1
Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus. Y C(0,b)
A(a,0)
F1 ( - c , 0 )
P(x,y)
O
F1 ( c , 0 )
B(a,0)
X
D(0,-b)
Dari gambar diatas, titik F 1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu : 1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB. 2. Garis yang tegak lurus sumbu mayor di titik tengah disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD. Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips. Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks.
Gambar diatas menunjukkan sebuah elips dengan : -
Pusat elips O(0,0) ;
-
Sumbu simetri adalah sumbu x dan sumbu y ;
-
Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ;
-
Sumbu mayor pada sumbu x, puncak A(-a,0) dan B(a,0) , panjang sumbu mayor = 2a
-
Sumbu minor pada sumbu y, puncak C(0,b) dan D(0,-b) , panjang sumbu minor = 2b c
-
Eksentrisitas :
e
a
a
-
Direktriks :
x e
a
atau
x c
2b
Panjang lactus rectum
2
a
2
2
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips.
Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya.
2
2
2
2
2
b x a y a b
2
atau
x
2
a
2
y
2
b
2
1, a b
Dengan : - Pusat (0,0) - Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)
2
2
2
2
2
a x b y a b
2
atau
x
2
b
2
y
2
a
2
1, a b
Dengan : - Pusat (0,0) - Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
: c
2
a b
2
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. : Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5 b
2
2
a c
25 16
9 3
Persamaan elipsnya :
x 2 a
2
y 2 b
2
1
x 2 5
2
y 2 3
2
1
Jadi persamaan elipnya adalah
x 2
25
x 2 25
y2 9
1
y 2 9
1
3
2
x
Diketahui persamaan elips
16
y
2
1 ,
9
tentukan koordinat titik puncak, koordinat titik
fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum ! : 2
Dari persamaan elips
x
16
y
2
1 ,
9
diperoleh a 2 = 16, maka a = 4; b 2 = 9, maka b = 3.
c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c =
7.
Dari data diatas diperoleh : -
Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0)
-
Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=(
-
Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8
-
Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6
-
Eksentrisitas:
c e
=
a
7 4
4
a
-
Persamaan direktriks :
x
7 ,0 )
16
7
e
16
7
7
7
4
-
Panjang lactus rectum =
2b
a
2
2 .9 4
18 4
1
4
2
B. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) 1. Untuk elips yang yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
x a
2
2
y b
2
Dengan : -
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F 1 (α(α-c, β) & F 2(α+c, β)
-
Titik puncak (α-a, β) & (α (α+a, β)
-
Panjang sumbu mayor=2a
-
Panjang sumbu minor=2b
-
Persamaan direktriks x
a
2
c
2
1
4
2. Untuk elips yang yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
x b
2
2
y a
2
1
2
Dengan : -
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F 1 (α,β-c) (α,β-c) & F2(α,β+c)
-
Titik puncak (α,β-a) & (α (α,β+a)
-
Panjang sumbu mayor=2a
-
Panjang sumbu minor=2b
-
a
Persamaan direktriks y
2
c
Contoh 1 Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor dari persamaan elips 4 x 2 9 y 2 16 x 18 y 11 0
Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
x a 2
2
2
y b
2
1
2
2
4 x 9 y 16 x 18 y 11 0 2
2
4 x 16 x 9 y 18 y 11
2
2
4 x 4x 9 y 2 y 11 11
2
4 x 2 2
2
9 y 1
2
2
y 1
2
2
4 x 2 4 9
2
2
1
11
1 11
4 x 2 16 9 y 1 9 11 2
2
4 x 2 9 y 1 11 16 9 2
2
4 x 2 9 y 1 36
x 2 9
2
y 1 4
2
1
Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a2=9 maka a=3, b 2=4 maka a=2, c a2 b2 32 22 9 4 5
5
-
Pusat ( α,β )= ( 2,1 )
-
Titik fokus di F 1 ( α-c, β )= ( 2 -
-
Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )
-
Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6
-
Panjang sumbu minor=2b=2.2=4
5
,1 ) & F 2 ( α+c, β )=( 2+
5
,1 )
LATIHAN SOAL ! 1. Tentukan titik fokus, titik puncak, eksentrisitas, persamaan direktriks, panjang sumbu mayor & minor dan panjang lactus rectum dari persamaan elips berikut:
a.
x
2
64
y
2
16
1
c. x 2 4 y 2 4
Jawab :
Jawab :
b.
x
2
25
Jawab :
y
2
9
1
d. 2 x 2 4 y 2 8
Jawab :
6
2. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus , eksentrisitas, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor dari persamaan elips berikut :
a.
x 2
2
81
y 3
c. 6 x2 9 y 2 24 x 54 y 51 0
2
36
1
Jawab :
Jawab :
b.
x 1 36
Jawab :
2
y 4 4
18 y 9 0 d. x2 9 y 2 6 x 18
2
1
Jawab :
7
3. Tentukan persamaan elips, jika diketahui :
a. Titik pusat (4,-2), titik puncak (9,-2) dan titik fokus (0,-2)
Jawab :
b. eksentrisitas e (-2,-7)
2 3
, titik fokus (-2,3) dan
8
c. Tirik pusat (4,0), titik fokus (4,5), dan titik puncak (4,-13)
Jawab :
SOAL TES FORMATIF ! 1. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus , eksentrisitas, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor dari persamaan elips berikut :
a.
x
2
9
Jawab :
y
2
1
1
b. 2 x2 3 y 2 18
Jawab :
9
c.
x 2 36
y 2 4
2
1
Jawab :
e. x2 2 y 2 10 x 8 y 29 0 Jawab :
d.
x 2 4
Jawab :
2
y2 16
1
10
f. 25 x2 16 y 2 150 x 96 y 31 0 Jawab :
2. Tentukan persamaan elips, jika diketahui :
a.Pusat (4,-2), puncak (9,-20 dan salah satu fokusnya (0,-2)
Jawab :
11
b. Fokus ( -1,-1 ) dan ( -1,7 ) dan panjang separuh sumbu mayor adalah 8 satuan.
Jawab :
c. Garis direktriks y 3 fokusnya (0,-2)
Jawab :
69 12
dan salah satiu
