Ingeniería Eléctrica
Steven Rios Teoría Teoría Electromagnética Electromagnética Formula ulario: io: dife iferenc enciale iales s de supercie y volumen en coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas
NOMBRE MATERIA TEMA
Formulario lario de diferencia diferenciales les de supercie supercie y volumen volumen en 1.- Realiz Realizar ar un Formu coordenadas coordenadas cartesianas, cilíndricas, esféricas Se reconoce reconoce que al determinar determinar las coordenadas coordenadas de un punto en cualquier sistema
( x + dx, y + d y , z + dz ) , ( r + dr , ∅ + d ∅ , z + dz ) , (r + d r , θ + dθ , ∅ +d ∅)
construyendo un diferencial de volumen de
Diferencial de volumen en coordenadas cartesianas El elemento de volumen, se determina del volumen del paralelepípedo, lado, lado, lado, en este caso es: dV = dxdydz
El elemento diferencial de supercie depende supercie depende de qué lado se tome, por lo que tendremos los siguientes: d S xy =dxdy d S xz =dxdz d S yz =dydz
!nali"ando el diferencial diferencial de línea, línea, es f#cil ver que como lo que estamos determi determinando nando es un diferen diferencial, cial, se reali"a reali"a encontra encontrando ndo la magnitud magnitud del vector en tres dimensiones: dz
¿ ¿ ( dx ) +( dy ) +¿ dL =√ ¿ 2
2
Su diferencial de línea vectorial puede ser e$presado por: dL= dx ^i + dy j + dz ^k ⃗
^
Diferencial de volumen en coordenadas cilindricas El elemento diferencial de volumen, es del paralelepípedo formado, para este caso: dV = rdr,d ∅ , dz
El elemento diferencial de supercie depende del lado que se requiera anali"ar así por e%emplo tendremos: d S rz =( dr ) ( dz ) = drdz d Sr
∅
=( dr )( rd ∅)
d S z = dz ( rd ∅) ∅
Se pone su&índices, para indicar el diferencial de supercie, para mostrar la relaci'n del #rea elegida, sin em&argo en la pr#ctica es com(n solo escri&ir dS y se so&re entiende, por el conte$to de la operaci'n de que elemento de supercie se trata) ara determinar el elemento diferencial de línea tendremos: dL= dr ^eγ + rd ∅ e^ + dz e^ z ∅
*uya magnitud es dz 2
¿ ¿
2
( dr ) +( rd ∅ ) +¿ dL= √ ¿ +onde 0 ≤ ∅ ≤ 2 π
0 ≤r ≤
R
0 ≤Z ≤
z
Diferencial de volumen en coordenadas esfericas En el caso de las coordenadas esféricas, al igual que en el caso de las coordenadas cilíndricas, se puede considerar que el elemento de volumen tomado, por considerarse diferencial, forma un paralelepípedo, ra"'n por la cual su elemento diferencial de volumen quedara determinado como: dV =( rsenθdφ ) , (rdθ ) , ( dr )
El caso del elemento diferencial dependiendo de la supercie a anali"ar
de
supercie se
d S θ =(rsenθdφ )( rdθ) ∅
d S r =( rsenθdφ )( dr ) ∅
d S θγ =( rdθ)( dr )
El elemento diferencial de línea queda determinado por: dL= rsenθd φ ^e + rd ∅ e^ + dr ^eγ ∅
∅
*on magnitud dr
¿ ¿ ( rsenθ d φ ) +( rd ∅ ) +¿ dL=√ ¿ 2
*onsiderando 0 ≤r ≤
R
0 ≤θ≤
π
0 ≤ ∅ ≤ 2 π
2
determina
Diferencial de supercie en coordenadas rectan!ulares Supercie x cte)
d S x = dydzu x
Supercie y cte)
d S y =dxdz u y
Supercie z cte)
d S z =dxdy u z
Diferencial de supercie en coordenadas cil"ndricas
+ependiendo de la coordenada que consideremos constante, tenemos tres vectores diferenciales de supercie:
d S ρ= ρdφdz u ρ
Supercie - cte) .cilindros rectos/
Supercie
.semiplanos verticales/
Supercie z cte) .planos 0ori"ontales/
d S φ =dρdzuφ
d S z = ρdρdφu z
Diferencial de supercie en coordenadas esf#ricas
+ependiendo de la coordenada que consideremos constante, tenemos tres vectores diferenciales de supercie:
2
Supercie r cte) .supercies esféricas/
d S r= r senθdθdφu r
Supercie 1 cte) .conos/
d S θ=rsenθdrdφ uθ
Supercie
.semiplanos verticales/
d S φ = rdrdθuφ
Bi$lio!raf"a %ttp&''dieumsn%.(f$.umic%.m)'E*E+TRO'diferenciales.%tm %ttp&''laplace.us.es',ii'inde).p%p'+oordenadasesf /+0/Aricas.Diferenciales2Diferencialesdesupercie
