Lic. María Teresa Pacios
Cálculo III-Integrales Triples
INTEGRAL TRIPLE Todas las consideraciones hechas para la integración de funciones reales de dos variables variables reales se extienden a funciones reales de tres variables reales a la que llamaremos integrales triples. Las integrales triples se calculan sobre regiones regiones espaciales (regiones tridimensionales) tridimensionales) y se integran 3 f : D R R funciones reales de tres tres variables. variables. Si es continua; D cerrada, acotada y con x, y, z u volumen la integral triple de f en D se indica
f x, y, z dx dy dz . D
La definición, criterio criterio de integrabilidad y propiedades de las integrales integrales triples son un extensión inmediata de la definición, criterio criterio de integrabilidad y propiedades de las integrales integrales dobles. ¿Cómo se calculan las integrales triples? Al igual que las dobles se transforman en integrales simples sucesivas. Mientras la integral inte gral doble se transforma para calcularse en dos integrales simples sucesivas, la triple se transforma en tres. Cada una de esas integrales se realiza respecto de una de las variables independientes en la función que qu e se integra. CÁLCULO DE UNA INTEGRAL TRIPLE Teorema (Cálculo de una integral integral triple mediante mediante integrales sucesivas en una región región rectangular)
Sea D = x, y, z R 3 : a1 x b1 , a 2 y b2 , a3 z b3 i 1, 3 ai R bi R y f : D R 3 R continua en D. x, y, z f x, y, z Entonces
b1
b2
b3
a1
a2
a3
f x, y, z dx dy dz = dx dy f x, y, z dz D
Hay seis órdenes órdenes posibles de integración, en todos ellos los seis límites límites de integración son constantes. ¿Cuáles son? Definición
Una región D contenida en R 3 se dice simple sii toda paralela a los ejes coordenados intersecta a la frontera de D en a lo sumo dos puntos o en los puntos de un segmento rectilíneo de la frontera. Una región espacial D que puede ser descripta como sigue: D = x, y, z R 3 : a x b, x y x h x, y z g x, y a, b R
con : a, b R y : a, b R continuas en a, b , h : D R 2 R y g : D R 2 R continuas en D = x, y R 2 : a x b x y x y todas las que tienen su forma son regiones simples respecto al eje OZ, pues las rectas paralelas a dicho eje cortan a la frontera de D en a lo sumo en dos puntos o en los de un segmento de la frontera. Teorema (Cálculo de la integral triple en una región r egión no rectangular, cerrada, acotada y simple
respecto al eje OZ) Sea
f : D
R
x, y, z f x, y, z continua en D definida como sigue: D =
con 2014
x, y, z R 3 : a x b, x y x h x, y z g x, y a, b R : a, b R
y
: a, b R
continuas en a, b , 1
Lic. María Teresa Pacios h : D R
2
Cálculo III-Integrales Triples g : D R
R y
2
R continuas en D = x, y R 2 : a x b x y x
Entonces f es integrable en D y vale: b
x
g x , y
a
x
h x , y
f x, y, z dx dy dz dx dy f x, y, z dz D
El teorema también vale si D es simple respecto de uno cualquiera de los ejes coordenados. ¿Cómo se expresa la tesis en estos casos? Si D es simple (simple respecto de los tres ejes coordenados) hay seis órdenes posibles de integración. En todos ellos los límites de la integral externa son constantes, los de la intermedia dependen sólo de la variable que se integra en último término. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Si en la integral
f x, y, z dx dy dz ,
x, y, z D
f x, y, z 1
tenemos
D
dx dy dz =
V( D) (volumen de D)
D
Ejemplo
Expresar mediante una integral triple el volumen del sólido situado en el primer octante y limitado por los planos coordenados y los planos de ecuaciones x a, y a, z a. . z
En la figura se muestra al sólido cuyo volumen buscamos. Éste se expresa mediante la integral siguiente: a
V T
a
a
a
dx dy dz dx dy dz 0
T
0
O
0
Sabemos que su resultado es a 3.
x
T D
a
y
a
CAMBIO DE VARIABLES DE INTEGRACION Al igual que en las integrales dobles, el cálculo de las integrales triples puede simplificarse introduciendo nuevas variables. El cambio de variables de integración en una integral triple se hace según el siguiente teorema. Teorema Sea g : U R 3
R 3
u, v, w xu, v, w, yu, v, w, z u, v, w U abierto de R
3
tal que:
g es continuamente diferenciable en U g es inyectiva en U x u x v x w
P U det g P y u
y v
y w
z u
z v
z w
0 P
Si D U es una región cerrada y acotada cuya frontera tiene volumen nulo tal que g D D y f : D R 3 R es continua. Entonces
f x, y, z dx dy dz = f g u, v, w det g u, v, w
D g D
2014
'
D
du dv dw
'
2
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w
z
f U
g O
D D O
O
v
u
y
x
Cuando se cumplen las hipótesis y utilizamos el teorema, decimos que la aplicación “ g” es la que realiza el cambio de variables. Este teorema admite una importante generalización que nos permite efectuar, entre otros, los cambios de variables empleando las aplicaciones de coordenadas cilíndricas y esféricas. Esta generalización muestra que la tesis del teorema sigue siendo válida, aún cuando las dos últimas hipótesis para la aplicación “ g ”, fallan en un subconjunto de volumen nulo de U . APLICACIONES DEL TEOREMA i) COORDENADAS CILÍNDRICAS Sabemos que cada punto del espacio tridimensional se puede asociar con una terna x, y, z , sus coordenadas cartesianas ortogonales, que miden la distancia del punto a cada plano coordenado. Pero no es esta terna la única que permite ubicar un punto P en el espacio. Si llamamos “ ” a la norma del vector posición de P , proyección z de P en el plano XOY, “ ” al ángulo positivo, comprendido entre 0 y 2 , que dicho vector P forma con la dirección positiva del eje OX y “z” la coordenada cartesiana z de P ; a cada z punto P le podemos asociar una terna , , z y O y tal que: x P 0 , 0 2 y z . x Estas son las coordenadas cilíndricas de P respecto al eje OZ . De la figura se sigue que: x cos , y sen y z z Las dos primeras coordenadas de P son las coordenadas polares de su proyección P respecto de un sistema polar de referencia, ubicado en el plano coordenado horizontal, de manera que el eje polar coincide con eje OX y el polo con el origen de coordenadas del sistema cartesiano tridimensional. Es posible entonces construir la aplicación: g : 0, 0, 2 , R 3
R 3 , , z cos ,
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sen , z
3
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z
z
g
2 O
y
x
Se puede probar que la aplicación “ g” definida, a la que llamaremos aplicación de coordenadas cilíndricas respecto al eje OZ , cumple las hipótesis de la generalización del Teorema del Cambio de Variables para integrales triples. Su determinante jacobiano es: cos sen 0 y z = sen cos 0 = cos 2 sen 2 z z 0 0 1 P
x x x z
det g , , z = y y z
z
Luego det g , , pues en esta transformación 0 Entonces la tesis del Teorema del Cambio de Variables para integrales triples, utilizando esta aplicación, toma la forma:
f x, y, z dx dy dz f g , , z d d d z = f cos , sen , z d d d z
D g D
'
D
'
D
'
La relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas de un punto del espacio es: x
cos
y sen
x
z z
2
y 2 2
tg
z z
y x
x
0
x 2
y 2
arctg z z
y x
x 0
Entonces las siguientes superficies, contenidas en el espacio de las variables , , z se transforman por “g” en las del espacio x, y, z de ecuaciones: k
( k 0 )
k ( 0 k 2 ) z k
( k R )
g g g
x
2
y 2 k 2 (cilindro circular con eje OZ )
y tg k x
(semiplano que contiene a OZ)
z k
(plano paralelo al plano XOY)
Luego si R es un rectángulo coordenado del espacio , , z se transforma por la aplicación “ g” en la región T del espacio x, y, z limitada por dos cilindros circulares con eje OZ, dos semiplanos que contienen al eje OZ y dos planos paralelos al coordenado horizontal, como muestra la figura.
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4
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z
z2
z
T
z2
R
z1
1
1
z1
g
2
2
2
1
y
1 2
x
De lo anterior se sigue que si en una integral triple la región de integración tiene simetría axial respecto al eje OZ o es parte de una región de simetría axial, para calcularla convendrá hacer una transformación de coordenadas mediante la aplicación definida. De la misma manera en que hemos definido la aplicación de coordenadas cilíndricas respecto al eje OZ , podemos definirla respecto a los otros ejes coordenados y siempre que en una integral triple la región de integración tenga simetría axial, para calcularla convendrá hacer una transformación a coordenadas cilíndricas. La interpretación geométrica sencilla que tienen las coordenadas cilíndricas de un punto, nos permite conocer como varían estas en una dada región del espacio coordenado cartesiano, como veremos en los ejemplos. Ejemplos
1) ¿Cuál es el volumen de un cilindro si el radio de la base mide 2u y la altura 5u ? z
V R
dx dy dz R
5
= R
2
2
2
0
2
5
d d dz = 20 0
0
Este es el resultado que debíamos obtener pues sabemos que el volumen del cilindro es igual a la superficie de la base por la altura.
y
z
x
2) Calcular el volumen del sólido en el primer octante limitado por el paraboloide 4 z x 2 y 2 , el cilindro x 2 y 2 1 y los planos coordenados. Sabemos que (1) V R dx dy dz R
R
2
1
1
2
y
x
presenta simetría axial, respecto al eje vertical, por lo tanto para calcular la integral (1) usaremos coordenadas cilíndricas
R
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Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de las coordenadas cilíndricas de un punto del espacio, resulta que en R éstas varían:
1 2 0
R
2 0 z 4 2
V R
2
dx dy dz
2
d d
0
R
1
4 2
dz
0
9 8
3) Exprese mediante una integral triple en coordenadas convenientes el volumen del sólido exterior a x 2 y 2 1 , interior a x 2 y 12 1 y limitado por x 0 , z 0 y z 2 . V R dx dy dz z
R
El sólido R es simétrico respecto a OZ.
Las coordenadas convenientes para expresar el volumen del mismo son las cilíndricas. Observamos que el mínimo valor de en R, es el que corresponde a los puntos de la intersección de ambos cilindros. 2
2
Esto es: x y 1 2 x 2 y 1 1
R
V R
2
y
1 1 2 2 sen 0 2 sen
Resulta que R se puede describir como sigue:
Luego
x
2
1
dx dy dz R
2
2 sen
d
1
2
6 2 1 2 sen 0 z 2
d dz 0
ii) COORDENADAS ESFÉRICAS Sabemos que cada punto del espacio tridimensional se puede asociar con una terna x, y, z , sus coordenadas cartesianas ortogonales. Pero no es esta la única terna que permite ubicar un punto P en el espacio. Si llamamos “ ” a la norma del vector posición de P ; “ ” al ángulo diedro, comprendido entre 0 y 2, que el semiplano determinado por OP y OZ forma con el plano coordenado y 0 , medido a partir del plano y 0 , y “” el ángulo que OP forma con la dirección positiva de OZ, medido a partir del eje OZ +, a cada punto P le podemos asociar una terna , , tal que: z
0 , 0 2 y 0 .
O
x x
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Estas son las coordenadas esféricas de P.
P
y P
y
De la figura se sigue que: OP = sen , Luego x sen cos y sen sen z cos Es posible entonces construir la aplicación 6
Lic. María Teresa Pacios g : 0, 0, 2
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0, R 3 R 3 , , z sen cos , sen sen , cos z
g
2 O
y
x
Se puede probar que la aplicación “ g” definida, a la que llamaremos aplicación de coordenadas esféricas, cumple las hipótesis de la generalización del Teorema del Cambio de Variables para integrales triples. Su determinante jacobiano es:
sen sen cos cos sen sen sen cos cos cos sen cos 0 sen cos
x x x
det g , , = y y y = z
= cos
z
z
P
sen sen cos cos + sen sen cos cos cos
sen sen sen sen sen cos
sen cos
= cos 2 sen 2 sen cos 2 cos 2 sen cos sen sen 2 cos 2 sen 2 sen 2 = 2 cos 2 sen 2 sen 2 sen 2 sen Luego det g , , 2 sen pues en esta transformación 0 sen 0 Entonces de la tesis del Teorema del Cambio de Variables para integrales triples toma la forma:
f x, y, z dx dy dz = f g , , d d d = f sen cos , sen sen , cos sen d d d
D g D
D
2
D
La relación entre las coordenadas cartesianas y cilíndricas de un punto del espacio es: x sen cos y sen sen z cos
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x
2
x 2
y 2 z 2 2
tg 2
tg
y
x
x x
2
0
y 2
z
2
z 0
y 2 z 2
arctg arctg
y
x 0
x x 2
y 2
z 2
z 0
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Entonces las siguientes superficies, contenidas en el espacio de las variables , , se transforman por “g” en las del espacio x, y, z de ecuaciones: g
k ( k 0 ) k 0 k 2 k ( k 0, )
x
g
2
y 2 z 2 k 2
(esfera con centro en el origen)
y tg k x
g
2
2
z tg k x
(semiplano que contiene a OZ) 2
y 2
(superficie cónica con eje OZ y vértice en el origen)
Luego si R es un rectángulo coordenado del espacio , , se transforma por la aplicación “ g” en la región T del espacio x, y, z limitada por dos esferas con centro en el origen, dos semiplanos que contienen al eje OZ y dos superficies cónicas con vértice en el origen como muestra la figura.
z
2 2
g
1
1 1
1
2
2 y
1 2
1
2
x
De lo anterior se sigue que si en una integral triple la región de integración tiene simetría central, simétrica respecto a un punto o es parte de una región con simetría central para calcularla convendrá hacer una transformación de coordenadas mediante la aplicación definida, poniendo el origen de coordenadas del nuevo sistema de referencia coincidiendo con el centro de simetría de la región. La interpretación geométrica sencilla que tienen las coordenadas esféricas de un punto, nos permite conocer como varían estas en una dada región del espacio coordenado cartesiano, como veremos en los ejemplos. z
Ejemplos
1) Calcular el volumen del sólido interior a la esfera 2 2 2 2 2 2 2 x y z a y exterior al cono z x y , ubicado en el primer octante. V S
S
dx dy dz
a
S
Para calcular la integral usamos coordenadas esféricas. Teniendo en cuenta la interpretación geométrica de las 2014
y
a x
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mismas vemos que en S, 0
2
, 0 esfera y 0
2
.
La ecuación de la esfera es: x 2
y 2 z 2 a 2 2 a 2 a pues a, radio de la esfera, es un número positivo.
2
2
a
0
0
0
Entonces V S dx dy dz = d sen d 2 d = S
2014
4 3 a . 3
9
