PEMBUKTIAN PERSAMAAN ELIPS
1.
Persamaan elips yang berpusat di O(0, 0) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y. y.
y
(0, b)
,
Q(
R (0, c)
(-a, 0)
(a, 0) x
(0, -c)
(0, -b)
= = = = = 2 = 2 = 2 = 4 4 4 2 = 4 4 4 2 4 4 = 4 4 = [ [ ]
Kedua ruas dibagi dengan (-4) kemudian dikuadratkan:
2 = 2 = 2 = 0 = = = 0 = = = 1 , Diketahui:
Maka:
2.
Persamaan elips yang berpusat di
dengan sumbu mayor berada pada sumbu y.
y
, , , , , (
Q(
R
(
(
)
)
)
(
, , = = ( )
(
)
(
)
)
x
= = ( ) = 2 = 2 = 2 = 4 4 22 2 = 4 4 22 2 4 4 = 4 4 = = = ( ) 2 22 = 2 22 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = 2 2 = = 2 = Kedua ruas dikuadratkan:
Kedua ruas dibagi dengan (-4):
Kedua ruas dikuadratkan:
− − = 1 3.
a).Persamaan elips yang berpusat di
,0
dengan sumbu mayor berada pada sumbu x.
y
, (
)
,0 ,0 (
)
(
, , 0 , 0 Q(
(
R
)
(
)
)
x
, (
= = ( ) = = ( ) = 2 = 2 = 2 Kedua ruas dikuadratkan:
= 4 4
2 2 2 = 4 4 2 2 2 4 4 = 4 4 = = 2 2 2 = 2 2 2 2 = 2 = = 2 = 2 − = = 1 ,0 Kedua ruas dibagi dengan (-4):
Kedua ruas dikuadratkan:
b). Persamaan elips yang berpusat di y.
dengan sumbu mayor berada pada sumbu
y
, , , , 0 , 0 (
Q(
R
(
(
)
)
)
(
, , (
)
(
)
) x
= = ( ) = = = 2 = 2 = 2 = 4 4 2 = 4 4 2 4 = 4 4 = = 2 = 2 2 = 2 = − = = 1 Kedua ruas dikuadratkan:
Kedua ruas dibagi dengan (-4):
Kedua ruas dikuadratkan:
4.
a). Persamaan elips yang berpusat di
0,
dengan sumbu mayor sejajar sumbu x.
y
0, (
, , (
)
(
)
, , ,
)
Q(
R ( )
(
)
x
0, (
)
= = ( ) = = = 2 = 2 = 2 = 4 4 2 = 4 4 2 4 = 4 4 = Kedua ruas dikuadratkan:
Kedua ruas dibagi dengan (-4):
Kedua ruas dikuadratkan:
= 2 = 2 2 = 2 = =− = 1 0, b). Persamaan elips yang berpusat di
dengan sumbu mayor berada pada
sumbu y.
y
0, , 0, , , (
Q(
R
(
(
)
)
)
(
0, 0, = = ( ) = = ( ) = 2
(
)
(
)
)
x
= 2 = 2 = 4 4 22 2 = 4 4 2 2 2 4 4 = 4 4 = = 2 2 2 = 2 2 2 2 2 2 = 2 2 2 = 2 = 2 = 2 =− = 1 Kedua ruas dikuadratkan:
Kedua ruas dibagi dengan (-4):
Kedua ruas dikuadratkan:
PEMBUKTIAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG ELIPS
1.
Persamaan garis singgung elips yang berpusat (0,0) dengan sumbu mayor berada pada sumbu y.
= 1
................(1)
=
...............(2)
Substitusi persamaan (2) kepersamaan (1)
=1 + 2 = 0 2 = 0 4= 0 2 4 = 0 4 4 = 0 4 4 4 4 = 0 = 0 = 0 = = ±√ Syarat menyinggung: D = 0
Kedua ruas dibagi dengan (-4)
Kedua ruas dibagi dengan
:
Substitusi nilai n kepersamaan (2):
= ±√ 2.
Persamaan garis singgung elips yang berpusat ( sumbu y.
− − = 1
.....................(1)
,
) dengan sumbu mayor sejajar
= −+ = 1 − 2 = 0 2 = 0 4= 0 2 4 = 0 4 4 = 0 4 4 4 4 = 0 ...........(2)
Substitusi persamaan (2) kepersamaan (1)
Syarat menyinggung: D = 0
Kedua ruas dibagi dengan (-4)
= 0 = 0 = = ±√ = ±√ Kedua ruas dibagi dengan
:
Substitusi nilai n kepersamaan (2):
pusat ( α,0 ) sumbu x
3.
= 1……….1 y = m ( × - α ) + n .......... (2)
subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
( × - α )2 b2 + a2( m (x – α ) + n ) 2 = a2 b2 b 2 (x – α )2 + a2 m2 (x – α )2 + 2a2 mn (x – a ) + a 2 n2 – a2 b2 = 0 ( b2 + a2 m2) ( x – α )2 + 2a2 mn ( x - α ) + a2n2 – a2 b2 = 0 Syarat menyinggung D = 0 b 2 – 4ac = 0
( 2a2 mn)2 – 4 ( b2 + a2 m2 ) (a2n2 – a2 b2 ) = 0 4a4 m2n2 – 4b2a2 n2 +4a2 b4 – 4a4m2n2 + 4a4m2 b2 = 0 n 2 = b2 + a2m2
subtitusi ke persamaan (2) y = m ( x – α ) ±
√
∝ = 1……….1 Sumbu y
y = m ( x – α ) + n ............... (2)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
( x – α )2 a2 + b2 ( m ( x – α ) + n )2 = a2 b2 ( a2 + b2 m2 ) ( x – α )2 + 2b2 mn ( x – α ) + b2 n2 – a2 b2 = 0 Syarat menyinggung D = 0 b 2 – 4ac = 0
; dibagi -4 a2 b2
( 2b2 mn )2 – 4 (a2 + b2 m2) ( b2 n2 – a2 b2 = 0 4b4m2n2 – 4a2 b2n2 +4a4 b2 – 4b4m2n2 + 4a2 b2m2 = 0 n 2 = a2 + b2m2 n=
; dibagi -4a2 b2
√
subtitusi ke persamaan (2) 4. Pusat (0,β) y = m ( x – α ) ±
√
( y – β ) = mx
sumbu x
( y – β ) = mx + n ..........(2) + n ..........(2)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
b2x2 + a2 ( mx + n )2 = a2b2
( b2 + a2m2) x2 + ( 2a2mn )x + a 2n2- a2b2 ) = 0
syarat menyinggung D = 0 b2- 4ac = 0
( 2a2mn )2 – 4 ( b2+ a2m2 ) (a2n2 – a2b2 ) = 0 4a4m2n2 – 4b2a2n2 + 4a2b2 – 4 a4m2n2 + 4a4m2b2 = 0
n 2 = b2 + a2 m2
n
=
√
subtitusi ke persamaan (2) ( y – β ) = mx ±
√
sumbu y
∝ = 1………. 1 ( y – β ) = mx + n.................(2)
Subtitusi persamaan (2) ke persamaan ( 1)
a2x2 + b2 (mx + n )2 = a2b
( a2 + b2 m2) x2 + ( 2b2mn ) x + b 2n2 – a2b2 = 0
Syarat menyinggung D = 0 b 2 – 4ac = 0
( 2b2mn )2 – 4 ( a2 + b2m2 ) ( b2n2 – a2b2) = 0
4b4m2n2 – 4a2b2n2 + 4a4b2 – 4b4b2 – 4b4m2n2 + 4a2b4m2 = 0 n 2 = a2 + b2m2
n2 =
√ √
subtitusi ke persamaan ( 2) ( y -β ) = mx ±
; dibagi – 4a2b2
5.
pembuktian persamaan garis singgung elips pada titik Q(x1,y1) 1. pusat O(0,0) sumbu y x 2
y 2
...... I b2 a2 y mx mx1 y1 ..... II
Substitusi persamaan (II) ke persamaan (I) a 2 x 2 (a 2
b
b
2
2
mx mx1 y1 a 2b 2
2b
m 2 ) x 2
2
m 2 x1 2b 2 my1 x
a syarat menyinggun g D b2 :
b
b 2 m 2 x12
b
2
y12
2b
2
y12
2b
2
mx1 y1 a 2 b 2
c
0
0
4ac
2b
2
m 2 x1 2b 2 my1
: 4b 4 m 4 x12 4b 4 m 2 y12 : m 2 x12
b :
2
8b 8b
4
2
m
a
2
4
2
2 x1 y1 m
a
m.1.2 b
− ±
a
b b2
b 2
2
2
b
m 3 x1 y1 4a 2 b 4 m 2 2mx1 y1 a 2
2
m 3 x1 y1 4b 4 m 2 y12
2
y1
x1
x1 y1
4
m 2 (b 2 m 2 x12 b 2 y1 2b 2 mx1 y1 a 2 b 2 ) 0
m2
y1
c
4a 2 b 2 m 2 x12
0 : 4a 2 b 2
4a
2
0
2 0
4ac
2a x1 y1
− b
2
b
x
2
2
1
x
2
1
a
2
y
1
− ±−++− ++ −±− − −± + − − −−±√ x1 y1
b
2
x
2
1
b 2 y12
8a
2
b 2 mx1 y1 4a 4 b 2
4b
2
m 4 x12
− − − − −
Substitusi kepersamaan (2):
= − = = = = = 1
