5.7 Aplicación de la integral triple en coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. INTEGRAL TRIPLE EN COORDENADAS CARTESIANAS Teorema de Fubini Sea f una función continua en una región D.
son funciones continuas en sus dominios. Entonces:
Ejemplo: Hallar la integral triple de f (x,y,z) = z, extendida a la región D, limitada por los planos y = 0, x + y = 2, 2y + x = 6 y el cilindro
regiones comunes, como esferas, elipsoides, conos o paraboloides, dan lugar a integrales triples difíciles de calcular en coordenadas rectangulares por lo que hay que convertirlas en coordenadas cilíndricas. x = r cos y = r sen z=z
Para obtener la expresión en coordenadas cilíndricas de una integral triple, supongamos que Q es una región sólida cuya proyección R sobre el plano xy puede describirse en coordenadas polares. Esto es:
Si f es una función continua sobre el sólido Q, podemos escribir la integral triple de f sobre Q como:
Donde la integral doble sobre R se calcula en polares. Es decir, R es una región plana r-simple o . Si R es r-simple, la forma iterada de la integral triple en forma cilíndrica es:
Las integrales triples que involucran esferas o conos suelen ser más fáciles de calcular en coordenadas esféricas. Conversión de coordenadas rectangulares a esféricas son:
En este sistema de coordenadas la región más simple es un bloque esférico determinado por:
La integral triple en coordenadas esféricas para una función continúa f definida sobre el sólido Q:
Del mismo modo que en las cilíndricas, las integrales triples en coordenadas esféricas se calculan mediante integrales iteradas.
Nota: la letra griega
es utilizada en coordenadas esféricas no tiene nada que ver
con la densidad. No es sino el análogo tridimensional de la r usada en polares.
Ejemplo: Calcular el volumen de la región sólida Q acotada por abajo por la hoja superior del cono
y por arriba por la esfera
.
En coordenadas esféricas la ecuación de la esfera es:
La esfera y el cono se cortan cuando:
Como
entonces:
En consecuencia podemos usar el orden de integración
