IRISAN KERUCUT (ELIPS)
MAKALAH
Disusun dan diajukan guna memenuhi tugas terstruktur: Mata Kuliah
: Geometri Analitik
Dosen
: Sofri Rizka Amalia, M.Pd Oleh:
1. Ani Setia Mutia
NIM. 40316002
2. Nur Fitria Krismayantie NIM. 40316012 40316012
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA BUMIAYU 2017 i
KATA PENGANTAR
Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat kesehatan dan kesempatan, sehingga kami bisa menyusun dan menyelesaikan makalah berjudul “Irisan Kerucut (Elips)”. (Elips)”. Sholawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW yang telah mengantarkan kita dari zaman kegelapan menuju terang benderang. Penyusunan makalah ini bertujuan sebagai tugas mata kuliah Geometri Analitik dan sebagai bahan perkuliahan. Kami mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah membantu memberikan informasi dalam pembuatan makalah ini. Makalah ini jauh dari kata sempurna dan masih banyak kekurangan atas semua itu kami mengharapkan kritik dan saran yang membangun guna menyempurnakan makalah ini. Semoga makalah ini dapat bermanfaat.
Bumiayu, 11 November 2017 Penulis,
ii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ..................................................................................... i KATA PENGANTAR ................................................................................... ii DAFTAR ISI .................................................................................................. iii BAB I PENDAHULUAN .............................................................................. 1
A. Latar Belakang .................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ............................................................................... 1 C. Tujuan Penulisan ................................................................................. 2 BAB II PEMBAHASAN ............................................................................... 3
A. Pengertian Elips .................................................................................. 3 B. Persamaan Elips .................................................................................. 4 1. Persamaan Elips dengan Pusat di O (0,0) ..................................... 4 2. Persamaan Elips dengan Pusat di P (,) ..................................... 7 C. Persamaan Garis Singgung Elips ........................................................ 11 1. Garis Singgung dengan Gradien m Pada Pusat O (0,0) ................ 11 2. Persamaan Garis Singgung dengan Gradient m dengan Pusat P(α,β) ............................................................................................. 11 3. Persamaan Garis Singgung melalui Sebuah Titik Pada Elips dengan Pusat O (0,0) ..................................................................... 12 4. Persamaan Garis Singgung melalui Sebuah Titik Pada Elips dengan Pusat P (α,β) ..................................................................... 12 5.
Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips ........................................................................ 14
BAB III PENUTUP ....................................................................................... 16 DAFTAR PUSTAKA .................................................................................... 18
iii
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Irisan kerucut dapat didefinisikan sebagai tempat kedudukan titiktitik pada sebuah bidang, sedemikian, sehingga jarak titik-titik tersebut ke sebuah titik tetap F (yang disebut fokus) memiliki rasio yang konstan terhadap jarak titik-titik tersebut ke sebuah garis tetap L(disebut direktriks) yang tidak mengandung F. Irisan
kerucut adalah lokus dari
membentuk kurva dua-dimensi,
yang
terbentuk
semua titik yang oleh
irisan
sebuah kerucut dengan sebuah bidang. Salah satu jenis irisan kerucut yang dapat terjadi adalah elips. Irisan yang terbentuk berupa elips terjadi jika bidang yang mengiris tidak melalui puncak, tidak memotong lingkaran alas, tidak sejajar sumbu simetri maupun garis pelukis kerucut, bidang pengiris tidak tegak lurus pada kerucut dan sudutnya membentuk kurang dari
90°.
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik ters ebut adalah titik fokus / titik api. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titiktitik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor. B. Rumusan Masalah
1. Apa yang dimaksud dengan elips? 2. Bagaimana bentuk persamaan elips dengan pusat di O (0,0)? 3. Bagaimana bentuk persamaan elips dengan pusat di P (α, β)? 4. Bagaimana bentuk persamaan garis singgung elips? 1
C. Tujuan Penulisan
1. Mengetahui arti dan unsur-unsur dari elips. 2. Mengetahui bentuk persamaan elips dengan pusat di O (0,0). 3. Mengetahui bentuk persamaan elips dengan pusat di P (α, β). 4. Mengetahui bentuk persamaan garis singgung elips.
2
BAB II PEMBAHASAN
A. Pengertian Elips
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik ters ebut adalah titik focus / titik api. Elips juga didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik yang perbandingan jaraknya terhadap suatu titik dan suatu garis yang diketahui besarnya tetap. ( e < 1 ). Titik itu disebut fokus dan garis tertentu itu disebut direktriks. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titiktitik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor
menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor.
3
Keterangan gambar : Koordinat titik pusat O (0,0) Koordinat titik fokus F1 (c,0) dan F2 (-c,0) AA1 disebut sumbu mayor (sumbu panjang) BB1 disebut sumbu minor (sumbu pendek) •
•
•
•
Unsur – unsur elips yaitu: 1.
Pusat elips O (0,0)
2.
Sumbu simetri adalah sumbu X dan sumbu Y
3.
Fokusnya F1 (c, 0) dan F2 (-c, 0)
4.
Panjang sumbu mayor = 2a, panjang sumbu minor = 2b
= Latus Rectum =
5.
LL2
6.
PF1 + PF2 = 2a
7.
Perbandingan jarak dari suatu titik pada elips ke titik focus dengan ke garis direktris g disebut eksentrisitas (e) atau e direktriks
8.
=
− − =
dan
=
= . persamaan garis
=
= √
B. Persamaan Elips 1. Persamaan Elips dengan Pusat di O (0,0)
Berikut ini akan diberikan persamaan elips berdasarkan letak titik pusat elips. a.
Untuk elips yang berfokus pada sumbu x, persamaan elipsnya adalah 4
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2
b 2 x 2 a 2 y 2 a 2 b 2
x 2
atau
atau
a
x 2 a
2
2
y 2 b
y 2 b
2
2
1, a b
1, a b
Dengan : -
Pusat (0,0)
-
Fokus F1 (-c, 0) dan F2 (c,0)
b.
Untuk elips yang berfokus pada sumbu y, persamaan elipsnya adalah:
2
2
2
2
2
a x b y a b
2
atau
x 2 b
2
y 2 a
2
1, a b
Dengan : -
Pusat (0,0)
-
Fokus F1 (0,-c) dan F2 (0,c)
Catatan : c
a
2
b
2
Contoh 1
Tentukan persamaan elips yang berpusat di O(0,0), fokus (-4,0) dan (4,0) dengan sumbu mayor 10 satuan. Jawab :
Fokus di F 1 (-4,0) dan F2 (4,0) maka c = 4 ( fokus pada sumbu x ) Panjang sumbu mayor = 10, maka 2a = 10. Sehingga a = 5 5
b
a
2
c
2
25
16
9
3
Persamaan elipsnya :
x 2 a
2
y 2 b
2
1
x 2 5
2
y 2 3
1
2
y 2
25
x
Jadi persamaan elipnya adalah
x 2
2
25
y
1
9
2
1
9
Contoh 2
Diketahui persamaan elips
x
2
16
y
2
9
1 ,
tentukan koordinat titik
puncak, koordinat titik fokus, panjang sumbu mayor, sumbu minor, eksentrisitas, persamaan direktriks dan panjang lactus r ectum ! Jawab :
Dari persamaan elips
x
2
16
y
2
9
1 ,
diperoleh a2 = 16, maka a = 4; b 2
= 9, maka b = 3. c2 = a2 - b2 , sehingga c2 = 16 – 9 =7, maka c =
7
.
Dari data diatas diperoleh :
- Titik puncak (a,0) = (4,0) dan (-a,0)=(-4,0) - Titik focus ( -c,0) = (-
7
,0 ) dan ( c,0)=(
- Panjang sumbu mayor = 2a = 2. 4 = 8 - Panjang sumbu minor = 2b = 2. 3 = 6 - Eksentrisitas:
= = 47 6
7
,0 )
4
a
- Persamaan direktriks :
x
16
7
e
16
7
7
7
4
- Panjang lactus rectum =
2b
2
a
2 .9
18
4
4
4
1 2
Contoh 3
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : 9x2 + 25y2 = 900 Jawab: Pertama nyatakan persamaan yang diberikan ke dalam bentuk baku dengan membagi masing-masing ruas dengan 900 dan diperoleh bentuk baku
x 2 100
y2 36
1
a = 10, b = 6, c = 8 Pusat O(0,0) Fokus (8, 0) dan (-8, 0) Sumbu simetri : sumbu X dan sumbu Y Sumbu panjang = 2a = 20 Sumbu pendek = 2b = 12 Direktriks : x =
a
2
=
100 8
c
Eksentrisitas : e =
8
c
a
=
12
1 2
4
10
5
2. Persamaan Elips yang Perpusat di P(α,β)
a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah 7
x
2
a2
y
2
1
b2
Dengan :
- Pusat (α,β)
- Titik fokus di F1 α - c, β)
& F
2
(α + c, β)
- Titik puncak (α – a, β) & (α + a, β) - Panjang sumbu mayor = 2a - Panjang sumbu minor = 2b - Persamaan direktriks
x
a
2
c
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
x
2
b2
2
y a2
1
Dengan :
- Pusat (α,β) - Titik fokus di F1 (α, β - c) & F2 (α, β + c) - Titik puncak (α, β - a) & (α, β + a) - Panjang sumbu mayor = 2a - Panjang sumbu minor = 2b - Persamaan direktriks
y
a
2
c
Contoh 4
Tentukan titik pusat, titik fokus, titik puncak, panjang sumbu mayor dan 2 2 sumbu minor dari persamaan elips 4 x 9 y 16 x 18 y 11 0
8
Jawab : Nyatakan terlebih dahulu persamaan elips tersebut ke dalam
bentuk baku
x
2
y
a2 2
9y
4 x
2
16 x 9 y
4
2
4x
4
x 2
x 2
2
2
2
2
4 x 2
4 x 2
4 x 2
x 2 9
1
b2
4 x
4 x
2
2
16 x 18 y 11
18 y
9 y
2
2
2
2
2
y 1
9
16 9
y 1
2
9
y 1
2
y 1 4
2
y 1
y 1
9
2
2y
9
4
11
0
11
2
1
2
2
11
1 11
9
11
11 16 9
36
2
1
Dari persamaan diatas diperoleh : α = 2, β = 1, a2 = 9 maka a = 3, b 2 = 4 maka a = 2, c
a
2
b
2
2
3
2
2
9
4
5
- Pusat ( α,β ) = ( 2,1 ) - Titik fokus di F 1 ( α-c, β ) = ( 2 -
5
,1 ) & F2 ( α+c, β )=( 2+
5 ,1
)
- Titik puncak ( α-a, β ) = ( 2-3,1 ) = ( -1,1 ) & ( α+a, β ) = ( 2+3,1 ) = ( 5,1 )
- Panjang sumbu mayor = 2a = 2.3 = 6 - Panjang sumbu minor = 2b = 2.2 = 4 9
Contoh 5
Tentukan : pusat, focus, sumbu simetri, sumbu panjang, sumbu pendek, direktriks, dan eksentrisitas dari persamaan elips berikut : x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 Jawab :
x2 + 4y2 – 4x + 24y + 4 = 0 (x – 2)2 – 4 + 4(y + 3) 2 – 36 = -4 (x – 2)2 + 4(y + 3)2 = 36 ( x 2) 2 36
( y 3) 2
9
1
pusat (2, -3) a = 6, b = 3, c = Fokus (3
3
a
2
b
2
39
9
27
3 3
2, -3)
Sumbu simetri : x = 2 dan y = -3 Sumbu panjang = 2a = 12 Sumbu pendek = 2b = 6
Direktriks : x =
a
2
=
36
3 3
c
Eksentrisitas : e =
c a
3 3 6
1
2 4
32
3
2
Contoh 6
Tentukan persamaan ellips yang berpusat di (5,3) dengan sumbu mayor dan sumbu pendek berturutturut 6 dan 4. Jawab :
10
Sumbu panjang = 6, berarti a = 3 Sumbu pendek = 4, berarti b = 2 Jadi persamaan ellipsnya adalah :
x
2
a2
y
2
b2
1
5 ( 3) = 1 3 2 5 3 = 1 9 4 C. Persamaan Garis Singgung Elips 1. Garis Singgung dengan Gradien m Pada Pusat O (0,0)
Jika garis h : y = mx + n menyinggung elips
=1, maka besarnya
diskriminan D = 0. Kita sudah mengetahui bahwa diskriminan dari persamaan kuadrat yang dihasilkan oleh kedua persamaan di atas adalah D = -4a2 b2 (n2-b2 – a2m2), sehingga diperoleh -4a 2 b22 (n2-b2 – a2m2) = 0 n
2
- b2 – a2m2 = 0
n
2
= b2 + a2m2
n
=±
√
Jadi, persamaan garis singgung pada elips
=1 dengan gradient
m didefinisikan dengan persamaan : y = mx ±
√
2. Persamaan Garis Singgung dengan Gradient m dengan Pusat P(α,β)
Dengan cara yang serupa dengan di atas dapat ditemukan persamaan garis singgung ellips yang tidak berpusat di (0,0)misal di P (α,β) yaitu:
= ± 11
3. Persamaan Garis Singgung melalui Sebuah Titik Pada Elips dengan Pusat O (0,0)
y h P x
+
Perhatikan gambar diatas yang memperlihatkan sebuah garis h yang menyinggung elips = 1 di titik P (x 1, y1). Persamaan garis singgung elips = 1 di titik P (x 1, y1)
didefinisikan dengan persamaan.
+
1 = 1 2
4. Persamaan Garis Singgung melalui Sebuah Titik Pada Elips dengan Pusat P (α,β)
= 1 Contoh :
Persamaan garis singgung pada elips = 1, dengan gradient m = 3. Tentukan persamaan garis singgung tersebut!
12
Jawab:
b2 = 16
= 1, diperoleh a2= 4
⟶ a = 2
⟶ b = 4
Persamaan garis singgungnya adalah:
= ± =3 ± = 3± √ 1 6 4 × 9 = 3 ± √ 1 636 = 3 ± √ 52 Jadi persamaan garis singgungnya adalah y = 3x
±√ 3 616
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
x 2y 16 = 0,
√ 2,2) ?
di titik P(2 Jawab:
x2 + 2y2 - 16 = 0
⟶ x
2
+ 2y2 = 16
= 1 16 8 Di titik P
(2√ 2 ,2) ⟶
= 1 Ini artinya
= 1 ⟶ = 1 ⟶
P(2√ 2 ,2) terletak pada elips = 1, jadi persamaan
garis singgungnya: 13
√ =1 ⟶ = 1
2√ 2 x + 4y = 1 6 √ 2 x + 2y = 8 ⟺
2y = 8
√ 2
√ 2
y=4
5.
Menentukan Persamaan Garis Singgung Pada Elips dari Suatu Titik di Luar Elips
Untuk menentukan garis singgung elips melalui titik di luar elips, tidak terdapat rumus yang baku, untuk menentukannya dapat digunakan rumus pada butir a dan b sebagai dasar pertolongan perhitungan. Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung pada elips
x
2
100
y
2
25
1
melalui
titik p (2,7), tentukan titik singgungnya? Jawab :
xx
1
a x
2
2
100
yy
1
b y
2
1
2
25
1
. . = 1 ⟺ = ⟺
− + ⟺
x2 – 2x - 48 = 0 ( x - 8) (x + 6) = 0 x = 8 dan x = -6 untuk
x
8 maka y
1
14
.8
14
25 7
3
=1
untuk
x
6 maka y
1
14
6
25 7
4
titik singgungnya adalah 8,3 dan 6,4 Persamaan garis singgung melalui titik 8,3 dan titik
x x1 a
2
yy1 b2
x.8
100
x x1 a
2
2 x
1
y.3
3 y
yy1 b
2
6
3 x
1
8 y
25
0
1
y.4
100
25
x
1
25
50
15
0
6,4 adalah
BAB III PENUTUP
Elips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu mempunyai nilai yang tetap. Kedua titik tersebut adalah titik focus / titik api. Untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor, dengan titik-titik ujung sumbu mayor disebut titik-titik puncak elips. Ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi 2 bagian yang sama disebut sumbu minor. 1.
Persamaan elips dengan pusat di O (0,0) a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu x. 2
2
2
2
2
b x a y a b
2
atau
x 2 a2
y 2 b2
1, a b
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu y.
2
2
2
2
2
a x b y a b
2
atau
x 2 b2
y 2 a2
1, a b
2. Persamaan elips yang berpusat di P(α,β) a. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu x, persamaan elipsnya adalah
x a2
2
y b2
2
1
b. Untuk elips yang berfokus pada sumbu utama yang terletak pada / sejajar sumbu y, persamaan elipsnya adalah
16
x b2
2
2
y a2
1
3. Persamaan garis singgung elips. a. Persamaan garis singgung elips dengan pusat O (0,0) dengan gradient m
= ± √ b. Persamaan garis singgung elips dengan pusat
=± √
17
, dengan gradient m
DAFTAR PUSTAKA
Tim Penyusun Mipa. 2013. Matematika Peminatan Pakarindo
18
SMA Kelas XI.
Klaten: Viva
