INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERIA MECANICA Y ELECTRICA UNIDAD PROFESIONAL AZCAPOTZALCO
ASIGNATURA: Resistencia De Materiales II
PROFESOR: Jorge Gómez Villareal
TRABAJOS: Muelles (Ballestas, Resortes Helicoidales); Flexo-torsión
ALUMNO: Castillo Martínez Jesús
BOLETA: 2009360099
GRUPO: 5RM1
Flexo-torsión.
En los perfiles abiertos de paredes delgadas co n dos ejes de simetría (centro de corte coincidente con el centro de gravedad), el pandeo puede darse según algunos de estos ejes o por torsión. En el caso de tener un sólo eje de simetría o ninguno, la pieza puede fallar por alguno de estos tres casos o por una combinación de flexión con torsión, lo que se denomina ³Pandeo por Flexo-torsión´. Ecuación general de pandeo:
Cuando se estudia la flexión simple se obtiene que:
Y el Mx está dado por:
Análogamente para el otro eje:
Por otra parte, al estudiar el problema de estabilidad, se obtiene según el eje y:
Según el eje X:
Derivando 3 y 4:
Reemplazando en 1 y 2:
Luego para encontrar la ecuación general de pandeo, provocaremos una perturbación infinitesimal en las direcciones x e y, compuestas con una rotación . (Figura 1)
Como se observa en la figura 1, se dan a la sección, los desplazamientos X e Y, y un giro que se verifica alrededor del centro de corte de la misma (M); pero como éste también se ha desplazado el giro es alrededor de su nueva posición (M¶). Las nuevas coordenadas del centro de gravedad (G) serán:
Pero:
Análogamente:
Como la carga está ubicada en el centro de gravedad, al desplazarse éste, segeneran los momentos:
Reemplazando en 3 y 4:
Y
Considerando un punto cualquiera sobre la línea media de la sección, como porejemplo el punto B (XB, YB), su desplazamiento será similar al de G:
Reemplazando 11 y 12 en 5 y 6:
Tomando Momento torsor con respecto al centro de corte y siendo:
Integrando a lo largo de to da la línea media de la sección:
Llamando:
T(z) es un momento torsor distribuido en la longitud de la pieza. En la ³referencia 1´se calculó el momento torsor que absorbe un perfil abierto de paredes delgadas cona labeo restringido, cuando el momento aplicado es constante a lo largo de la pieza.
Por lo tanto para obtener la expresión correspondiente al caso de un momentodistribuido se hace:
Reemplazando 13 en 14
Resolvemos la ecuación general para el caso que presenta las siguientescondiciones de borde: En z = 0 y z = L; X = Y = 0; O sea:
y además
Proponiendo la siguiente solución:
Reemplazando en 9 y 10:
De la 15
Se obtuvo entonces un sistema de 3 ecuaciones (16, 17 y 18) con tresincógnitas (A1, A2 y A3); para encontrar una solución única el determinante deberáser nulo:
Considerando ahora el caso en que el centro de corte coincida con el centro de gravedad, de las ecuaciones 16, 17 y 18 se obtiene:
Estas ecuaciones dan las cargas críticas de pand eo por flexión en ambos ejes y portorsión. La menor de estas tres será la carga crítica de la columna y deter minaráentonces la forma de pandeo de la misma. Considerando las 20, 21 y 22; y desarrollando 19 en P, se obtiene la ecuacióngeneral de pandeo por flexo-torsión:
Para el caso de tener un solo eje de simetría se debe resolver el determinantereducido, suponiendo YM = 0, se obtiene:
Para el caso de tener dos ejes de simetría, las cargas se calculan por las ecuaciones20, 21 y 22. La carga crítica será entonces la menor de las tres.
