Univerzitet u Beogradu Građevinski fakultet Katedra za geodeziju i geoinformatiku
INŽENJERSKA GEODEZIJA 2 Deformaciona analiza
Prof. dr Zagorka Gospavić dipl. inž. geod.
Školska 2012/2013. godina
Šta je cilj deformacione analize? 2
Ispitivanje pomeranja tla (zbog potencijalnih klizišta i sl.) Pravovremeno utvrđivanje geometrijskih nepravilnosti na objektu (pomaka i deformacija) nastalih tokom njegove eksploatacije kako bi se izbegle ljudske žrtve i velika materijalna šteta uzrokovana potencijalnim urušavanjem objekta, njegovim pucanjem i sl.
* U nastavku je razmatrana deformaciona analiza objekata
3
Kako se objekat prostorno i vremenski modeluje?
Geometrijski aspekt
Vremenski aspekt
Realan objekat
Modelovanje objekta
Objekat je kontinuirana figura
Objekat je diskretizovan pomoću karakterističnih tačaka
Objekat se posmatra u Objekat je permanentno određenom vremenskom u pokretu intervalu
Šta čini geodetsku kontrolnu mrežu? 4
Geodetsku kontrolnu mrežu nekog objekta čine tačke objekta koje se nalaze u zoni deformacija (mreža tačaka na objektu) povezane merenjima sa tačkama van objekta koje se nalaze van zone deformacija (osnovna geodetska kontrolna mreža) Geodetska kontrolna mreža objekta Osnovna geodetska kontrolna mreža
+
Mreža tačaka na objektu
Tačke geodetske kontrolne mreže koje se nalaze na objektu moraju biti pozicionirane i stabilizovane tako da na najbolji način aproksimiraju ponašanje objekta
Stabilizacija tačaka na objektu bi se trebala vršiti u saradnji sa građevinskim stručnjacima
5
Na čemu se zasniva ispitivanje stabilnosti tačaka geodetske kontrolne mreže?
Ispitivanje stabilnosti tačaka geodetske kontrolne mreže objekta zasniva se na analizi geodetskih merenja izvršenih u više epoha (geodetska merenja izvršena u više navrata, pri čemu je između uzastopnih merenja protekao određeni vremenski period) Postoje različiti deformacioni modeli koji na različite načine tretiraju (modeliraju) deformacije geodetskih kontrolnih mreža Neki od tih deformacionih modela uzimaju u obzir protekli vremenski period između epoha, dok drugi to zanemaruju
Deformacioni modeli 6
Deformacioni modeli Opisni modeli Model kongruencije (podudarnosti)
Uzročno-posledični modeli Kinematički model
Statički model
Dinamički model
7
U kojem od prethodnih modela se uzima u obzir vreme proteklo između epoha?
Model kongruencije (podudarnosti) ne uzima u obzir vremenski aspekt, tj. on podrazumeva da su deformacije nezavisne od vremena proteklog između epoha Kinematički model podrazumeva da su deformacije u funkciji vremena proteklog između epoha Dinamički model podrazumeva da su deformacije posledica uzročnih sila u funkciji vremena
Model kongruencije (podudarnosti) 8
U nastavku je razmatran model kongruencije (podudarnosti) koji je ujedno i najjednostavniji deformacioni model Ovaj model je zasnovan na statističkom ispitivanju podudarnosti koordinata tačaka dobijenih izravnanjem merenja iz dve epohe Svaka epoha merenja izravnava se nezavisno uz pretpostavku da su merene veličine oslobođene uticaja grubih i sistematskih grešaka Kao što je istaknuto na prethodnom slajdu, vreme proteklo između dve epohe nije bitno za ovu vrstu analize, tj. ne uzima se u obzir
Kako se izravnavaju epohe merenja? 9
Merenja u svakoj od epoha se izravnavaju po metodi najmanjih kvadrata (Gaus-Markovljev model) Prilikom izravnanja datum se definiše minimalnim tragom na svim tačkama mreže ili minimalnim tragom na delu tačaka mreže (tačke za koje je prethodno geološkim i nekim drugim ispitivanjima utvrđeno da su stabilne)
Metode zasnovane na modelu kongruencije 10
Za utvrđivanje (ne)podudarnosti tačaka između epoha mogu se koristiti različite metode:
Pelcerova metoda (u literaturi poznata i kao Hanoverski postupak)
Kasparijeva metoda
Metoda Delft
Metoda Karlsrue
Metoda Velša
* U nastavku je detaljno opisana Pelcerova metoda otkrivanja nestabilnih tačaka u geodetskoj kontrolnoj mreži objekta
Algoritamski prikaz Pelcerove metode 11
Izravnanje pojedinih epoha merenja da
Globalni test podudarnosti cele geodetske kontrolne mreže objekta ne da
Globalni test podudarnosti osnovne geodetske kontrolne mreže ne
Lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne geodetske kontrolne mreže Globalni test podudarnosti mreže tačaka na objektu ne
Lokalizacija nestabilnih tačaka na objektu KRAJ
da
Homogena tačnost opažanja dve epohe 12
Pelcerova metoda podrazumeva da su dve epohe merenja izravnate nezavisno po metodi najmanjih kvadrata, pri čemu je datum geodetske kontrolne mreže objekta definisan minimalnim tragom na svim tačkama mreže (minimalnim tragom matrice Qxˆ) Iz izravnanja pojedinačnih epoha dobijaju se a posteriori varijanse jedinice težine - s12 za prvu, odnosno s22 za drugu epohu merenja Neophodno je sa odgovarajućom verovatnoćom utvrditi da li su pomenute varijanse jednake, tj. da li opažanja u obe epohe imaju homogenu tačnost
13
Homogena tačnost opažanja dve epohe - nastavak
U tu svrhu se postavljaju nulta i alternativna hipoteza:
H 0 : E ( s12 ) = E ( s22 ) = σ 2
H a : E(s12 ) ≠ E(s22 ) ≠ σ 2
Formira se test statistika:
s12 F = 2 ~ F1−α , f1 , f 2 s2
H0
f1 - broj stepeni slobode iz prve epohe f 2 - broj stepeni slobode iz druge epohe U slučaju da važi F < F1−α , f1 , f 2 , tj. da se prihvata nulta hipoteza
(tačnost opažanja je homogena u dve epohe), određuje se jedinstvena empirijska varijansa koja reprezentuje homogenu tačnost opažanja u obe epohe: 2 2 f s + f s 2 2 s2 = 1 1 f1 + f 2
14
Globalni test podudarnosti cele geodetske kontrolne mreže objekta
Pod pojmom „podudarnosti mreže u dve epohe“ podrazumeva se stabilnost tačaka u toj mreži
Tačke su podudarne ukoliko su zadržale svoj položaj između dve epohe
Podudarnost mreže utvrđuje se pomoću odgovarajućih testova matematičke statistike
Postavljaju se nulta i alternativna hipoteza:
H 0 : E ( xˆ1 ) = E ( xˆ2 ) ⇒ H 0 : E (dˆ ) = 0 H a : E ( xˆ1 ) ≠ E ( xˆ2 ) ⇒ H a : E (dˆ ) ≠ 0 xˆ1 - vektor ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže iz prve epohe xˆ2 - vektor ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže iz druge epohe dˆ = xˆ2 − xˆ1 - vektor razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže iz dve epohe
Globalni test podudarnosti cele geodetske kontrolne mreže objekta - nastavak
15
Na osnovu razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže određuje se empirijski standard θ koji sadrži informaciju o pomeranju tačaka, pa se naziva još i „srednjim neuklapanjem“ ili rascepom:
ˆ T Q + dˆ d dˆ θ2 = h
Qd+ˆ - pseudoinverzija kofaktorske matrice razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže
Qdˆ = Qxˆ1 + Qxˆ2
h = rang (Qd+ˆ )
Rascep se upoređuje sa jedinstvenim empirijskim standardnim odstupanjem koje pruža informaciju o tačnosti opažanja u obe epohe
Globalni test podudarnosti cele geodetske kontrolne mreže objekta - nastavak
16
Formira se test statistika:
F=
θ2 s
2
~ F1−α ,h , f
H0
U slučaju da važi F < F1−α , h , f ( f = f1 + f 2 - ukupan broj stepeni slobode u obe epohe) prihvata se nulta hipoteza, što znači da su tačke podudarne u dve epohe, tj. njihove ocenjene vrednosti koordinata se ne razlikuju između epoha
Odbacivanje nulte, tj. prihvatanje alternativne hipoteze znači da u geodetskoj kontrolnoj mreži objekta ima nestabilnih tačaka
Ono što sledi u tom slučaju je podela tačaka geodetske kontrolne mreže objekta na tačke osnovne geodetske kontrolne mreže S i tačke na objektu O i nastavak testiranja podudarnosti tačaka
17
Globalni test podudarnosti osnovne geodetske kontrolne mreže
Testiranje podudarnosti tačaka osnovne geodetske kontrolne mreže (skraćeno: tačaka osnovne mreže) vrši se nakon što se statističkim testom utvrdi da u geodetskoj kontrolnoj mreži ima nestabilnih tačaka
Postavljaju se nulta i alternativna hipoteza:
H 0 : E ( xˆ S1 ) = E ( xˆ S 2 )
H a : E ( xˆ S1 ) ≠ E ( xˆ S 2 )
xˆ S1 - vektor ocenjenih vrednosti koordinata tačaka osnovne mreže iz xˆ S 2
prve epohe - vektor ocenjenih vrednosti koordinata tačaka osnovne mreže iz druge epohe
Vrši se podela vektora razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže iz dve epohe dˆ , kao i dekompozicija kofaktorske matrice razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže Qdˆ (tačnije njene pseudoinverzije)
18
Globalni test podudarnosti osnovne geodetske kontrolne mreže - nastavak
⎡ dˆS ⎤ - vektor razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka osnovne mreže iz dve epohe ˆ d =⎢ ⎥ ⎣dˆO ⎦ - vektor razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka na objektu iz dve epohe
⎡ PSS Q = Pdˆ = ⎢ ⎣ POS + dˆ
PSO ⎤ POO ⎥⎦ dˆ T Qd+ˆ dˆ = dˆST PSS dˆS + d OT POO d O
neuklapanje tačaka osnovne mreže
neuklapanje tačaka na objektu
−1 −1 PSS = PSS − PSO POO POS , d O = dˆO + POO POS dˆS
Srednje neuklapanje tačaka osnovne mreže računa se na osnovu izraza: dˆST PSS dˆS 2 θS = hS gde je hS = rang (PSS )
19
Globalni test podudarnosti osnovne geodetske kontrolne mreže - nastavak
Formira se test statistika:
F=
θ S2 s
2
~ F1−α ,hS , f
H0
U slučaju da važi F < F1−α ,hS , f prihvata se nulta hipoteza, što znači da su tačke osnovne mreže podudarne u dve epohe, tj. njihove ocenjene vrednosti koordinata se ne razlikuju između epoha
Odbacivanje nulte, tj. prihvatanje alternativne hipoteze znači da u osnovnoj mreži ima nestabilnih tačaka
Ono što sledi u tom slučaju je lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne mreže
20
Lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne geodetske kontrolne mreže
Lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne mreže vrši se nakon što se statističkim testom utvrdi da u osnovnoj mreži ima nestabilnih tačaka
Vrši se podela vektora razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka osnovne mreže iz dve epohe dˆS , kao i dekompozicija odgovarajuće matrice PSS
⎡dˆF ⎤ ˆ dS = ⎢ ⎥ ⎣ dˆB ⎦
⎡ PFF PSS = ⎢ ⎣ PBF
- vektor razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka osnovne mreže koje se uslovno smatraju stabilnim - vektor razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačke osnovne mreže koja se uslovno smatra nestabilnom
PFB ⎤ PBB ⎥⎦
21
Lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne geodetske kontrolne mreže - nastavak dˆST PSS dˆS = dˆFT PFF dˆF + d BT PBB d B neuklapanje tačaka osnovne mreže koje se uslovno smatraju stabilnim
neuklapanje tačke osnovne mreže koja se uslovno smatra nestabilnom
−1 −1 PFF = PFF − PFB PBB PBF , d B = dˆB + PBB PBF dˆF
Srednje neuklapanje tačke osnovne mreže koja se uslovno smatra nestabilnom računa se na osnovu izraza: T d P d θ 2j = B BB B hB gde je hB = rang ( PBB )
22
Lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne geodetske kontrolne mreže - nastavak
Ako osnovnu mrežu čini k tačaka, određuje se k vrednosti srednjih neuklapanja (za svaku tačku osnovne mreže po jedna vrednost); to zapravo znači da lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne mreže podrazumeva onoliko iteracija koliko ukupno ima tačaka osnovne mreže, pri čemu se u svakoj iteraciji jedna tačka osnovne mreže uslovno smatra nestabilnom, a sve ostale tačke stabilnim
Od k vrednosti srednjih neuklapanja uočava se najveća vrednost: 2 θ max = max θ j2 , j = 1,2,..., k i tačka čije je to srednje neuklapanje smatra se nestabilnom tačkom
Zatim se računa srednje neuklapanje preostalih tačaka osnovne mreže (onih koje se uslovno smatraju stabilnim): T ˆ ˆ d 2 F PFF d F θ REST = hF gde je hF = rang (PFF )
23
Lokalizacija nestabilnih tačaka osnovne geodetske kontrolne mreže - nastavak
Formira se test statistika:
F=
2 θ REST
s
2
~ F1−α ,hF , f
H0
U slučaju da važi F < F1−α ,hF , f prihvata se nulta hipoteza, što znači da su preostale tačke osnovne mreže podudarne u dve epohe, tj. tačke koje su uslovno smatrane stabilnim su zaista i stabilne
Odbacivanje nulte, tj. prihvatanje alternativne hipoteze znači da postoji još nestabilnih tačaka osnovne mreže
Postupak lokalizacije nestabilnih tačaka osnovne mreže se ponavlja sve dok ne bude zadovoljen uslov F < F1−α ,h , f F
Kada se za neku tačku osnovne mreže utvrdi da je nestabilna, potrebno + je iz matrice Qdˆ izbaciti vrstu i kolonu koje se odnose na tu tačku (vrste i kolone ako je u pitanju 2D mreža); na taj način se u svakoj narednoj + Q iteraciji smanjuju dimenzije matrice dˆ
24
Globalni test podudarnosti mreže tačaka na objektu
Radi ispitivanja pomeranja tačaka na objektu vektor razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka geodetske kontrolne mreže objekta dˆ deli se na dva subvektora - dˆF u koji su svrstane razlike koordinata tačaka osnovne mreže koje su prethodno identifikovane kao stabilne i dˆO u koji su svrstane razlike koordinata tačaka na objektu, kao i razlike koordinata onih tačaka osnovne mreže koje su prethodno identifikovane kao nestabilne
Saglasno pomenutoj podeli vrši se i dekompozicija kofaktorske matrice razlika ocenjenih vrednosti koordinata tačaka mreže Q ˆ (tačnije njene d pseudoinverzije) ˆ ⎤ ⎡ d dˆ = ⎢ F ⎥ ⎣dˆO ⎦ ⎡ PFF PFO ⎤ + Qdˆ = Pdˆ = ⎢ ⎥ ⎣ POF POO ⎦
25
Globalni test podudarnosti mreže tačaka na objektu - nastavak
Srednje neuklapanje tačaka na objektu računa se na osnovu izraza: T d P d θO2 = O OO O hO −1 gde je h = rang ( P ) i d = dˆ + P P dˆ O
Formira se test statistika:
F=
O
OO
θ O2 s
2
O
OO OF
~ F1−α ,hO , f
F
H0
U slučaju da važi F < F1−α ,hO , f prihvata se nulta hipoteza, što znači da su tačke na objektu podudarne u dve epohe, tj. njihove ocenjene vrednosti koordinata se ne razlikuju između epoha
Odbacivanje nulte, tj. prihvatanje alternativne hipoteze znači da postoje nestabilne tačke na objektu
Ono što sledi u tom slučaju je lokalizacija nestabilnih tačaka na objektu koja se izvodi analogno lokalizaciji nestabilnih tačaka osnovne mreže
I za kraj... 26
