Elips

1

Daftar Isi

Pendahuluan2
Standard Kompetensi dan Kompetensi Dasar2
Pengertian Elips.............................................................................................................................................2
Definisi Elips....................................................................................................................................3
Cara Menggambar Elips................................................................................................................................4
Menemukan Persamaan Elips........................................................................................................................5
Translasi Elips...............................................................................................................................................7
Orbit Planet dan Eksentrisitas........................................................................................................................8
Contoh Permasalahan Terkait Elips..............................................................................................................9
Daftar Pustaka..............................................................................................................................................12

PENDAHULUAN
Matematika merupakan ilmu yang sangat penting untuk dipelajari. Bagaimana tidak, matematika bisa diterapkan hampir di segala ilmu pengetahuan yang lain. Pada kesempatan kali ini, penulis akan membahas mengenai penerapan matematika pada bidang astronomi. Sebelum membahas bagaimana penerapan matematika dalam bidang astronomi, penulis akan membahas secara singkat mengenai irisan kerucut berbentuk elips. Karena dengan mempelajari elips, seorang astronom bisa mengukur berapa panjang orbit Bumi maupun planet-planet yang lain, berapa panjang kecepatan evolusi Bumi terhadap Matahari, dan sebagainya. Tanpa adanya matematika lebih khususnya materi irisan kerucut berbentuk elips, astronom tidak akan bisa mengukur panjang garis edar benda ruang angkasa maupun kecepatan mengorbitnya. Oleh karena itu, astronom bisa memprediksi kapan benda ruang angkasa seperti: komet, asteroid, dan sebagainya mendekati orbit Bumi sehingga bisa membahayakan Bumi.
Elips, Hiperbola, dan Parabola ketiganya dikelompokkan bersama di dalam irisan kerucut atau conic section, karena ketiganya dapat terbentuk dari irisan sebuah bidang datar dengan sebuah kerucut (right circular cone). (Bocher, 1915). Namun pada bahasan kali ini, penulis hanya akan mengulas mengenai irisan kerucut elips.
STANDARD KOMPETENSI DAN KOMPETENSI DASAR
Penulis menggunakan kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan 2006 atau yang biasa disebut KTSP. Berikut dituliskan Standard Kompetensi dan Kompetensi dasarnya.
Standard Kompetensi:
7. Menerapkan konsep irisan kerucut dalam memecahkan masalah.
Kompetensi Dasar:
7.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan elips.

PENGERTIAN ELIPS
Dalam memahami geometri irisan kerucut, sebuah kerucut dianggap memiliki dua kulit atau selimut yang membentang sampai tak hingga di kedua arah. Sebuah generator adalah sebuah garis yang dapat dibuat pada selimut kerucut, dan semua generator saling berpotongan di satu titik yang disebut verteks kerucut.

Jika sebuah bidang mengiris kerucut sejajar dengan satu dan hanya satu generator, maka irisannya adalah parabola. Jika bidang pengiris sejajar dengan dua generator, maka irisannya akan memotong kedua kulit dan membentuk sebuah hiperbola. Sebuah elips terjadi jika bidang pengiris tidak sejajar dengan generator mana pun. (Leithold, 1981).
Berikut akan dijelaskan mengenai definisi dari sebuah elips:
"An Ellipse is the locus of a point which moves in a plane so that the sum of its distances from two fixed points of the plane, called the foci, is a constant greater than the distance between the foci." (Bocher, 1915, hal. 109).
Definisi di atas dapat diartikan bahwa sebuah Elips adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang jumlah jaraknya terhadap kedua titik fokus pada bidang adalah konstan dan lebih dari jarak antara kedua fokus. Garis yang melewati kedua titik fokus disebut sebagai focal axis. Titik yang berada pada focal axis dan berada tepat di tengah antara kedua fokus disebut sebagai center. Sedangkan titik yang terbentuk dari perpotongan elips dengan focal axis disebut dengan vertex.

Gambar 1: Titik-titik pada focal axis

Selain itu, untuk suatu elips, jarak terjauh antara dua titik pada elips disebut sumbu mayor. Sedangkan ruas garis yang tegak lurus dan membagi sumbu mayor menjadi dua bagian yang sama disebut sumbu minor.

Sumbu minorbSumbu mayoraSumbu minorbSumbu mayora
Sumbu minor
b
Sumbu mayor
a
Sumbu minor
b
Sumbu mayor
a

Gambar 2: Sumbu mayor dan sumbu minor elips
Dari gambar 2, terlihat bahwa a>b, sehingga 2a merupakan sumbu mayor sedangkan 2b merupakan sumbu minornya. Jika dilihat dari panjang a dan b, akan terjadi dua kasus berbeda, yakni:
Jika a>b, sumbu mayornya horizontal (sejajar dengan sumbu-x) dengan panjang 2a, dan sumbu minornya vertikal dengan panjang 2b.
Jika a
CARA MENGGAMBAR ELIPS
Dari pengertian elips pada pembahasan sebelumnya, kita tahu bahwa jumlah jarak titik-titik pada elips dengan kedua titik fokusnya adalah konstan. Dengan memisalkan F1 dan F2 sebagai titik-titik fokusnya, dan P merupakan sebarang titik pada elips, maka didapat d1 merupakan jarak antara titik P dan F1, dan d2 merupakan jarak antara titik P dan F2. Sehingga didapat d1+d2= konstan untuk setiap titik P pada elips.
d1+d2=konstand1+d2=konstan
d1+d2=konstan
d1+d2=konstan

Gambar 3: Struktur dari sebuah elips

Dari penjelasan di atas, kita dapat menggambar elips menggunakan sebuah pensil, seutas benang, dan dua pushpin. Letakkan benang tersebut di seputar pushpin yang dinamai dengan F1 dan F2 dan tarik benang yang telah dihubungkan dengan pensil sehingga benang tersebut kencang, kemudian gerakkan pensil hingga membentuk suatu elips. Kedua pushpin tersebut mewakili kedua titik fokus suatu elips, dan guratan pensil sebagai titik yang dijalankan dengan syarat d1+d2= konstan.

Untuk lebih jelasnya, lihat ilustrasi pada gambar 4 di bawah ini!

Gambar 4: Cara menggambar elips

MENEMUKAN PERSAMAAN ELIPS
Untuk menemukan persamaan suatu elips, kita akan menggunakan definisi yang telah diulas pada pembahasan sebelumnya. Untuk sebarang a dan c konstan, dengan a>c 0, diberikan F1(-c,0) dan F2(c,0) sebagai kedua titik fokusnya. Maka suatu elips adalah himpunan titik-titik P(x,y) sedemikian hingga
PF1+PF2=2a.

Gambar 5: Menemukan persamaan elips

Dengan menggunakan rumus jarak, maka persamaan di atas menjadi
x+c2+y-02+x-c2+y-02=2a.
x-c2+y2=2a-x+c2+y2
x2-2cx+c2+y2=4a2-4ax+c2+y2+x2+2cx+c2+y2 Dikuadratkan
ax+c2+y2=a2+cx Disederhanakan
a2x2+2cx+c2+y2=a4+2a2cx+c2x2 Dikuadratkan
(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2) Disederhanakan
Karena b2=a2-c2, maka kita dapatkan
b2x2+a2y2=a2b2,
Atau lebih seringnya ditulis
x2a2+y2b2=1.

Persamaan elips x2/a2+y2/b2=1 adalah bentuk umum dari persamaan elips yang berpusat di (0,0) dengan sumbu-x sebagai focal axis. Sedangkan sebuah elips degan pusat (0,0) dengan sumbu-y sebagai focal axis, maka persamaannya menjadi
y2a2+x2b2=1
Berikut akan disajikan tabel tentang elips yang berpusat di (0,0),
Elips dengan Pusat (0,0)
Persamaan
x2a2+y2b2=1
y2a2+x2b2=1
Focal axis
Sumbu-x
Sumbu-y
Titik Fokus
(±c,0)
(0,±c)
Vertices
(±a,0)
(0,±a)
Panjang Sumbu Semimayor
a
a
Panjang Sumbu Semiminor
b
b

Gambar 6: Elips dengan pusat (0,0)dengan kedua fokusnya berada di (a) Sumbu-x dan (b) Sumbu-y
TRANSLASI ELIPS
Ketika sebuah elips dengan pusat (0,0) ditranslasikan secara horizontal sejauh h satuan dan secara vertikal sejauh k satuan, maka pusat dari elips berpindah dari (0,0) ke (h,k). Namun panjang sumbu mayor dan minor suatu elips tetap, karena translasi tidak mengubah panjang dari sumbu mayor dan minor.

Gambar 7: Elips dengan pusat (h,k) dan kedua fokus berada pada (a) y=k dan (b) x=h.

Elips dengan Pusat (h,k)
Persamaan
(x-h)2a2+(y-k)2b2=1
(y-k)2a2+(x-h)2b2=1
Focal axis
y=k
x=h
Titik Fokus
(h±c,k)
(h,k±c)
Vertices
(h±a,k)
(h,k±a)
Panjang Sumbu Semimayor
a
a
Panjang Sumbu Semiminor
b
b

ORBIT PLANET DAN EKSENTRISITAS
Hukum Kepler 1 yaitu tentang pergerakan planet, yang dipublikasikan pada tahun 1609 menegaskan bahwa orbit dari suatu planet menyerupai sebuah elips dengan Matahari berada pada salah satu fokusnya. Asteroid, komet, dan benda ruang angkasa lainnya mengelilingi Matahari dengan orbit yang berbentuk elips. Titik terdekat dengan Matahari disebut dengan perihelion, dan titik terjauh dengan Matahari disebut dengan aphelion. Bentuk dari sebuah elips akan bergantung pada eksentrisitasnya. (Shupe, 1992)

Gambar 8: Kebanyakan benda ruang angkasa memiliki orbit berbentuk elips

Definisi Eksentrisitas Sebuah Elips:
Eksentrisitas dari sebuah elips adalah
e=ca=a2-b2a,
Di mana a adalah panjang sumbu semimayor, b adalah panjang sumbu semiminor, dan c adalah jarak dari center (pusat) elips ke fokusnya.

Pada definisi elips, terdapat syarat a>c 0. Dengan membagi pertidaksamaan tersebut dengan a, maka pertidaksamaan tersebut menjadi 0 e<1. Jadi eksentrisitas sebuah elips berkisar antara 0 dan 1.
Eksentrisitas digunakan untuk mengukur seperti apa bentuk suatu elips. Misalkan orbit komet Halley memiliki eksentrisitas e 0.97. Artinya adalah, orbit komet Halley memiliki eksentrisitas mendekati 1, sehingga orbit komet Halley berbentuk elips yang sangat pipih. Sedangkan orbit planet Venus yang memiliki eksentrisitas e 0.0068, atau dengan kata lain mendekati 0, akan memiliki bentuk orbit yang mendekati lingkaran.

CONTOH PERMASALAHAN TERKAIT ELIPS

Berdasarkan data pada Tabel 1, buktikan bahwa planet yang memiliki eksentrisitas paling besar pada suatu waktu akan lebih dekat dengan Matahari daripada planet yang memiliki eksentrisitas paling kecil.
Tabel 1: Semimayor dan Eksentrisitas Planet-planet di Tata Surya
Planet dan Planet Kerdil
Sumbu Semimayor (Gm)
Eksentrisitas
Merkurius
57.9
0.2056
Venus
108.2
0.0068
Bumi
149.6
0.0167
Mars
227.9
0.0934
Jupiter
778.3
0.0485
Saturnus
1427
0.0560
Uranus
2869
0.0461
Neptunus
4497
0.0050
Pluto
5900
0.2484
Sumber: Shupe, et al., National Geographic Atlas of the World (rev. 6th ed.). Washington, DC: National Geographic Society, 1922, plate 116, dan sumber lainnya.
Tentukan jarak terdekat dan terjauh Saturnus dengan Matahari!
Orbit dari komet Halley memiliki panjang sumbu mayor dan sumbu minor masing-masing 36.18 AU dan 9.12 AU. Berapakah eksentrisitas orbit komet Halley?

Penyelesaian:

Planet yang memiliki eksentrisitas paling besar adalah planet kerdil Pluto.
Data planet kerdil Pluto:
Sumbu semimayor a=5900 Gm
Eksentrisitas e=0.2484 Gm

Solusi:
e=ca
c=e×a
c=0.2484×5900=1465.56 Gm
Jarak terdekat (perihelion) Pluto dengan Matahari adalah
a-c=5900-1465.56=4434.44 Gm
Planet yang memiliki eksentrisitas paling kecil adalah planet Neptunus
Data planet Neptunus:
Solusi:
e=ca
c=e×a
c=0.0050×4497=22.485 Gm
Jarak terdekat (perihelion) Neptunus dengan Matahari adalah
a-c=4497-22.485=4474.515 Gm

Karena jarak terdekat Pluto dengan Matahari lebih kecil daripada jarak terdekat Neptunus dengan Matahari, maka planet yang memiliki eksentrisitas paling besar pada suatu waktu akan lebih dekat dengan Matahari daripada planet yang memiliki eksentrisitas paling kecil.

Diketahui:

Solusi:
e=ca
c=e×a
c=0.0560 ×1427=79.912 Gm
Jarak terdekat (perihelion) Saturnus dengan Matahari adalah
a-c=1427-79.912=1347.088 Gm
Jarak terjauh (aphelion) Saturnus dengan Matahari adalah
a+c=1427+79.912=1506.912 Gm

Diketahui:
Panjang sumbu mayor komet Halley 2a=36.18 AU
Panjang sumbu minor komet Halley 2b=9.12 AU
Solusi:
a=18.09 AU
b=4.56 AU
e=ca=a2-b2a
e=18.092-4.56218.09
e=327.2481-20.793618.09
e=306.454518.09
e=17.50618.09
e 0.97

Jadi, eksentrisitas dari orbit komet Halley adalah e 0.97.

Bibliography

Bocher, M. (1915). Plane Analytic Geometry. New York: Henry Holt and Company.
Leithold, L. (1981). The Calculus with Analytic Geometry. Ney York: Harper & Row.
Shupe, e. a. (1992). National Geographic Atlas of the World (rev. 6th ed.). Wahington, DC: National Geographic Society.

Elips

Recommend Documents