PEMBUKTIAN LANGSUNG Untuk menunjukan pernyataan (p=>q) benar dapat dilakukan dengan menggunakan premis p untuk mendapatkan konklusi q. Metode pembuktian yang termasuk bukti langsung antara lain modus ponens, tollens, dan silogisme. Contoh : 1..Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n adalah bilangan ganjil, maka n2 adalah bilangan ganjil ! Jawab
:
Misalnya : p : n adalah bilangan bulat ganjil q : n2 adalah bilangan bulat ganjil Akan dibuktikan p => q benar. Karena n ganjil, yaitu n = 2k +1, k € C Maka n2 = (2k + 1)2 = 4k2 +4k +1 = 2(2k2 + 2k) + 1 = 2m + 1 Dengan m = 2k2 + 2k, yang berarti n2 adalah bilangan bulat ganjil Jadi, terbukti p=>q benar.
2 . Buktikan bahwa jika a membagi b dan b membagi c maka a membagi c dengan
a, b, dan c bilangan bulat. Bukti : a | b artinya b = ka untuk suatu k b | c artinya c = lb untuk suatu l
… (i) … (ii)
akan dibuktikan bahwa c = ma untuk suatu m substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh
c = lb = l(ka) = (lk)a karena lk adalah perkalian bilangan bulat yang hasilnya bilangan bulat juga (sifat tertutup perkalian bilangan bulat), maka ambil m := lk untuk dengan m , sehingga diperoleh c = ma untuk suatu m 3. Buktikan bahwa a + b bilangan ganjil jika dan hanya jika a atau b bilangan ganjil dengan a dan b bilangan bulat. Bukti : Pernyataan diatas ekuivalen dengan (i) jika a + b bilangan ganjil maka a atau b bilangan ganjil (ii) jika a atau b bilangan ganjil maka a + b bilangan ganjil Jadi pada pembuktian ini kita akan membuktiaan (i) dan (ii). Bukti bagian (i) misalkan a dan b bilangan bulat sebarang dan a + b bilangan ganjil. akan dibuktikan a atau b bilangan ganjil. tanpa mengurangi perumuman akan dibuktikan a ganjil klaim : b bilangan genap (b := 2m untuk suatu m
)
a + b bilangan ganjil a + b = 2k + 1 untuk suatu k substitusi b = 2m sehingga diperoleh a + 2m = 2k + 1 a = 2k – 2m + 1 = 2(k – m) + 1 karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil l := k – m, sehingga diperoleh a = 2l + 1
jadi a bilangan ganjil selanjutnya akan dibuktikan b bilangan ganjil klaim : a bilangan genap (a := 2p untuk suatu p
)
a + b bilangan ganjil a + b = 2q + 1 untuk suatu k substitusi a = 2p sehingga diperoleh 2p + b = 2q + 1 b = 2q – 2p + 1 = 2(p – q) + 1 karena tertutup terhadap operasi pengurangan, maka ambil r := p – q, sehingga diperoleh b = 2r + 1 jadi b bilangan ganjil Bukti bagian (ii) misal a dan b bilangan bulat sebarang dan a bilangan ganjil (a := 2m + 1 untuk suatu m ) dan b bilangan genap (b := 2n untuk suatu n ). Sehingga a + b = 2m + 1 + 2n = 2(m + n) + 1 karena tertutup terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat, ambil p := m + n, sehingga a + b = 2p + 1 untuk suatu p jadi a + b bilangan ganjil
4. Buktikan bahwa perkalian tiga bilangan asli berurutan habis dibagi 3 Bukti : misal tiga bilangan asli berurutan didefinisikan sebagai n, n + 1 dan n + 2 untuk suatu n dan perkalian tiga bilangan asli adalah . Disini kita akan menggunakan 3 kasus, yaitu 3k, 3k + 1, 3k + 2
(i)
= (n)(n + 1)(n + 2)
= (3k)(3k + 1)(3k + 2) = 3k(9k2 + 9k + 2) = 3(9k3 + 9k + 3) adalah bilangan kelipatan 3 (ii)
= (n)(n + 1)(n + 2)
= (3k + 1)(3k + 1 + 1)(3k + 1 + 2) = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = (3k + 1)(9k2 + 15k + 6) = 27k3 + 54k2 + 21k + 6 = 3(9k3 + 18k3+ 7k + 2) adalah bilangan kelipatan 3 (iii)
= (n)(n + 1)(n + 2)
= (3k + 2)(3k + 2 + 1)(3k + 2 + 2) = (3k + 2)(3k + 3)(3k + 4) = (3k + 2)(9k2 + 21k + 12) = 27k3 + 81k2 + 78k + 24 = 3(9k3 + 27k2 + 26k + 8) adalah bilangan kelipatan 3 dari (i), (ii), dan (iii) terlihat bahwa habis dibagi 3
merupakan bilangan kelipatan 3 berakibat
buktian bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah genap Penyelesaian Pembuktian akan dilakukan secara umum, yaitu dengan mengambil sembaran 2 bilangan genap dan buktikan bahwa jumlah kedua bilangan tersebut adalah genap. Sembarang di sini berarti kita tidak boleh mengambil bilangan genap tertentu, misal 4 dan 10. Akan tetapi kita harus menggunakan 2 variabel untuk menyatakan bahwa pengambilan tersebut dilakukan secara sembarang. Bukti Ambil sembarang 2 bilangan genap, misal m dan n. Akan dibuktikan bahwa (m+n) juga bilangan genap. Oleh karena a dan b adalah bilangan-bilangan genap, maka
dan
untuk
bilangan-bilangan bulat r dan s sehingga m + n = 2r + 2s = 2 (r+s) (sifat distributif) Misal k = r + s Oleh karena r dan s adalah bilangan-bilangan bulat, maka k adalah bilangan bulat juga sehingga m + n = 2k untuk suatu bilangan bulat k. Menurut defenisi bilangan genap, (m+n) adalah bilangan genap karena merupakan hasil kali 2 bilangan bulat. Terbukti bahwa jumlah 2 bilangan genap adalah bilangan genap juga.
B. PEMBUKTIAN TIDAK LANGSUNG B1. PEMBUKTIAN KONTRAPOSISI Untuk membutikan ( p=>q ) benar, dapat dilakukan dengan memisalkan –q benar dan ditunjukan –p benar. Dari –q diperoleh –p benar sehingga (-q => -p) adalah benar. Contoh
: Buktikan bahwa untuk semua bilangan bulat n, jika n 2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil! Jawab : Untuk membuktikan pernyataan diatas dapat dilakukan dengan pembuktian tak langsung dengan kontraposisi. Misalnya p : n2 adalah bilangan ganjil q : n adalah bilangan ganjil kemudian misalnya –q benar yang berarti n adalah bilangan genap, yaitu n = 2k sehingga n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2) = 2m dengan m = 2k2 Yang berarti n2 adalah bilangan genap. Dengan demikian, -p : n2 adalah bilangan genap -q : n adalah bilangan genap Dan karena –q => -p adalah benar dan p => q ≡ -q => -p Maka terbukti p => q adalah benar. Jadi, terbukti bahwa jika n2 adalah bilangan ganjil, makan adalah bilangan ganjil.
B2. PEMBUKTIAN KONTRADIKSI Untuk membuktikan (p => q) benar, dapat dilakukan dengan mengandaikan –q benar. Dari –q benar kita tunjukan suatu kontradiksi dengan p benar atau dengan pernyataan benar lainnya. Dengan demikian langkah seharusnya adalah q benar sehingga (p => q) benar . Contoh : Buktikan bahwa ”jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil” dengan bukti tak langsung! Jawab : Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = 2k, k € B. Karena n = 2k Maka n2 = (2k)2 = 4k2 =2(2k2) = 2m dengan m = 2k2 Sehingga n2 adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n2 adalh bilangan ganjil. Jadi, terbukti bahwa jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil.
Pembuktian Matematika dengan Kontradiksi: 1. Buktikan bahwa ”jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil” dengan bukti secara kontradiksi! Penyelesaian : Misalnya n adalah bilangan genap, yaitu n = 2k, k € B. Karena n = 2k Maka n2 = (2k)2 = 4k2 = 2(2k2) = 2m dengan m = 2k2 Sehingga n2 adalah bilangan genap, kontradiksi dengan n2 adalh bilangan ganjil. Jadi, terbukti bahwa jika n2 adalah bilangan ganjil, maka n adalah bilangan ganjil. 2. Tunjukkan paling tidak 4 dari 22 hari pasti jatuh pada hari yang sama. Penyelesaian: Asumsikan p menjadi proposisi : “paling tidak 4 dari 22 hari pasti jatuh pada hari yang sama”. Asumsikan ¬p True. Ini berarti maksimal 3 dari 22 hari jatuh pada hari yang sama, karena ada 7 hari dalam seminggu, ini membuktikan pasti 21 hari dipilih karena untuk masing-masing hari dalam seminggu. Kontradiksi dari hipotesa bahwa kita memiliki 22 hari yang dipertimbangkan. Jika r adalah stemen yang dipilih 22 hari, kita bisa tunjukkan bahwa ¬p -> (r/\¬r). akibatnya, kita mengetahui p True. Contoh Soal Dan Penyelesaian Pembuktian Langsung dan Tidak Langsung
Pembuktian langsung Contoh1 :
1. Buktikan jika x bilangan ganjil maka x2 bilangan ganjil. Bukti : Diketahui x ganjil, jadi dapat di definisikan sebagaix := 2n + 1 untuk suatu n
.
Selanjutnya, x2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 2 (2n2 + 2) + 1, dengan mengambil m = 2n2
maka x2 = 2m + 1. Karena m merupakan bilangan bulat maka disimpulkan
+ 2, m x2 ganjil.
Contoh 2 : 2. Buktikan bahwa jika a membagi b dan b membagi c maka a membagi c dengan a, b, dan c bilangan bulat. Bukti : a | b artinya b = ka untuk suatu k b | c artinya c = lb untuk suatu l
… (i) … (ii)
akan dibuktikan bahwa c = ma untuk suatu m substitusi (i) ke (ii), sehingga diperoleh c = lb = l (ka) = (lk) a karena lk adalah perkalian bilangan bulat yang hasilnya bilangan bulat juga (sifat tertutup perkalian bilangan bulat), maka ambil m := lk untuk dengan m diperoleh c = ma untuk suatu m
Pembuktian tak langsung 1.
Buktikan dengan bukti tak langsung. Jika n ^ 2 bilangan kelipatan 3, maka n bilangan kelipatan 3. Pembahasan :
, sehingga
p --> q setara dengan ~q --> ~p Artinya kalo ingin membuktikan pernyataan di atas, maka dibuktikan kebalikannya. jika n bukan kelipatan 3, maka n ^ 2 juga bukan kelipatan 3. n bukan kelipatan 3, maka : n = 3k + 1 atau n = 3k + 2 ,dengan k bilangan bulat. -
n = 3k+1 n ^ 2 = 9k ^ 2 + 6k + 1 n ^ 2 / 3 = [3k ^ 2 + 2k] + 1/3 ----> ada sisa 1/3 terbukti untuk n = 3k + 1, n ^ 2 dibagi 3 akan bersisa 1.
-
n = 3k + 2 n ^ 2 = 9k ^ 2 + 12k + 4 n ^ 2 / 3 = 3k ^ 2 + 4k + 1 + 1/3 , ----> ada sisa 1/3 terbukti bahwa untuk n bukan kelipatan 3, maka n ^ 2 juga bukan kelipatan 3.
2.
Buktikan jika x2 bilangan ganjil maka x bilangan ganjil.
Bukti pernyataan ini sangat sulit dibuktikan secara langsung. Karena x2 ganjil maka dapat ditulis x = 2m + 1 untuk suatu bilangan asli m. Selanjutnya x = tidakdapat disimpulkan apakah ia ganjil atau tidak, sehingga bukti langsung tidak dapat digunakan. Kontraposisi dari pernyataan ini adalah ” Jika x genap maka x2 genap ”. Selanjutnya diterapkan bukti langsung pada kontraposisinya. Diketahui x genap, jadi dapat ditulis x = 2n untuk suatu bilangan bulat n. Selanjutnya, x2 = (2n) 2 = 2 (2n2) = 2m
m yang merupakan bilangan genap.
