ELIPS
TUJUAN KHUSUS
1. Untuk mengetahui persamaan elips yang berpusat di O(0,0)
2. Dapat menyelesaikan soal-soal persamaan ellips yang berpusat di (0,0).
3. Untuk mengetahui persamaan elips yang berpusat di O(p,q).
4. Untuk mengetahui persamaan garis singgung pada ellips yang bergradien m serta dapat menyelesaikan soal-soal nya.
5. Dapat mengetahui persamaan garis singgung pada ellips yang melalui titik pada elips.
6. Dapat membedakan antara persamaan garis singgung bergradien m, melalui titik pada ellips dan melalui titik di luar ellips.
Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap.
Gambar ellips
B2
L1 L2
a b
0 c
A1 F1 F2 A2
L1 L2
B1
Bagian-bagian elips:
dua sumbu simetri, yaitu garis yang melalui titik-titik fokus F1& F2 dan garis yang melalui titik tengah F1&F2.
Titik fokus elips yaitu F1&F2.
Titik pusat elips adalah di titik O.
Sumbu utama atau sumbu transversal adalah sumbu simetri yang melalui titik-titik focus F1&F2.
Puncak elips adalah A1&A2.
Sumbu panjang atau sumbu mayor adalah ruas garis A1 A2
Sumbu minor adalah ruas garis B1 B2.
Hubungan antara a, b, dan c
misalkan OF1 = OF2 = c
B1F1 = B1F2 = B2F1 = B2F2 = a
OB1 = OB2 = b
Dengan menerapkan teorema Pythagoras pada segitiga OB2F2:
b2 = a2 + c2
Persamaan Elips yang Berpusat di O (0,0)
Persamaan elips dengan titik pusat O (0,0), dengan sumbu mayor elips brimpit dengan sumbu X. jarak titik pusat elips dengan focus adalah c sehingga F1(-c,0), F2(c,0) puncak elips di B(-a,0) dan B(a,0).
y
p(x,y)
B(-a,o) F1(-c,o) F2(c,o) B(a,0)x
Misalkan P(x, y) sembarang titik pada elips dan penjumlahan jarak terhadap titik focus adalah 2a. sehingga d(F1,P) + d(F2,P) = 2a
(x + c)2+(y – 0)2 + (x – c)2+(y – 0)2 = 2a
(x + c)2+(y)2 = 2a - (x – c)2+(y)2 (Kuadratkan)
(x + c)2+(y)2 = 4a2 - 4a (x – c)2+y2 + (x – c)2 + y2
x2 + 2cx + c2 +y2 = 4a2 – 4a (x – c)2+y2 + x2 = 2cx + c2 + y2
x2 – x2 + 2cx + 2cx + c2 – c2 + y2 – y2 -4a2 = -4a (x – c)2+y2
4cx – 4a2 = - 4a (x – c)2+y2
4a (x – c)2+y2 = 4a2 – 4cx
a (x – c)2+y2 = a2 – cx (Kuadratkan)
a2((x-c)2+y2) = (a2 – cx)2
a2(x2 – 2cx + c2 + y2) = a4 – 2a2c + c2x2
(a2 – c2)x2 + a2 + y2 = (a2 – c2)a2 (Dibagi a2(a2 – c2))
x2 + y2 = 1
a2 (a2-c2)
Karena a2-c2 = b2 dan b>0 maka,
atau b2x2 + a2y2 = a2b2
Persamaan direktris x =
Nilai eksentrisitas e =
Adapun persamaan elips berpusat di O (0,0), fokus F1(0,-c) dan F2(0,c), sumbu mayor berimpit dengan sumbu y.
y
a F2
-b 0 b x
-a F1
Persamaannya adalah:
x2 + y2= 1, a > b atau a2x2 + b2y2 = a2b2
b2 a2
dengan b2 = a2-c2
Persamaan direktris y =
Persamaan eksentrisitas e =
Contoh soal:
Sebuah elips mempunyai persamaan x225+y216= 1. Tentukanlah
a. Koordinat pusat, focus, dan puncak dari elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
c. Gambarkan elips tersebut!
Jawab:
Gunakan x2a2+y2b2 = 1
x225+y216 = 1
A = 5, b = 4 dan c = a2- b2 = 52- 42
= 9 = 3
Koordinat titik pusat di O(0,0)
Koordinat focus di F1(-3,0) dan F2(3,0)
Koordinat titik puncak di A(-5,0) dan B(5,0)
Titik potong dengan sumbu y di C(0,-4) dan D (0,4)
b. Panjang sumbu mayor 2a = 2 . 5 = 10
Panjang sumbu minor 2b = 2 . 4 = 8
c. Gambar elips y
4 D (0,4)
B (-5,0) F1 0 F2 A (5,0) X
C (0,-4)
Persamaan Elpis Berpusat di A(p,q)
Elips berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu x, panjang sumbu mayor 2a, dan panjang sumbu minor 2b. Dengan menggunakan definisi elips, dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
+=1
Dan hubungan a2 = b2 + c2
x = p - g2x = p +B2 (p, q+b)P(x,y)A1 (p-a, q)B1 (p, q-b)A2 (p+a, q)F1 (p-c, q)F2 (p+c, k)A(p,q)Sumbu utama y =q
x = p -
g2x = p +
B2 (p, q+b)
P(x,y)
A1 (p-a, q)
B1 (p, q-b)
A2 (p+a, q)
F1 (p-c, q)
F2 (p+c, k)
A(p,q)
Sumbu utama y =q
Berdasarkan elips di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :
Sumbu utama adalah garis y = q dan sumbu sekawan adalah garis x = p.
Koordinat puncak di A1 (p-a,q) dan A2 (p+a,q), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1 (p, q-b) dan B2 (p, q+b).
Koordinat focus di F1 (p-c,q) dan F2 (p+c,q).
Nilai Eksentrisitas e =
Persamaan direktriks adalah x = p - dan g2x = p +
Panjang latus rectum =
Elips yang berpusat di A(p,q), sumbu utama sejajar dengan sumbu y, panjang sumbu mayor = 2a, dan panjang sumbu minor 2b.Dengan menggunakan definisi elips, dapat ditunjukkan bahwa persamaan elips itu adalah :
+=1
Sumbu utama x =pDan hubungan a2 = b2 + c2
Sumbu utama x =p
g2y = q +
g2y = q +
F1 (q, p-a)B1 (p-b,q)A1 (q, p-a)B2 (p, b+q)F2 (p, q+c)A2 (p, q+a) y = q -P(x,y)A(p,q)
F1 (q, p-a)
B1 (p-b,q)
A1 (q, p-a)
B2 (p, b+q)
F2 (p, q+c)
A2 (p, q+a)
y = q -
P(x,y)
A(p,q)
Berdasarkan gambar di atas, dapat ditentukan beberapa hal berikut :
Sumbu utama adalah garis x = p dan sumbu sekawan adalah garis y = q.
Koordinat puncak di A1 (q, p-a) dan A2 (p,q+a), koordinat titik ujung sumbu minor adalah B1 (p-b,q) dan B2 (p+b,q).
Koordinat focus di F1 (p,q-c) dan F2 (p,q+c).
Nilai Eksentrisitas e =
Persamaan direktriks adalah y = q - dan g2y = q +
Panjang latus rectum =
Bentuk Umum Persamaan Elips
Jika bentuk baku persamaan elips itu dijabarkan, maka kita dapat memperoleh bentuk umum persamaan elips, sebagai contoh :
+=1
+=1
b2 (x-p)2 + a2(y-q)2 = a2b2
b2 (x2-2px+p2) + a2(y2-2qy+q2) = a2b2
b2x2-2b2px + b2p2 + a2y2 – 2a2qy + a2q2 – a2b2 = 0
b2x2 +a2y2 – ab2px – 2a2qy + (b2p2 + a2q2 – a2b2) = 0
Dengan menetapkan b2 = a, a2=B, -2b2p=c, -2a2q=D, dan b2p2+a2q2-a2b2 = E, maka persamaannya dapat ditulis :
Ax2 +By2 + Cx + Dy + E = 0
Ax2 +By2 + Cx + Dy + E = 0
Dengan A, B, D, D, dan E merupakan bilangan-bilangan real (A B, AB, A dan B bertanda sama ). Persamaan ini disebut bentuk umum persamaan elips.
Contoh :
Diketahui elips dengan persamaan += 1, tentukan :
Koordinat titik pusat, koordinat titik puncak, koordinat titik ujung sumbu minor dan koordinat focus.
Persamaan sumbu utama, persamaan sumbu sekawan, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor.
Nilai eksentrisitas dan persamaan direkstriks.
Panjang latus rectum
Gambar
Jawab:
+= 1, merupakan elips horizontal dengan a2 = => a = , dan b2 = 4 => b = 2, dari hubungan c2=a2-b2, didapat c2=- 4= => c =
Koordinat titik pusat di M(4,3)
Koordinat titik puncak A1 (p-a,q) = (4-, 3) = ( 1, 3)
A2 (p+a,q) = (4+, 3) = (6, 3)
Koordinat titik ujung sumbu minor B1 (p, q-b) = (4, 3-2) = (4,1)
B2 (p, q+b) = (4,3+2) = (4,5)
Koordinat focus F1 (p-c,q) = (4-,3) = (2, 3)
F2 (p+c,q) = (4+,3) = (5, 3)
b. Persamaan sumbu utama adalah y=3 dan persamaan sumbu sekawan adalah x = 4
Panjang sumbu mayor = 2a = 2 () = 5 dan
panjang sumbu minor = 2b= 2(2) = 4
Nilai eksentrisitas e = = == 0,6
Persamaan direktriksx = p -= 4- = -
g2x = p + = 4+ = 8
d. Panjang latus rectum = = =
e. Gambar
g2= 8
g2= 8
=-
=-
B2(4,5)B1(4,1)
B2(4,5)
B1(4,1)
Sumbu utama y =qF2(5, 3)F1(2, 3)A1 ( 1, 3)A2(6, 3)M(4,3)
Sumbu utama y =q
F2(5, 3)
F1(2, 3)
A1 ( 1, 3)
A2(6, 3)
M(4,3)
Persamaan Garis Singgung Elips
Garis Singgung dengan Bergradien m
Jika garis h = y = mx + n menyinggung elips x2a2+y2b2 = 1, = 0, maka besarnya diskriminan D = 0 dari persamaan kuadrat yang dihasilkan dari dua persamaan diatas adalah:
x2a2+y2b2 = 1 x2a2+(m+n)2b2 = 1
= 1
=
= 0
b2+a2m2x2+2a2mnx+a2(n2-b2)= 0
a b c
D = b2 - 4ac
= - 4
=
=
D = -4 a2b2(n2-b2-a2m2)
Sehingga dapat dicari persamaan garis singgung pada elips:
-4 a2b2(n2-b2-a2m2)= 0
a2b2(n2-b2-a2m2) = 0
n2=b2-a2m2
n = b2-a2m2
Jadi, persamaan garis singgung pada elips x2a2+y2b2 = 1 dengan gradient m didefinisikan dengan persamaan:
y =
Contoh :
Persamaan garis singgung pada elips x242+y2162 = 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
Jawab:
x242+y2162 = 1, diperoleh a2= 4 a = 2
b2 = 16 b = 4
Persamaan garis singgunngnya adalah:
y =
= 3x
= 3x
= 3x
= 3x
Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x ±36+16
Garis Singgung melalui Titik Pada Elips
y
h
P
x
+
Gambar di atas memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips x2a2+y2b2=1 di titik P(x1,y1), maka persamaan garis h adalah:
y - y1 = m(x -x1) ………………………………….(1)
secara beometri gradient garis singgung di titik P(x1,y1) adalah:
m =
Dengan mengambil diferensial pada elips + ,maka:
d( x2a2+y2b2) = d(1)
dx2a+(y2b2) = d(1)
2xa2dx+2yb2dy=0
…………………………………….(2)
Sehingga dapat disimpulkan persamaan m = dideferensilkan pada elipsx2a2+y2b2=1 titik P(x1,y1) adalah:
m = =-b2xa2y
dari persamaan (1) dan (2), diperoleh:
y-y1 =-b2xa2y (x-x1)
y-y1 (a2y1) = -b2x1 (x-x1)
a2yy1-a2y12 = -bxx1+b2x12
a2yy1 + bxx1 = a2y12 + b2x12 ………………………………….(3)
Karena P(x1y1) terletak pada elips x2a2+y2b2=1 dan xx1a2+yy1b2=x12a2+y12b2
Jadi persamaan garis singgung yang melalui titik P(x1y1) terletak pada elipsx2a2+y2b2=1 adalah:
Elips horizontal =xx1a2+yy1b2=1
Elips vertikal = xx1b2+yy1a2=1
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2+2y2-16 = 0, dititik P(22,2) ?
Jawab:
x2+2y2-16 = 0 x2 + 2y2 = 16
= 1
dititik P(22,2) = 1
ini artinya P(2,2) terletak pada elips = 1, jadi persamaan garis singgungnya:
xx1a2+yy1b2 =1 (22)216+(2)28= 1
22 x + 4y = 1 6 2, x + 2y = 8
2y = 8 - 2
y = 4 -122,
Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips.
Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b sebagai dasar pertolongan perhitungan.
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips melalui titik p(2,7), tentukan titik singgungnya……..?
Jawab :
x.2100+y.725=1
y =
= 1
x2 – 2x - 48 = 0
( x-8) (x+6) = 0
x = 8 dan x = -6
untuk maka
untuk maka
titik singgungnya adalah dan
Persamaan garis singgung melalui titik dan titik adalah
LATIHAN SOAL:
Diketahui elips dengan persamaan 100x2 + 36y2 = 225. Tentukanlah:
a. Koordinat focus, pusat, dan puncak elips
b. Panjang sumbu mayor dan sumbu minor
Persamaan garis singgung pada elips x29+y216=1, dengan gradient m = 5. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
Tentukan persamaan garis singgung pada elips x2+2y2 = 12, dititik P(2,-2)
Garis singgung pada elips ditarik dari titik (1,2)di luar elips tentukan persamaan garis singgung tersebut!
