Deducción de la ecuación de la Elipse

Deducción de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor sobre las abscisas:

PF  PF   2a La suma de las distancias entre los focos y un punto de la elipse es igual a una cantidad constante  2a 

d PF 

x

d PF  

 c 2  y2

x

 c 2  y2

x

 c 2  y2 



x

 c  2  y2

x

x

 c  2  y 2  2a

2



 c  2  y2

x 2  2cx  c 2 4cx  4a 2 2 2

cx  a 

c 2x 2  2a 2cx  a 4 a 4  a 2c 2





2a 

x

 c 2  y2

2



 4a 2  4a  x  c  2  y 2   x  c  2  y 2  4a 2  4a  x  c  2  y 2  x 2  2cx  c 2  4a  x  c  2  y 2 

a

x

 c 2  y2

2



 a 2x 2  2a 2cx  a 2c 2  a 2y 2  a 2x 2  c 2x 2  a 2y 2

a 2 a 2  c 2   x 2 a 2  c 2   a 2y 2 a 2b 2

x 2 b2

a2 y2

x 2 y2 x2 y2   2 2 1 2  2   2  2 1 a b a b a 2b 2 a 2 b 2 a b

Deducción de la ecuación de la elipse con centro en el origen y eje mayor en las ordenadas:

d PF  PF   2a 2

d PF  x 2  y  c 

2

d PF   x 2  y  c  2

2

x 2  y  c   x 2  y  c   2a



2



2







x 2  y  c 



4a 2  4a x 2  y  c   x 2  y  c 

y 2  2yc  c 2



4a 2  4a x 2  y  c   y 2  2yc  c 2

4yc  4a 2



4a x 2  y  c 





2

x 2  y  c 

2

2 2

yc  a 

y 2c 2  2a 2yc  a 4 y 2c 2  2a 2yc  a 4 a 4  a 2c 2

2

2a  x 2  y  c 

2 2

2

2

a x 2  y  c 

2



 a 2 x 2  y 2  2yc  c 2   a 2x 2  a 2y 2  2a 2yc  a 2c 2  a 2x 2  a 2y 2  y 2c 2

a 2 a 2  c 2   a 2x 2  y 2 a 2  c 2  a 2b 2

a2 x 2

y 2 b2

x2 y2 x 2 y2  2 2  2 2  1 2  2  2  2 1 b a b a a 2b 2 a b a b

2

Deducción de la ecuación de la elipse con centro en (h, k) y eje mayor paralelo a las abscisas: d PF  d PF   2a 2 x  h  c   y  k 2

d PF  d PF  

2 x  h  c   y  k 2

2 2 x  h  c   y  k 2  x  h  c   y  k 2

 2a

2 2 x  h   c   y  k 2  x  h   c   y  k 2

 2a

2

 x  h   c   y  k  

2



2a  x  h   c   y  k  

 y  k 



4a 2  4a x  h   c   y  k   x  h   c   y  k 

x  h 2  2c x  h   c 2



4a 2  4a x  h   c   y  k   x  h   2c x  h   c2

4c x  h   4a 2



4a x  h   c   y  k 





2

2

2

x  h   c 

2

2 2

c x  h   a  2

c 2 x  h   2a 2c x  h   a 4

2

2

2

2

2

2

2

2

2 2

2

2



2

2



a x  h   c   y  k 



2



a 2 x  h   c   y  k 

c 2 x  h   2a 2c x  h   a 4



a 2 x  h   2a 2c x  h   a 2 y  k 

a 4  a 2c 2



a 2 x  h   c2 x  h   a 2 y  k 

2

a 2 a 2  c2   b 2 = a 2 - c2

a 2b 2 a 2b2 a 2b2 1

  

2

2

2

2

2

x  h 2 a 2  c2  a 2 y  k 2 x  h 2 b 2  a2 y  k 2 x  h 2 b 2

2



a 2 y  k 

a 2 b2 a 2 b2 x  h 2 y  k 2 x  h 2 y  k 2    1 a2 b2 a2 b2

2

Deducción de la ecuación de la elipse con centro en (h, k) y eje mayor paralelo a las ordenadas: d PF  d PF   2a

2

2

d PF  x  h   y  k  c 

2

2

d PF   x  h   y  k  c  2

2

2

2

x  h 2  y  k  c   x  h 2  y  k  c   2a x  h 2  y  k   c   x  h 2  y  k   c   2a



2

x  h 2  y  k   c 

2

  

2

2

2a  x  h   y  k   c 

2

2

 2

2

2 2 2 x  h   y  k   c   4a 2  4a x  h   y  k   c   x  h   y  k   c  2

y  k 2  2c y  k   c 2  4a 2  4a x  h 2  y  k   c   y  k 2  2c y  k   c 2 2

2

4c y  k   4a 2  4a x  h   y  k   c  2 2

c y  k   a 



2



2

2

a x  h   y  k   c  2

2

2

2

2



c 2 y  k   2a 2c y  k   a 4  a 2 x  h   a 2 y  k   2a 2c y  k   a 2c 2 2

a 4  a 2c 2  a 2 x  h   a 2 y  k   c 2 y  k  2

2

2

2

a 2 a 2  c 2   a 2 x  h   y  k  a 2  c 2  a 2b 2  a 2 x  h   y  k  b 2 a 2b 2 a 2b 2

2



a 2 x  h 



y  k 2 b2

a2 b2 a 2 b2 x  h 2 y  k 2 x  h 2 y  k 2 1     1 b2 a2 b2 a2