Grado 9. Sucesiones Series y Progresiones 5

Docente: Luis Cuesta Grado: 9º A

Area: MATEMATICAS PERIODO: IV

Tema: Talleres Fecha: _______________.

SUCESIONES SERIES Y PROGRESIONES 5 DIVIÉRTETE MIENTRAS PIENSAS Un fabricante de jugos de fruta tiene una mezcla de 100 kilolitros que contiene w% de jugo puro de naranja. Si se le añade x kilolitros de una mezcla mezcla que contiene un y% de jugo puro de naranja, el fabricante pretende pretende producir una mezcla que contiene un z% de jugo puro de naranja. El valor de x está dado por: a)

100 100 (100 100 x − w)

b)

y

100 100 (100 100 y

− w)

+ 100 100 z

Concepto

c)

10000 z y

d )

+ 100 100 w

100 100 ( z − w) y

− z

PROGRESIONES GEOMÉTICAS

EXPERIENCIA: Cuenta la leyenda que Sessa, inventor del ajedrez, presentó su juego al príncipe indio Scheran, que se comprometió a darle en recompensa lo que pidiera. Sessa pidió un grano de trigo por el primer cuadro, dos por el segundo, cuatro por el tercero, y así sucesivamente hasta el cuadro 64. ¿Cuántos granos pidió? •

•

•

Este Este probl problema ema,, aparen aparentem tement ente e largo largo y comple complejo, jo, podemo podemoss resolv resolverl erlo o en forma forma inmediata a partir de las progresiones geométricas. Te invitamos a resolverlo al finalizar esta unidad. Observemos ahora las siguientes sucesiones: 1) 2, 6, 18, 54, 162,..

2) 3, -3, 3, -3, 3, -3,...

3)

1 2

,

1 4

,

1 8

,

1 16

, ...

Podemos comprobar que: En la primera, cada término es igual al anterior multiplicado por 3. En la segunda, cada término es igual al anterior multiplicado por -1. En la tercera, cada término es igual al anterior multiplicado por •

1 2

.

Cada una de las sucesiones anteriores es una PROGRESIÓN GEOMÉTRICA GEOMÉTRICA

APRENDAMOS DEFINICIÓN DE PROGRESIÓN GEOMÉTRICA Una sucesión f 1, f 2, f 3, ... , se llama PROGRESIÓN GEOMÉTRICA, si cada término es igual al anterior multiplicado por un número fijo r , llamado RAZÓN de la progresión.

1



Cálculo de un Término Cualquiera


EXPERIENCIA Consideremos la progresión geométrica: 2, 2 2 , 4 4 2 ,... ¿ Cuál es la razón de esta progresión? ¿Cuánto vale el término que ocupa el lugar 254? ,

Notemos que cada término de la progresión de obtiene multiplicando el anterior por lo tanto, la razón de esta progresión es 2 .

2

Por

Para hallar un término cualquiera de una progresión geométrica (por ejemplo, el que ocupa el lugar 254), hacemos lo siguiente: Sea f 1, f 2, f 3, ... una progresión geométrica. Si designamos por r a la razón, tendremos: f 1 = f 1 f 2 = f 1 • r f 3 = f 2 • r f 4 = f 3 • r . . . . . . f n = f n-1 n-1 • r Ahora multiplicamos miembro a miembro estas igualdades: f 1 • f 2 • f 3 ... f n-1 )… (f n-1 n-1 • f n = f 1 • (f 1 • r ) • (f 2 • r ) • (f 3 • r )… n-1 • r ) (r • r • r • r … r) ∴f 1 • f 2 • f 3 ... f n-1 n-1 • f n = f 1 • (f 1 • f 2 • f 3 … f n-1 n-1) • n -1 factores  

(f

f 2 • f 3 … f n-1 n-1)

∴1•

f =

∴n

• f n



n-1 = f 1 • (f 1 • f 2 • f 3 … f n-1 n-1) • r

f 1 • ( f 1 • f 2 • f 3 ... f n

) • r n =f n = f 1 • r n-1 ( f • f • f ... f n ) 1

2

3

−1

−1

−1

Por lo tanto, para calcular un término cualquiera de una progresión geométrica f n aplicamos la expresión f n = f 1 • r n-1

APRENDAMOS TÉRMINO n-ESIMO DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTICA En toda progresión geométrica un término cualquiera es igual al primero multiplicado por la razón, elevada ésta al número de términos que la preceden, es

decir:

f n = f 1 • r n-1

ATENCIÓN: La expresión

f n = f 1 • r n-1 2

liga cuatro cantidades, de tal forma que




conocidas tres de ellas, se puede calcular la cuarta. Por ejemplo, si despejamos r nos queda: r = n −1

f n f 1

¿Cómo se calcula el número de términos n?

Ejemplo 1: Hallemos el 12° término de la progresión: 8, 4, 2, 1, Solución: Esta es una progresión geométrica de razón 12

 1  Por lo tanto: f 12 12 = 8 •    2 

−1

=

1 2

1 2

,

1 4

,…

.

1 2048

Ejemplo 2: Hallemos el primer término de una progresión geométrica cuyo quinto término es 15

y la razón es

1 2

. 5

Solución:

1  15 = f 1 •     2 

15 = f 1 •

∴

∴f

1

−1

1 16

= 240

Suma de n Términos Consecutivos de una progresión geométrica Sea f 1, f 2, f 3, ... f n, … una progresión geométrica. Vamos a calcular la suma de los n primeros términos; es decir: Sn = f 1 + f 2 + f 3 + ... + f n…………………………..(1) Multiplicando por r ambos miembros de la igualdad (1), obtenemos: r • Sn = f 1 • r + f 2 • r + f 3 • r + ... + f n• r ….………….(2) Ahora bien, como: f 2 = f 1 • r f 3 = f 2 • r f 4 = f 3 • r . . . . . . f n = f n-1 n-1 • r entonces la igualdad (2) podemos expresarla así: r • Sn = + f 2 + f 3 + f 4 + ... + f n + f n• r ….………….(3) Restando (1) de (3) y simplificando simplificando obtenemos:

3




r • s n

− s n = f n • r − f 1 ∴ s n ( r − 1) = f n • r − f 1 f • r − f 1 , r ≠ 1 ∴ s n = n r − 1 El proceso que acabamos de describir podemos sintetizarlo en el siguiente teorema:

APRENDAMOS Teorema: SUMA DE LOS TÉRMINOS DE UNA PROGRESIÓN GEOMÉTRICA La suma Sn de los n primeros términos de una progresión geométrica es igual al último término por la razón MENOS el primero, dividido por la razón menos uno; es decir: sn

=

f n • r − f 1

ATENCIÓN: 1. Hay ocasiones en las cuales interesa aplicar la fórmula de la suma en la forma siguiente: sn

=

f n • r − f 1 r − 1

=

n −1

f 1 • r

• − f 1

r − 1

f 1 • r

n

=

− f 1

r − 1

f 1 ( r

n

=

− 1)

r − 1

2. Si la razón de una progresión geométrica es r = 1, todos los términos serán iguales al primero y la suma de los n términos será: sn

... + f = n • f = f + f + f + ... 1

1

 

1



1

1

n sumandos

Ejemplo 1: Hallemos la suma de los seis primeros términos de la progresión geométrica: 2, -6, 18, -54,... Solución: De acuerdo con el enunciado del problema tenemos los siguientes datos: f 1 = 2; r = -3; n = 6 Por lo tanto: f 6 = 2(-3)5 = -486 ( − 486) • (−3) − 2 2 − 1458 = = −364 364 Finalmente: s 6 = − 3 −1 4 •

•

•

Ejemplo 2: Hallemos la suma de los seis primeros términos de una progresión geométrica en la que r = 3 y f 1 =2. Solución: Debemos utilizar la fórmula sn = y n=6 Por lo tanto: s n =

f 1 ( r n

−1) con los siguientes datos: r = 3, f = 2

r −1

2( 36

728) − 1) (2) • (728 = = 728 3 −1 2

Ejemplo 3: Un padre promete dar a cada hijo 3 dólares el primer día, 6 dólares el segundo día, y continúa doblando la cantidad cada día, durante un total de 10 días. ¿Cuánto recibe cada hijo al final del décimo día? ¿Qué cantidad ha recibido en total? 4




Solución: La cantidad que recibe cada hijo forma la progresión geométrica: 3, 6, 12, 24, ... en la cual f 1 = 3 y r = 2. 10-1 9 El término f 10 10 es: f 10 10 = f 1 • r = 3•2 = 1536; por lo tanto, la cantidad recibida al final del décimo día es 1536 dólares. •

•

f 1 (1 − r

10

El total recibido por cada hijo es: s10 =

•

1 − r

) = 3(1 − 2

10

1− 2

)

= 3069

luego, cada hijo recibe un total 3069 dólares después de los diez días.

Medios Geométricos Como en las progresiones aritméticas, también en las progresiones geométricas se presenta el problema de intercalar varios números o términos entre dos números dados a y b de modo que resulte una progresión geométrica. Los números que debemos intercalar se denominan MEDIOS GEOMÉTRICOS.

APRENDAMOS DEFINICIÓN DE MEDIOS GEOMÉTRICOS Hallar m MEDIOS GEOMÉTRICOS entre dos números dados a y b consiste en formar una progresión geométrica que tenga por extremos los números a y b y entre ellos haya m términos. Si entre a y b vamos a obtener m medios geométricos entonces el número de términos considerado es m + 2. Para hallar la razón de la nueva progresión geométrica tenemos en cuenta que: a =f 1

•

•

y b =f m + 2 ; pero b = f 1 r m + 1 = ar m + 1. Por lo tanto:

r = m +1

b a

APRENDAMOS Teorema: Para hallar m medios geométricos entre dos términos consecutivos a y b de una progresión geométrica, aplicamos la fórmula: r 1

= m+

1

b a

donde r 1 es la razón de la nueva progresión geométrica.

Ejemplo: Hallemos tres medios geométricos entre 3 y 48. Solución: Tenemos: a = 3; b = 48; m = 3. Por lo tanto: r 1

= m+

1

b a

=±

48

4

3

=±

4

16

= ±2

En consecuencia, consecuencia, hay dos progresiones progresiones geométricas geométricas con tres medios entre 3 y 48; así: si r1= 2, entonces 3, 6, 12, 24, 48,... si r1= -2, entonces 3, -6, 12, -24, - 24, 48,... Progresiones Geométricas Infinitas •

geométricos geométricos

Hasta el momento hemos trabajado con un número finito finito de términos de la progresión. progresión. 5




Sin Sin emba embarg rgo, o, esto esto no sign signifific ica a que que el conj conjun unto to de térm términ inos os de una una prog progre resi sión ón geométrica sea necesariamente finito. Por ejemplo, si en la progresión geométrica: 1, 1 3

•

•

•

,

1 9

,

1 27

,

1 81

Partimos de f 4 =

1

y multiplica multiplicamos mos indefinidam indefinidamente ente por la razón

81

3

, obtenemos una

sucesión de infinitos términos. Vamos ahora a calcular calcular la suma de infinitos términos términos de una de estas progresiones progresiones y a analizar cuándo esta operación es posible. Ya sabemos que la suma de los n términos de una progresión geométrica es: s n

=

f n r − f 1

=

− f n r .......... r −1

f 1

r −1 f 1 (1 −r n ) s n = .......... r −1

•

1

.......... ........

(1)

.......... .......... .......... . (1)

Estudiemos el término r n: Si r > 1, entonces r n crece indefinidamente a medida que crece el exponente n ∈ N; es decir, llega a ser mayor que cualquier número, y lo mismo ocurre con la suma, por lo que decimos que esta es INFINITA. Si r = 1, entonces la suma de n términos será: f 1 + f 1 + ... + f 1 = n • f 1 y llega a ser tan grande como queramos. Si r = -1, resulta f 1 - f 1 + f 1 - f 1... y decimos que es alternada, pues vale f 1 ó 0 según tomemos un número impar o par de sumandos. Si -1 < r < 1, entonces el valor de r n, con n ∈ N, es cada vez más pequeño, cuando hacemos que n tome valores suficientemente grandes. Como estamos trabajando con sumas de infinitos términos, entonces podemos afirmar que "r n se aproxima a cero a medida que n crece infinitamente". Por lo tanto, reemplazando r n por cero en la fórmula (2) y denotando dicha suma por S. obtenemos: S =

f 1 1

− r

,cuando -1
Ejemplo 1: Calculemos la suma:

3 2

2

Solución: La razón común es r =

2

4

3

9

+ 1 + + + ... 3

; luego, tenemos la suma de los términos de una

progresión geométrica con -1
Por lo tanto: S =

f 1 1 − r

=

3 1−

2

=

9 2

3

Ejemplo 2: Calculemos la suma 1 – Solución • La razón común es r = 1 -

1 3

+

1 9

-

1 27

+… 6



f 1

• Luego, la suma es: S =

1 − r

1

=

 

1− −

1 

1 4

=

 3 


=3 4

3

Ejemplo 3: Una pelota se dejó caer de una altura de 72 metros. En cada rebote alcanzó una altura equivalente a los

3

de la altura anterior. Hallemos la suma total de las alturas

4

alcanzadas por la pelota. Solución: Como la pelota sube y baja la misma altura en cada rebote, entonces llamando d la distancia total, tenemos: 2 2   3   3  3  3     d = 72 + 72  + 72  + 72  + 72  + ...  4   4   4    4   2   3   3   ∴d = 72 + 272  + 72  + ...  4    4   La suma que está entre los corchetes corresponde a la suma de los términos de una 3  3  progresión geométrica infinita, en la cual: f = 72   y r = . Luego: 4  4  1

S =

f 1 1 − r

54 3

=

1−

= 216 216

4

Por lo tanto: d = 72 + 2 (216) = 504 metros.

Ejemplo 4: Hallemos la fracción generatriz correspondiente a 0,2828... = Solución: Sabemos que: 0, 28 = 0,282828... = 0 + 0,28 + 0,0028 + 0,000028 + ... 28 28 28 = + + + ... ... 100

=

28 10

2

10000

+

28 10

4

+

0, 28

.

1000000

28 10

6

+ ... ...

Esta es la suma de los términos de una progresión geométrica infinita, en la cual: f 1

=

28 10

2

y

r =

1 10 2

28

Luego:

S =

f 1 1 − r

=

Por lo tanto:

100 100 1

1−

=

28 99

100 100

0, 28

=

28 99

TALLER 1. Analiza cuáles de las siguientes sucesiones son progresiones geométricas: 5 a) 120, 60, 30, 15,... b) 80, -20, 5, − 4

c) 24, 20, 14, 10, ... e) (x + y), 2(x + y), 3(x + y)

2 2

3 3

d) ax, a x , a x

7




2. Si f 1, f 2, f 3,..., f n,... es una sucesión geométrica, encuentra las cantidades que se indican: 1

1

a) f 1 = -6, r = − , f 2 = ?, f 3 = ?, f 4 = ?.

b) f 1 = 81, r =

c) f 1 = 3, f 7 = 2187, r = 3, S 7 = ?

d) f 1 = 100, f 6 = l, r = ?.

e) f 1 = 5, r = -2, S10 = ?.

f) f 1 = 9, f 4 =

2

7

3

8 3

, f 10 10 = ?.

, f 2 = ?, f 3 = ?.

n

1  ( − 3) = ? g) S7 = h) S10 = ∑   n= n =  2  3. Halla la suma de los términos de las progresiones geométricas infinitas siguientes: 1 1 1 1 a) 3 + 1 + +… b) 2 + 4 + 8 + ... c) 2 + +…

∑

10

n −1

1

1

3

2

8

32

4. Representa cada número decimal periódico como el cociente de dos números enteros: a) 0,333... b) 7,777... c) 0,6060 d) 7,57 7,5757 575. 5.... e) 4,7 4,71818 18181. 1.... f) 4,59 4,5939 3939 39.... 5. Once Once pers persona onass tien tienen en cuent cuentas as de ahor ahorro. ro. El prim primer ero o posee posee U.S$ U.S$20 2000, 00, el segu segundo ndo U.S$4000, el tercero $8000 y así sucesivamente. Calcula cuántos millonarios hay en el grupo. 6. Una Una máqu máquin ina a se desva desvalo lori riza za 30% 30% de su valo valorr cada cada año. año. ¿Cuál ¿Cuál será el valo valorr de una una máquina, que originalmente costó U.S$3000, al final del quinto año? 7. Una persona dejó la tercera parte de su herencia al mayor de sus hijos, la tercera parte del resto al siguiente y así sucesivamente hasta el cuarto hijo, y los $16.000 restantes a una entidad de beneficencia. Halla a cuánto asciende la herencia. 8. El extremo inferior de un péndulo recorre un arco de 6 cm y en las oscilaciones siguientes cada arco es igual a los dos tercios del arco inmediatamente anterior. Calcula cuánto recorre en total el extremo del péndulo hasta llegar al reposo. 9. Se tiene un cuadrado cuya área es 36cm 2. Se traza luego un segundo cuadrado uniendo los puntos medios de los lados del primero; después, se traza otro uniendo los puntos medios de los lados del segundo y así sucesivamente. Halla la suma aproximada de las áreas. 10. Si

1

, y − x

1 2 y

,

1

y

− z forman una progresión aritmética, demostrar que x, y, z forman

una progresión geométrica.

DIVIÉRTETE DIVIÉRTETE MIENTRAS MIENTRAS PIENSAS: PIENSAS: Ningún político es idealista. Todos los héroes son idealistas. Según esto, cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son ciertas: 1. Ningún político es héroe. 2. Todos los políticos son héroes. 3. Algunos políticos son héroes. 4. Algunos héroes son políticos.

8

Grado 9. Sucesiones Series y Progresiones 5

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