Américo - Flexão Composta Normal.pdf

UNIVERSIDADE UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE GR ANDE DO SUL ESCOLA DE ENGENHARIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL

DI ME NSI NSI ONAMENTO DE SE ÇÕE ÇÕE S RE TAN TANGULARE GULARE S DE CONCRE CONCRE TO ARMADO À F L E XÃO XÃ O C OMPOS OM POSTA TA NOR N ORM MAL

AMÉRICO CAMPOS FILHO

2014

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SUMÁRIO

1 – AS – AS SOLICITAÇÕES NORMAIS ............................................ .................................................................. ........................................... ..................... 1 2 – ELEMENTOS LINEARES SUJEITOS A SOLICITAÇÕES NORMAIS – ESTADO LIMITE ÚLTIMO .............................................. .................................................................... ............................................ ............................................ ........................... ..... 2 2.1 – 2.1 – Estados Estados limites ...................................... ............................................................ ............................................ ............................................ ................................ .......... 2 2.2 – 2.2 – Hipóteses Hipóteses básicas ............................................. ................................................................... ............................................ ........................................... ..................... 2 3 – DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO SUJEITAS À FLEXÃO COMPOSTA NORMAL ........................................................... .................................................................... ......... 6 3.1 – 3.1 – O O problema a ser resolvido ........................................... ................................................................. ............................................ .............................. ........ 3.2 – 3.2 – As As relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes resistentes .................................... .................................... 3.3 – 3.3 – Dimensionamento Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-compressão normal .........

6 8 9

3.3.1- Armaduras assimétricas ............................................. ................................................................... ............................................... ................................ .......

9

3.3.2 – 3.3.2 – Armaduras Armaduras simétricas .............................................. .................................................................... ............................................ ................................ .......... 19 3.4 - Dimensionamento Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-tração flexo-tração normal ................... 29 3.5 – Programa para dimensionamento de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexão composta normal .......................................... ................................................................ ............................................ ........................

32















1 – AS AS SOLICITAÇÕES NORMAIS As seções transversais de um elemento estrutural estão submetidas a solicitações. Estas solicitações são classificadas como normais e tangenciais. As solicitações normais, como o esforço normal e o momento fletor, dão origem a tensões normais nas seções. Por outro lado, as solicitações tangenciais, como o esforço cortante e o momento de torção, causam o aparecimento de tensões tangenciais nas seções. Tradicionalmente, o dimensionamento das seções de concreto armado é feito por grupo de solicitações. Assim, no caso de uma viga de concreto armado, cujas seções transversais estão submetidas a momento fletor e esforço cortante, têm-se dois processos independentes de dimensionamento para a seção: determina-se uma armadura longitudinal para resistir à solicitação correspondente ao momento fletor e, de forma independente, calcula-se uma armadura transversal para resistir ao esforço cortante. Isto é feito por se ter uma solicitação normal (momento fletor) e uma solicitação tangencial (esforço cortante) atuando na seção. Já para um pilar de concreto armado, cujas seções estão submetidas a momento fletor e esforço normal, tem-se um processo de dimensionamento único, onde se determina uma armadura longitudinal para resistir a ação simultânea destas duas solicitações. Neste caso se têm duas solicitações do mesmo grupo (das solicitações normais). Sempre que uma seção estiver submetida a um momento fletor se tem uma solicitação dita de flexão. A solicitação de flexão pode ser classificada como simples ou composta. Uma flexão é dita simples quando a única solicitação normal atuante é o momento fletor. Uma flexão é chamada composta quando atuam simultaneamente em uma seção um momento fletor e uma força normal (de tração ou de compressão). A solicitação de flexão, seja simples ou composta, pode ser classificada, ainda, como normal ou oblíqua. Uma flexão é chamada normal quando o plano de flexão contém um eixo de simetria da seção. Uma flexão é dita oblíqua sempre que a direção da linha neutra não pode ser determinada a priori. A figura abaixo mostra seções de concreto armado submetidas à flexão composta oblíqua. Em (a), o plano de ação do momento fletor corta a seção transversal segundo uma reta que não coincide com o seu plano de simetria. A flexão também é oblíqua, caso (b), quando a seção não tem um eixo de simetria. eixo de simetria

traço do plano de flexão

traço do plano de flexão















2 – ELEMENTOS LINEARES SUJEITOS A SOLICITAÇÕES NORMAIS – ESTADO LIMITE ÚLTIMO 2.1 – Estados Estados limites Para se projetar uma estrutura com um adequado grau de segurança é necessário que se verifique a não ocorrência de uma série de estados limites. Estes estados limites podem ser classificados em estados limites últimos (ELU) e estados limites de serviço (ELS). Os estados limites últimos correspondem à máxima capacidade portante da estrutura. Os estados limites de serviço são aqueles relacionados à durabilidade das estruturas, aparência, conforto do usuário e a boa utilização funcional da mesma, seja em relação aos usuários, seja às máquinas e aos equipamentos utilizados. Nas estruturas de concreto armado, devem ser verificados os seguintes estados limites últimos: a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo rígido; b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, devido às solicitações normais normais e tangenciais; tangenciais; c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando considerando os efeitos de segunda ordem; ordem; d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; dinâmicas; e) estado limite último de colapso progressivo; f) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu todo ou em parte, considerando considerando exposição exposição ao fogo (NBR (NBR 15200); g) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, considerando ações sísmicas (NBR 15421). Os estados limites de serviço, que devem ser verificados nas estruturas de concreto armado, são: a) estado limite de abertura das fissuras; b) estado limite de deformações excessivas; excessivas; c) estado limite de vibrações excessivas. excessivas. Neste trabalho será discutido o estado limite último de esgotamento esgotamento da capacidade resistente resistente devido às solicitações normais.















b) a deformação das barras, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno; c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola-retângulo, com tensão de pico igual a 0,85 f cd cd, conforme a figura

Figura 2.1 – 2.1 – Diagrama Diagrama parábola-retângulo para o concreto comprimido sendo f cd cd a resistência de cálculo do concreto à compressão, determinada por f cd 

f ck

(2.1)

 c onde f ck é a resistência característica do concreto à compressão e c é o coeficiente de minoração da ck é resistência do concreto, tomado, em geral, com o valor de 1,4.

Οs valores a serem adotados para os parâmetros ε c2 (deformação específica de encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e ε cu (deformação específica de encurtamento do concreto na ruptura) são definidos a seguir: - para concretos de classes até C50: εc2 = 2,0 ‰ εcu = 3,5 ‰ - para concretos de classes de C50 até C90: 0,53 f ck εc2 = 2,0 ‰ + 0,085 ‰ .( f ; ck - 50) 4 εcu = 2,6 ‰ + 35 ‰ [(90 - f ck ck )/100]

Esse diagrama pode ser substituído pelo retângulo de profundidade y = λx, onde o valor do















e onde a tensão constante atuante até a profundidade y pode ser tomada igual a: - αc f cd cd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, não diminuir a partir desta para a borda comprimida; - 0,9 αc f cd cd no caso contrário. sendo αc definido como: - para concretos concretos de classes até até C50; α c = 0,85 - para concretos de classes de C55 até C90: αc = 0,85 [1,0 - ( f ck ck - 50) / 200] As diferenças de resultados obtidos com esses dois diagramas são pequenas e aceitáveis, sem necessidade necessidade de coeficiente de correção adicional. e) a tensão nas armaduras é obtida a partir do diagrama tensão deformação, com valores de cálculo; a resistência de cálculo do aço, f yydd, é dada por f yd 

f yk

(2.2)

 s onde f yk é a resistência característica do aço e s é o coeficiente de minoração da resistência do aço, yk é tomado, em geral, com o valor de 1,15.

Figura 2.2 - Diagrama tensão-deformação tensão-deformação para o aço f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 2.3.

















-

ruptura convencional por deformação plástica excessiva:

reta a:

tração uniforme

domínio 1:

tração não uniforme, sem compressão

domínio 2:

flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto (  c <  cu cu e com o máximo alongamento permitido)

-

ruptura convencional por encurtamento limite do concreto:

domínio 3:

flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (   s > yd )

domínio 4:

flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento (   s < yd )

domínio 4a:

flexão composta com armaduras comprimidas

domínio 5:

compressão não uniforme, sem tração

reta b:

compressão uniforme















3 – DIMENSIONAMENTO DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES RETANGULARES DE CONCRETO ARMADO SUJEITAS À FLEXÃO COMPOSTA NORMAL 3.1 – O O problema a ser resolvido Com o propósito de ilustrar o procedimento de cálculo de uma seção de concreto armado submetida a solicitações normais, apresentam-se, neste capítulo, os procedimentos de dimensionamento dimensionamento de seções retangulares à flexão composta normal. O problema a ser resolvido é o seguinte:

DADOS:

geometria: b, h, d, d’ concreto: f ck ck aço: f yk solicitações: N, M

d'

As2

d

h

DETERMINAR: A s1 e A s2 O traço do plano de flexão coincide com um eixo de simetria da seção.

As1

b

Fig. 3.1 – 3.1 – Seção Seção retangular

Para resolver este problema devem ser empregados três tipos de relações, determinadas a partir das hipóteses hipóteses básicas de cálculo apresentadas apresentadas no capítulo capítulo 2:

















domí nio ni o 1: x < 0

 10 ‰ 1

10 ‰

    c d  x d '  x  x d '  x  10 ‰ d  x 2



dom domí nio ni o 4a: 4a: d
 cu

    x x  d x  d ' x  d    cu

2

 c   10 ‰ 

x d  x

1

domínio 2: 

1

   c d  x x  d ' x 2

 c 10 ‰

23



d  x x

10 ‰   cu

  c     x x  d x  d '     c   h x   cu   cu   c   c

d  x

 cu

 c

1

2

2

d

x

  cu   c   h   cu  x  d    c     c   h x   cu   cu  x  d '    c     c   h x   cu   cu  2

x  

1

dom domí nios ni os 3 e 4:

2

2

2

domínio 3: x 23 < x < xlim domínio 4: x lim < x < d

 cu

x > h

2

x  d '

x

domí nio ni o 5: 5:



 10 ‰

x 

x  d '

2

 10 ‰

2

x

   cu

0 < x < x 23

10 ‰

1

    x d  x x  d ' 1

2

2

2

2

2















3.2 – As As relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes As relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes são necessárias para o dimensionamento das seções de concreto armado à flexão composta normal. O estabelecimento destas relações será ilustrado, neste item, para uma situação de dimensionamento de seção retangular submetida à flexão composta normal. Antes, porém, uma observação relativa às solicitações deve ser feita. No equacionamento da solução do problema é mais conveniente trabalhar com o par (N, e 0) do que com o par (N, M), conforme ilustra a Fig. 3.3. As duas situações de solicitação são estaticamente equivalentes. Nd

e0

Md O

Nd

O

Figura 3.3 - Situações estaticamente equivalentes A excentricidade e0 do esforço normal de cálculo pode ser determinada através da expressão M M e0  d  N d N

(3.1)

A Fig. 3.4 apresenta o diagrama para a determinação das relações de equivalência entre esforços atuantes e resistentes. h d d'

Nd















A partir do diagrama da Fig. 3.4 pode-se escrever que N d a c l f f cd A s1  1 d = cd b x + A s2  2 – A N d e1 = a c l f f cd (d – 0,5 0,5 l x) x) + A s2  2 (d - d’) cd b x (d –

(3.2) (3.3)

onde e0  e1  e2 

M d M N d



d  d ' 2

d  d ' 2

N

 e0

(3.2)

 e0

Nestas duas expressões aparecem cinco valores que não podem ser determinados diretamente dos dados do problema de dimensionamento: A s1 , A s2 , x,  1 ,  2. Estas seriam as incógnitas do problema. Na verdade, os valores de  1 e  2 são dependentes do valor de x e não são, portanto, incógnitas adicionais. Assim, para se encontrar a solução do problema de dimensionamento, deve-se resolver um sistema de duas equações e 3 incógnitas. Este problema apresenta solução indeterminada e tem, portanto, infinitas soluções possíveis.

3.3 – Dimensionamento Dimensionamento de seções retangulares submetidas à flexo-compressão f lexo-compressão normal Para escolher uma solução particular, dentre as infinitas possíveis, para o problema de dimensionamento de seções retangulares de concreto armado à flexo-compressão normal, deve-se arbitrar uma relação adicional entre as incógnitas. Serão estudadas duas soluções particulares: solução de armaduras assimétricas (A s1+As2  mínimo) e a solução das armaduras simétricas (As1=As2).

3.3.1 - Armaduras assimétricas Para estabelecer-se o que vai ser arbitrado, dividem-se os problemas de flexo-compressão em 3 situações:

(a) Flexo-compressão com grande excentricidade (A s1 0 e tracionada – domínios domínios 2 ou 3) Abrange todos os casos em que só é possível equilibrar os esforços solicitantes, utilizandose armadura simples (de tração) ou dupla (de tração e de compressão).

















(a) Flexo-compressão com grande excentricidade Na flexo-compressão flexo-compressão com grande excentricidade, é necessária uma armadura tracionada para equilibrar os esforços atuantes. A situação de dimensionamento deve cair dentro dos domínios 2 ou 3, para que a solução seja econômica ( 1  yd  1 = f yydd). Pode-se ter solução com armadura simples (As2 = 0) ou com armadura dupla (x = x lim).

(a.1) Armadura simples h d

N d f cd A s1 f yd a c l f d = cd b x – A N d e1 = a c l f f cd (d – 0,5 0,5 l x) x) cd b x (d – Nd

têm-se 2 equações x 2 incógnitas (A s1, x) e1 O c f cd cd

As1 f yd yd

c

f cd cd b x x

x

Figura 3.5 – 3.5 – Grande Grande excentricidade - armadura simples

(a.2) Armadura dupla

Para assegurar que 1 = f yydd, usa-se esta solução somente para x < x lim (1  yd) [domínios 2 ou 3], ou seja, seja, para N d e1  Mdlim. M dlim f cd (d – 0,5 0,5 l x xlim ) dlim = a c l f cd b xlim (d –















Observação: Observação: excentricidades de N d (d-d')/2

(d-d')/2 Nd

e1

e1  e0 

e0 e2

e 2  e0 

O

(d-d')/2

d  d ' 2 d  d ' 2

(d-d')/2 Nd e1

e1 

e2 e0

e2 

O

+

d  d ' 2 d  d ' 2

 e0  e0

e2

Figura 3.7 – 3.7 – Excentricidades Excentricidades do esforço normal

Transição entre a flexo-compressão com grande excentricidade e a flexo-compressão com















Figura 3.8 – 3.8 – Transição Transição FCGE-FCPE 

quando e0 < (d-d’)/2 (d-d’)/2 h d

Fazendo o equilíbrio à rotação, em relação à armadura As2, tem-se

d'

Nd e2 = a c l f cd As1 f yydd (d-d’) (d-d’) cd b xlim (0,5 l xlim –d’) – A Nd e2 e0

A s1 

O c f cd cd

As1 f yd yd

c

f cd cd b xlim

As2

a c l f cd b xlim 0,5 l xlim  d '  N d e2 f yd d  d '

2

xlim xlim

e2 

a c l f cd b xlim 0,5 l xlim  d ' N d

Figura 3.9 – 3.9 – Transição Transição FCGE-FCPE

(b) Flexo-compressão com pequena excentricidade Nesta situação, situação, tem-se apenas apenas uma armadura de compressão compressão (A s1 = 0).

0















Transição entre a flexo-compressão com pequena excentricidade e a compressão compressão composta Pode-se aumentar a zona com tensão igual a ac f cd cd até uma altura l x = h (ou x = h/ l). A partir daí, toda a seção de concreto concreto está submetida submetida à tensão ac f cd cd. h

Assim, o máximo momento N d e2, que a seção pode resistir, sem a armadura A s1 de compressão, é

d'

N d h – d’) d’) d e 2 = a c f cd cd b h (0,5 h – Nd

ou

e2 O c f cd cd

c f cd cd b

h

As2

e2 

a c f cd b h 0,5 h  d ' N d

2

Figura 3.11 – 3.11 – Transição Transição FCPE-CC

Para aumentar o momento N d e2 seria necessário acrescentar A s1, que contribuiria com a parcela adicional As1 1 (d-d’). (d-d’). Assim, tem-se tem-se flexo-compressão com pequena excentricidade quando e2 

a c f cd b h 0,5 h  d '

N d Para e maior do que este valor se tem compressão composta. composta.















Situação em que não é necessário armadura teoricamente h d'

Nd e2 O c f cd cd

c f cd cd b

2 (e 2+d')

e2+d'

e2+d'

Figura 3.13 – 3.13 – Situação Situação em que não é necessário armadura

Não é necessário necessário colocar armadura, armadura, teoricamente, teoricamente, se N d  a c f cd b 2 e2

 d '

ou e2  d ' 

N d 2

f b

















Exemplos: b = 25 cm; h = 50 cm; d = 45 cm; d’ = 5 cm 2 2 C25: f ck ck = 25 MPa = 2,5 kN/cm ; f cd cd = 2,5 /1,4 = 1,786 kN/cm

CA-50: f yd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm 2;  yd = f yd / E s = 2,07 ‰

xlim 

3 ,5‰  cu d  d  0 ,628 d  28 ,26 cm   2 , 07 ‰ 3 5 ‰  , ε yd cu

M dlim – 0,5 0,5 l x xlim ) = 0,85.0,8.1,786.25.28,2 0,85.0,8.1,786.25.28,26(45-0,5.0,8.28,26 6(45-0,5.0,8.28,26)) = 289,12 kN.m dlim = a c l f cd cd b xlim (d

e2GP  PC e2 

e2  0

a c l f cd b xlim 0,5 l xlim  d ' N d



0,85.0,8.1,786.25.28,26(0,5.0,8.28,26  5) 5409 kN . cm

N d

a c f cd b h 0,5 h  d ' 0,85.1,786.25.50(0,5.50  5) 37953 kN . cm   N d N d N d N d

 d ' 

N d

5

N d

 5 cm



N d















Exemplo 2: M = 150 kN.m N = 800 kN  N N d 1,4.800 = 1120 kN d = e0 

M 15000

  18 ,75 cm N 800 d  d ' 45  5 e1   e0   18 ,75  38 ,75 cm 2 2 d  d ' 45  5 e2   e0   18 ,75  1 ,25 cm 2 2 e02 

1120 75 ,91

 eGP 2 N

 5  9 ,75 cm  e 2

5409 1120

 precisa precisa armadura

 4 ,83 cm  e 2  flexo-compressão flexo-compressão com grande excentricidade

= (1120kN) (0,3875m) = 434,0 kN.m > M

= 289,12 kN.m

armadura dupla  armadura















Exemplo 4: M = 100 kN.m N = 1250 kN  N N d d = 1,4.1250 = 1750 kN e0 

M 10000

  8 cm N 1250 d  d ' 45  5 e1   e0   8  28 cm 2 2 d  d ' 45  5 e2   e0   8  12 cm 2 2 e02 

1750 75 ,91

eGP 2  N

 5  18 ,05 cm  e 2

5409 1750

 precisa precisa

 3 ,09 cm  e 2  e 2PC 

l f f b x + A

(1)

armadura

37953 1750

flexo-compressão com pequena pequena excentricidade excentricidade  21 ,69cm  flexo-compressão















GP  5409

e2

2800

 1 ,93 cm ; e PC 2 

37953 2800

compressão composta  13 ,55 cm; e 2  e 2PC  compressão

N d (d-d’) d e1 = a c f cd cd b h (d-0,5 h)+A s2  2(d-d’) N d h- d’)+A s1  1(d-d’) (d-d’) d e2 = a c f cd cd b h(0,5 h-d’)+A

(1) (2)

Fixar x =   2   yd = 2,07 ‰        c   ‰   1 =  2 = 21.000 . 2/1000 = 42 kN/cm <  (2): A s1 

2800.15 - 0,85.1,786 .25.50(0,5.50 - 5)

(1): A s2 

2800.25 - 0,85.1,786 .25.50(45 - 0,5.50)

42(45 - 5)

42(45 - 5)

 2 ,41cm2  19 ,08 cm2















3.3.2 - Armaduras simétricas Vantagens da utilização da solução de armaduras simétricas:  evitar a inversão das armaduras  solução mais econômica nos casos de solicitações alternadas h d d'

Nd e0 e1

ESFORÇOS ATUANTES

e2 O c f cd cd

ESFORÇOS RESISTENTES

















Equacionamento Equacionamento da solução:

Caso 1:

h d d'

e0 > (d-d’)/2 (d-d’)/2 0  x  d (domínios 2, 3 ou 4) esforço normal atua fora das duas armaduras















Caso 3:

h d d'

e0 < (d-d’)/2 (d-d’)/2 d  x  h/l (domínios 4a ou 5) N d f cd 2 + 1 ) (1) d = a c l f cd b x + A s ( 

Nd

e1 e0 O

e2

N d e1 =a c l f f cd x)+A s2  2(d-d’) (d-d’) (2) cd b x(d-0,5 l x)+A















Caso 4:

h d d'

e0 < (d-d’)/2 (d-d’)/2 x  h/l (domínio 5)















Transições: O caso 1 corresponde às situações onde o esforço normal está atuando fora das duas armaduras. Por equilíbrio, a armadura As1 obrigatoriamente tem que estar tracionada (x (d-d’)/2 (d-d’)/2 ou e2<0. Nos casos 2, 3 e 4, o esforço normal está atuando entre as duas armaduras. Ou seja, nestes casos, tem-se e0 < (d-d’)/2. (d- d’)/2. É necessário utilizar uma relação adicional para identificar qual é exatamente a situação de dimensionamento. dimensionamento. h

Transição 2-3:

d d'















Exemplos: b = 25 cm; h = 50 cm; d = 45 cm; d’ = 5 cm 2 2 C25: f ck ck = 25 MPa = 2,5 kN/cm ; f cd cd = 2,5 /1,4 = 1,786 kN/cm

CA-50: f yd = 50/1,15 = 43,48 kN/cm 2;  yd = f yd / E s = 2,07 ‰

x23 

 cu  cu 10 ‰

d 

3 ,5‰ 3 ,5‰ 10‰

d  0 ,259 d 11,66 cm

















Exemplo 1:















Exemplo 2:















Exemplo 3:















Exemplo 4:















3.4 - Dimensionamento de seções retangulares de concreto armado submetidas à flexo-tração normal































































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