MERKEZĐL ELĐPS TANIM: Düzlemde sabit iki noktaya uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine (kümesine) elips denir. y O(0,0) elipsin merkezi
.
.
B(0,b)
.
.
A’(–a,0)
.
(– c,0)
.
F’
eks TR em yayınları
ELĐPSĐN ANALĐTĐK ĐNCELENMESĐ HAKKINDA GENEL BĐLGĐLER, HATIRLATMALAR
.
A(a,0)
F
asal eksen (odakların bulunduğu eksen) x ekseni ise: y
B’(0,–b)
.
asal eksen (odakların bulunduğu eksen) y ekseni ise: y
. .
b
B b
.
.
A’ –a
P(x,y)
(c,0)
ELĐPSĐN DENKLEMĐ
.
.
F’
A a
F
.
O
x
x
.
–a
B’ – b
x2
y2 + 2 =1 a b
|PF| + |PF’| = 2a
2 2
2 2
x b +y a = a b
* A,A’,B,B’ elipsin köşeleri
. .
2
2
.
a
O
yada
2
F
x
F’
–b
ELĐPSĐN PARAMATRĐK DENKLEMĐ
* F,F’: elipsin odakları x = acosα y = bsinα
* [AA’]: elipsin asal ekseni (büyük eksen)
olup sin2α + cos2α = 1 eşitliğinden
x2
y2 + 2 = 1 elde edilir a b 2
* [BB’]: elipsin yedek ekseni (küçük eksen)
Elips ile bir doğrunun birbirine göre durumu
* |AA’| = 2a sayısına elipsin asal eksen uzunluğu
x2
y2 + 2 = 1 elipsi ile y = mx + n doğruları verilsin a b
* |BB’| = 2b sayısına elipsin yedek eksen uzunluğu * |FF’| = 2c sayısına elipsin odaklar arası uzaklığı denir P noktasını özel olarak B noktasına getirelim y
.
B b
.
.
A’ –a
–c F’
.
.
c
.
O
A a
F
eks TR em yayınları
2
* m2a2 + b2 – n2 = 0 ise, doğru elipse teğet normal
x2
y2 + 2 =1 a b
y
2
.
–a
x
.
b
.
teğet
x
a
O
B’ – b
y = mx + n
T
–b
|BF| + |BF’| = 2a olduğundan |BF| = a dır.
*m2a2 + b2 – n2 < 0 ise, doğru elipsi kesmez
BOF dik üçgeninde pisagor bağıntısı ile b2 + c2 = a2 elde edilir. x2
y2 + 2 =1 a b
ELĐPSĐN ÇEMBERLERĐ
y
2
b
y Elipsin asal
.
.
.
O
x
B
*NOT: Merkezi odaklardan biri ve yarıçapı 2a olan çembere doğrultman çemberi denir? *NOT: Bir elipsin herhangi bir teğete göre simetriği o elipsin asal çemberi üzerindedir.
x2
y2 + 2 =1 a b b
.
.
–c F’
.
α c
.
O
B’ – b
F
.
A a
x
e=
c = cos α a
e=
c < 1 dir. a
e <1
www.ekstrem.com.tr
x
a
O
TEĞETĐN DENKLEMĐ x2
y2 + 2 = 1 Elipsine üzerindeki T(x0,y0) noktasından çizilen teğetin a b denklemi; y 2
eks TR em yayınları
.
A’ –a
.
y = mx + n
–b
Bir elipsin odaklar arasındaki uzaklığın, elipsin asal ekseninin
dış merkezliği denir.
y
2
–a
uzunluğuna oranına elipsin dış merkezliği denir. y e = cosα ya elipsin
.
x
a
* m2a2 + b2 – n2 > 0 ise, doğru elipsi farklı iki noktada keser
ELĐPSĐN DIŞ MERKEZLĐĞĐ
B b
.
O
–b
A
A’
.
–a
( x2 + y2 = b2)
B
eks TR em yayınları
( x2 + y2 = a2)
Elipsin yedek çemberi
.
çemberi
y = mx + n
b
.
–a
O
lemi denk
T(x0,y0)
.
a
teğet
xx 0 yy 0 + 2 =1 a2 b
x
–b
[email protected]
Teğetin değme noktalarının koordinatları x2
y2 + 2 =1 2 a b
y0 = −
y b
.
–a
T(x0,y0)
.
y = mx + n
x
a
O
ma b2 ve x 0 = − n n
2
ma2 b2 T( − ,− ) n n
eks TR em yayınları
KONĐKLERĐN ANALĐTĐK ĐNCELENMESĐ HAKKINDA GENEL BĐLGĐLER, HATIRLATMALAR TEOREM x2
y2 + 2 = 1 elipsinin y = mx + n doğrusuna paralel olan a b 2
kirişlerinin orta noktalarının geometrik yerinin denklemi : b2 x ( ki buda elipsin bir çapının denklemidir. ) a2m2
y =−
y
–b
b
ELĐPSĐN BĐRBĐRĐNE DĐK TEĞETLERĐ y
K
.
K noktalarının geometrik yeri bir
.
–a
.
y = mx + n
x
a
O
merkezcil çemberdir. –b b
.
–a
y =−
T(x0,y0)
.
y = mx + n
x
a
O
b2 x a2m2
TEOREM
–b
TEOREM Bir elipsin odaklarından elipsin herhangi bir teğetine olan
eks TR em yayınları
geometrik yeri bir merkezcil çemberdir.denklemide
x2 + y2 = a2 + b2 ( buna MONJ çemberi denir. )
denklemi: y PR: b
. .
a
2
+
y0 y b
2
x 2 y 2 = 02 + 02 a b
R
|FN|.|F’M| = |FK|.|F’L| =…..= b2
M
–b
.
K.
x 0 .x
x
a
O
y
K
b
ELĐPSĐN DOĞRULTMANI
.N
L. F’
P
A(x0,y0)
–a
.
y2 + 2 = 1 elipsinin içinde bir nokta olsun, a b 2
orta noktası (x0,y0) olan kirişin (kirişi taşıyan doğrunun)
.
uzaklıklarının çarpımları sabittir.
–a
x2
A(x0,y0) noktası
Bir elipsin birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının
.
x
a
F
O
–b
x= −
ELĐPSĐN KĐRĐŞĐ VE ÇAPLARI
y
a2 c
. .
çapı denir. Sonuç olarak : elipsin sonsuz sayıda kiriş ve çapı vardır. kiriş b
.
.
a
O
eks TR em yayınları
elipsin bir kirişi denir.
* Elipsin merkezinden geçen herhangi bir kirişine de elipsin bir
–a
a2 c
b
* Elips üzerindeki iki noktayı birleştiren doğru parçasına
çap
x=
–a
F’
.
O
F
.
a
x
–b
x=±
x
a2 doğrularına elipsin doğrultmanları denir c
(Doğrultmana göre de hiperbol tanımı yapılabilir…!) –b
ELĐPSĐN ALANI VE ÇEVRESĐ
ELĐPSĐN PARAMETRESĐ a2
y2
+ 2 =1 b
.
–a
y b
O
y
|MF| = |FN| = p olsun | MN | = 2p =
M
. F
.
a
x
2b2 a
uzunluğuna elipsin
parametresi denir. –b
N
|MF| : elipsin parametresi www.ekstrem.com.tr
b eks TR em yayınları
x2
. .
–a
F’
.
O
.
Elipsin alanı = πab Elipsin çevresi = π(a + b)
.
F
.
a
x
–b
[email protected]
ELĐ ELĐPS
12. BÖLÜM
TEST 1
2
2
2
x y + =1 16 9
1.
B) 12
Elipsinin asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
C) 10
D) 8
A) 10
E) 6
12x 2 + 25y2 = 300
2.
6.
C) 6 3
D) 5 3
E) 4 3
C) 8
D) 7
E) 6
x2 y2 + =1 4 36 Elipsinin yedek eksen uzunluğu kaç birimdir?
A) 12
B) 10
C) 8
D) 6
E) 4
eks TR em yayınları
sT
R
B)7 3
B) 9
em
Elipsinin yedek eksen uzunluğu kaç birimdir?
A)10
x y + =1 9 25
5.
Elipsinin asal eksen uzunluğu kaç birimdir?
A) 16
2
x2 y2 + =1 25 9
3.
Ek
Elipsinin odaklarından birinin koordinatları nedir?
A) (1 , 0)
B) (2 , 0)
D) (4 , 0)
Elipsinin odaklarından birinin koordinatları hangisidir?
C) (3 , 0)
A) (6 , 0)
E) (5 , 0)
B) 12
C) 14
D) 18
C) (0, –4) E) (0 , –8)
x2 y2 + =1 8 72
8.
Elipsinde odaklar arası uzaklık kaç birimdir?
Elipsinde odaklar arası uzaklık kaç birimdir? A) 10
B) (10 , 0) D) (0 , –6)
x2 y2 + =1 100 64
4.
100x 2 + 36y2 = 3600
7.
E) 20
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
E) 6
[email protected]
1
16x 2 + 25y 2 = 400
9.
x2 y2 + =1 4 36
13.
elipsinin üzerinde olup 1. bölgede olan bir nokta A ve odaklar Elipsinin odağından geçen en kısa kiriş kaç birimdir?
F, F’ olsun buna göre, Çevre(AFF’) kaç birimdir?
A) 16
B) 12
C) 10
D) 8
A)
E) 6
x2 y2 + =1 9 25
10.
2 3
D) 8
E) 6
D)
4 3
E)
5 3
9x 2 + 16y 2 = 144
Elipsinin odağından geçen en kısa kiriş kaç birimdir?
A) 3
B) 4
C)
9 2
D) 5
E)
11 2
eks TR em yayınları
sT
R
C) 9
C) 1
em
kaç birimdir?
B) 10
B)
14.
elipsinin üzerindeki bir noktanın odaklara olan uzaklıkları toplamı
A) 12
1 2
x2 y2 + =1 25 16
11.
Elipsinin odağından geçen en kısa kiriş ile en uzun kirişin
elipsi ile bu elipsin yedek çemberi arasında kalan alan kaç birim karedir? B) 6π
C) 5π
D) 4π
Ek
A) 7π
uzunlukları toplamı kaç birimdir?
E) 3π
A) 15
B) 20
C) 25
D) 30
E) 35
12x 2 + 25y2 = 300
16.
9x 2 + 25y 2 = 225
12.
x2 + 4y 2 − 100 = 0
15.
Elipsinin alanı kaç birim karedir?
elipsinin asal çemberi ile yedek çemberi arasında kalan alan kaç birim karedir? A) 18π
B) 16π
C) 14π
1.D 2.E 3.D 4.B 5.A
D) 12π
6.E
7.E
A) 5 3π
E) 10π
8.A
2
9.A
B) 6 3π
10.B
11.D
C) 8 3 π
12.B
D) 9 3π
13.D
E) 10 3π
14.C 15.C
16.E
TEST
ELĐPS
12. BÖLÜM
2
1.
y
5.
4x 2 + 9y2 = 144
.
.
A’
18 5
B)
16 5
C)
12 5
x2 y2 + =1 25 16
B
Elipsinin doğrultmanlarından biri aşağıdakilerden hangisidir? A)
..
D)
4 10
E)
2 10
.
.
T
F
F’
O
.
A
x
B
Yukarıdaki şekilde F ve F’ noktaları elipsin odakları F’F çaplı çemberin T noktasındaki teğeti elipsin A köşesinden geçtiğine göre T noktasının apsisi kaçtır? A)
11 7
B)
9 5
C)
7 4
D)
4 3
E)
3 2
2. 9x 2 + 25y 2 − 225 = 0 elipsi y = kx + 5 doğrusuna teğet ise, k aşağıdakilerden hangisidir? (k < 0)
1 3
B) −
3 4
C) −
4 5
D) − 2
E) − 3
em
A) −
6.
. .
y
..
sT
a2
3.
y2
eks TR em yayınları
R
E
x2
+ 2 =1 b
A) 3
C) 5
D) 6
D
16 5 3
B) 5 5
7.
14 5 3
D)
13 5 3
E) 4 5
y
K .
1
.
O
.
3
x
–1
4x 2 + 9y2 = 144 Elipsinin
C)
E) 7
–3
4.
x
üçgensel bölgesinin alanı kaç birim karedir?
A)
Ek
B) 4
.
F
O
Yukarıdaki şekilde E ve F noktaları elipsin odakları ise, EFD
c 3 ve a – b = 1 olduğuna göre b kaçtır? = a 5
Elipsinde
4x 2 + 9y2 = 144
Şekildeki elipste dik olarak kesişen teğet doğrularının kesim noktalarının geometrik yerinin denklemi nedir?
x y + = 1 doğrusuna en yakın noktasının 8 16
A) x 2 + y 2 = 1
B) x 2 + y 2 = 9
C) x2 + y 2 = 10
D) x 2 + y 2 = 12
apsisi kaçtır?
A)
10 2
B)
16 9
C)
9 10 5
D)
9 4
E)
9 2
E) x 2 + y 2 = 20
[email protected]
3
8.
12.
4x 2 + 9y2 = 36
Elipsinin odaklarının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (0 , ± 5 )
B) (0 , ± 10) D) (± 5 , 0)
C) (± 10, 0) E) (± 5 ,
C) 10
E) 15
6x 2 + 3y 2 = 18
13.
C) 2π
D) 12
Elipsine üzerindeki A(–1,2) noktasından çizilen teğetin
D) 2,5π
E) 3π
denklemi nedir?
em
B) 1,5π
B) 9
5)
Elipsi ile bu elipsin asal dairesinin alan farkı nedir? A) π
Elipsinin odaklar arasındaki uzaklık aşağıdakilerden hangisidir? A) 8
x2 + 4y 2 = 4
9.
9x 2 + 25y 2 = 225
A) y = x + 3
B) y = – x + 3
E) y = – 2x
eks TR em yayınları
sT
R
D) y = x – 8
C) y = – 2x + 4
x = 3sinα
14.
16x 2 + 36y 2 = 625
10.
y = 4cosα
Elipsinin parametresi aşağıdakilerden hangisidir?
50 13
B)
50 9
C)
25 9
D)
25 18
E)
Ek
A)
Eşitlikleri ile ifade edilen elipsin denklemi nedir?
9 50
15.
Elipsinin dış merkezliği aşağıdakilerden hangisidir? A)
40 9
B)
7 10
C)
2 10 7
1.A 2.C 3.B 4.C 5.B
6.A
D)
7.C
3 7
E)
8.D
B) 16x 2 + 9y 2 = 144
C)16x2 + 9y 2 = 225
D) 4x2 + 18y2 = 208
E) 4x 2 + 12y 2 = 400
9x 2 + 49y 2 = 441
11.
A) 16x 2 + 8y2 = 169
40 6
2 36 − x 2 3 Denklemi ile verilen eğrinin çevresi kaç birimdir? y =−
A) 5π
4
9.C
B) 6π
10.B
C) 9π
11.C
12.A
D) 12π
13.A
E) 15π
14.B
15.A
ELĐPS
12. BÖLÜM
TEST 3
2
2
x y + =1 9 25
1.
x2 y2 + =1 16 25
5.
Elipsinin birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının geometrik
Elipsinin asal çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
yeri aşağıdakilerden hangisidir? A) x 2 + y 2 = 9
B) x 2 + y 2 = 14
C) x2 + y 2 = 12
D) x 2 + y 2 = 20
A) x 2 + y 2 = 16
B) x 2 + y 2 = 22
C) x2 + y 2 = 25
D) x 2 + y 2 = 41
E) x 2 + y 2 = 25
E) x 2 + y 2 = 57
x2 y2 + =1 16 49
2.
x2 y2 + =1 2 7
6.
Elipsinin birbirine dik teğetlerinin kesim noktalarının oluşturduğu Elipsinin yedek çemberinin denklemi aşağıdakilerden
em
şeklin sınırladığı bölgenin alanı kaç birim karedir? hangisidir? A) x 2 + y 2 = 12
B) x 2 + y 2 = 16
C) x2 + y 2 = 18
D) x 2 + y 2 = 25
A) 2π
D) 9π
C) 7π
E) 11π
eks TR em yayınları
sT
R
E) x 2 + y 2 = 49
B) 4π
x2 y2 + =1 16 9
3.
(x − 6)2 (y − 8)2 + =1 9 25
7.
Elipsinin merkezinin koordinatları toplamı hangisidir?
Elipsinin yedek çemberinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
B) 20
C) 28
D) 39
E) 41
B) x 2 + y 2 = 21
Ek
A) x 2 + y 2 = 25
A) 14
C) x2 + y 2 = 9
D) x 2 + y 2 = 16
E) x 2 + y 2 = 12
x2 y2 + =1 15 7
4.
Elipsinin asal çemberi ile yedek çemberi arasında kalan
Elipsinin odaklarının koordinatları toplamı kaçtır?
daire halkasının alanı kaç birim karedir? A) 5π
B) 6π
C) 7π
(x − 4)2 (y − 7)2 + =1 25 16
8.
A) 15 D) 8π
B) 22
C) 25
D) 30
E) 35
E) 9π
[email protected]
5
(x + 7)2 (y − 9)2 + =1 25 16
9.
y
13. D
Elipsinin köşelerinin koordinatları toplamı kaçtır? A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
.
E) 10
.
C
.
E
.
F
O
x 16x 2 + 25y 2 = 400
B
A
Yukarıdaki şekilde E ve F noktaları elipsin odakları ve ABCD dikdörtgen ise taralı bölgenin alanı kaç birim karedir?
192 194 C) 20π − D) 20π − 60 E) 6π 5 5
A) 10π − 24 B) 15π −
(x − 5)2 (y + 6)2 + =1 4 9
10.
A) – 6
B) – 5
C) – 4
D) – 3
E) – 2
em
Elipsinin köşelerinin koordinatları toplamı kaçtır?
y
14.
.
.
.
F’
.
F
O
x
eks TR em yayınları
sT
R
9x 2 + 25y 2 = 225
Yukarıdaki şekilde F’ ve F noktaları elipsin odakları ise F noktasından geçen en kısa kirişin uzunluğu kaç birimdir?
11. F’(–6,0) ve F(6,0) noktalarına uzaklıkları toplamı 20 birim
A)
olan noktaların geometrik yerinin denklemi nedir?
x2 y2 + =1 100 64
B)
x2 y2 + =1 144 36
C)
D)
x2 y2 + =1 36 100
E)
B)
13 5
C)
14 5
D) 3
E)
18 5
x2 y2 + =1 100 36
Ek
A)
12 5
x2 y2 + =1 64 100
15.
y
.
A
x2 y2 + =1 9 25 B
D
x
.
.
O
12. F’(–2,0) ve F(2,0) noktalarına uzaklıkları toplamı 2 5 birim
.
olan noktaların geometrik yerinin denklemi nedir? 2
A)
x + y2 = 1 5 D)
2
B)
2
x y + =1 4 16
x2 + y2 = 1 6
1.E 2.B 3.C 4.D 5.D
E)
C
2
C)
x + y2 = 1 10
Yukarıda verilenlere göre taralı alan kaç birim karedir? A) 12π − 24
x2 y2 + =1 4 10
6.D
7.A
8.B
6
9.D
B) 15π − 30
10.C
11.A
C) 15π − 24
12.A
D) 5π
13.C
14.E 14.E
E) 6π
15.B
ELĐPS
12. BÖLÜM
TEST 4 x2 +
1.Asal eksen uzunluğu 12 birim, yedek eksen uzunluğu 10 birim 5. olan merkezcil elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
A)
x2 y 2 + =1 36 25
D)
x2 y2 + =1 25 16
B)
x2 y 2 + =1 25 16
E)
C)
denklemi aşağıdakilerden hangisidir?
x2 y 2 + =1 25 9
A) y = – x + 3
x2 y2 + =1 9 25
C)
x2 y 2 + =1 25 13
6. Çevresi 26 birim olan bir ABC üçgeninde B(0 ,6) ve C(0,− −6) ise, A noktalarının geometrik yerinin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? A)
D)
x2 y 2 + =1 12 13
E)
x2 y2 + =1 9 13
C) y = x + 2 5
E) y = x – 8
x2 y 2 + =1 27 18
x2 y2 + =1 13 49
em
x2 y2 + =1 16 13
B)
B) y = – x + 5
D) y = x – 8
birim olam elipsin denklemi aşağıdakilerden hangisidir? x2 y 2 + =1 36 13
y =1 4
Elipsinin x ekseni ile 45 lik açı yapan teğetlerinden birinin
2.Odakları F’(0 ,2) ve F(0,−2) olan ve yedek eksen uzunluğu 6
A)
2
x2 y 2 + =1 13 27
E)
C)
x2 y 2 + =1 27 13
x2 y2 + =1 18 27
eks TR em yayınları
sT
R
D)
B)
3. Odakları F(1 , 7) ve F(9, 7) noktaları olan elipsin merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (1 , 4)
B) (2 , 6)
Denklemi ile verilen elipsin merkezinin koordinatları nedir?
C) (5 , 7)
A) (3 , 4)
E) (5 , 9)
B) (4 , 3) D) (5 , 3)
C) (3 , 5) E) (2 , 1)
Ek
D) (6 , 7)
4x 2 + 3y2 − 16x − 6y + 7 = 0
7.
4. Odakları F(− 5 , 12) ve F(− 5, − 4) noktaları olan elipsin
2x 2 + y 2 − 4x + 2y − 1 = 0
8.
merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
Denklemi ile verilen elipsin merkezinin koordinatları nedir?
A) (−5 , 4)
A) (−2 , 1)
B) (−5 , 5) D) (−5 , 7)
C) (−5 , 6) E) (−5 , 8)
B) (1 , − 1) D) (−1 , 2)
C) (1 , 2) E) (−1 , − 1)
[email protected]
7
9.
y
.
E
O
x2 y2 + =1 3 4
12.
A
Elipsinin doğrultman çemberlerinin kesim noktaları arasındaki
Ç(EF’F) = 6 + 2 2 birim
F
.F’
.
.
uzaklık uzaklık kaç birimdir?
A’
A) 2 3
x
B) 4 3
C) 5 3
D) 15
E)2 15
Odakları F’(2 ,2) ve F(4,4 )olan elipsin A köşesinin apsisi kaçtır?
A) 3 +
3 2
B)3 −
3 2
C)
3 2 2
D) 4 2
E)5 2
13.
(x − 1)2 + y 2 = 16
Denklemi elipsinin doğrultman çemberlerinden birinin denklemi
y
T(– , 4) 2
.
.
F
. F’
A
D)
x
T’
Odakları F’ ve F olan elipsin denklemi nedir? x2 4y2 + =1 16 27
B)
3x 2 y2 + =1 8 27
C)
y
.
O
.P .Q .R .
y2 B) x 2 + =1 3
x2 + y2 = 1 2
E)
C)
x2 y 2 + =1 5 3
x2 y 2 + =1 4 3
(x − 7)2 (y + 5)2 + =1 3 19
14.
x 2 4y 2 E) + =1 8 27
Ek
x2 y2 D) + =1 27 8
11.
4x2 y 2 + =1 81 18
sT
A)
x2 y 2 + =1 3 4
R
T
A’
A)
3
eks TR em yayınları
. .O . .
10.
em
ise, bu elipsin denklemi nedir?
Elipsinin odaklarının koordinatları toplamı kaçtır? A) 6
B) 5
C) 4
D) 3
E) 2
[PR] // Oy
x
3x 2 + 4y2 = 24 x2 + y 2 = 8
(x − 3)2 (y − 5)2 + =1 25 9
15.
Verilenlere göre
Elipsinin köşelerinin koordinatları toplamı kaçtır?
| PR | oranı kaça eşittir? | QR |
A) 26 1 A) 3
2 B) 3
3 C) 3
1.A 2.E 3.C 4.A 5.B
4 D) 3
6.B
7.E
B) 28
C) 30
D) 32
E) 34
5 E) 3
8.B
8
9.A
10.C
11.B
12.E
13.E
14.C
15.D
