INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES UNIDAD
NOMBRE
5
Integrales múltiples
TEMAS
5.3 Integral doble en coordenadas polares.
Algunas integrales dobles son mucho más fácil de calcular en forma polar que en forma rectangular. Esto es especialmente cierto para regiones circulares, en forma de cardiode o de pétalo de curvas de rosa, y para integrados integrad os donde aparezca x2 +y2.
La relación entre Las coordenadas coordenadas polares ( r, 0 ) y las rectangulares ( x,y ) de un punto, a saber
X = r cos 0
e
y = r sen 0
y
tg 0 = y/x
R2 = x2 + y2
Para definir la integrar doble de una función continua = f ( x,y ) en coordenadas polares, consideremos consideremos una región R acotada por las graficas de r = g 1 ( 0 ) y r = g2 ( 0 ) y por las rectas 0 = x 0 = B. En vez de dividir R en en pequeños pequeños rectángulos, rectángulos, la dividimos en pequeños sectores polar formado por semirrectas radiales y círculos. círculos. Los sectores sectores polares polares R1 cuya cuya norma // A // es la diagonal mas grande entre todas las de sus sectores polares. +2
=-2
2
4
6
3
96x
8
( 256 – 256 x + 96x – 16x + x ) d x
K -2
4
=
k
256x -
+
3
4
= 32.768 k 3/5
5
7
-
5
9
-16x
x +
7
9
Consideremos la región A determinada por las semirrectas =, = y las curvas r=f1( ), r=f2( ), como en la figura 6. Supongamos que A queda incluida por completo en el sector R: " r " a "0 " m y n dos enteros positivos y hagamos Sean m y n dos
R por una red de arcos circulares de centro 0 y 0 y radios r, 2r,….mr y Cubrimos ahora R por 0 los rayos =, +, +2,…, +n= con ello, R queda R queda dividido en tres tipos de trazamos por 0 los subregiones: a) exteriores de A; b) interiores a A, y c) atravesadas por el contorno de A. Prescindimos que todas las del primer tipo t ipo e incluimos todas las del segundo. En cuanto a las del tercero ter cero sugerimos un criterio ecléctico, incluyendo algunas, todas o ninguna. Aquellas que hayan de incluirse se numeraran en cierto orden por 1, 2, 3,…,N , F (función eligiendo en cada una de ellas un punto (rk, k). Se multiplica el valor de F (función dada, definida sobre la región A) en cada punto (rk, k) por el área de la correspondiente subregión, y se suman los productos así obtenidos; es decir, consideramos la suma
Ak es rk-½r; el rk-½r; el del exterior, rk- Según vamos a ver. El radio del arco interior que limita Ak es ½r; por r; por consiguiente
Que después de efectuar operaciones se reduce a 27. Imaginemos reiterado este proceso con retículos cada vez más tupidos, y 0 las diagonales de todas las consideremos el límite de las sumas cuando tienden a 0 las F es continúa y la región A esta limitada por curvas continuas subregiones. Si la función F es rectificables, las sumas tienen como límite la integral doble de F extendida F extendida a A:
Este límite puede calcularse utilizando la siguiente integral iterada:
Surge ahora la pregunta de si es posible utilizar primero coordenadas cartesianas para escribir la integral doble y transformarla después a coordenadas polares. La respuesta es afirmativa en términos generales. X=f(u, v), y=g(u, v) xy mediante Se puede interpretar como la representación de una región A del plano xy mediante G del plano uv. Bajo determinadas condiciones respecto a las funciones f y f y otra región G del g , la siguiente ecuación constituye la formula para el pase de las coordenadas xy a xy a las uv en una integral doble: coordenadas uv en
Donde el símbolo (x, y)/(u, v) designa el jacobiano el jacobiano que que se define por el siguiente determinante
En el caso de coordenadas polares se tiene: x=r cos , y=r sen y
Por consiguiente, la ecuación se adopta la forma: "r " (x, y) dx dy = " = " " (cos + sen ) r dr d que corresponde a la 29 El área total de una región esta dad por una cualquiera de las dos integrales dobles A=" " dx dy= " " r dr d con límites apropiados. Esto, esencialmente significa que la región reg ión dada se puede dividir en porciones de área dAxy= dx dy
x e y o y o que también puede dividirse en porciones Mediante rectas paralelas a los ejes x e de áreas =r dr d dAr
Por medio de semirrectas trazadas por el origen y arcos circulares, y que el área totales obtiene sumando todos los elementos de uno cualquiera de esos tipos. Pero observese que las áreas elementales de ambos tipos no son equivalentes. En efecto, mediante un calculo elemental que se ve que
dAxy=dx dy= d(r cos )d(r sen ) r dr d = dAr
Bibliografía: Libro: Cálculo Tomo II Autor: Roland E. Hostetler Robert P. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano Libro: Cálculo con Geometría Analítica Autor: Swokowski Earl W. Editorial: Grupo Editorial Iberoamericano
