65.47hp P 432093.53lb pu lg/ seg 6600lb pu lg/ seg 1 DIETER GEORGE E. Metalúrgica Mecánica. Editorial Aguilar. 1979. Capítulo 19. Sección 19.8. Página 535
EJERCICIO 21.14 Una parte cilíndrica con 𝐷 = 2,5 𝑖𝑛 y = 2,5 𝑖𝑛 es recalcada en un dado abierto a una altura de 1,5 𝑖𝑛. El coeficiente de fricción en la interfaz dado – trabajo = 0,10. 𝑙𝑏
El material de trabajo tiene una curva de fluencia por 𝐾 = 40000 𝑖𝑛 2 y 𝑛 = 0,15. Determine la fuerza instantánea en la operación: a) en el momento en que se alcanza el punto de fluencia (fluencia a la deformación = 0,002), b) si = 2,3 𝑖𝑛, c) si = 1,9 𝑖𝑛, y d) si = 1,5 𝑖𝑛. DECLARACION DE VARIABLES 𝐷𝑂 = Diámetro inicial
[in]
𝐷𝐹 = Diámetro final
[in]
𝑂 = Altura inicial
[in]
𝐹 = Altura final
[in]
𝐴𝑂 = Área inicial de contacto entre troqueles
[in]
𝐴𝐹 = Área final de contacto entre troqueles
[in2]
𝑌𝑓 = Esfuerzo de fluencia promedio
[Psi]
𝐾 = Coeficiente de resistencia de trabajo en caliente
[Adimensional]
𝐾𝑓 = Factor de forma del forjado
[Adimensional]
𝑛 =Exponente endurecimiento por deformación
[Adimensional]
𝑃 = Presión del troquelo móvil
[Psi]
𝐹 = Fuerza de la prensa
[lb]
𝜀 = Deformación real
[Adimensional]
𝑉 = Volumen de la pieza
[in3]
𝜇 = Coeficiente de fricción
[Adimensional]
INFORMACION INICIAL 𝐷𝑂 = 2,5 𝑖𝑛 𝑂 = 2,5 𝑖𝑛 𝜇 = 0,10 𝐾 = 40000 𝑛 = 0,15
𝑙𝑏 𝑖𝑛2
DESARROLLO Para el inciso a) se parte de encontrar la fuerza instantánea en el momento en que se alcanza el punto de fluencia, es decir, cuando se tiene una deformación unitaria real de 0,002. Por lo tanto en primer lugar debemos determinar la altura final para este caso, que se consigue despejando la ecuación: 𝜀 = ln 𝑒𝜀 =
𝑂 𝐹
𝑂 𝐹
𝐹 = 𝑂 𝑒 −𝜀 𝐹 = (2,5 𝑖𝑛)𝑒 −(0,002) 𝐹 = 2,495 𝑖𝑛 Como se trata de un cilindro se tiene por lo tanto que: 𝑉 = 0,25𝜋𝑂 𝐷𝑂2 𝑉 = 0,25𝜋(2,5 𝑖𝑛)(2,5 𝑖𝑛)2 𝑉 = 12,2718 𝑖𝑛3 Para determinar el área de contacto final, se parte de que el volumen es constante durante el proceso por lo tanto: 𝑉𝑂 = 𝑉𝐹 0,25𝜋𝑂 𝐷𝑂2 = 0,25𝜋𝐹 𝐷𝐹2 𝐷𝐹 =
𝐷𝐹 =
𝑂 𝐷𝑂2 𝐹 2,5 𝑖𝑛 2,5 𝑖𝑛 2,495 𝑖𝑛
2
𝐷𝐹 = 2,5025 𝑖𝑛 De esta manera el área de contacto será: 𝐴𝐹 = 0,25𝜋𝐷𝐹2 𝐴𝐹 = 0,25𝜋 2,5025 𝑖𝑛
2
𝐴𝐹 = 4,9186 𝑖𝑛2 Para determinar la altura final, se parte de que el volumen es constante durante el proceso por lo tanto: 𝑉𝑂 = 𝑉𝐹 0,25𝜋𝑂 𝐷𝑂2 = 0,25𝜋𝐹 𝐷𝐹2 𝐹 =
𝑂 𝐷𝑂2 𝐷𝐹2
𝑂 𝐷𝑂2 𝐹 = 𝐷𝐹2 𝐹 =
(2,5 𝑖𝑛)(2,5 𝑖𝑛)2 (2,5025)2
𝐹 = 2,495 𝑖𝑛 Para poder calcular la fuerza se requiere saber el esfuerzo de fluencia promedio, y se calcula así: 𝑌𝑓 =
𝐾𝜀 𝑛 1+𝑛 𝑙𝑏
𝑌𝑓 =
40000 𝑖𝑛 2
0,002
0,15
1 + 0,15
𝑌𝑓 = 13693,569
𝑙𝑏 𝑖𝑛2
En las operaciones de forja hay que tener en cuenta la fricción que se opone al flujo de material como también el efecto de la relación entre el diámetro y la altura, ya que el área de contacto se incrementa y tiene ciertas implicaciones en la fuerza. Todos estos factores se pueden incluir calculando el factor de forma del forjado de la siguiente manera: 𝐾𝑓 = 1 +
0,4𝜇𝐷𝐹 𝐹
𝐾𝑓 = 1 +
0,4(0,10)(2,5025 𝑖𝑛) (2,495 𝑖𝑛)
𝐾𝑓 = 1,0401 De esta manera, incluyéndolos efectos mencionados anteriormente, se procede a determinar la fuerza:
𝐹 = 𝐾𝑓 𝑌𝑓 𝐴𝐹 𝐹 = 1,0401
13693,569
𝑙𝑏 (4,9186 𝑖𝑛2 ) 𝑖𝑛2 𝐹 = 70055,414 𝑙𝑏
Para el inciso b) la altura final corresponde 𝐹 = 2,3 𝑖𝑛. Se procederá a determinar la respectiva fuerza para lograr esta altura por forjado bajo las mismas condiciones anteriores. En primer lugar determinamos la deformación unitaria real: 𝜀 = ln
𝑂 𝐹
𝜀 = ln
2,5 𝑖𝑛 2,3 𝑖𝑛
𝜀 = 0,08338 Sabiendo la deformación unitaria real, se procede a determinar el esfuerzo de fluencia promedio: 𝑌𝑓 =
𝑌𝑓 =
𝐾𝜀 𝑛 1+𝑛 40000
𝑙𝑏 𝑖𝑛 2
0,08338
0,15
1 + 0,15
𝑌𝑓 = 23961,91
𝑙𝑏 𝑖𝑛2
Asumiendo que al abarrilamiento no tiene grandes implicaciones y que el volumen a lo largo del proceso es constante, y teniendo una altura final podemos determinar el diámetro final para este caso de la siguiente manera: 𝐷𝐹 =
𝑂 𝐷𝑂2 𝐹
𝐷𝐹 =
(2,5 𝑖𝑛)(2,5 𝑖𝑛)2 (2,3 𝑖𝑛)
𝐷𝐹 = 2,6064 𝑖𝑛 De esta manera el área de contacto será:
𝐴𝐹 = 0,25𝜋𝐷𝐹2 𝐴𝐹 = 0,25𝜋 2,6064 𝑖𝑛
2
𝐴𝐹 = 5,3356 𝑖𝑛2 Para calcular el factor de forma se tiene que: 𝐾𝑓 = 1 +
0,4𝜇𝐷𝐹 𝐹
𝐾𝑓 = 1 +
0,4(0,10)(2,6064 𝑖𝑛) (2,3 𝑖𝑛)
𝐾𝑓 = 1,0453 De esta manera, incluyéndolos efectos mencionados anteriormente, se procede a determinar la fuerza: 𝐹 = 𝐾𝑓 𝑌𝑓 𝐴𝐹 𝐹 = 1,0453
23961,91
𝑙𝑏 (5,3356 𝑖𝑛2 ) 𝑖𝑛2 𝐹 = 133646,494 𝑙𝑏
Para el inciso c) la altura final corresponde 𝐹 = 1,9 𝑖𝑛. Se procederá a determinar la respectiva fuerza para lograr esta altura por forjado bajo las mismas condiciones anteriores. En primer lugar determinamos la deformación unitaria real: 𝜀 = ln
𝑂 𝐹
𝜀 = ln
2,5 𝑖𝑛 1,9 𝑖𝑛
𝜀 = 0,2744 Sabiendo la deformación unitaria real, se procede a determinar el esfuerzo de fluencia promedio: 𝑌𝑓 =
𝐾𝜀 𝑛 1+𝑛 𝑙𝑏
𝑌𝑓 =
40000 𝑖𝑛 2
0,2744
1 + 0,15
0,15
𝑌𝑓 = 28649,679
𝑙𝑏 𝑖𝑛2
Asumiendo que al abarrilamiento no tiene grandes implicaciones y que el volumen a lo largo del proceso es constante, y teniendo una altura final podemos determinar el diámetro final para este caso de la siguiente manera: 𝐷𝐹 =
𝑂 𝐷𝑂2 𝐹
𝐷𝐹 =
(2,5 𝑖𝑛)(2,5 𝑖𝑛)2 (1,9 𝑖𝑛)
𝐷𝐹 = 2,8677 𝑖𝑛 De esta manera el área de contacto será: 𝐴𝐹 = 0,25𝜋𝐷𝐹2 𝐴𝐹 = 0,25𝜋 2,6064 𝑖𝑛
2
𝐴𝐹 = 6,4589 𝑖𝑛2 Para calcular el factor de forma se tiene que: 𝐾𝑓 = 1 +
0,4𝜇𝐷𝐹 𝐹
𝐾𝑓 = 1 +
0,4(0,10)(2,8677 𝑖𝑛) (1,9 𝑖𝑛)
𝐾𝑓 = 1,0604 De esta manera, incluyéndolos efectos mencionados anteriormente, se procede a determinar la fuerza: 𝐹 = 𝐾𝑓 𝑌𝑓 𝐴𝐹 𝐹 = 1,0604
28649,679
𝑙𝑏 (6,4589 𝑖𝑛2 ) 𝑖𝑛2 𝐹 = 196217,0902 𝑙𝑏
Para el inciso d) la altura final corresponde 𝐹 = 1,5 𝑖𝑛. Se procederá a determinar la respectiva fuerza para lograr esta altura por forjado bajo las mismas condiciones anteriores.
En primer lugar determinamos la deformación unitaria real: 𝜀 = ln
𝑂 𝐹
𝜀 = ln
2,5 𝑖𝑛 1,5 𝑖𝑛
𝜀 = 0,5108 Sabiendo la deformación unitaria real, se procede a determinar el esfuerzo de fluencia promedio: 𝑌𝑓 =
𝐾𝜀 𝑛 1+𝑛 𝑙𝑏
𝑌𝑓 =
40000 𝑖𝑛 2
0,5108
0,15
1 + 0,15
𝑌𝑓 = 31448,489
𝑙𝑏 𝑖𝑛2
Asumiendo que al abarrilamiento no tiene grandes implicaciones y que el volumen a lo largo del proceso es constante, y teniendo una altura final podemos determinar el diámetro final para este caso de la siguiente manera: 𝐷𝐹 =
𝑂 𝐷𝑂2 𝐹
𝐷𝐹 =
(2,5 𝑖𝑛)(2,5 𝑖𝑛)2 (1,5 𝑖𝑛)
𝐷𝐹 = 3,2275 𝑖𝑛 De esta manera el área de contacto será: 𝐴𝐹 = 0,25𝜋𝐷𝐹2 𝐴𝐹 = 0,25𝜋 3,2275 𝑖𝑛
2
𝐴𝐹 = 8,1812 𝑖𝑛2 Para calcular el factor de forma se tiene que: 𝐾𝑓 = 1 +
0,4𝜇𝐷𝐹 𝐹
𝐾𝑓 = 1 +
0,4(0,10)(3,2275 𝑖𝑛 𝑖𝑛) (1,5 𝑖𝑛)
𝐾𝑓 = 1,08607 De esta manera, incluyéndolos efectos mencionados anteriormente, se procede a determinar la fuerza: 𝐹 = 𝐾𝑓 𝑌𝑓 𝐴𝐹 𝐹 = 1,08607
31448,489
𝑙𝑏 (8,1812 𝑖𝑛2 ) 𝑖𝑛2 𝐹 = 279430,159 𝑙𝑏
R=/: a. Cuando se alcanza el punto de fluencia se debe aplicar una fuerza de 70055,414 𝑙𝑏. b. Para una altura final de 2,3 in se debe aplicar una fuerza de 133646,494 𝑙𝑏. c. Para una altura final de 1,9 in se debe aplicar una fuerza de 196217,0902 𝑙𝑏. d. Para una altura final de 1,5 in se debe aplicar una fuerza de 279430,159 𝑙𝑏. EJERCICIO 21.157 Una parte cilíndrica se recalca en frío en un dado abierto D0 = 50 mm, h0 = 40 mm y una altura final= 20 mm. El coeficiente de fricción en la interfase dado-trabajo = 0,20. El material de trabajo tiene una curva de fluencia definida por K = 600 MPa y n = 0,12. Determine la fuerza en la operación: a) cuando se alcanza el punto de fluencia (fluencia a la deformación = 0,002), b) h = 30 mm, c) h = 20 mm.
Variables de reconocimiento
Para este ejercicio, trabajaremos con las siguientes variables: h0: Altura inicial de la pieza de trabajo hi: Alturas intermedias de la pieza de trabajo hf: Altura final de la pieza de trabajo D0: Diámetro inicial de la pieza de trabajo Di: Diámetros intermedios de la pieza de trabajo Df: Diámetro final de la pieza de trabajo V: Volumen de la pieza de trabajo A0: Área inicial de la pieza de trabajo Ai: Áreas intermedias de la base de la pieza σf: Esfuerzos de fluencia del material ε: Deformaciones reales de la pieza de trabajo K: Coeficiente de resistencia F: Fuerza de trabajo µ: Coeficiente de fricción n: Exponente de endurecimiento por deformación Kf: Factor de forma del forjado Datos de entrada
[mm] [mm] [mm] [mm]
[mm] [mm] [mm3]
[mm2] [mm2] [N/ mm2] [mm/mm] [N/ mm2] [N]
D0 = 50 mm h0 = 40 mm hf = 20 mm µ = 0,20 K = 600 N/mm2 n = 0,12 ε = 0,002 h = 30 mm Ecuaciones a utilizar Para definir las ecuaciones con las cuales podemos trabajar, primero debemos analizar el enunciado e identificar qué tipo de proceso estamos trabajando; teniendo en cuenta que estamos frente a un proceso de forjado en dado abierto podemos utilizar la siguiente ecuación para la deformación real del material: 0 Ecu. Groover (21.14) Otro aspecto a tener en cuenta es la fricción dada en el enunciado, por lo cual este no es un proceso bajo condiciones iníciales, la fricción es un factor que influye en que la fuerza de recalcado por lo que utilizaremos la siguiente ecuación para el cálculo del a fuerza de trabajo: 𝜀 = ln
𝐹 = 𝐾𝑓 𝜎𝑓 𝐴
Ecu. Groover (21.16)
donde definimos: 0,4𝜇𝐷𝑖 Ecu. Groover (21.17) Cabe anotar que para este proceso, el enunciado no nos brinda datos sobre temperatura, ni un cambio en ella, además nos dan los valores del coeficiente de resistencia (K) y el exponente de 𝐾𝑓 = 1 +
endurecimiento por deformación por lo que concluimos que estamos frente a un proceso de trabajo en frío, donde utilizamos la siguiente ecuación para el cálculo del esfuerzo de fluencia: 𝜎𝑓 = 𝐾𝜀 𝑛 Ecu. Schey(8-4) Las siguientes ecuaciones se desprenden del hecho que estamos frente a un proceso de conformación volumétrica, en donde el volumen es constante. 𝑉=
𝐷0 𝜋 4
0
(1); 𝐴𝑖 = 𝐴0
0 𝑖
(2)y𝐷𝑖 =
4𝐴𝑖 𝜋
(3)
a) Cuando se alcanza el punto de fluencia. Para este caso ε = 0,002, de la ecuación (21.14) tenemos que: 40 mm 0,002 = ln → = 39,92008 mm De la ecuación (2): 40 mm 𝐴𝑖 = 1963,5 mm2 = 1967,43 mm2 39,92 mm Obtenemos 𝜎𝑓 de la ecuación (8-4): 𝜎𝑓 = 600 N/mm2 (0,002)0,12 = 284,62 N/mm2 De la ecuación (3): 4(1967,43 mm2 ) = 50,05 mm 𝜋 Obtenemos Kf por medio de la ecuación (21.17): 0,4 0,20 (50,05 mm) 𝐾𝑓 = 1 + = 1,1 39,92 mm Procedemos a calcular la fuerza mediante la ecuación (21.16): N 𝐹 = 1,1 284,62 1967,43 mm2 = 615966,92 N mm2 𝐷𝑖 =
b) h = 30 mm Para este caso de la ecuación (21.14) tenemos que: 40 mm 𝜀 = ln → 𝜀 = 0,2876 30 mm De la ecuación (2): 40 mm 𝐴𝑖 = 1963,5 mm2 = 2618 mm2 30 mm Obtenemos 𝜎𝑓 de la ecuación (8-4): 𝜎𝑓 = 600 N/mm2 (0,2876)0,12 = 516,66 N/mm2 De la ecuación (3): 4(2618 mm2 ) = 57,73 mm 𝜋 Obtenemos Kf por medio de la ecuación (21.17): 0,4 0,20 (57,73 mm) 𝐾𝑓 = 1 + = 1,15 30 mm 𝐷𝑖 =
Procedemos a calcular la fuerza mediante la ecuación (21.16): 𝐹 = 1,15 516,66 N/mm2 2618 mm2 = 1555508,262 N c) h = 20 mm Para este caso de la ecuación (21.14) tenemos que: 40 mm 𝜀 = ln → 𝜀 = 0,693 20 mm De la ecuación (2): 40 mm 𝐴𝑖 = 1963,5 mm2 = 3927 mm2 20 mm Obtenemos 𝜎𝑓 de la ecuación (8-4): 𝜎𝑓 = 600 N/mm2 (0,693)0,12 = 574,17 N/mm2 De la ecuación (3): 4(3927 mm2 ) = 70,71 mm 𝜋 Obtenemos Kf por medio de la ecuación (21.17): 0,4 0,20 (70,71 mm) 𝐾𝑓 = 1 + = 1,28 20 mm Procedemos a calcular la fuerza mediante la ecuación (21.16): 𝐷𝑖 =
𝐹 = 1,28 574,17 N/mm2 3927 mm2 = 2886099,95 N
EJERCICIO 21.168 Una parte de trabajo tiene un diámetro de 2” y una altura de 4”. Se recalca a una altura de 2,5”. El coeficiente de fricción de la interfase dado-trabajo es de 0,10. El material de trabajo tiene una curva de fluencia con un coeficiente de fluencia de 25000 lb/pulg2 con un exponente de endurecimiento de deformación de 0,22. Construya una gráfica de fuerza contra altura de trabajo.
Variables de reconocimiento Para este ejercicio, trabajaremos con las siguientes variables: h0: Altura inicial de la pieza de trabajo hi: Alturas intermedias de la pieza de trabajo hf: Altura final de la pieza de trabajo D0: Diámetro inicial de la pieza de trabajo Di: Diámetros intermedios de la pieza de trabajo Df: Diámetro final de la pieza de trabajo V: Volumen de la pieza de trabajo A0: Área inicial de la pieza de trabajo Ai: Áreas intermedias de la base de la pieza σf: Esfuerzos de fluencia del material ε: Deformaciones reales de la pieza de trabajo K: Coeficiente de resistencia F: Fuerza de trabajo µ: Coeficiente de fricción n: Exponente de endurecimiento por deformación Kf: Factor de forma del forjado
[pulg] [pulg] [pulg] [pulg2] [pulg2] [psi] [psi]
[pulg] [pulg] [pulg] [pulg3]
[pulg/pulg] [lb]
Datos de entrada D0 = 2” h0 = 4” hf = 2,5” µ = 0,10 K = 25000 lb/pulg2 n = 0,22 Ecuaciones a utilizar Igual que el ejercicio anterior, para definir las ecuaciones con las cuales podemos trabajar, primero debemos analizar el enunciado e identificar qué tipo de proceso estamos trabajando; teniendo en cuenta que estamos frente a un proceso de forjado en dado abierto podemos utilizar la siguiente ecuación para la deformación real del material: 0 Ecu. Groover (21.14) Otro aspecto a tener en cuenta es la fricción dada en el enunciado, por lo cual este no es un proceso bajo condiciones iníciales, la fricción es un factor que influye en que la fuerza de recalcado por lo que utilizaremos la siguiente ecuación para el cálculo del a fuerza de trabajo: 𝜀 = ln
donde definimos:
𝐹 = 𝐾𝑓 𝜎𝑓 𝐴
Ecu. Groover (21.16)
0,4𝜇𝐷𝑖 Ecu. Groover (21.17) Cabe anotar que para este proceso, el enunciado no nos brinda datos sobre temperatura, ni un cambio en ella, además nos dan los valores del coeficiente de resistencia (K) y el exponente de endurecimiento por deformación por lo que concluimos que estamos frente a un proceso de trabajo en frío, donde utilizamos la siguiente ecuación para el cálculo del esfuerzo de fluencia: 𝐾𝑓 = 1 +
𝜎𝑓 = 𝐾𝜀 𝑛 Ecu. Schey(8-4) Las siguientes ecuaciones se desprenden del hecho que estamos frente a un proceso de conformación volumétrica, en donde el volumen es constante. 𝑉=
𝑑0𝜋 4
0
(1); 𝐴𝑖 = 𝐴0
0 𝑖
(2)y𝑑𝑖 =
Resultados
Gráficas Gráfica 1 (Fuerza contra altura de trabajo) 120000 100000 80000 F (lb) 60000 40000 20000 0 2,5
2,8
3,1
3,4
h (pulg)
Gráfica 2 (Esfuerzo contra Deformación real)
3,7
4
4𝐴𝑖 𝜋
(3)
25000 20000 Esfuerzo 15000 (psi) 10000 5000 0 0
0,0779 0,1625 0,2548 0,3566 0,47 Deformación real (pulg/pulg)
EJERCICIO 21.17 Se ejecuta una operación de encabezamiento en frío para l producir la cabeza de un clavo de acero. El coeficiente de resistencia del acero es K=80000 lb/pulg2 y el exponente de endurecimiento por deformación n=0.24. El coeficiente de fricción entre la interfase del dado y la pieza de trabajo es =0.10. El alambre del cual se hace el clavo es de 3/16 de pulg. de diámetro. La cabeza tiene un diámetro de 3/8 de pulg y un espesor de 1/16 de pulg: Determinar: a) Que longitud de alambre se debe proyectar fuera del dado para proveer el volumen suficiente del material b) Calcule la fuerza máxima que debe aplicar el punzón para formar la cabeza en esta operación de dado abierto. Solucion: a) Datos de entrada: K=80000 lb/pulg2 n=0.24 = 0.1
D0 = (3/16)”
Df = (3/8)” hf= (1/16)”
Datos a buscar: ho=longitud inicial del alambre para proveer el volumen suficiente del material Fmax=fuerza máxima de aplicación del punzón para formar la cabeza en la operación en dado abierto. Esquema del proceso
Fig.7 Esquema y partes del proceso a) En un proceso por deformación plástica el volumen se conserva, por lo cual:
Vo V f
Ao ho A f h f
Donde A0 es el área trasversal del alambre antes de ser deformado y A f el área trasversal de la cabeza del clavo ya formada.
3 1 A f h f 4 8 16 ho 0.2481 pul 2 Ao 3 4 16 2
b) Para hallar la fuerzanecesaria para realizar la operación tenemos que:
F K f Yf A Donde: F es la fuerza máxima de operación; A es el área proyectada de la parte Yf es el esfuerzo de fluencia Kf es el factor de forma del forjado El esfuerzo de fluencia a esta deformación esta dada por:
y f k n 10
9
Donde (k) el coeficiente de resistencia del acero es 80000lb/pul 2, es la deformación real y (n) el coeficiente de endurecimiento por deformación que es 0.24. Por lo tanto la deformación real en la operación es:
1 ho ln ln 4 1.386 11 1 hf 16 En consecuencia tenemos:
y f k n y f 80000lb / pul 2 1.386
0.24
Kf es igual a:
K f 1
y f 86519.33lb / pul 2
0.4 * D * 0.4 * 0.1* (3 / 8) K f 1 K f 1.24 12 h 1 / 16
El area final de la cabeza del clavo:
Af
D f 2 4
3 / 82 4
A f 0.11 pul 2
Finalmente hallamos la fuerza máxima:
F K f Yf A
F 1.24 86519.33lb / pul 2 0.11 pul 2 F 11801.23lb Esta fuerza es la máxima que se necesita para realizar el trabajo, ya que el material se endurece por deformación, y la fuerza máxima será justa cuando ha terminado la deformación.
EJERCICIO 21.20 Una prensa hidráulica de forja es capaz de ejercer una fuerza máxima de 1000000 N. Una parte cilíndrica se recalca en frío. La parte inicial tiene un diámetro de 30mm y una altura de 30mm. La curva de fluencia del metal se define por k = 400 MPa y n = 0.2. Determine la reducción máxima en altura a la que puede ser comprimida la parte con la prensa, si el coeficiente de fricción de 0.1. Esquema
Fig. 8 Prensa hidráulica
Esquema del proceso
Fig. 9 estado inicial y final
En este problema buscaremos cual es la fuerza necesaria para lograr una reducción de 10mm de altura y con una regla de tres obtendremos la reducción lograda por la fuerza de 1000000 N. Por lo tanto realizaremos la siguiente operación:
10mm fuerza obtenida reduccion posible 1000000 N
De la ecuación 17 Se halla el esfuerzo real:
ln
ho 30 ln 0.4054 h 20
El esfuerzo de fluencia viene dado por la ecuación 16:
Y f K n 400MPa0.4054 Y f 333.92MPa 0.2
Buscamos el volumen dado por la formula:
V h * A 30 15 V 21205.75mm3 2
Como el volumen es invariable, hallamos el área para una altura de 20mm, que es la que queda después de la reducción de 10mm que es la que tenemos en consideración.
A
V 21205.75mm3 A 1060.28mm2 h 20mm
Y gracias al área obtendremos el diámetro que tendríamos con la reducción de 10mm
A *r2 r
A
1060.28
r 18.37mm
D 2r 2 *18.37mm D 36.74mm
De 18 Se obtiene el factor de ajuste Kf:
K f 1
0.4 * * D 0.4 * 0.1* 36.74 1 K f 1.07 h 20
Con todos estos datos se hallara la fuerza aplicada para lograr una reducción de 10mm utilizando la ecuación 15:
F K f *Y f * A 1.07 * 333.92MPa *1060.28mm2 F 378834.78N donde: F= fuerza, lb ó N. Kf= factor de ajuste. Yf = esfuerzo de fluencia, psi óMPa. A= área de la sección transversal de la parte, pulg2ó mm2. Ahora con la regla de tres mencionada al principio el ejercicio se obtiene la reduccion:
10mm fuerza obtenida reduccion posible 1000000 N 10mm 377834.78 N hmax 1000000 N hmax
1000000 N *10mm 377834.78 N
hmax 26.4mm El espesor final de la lamina seria 3.6 mm Nota: no debemos olvidar que el factor que limitaba el ejercicio era la fricción, ya que si no se presentaba el problema sería ideal. EJERCICIO 21.20 Una prensa hidráulica de forja es capaz de ejercer una fuerza máxima de 1000000 N. Una parte cilíndrica se recalca en frío. La parte inicial tiene un diámetro de 30 mm y una altura de 30 mm. La curva de fluencia del metal se define por K = 400 MPa y n = 0.2. Determine la reducción máxima en altura a la que puede ser comprimida la parte con la prensa, si el coeficiente de fricción de 0.1. DECLARACION DE VARIABLES 𝐷𝑂 = Diámetro inicial
[mm]
𝐷𝐹 = Diámetro final
[mm]
𝑂 = Altura inicial
[mm]
𝐹 = Altura final
[mm]
𝐴𝑂 = Área inicial de contacto entre troqueles
[mm]
𝐴𝐹 = Área final de contacto entre troqueles
[mm2]
𝑌𝑓 = Esfuerzo de fluencia promedio
[MPa]
𝐾 = Coeficiente de resistencia de trabajo en caliente
[Adimensional]
𝐾𝑓 = Factor de forma del forjado
[Adimensional]
𝑛 =Exponente endurecimiento por deformación
[Adimensional]
𝑃 = Presión del troquel móvil
[Mpa]
𝐹 = Fuerza de la prensa
[kN]
𝜀 = Deformación real
[Adimensional]
𝑉 = Volumen de la pieza
[mm3]
𝜇 = Coeficiente de fricción
[Adimensional]
INFORMACION INICIAL 𝐷𝑂 = 30 𝑚𝑚 𝑂 = 30 𝑚𝑚 𝐹 = 1000000 𝑁 = 1000 𝑘𝑁 𝐾 = 400 𝑀𝑃𝑎 𝑛 = 0,2 𝜇 = 0,1 DESARROLLO A partir de una fuerza máxima que puede ejercer una prensa hidráulica, se determinara la máxima compresión por forjado que se le puede realizar a una pieza determinada. Como se trata de un cilindro se tiene por lo tanto que: 𝑉 = 0,25𝜋𝑂 𝐷𝑂2 𝑉 = 0,25𝜋(30 𝑚𝑚)(30 𝑚𝑚)2 EL proceso de cálculo de la mayor compresión que se le puede aplicar al material se determinara a partir de iteraciones. Se probaran valores de compresión para los cuales la fuerza de compresión no sobrepase la fuerza máxima de la prensa hidráulica, que en este caso es de 1000 kN. Mediante una hoja de Excel se determinaron las distintas alturas finales y se hallo su respectiva presión. Estas son las formulas que se usaron para cada valor en la tabla: 𝜀 = ln 𝑌𝑓 =
𝑂 𝐹
𝐾𝜀 𝑛 1+𝑛
𝐴𝐹 =
𝐴𝑂 𝑂 𝐹 𝐷𝐹 = 2
𝐾𝑓 = 1 +
𝐴𝐹 𝜋
0,4𝜇𝐷𝐹 𝐹
𝐹 = 𝐾𝑓 𝑌𝑓 𝐴𝐹
Do (mm) Ao (mm2) ho (mm) K (Mpa) n μ V (mm3) hf (mm) 9,083278600 9,083278599 9,083278598 9,083278597 9,083278596 9,083278595 9,083278594 9,083278593 9,083278592 9,083278591 9,083278590
30 706,858347 30 400 0,2 0,1 21205,7504 ε 1,19476217 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218 1,19476218
Yf (Mpa) 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105 345,410105
Af (mm2) 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921 2334,5921
Df (mm) 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206 54,5206
Kf 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213 1,24009213
F (N) 999999,9987 999999,9989 999999,9991 999999,9992 999999,9994 999999,9996 999999,9997 999999,9999 1000000,0000 1000000,0002 1000000,0004
Sabiendo que la máxima fuerza dada por la prensa hidráulica corresponde a 1000000 N, se puede ver que la máxima altura final con que resultara la pieza es de 9,083278592 mm, por lo tanto la máxima reducción posible con esa prensadora será: ∆ = 𝑂 − 𝐹 ∆ = 30 𝑚𝑚 − 9,083278592 𝑚𝑚
∆ = 20,91672141 𝑚𝑚 ≅ 20,92 𝑚𝑚 R=/: La reducción máxima en altura a la que puede ser comprimida la parte con la prensa es de 20,92 mm.
EJERCICIO 21.24 Un tocho cilíndrico de 100 mm de largo y 40 mm de diámetro se reduce por extrusión indirecta (hacia atrás) a un diámetro de 15 milímetros. El ángulo del dado = 90º. Si la ecuación de Johnson tiene a = 0.8 y b = 1.5 y si la curva de fluencia para el material de trabajo es K= 750MPa y n = 0.15, determine: a) la relación de extrusión, b) la deformación real (deformación homogénea), c) la deformación, d) la presión del pisón y e) la fuerza del pisón. VARIABLES DE ENTRADA 𝜀 = Deformacion homogénea 𝛼 = Angulo de la matriz o dado 𝑛 = Exponente de endurecimiento 𝑏 = Constante empírica del dado 𝑎 = Constante empírica del dado 𝑃 = Presion ejercida por el pison 𝐿 = Longitud del tocho remanente 𝐾 = Coeficiente de resistencia 𝐹 = Fuerza ejercida por el pison 𝜀𝑥 = Deformacion de Extrusión 𝑅𝑥 = Relacion de extrusión 𝐷𝑜 = Diametro Inicial del tocho 𝐷𝐹 = Diametro Final del tocho 𝐴𝑜 = Area inicial transversal del tocho 𝐴𝐹 = Area final transversal del tocho 𝑌𝑓 = Esfuerzo de fluencia promedio por deformación INFORMACION INICIAL Angulo del Dado 𝛼 = 90° Diámetro Inicial del tocho 𝐷𝑜 = 40 𝑚𝑚 Diámetro final del tocho 𝐷𝑜 = 15 𝑚𝑚 Coeficiente de resistencia 𝐾 = 750 𝑀𝑃𝑎 Exponente de endurecimiento 𝑛 = 0,15 Constantes empíricas del dado 𝑎 = 0,8; 𝑏 = 1,5
(mm/mm) (°) (adimensional) (adimensional) (adimensional) (Mpa) (mm) (MPa) (N) (mm/mm) (adimensional) (mm) (mm) (mm2) (mm2) (Mpa)
Longitud del tocho remanente 𝐿 = 100 𝑚𝑚 DESARROLLO El enunciado del problema indica que la pieza a trabajar, se le realizara una extrusión indirecta. Esto tiene una gran connotación debido a que para ese caso, el tocho se encuentra estático respecto al contenedor, por lo tanto no se considera fricción entre ambos cuerpos. Por lo tanto al darse la condición de extrusión indirecta, la ecuación que nos permite determinar la presión ejercida por el pisón, se calcula a partir de: 𝑃 = 𝑌𝑓 𝜀𝑥 Por omisión del enunciado, se asumirá la sección transversal del tocho como redonda. Inicialmente determinaremos la relación de extrusión o de reducción, como sigue: 𝑅𝑥 =
𝐴𝑜 𝐴𝐹
0,25𝜋 𝐷𝑜 𝑅𝑥 = 0,25𝜋 𝐷𝐹
2 2
2
𝑅𝑥 =
𝐷𝑜 𝐷𝐹
𝑅𝑥 =
40 𝑚𝑚 15 𝑚𝑚
2
2 2
𝑅𝑥 = 7,11 Teniendo la relación de extrusión, se procede a determinar cada deformación, tanto la homogénea y la de extrusión. Para la deformación homogénea se establecen condiciones asumiendo que ocurre sin fricción y sin trabajo redundante, por lo tanto se calcula así: 𝜀 = ln 𝑅𝑥 𝜀 = ln 7,11 𝜀 = 1,96
Para determinar la deformación provocada por la extrusión si se tienen en cuanta la fricción que aunque se diga que el tocho tiene movimiento respecto al contendor, en la realidad si existe debido a la compresión del pisón que arrastra el material. Por lo tanto considerado estos factores se calcula la deformación de extrusión así: 𝜀𝑥 = 𝑎 + 𝑏. 𝜀 𝜀𝑥 = 0,8 + 1,5 1,96 𝜀𝑥 = 3,74 Para poder determinar la presión ejercida por el pisón como se indicó en el principio del desarrollo, se debe determinar primero el esfuerzo de fluencia debido a la deformación. Para esto se tiene en cuenta la curva de fluencia del material y por medio de la integración de la ecuación de dicha curva entre 0 y el valor de interés, para el esfuerzo promedio se tiene que: 𝑌𝑓 =
𝑌𝑓 =
𝐾𝜀 𝑛 1+𝑛 750 𝑀𝑃𝑎 1,96 1 + 0,15
0,15
𝑌𝑓 = 721,53 𝑀𝑃𝑎 Sabiendo que ese es el esfuerzo promedio durante la extrusión, mediante la ecuación establecida anteriormente se procede a determinar la presión ejercida por el pisón como sigue: 𝑃 = 𝑌𝑓 𝜀𝑥 𝑃 = 721,53 𝑀𝑃𝑎 3,74 𝑃 = 2700,33 𝑀𝑃𝑎 A partir del concepto de presión definido como el cociente entre la fuerza aplicada y un área determinada, simplemente la fuerza queda expresada así: 𝐹 = 𝑃𝐴𝑜
Se toma de referencia el área inicial del tocho, por lo tanto la fuerza aplicada se calcula así: 𝐹 = 2700,33 𝑀𝑃𝑎 0,25𝜋. 0,04 𝑚
2
𝐹 = 3393338,52 𝑁 ≅ 3393,34 𝑘𝑁 R=/: a. b. c. d. e.
La relación de extrusión corresponde a 7,11 La deformación real u homogénea tiene un valor de 1,96. La deformación por extrusión corresponde a 3,74 El pisón ejerce una presión de 2700,33 MPa sobre el tocho. La fuerza ejercida por el pisón es de 3393,34 kN sobre el tocho.
EJERCICIO 21.24 Un tocho cilíndrico de 100 mm de largo y 40 mm de diámetro se reduce por extrusión indirecta (hacia atrás) a un diámetro de 15 milímetros. El ángulo del dado = 90º. Si la ecuación de Johnson tiene a = 0.8 y b = 1.5 y si la curva de fluencia para el material de trabajo es K= 750MPa y n = 0.15, determine: a) la relación de extrusión, b) la deformación real (deformación homogénea), c) la deformación, d) la presión del pisón y e) la fuerza del pisón. Variables de reconocimiento α = Angulo del dado a = Constante en la ecuación de Johnson b = Constante en la ecuación de Johnson Lo = Longitud inicial del tocho Do = diámetro inicial del tocho Df = diámetro final de la extrusión K = Constante de fluencia del material n = Factor de endurecimiento rx = relación de extrusión ε = Deformación real (homogénea) εx = Deformación Pp = presión de pisón Fp = Fuerza del pisón Ao = Área transversal inicial Af = Área transversal final Yf = Esfuerzo de Fluencia durante la deformación Datos de entrada
[º]
[mm] [mm] [mm] [MPa] [mm2/mm2] [mm2/mm2] [mm2/mm2] [MPa] [N] [mm2] [mm2] [Mpa]
α = 90º a = 0.8 b = 1.5 Lo = 100 mm Do = 40 mm Df = 15 mm K = 750 MPa n =
0.15
Ecuaciones a utilizar A = πD2 / 4
(1)
(2)
(3)
(4)
El problema nos indica que estamos en un proceso de extrusión indirecta, por lo tanto, para poder hallar la presión del pisón necesitamos la siguiente ecuación:
(5)
Pero para poder hallar Yf utilizamos la siguiente ecuación:
(6)
El cálculo de la fuerza podemos realizarla mediante la ecuación:
Fp = PpAo
(7)
Desarrollo Primero hayamos las áreas transversales, tanto la inicial como la final: Ao = πDo2 / 4 = π (40mm)2 / 4 = 1256.64 mm2 = Ao Af = πDf2 / 4 = π (15mm)2 / 4 = 176.71 mm2 = Af Luego, las reemplazamos en la ecuación (2)
= 7.11
La deformación real (homogénea) es el logaritmo natural de la relación de extrusión, ósea que aplicamos el resultado de la ecuación (2) en la ecuación (1) = Ln 7.11 = 1.96 Para hallar la deformación εx utilizamos la ecuación de Johnson (4) = 0.8 + 1.5 (1.96) = 3.74 Para poder hallar la presión del pisón necesitamos hallar el esfuerzo medio de fluencia por medio de la ecuación (6)
=
(750Mpa)(1.96)0.15 --------------------------- = 721442684.1 Pa 1 + 0.15
Y el resultado lo reemplazamos en la ecuación (5) = (721442684.1Pa) (1.96) = 1414027661 Pa Y la fuerza del pisón solo reemplazamos los valores en la ecuación (7) Fp = PpAo = 1776923.72 N
Respuesta a) la relación de extrusión es 7.11 mm/mm b) la deformación real (homogénea) es 1.96 mm/mm c) la deformación por Johnson es 3.74 mm/mm d) la presión del pisón es 1.41 Mpa o 1414027661 Pa e) la fuerza del pisón es 1.78 MN o 1776923.72 N
EJERCICIO 21.27 Una operación de extrusión directa se ejecuta sobre un tocho cilíndrico con Lo = 3 pulg y de Do = 2 pulg. El ángulo del dado = 45º y el diámetro del orificio = 0.5pulg. En la ecuación de Johnson a = 0.8 y b = 1.3. La operación se lleva a cabo en caliente y el metal en caliente fluye a 15000 lb/pulg2 (n = 0). Determine a) ¿Cuál es la relación de extrusión?, b) ¿Cuál es la presión del pisón correspondiente? VARIABLES DE ENTRADA 𝜀 = Deformación homogénea 𝛼 = Angulo de la matriz o dado 𝑛 = Exponente de endurecimiento 𝑏 = Constante empírica del dado 𝑎 = Constante empírica del dado 𝑃 = Presion ejercida por el pison 𝐿 = Longitud del tocho remanente 𝐿𝑜 = Longitud del tocho antes del cono del dado 𝐿𝐹 = Longitud del tocho a la salida del cono del dado 𝐶 = Coeficiente de resistencia para trabajo en caliente 𝜀𝑥 = Deformacion de Extrusión
(adimensional) (°) (adimensional) (adimensional) (adimensional) (Psi) (in.) (in.) (in.) (Psi) (in./in.)
𝑅𝑥 = Relacion de extrusión 𝐷𝑜 = Diámetro Inicial del tocho 𝐷𝐹 = Diametro Final del tocho 𝐴𝑜 = Area inicial transversal del tocho 𝐴𝐹 = Area final transversal del tocho 𝑌𝑓 = Esfuerzo de fluencia promedio por deformación
(adimensional) (in.) (in.) (in2) (in2) (Psi)
INFORMACION INICIAL Angulo del Dado 𝛼 = 45° Diámetro Inicial del tocho (𝐷𝑜 ) = 2,0 𝑖𝑛 Diámetro final del tocho (𝐷𝐹 ) = 0,5 𝑖𝑛 Esfuerzo de fluencia (𝑌𝑓 ) = 15000 𝑃𝑠𝑖 Exponente de endurecimiento (𝑛) = 0 Constantes empíricas del dado (𝑎) = 0,8; 𝑏 = 1,3 Longitud del tocho remanente (𝐿) = 3,0 𝑖𝑛
DESARROLLO El enunciado del problema indica que la pieza a trabajar, se le realizara una extrusión directa. Para este caso, la fricción generada por el movimiento del tocho respecto al contenedor desempeña un papel muy importante para determinar la presión del pisón. Debido a que el trabajo en caliente se trabaja con una tasa de deformación, el tratamiento varía un poco respecto al trabajo en frio. Cabe aclarar que las extrusiones en caliente se utilizan para disminuir las fuerzas del pisón sobre el tocho. Una simulación grafica del proceso se presenta a continuación:
LO
El material se comprime dentro del cono y a partir de aquí empezara a extruirse a través de la abertura.
LF
Por omisión del enunciado, se asumirá la sección transversal del tocho como redonda. Inicialmente determinaremos la relación de extrusión o de reducción, como sigue: 𝑅𝑥 =
𝐴𝑜 𝐴𝐹
𝑅𝑥 =
0,25𝜋 𝐷𝑜 0,25𝜋 𝐷𝐹
2 2
2
𝑅𝑥 =
𝐷𝑜 𝐷𝐹
𝑅𝑥 =
2 𝑖𝑛 2 0,5 𝑖𝑛 2
2
𝑅𝑥 = 16 Para la deformación homogénea se establecen condiciones asumiendo que ocurre sin fricción y sin trabajo redundante, por lo tanto se calcula así: 𝜀 = ln 𝑅𝑥 𝜀 = ln 16
𝜀 = 2,77 Para determinar la deformación provocada por la extrusión directa se tiene en cuenta la fricción entre el tocho y el contenedor. Por lo tanto considerado estos factores se calcula la deformación de extrusión así: 𝜀𝑥 = 𝑎 + 𝑏. 𝜀 𝜀𝑥 = 0,8 + 1,3 2,77 𝜀𝑥 = 4,404 A partir de que ejercicio establece el esfuerzo medio de fluencia por deformación equivalente a 15000 Psi, se puede proceder a determinar la presión. Hay que tener en cuenta de que en este caso, la extrusión es directa por lo tanto hay que tener en cuenta la fricción entre el tocho y el contenedor, que se calcula mediante la siguiente ecuación: 2𝐿 𝑃 = 𝑌𝑓 𝜀𝑥 + 𝐷𝑜 El termino 2𝐿 𝐷𝑜 hace referencia a la presión adicional debido a la fricción contenedor – tocho. El enunciado establece que hay que determinar la posición del tocho cuando el metal es comprimido dentro del cono de la matriz o dado, momento en el que empezara a extruirse. Por lo tanto, la L que se usara en esa ecuación es la diferencia entre L0 y Lf como se muestra en la figura al inicio del desarrollo. Para el cálculo de L, se parte de que el volumen del tocho es constante, por lo tanto se tiene que:
𝑉 = 0,25𝜋 2 𝑖𝑛 𝑉 = 9,423 𝑖𝑛3
2
3 𝑖𝑛
Luego de la compresión, el tocho sufre una transformación debido a la matriz o dado como se muestra a continuación:
Procedemos a determinar el valor del V1 en función de la nueva longitud LF, la cual es claramente menor que Lo. 𝑉1 = 0,25𝜋𝐿𝐹 . 𝐷𝑜
2
𝑉1 = 0,25𝜋𝐿𝐹 . 2 𝑖𝑛
2
𝑉1 = 𝜋. 𝐿𝐹
Para el V2 se parte de que corresponde a un tronco de cono. Por lo tanto su volumen se definirá en función de la altura Y, por lo tanto se tiene que:
1 𝑉2 = 𝜋. 𝑌 3
𝐷𝑜 2
2
+
𝐷𝐹 2
2
+
𝐷𝑜 . 𝐷𝐹 4
La altura Y se puede expresar en términos de los diámetros inicial y final utilizando una vista seccional del cono truncado, por lo tanto se tiene que:
Mediante una relación de tangencia del ángulo de la matriz o dado, se establece que:
𝑌=
𝐷𝑜 − 𝐷𝐹 . tan 𝛼 2
𝑌=
2 − 0,5 . tan 45 2
𝑌 = 0,75 𝑖𝑛. Teniendo este valor, y los diámetros, se procede a determinar el volumen del cono truncado: 1 𝑉2 = 𝜋. (0,75 𝑖𝑛) 3
2 𝑖𝑛 2
2
+
0,5 𝑖𝑛 2
2
+
(2 𝑖𝑛). (0,5 𝑖𝑛) 4
𝑉2 = 1,03084 𝑖𝑛3
Partiendo de que el volumen del tocho se mantiene constante a lo largo del proceso, se establece entonces que: 𝑉 = 𝑉1 + 𝑉2 9,423 = 𝜋. 𝐿𝐹 + 1,03084 𝐿𝐹 = 2,671875 𝑖𝑛 Se puede concluir que el tocho al llegar a la salida del dado, se encuentra una a una distancia de 2,671875 in del mismo. Por lo tanto su posición inicial era:
3 in
Y luego después de desplazarse justo antes de salir del dado, se encuentra en la siguiente posición:
2,671875 in
Luego entonces para determinar la presión ejercida por el pisón, la L que se usara en la ecuación será la diferencia de Loy LF, es decir: 𝐿 = 3 𝑖𝑛 − 2,671875 𝑖𝑛 = 0,328 𝑖𝑛 Por lo tanto, la presión en dicho punto será: 𝑃 = 15000 𝑃𝑠𝑖
4,404 +
2 0,328 𝑖𝑛 2,0 𝑖𝑛
𝑃 = 46510,70583 𝑃𝑠𝑖 ≅ 46,51 𝑘𝑠𝑖 R=/: a. La relación de extrusión tiene un valor de 16. b. La posición del pisón cuando el metal se comprime dentro del cono del dado hasta donde empieza a fluir a través de la abertura del dado corresponde a 0,328 in a la derecha de la posición inicial del tocho. c. La presión correspondiente a la posición de pisón cuando ha llegado al inicio del dado es de 46,51 ksi. d. La longitud de la parte final del tocho si el pisón detiene su movimiento hacia adelante al inicio del cono del dado es de 2,671875 in.
EJERCICIO 21.27 Una operación de extrusión directa se ejecuta sobre un tocho cilíndrico con Lo=3 pulg y de Do=2 pulg. El ángulo del dado = 45º y el diámetro del orificio=0.5pulg. En la ecuación de Johnson a=0.8 y b=1.3. La operación se lleva a cabo en caliente y el metal en caliente fluye a 15000 lb/pulg2 (n=0). Determine a)¿Cuál es la relación de extrusión?, b) ¿Cuál es la presión del pisón correspondiente? Variables de reconocimiento Lo = Longitud inicial del tocho Do = diámetro inicial del tocho Df= diámetro final del tocho α = Angulo del dado a = Constante para la ecuación de Johnson b = Constante para la ecuación de Johnson Yf= Esfuerzo de fluencia del material en la extrusión rx = relación de extrusión εx = Deformación real del material Pp = presión del pisón Ao = Área transversal inicial Af = Área transversal final
Datos de entrada Lo = 3 pulg Do = 2 pulg Df = 0.5 pulg α = 45º a = 0.8 b = 1.3 Yf= 15000 lb/pulg2
[pulg] [pulg] [pulg] [º]
[lb/pulg2] [pulg2/pulg2] [pulg2/pulg2] [lb/pulg2] [pulg2] [pulg2]
Ecuaciones a utilizar A = πD2 / 4
(1)
(2)
(3)
(4)
Desarrollo Empezamos hallando las áreas transversales tanto inicial, como la final, por medio de la ecuación (1) Ao = πDo2 / 4 = π (2pulg)2 / 4 = 3.1416 pulg2 Af = πDf2 / 4 = π (0.5pulg)2 / 4 = 0.19 pulg2
Los valores obtenidos los reemplazamos en la ecuación (2) para hallar la relación de extrusión:
=
3.1416 pulg2 ---------------- = 16.00 pulg2/ pulg2 0.19 pulg2
Para poder hallar la presión de pisón, tenemos que hallar la deformación real por medio de la ecuación (3)
= 0.8 + 1.3 (16.00 pulg2/ pulg2) = 21.6 pulg2/ pulg2
Y ahora si tenemos todos los datos para poder hallar la presión del pisón por medio de la ecuación (4)
= 15000
2(3) 21.6 + ------2
= 369000 lb/pulg2
Respuesta a) La relación de extrusión es 16.00 pulg2/ pulg2 b) La presión del pisón es igual a 369000 lb/pulg2
Variables de reconocimiento Lo = Longitud inicial del tocho Do = diámetro inicial del tocho Df=L lado de la figura final del tocho α = Angulo del dado a = Constante para la ecuación de Johnson b = Constante para la ecuación de Johnson Yf= Esfuerzo de fluencia del material en la extrusión rx = relación de extrusión εx = Deformación real del material Pp = presión del pisón Ao = Área transversal inicial Af = Área transversal final Cx= perímetro de sección extruida Cc= perímetro de sección de la misma aria circular Datos de entrada
[pulg] [pulg] [pulg] [º]
[lb/pulg2] [pulg2/pulg2] [pulg2/pulg2] [lb/pulg2] [pulg2] [pulg2] [pulg] [pulg]
Lo = 3 pulg Do = 2 pulg Df =Lf= 1 pulg α = 90º a = 0.8 b = 1.2 k= 26000 lb/pulg2 n=0.20
Ecuaciones a utilizar A = πD2 / 4
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
5)
Desarrollo Empezamos hallando las áreas transversales tanto inicial, como la final, y los perímetros de la sección cuadrada como la sección si fuese redonda por medio de la ecuación (1) y (2) Ao = πDo2 / 4 = π (2pulg)2 / 4 = 3.1416 pulg2 Af = L2= (1pulg)2 = 1 pulg2 Cx=L+L+L+L=4pulg Cc= πDf= π(1pulg)=3.1416pulg
Con los valores obtenidos los reemplazamos en la ecuación (2) para hallar la relación de extrusión:
=
3.1416 pulg2 ---------------- = 3.1416 pulg2/ pulg2 1 pulg2
Para poder hallar la presión de pisón, tenemos que hallar la deformación real por medio de la ecuación (3) 𝜖 = ln 𝑟𝑥 = 𝑙𝑛 3,1416𝑝𝑢𝑙 2 /𝑝𝑢𝑙 2 = 1,1447 También necesitamos hallar para continuar con el ejercicio la deformación de la extrusión por medio de la siguiente ecuación: (
= 0.8 + 1.2*ln (3.1416 pulg2/ pulg2) = 2,1737 pulg2/ pulg2
Después necesitamos tener el esfuerzo de fluencia promedio que lo encontramos con la ecuación 𝑌𝑓 =
𝑘 ∗ 𝜖 𝑛 26000 ∗ 1.14470.2 = 22260.27𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙 2 1+𝑛 1.2
Ahora tenemos que ver que la extrusión es indirecta y se realiza en frio por ello necesitamos un factor de forma y lo vamos a hallar con la siguiente ecuación 𝐾𝑥 = 0.98 + 0.02 ∗
𝐶𝑥 𝐶𝑐
Reemplazando queda: 𝐾𝑥 = 0.98 + 0.02 ∗
4𝑝𝑢𝑙𝑔 3.1416𝑝𝑢𝑙𝑔
0.25
= 0.98 + 0.0212 = 1.0012
Y ahora si tenemos todos los datos para poder hallar la presión del pisón por medio de la ecuación (4) 𝑃 = 𝐾𝑥 𝑌𝑓 𝜖𝑥 = 1.0012 ∗
22260.27𝑙𝑏 ∗ 2.1737 = 48447.393𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙 2 𝑝𝑢𝑙 2
Dado que el espesor del tope es = 0,5. Volumen original V = (3,0) (π x 22/4) = 9,426 pul3 El volumen final se compone de dos secciones: (1) a tope, y extruido (2), Volumen V1 tope = (0,5) (π22 / 4) = 1,571 pul3. La mezcla extruida tiene un área de sección transversal Af = 1,0 pul2. Su volumen V2 = LAf ΔV = V-V1 = 9,426 - 1,571 = 7,855 pul3. Por lo tanto, la longitud L = 7.855/1.0 = 7,855pul Respuesta a) La relación de extrusión es 3.1416 pulg2/ pulg2, la deformación real es 1,1447 pulg2/ pulg2 y la deformación de extrusión es 2,1737 pulg2/ pulg2 b) el factor de forma del producto es 1.0012 c) la longitud extruida es de 7,855pul d)La presión del pisón es igual a 48447.393lb/〖pul〗^2
Lo = Longitud inicial del tocho Do = diámetro inicial del tocho Df=L lado de la figura final del tocho α = Angulo del dado a = Constante para la ecuación de Johnson b = Constante para la ecuación de Johnson Yf= Esfuerzo de fluencia del material en la extrusión rx = relación de extrusión εx = Deformación real del material Pp = presión del pisón Ao = Área transversal inicial Af = Área transversal final Cx= perímetro de sección extruida Cc= perímetro de sección de la misma área circular Datos de entrada
[pulg] [pulg] [pulg] [º]
[lb/pulg2] [pulg2/pulg2] [pulg2/pulg2] [lb/pulg2] [pulg2] [pulg2] [pulg] [pulg]
Lo = 10 pulg Do = 3.5 pulg α = 90º a = 0.8 b = 1.5 k= 26000 lb/pulg2 n=0.16 Ao = πDo2 / 4 = π (3.5pulg)2 / 4 = 9.6211 pulg2
Para hallar el área final necesitamos a la figura compleja separarla y calcularle el área individual y luego sumarla A1 = 2.0 * 0.5 = 1 pul2 A2 = 2.0 * 0.5 = 1 pul2 Af = A1 + A2 = 2 pul2 También necesitamos los perímetros Cx=2+0.5+2.5+0.5=5.5pulg 𝐶𝑐 = 4𝜋 ∗ 2 = 5.0132𝑝𝑢𝑙
Desarrollo Para poder calcular la fuerza necesitamos primero saber la presión del pisón, para esto usamos la ecuación 𝑃 = 𝐾𝑥 ∗ 𝑌𝑓 𝜖𝑥 +
2𝐿 𝐷0
Porque la sección que vamos a obtener después de la extrusión no es circular. Tenemos en la ecuación muchas variables desconocidas. Primero buscamos la deformación de la extrusión por medio de la ecuación de Johnson 𝜖𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ∗ ln 𝑟𝑥 =
Pero rx es igual a:
𝑟𝑥 =
𝐴0 9.6211 pul2 = = 4.8105 𝐴𝑓 2 pul2
Ahora 𝜖𝑥 = 𝑎 + 𝑏 ∗ ln 𝑟𝑥 = 0.8 + 1.5 ∗ 𝑙𝑛 4.8105 = 3.1562 Ahora vamos a hallar el esfuerzo de fluencia promedio con la siguiente ecuación 𝑌𝑓 =
𝑘 ∗ 𝜖 𝑛 26000 ∗ 3.15620.16 = 26939.01𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙 2 1+𝑛 1.16
Nos falta el factor de forma y la hallamos con la siguiente ecuación 𝐾𝑥 = 0.98 + 0.02 ∗
𝐶𝑥 𝐶𝑐
0.25
Reemplazamos 𝐾𝑥 = 0.98 + 0.02 ∗
5.5𝑝𝑢𝑙𝑔 5.0132𝑝𝑢𝑙𝑔
0.25
= 0.98 + 1.0234 = 2.0034
Remplazamos los valores hallados en la formula de presión y queda que 𝑃 = 2.0034 ∗ 26939.01 3.1562 +
2(10) = 478736.68𝑙𝑏/𝑝𝑢𝑙 2 3.5
Conociendo la presión entonces usamos la siguiente formula 𝐹 = 𝑃 ∗ 𝐴0 = 478736.68 ∗ 9.6211 = 4605973.472 lb fuerza
R/ La fuerza requerida para impulsar el pisón es 4605973.472 lb fuerza
