ECUACIÓN DE LA RECTA EN COORDENADAS POLARES Sea L una recta cualquiera que no pasa por el polo. Tracemos por el polo una perpendicular a
L , que se intercepta en N . Sea el ángulo que hace el eje polar con la normal ON y p la medida del segmento ON . Finalmente sea P(r , ) un punto cualquiera de L .
En el triángulo ONP se tiene:
cos Por lo tanto
p r
r cos p
Es la ecuación polar de la recta L .
Casos particulares: a) Recta perpendicular al eje polar, está a la derecha del polo; haciendo r cos p entonces 0, b) Recta perpendicular al eje polar, está a la izquierda del polo; haciendo r cos p entonces 0, c) Recta paralela al eje polar, está arriba del polo; haciendo
2
90º ,
entonces
r cos 90º p
r sen p
d) Recta paralela al eje polar, está debajo del polo; haciendo
3 270º , 2 Que es lo mismo que r sen p
entonces
r cos 270º p
e) Rectas tales que contienen al polo. La ecuación cartesiana de una recta tal que el origen pertenece a ella es de la forma: y mx Realizando las transformaciones respectivas:
y mx rsen mr cos sen m cos tan tan
Por lo tanto si la recta L pasa por el polo, su ecuación es de la forma k . Siendo k una constante que puede restringirse a valores no negativos menores de 180 . Ejemplo Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 2;30º y es perpendicular al eje polar OX . Solución: La ecuación de la recta es de la forma: r cos p . Pero como L está a la derecha entonces la ecuación es de la forma: r cos p . Si P 2;30º L , entonces: 2cos 30º p
2
3 p 2 3 p
Luego la ecuación de la recta es: r cos 3
EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(4,2 / 3) y es perpendicular al eje polar. 2. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3 2 ,3 / 4) y es paralela al eje polar.
y es paralela al eje OY . Hallar la ecuación de la recta que pase por el punto 4;30 y forme un ángulo de
3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto 3; 30 4.
150 con el eje polar.
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P 2 2;3
y es paralela al eje 4
polar. 6. Hallar la ecuación en coordenadas polares de una recta que pasa por el punto
2 P 6; y es perpendicular al eje polar. 3 7. Hallar la ecuación en coordenadas polares de la recta que pasa por P(4, / 6) y que es perpendicular a la recta 60 0
8. Deducir la ecuación polar de una recta que pasa por el punto P 2; inclinación respecto al eje polar de un ángulo
2 . 3
con una 6
9. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por P(1 / 2,30 ) y es perpendicular a la recta 60 0 . 10. Hallar la ecuación polar de la recta que pasa por el punto P(3,0o) y forma un ángulo 3 / 4 con el eje polar.
ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA EN COORDENADAS POLARES Sea C (r1 , ) el centro de una circunferencia cualquiera de radio R. Sea P(r , ) un punto cualquiera de la circunferencia. Teorema La ecuación polar de una circunferencia de centro en el punto C (r1 , ) , y radio igual R es:
r 2 2r1r cos( ) r12 R2
Casos particulares a) Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la derecha del polo, y la circunferencia pasa por él, se tiene : r1 R y 0º , entonces:
r 2R cos( )
- Si el centro de la circunferencia está en eje polar, a la izquierda del polo, y la circunferencia pasa por él, se tiene: r R y , entonces:
r 2R cos( )
b) Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY , arriba del polo, y la circunferencia pasa por él, entonces: r1 R ,
, entonces:
2 r 2R s en
- Si el centro de la circunferencia está en eje normal OY , debajo del polo, y la circunferencia pasa por él, entonces: r1 R ,
3 , entonces: 2 r 2R s en
c) Si el centro de la circunferencia está en el polo, r1 0 y la circunferencia se reduce a:
r R
Ejemplo Hallar la ecuación polar de la circunferencia con centro C (4,30º ) y radio igual a 5. Solución Por datos del problema se tiene, r1 4 , R 5 , 30º . Luego:
r 2 2(4)r cos( 30) 42 52
r 2 8r cos( 30) 16 25 r 2 8r cos( 30) 9 0
Ejemplo Hallar el centro y el radio de la circunferencia r 2 4r cos 4 3rsen 20 0 . Solución Aplicando la ecuación de la circunferencia r 2 2r1r cos( ) r12 R 2 , desarrollando se obtiene:
r 2 2rr1 cos cos sen sen r12 R 2 0
r 2 2r r1 cos cos r1sen sen r12 R 2 0 O bien
r 2 2r1 cos r cos 2r1sen rsen r12 R2 Comparando la ecuación dada r 2 4r cos 4 3rsen 20 0 con esta última, tenemos: (1) 2r1 cos 4 (2)
2r1sen 4 3 y
(3)
r12 R 2 20
Dividiendo la ecuación (2) por (1) tg 3 , entonces 120 . Sustituyendo en (1),
2r1 12 4
de donde
r1 4 . De (3) se tiene, 16 R 20 , R 6 . 2
Luego el centro de la circunferencia es el punto C (r1 , ) = 4; 120º y su radio vale 6.
EJERCICIOS 1. Hallar la ecuación polar de la circunferencia cuyo centro y radio son: a.
C 4;0 , R 4
b. C (5,180 ), R 5
C (3,45 ), R 8 d. C (2,240 ), R 7 c.
2. Hallar las coordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación polar: 2 a) r r cos( ) 3r sin( ) 3 0 b) r 2 3 3r cos( ) 3r sin( ) 5 0
c)
r 2 2 2r cos( ) 2 2r sin( ) 5 0
d) r 2 4 3r cos( ) 4r sin( ) 15 0
