GRAFICA EN COORDENADAS POLARES
La grafica o lugar geométrico de una ecuación expresada en coordenadas polares es: E
=
{ (r ,θ ) ∈ R × R / r = f ( θ ) }
En el caso, si f es una función constante, la ecuación ( r
= C ),
representa la ecuación
polar de una circunferencia con centro en el origen y radio igual a C ; y como la ecuación es independiente de
θ ,
entonces la ecuación cumple
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∀θ ∈ R .
y
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&ara facilitar el tra'ado de la grafica de una ecuacion en coordenadas polares es coneniente anali'ar los tipos de simetra. *imetras en el plano polar $) *imetra respecto al e+e polar (e+e , recta
θ =
%)
Esto se presenta cuando la ecuación polar no ara al reempla'ar: r por −r a) θ por −θ o ) θ por π − θ Es suficiente ue cumpla una de estas condiciones
.!
!
#) *imetra respecto al e+e normal (e+e , recta θ =
π
) # 0curre cuando la ecuación polar no aria al reempla'ar: r por −r − por θ π θ a) o ) θ por −θ asta ue cumpla con una de estas condiciones.
") *imetra respecto al origen (&olo) Esto ocurre cuando la ecuación polar no ara al reempla'ar: a) θ por π + θ o ) r por −r 1n2logamente solo es suficiente ue cumpla con una de estas condiciones
3E451* 5167E65E* 1L &0L0 *on rectas ue pasan por el origen, cuya forma general es: θ θ 4onstantes =
n
r
Estas se 8allan 8aciendo
=
f (θ ) = %
y luego se resuele para 8allar
965E34E&4906E* 406 L0* EE* &39649&1LE* Los interceptos con el e+e polar se 8allan 8aciendo: θ =
%
θ = "π
θ =π
etc.
los interceptos con el e+e normal se otienen 8aciendo: "π !π π etc. θ = θ = θ = # # # espués de dar alores al
θ se
procede a 8allar el r
EE<&L0 7raficar r = " cos(#θ ) 3E*0L=4906 &rimero analisamos las simetras: $) 4on respeto al e+e polar (r , θ ) ⇒ (r , −θ ) Entonces r = "cos(#θ ) = "cos(−#θ ) = "cos(#θ ) #) 4on respesto al e+e normal (r , θ ) ⇒ (r , π − θ ) Entonces r = "cos(#θ ) = "cos #(π − θ ) = "cos #θ ") 4on respecto al polo (r , θ ) ⇒ (r , π + θ ) Entonces r = "cos(#θ ) = "cos #(π + θ ) = "cos #θ
18ora analisaremos la intercepciones: $) 4on el e+e polar θ = nπ n ∈ ¢ *i n = % θ = % r = " , (", %) *i n = $ *i n = # *i n = −$
θ =π
r = " , (", π )
θ = #π
r = " , (", #π ) = (", %) r = " , (", −π ) = (", π )
θ = −π
#) 4on el e+e normal *i
n
=
%
θ
θ =
π =
#
+ nπ
π
r
#
π
= −
" , ( ", ) # −
n∈¢
∃ simetra
∃ simetra
∃ simetra
θ
*i n = $ *i
n
=
#
*i n = −$
θ =
θ
"π
r = −" , (−",
# !π =
r
#
θ = −
π
#
5angentes al polo r = "cos #θ
=
%
) # !π " , ( ", ) #
= −
r
−
r = −" , (−", −
π
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)
r = %
θ =
⇒
π
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"π
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"π
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!π
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ROSA DE CUATRO PETALOS
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GRAFICAS TIPICAS EN COORDENADAS POLARES
r
= $ + cos(θ )
Cardioide y
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Rosa
de tres
hojas y #
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0seración: la grafica de la ecuacion de las forma r = a cos(nθ ) o r = asen (nθ ) Es una rosa ue tiene n 8o+as si n es impar , y #n 8o+as si n es par.
r
= $ + # cos(θ )
Limazon #.!
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Lemiscata y %.B
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de
Pascal y "
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Espiral
de
Arquimedes y
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->
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B
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->
-B
-
%$965E34E&4906 E 731C941* E6 4003E611* &0L13E* *e procede igualando las ecuaciones y resoliéndolas ,pero para un mayor an2lisis. es recomendale 8acer el osue+o de las graficas para no oiar ningDn resultado
