1
3.1 Unsur Unsur Elips Elips adalah tempat keduduka titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu itu disebut titik focus. Y C(0,b)
A(a,0)
F1 ( - c , 0 )
P(x,y)
F1 ( c , 0 )
O
B(a,0)
X
D(0,-b)
Dari gambar diatas, titik F1 dan F2 dan adalah titik focus elips dan A, B, C, D adalah titik puncak elips. Elips mempunyai dua sumbu simetri, yaitu : 1. Garis yang memuat fokus dinamakan sumbu mayor. Pada gambar, sumbu mayor elips adalah AB. 2. Garis Garis yang tegak lurus lurus sumbu sumbu mayor di titik titik tengah tengah disebut disebut sumbu minor. Pada gambar , sumbu minor elips adalah CD. Sedangkan titik potong kedua sumbu elips itu disebut pusat elips. Elips juga didefinisikan sebagaitempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Gambar -
diatas menunjukkan sebuah elips dengan : Pusat elips O( O(0,0) ; Sumb Sumbu u si sime metr trii adal adalah ah sum sumbu bu x dan dan sumb sumbu uy; Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0) ; Sumbu Sumbu mayor mayor pada pada sumbu sumbu x, x, puncak puncak A(-a A(-a,0) ,0) dan dan B(a,0 B(a,0)) , panjang panjang sumbu sumbu mayor = 2a Sumbu Sumbu minor minor pada pada sumbu sumbu y, y, puncak puncak C(0, C(0,b) b) dan dan D(0,-b D(0,-b)) , panjang panjang sumbu sumbu minor = 2b Eksentrisitas :
c e
=
a
-
Direktriks : x
Panjang lactus rectum
a =
e
atau x
2
=
c
2b =
a
2
a
3.2 Persamaan Elips Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips. A. Persamaan elips yang berpusat berpusat di O(0,0) Selain diketahui pusat elipsnya, persamaan elips juga ditentukan dari titik fokusnya. 1. Untuk elips elips yang berfokus berfokus pada pada sumbu x, persamaan persamaan elipsnya elipsnya adalah
2
2
2
2
2
b x + a y = a b
2
atau
Dengan : - Pusat (0,0) - Fokus F1 (-c,0) dan F2 (c,0)
x 2 a
2
+
y 2 b
2
= 1, a 〉 b
2
2.
Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah
2
2
2
2
2
2
a x + b y = a b
atau
Dengan : - Pusat (0,0) - Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan : c = a 2
−
x 2 b
2
+
y 2 a
2
= 1, a 〉 b
b2
Contoh 1 Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab : Fokus di F1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5 b
=
a2
−c
2
=
25 − 16 =
9 =3
Persamaan elipsnya :
x 2 a
2
+
y 2 b
2
=1
⇔
x 2 5
2
+
y 2 3
2
=1
x 2
⇔
+
y 2
25
x 2
Jadi persamaan elipnya adalah
25
+
=1
9
y 2
1
=
9
Contoh 2 x
Diketahui persamaan elips
2
16
+
y
2
9
=1 ,
tentukan koordinat titik puncak,
koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus rectum ! Jawab : Dari persamaan elips
x 2 16
+
y 2 9
1 , diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b 2 = 9, maka b
=
= 3. c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c = 7 . Dari data diatas diperoleh : - Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0) - Titik focus ( -c,0) = (- 7 ,0 ) dan ( c,0)=( 7 ,0 ) - Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8 - Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6 -
Eksentrisitas:
c e
=
=
a
x
-
Persamaan direktriks :
7 4
a
=
e
4
16
=
=
7
7
4
-
Panjang lactus rectum =
2
b a
2
=
2 .9 4
=
18 4
B. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β)
= 4
16 =
1 2
7
7
3
1. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
( x − α ) a
2
2
+
( y − β ) b
2
=1
2
Dengan : -
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F1 (α-c, β) & F2(α+c, β)
-
Titik puncak (α-a, β) & (α+a, β)
-
Panjang sumbu mayor=2a
-
Panjang sumbu minor=2b
-
a
Persamaan direktriks x = α ±
2
c
2. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
( x − α ) b
2
+
2
(
y
2
) β
−
a
2
1
Dengan : -
Pusat (α,β)
-
Titik fokus di F1 (α,β-c) & F2(α,β+c)
-
Titik puncak (α,β-a) & (α,β+a)
-
Panjang sumbu mayor=2a
-
Panjang sumbu minor=2b
-
Persamaan direktriks y = β ±
a2 c
Contoh 1 Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan sumbu minor 2 2 dari persamaan elips 4 x + 9 y
+ 16 x − 18 y − 11 = 0
Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam bentuk baku
4
( x − α ) a 2
2
+
2
( y − β ) b
2
=1
2
2
4 x + 9 y + 16 x − 18 y − 11 = 0 2
2
4 x + 16 x + 9 y − 18 y = 11 4
4
( x
2
{ ( x − 2 )
)
+ 4x + 9 2
2
−2
{ ( x − 2 )
2
4
( x − 2 )
2
4
( x − 2 )
2
4
4
(y
2
{ ( y − 1)
2
}
− 16 + 9 +9
9
( y − 1)
( y − 1)
2
( x − 2 )
)
− 2 y = 11
} + 9{ ( y − 1)
−4 +9
( x − 2 )
2
+9
2
+
2
2
2
−1
} = 11
}
− 1 = 11
− 9 = 11
= 11 + 16 + 9
( y − 1)
( y − 1) 4
2
= 36
2
=1
Dari persamaan diatas diperoleh : α=2, β=1, a 2=9 maka a=3, b 2=4 maka a=2, c= a
2
2
−b
=
2
2
3 −2
=
9− 4 =
5
-
Pusat ( α,β )= ( 2,1 )
-
Titik fokus di F 1 ( α-c, β )= ( 2 -
-
Titik puncak ( α-a, β )=( 2-3,1 ) =( -1,1 ) & ( α+a, β )= ( 2+3,1 )=( 5,1 )
-
Panjang sumbu mayor=2a=2.3=6 -
5 ,1
) & F 2 ( α+c, β )=( 2+
5 ,1
)
Panjang sumbu minor=2b=2.2=4
LATIHAN SOAL ! 1. Tentukan titik fokus, titik puncak, eksentrisitas, persamaan direktriks, panjang sumbu mayor & minor dan panjang lactus rectum dari persamaan elips berikut:
a.
x 2
+
64
Jawab :
y2 16
=1
2 2 c. x + 4 y
Jawab :
=4
5
b.
x 2
+
y2
25
=1
2 2 d. 2 x + 4 y
9
Jawab :
=8
Jawab :
2. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus , eksentrisitas, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor dari persamaan elips berikut :
( x − 2 ) a. 81
2
+
( y − 3) 36
2
=1
2 2 c. 6 x + 9 y
− 24 x − 54 y + 51 = 0
Jawab :
Jawab :
2 2 d. x + 9 y
− 6 x − 18 y + 9 = 0
6
( x + 1) b. 36
2
+
( y + 4)
Jawab :
2
4
=1
Jawab :
3. Tentukan persamaan elips, jika diketahui : a. Titik pusat (4,-2), titik puncak (9,-2) dan titik fokus (0,-2) Jawab :
b. eksentrisitas e = (-2,-7)
2 3
, titik fokus (-2,3) dan
7
c. Tirik pusat (4,0), titik fokus (4,5), dan titik puncak (4,-13) Jawab :
SOAL TES FORMATIF ! 1. Tentukan koordinat titik pusat, titik puncak, titik fokus , eksentrisitas, panjang sumbu mayor dan panjang sumbu minor dari persamaan elips berikut : 2 2 b. 2 x + 3 y
= 18
8
a.
x 2
+
9
y2
Jawab : =1
1
Jawab :
c.
x 2 36
+
( y + 2 ) 4
2
=1
Jawab :
2 2 e. x + 2 y
Jawab :
( x − 2 ) d. 4
Jawab :
− 10 x + 8 y + 29 = 0
2
+
y2 16
=1
9
f.
2
2
25 x + 16 y + 150 x − 96 y − 31 = 0
Jawab :
2. Tentukan persamaan elips, jika diketahui :
a.Pusat (4,-2), puncak (9,-20 dan salah satu fokusnya (0,-2)
10
Jawab :
b. Fokus ( -1,-1 ) dan ( -1,7 ) dan panjang separuh sumbu mayor adalah 8 satuan. Jawab :
c. Garis direktriks y = 3 ± fokusnya (0,-2) Jawab :
69 12
dan salah satiu
11
