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PROBLEMAS PROPUESTOS SISTEMA COORDENADAS RECTA
09. A(-5;-2) y B(4,5) son dos vértices de un triangulo. El tercer
01. Determinar la naturaleza del triangulo cuyos vértices A(2,-2); B(-8,4) y C(5,3). Determinar su área. a) Isósceles : 34u2 b) Rectángulo: 34u2 2 c) Escaleno : 21u d) Equilátero: 34u2 e) N.A.
son:
02. Si AB BC AC , calcular m + 3n a)
y
A(-3,4)
3
vértice c(x,y) es tal que AC 4 5 y BC 5 2 .Determinar C. a) (3,2) ó (-1,-2) b) (3,2) ó (-1,-10) c) (-3,-2); (1;10) d) (4,2) ó (-1,10) e) N.A. 10. Dados los puntos A(2,2) y B(5,-2) encontrar en el eje de las abscisas el punto M más cercano al origen tal que el ángulo AMB, sea recto. Indicar la suma de sus coordenadas a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 3 11. Del grafico calcular las coordenadas de A: ABCD es un cuadrado.
b) 2 3 c) 3 3 d) 6 e) 3
C(m,n)
0
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x
D 5
R
B(-3,-2)
B 03. Desde P(-10,0) se traza una perpendicular a la bisectriz del segundo cuadrante, hallar las coordenadas de punto de intersección. a) (-5,10) b) (-10,10) c) (-10,5) d) (-5,5) e) (5,5) 04. La distancia de los puntos A y B es 10u y de B y C es 17u. Calcular la distancia de los puntos A y C. A(-1;1); B(x,9) y C(20,y).
697
a) 21 ó
691
d) 22 ó
691
b) 21 ó
c) 22 ó
697
e)N.A.
3 u2
b) 4
d) 8
3 u2
e)
a) ( 5 3; 5 1 )
c) 5
b) 5 2; 5
3 1 ; 5 2 2
d) 5 4; 5
1 ) 2 3 2
e) N.A. 12. Del gráfico mostrado, determine la distancia PQ B(8,15)
05. Un triángulo equilátero tiene dos vértices con coordenadas (1,4) y (5,0). Hallar su área a) 2
26,5°
C
3 u2
n
c) 6 3 u2 2n
6 u2
Q(9,7)
a) b) c) d) e)
2 5 7 3 8
06. Del gráfico, calcular el radio A(2,3)
y
a) b) c) d) e)
R (4,2)
8 10 13 14 18
x
a) b) c) d) e)
37°
1 3 7 17 21
b)
11 11 ; 5 5
26 12 ; 5 5
e)
14. Hallar el área del triángulo AOB de la figura: y
O
A
x
a) b) c) d) e)
1,5 1,8 2 2,4 3,3
AB 2 BC 3
C(10,6)
B x
y 53°
33 11 ; 5 5
c)
33 12 ; 5 5
A
08. De la figura calcular: tg tg
R sobre el segmento PQ,
3 PQ , donde P(3,5) y Q(9,-7). 5
1 11 ; 5 5
d)
y
B
D(a,y)
tal que: PR a)
07. Del gráfico, hallar “ b – a”, si AB = 10 y AD =5 C(x,b)
13. Hallar las coordenadas del punto
a) b) c) d) e)
6 8 10 12 14
15. En la figura mostrada calcule las coordenadas del punto E
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(5,8) (-2,4)
a) b) c) d) e)
n E 2n
(1,2) (3,-2) (6,-3) (6,-1) (-3,6)
(-3,-1)
16.
Dos vértices consecutivos de un cuadrado tiene por coordenadas (-6,1) y (1,3). Calcular su área a) 19u2 b) 21 c) 53 d) 31 e) 47 17. Tres de los vértices de un paralelogramo son (-1,6); (2,1) y (4,8). Hallar las coordenadas del cuarto vértice. a) (1,13) ó (7,3) ó (-3,-1) b) (1,12) ó (6,-3) ó (-3,-1) c) (1,13) ó (7,-3) ó (-3,-1) d) (-1,13) ó (6,4) ó (-3,1) e) N.A.
a)
y A
B
x
a)
130
b)
150
c)
115
d)
3
e) N.A. 19. Calcular las coordenadas del centro del cuadrilátero formado por los puntos medios del cuadrilátero cuyos vértices son los puntos (1,-1); (3,3);(9,5) y (7,-3) a) (1,1) b) (3,2) c) (5,1) d) (7,3) e) (4,1)
b)
5 2 2
c)
6 2 5
d)
7 2 2
e) N.A.
20. Hallar la razón “r” en que el punto P(x,x+1) divide al segmento FG, donde F(6,-2) y G(0,0). a) –4 b) 6 c) 7 d) -9 e) -8 21. Uno de los vértices de un triángulo es (2,-3) y su baricentro es el punto (4,1). determinar la longitud de la mediana que parte de dicho vértice a)
5
b) 2
5
c) 3 5
d)
e) 7
6
22. En un triángulo rectángulo AOC, recto en O, m AOB = 30° y A (0,2), calcular la distancia del baricentro de la región triangular AOB al vértice B (O es el origen de coordenadas)
2 13 3 1 d) 13 3 a)
18. En el grafico hallar la distancia entre los centros de los cuadrados mostrados. Si A(0,14) y B(2,0).
5 2 4
b)
2 3 3
e)
13
c)
3 13 2
23. Determinar el producto de las coordenadas del punto de intersección de las medianas del triángulo de vértices, A(1,2) , B(5,3) y C(3,4) a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12 24. G(2,3) es el baricentro de un triangulo ABC . G1 (4,6) y G2(3,-1) son los baricentros de dos triángulos formados uniendo G con los vértices A, B y C. Determinar estos vértices. a) (10,0) ; (3,6); (-7,3) b) (-4,5); (6,-1); (4;5) c) (-4,3); (-2,-1); (7,0) d) (11,0); (-1,15); (-4,-6) e) N.A.
15. Los vértices de un triángulo son A(1,1) y B(-5,9) y C(5,4). Exteriormente y relativo ala lado AB se ubica el punto P y en BC el punto R, tal que RB = 2 . RC. Hallar la suma de las coordenadas de P. Si APRC es un paralelogramo . a) ½ b) 1/3 c) 2/3 d) ¼ e) N.A.
25. La base de un triangulo isósceles ABC son los puntos A(1,5) y C(-3,1). Sabiendo que B pertenece al eje x. Hallar el área del triangulo. a)10u2 b) 11 u2 c) 12 u2 d) 13 u2 e) N.A.
16. Calcular las coordenadas del incentro del triángulo ABC, A = (0,0), B = (8,0) y C = (4,3) a) (4,1/3) b) (4,2/3) c) (4,1) d) (4,4/3) e) (4,1/6)
26. El área de un triangulo es 3u2 , dos de sus vértices son los puntos A(3,1) y B(1,-3); el tercer vértice esta sobre el eje x. Determinar las coordenadas de C. a) (4,0) ó (-1,0) b) (6,0) ó (-2,0) c) (4,0) ó (1,0) d) (-5,0) ó (1,0) e) N.A,
17. Del grafico OT 4u y 3TA=AN. Calcular y 1. y (12,y1)
O
T
A
N x
a) b) c) d) e)
2 4 6 8 10
27. En el grafico mostrado hallar el triangular mostrada y
área máxima de la región a) b) c) d) e)
2,5u2 3,5 u2 4,0 u2 4,5 u2 5,0 u2
x 18. Dados los vértices consecutivos de un cuadrado : A(0,1); B(3,5); C(7,2) y D(x,y). Hallar D y la longitud de la circunferencia circunscrita a dicho cuadrado. a) (4,-2); 5 2
b) (-4, 2); 5 2
d) (-3,1); 5 2
e) N.A.
c) (4,-2); 10 2
19. Hallar la distancia entre el ortocentro y circuncentro del triangulo ABC, cuyas coordenadas son: A(-6,-4); B(-5,3) y C(-2,-1).
28. El área de un paralelogramo es 12u2; dos de sus vértices son los puntos (-1,3) y (-2,4). Hallar los otros dos vértices de este paralelogramo, si el punto de intersección de sus diagonales está ubicado en el eje de las abscisas a) (-6,-4) y (-7,-3) b) (-3,-6) y (-1,-7) c) (-3,-1) y (-6,-1) d) (-7,-6) y (-9,-3) e) (-3,4) y (4,5) 29. El área de un triangulo es 1u2 , dos de sus vértices son los puntos A(3,1) y B(1,-3); el tercer vértice esta sobre el eje x. Determinar las coordenadas de C.
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Academia Preuniversitaria “LEHNINGER” a) (2,0) ó (3,0) c) (4,0) ó (3,0) e) N.A,
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38.. El valor del ángulo que forman las rectas L1 y L2 del grafico mostrado es:
b) (-2,0) ó (3,0) d) (-2,0) ó (-3,0)
625 336 b) arc cos L2 a) arc cos 776 625
L1
30. Sean A(1,4); B(3,1) ; (12,7) y D, vértices de un paralelogramo
d) 16°
e) 8°.
31. Hallar la pendiente de la recta que forma un ángulo de 45° con la recta que pasa por los puntos (2,-1) y (5,3) a) 2 b) –2 c) –1 d) ½ e) N.A 32. En el gráfico calcular la pendiente de la recta L, si ON = a, BA = b y NUBE es un cuadrado. y
136 97
c) arc cos
OD , si O es el origen de
ABCD, calcular la inclinación de coordenadas . a) 41° b) 37° c) 53°
0
49 625
d) arc cos
144 776
e) arc cos
39. Dada la recta L1: 3x – 2y = - 12, hallar la ecuación de la recta L2 que es paralela a L1 y que forma con L1 y los ejes coordenados un trapecio de área igual a 15u 2.
y
L2
B
L1
U
x O
a) b) c) d) e)
2y – 3x = 18 2y – 3x = 1 2y – x = 8 2y – 3x = 8 N.A.
E O
a)
a ba
b)
N
x
A
b a c) ab b
d)
a ab
e)
b ba
40. Hallar el área sombreada según la figura:
y a) b) c) d) e)
N 33 . Hallar en el eje de las abscisas, un punto P de manera que la suma de sus distancias a los puntos M(1,2) y N(3,4) sea mínima. a) (-5/3,0)
b) (5/3,0)
c) (1,0)
d) (3,0)
y- 5x - 4 = 0
M
e) (-3,0)
O 34. Sean los puntos A(0,6), B(4,8) y C(x,0). Calcular la abscisa de “C”, para que el recorrido de “A” a ”B” pasando por “C” sea la menor posible.
7 12 5 d) 4 a)
b)
12 7
c)
12 5
e) 2 65
35.. Los extremos de un segmento son: A(2,-2) y B(5,3). Hallar la pendiente del segmento BC . Si las coordenadas de C son (x,8); además (-8,x), y A y B forman un triangulo rectángulo (recto en A). a) –1 b) –3 c) –5 d) -7 e) N.A. 36. Hallar los valores de "a" de manera que las siguientes ecuaciones: ax + (a – 1 )y – 2(a+2) = 0 3ax - (3a + 1)y – (5a + 5) = 0; representen a dos rectas:
x=2
x
41. Determinar un punto Q simétrico al punto (2,8), respecto a la recta L: 6x – 4y – 12 =0 a) (-2,10) b) (2,10) c) (-2,2) d) (-1,10) e) N.A. 42. La pendiente de la recta L que pasa por los puntos A(a,a+1) y B(1,-2) es 3, hallar la ecuación de la recta L1 que es perpendicular a L y que pasa por el punto A. a) x + 3y + 15 = 0 b) x + 3y + 16 = 0 c) x + 3y –1 = 0 d) x + 3y – 15 = 0 e) x + 3y –16 = 0 43. De la grafica. Calcular el área rectas.
L1 : x = 8
L1
a) 6
b) coinicidentes
37. En la figura la ecuación de la recta L es 4x + (3-b)y – 7=0. Hallar b L
y
45° O
x
a) b) c) d) e)
7 5 3 1 –1
del circulo, si se tienen las
L2 : y 6
y
L2
a) paralelas
9u2 10 18 20 5
0
b) 7 c) 8 d) 9 e) N.A.
x
44. Si el punto P(a,1) pertenece al segmento de extremos A(-3,2) y B(11,-3/2). Hallarla ecuación de la recta que pasa por P perpendicular a AB a) x – 4y + 3 = 0 c) x – 3y + 1 = 0 e) 4x – 3y – 1 = 0
b) 4x – y – 3 = 0 d) 3x – 2y – 1 = 0
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Academia Preuniversitaria “LEHNINGER” 45. Calcular figura.
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la ecuación de la recta L mostrada en la siguiente 52. En el triangulo cuyos vértices son A=(2,5) , B=(4,2) y C(6,3). Encontrar la distancia del ortocentro de dicho triangulo al
y a) L b) c) d) e) x
(2,2)
lado AC .
y = x- 4 y= x–5 x= y – 4 x=y–5 N.A.
46. Sean las rectas : L1: 3x + y – 4 = 0 L2: -3x + 4y + 3 = 0
a)
96 5 5
b)
96 6 6
d)
95 6 6
e) N.A.
c)
95 5 5
53. En la figura mostrada determine la ecuación de L1 y L2 respectivamente.
7 L3 : (a) x y 4 0 19
B(7,4)
Calcule el valor de a; si L3 contiene al punto de intersección de L1 y L2
L1 A(1,2)
a) 1
b) 1,5
c) 2
d) 2,5
e) 3 C(6,-3)
47. Hallar los valores de a y b si el punto de intersección de las rectas L1: ax + ( 2 – b ) y = 23; L2: (a – 1)x + by = - 15, en el punto (2, - 3) a) a = 4; b = 3 d) a = 4; b = 6
b) a = 4; b = 7 e) N.A
c) a = 5; b = 7
48. Del grafico, calcular la ecuación de la recta paralela a OL y que contiene a E, sabiendo que el lado del cuadrado OLAS es 8.
y A E L
a) y
4x 11 3
b) y
c) y
3x 10 4
d) y
S
4x 10 3 4x 11 3
4x 10 e) y 3
53°
0
L2
a) x + 2y = 10; 2x – y = 10 c) 2x + y = 10; x – 2y = 5 e) x + y = 5; x – y = 5
54.. Sean A=(0,0); B=(6,6) y C=(a,0) vértices de un triangulo, calcular la ecuación general de la recta que contiene a la altura relativa al lado AB, si: M(4,3) es punto medio del BC . a) x - y – 3=0 b) x + y + 4=0 c) x + y – 4=0 d) x + y + 2=0 e) x + y – 2=0 55. Del grafico L1 : y = ax + b
y
L1
L2 P(8,7)
49. En la figura mostrada, calcular la pendiente de la recta L 1, si la recta L2 tiene por ecuación y=3x.
y a) m
L2 9
0
x
3 2
c) m
3 2
e) m
2 3
6
b) m
2 3
d) m
4 3
b) –5/4
c) 5/4
d) –6/7
C (1 2 3,3 2 3 )
24 25 26 27 N.A.
x
56. Se tiene una circunferencia de centro O1 y diámetro AB que pertenece a la recta L: y = x (O es origen de coordenadas) en
perpendicular a O1P
e) 6/7
51. Los puntos A y B pertenecen a la recta de ecuación x – y + 4 = 0 y forman con el punto
0
a) b) c) d) e)
la circunferencia se ubica el punto P (4,3) y OA = 2 . Calcular la ecuación cartesiana de la recta que contiene a O1 y que es
50. Los puntos A(2,3), B(8,6) y C(6,-2) son los vértices del triángulo ABC. Hallar la tangente del mayor ángulo formado por la mediatriz del lado AB y el lado BC A) 4/5
L2 : 2y = x + c
y
Calcular: a+b + c.
x
L1
b) x + 2y = 5; 2x – y = 10 d) 2x + y = 10; x – 2y = 10
un triángulo
a) x + 7y – 23 = 0 c) 7x + y – 23 = 0 e) N.A.
b) 7x + 7y – 23 = 0 d) 17x + 7y – 23 = 0
57. Los vértices de un cuadrilátero son A(-3,1); B(0,3); C(3,4) y D(6,-3), encontrar la ecuación que contiene al vértice D y el punto medio del segmento que contiene a los baricentro de los triángulos ABC y ACD a) 4y + 5x – 9 = 0 b) 3y + 4x – 1 = 0 c) 4y + 5x + 9 = 0 d) 5x – 4y – 9 = 0 e) 5y + 4x – 9 = 0
equilátero. Hallar la suma de las coordenadas de A y B a) 2
b) 4
c) 6
d) 11/2
e) 15/2
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58. Calcular el área de la región triangular determinada por una recta cuya pendiente es 2, con los ejes coordenados. Si la distancia del punto (1,3) a dicha recta es a) 9cm2
b) 7 cm2
c) 8 cm2
L
5 cm.
d ) 10 cm2
R
e) N.A. U
59. En el plano cartesiano se tiene la recta 3x – 4y + 24=0 y el punto P(1,10). Calcular la suma de las coordenadas del centro de un cuadrado donde un lado es paralelo a dicha recta y el punto P es vértice del cuadrado cuyo lado es 5. a) 10 b) 11 c) 13 d) 14 e) 15 60. Dado P=(6,4), calcular la ecuación de la mediatriz del OP en el plano cartesiano. Si O es el origen de coordenadas. a) 2y + x – 11= 0 b) 2y + 2x – 12= 0 c) 2y + 3x – 13= 0 d) 2y + 4x – 14= 0 e) N.A.
8 3
61. Una recta pasa por el punto P , 4 y forma con los ejes
coordenadas un triangulo de perímetro 24u Hallar su ecuación. a) 3x + 2y = 22 b) 3x + 3y = 23 c) 3x + 4y = 24 d) 3x + 5y = 25 e) N.A.
a) b) c) d) e)
y
y área 24u 2.
E T
17x – 6y +64 = 0 7x – 6y +64 = 0 x – 3y +64 = 0 17x – 5y +64 = 0 17x – 6y +32 = 0
x P
66. En un plano cartesiano X – Y de origen O se tiene un cuadrado OABC de modo que A ( 0, m ), en BC se ubica el punto P (12,3). Hallar la ecuación de la recta que contiene a la bisectriz del ángulo PAB. a) x + 3y – 36 = 0 b) x - y – 6 = 0 c) x + 3y – 3 = 0 d) x - 2y – 36 = 0 e) x - 3y – 36 = 0 67. Un niño ubicado en su casa A(-7,1) desea traer agua de un río representado por la recta L:2x-y-5=0 y llevarla hasta un lugar ubicado en el punto B(-5,5). Hallar un punto sobre el río de manera que la distancia que recorra sea mínima. a) (-2,1) b) (1,-3)
c) (3,-1)
d) (2,-1)
e) (4,3)
62.
Dados los vértices de un cuadrilátero ABCD, A(2,3), B(3,6), C(5,4) y D(5,0), donde las diagonales se intersectan en el punto “Q”. Hallar la pendiente de la recta que es bisectriz del ángulo BQC. a) 1 b) 2 c)3 d) 2,5 e) 4
63. En el gráfico L1 L2, calcule la distancia del punto P a la recta L2 L2 (0,8)
a) b) c) d) e)
P(15,5)
2 3 5 4 6
(6,0) L1
64. El área de una región triangular es 8u 2.Calcular la suma de las coordenadas de uno de los vértices, si son números enteros y se encuentran en la recta de ecuación:
2y x , sabiendo 2
que los otros vértices tienen coordenadas (1, -2) y (2, 3) a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
65. En el gráfico mostrado. Hallar la ecuación de L, si T es punto de tangencia, PERU es un cuadrado y P( -3 , 0 ), E( 0 , 2 )
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