5 PROBLEMAS SOBRE INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 1) Una compañía fabrica un producto que tiene un precio unitario de venta de $ 20 y un costo unitario de $ 15. Si los costos fijos son de $ 600000, determine el número de unidades que deben ser vendidas para que la compañía tenga utilidades.
SOLUCIÓN: Precio de venta unitario
: $ 20
Costo unitario
: $ 15
Costo fijo
: $ 600000
Sea x el número de unidades vendidas.
Ingreso
: R = 20x
Costo total
: C = 15 x + 600000
Utilidad
:U=R–C = 20x – (15x + 600000) U = 5x – 600000
Como U > O 5x – 600000 > 0 5x > 600000 X >120000
Luego de la compañía obtiene utilidades si vende como mínimo 120001 unidades.
2) A los pintores con frecuencia se les paga por hora o por obra terminada. El salario que reciben pueden afectar su velocidad de trabajo. Por ejemplo, suponga que pueden trabajar por $ 8,50 la hora, o por $ 300 más $ 3,00 por cada hora por debajo de 40, si completan el trabajo en menos de 40 horas. Suponga que el trabajo les toma t horas. Si t ≥ 40, claramente el sueldo por hora es mejor. Si t < 40, para que valores de t el salario
por hora es mejor?
SOLUCIÓN: Primera modalidad: $ 8,50 por hora Salario = 8,50 t
Segunda modalidad: salario = 300 + 3 (40 - t); t < 40 = 420 – 3 t
Como
8,50 t > 420 – 3t 11,50 t > 420 t > 36,5
Luego el salario por hora es mejor para 36,5 < t 40 horas 3) En 1998, una compañía de telefonía de cierto país cobraba $ 0,15 por el primer minuto más $ 0,14 por cada minuto adicional (o parte de un minuto) en su servicio de larga distancia nacional. ¿Cuántos minutos podía una persona hablar por no más de $ 2,000?
SOLUCIÓN: Sea x el tiempo en minutos. 1er minuto: $ 0,15 Tiempo adicional: Costo adicional: $ 0,14 Como 0,15 + 0,14 (x-1) ≤ 2,00 0,15 + 0,14 – 0,14 ≤ 2,00 0,14x ≤ 1,99 x ≤ 14,21 Luego la persona podía hablar hasta 14 minutos.
4) Se desea sembrar un terreno en forma de una corona circular. El área del terreno no debe ser menor a 200m2 ni mayor a 300m2. ¿cuál es la distancia al centro del círculo a la que se encuentra cualquier punto del terreno?
SOLUCIÓN: El área de un círculo de radio R esta dado por A = ∏R 2.
Como 200 ≤ A ≤ 300
200 ≤
∏R2 ≤ 300
63,7 ≤ R2 ≤ 95,5 7,98 ≤ R ≤ 9,77
Luego el punto se encuentra a una distancia: 7,98m ≤ d ≤ 9,77m
5) Un tablero debe cortarse de tal manera que sea un triángulo equilátero. Sabiendo que el lado del triángulo debe estar comprendido entre 60cm y 80 cm, ¿Cuál es el área del triángulo que se puede obtener?
SOLUCIÓN: Para un triángulo equilátero:
√ Además 60 cm ≤ L ≤ 80 cm
3600 ≤ L2 ≤ 6400
√ ≤ √ L ≤ √ x 6400
3600
2
1559 ≤ A ≤ 2771
Luego el área del tablero está comprendido entre 1559cm 2 y 2771cm2.
3 EJERCICIOS SOBRE INECUACIONES POLINOMIALES
1) Resolver: x5 - 5x4 + 2x3+ 14x2 – 3x – 9 ≤ 0
SOLUCION: Usando Ruffini: 1
-5 1 -4 -1 -5 3 -2 3 1 -1 0
1 1 1 1 1
2 -4 -2 5 3 -6 -3 3 0
14 -2 12 -3 9 -9 0
(x-1) (x + 1)2 (x-3)2 ≤ 0 Pc: 1; -1; 3 -1
+ 1
+ 3
cs = <-∞, -1> u <-1,1] u {-1} = <- ∞; 1]
2) Resolver: (x2 + x – 6) (4x – 4 – x2) ≤ 0
SOLUCIÓN: (x2 + x – 6) (4x – 4 – x2) ≤ 0 (x + 3) (x – 2) (x2 – 4x + 4) ≥ 0 (x + 3) (x – 2) (x – 2)2 ≥ 0 (x + 3) (x – 2)3 ≥ 0 --> (x + 3) (x-2) ≥ 0
-9 9 0
1 -1 3 3 -1
Luego:
-
-3 12 9 -9 0
Pc: -3; 2 +
-
+
-2
3
Cs = <-α; -2] U [3; +α >
3) -3x3 – x2 + x – 1 < 0 -3x3 – x2 + x – 1 > 0
3
3
1
-1
1
-3
2
-1
-2
1
0
(x + 1) (3x2 – 2x + 1) > 0 (-2)2 – 4(3)(1) = -8 < 0
(x + 1) > 0
x > -1
cs = <-1, + α >
3x2 – 2x + 1 > 0
-1
INECUACIONES RACIONALES
1) Resolver:
SOLUCIÓN:
Pc: 2/3; - ½
+
-
+
-1/2
2/3
Cs = <-α, -1/2> U [ 2/3; +α >
2) Resolver:
SOLUCIÓN:
Pc: 0; 5; 7 -
+ -7
Cs = <-7,0] U [5; +α >
0
+ 5
3) Resolver:
Pc: -5; 4 +
-5
Cs = <-α, -5> U <4, +α>
+ 4
ECUACIONES EXPONENCIALES 1) Formular una ecuación cuadrática de tal modo que sus raíces son las solución de la ecuación. 5(5x + 5-x) = 26
SOLUCIÓN:
5(
+
)= 26
Si m = 5x
()
5m2 + 5 = 26 m 5m2 – 26m + 5 = 0 (5m-1)(m-5) = 0 m = 1/5; m = 5
Si m = 5x
5x = = 5-1 5x = 5
x = -1 x=1
Luego: x = {-1; 1}
Formulando la ecuación cuadrática: (x - -1) (x - 1) = 0 (x + 1) ( x - 1) = 0 x2 - 1 = 0
2) Si 4x – 10x + 25x = 10x, x
Calcular el valor de:
SOLUCIÓN: (22)x – (2 x5)x + (52)x = (2x5)x 22x – 2x . 5x + 52x – 2x . 5x = 0 2x (2x-5x) +5x (5x-2x) = 0 2x (2x-5x) -5x (2x-5x) = 0 (2x – 5x) (2x – 5x) = 0 (2x -5x)2 = 0 2x – 5x = 0 2x = 5x
Luego:
x=0
=
E=1
3) Evaluar: W = k 2 + k + 7, si se verifica que:
SOLUCIÓN: 4k+4 + 1 = 8 . 2k . 22 (22)k+4+1 = 32 .2k 22k+8 +1 = 32.2k 22k . 28 + 1 – 32.2k = 0 256 . 22k - 32.2k + 1 = 0
Si m = 2k 256m2 – 32m + 1 = 0 (16m-1)2 = 0 16m – 1 = 0 m = 1/16
Como m = 2k 2k =
2k = 2-4 K = -4
W = k 2 + k + 7 = (-4)2 – 4 + 7 = 16 – 3 W = 19
4) Una esfera tiene un radio igual a la solución de la ecuación: 9x + 3x+1 = 810. Encontrar el volumen de la esfera, suponiendo que el radio se expresa en metros.
SOLUCIÓN:
(32)x + 3x . 3 = 810 (3x)2 + 3. 3x – 810 = 0
Si m = 3x
m2 + 3 m – 810 = 0 (m-27)(m+30)= 0 m = 27; m = -30
Como
m = 3x
3x = 27 = 33 3x = -30
Luego: x = 3
Para una esfera, el volumen esta dado por:
V = 113,1m3
5) Las dimensiones de un terreno rectangular son las soluciones de la ecuación: 4x+1 + 512 = 9 . 2x+4
Hallar el perímetro del terreno
SOLUCIÓN: (22)x+1 + 512 = 9 . 2x . 24 22x . 22 + 512 = 144 . 2x 4 . 22x + 512 – 144.2x = 0 (2x)2 – 36.2x + 128 = 0
Si m = 2x
m2 – 36m + 128 = 0
(m - 4)(m-32)= 0 m = 4 ; m = 32
m=2x = 4 = 22
2x = 32 =25
x=2
x=5
Luego se tiene:
2
5
Perímetro = 2(5 + 2) = 20
