Integral Doble en Coordenadas Polares

1. Coordenadas polares 2. Grafica de ecuaciones polares 3. Regiones en coordenadas polares 4. Integrales dobles en coordenadas polares



(,)

b a

Sistema de coordenadas rectangulares







(,)

(eje polar)

(polo)

Sistema de coordenadas polares

Relación entre coordenadas polares y rectangulares coordenadas polares a rectangulares coordenadas rectangulares a polares

  sin  tan + 

Ejemplo 1. Polar a rectangular. Convierta las coordenadas polares en coordenadas rectangulares.

ectangulares(−1,1)  +  8   8(2−)

(2, 6)

Ejemplo 2. Rectangular a polar. Convierta las coordenadas r en coordenadas polares. Ejemplo 3. Ecuación rectangular en ecuación polar. Encuentre la ecuación polar del círculo Ejemplo 4. Ecuación rectangular en ecuación polar. Encuentre la ecuación polar de la parábola

  9cos2

Ejemplo 5. Ecuación polar en ecuación rectangular. Encuentre una ecuación rectangular de la ecuación polar

  () 0 ≤  ≤ 2

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a

 r



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a

 r

0



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a

 0

0

r



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a

 0  0

r



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a

   0 0.29 0

r



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2    0 0.29 

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0

r



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2    0 0.29 

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0

r

1



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2    0 0.29  

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0

r

1



cuyas

  () 0 ≤  ≤ 2    0 0.29  

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación. Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

  1−cos

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0

r

1

1.71



cuyas

  ()    1−cos 0 ≤  ≤ 2    0 0.29       

La gráfica de una ecuación polar es el conjunto de puntos coordenadas polares satisfacen la ecuación.

cuyas

Ejemplo 1. Grafica de una ecuación polar. Grafique

Construimos una tabla con unos cuantos puntos bien elegidos correspondientes a 0

r

5

1

1.71

2

1.71

1

0.29

0

  −    0 0.29       

Grafica de

0

r

5

1

1.71

2

1.71

1

0.29

0

Cardioides

≥2    ∙

   ∙      2∙     ∙ 

Curvas de las rosas. Las graficas de se denominan curvas de las rosas. Si es impar tiene pétalos.

y es par tiene

con pétalos y si

Círculos con centros sobre un eje.

Lemniscatas.



Limacones.

   ± ∙     ± ∙   y

Región r-simple.

 () ≤  ≤  ()    ≤≤

Ejemplo, región r-simple.

0 ≤ ≤ 3cos3    − 6 ≤  ≤ 6

  6   − 6



Región -simple.

 ≤  ≤      ℎ() ≤  ≤ ℎ()



Ejemplo, región -simple.

1 ≤  ≤ 2   0 ≤  ≤ 3 0

Ejemplo 1. Exprese la región



en coordenadas polares.

 4

 4 2

 6

   ≤  ≤      ≤  ≤  2 ≤  ≤ 4   6 ≤  ≤ 4

Ejemplo 2. Exprese la región



en coordenadas polares.

0 ≤  ≤ 2   0 ≤  ≤ 2

Ejemplo 3. Describa la siguiente región en coordenadas polares.

  1 ≤  ≤ 3   0 ≤  ≤ 2

Algunas integrales dobles son mucho más fáciles de evaluar en forma polar que en forma rectangular. Esto es así especialmente cuando se trata de regiones circulares, cardioides y pétalos de una curva rosa, y de integrandos que contienen .

 +

El área de la base del sólido

∆  ∆∆  (,)  (,)∆∆

El altura del pequeño sólido

El volumen del pequeño sólido

El volumen aproximado del sólido

   ,  ≈ = (  ,  ) ∆ ∆        

El volumen exacto del sólido

    ,   →∞lim = (  ,  ) ∆ ∆        

  cos   sen →  ,  (cos,  sin )     ,   →∞ = (,)∆∆

Como y la integral doble en coordenadas polares:

, obtenemos

  + 1 ++  

Ejemplo 1. Sea la región anular comprendida entre los dos círculos y 5. Evaluar la integral

Ejemplo 2. Utilizar las coordenadas polares para hallar el volumen de la región sólida limitada superiormente

  16− −  + ≤ 4

por el hemisferio einferiormente por la región circular dada por



Ejemplo 3. Utilizar una integral doble para hallar el área encerrada por la gráfica de

  3cos3

Ejemplo 4. Hallar el área de la región acotada superiormente por la espiral e inferiormente por el eje polar, entre y

  3   1   2

Ejercicios 1 a 4. Se muestra la región R para la integral

   , 

. Decir si serían más convenientes

coordenadas rectangulares o polares para evaluar la integral.

Ejercicios 5 a 8. Utilizar coordenadas polares para describir la región mostrada.

5.

7.

6. 8.

Ejercicios 9 a 16. Evaluar la integral doble y dibujar la región R.

9. 10. 11. 12.

13. 14. 15. 16.

Ejercicios 17 a 26. Evaluar la integral iterada pasando a coordenadas polares.

17. 18. 19. 20. 21.

22. 23. 24. 25. 26.

Ejercicios 27 a 28. Combinar la suma de las dos integrales iteradas en una sola integral iterada pasando a coordenadas polares. Evaluar la integral iterada resultante.

27. 28.

Ejercicios 29 a 32. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble

29. 30. 31. 32.

   , 

Ejercicios 33 a 38. Utilizar coordenadas polares para escribir y evaluar la integral doble

   , 

Ejercicios 42 a 44. Utilizar la integral doble para calcular el área de la región sombreada.

42.

43.

44.

Ejercicios 45 a 47. Utilizar la integral doble para calcular el área de la región sombreada.

45.

46.

47.