Geometria Espacial de Posição 1. Conceitos primitivos São os primeiros conceitos. Não possuem antecedentes, portanto não podem ser definidos. São esses: o ponto, a reta e o plano.
Ponto:
Reta:
Plano:
Indicado por letras maiúsculas: A, B, C, …
Indicado por letras minúsculas: a, b, c, …
Indicado por letras gregas minúsculas: α, β, γ, …
O espaço é espaço é o conjunto de todos os pontos. Nesse conjunto será desenvolvido a geometria espacial.
2. Postulados* sobre pontos e retas Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos.
Dois pontos distintos determinam uma única reta que passa por eles.
Um ponto qualquer divide uma reta em duas semirretas.
Por um ponto passam infinitas retas. *Postulados são aceitos sem demonstração.
3. Postulados sobre o plano e o espaço Num plano, bem como fora dele, existem infinitos pontos.
Se dois pontos distintos pertencem a uma reta e a um plano, então esta reta está contida no plano.
O plano é infinito, isto é, ilimitado. Três pontos não colineares determinam um único plano que passa por eles.
Por uma reta passam infinitos planos. (teorema)
Sobre a questão: por que não podemos dizer que três pontos colineares determinam um plano? Os referenciais bibliográficos afirmam que os postulados são aceitos sem demonstração. Então, uma maneira que encontro para responder a questão acima, de acordo com os postulados e a explicação do teorema da página anterior, é:
• (postulado) Em uma reta, bem como fora dela, existem infinitos pontos. Então, na nossa questão foram determinados três, mas poderiam ter sidos mais ou infinitos.
• Pelo que vimos na página anterior, fica definido que por uma reta passam infinitos planos e não apenas um plano. Assim, três pontos colineares (alinhados) não determinam um plano.
4. Posições relativas de duas retas no espaço Observe a figura na qual temos um paralelepípedo: Em cada plano há infinitas retas. No plano da face ABCD, por exemplo, além das retas indicadas, temos as retas AC e BD. No espaço há infinitas retas. Localize na figura dada as retas AG, BE, BG e DF.
Nesse modelo: • as arestas serão “representações” das retas que as contêm. Por exemplo:
• as faces serão “representações” dos planos que as contêm. Por exemplo: Plano (ABCD): plano que contém a face determinada por ABCD. Plano (BCFG): plano que contém a face determinada por BCGF.
4. Posições relativas de duas retas no espaço Observe a figura na qual temos um paralelepípedo:
No espaço há infinitos planos. Além dos 6 planos determinados pelas faces do paralelepípedo, procure imaginar outros, como p(ADGF), p(ABGH), p(AEGC), etc. • os vértices serão “representações” dos pontos dos espaços: A, B, C, D, etc.
Usando esse modelo, podemos estudar as posições relativas de retas distintas no espaço:
Duas ou mais retas são coplanares quando existe um plano que contém todas elas. (definição) Retas coplanares que não tem ponto comum são chamadas de retas paralelas distintas.(definição)
4. Posições relativas de duas retas no espaço Observe a figura na qual temos um paralelepípedo:
Retas que tem um único ponto comum são chamadas retas concorrentes. (definição)
Observação: duas sempre coplanares.
retas
concorrentes
são
Dadas duas retas, quando não existe um plano que contém as duas, elas são chamadas de retas reversas. (definição)
4. Posições relativas de duas retas no espaço Quadro – resumo:
Observação: No espaço, o fato de duas retas não serem paralelas não significa necessariamente que elas sejam concorrentes, como acontece no plano. Duas retas reversas não são paralelas nem concorrentes.
5. Determinação de um plano Lembrando que, pelo postulado, um único plano passa por três pontos não colineares, um plano também pode ser determinado por: Os três são teoremas.
6. Posições relativas entre reta e plano