Ejercicios Sobre Formulaciòn de Problemas Lineales
1.-
Mezcla de Alimentos (Un problema de mezcla) Una lata de ½ kilogramo de alimento para conejos debe contener menos ,las siguientes cantidades de elementos esenciales :80 gr. de proteínas ,140 gr. de carbohidratos y 110 de grasas .Es necesario mezclar distintas proporciones de 4 tipos de alimentos a fin de producir una lata de comida de conejo con el mínimo costo ,que satisfaga este requerimiento .El siguiente cuadro muestra el contenido y precio de las latas de medio kilogramo de cada uno de los diferentes alimentos .Se pide formular el modelo PL para este Problema i=1,2,3,4.
Alimento Contenido y Precio por cada ½ kg de Mezcla de Alimento Proteínas (gr) Carbohidratos Grasas (gr) Precio($) (gr) 1 80 200 140 4 2 140 120 160 6 3 60 60 160 3 4 80 240 60 2
Soluciòn Xi
= Fracción de Lata de Alimento i que participa en la Mezcla. Donde i =1, 2, 3, 4.
Proteínas : 80 X1 + 140 X2 + 60 X3 + 80 X4 ≥ 80 gr
Carbohidratos : 200 X1 + 120 X2 + 60 X3 + 240 X4 ≥ 140 gr
Grasas : 140 X1 + 160 X2 + 160 X3 + 60 X4 ≥ 110 gr
Funcion Costo de la Mezcla : 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 + 2 X4
Por lo tanto La Función Objetiva es: Min Z = 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 + 2 X4
Resumen : Min Z = = 4 X1 + 6 X2 + 3 X3 + 2 X4 s.a: 80 X1 + 140 X2 + 60 X3 + 80 X4 200 X1 + 120 X2 + 60 X3 + 240 X4 140 X1 + 160 X2 + 160 X3 + 60 X4
≥ 80 gr ≥ 140 gr ≥ 110 gr
Xi ≥ 0, i = 1, 2, 3, 4.
2.-
Programación de Fuerzas de Seguridad. Un administrador de personal debe programar las fuerzas de seguridad de satisfagan los requisitos de personal de guardia indicados en el siguiente cuadro:
Horas de Servicio Medianoche-4 a.m. 4 a.m.-8 a.m. 8 a.m.-mediodía Mediodía-4 p.m. 4 a.m.-8 p.m. 8 p.m.- Medianoche
manera que
Cantidad Minima Requerida de Oficiales 5 7 15 7 12 9
Los oficiales trabajan por turnos de 8 horas .Cada día hay 6 de turnos .La hora de inicio y final de cada turno aparece en el siguiente cuadro.
Turno 1 2 3 4 5 6 El gerente de personal
Hora de Inicio Medianoche 4:00 a.m. 8:a.m. Mediodia 4:p.m. 8:00 p.m.
Hora de Terminacion 8:00 a.m. Mediodia 4:00 p.m. 8:00 p.m. Medianoche 4:00 a.m.
quiere determinar la cantidad de oficiales que deberán trabajar en cada turno ,de manera que se logre minimizar el total de oficiales empleados pero sin dejar de satisfacer
los requerimientos correspondientes a los turnos de guardia .Formule el modelo de PL para este problema.
Solución :
Turno 1 2 3 4 5 6 Requerimiento Mínimo
Intervalo ( Horario – Trabajo ) 4 – 8 8 – 12 12 – 4 4–8 X1 X2 X2 X3 X3 X4 X4 X5
12 - 4 X1
X6 5
7
15
7
12
8 - -12
X5 X6 9
Sea Xi = El Numero de Vigilantes contratados para el turno i . Donde i = 1, 2, 3, 4, 5, 6. X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6
}
Función Cuantitativa de Contrato de Oficiales Min Z = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 X1 + X6 ≥ 5 X1 + X2 ≥ 7 X2 + X3 ≥ 15 X3 + X4 ≥ 7 X4 + X5 ≥ 12 X5 + X6 ≥ 9 Xi ≥ 0 ; i =1, 2, 3, 4, 5, 6.
3.-
Sobre el Análisis del Punto de Equilibrio La Compañía Astillera nacional produce 3 modelos de lanchas de alto desempeño para competencias deportivas, estos modelos se llaman delfín(D_1), estrella(E_2), y titan (T_3). La información acerca de ingresos y costos para el próximo periodo de planeación aparecen en el siguiente cuadro .Como se observa en esta información, el costo fijo de producción de cada yate es
considerable. Costo fijo es un costo estático que se tiene que pagar independientemente de la cantidad que se vaya a producir . En el caso de la estrella E_2 se pagará el mismo costo fijo de 3 000 000, sin importar que la producción consista en 0, 1, o 40 lanchas. Los Elevados costos Fijos incluyen el costo de modificaciones de los diseños, la reconstrucción del molde y las pruebas de los yates en un estanque. La administración ya ha firmado contratos comprometiéndose a producir 700 delfin (D_1), otro cliente ha solicitado 400 Titan (T_3) y los estudios delfin mercado han convencido a la dirección de que se deben fabricar a lo sumo 300 estrella (E_2). La gerencia esta interesada en saber cuanto tendrá que vender para llegar al punto de Equilibrio considerando que existen 3 productos, compromisos previos y otras restricciones. La gerencia sabe que , para alcanzar el punto de equilibrio debe cumplirse la condición Ingreso total = costo Total y que la compañía tiene necesidad de minimizar el flujo de salida del capital, por lo que debe minimizar los costos totales, implicaría minimizar sólo los costos variables. La gerencia debe de terminar el plan de producción que tenga el menor costo variable que cumpla con las restricciones y asegure el punto de equilibrio.
Lancha
Precio De Venta Por unidad ($)
Costo Variable Por Unidad ($)
Costo Fijo
Delfín(A-1)
10 000
5 000
5 000 000
Estrella(E-2)
7 500
3 600
3 000 000
Titan(T-3)
15 000
8 000
10 000 000
Solución: Ingresos Totales = Costos Totales Sea Xi = Numero de lanchas a Producir
10 000 X1 + 7500X2 + 15 000X3 = 5 000 000 + 5000 X1 + +3 000000 + +3 600 X2 + +10 000 000 + 8 000 X3
I.T Min Z = 5000 X1 + 3 600 X2 + 8000 X3 s.a: 5000 X1 + 3900 X2 + 7000 X3 = 18 000 000 X1+ ≥ 700 X2 ≤ 300
C.T
X3
4.-
≥
400
Mezcla de Minerales La compañía automotriz D y D, produce maquinarias pesada y entre esas fabrica el modelo Oruga XL. Para ello desea mezclar el mineral de hierro de 4 minas distintas para elaborar los rodamientos (bandas) destinados a este producto, diseñadas especialmente para competir en el mercado europeo. Para producir una mezcla dotada de las cualidades de tracción adecuadas deben cumplirse requerimientos mínimos respecto a 3 elementos básicos que, para simplificar se identifican como : A, B, C. En términos específicos cada tonelada de mineral mezclado deberá contener, cuando menos 5kg del elemento básico A, 100kg del elemento básico B y 30 kg del elemento básico C como se muestra en le siguiente cuadro. El mineral extraído de cada uno de las 4 minas posee esos 3 elementos básicos, pero en cantidades distintas. Estas composiciones, expresados en kg/ton y el costo por ton de cada mineral se muestran en el mismo cuadro.
Requerimientos Básicos ELEMENTO BASICO
Mina
Requerimiento Mínimo Por Tonelada De Mezcla(Kg.)
A
(Kg De Cada Elemento Por Tonelada De Mineral) 1 2 3 4 10 3 8 2
B
90
150
75
175
100
C
45
25
20
37
30
800
400
600
500
Costo Del Mineral ($/Ton.)
Solución :
5
Sea Xi : Las Minas. Z : La Funcion Objetivo
Min Z = 800 X1 + 400 X2 + 600 X3 + 500 X4 Elemento A : Elemento B : Elemento C :
10 X1 + 3 X2 + 8 X3 + 2 X4 ≥ 5 90 X1 + 150 X2 + 75 X3 + 175 X4 ≥ 100 45 X1 + 25 X2 + 20 X3 + 37 X4 ≥ 30 X1, X2, X3 ≥ 0
5.-
A un joven matemático se le pidió que se le entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. El pensó que seria una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al matemático s/ 5000. El joven sabia que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero el siempre bebía menos de 8 vasos de cerveza, 10 ginebras ,12 whiskys y 24 martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15’ para cada vaso de cerveza,6 por vaso de ginebra, 7’ y 4’ por vaso de whisky y martín. Los precios de la bebida eran: Cerveza s/ 100 el vaso Whisky s/ 200 el vaso
Ginebra s/ 200 el vaso Martín s/ 400 el vaso
El matemático pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90’ que tenia para entretener a su huésped. Logro que un amigo químico le diese el contenido alcohólico en forma cuantitativa siendo las unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 por vaso. ¿cómo resolvió el matemático el problema? SOLUCION Xi= # de vasos de tipo (1: Cerveza;2: ginebra; 3:Whisky; 4: Martíni ) F.O. Max Z= 17X1 + 15X2 +16X3 + 7X4 s.a. 100X1 +200X2 +200X3 + 400X4 <= 5000 X1 <= 8 X2 <= 10 X3 <= 12
15X1 + 6X2 + 7X3 +
X4 <= 24 4X4 <= 90 Xi >= 0
6.-
En una maniobra financiera calculada, PROTAC ha adquirido una nueva instalación de altos hornos para producir hierro fundido. Al grupo de administradores científicos de la compañía se le ha asignado la tarea de proporcionar apoyo para la planeación cuantitativas de las actividades de la fundición. La primera instrucción es proporcionar una respuesta a la siguiente pregunta: ¿Cuánto personal nuevo para los fosos de escoria se debe contratar y entrenar en los siguientes seis meses? En la tabla siguiente se proporciona los requisitos para empleados entrenados en los fosos y las tasas de salarios mensuales para los próximos seis meses.
MES
Requerimientos de trabajo(horas) Tasas de salarios mensuales. ($) 7.-
ENE 7800
FEB 7500
MAR 7500
ABR 9200
MAY 10000
JUN 9000
1200
1200
1300
1300
1400
1400
El personal para entrenamiento se contrata al inicio de cada mes. Una consideración que debe tomar en cuenta es que el sindicato establece que un trabajador necesita un mes de instrucción en aulas antes que se le considere lo suficientemente bien entrenado como para trabajar en los fosos. Por lo tanto, es obligatorio que se contrate ha personal para entrenamiento por lo un mes antes de la fecha que se necesite en realidad un trabajador Cada estudiante usa 80 horas de tiempo de un empleado entrenado en los fosos de escoria, por lo que cuenta con 80 horas menos que los empleados para trabajar en el foso. También se informo que por acuerdo contractual, cada empleado puede trabajar hasta 165 horas al mes (tiempo total, incluyendo instrucción y trabajo en el foso). Si el tiempo máximo de los empleados entrenados disponible excede los requerimientos de un mes, la administración disponible excede los requerimientos de un mes, la administración puede despedir cuanto mas al 15% de los empleados entrenados al inicio del mes. A todos los empleados se les paga el sueldo completo de un mes incluso si son despedidos. Una persona en entrenamiento cuesta $/ 600 al mes en sueldos y otras prestaciones. Al inicio de enero se cuenta con 40 empleados entrenados. Formule el problema de contratación y entrenamiento como un modelo de PL.
SOLUCION: Xij = # de empleados que durante el mes i se encuentran en la situación
i = Enero, Febrero, Marzo, Abril, Mayo, Junio j = Empleado, Entrenamiento Mes Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio
Empleados X11 X21 X31 X41 X51 X61
Entrenamiento X12 X22 X32 X42 X52 X62
En enero hay (40 empleados )(165 horas) =6600 hrs Empleado entrenado =165 horas Empleado en entrenamiento = -80 horas Costo de empleado en entrenamiento = $/ 600 F.O: Min Z = 1200( ∑ Xi1 ) + 1300 ( ∑ Xi1 ) + 1400( ∑ Xi1 ) + 600 ( ∑ Xi2 ) } s.a. Enero = Febrero = Marzo = Abril = Mayo = Junio =
6600 + 165X11 0.85(Ene) + 165X21 0.85(Feb) + 165X31 0.85(Mar) + 165X41 0.85(Abr) + 165X51 0.85(May) + 165X61
- 80X12 >= 7800 - 80X22 >= 7500 - 80X32 >= 7500 - 80X12 >= 9200 - 80X52 >= 10 000 - 80X62 >= 9000
X21 <= X12
8.-
Xij >=0
Un procedimiento de manufactura utiliza dos recursos en la elaboración de 3 productos, la tecnología del procedimiento es : - Producto 1 requiere; 7 libras de recurso 1 y 5 cajas del recurso 2. - Producto 2 requiere; 4 libras de recurso 1 y 3 cajas del recurso 2. - Producto 3 requiere; 3 libras de recurso 1 y 2 cajas del recurso 2. Existen 100 libras del recurso 1 y 150 cajas del recurso dos. Formule un modelo de programación lineal de tal manera que se maximicen los beneficios de la línea de producción. Cuando las contribuciones de producto son S/ 10, S/ 10 y S/ 7.50 respectivamente. Producto
Rec 1
1 2 3
7 4 3 100
MaxU 10 X 1 10 X 2 7.5 X 3
Rec 2 Utilidad
5 3 2 150
10 10 7.5
7 X 1 4 X 2 3 X 3 100
5 X 1 3 X 2 2 X 3 150 X1, X 2 , X 3 0
9.-
Un fabricante de muebles independiente hace tres estilos diferentes de mesas A, B, y C. Cada modelo de mesa requiere de cierta cantidad de tiempo para el corte de las piezas, su montaje y pintura. Se puede vender todas las unidades que fabrica. Es mas, el modelo B se puede vender sin pintar utilizando los datos de la tabla siguiente, formule un modelo de programación lineal que ayude al fabricante a determinar la mezcla de productos que maximizara sus utilidades. Tiempo de Ensamblado Modelo Corte Por Mesa(horas) A 1 2 B 2 4 B sin pintar 2 4 C 3 7 Capacidad (horas/mes)
200
300
Pintura 4 4 0 5
Utilidad por mesa 35 40 20 50
150
MaxU 35 X 1 40 X 2 20 X 3 50 X 4
X 1 2 X 2 2 X 3 3 X 4 200 2 X 1 4 X 2 4 X 3 7 X 4 300
4 X 1 4 X 2 5 X 4 150 X1, X 2 , X 3 0
10.- Un avicultor desea alimentar a sus animales en forma tal que se cubran sus necesidades de nutrición a un costo mínimo. El avicultor esta estudiando el uso de maíz, solla , avena, y alfalfa. En el cuadro se muestra la información dietética importante por libra de grano(por ejemplo, una libra de maíz proporcional 15 mg de proteína). Elabore un modelo de programación lineal para determinar la mezcla dietética que satisfaga los requisitos diarios a un costo mínimo.
Nutriente
Maíz
Soya
Avena
Alfalfa
Proteína(mg) Calcio(mg) Grasas(mg) Calorías Costo por libra
15 40 20 850 70
30 10 50 1500 45
15 40 8 1200 40
7 45 25 4000 90
MaxU 70 X 1 45 X 2 40 X 3 90 X 4 15 X 1 30 X 2 15 X 3 7 X 4 50
40 X 1 10 X 2 40 X 3 45 X 4 150 20 X 1 50 X 2 8 X 3 25 X 4 120
Necesidades diarias Min de 50 mg Min de 150 mg Max de 120 mg Min de 25 mg Min de 5000 mg
20 X 1 50 X 2 8 X 3 25 X 4 25
850 X 1 1500 X 2 1200 X 3 4000 X 4 5000 X1, X 2 , X 3 0
11.- Dos productos son manufacturados en tres maquinas. Una libra de cada producto requiere un numero especifico de horas en cada maquina, como se muestra en el cuadro. El total de horas disponibles de la maquina 1, 2 y 3 corresponde, respectivamente a 10 , 16 y 12, las utilidades por libra de los productos 1 y 2 son 4 y 3 respectivamente. Defina las variables de decisión y formule el problema como un modelo de programación lineal para maximizar las utilidades. Maquinas 1 2 3 Utilidad
Productos 1 3 1 5 4
2 2 4 3 3
Horas Disponibles 10 16 12
MaxU 4 X 1 3 X 2
3 X 1 2 X 2 10 X 1 4 X 2 16 5 X 1 3 X 2 12 X1, X 2 , X 3 0
12.- Un procedimiento de mezclas combina dos materias primas(recursos) con un producto químico para fabricar 3 productos. El procedimiento tiene 1500 libras disponibles de recurso A, 2000 libras del recurso B, 850 libras del producto químico, y 375 horas de mano de obra. El producto 1 requiere 15 libras del recurso A, 20 del B, 0.5 del producto químico y 2 horas de mano de obra para producir un paquete; el producto 2 requiere 3libras del recurso B, 175 libras de producto químico y 3 horas de mano de obra para producir un paquete; el producto 3 requiere 40 libras del recurso A, 0.3 del producto químico y 1.5 horas de mano de obra para producir un paquete. Las contribuciones de cada producto se han estimado en $ 1.20, 1.80 y 1.55 por paquete. Formule un modelo de programación lineal que maximice los beneficios.
Prod 1 Recur A 15 Recur B 20 Producto Químico 0.5 Mano Obra 2 Utilidad $ 1.2
Prod 2 0 30 175 3 1.8
MaxU 120 X 1 180 X 2 155 X 3
15 X 1 40 X 2 1500 20 X 1 30 X 2 2000
Prod 3 40 0 0.3 1.5 1.55
Disponible 1500 2000 850 375
0.5 X 1 175 X 2 0.3 X 3 850
2 X 1 3 X 2 1.5 X 3 375 X1, X 2 , X 3 0
13.- Para efectos de un importante proyecto de salud publica se dispone de 120 médicos, 100 enfermeras y 80 asistente sociales. Los equipos asignados a las postas medicas de “Pueblo Jóvenes” deberán estar formados por tres médicos, 2 enfermeras y 2 asistentes sociales. Los equipos asignados a las postas medicas urbanas, estarán formados por 2 médicos, 2 enfermeras y 1 asistenta social. Se estima que cada equipo urbano atiende a 100 consultas diarias y cada equipo de pueblo joven atiende a 130 consultas. Construya un modelo de programación lineal que permita determinar el numero optimo de postas medicas de cada equipo.
Médicos Enfermeras Asistente Social Consulta Diaria
Pueblo Urbano Disponible Joven 15 0 40 20 30 0 0.5 175 0.3 2 3 1.5
MaxU 130 X 1 100 X 2 3 X 1 2 X 2 120 2 X 1 2 X 2 100 2 X 1 X 2 80 X1, X 2 , X 3 0
14.- Peg y Al Fundy tienen un presupuesto limitado para su alimentación, por lo que Peg trata de alimentar a la familia lo mas económicamente posible. Sin embargo, quiere asegurar que su familia tome sus requerimientos alimenticios diarios. Peg puede comprar dos tipos de alimentación. El tipo 1 se vende a 7 dólares la libra, y cada libra contiene 3 unidades de vitamina A y 1 unidad de vitamina C. El tipo 2 se vende en 1 dólar la libra, y cada libra contiene 1 unidad de cada vitamina. Cada día, la familia necesita por lo menos 12 unidades de vitamina A y 6 de vitamina C. Formule un PL que te permita maximizar numero de alimentos requeridos por día. Grafico de la tabla de tipo de alimentación Tipo de Alimentación x1
Tipo 1
Vitamina A Vitamina C 3
1
x2
Tipo 2
1
1
Solución: Definimos las variables de decisión. x1 = numero de tipo de alimentación 1 x2 = numero de tipo de alimentación 2 Por lo tanto, la función objetivo es: Z = 7x1 + x2 s.a. 3x1 + x2 >= 12 x1 + x2 >= 6 x1 , x2 >= 0
15. - Durante cada periodo de 4 horas, la policía de Smalltown necesita el siguiente numero de oficiales en servicio: de medianoche a 4 a.m., 8: de 4 a.m. a 8 a.m., 7: de 8 a.m. a mediodía, 6: de mediodía a 4 p.m., 6: de 4p.m. a 8p.m., 5: de 8 p.m. a medianoche, 4. Cada oficial trabaja durante dos turnos seguidos de 4 horas. Formule un PL que se pueda utilizar para minimizar el numero de policías que se necesitan para cumplir con los requerimientos diarios de Smalltown. Grafico de la tabla de numero de policías requerido Tiempo Periodo
Numero de Policías requeridos 8
x2
Medianoche – 4 a.m. 4 a.m. – 8 p.m.
x3
8 p.m. - mediodía
6
x4
Mediodía – 4 p.m.
6
x5
4 p.m. – 8 p.m.
5
x6
8 p.m. – medianoche
4
x1
7
Solución: Definimos las variables de decisión xi = numero de policías que trabajan el turno i. Por lo tanto, la función objetivo es: Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 s.a x1 + x2 >= 8 x2 + x3 >=7 x3 + x4 >=6 x4 + x5 >=6 x5 + x6 >=5 x1 + x6 >=4
16.- Una oficina de correos necesita un número diferente de empleados de tiempo completo, para diferentes días de la semana. El número de empleados de tiempo completo requeridos para cada día, se da en la tabla 3. Las reglas sindicales señalan que cada empleado de tiempo completo, tiene que trabajar durante cinco días consecutivos y, después, descansar dos días. Por ejemplo, un empleado que trabaja de lunes a viernes, tiene que descansar el sábado y domingo. La oficina de correo quiere cumplir con sus requerimientos diarios y utilizar solamente empleados de tiempo completo. Formule un PL que pueda utilizar la oficina de correos para minimizar el número de empleados de tiempo completo que hay que contratar. Taba 03: Requisitos para el ejemplo de la oficina de correos
Día 1= lunes Día 1= lunes Día 1= lunes Día 1= lunes Día 1= lunes Día 1= lunes Día 1= lunes
NUMERO DE EMPLEADOSN DE TIEMPO COMPLETO REQUERIDOS 17 13 15 19 14 16 11
SOLUCION Antes de dar el planteamiento correcto de este problema, se analiza primero una solución incorrecta. Muchos estudiantes empiezan por definir xi = el número de empleados que trabajan en el día i (el día 1=
lunes, el día 2 = martes, etc). Después dicen que (número de empleados de tiempo completo) = (número de empleados que trabajan el lunes) + (número de empleados que trabajan el martes) + .... + (número de empleados que trabajan el domingo). Este razonamiento lleva a la siguiente función objetivo: min = x1 + x2 + x3 + ........ + x6 + x7 Para que la oficina de correos tenga suficientes empleados de tiempo completo trabajando cada día, simplemente añaden las restricciones xi ≥ (el número de empleados requeridos el día i) . Por ejemplo, para el lunes hay que añadir la restricción xi ≥ 17 . Al añadir las restricciones de signo xi ≥ 0 ( i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) tenemos el siguiente PL
min = x1 + x2 + x3 + x4 +x5 + x6 + x7 s.a. x1 ≥17 x2 ≥13 x3 ≥15 x4 ≥19 x5 ≥14 x6 ≥16 x7 ≥11 X1 ≥0 ( i = 1, 2, ......, 7) Hay por lo menos dos fallas en este planteamiento. Primero, la función objetivo, no es el número de empleados de tiempo completo de la oficina de correos. La función objetiva cuenta cinco veces al mismo empleado, no solo una vez. Por ejemplo, cada empleado que empieza a trabajar el lunes, también trabaja del martes al viernes, y esta incluido en x1 , x2 , x3 , x4 y x5. Segundo, las variables x1, x2, x3 x4, x5, ...., x7 se relacionan entre sí, y la interrelación entre las variables no se expresa en el conjunto actual de restricciones . por ejemplo, algunas personas que trabajan el lunes (la gente x i ) también trabajaran el martes. Esto implica que x 1 y x2 están relacionadas , pero nuestras restricciones no indican que el valor de x1 influye en el valor de x2. La clave para formular correctamente este problema es darse cuenta que la decisión principal de la oficina de correos no es cuantas personas trabajan cada día sino cuantas personas empiezan a trabajar cada día de la semana. Tomando esto en cuenta, definimos: Xi = número de empleados que empiezan a trabajar el día i Por ejemplo, x1 , es el número de personas que empiezan a trabajar el lunes (estas personas trabajan de lunes a viernes ). Con la definición adecuada de las variables es fácil determinar correctamente la función objetivo y las restricciones. Para determinar la función objetivo, obsérvese que ( número de empleados de tiempo completo) = ( número de empleados que empiezan a trabajar el lunes) + ( número de empleados que empiezan a trabajar el lunes ) + (número de empleados que empiezan a trabajar el martes ) + ............... + ( número de empleados que empiezan a trabajar el domingo ). Ya que cada empleado empieza a trabajar exactamente un día de la semana, esta expresión no cuenta dos veces a los empleados. Por lo tanto, con la definición correcta de las variables, la función objetivo es:
min = x1 + x2 + x3 + x4 +x5 + x6 + x7 La oficina de correos tiene que asegurar que hay suficientes empleados trabajando cada día de la semana. Por ejemplo por lo menos 17 empleados tienen que trabajar el lunes. ¿Quién está trabajando el lunes? Todos, menos los empleados que empiezan a trabajar el martes o el miércoles (ellos descansan el domingo y el lunes y el lunes y el martes respectivamente). Esto significa que el número de empleados que trabajan el lunes, está dado por x1 + x4 +x5 + x6 + x7. Para asegurar que por lo menos 17 empleados trabajan el lunes, se tiene que satisfacer la restricción. x1 + x4 +x5 + x6 + x7 ≥ 17 Al añadir restricciones similares para los otros seis días de la semana y las restricciones de signo x i ≥ 0 ( i = 1,2,......,7), se obtiene la siguiente formulación del problema de la oficina de correos: min = x1 + x2 + x3 + x4 +x5 + x6 + x7 s.a.
x1 + x4 +x5 + x6 + x7 ≥ 17 (Rest. del lunes) x1 + x2 +x5 + x6 + x7 ≥ 13 (Rest. del martes) x1 + x2 + x3 + x6 + x7 ≥ 15 (Rest. del miércoles) x1 + x2 + x3 + x4 + x7 ≥ 19 (Rest. del jueves) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 ≥ 14 (Rest. del viernes) x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 ≥ 16 (Rest. del sábado) x3 + x4 +x5 + x6 + x7 ≥ 11 (Rest. del domingo) xi ≥ 0 ( i= 1,2 ,......., 7)
(Rest. de signo)
La solución optima para este PL es z= 67/3, x 1 = 4/3, x2 = 10/3, x3 = 2, x4 = 22/3, x5 = 0, x6 = 10/3, x7 = 5. Sin embargo ya que solamente se admiten empleados de tiempo completo , las variables tienen que ser números enteros , con lo que la Suposición de la divisibilidad no se satisface. Al intentar tener una respuesta razonable , solamente con variables enteras, podríamos tratar de redondear las variables, lo que producirá la solución factible z = 25, x 1 = 2, x2 = 4, x3 = 2, x4 = 8, x5 = 0, x6 = 4, x7 = 5. Resulta sin embargo, que la solución optima para el trabajo para la oficina de correos, mediante la programación entera, es z = 23, x1 = 4, x2 = 4, x3 = 2, x4 = 6, x5 = 0, x6 = 4, x7 = 3. Obsérvese que no hubiera sido posible obtener la solución óptima con puros enteros mediante el redondeo de la solución óptima de la programación lineal. 17.- Star Oil Company considera cinco diferentes oportunidades de inversión. En la tabla 05 se dan los desembolsos de caja y los valores actuales neto (en millones de dólares). Star Oil Company dispone de 40 millones de dólares para invertir en el momento actual ( tiempo 0) ; estima que en un año (tiempo 1 ) dispondrá de 20 millones de dólares para invertir. Star Oil Company puede comprar cualquier fracción de cualquier inversión. En este caso las salidas de la caja y los VAN se ajustan de forma correspondiente. Por ejemplo si Star Oil Company comprara una quinta parte de la inversión 3, entonces si necesitaría un desembolso de efectivo de 1/5(5) = 1 millón de dólares de tiempo 0, y un desembolso de 1/5(5) = 1 millón de dólares en el tiempo 1. La quinta parte de la inversión 3 producirá un VAN de 1/5(6) = 3.2 millones de dólares . Star Oil quiere maximizar el VAN que se puede obtener mediante las inversiones 1 a 5 : Formule un PL que ayude a alcanzar esta meta. Supóngase que los fondos no usados en el tiempo 0, no se pueden utilizar en el tiempo 1. TABLA 05 : FLUJOS DE EFECTIVO Y EL VALOR ACTUAL NETO PARA LAS INVERSIONES EN EL EJMPLO DE PRESUPUESTO DE CAPITAL
Salida de caja al tiempo 0 Salida de caja al tiempo 1 VAN
INV 1* 11 3 13
INV 2* 53 6 16
INV 3* 5 5 16
INV 4* 5 1 14
INV 5* 29 34 39
Star Oil tiene que determinar que fracción de cada inversión hay que comprar Definimos Xi fracción de la inv. i comprada por Star Oil ( i = 1,2,3,4,5) La meta de Star Oil es maximizar el VAN Ganado por las inversiones. Ahora (VAN total) = ( VAN ganado por la inversión 1) + ( VAN ganado por la inversión 2) + .................. + ( VAN ganado por la inversión 5). Obsérvese que VAN de la inv. 1 = ( VAN de la inv. 1 ) (fracción de la inv. 1 comprada ) = 13 x1 Al aplicar un razonamiento similar a las inversiones 2 a 5 , vemos que Star Oirl quiere maximizar z = 13x1 + 16x2 + 16x3 + 14x4 + 39x5 Se puede expresar las siguientes restricciones de Star Oirl como: Restricción 1 Star no puede invertir mas de 40 millones de dólares en el tiempo 0 Restricción 2 Star no puede invertir mas de 20 millones de dólares en el tiempo 1 Restricción 3 Star no puede comprar mas de 100% de la inversión i ( i = 1,2,3,4,5) Para expresar matemáticamente la Restricción 1, obsérvese que (dólares invertidos en el tiempo 0 ) = (dólares invertidos en la inv. 1 en el tiempo 0) + (dólares invertidos en la inv. 2 en el tiempo 0) + ........ + (dólares invertidos en la inv. 5 en el tiempo 0). También en millones de dólares. Dólares invertidos en la inv.1 en el tiempo 0 = (dólares requeridos para la inv. 1 en el ( fracción de inv. 1 compr.) = 11 x1 De manera similar para las inversiones 2 a 5 Dólares invertidos en el tiempo 0 = 11x1 + 53x2 + 5x3 + 5x4 + 29x5 Entonces la restricción 1 se reduce a: 11x1 + 53x2 + 5x3 + 5x4 + 29x5 ≤ 40 (Restricción del tiempo 0) La restricción 2 se reduce a : 3x1 + 6x2 + 5x3 + x4 + 34x5 ≤ 20 (Restricción del tiempo1 ) Se pueden representar las restricciones 3 a 7 mediante Xi ≤ 1 (i = 1,2,3,4,5) Al combinarla restricciones de signo xi ≥ 0 ( i= 1,2,3,4,5), obtenemos el PL siguiente: max z = 13x1 + 16x2 + 16x3 + 14x4 + 39x5 s.a. 11x1 + 53x2 + 5x3 + 5x4 + 29x5 ≤ 40
(Restricción del tiempo 0)
tiempo 9)
3x1 + 6x2 + 5x3 + x4 + 34x5 ≤ 20 x1 x2 x3
≤ ≤ ≤ x4 ≤ x5 ≤
(Restricción del tiempo1 )
1 1 1 1 1
xi ≥ 0 ( i= 1,2,3,4,5) La solución óptima para este PL es x1= x3 = x4 = 1, x2 = 0.201, x5 = 0.288, 57.449. Star Oirl tendría que comprar el 100% de las inversiones 1, 3 y 0.120 de la inversión 2; y el 28.8 % de la inversión 5. Se obtendrá un VAN TOTAL DE 574490 dólares para estas inversiones.
18.- Un granjero puede criar ovejas, cerdos y ganado vacuno, Tiene espacio para 30 ovejas, ó 50 cerdos; ó, 20 cabezas de ganado vacuno, o cualquIer combinación de estos (con la relación siguiente), 3 ovejas, 5 cerdos, o 2 vacas usan el mismo espacio, los beneficios (utilidades) dadas por animal son 5,000, 5,000 Y 1,000 intis por ovejas, cerdos y vacas respectivamente: El granjero debe criar por ley, a menos tantos cerdos como ovejas y vacas juntos, SOLUCIÓN: Definición de variables, XI = Número de ovejas a criar, X2 = Número de cerdos a criar X3 = Número de vacas a criar, Min z = 5,000XI + 5,000X2 + 1,000X3 Sujeto a: XI <= 30 X2 <= 50 X3 <=20 X2 >= Xl + X3 X1 + 3/5 X2 + 3/2 X3 <= 30 Xj > O
J=l, 2,3
19.- Una refinería puede comprar 2 tipos de petróleo: petróleo crudo ligero y petróleo crudo pesado. El costo por barril de estos tipos de petróleo es de $ 11 y $ 9 respectivamente. De cada tipo se producen por barril las siguientes cantidades de gasolina, kerosene y combustible para reactores.
Petroleo crudo Ligero
Gasolina
Kerosene
0.40
0.20
Combustible para reactores 0.35
Petroleo crudo pesado
0.32
0.40
0.20
La refinería tiene un contrato para entregar 1 millón de barriles de gasolina, 400,000 barriles de kerosene y 250,000 barriles de combustibles para reactores. Encontrar el número de barriles de cada tipo de petroleo crudo que satisfacen la demanda y qu7e minimicen el costo total. Solución: Petroleo curdo ligero = X Petroleo crudo Pesado = y Min Z = 11X + 9Y Sujeto a: 0.40X + 0.32 Y ≥ 1’000,0000 0.20X + 0.40 Y ≥ 400,000 0.35X + 0.20 Y ≥ 250,000 X , Y ≥ 0
UN PROBLEMA DE ESTACIONAMIENTO DEL HORARIO DE TRABAJO 20.- Durante cada periodo de 4 horas, la policía de Huaral necesita el siguiente número de oficiales en servicio, mostrado en la tabla. Cada oficial trabaja durante 2 turnos seguidos de 4 horas. Formule un PL que se pueda utilizar para minimizar el número de oficiales que se necesitan para cumplir con los requiremientos diarios de Huaral.
1 2 3 4 5 6
Tiempo Periodo 12m-4 am. 4 am.-8 am. 8 am.-12m 12m-4 pm. 4 pm.-8 pm. 8 pm.-12m
Numero de Oficiales 8 7 6 6 5 4
Solución
Xi = numero de Oficiales que empiezan a trabajar en el Periodo i X1= Estos oficiales trabajan el 1er periodo, 2do periodo, 4to periodo y 5to periodo
La función Objetivo seria: (Numero de oficiales diarios) = (numero de oficiales que trabajan el 1er periodo)+ (numero de oficiales que trabajan el 2do periodo) + (numero de oficiales que trabajan el 3er periodo) + (numero de oficiales que trabajan el 4to periodo) + (numero de oficiales que trabajan el 5to periodo) + (numero de oficiales que trabajan el 6toperiodo) Por lo tanto la función objetivo es: minz=X1 +X2
+X3 +X4 +X5 +X6
La policía de Huaral tiene que asegurar que hay suficientes oficiales en servicio en cada periodo. Por Ej. 8 oficiales en el 1er periodo. ¿Y quienes trabajan en el 1er periodo? Todos, menos los oficiales que empiezan su servicio el 2do periodo y 5to periodo. Ya que ellos descansan un periodo de 4 horas. Esto significa que oficiales que están en servicio el 1er periodo esta dado por X1+X3+X4+X6 .Para cumplir que por lo menos hay 8 oficiales en servicio en el 1er periodo, tiene que satisfacer la restricción.
X1+X3+X4+X6>=8
Entonces las restricciones serian:
X1+X3+X4+X6>=8 (Restricción del 1er periodo) X1+X2+X4+X5>=7 (Restricción del 2do periodo) X2+X3+X5+X6>=6 (Restricción del 3er periodo) X1+X3+X4+X6>=6 (Restricción del 4to periodo) X1+X2+X4+X5>=8 (Restricción del 5to periodo) X2+X3+X5+X6>=8 (Restricción del 6to periodo) Xi >=0 (1, 2, 3, 4, 5,6) UN PROBLEMA PARA MINIMIZAR COSTOS 21.- U.S.Labs produce válvulas mecánicas para el corazón a partir de válvulas de cerdos. Operaciones diferentes del corazón necesitan válvulas de distintos tamaños. U.S.Labs compra válvulas de puerco de 3 proveedores diferentes. Los costos y la mezcla de tamaños de las tabulas comprados de cada proveedor, se muestran en la tabla. Cada mes ,U.S.Labs hace un pedido a cada proveedor. Hay que comprar por lo menos 500 válvula grandes ,300 medianas y 300 pequeñas, al mes.Debido a la disponibilidad limitada de tabulas de puercos, solamente se pueden comprar mensualmente, a lo mas 500 válvulas de cada proveedor. Formule un PL que se pueda utilizar para minimizar el costo para adquirir la válvulas necesarias.
Proveedor 1 Proveedor 2 Proveedor 3
Costo por Válvula($) 5 4 3
Válvula Grande 200 150 100
Válvula Mediana 200 175 100
Válvula Pequeña 100 175 300
Solución: Definimos las variables de decisión
X1= numero de válvulas comprado al proveedor 1 X2= numero de válvulas comprado al proveedor 2 X3= numero de válvulas comprado al proveedor 3 El objetivo es minimizar el costo para adquirir las válvulas necesarias. Se puede determinar el costo total a partir de la séte relación. (Costo Total de las Válvulas) = (Costo del Proveedor 1) + (Costo del Proveedor 2) + Proveedor 3) Para evaluar el costo del proveedor 1 seria: Costo del Proveedor1 =
(
Válvulas Compradas
) = 5X
1
Al aplicar estos a los otros 2 proveedores, obtenemos (dólares) Costo Total de la Válvulas = 5X1 + 4X2 + 3X3 Así la Función Objetivo seria: min z = 5X1 + 4X2 + 3X3 las variables de decisión que tiene que satisfacer las sgtes 4 restricciones serian: Restricción 1 Al mes se compra por lo menos 500 válvulas grandes. Restricción 2 Al mes se compra por lo menos 300 válvulas grandes. Restricción 3 Al mes se compra por lo menos 300 válvulas grandes. Para expresar la restricción 1 en términos de variables de decisión
( (
Compra Válvulas Grandes
Válvulas Grandes del Proveedor 3
).= (
Válvulas Grandes del Proveedor 1
). + (
Válvulas Grandes del Proveedor 2
).
Se puede determinar las válvulas grandes compradas a partir. Válvulas Comprados Proveedor 1
Válvulas Grandes Comprado
). +
(Costo del
(
).= (
). =
200X1
Con esto se llega a: Válvula Grandes Comprado al Mes=200X1+150X2+100X3 Se puede Expresar la restricción 1 por 200X1 + 150X2 + 100X3 >=500 Restricción 2 (Válvulas Medianas) 200X1 + 175X2 + 100X3>=300 Restricción 3 (Válvulas Pequeñas) 100X1 + 175X2 + 300X3>=300 finalmente ay que cumplir con las restricciones de signo Xi >= 0(i=1,2,3) Por lo tanto Min z = 5X1 + 4X2 + 3X3 s.a
200X1 + 150X2 + 100X3 >=500 200X1 + 175X2 + 100X3>=300 100X1 + 175X2 + 300X3>=300 Xi >= 0(i=1,2,3) Flores Gonzales Alan 22.- Una compañía de artículos electrónicos produce tres líneas de productos que son: Transistores, Micromódulos y circuitos armados y el centro de producción tiene cuatro áreas de proceso. Área 1: Producción de transistores Área 2: Armadura de Circuitos Área 3: Control de Transistores y Micromódulos Área 4: Prueba de circuitos y Embalaje La producción de un Transistor requiere: 0.1 horas-hombre en el Área 1 0.5 horas-hombre en el Área 3 S/.70 En costos directos. La producción de un Micromódulo requiere: 0.4
horas-hombre en el Área 2
0.5 horas-hombre en el Área 3 3 Transistores S/.50 En costos directos. La producción de un Circuito Armado requiere: Circuitos Armados
Transistores
Micromódulos
0.1 0.5
0.3 0.4 2.0
1.0 1.3 6.5 0.5
S/ 70
S/ 50
S/ 200
Área 1 Área 2 Área 3 Área 4 Costos Directos 1 3 S/.200
HorasHombre Disponibles 200 200 200 200
0.1 horashombre en el Área 2 0.5 ho ra s-
hombre en el Área 4 Transistores. Micromódulos En costos directos.
Cada uno de los tres productos se puede vender a S/.200, 800 y 2 500 soles respectivamente(Transistores, Micromódulos y circuitos armados). La cantidad de venta es limitada; si hay 200 horas-hombres disponible en cada área de trabajo. Formule el programa lineal para obtener una Máxima ganancia.
X1 = Número de Transistores a producir X2 = Número de Micromódulos a producir X3 = Número de Circuitos armados a producir El número de horas que se necesita de cada Área para fabricar cada producto, se muestra en el siguiente cuadro
Por lo tanto el Programa lineal es: Max Z = (200-70)X1 + (800 - 3*70 - 50)X2 +(2500 – 1*70 – 3(3*70+50)-200)X3 Max Z = 130X1 + 540X2 + 1450X3 sa: 0.1X1 + 0.30X2 + 1 X3 ≤ 200 0.4 X2 + 1.3X3 ≤ 200 0.5X1 + 2 X2 + 6.5X3 ≤ 200 Restricciones 0.5X3 ≤ 200 X1 ,X2 ,X3 200 23.- Considere el problema de asignar tres tipos de Avión a cuatro Rutas. La tabla ofrece los Datos pertinentes:
Tipo de Capacidad Número de Número de Viajes diarios en la Ruta Avión (pasajeros) Avión 1 2 3 4 1 50 5 3 2 2 1 2 30 8 4 3 3 2 3 20 10 5 5 4 2 Números Diarios de Clientes 1000 200 900 1200
Los Costos asociados son: Tipo de Avión 1 2 3 Costo de Penalización por Cliente
Costo de Operación por Viaje en la Ruta dada ($) 1 2 3 4 1000 1100 1200 1500 800 900 1000 1000 600 800 800 900 40
50
45
70
Formule el Problema como un modelo de programación Lineal, y analice la solución optima. Sea: Xij = El número de aviónes del tipo i (i = 1,2,3 ) asignados a la Ruta j ( j = 1,2,3,4) Yj ( j = 1,2,3,4) representa las cantidades de asientos vacíos en cada ruta. Min Z = 3000X11 + 2200X12 +2400X13 +1500 X14 + 3200X21 + 2700X22 +3000X23 + 2000X24 + 3000X31 + 4000X32 +3200X33 + 1800X34 +
40 Y1 + 50 Y2 + 45 Y3 + 70Y4 sa: Debido a la Disponibilidad X11 + X12 +X13 + X14 5 X21 + X22 +X23 + X24 8 X31 + X32 +X33 + X34 10 Debido al Requerimiento: 150X11 + 120X21 +100X31 1000 100X12 + 90X22 + 100X32 2000 100X13 + 90X23 + 80X33 900 50 X14 + 60X24 + 40X34 1200 Xij 0 ; j = 1,2,3 ; j= 1,2,3,4 Yij 0 ; j = 1,….......,4
23.- Mi alimentación requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los cuatro “grupos básicos de alimentos” (pastel de chocolate, helado, refrescos y pastel de queso). Actualmente, se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: bizcochos de chocolate y nueces, helado de chocolate, cola, y pastel de queso con piña. Cada bizcocho cuesta 50 centavos; cada bola de helado de chocolate, 20 centavos; cada botella de refrescos de cola, 30 centavos; y cada pieza de pastel de queso con piña, 80 centavos. Cada día tengo que ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la siguiente tabla:
ALIMENTOS Bizcochos Helado de Chocolate (1 bola)
CALORÍAS
CHOCOLATE (onzas)
AZÚCAR (onzas)
GRASAS (onzas)
400
3
2
2
200
2
2
4
Refresco de Cola (1 botella) Pastel de queso con Piña
150
0
4
1
500
4
6
5
Formule un modelo lineal que se pueda utilizar para satisfacer requerimientos alimenticios diarios a un costo mínimo. Como siempre, se empieza por determinar las decisiones que se tienen que tomar ¿Cuánto hay que comer diariamente de cada alimento? Por lo tanto, definimos las variables de decisión: x1 = número de bizcochos ingeridos diariamente. X2 = número de bolas de helado de chocolate ingeridas diariamente. X3 = botellas de refresco de cola tomadas diariamente x4 = piezas de pastel de queso con piña ingeridas diariamente. El objetivo es minimizar el costo de mi alimentación. Se puede determinar el costo total de cualquier dieta a partir de la siguiente relación : (Costo total de la dieta) = (Costo de los bizcochos) + (Costo del helado) + Costo de la Cola) + (Costo del pastel de queso). Para evaluar el costo total de una dieta, observe que, por ejemplo, Costo de la Cola = (costo/ botella de cola) = (botellas tomadas de cola) = x3 Al aplicar esto a los otros tres alimentos, obtenemos (en centavos) Costo Total de la dieta = 50x1 + 20x2 + 30x3 + 80x4 Las variables de decisión tienen que satisfacer las siguientes cuatro restricciones: Restricción 1 : El consumo diario de calorías tiene que ser de por lo menos 500 calorías. Restricción 2 : El consumo diario de chocolate tiene que ser de por lo menos 6 onzas. Restricción 3 : El consumo diario de azúcar tiene que ser de por lo menos 10 onzas. Restricción 4 : El consumo diario de grasa tiene que ser de por lo menos 8 onzas. Para expresar la Restricción 1 en términos de variables de decisión, obsérvese que: (el consumo diario de calorías) = (las calorías en los bizcochos) + (las calorías en el pastel de queso con piña). Se puede determinar las calorías en los bizcochos consumidos a partir de: Calorías en los bizcochos = (calorías/bizcochos) = (bizcochos comidos) = 400x1 Aplicando un razonamiento similar para los otros alimentos, se llega a :
Consumo diario de calorías = 400x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 Se puede expresar la Restricción 1 por : 400x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 ≥ 500 (Restricción de Calorías) Se puede expresar la Restricción 2 por : 3x1 + 2x2 ≥ 6 (Restricción de Chocolates ) Se puede expresar la Restricción 3 por : 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 (Restricción del Azúcar ) Se puede expresar la Restricción 4 por : 2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 (Restricción de la Grasa ) Finalmente hay que cumplir con las restricciones de signo xi ≥ 0 (i = 1,2,3,4)
Tenemos lo siguiente : Min z = 50x1 + 20 x2 + 30x3 + 80x4 S.a: 400x1 + 200 x2 + 150 x3 + 500 x4 ≥ 500 3x1 + 2x2 ≥6 2x1 + 2x2 + 4x3 + 4x4 ≥ 10 2x1 + 4x2 + x3 + 5x4 ≥ 8 xi ≥ 0
(Restricción de Calorías) (Restricción de Chocolates) (Restricción del Azúcar) (Restricción de la Grasa) (i = 1,2,3,4)
24.- Aun joven arquitecto se le pidió que entretuviese a un visitante de su empresa durante 90 minutos. Èl pensó que sería una excelente idea que el huésped se emborrache. Se le dio al arquitecto 50 soles. El joven sabía que al visitante le gustaba mezclar sus tragos, pero que siempre bebía menos de 8 vasos de Cerveza, 10 Ginebras, 12 Whiskys y 24 Martinis. El tiempo que empleaba para beber era 15’ por cada vaso de Cerveza, 6’ por un vaso de Ginebra, 7’ y 4’ por cada vaso de Whisky y 26artín. Los precios de las bebidas eran : Cerveza el vaso S/. 1, el vaso de Ginebra S/. 2, Whiskys el vaso S/. 2 y 26artín S/. 4 el vaso. El arquitecto pensaba que el objetivo era maximizar el consumo alcohólico durante los 90’ que tenía para entretener a su huésped. Logró que un amigo químico le diese el contenido alcohólico de las bebidas en
forma cuantitativa, siendo las unidades alcohólicas por un vaso de 17, 15, 16 y 7 por vaso. El visitante siempre bebía un mínimo de 2 vasos de Whiskys. ¿Cómo resolvió el arquitecto el problema? SOLUCIÓN x1 : Nº de vaso de tipo ( 1 : cerveza; 2 : Ginebra; 3 : Whisky; 4 : 27artín) Max z = 17x1 + 15 x2 + 16x3 + 7x4 S.a : 1x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 50 x1 ≤8 x2 ≤ 10 x3 ≤ 12 x4 ≤ 24 15x1 + 6x2 + 7x3 + 4x4 ≤ 90 xi ≥ 0
(i = 1,2,3,4)
25.- Supongamos que se cuenta con dos alimentos: pan y queso; cada uno de ellos contiene calorías y proteínas en diversas proporciones. Un kilogramo de pan contiene 2000 calorías y 50 gramos de proteínas, y un kilogramo de queso contiene 4000 calorías y 200 gramos de proteínas. Supongamos que una dieta normal requiere cuando menos 6000 calorías y 200 gramos de proteínas diariamente. Por tanto, si el kilogramo de pan cuesta 6 soles y 12 soles el de queso, ¿ que cantidades de pan y queso debemos comprar para satisfacer los requisitos de la dieta normal, gastando la menor cantidad de dinero? PAN
QUESO
DIETA REQUERIDA
CALORÍAS
2000
4000
6000
PROTEÍNAS
50
200
200
PRECIO
6
12
FUNC. OBJETIVO :
Min Z = 6X1+12X2
RESTRICCIONES :
2000X1 + 4000 X2
>= 6000
50 X1 + 200 X2
>= 200
X1 ,
X2
>=
0
26.- Una industria produce 2 artículos: A y B. La elaboración de una unidad del articulo A requiere de 20 dólares de mano de obra y 10 dólares el B. De materia prima se lleva $ 10 la unidad A y $ 30 la unidad B. El desgaste de equipo se supone proporcional a la producción y es de $ 5 por cada unidad de A y $ 1.00 por cada unidad de B. El beneficio por unidad de articulo es de $ 8 para A y $ 5 para B. Si solamente se cuenta con $100000 para salarios y $ 4000, ¿ Cuál es la cantidad que se debe producir de cada articulo para obtener las utilidades mas altas posibles? A
B
PRESUPUESTO
Mano de Obra
20 $
10 $
100000 $
Materia Prima
10 $
30 $
18000 $
Desgaste
5$
1$
40000 $
8
5
Beneficio
$
FUNC. OBJETIVO :
Max Z = 8 X1 + 5 X2
RESTRICCIONES
20 X1 + 10 X2 <= 100000 10 X1 + 30 X2 <= 18000 5 X1 + 1 X2 <= 40000 X1 , X2 >= 0
:
26.- Usted ha decidido entrar en el negocio de los dulces. Está considerando producir dos tipos de dulces: Slugger Candy y Easy Out Candy, que se componen solamente de azucar, nueces y chocolate, actualmente tiene en bodega 100 oz de azúcar, 20 oz de nueces y 30 oz de chocolate. La mezca para producir Easy Out Candy tienen que contener por lo menos 20 % de nueces. La mezcla para producir Slugger Candy tiene que contener por lo menos 10 % de nueces y por lo menos 10 % de chocolate. Cada onza de Easy Out Candy se vende a 25 centavos (de dólar), y una onza de Slugger Candy a 20 centavos. Formule un PL que le permita maximizar sus ingresos por la venta de dulces. Solución INGREDIENTES PRODUCTO Slugger Candy Easy Out Candy
AZÚCAR
NUECES
CHOCOLATES
PRECIO VENTA C/ Onza
XA1 XA2
XB1 XB2
XC1 XC2
20 25
Xij = cantidad de onzas de los ingredientes; “i” (i = A, B, C), para la elaboración de los dulces; “j” (j = 1 Slugger Candy; j = 2 Easy Out Candy). El objetivo es maximizar los ingresos por la venta de dulces: Maximizar Z = 20 (XA1 + XB1 + XC1) + 25 (XA2 + XB2 + XC2) El problema presenta las siguientes restricciones:
S.A : 1) XA1 + XA2 < 100 2) XB1 + XB2 < 20 3) XC1 + XC2 < 30 4) XB2 > 0,20 XB2+XC2+XA2 5) XB1 XB1+XC1+XA1
> 0,10
6)
XC1 XC1+XA1+XB1
> 0,10
7)
XA1 XA1+XB1+XC1
<1
8)
XA2 XA2+XB2+XC2
<1
9)
XC2 XC2+XA2+XB2
XB2 XB2+XC2+XA2
XB1
XC1 XC1+XA1+XB1
> 1/5
> 1/10 XB1+XC1+XA1
> 1/10
<1
10) Xij > 0 27.- Chandler Oil Company tiene 5000 barriles de petróleo crudo 1 y 10,000 barriles de petróleo crudo 2 diariamente. La compañía vende dos productos: gasolina 1 y gasolina 2. Ambos productos se obtienen mezclando el petróleo crudo 1 con el petróleo crudo 2. El precio de compra del petróleo crudo 1 por barril es de 20 y el precio de compra del petróleo crudo 2 por barril es de 15. El nivel de calidad de cada petróleo es: petróleo crudo 1: 10, y petróleo crudo 2: 5. La gasolina 1 debe tener un nivel de calidad de por lo menos 8, y la gasolina 2 de por lo menos 6. La transformación de un barril de petróleo en un barril de gasolina cuesta 2 dólares, y la refinería de Chandler Oil Company puede producir diariamente, hasta 15 000 barriles de gasolina. Hay que crear la demanda de cada producto mediante la publicidad. Cada dólar gastado en publicidad para la gasolina 1 , crea una demanda de 5 barriles, y cada dólar gastado en publicidad para la gasolina 2, crea una demanda de 10 barriles. La gasolina 1 se vende a 30 dólares el barril; la gasolina 2 se vende a 25 dólares el barril. Sabiendo que los clientes de Chandler Oil Company necesitan diariamente las siguientes cantidades de gasolinas: gasolina 1: 3000 barriles y de gasolina 2: 2000. SOLUCIÓN
Gasolina 1 Gasolina 2
PRECIOS DE VENTA POR BARRIL (dólares) 30 25
Petróleo Crudo 1 Petróleo Crudo 2
PRECIOS DE COMPRA POR BARRIL (dólares) 20 15
Chandler Oil Company tiene que tomar dos decisiones: primero, cuanto dinero habría que invertir en la publicidad para cada gasolina (gasolina 1 y gasolina 2); y segundo cómo mezclar los dos tipos de petróleo
crudo disponible para obtener cada producto (gasolina 1 y gasolina 2). Por ejemplo Chandler Oil Company tiene que decidir cuantos barriles del crudo 1 habría que utilizar para producir la gasolina 1. Definimos las variables de decisión: Ai = dólares gastados en la publicidad para la gasolina i (i = 1,2) Xij = barriles del petróleo crudo i que se usa diariamente para producir la gasolina j (i = 1, 2 ; j = 1, 2). Por ejemplo X21 es el numero de barriles de petróleo crudo 2 que se esa diariamente para producir la gasolina1. El conocimiento de estas variables es suficiente para determinar la función objetivo de la compañía y las restricciones, pero antes de hacerlo, observamos que la definición de estas variables de decisión significa que: X11 + X12 = barriles de petróleo crudo 1 usados diariamente. X21 + X22 = barriles de petróleo crudo 2 usados diariamente. X11 + X21 = barriles de gasolina 1 producidos cada día X12 + X22 = barriles de gasolina 2 producidos cada día. Para simplificar las cosas, supongamos que no se puede almacenar la gasolina, lo que significa que hay que venderla el mismo día de su producción. Esto quiere decir que para i =1, 2, la cantidad de gasolina i producida diariamente tiene que ser igual a la demanda diaria de la gasolina i. Supóngase que la cantidad de gasolina i producida diariamente, es mayor que la demanda diaria. Entonces incurrimos en costos innecesarios de compra y producción. Por lo contrario, si la cantidad de gasolina i producida diariamente es menor que la demanda diaria, no cumplimos con las demandas obligatorias, o incurrimos en costos innecesarios de publicidad. Ahora si podemos determinar la función objetivo y las restricciones de la compañía. Empezamos con la función objetivo de la compañía. Ingresos diarios por la venta de gasolina = 30 (X11 + X21) + 25 (X12 + X22) Costos diarios de la compra de petróleo crudo = 20 (X11 + X12) + 15 (X21 + X22) Costos diarios de la publicidad = a1 + a2 Costos de la producción = 2 (X11 + X12 +X21 + X22) Entonces: Ganancia diaria = ingreso diario por la venta de gasolina - costo diario de la compra de petróleo crudo - costos diarios de la publicidad - costos diarios de la producción. = (30 – 20 – 2) X11 + (25 – 20 – 2) X12 + (30 – 15 – 2) X21 + (25 – 15 – 2) X22 – a1 – a2 De esta manera la meta de la Chandler Oil Company es maximizar: Z = 8 X11 + 3 X12 + 13 X21 + 8 X22 – a1 – a2 Con respecto a las restricciones vemos que se tienen que satisfacer las siguientes :
Restricción 1.- la producción diaria de gasolina 1 tiene que ser igual a la demanda diaria de gasolina 1. Es decir: Demanda diaria de gasolina1 =3000 + demanda de la gasolina1 generada por publicidad Demanda de la gasolina1 generada por publicidad = demanda de gasolina dólar gastado
dólares gastado
= 5 a1 De esta manera, la demanda diaria de gasolina 1 es = 3,000 + 5a1. Se puede escribir la restricción 1 como: X11 + X21 = 3,000 + 5a1 Que se puede volver a escribir como: X11 + X21 – 5a1 = 3,000
(1)
Restricción 2.- la producción diaria de gasolina 2 tiene que ser igual a la demanda diaria de gasolina 2. es decir: X12 + X22 – 10a2 = 2,000 (2) Restricción 3.- se tiene de petróleo crudo 1 a lo más 5000 barriles diariamente. Es decir: X11 + X12 < 5,000
(3)
Restricción 4.- se tiene de petróleo crudo 2 a los más 10,000 barriles diariamente: X21 + X22 < 10,000 (4) Restricción 5.- la producción total de gasolina = gasolina 1 producida + gasolina 2 producida esto es igual a: (X11 + X21) + (X12 + X22) Entonces :
X11 + X21 + X12 + X22
< 15,000
(5)
Restricción 6.- la gasolina 1 debe tener un nivel de calidad de por lo menos 8 es decir: Nivel de calidad 10 X11 + 5 X21 >8 Gasolina 1 X11 + X21
10 X11 + 5 X21 > 8 (X11 +X21)
2 X11 – 3 X21
>0
(6)
Restricción 7.- la gasolina 2 debe tener un nivel de calidad de por lo menos 6 es decir: Nivel de calidad Gasolina 2
10 X12 + 5 X22 X12 + X22
>6
10 X12 + 5 X22 > 6 (X12 +X22)
4 X12 – X22
> 0
(7)
28.-
EN LA PROGRAMACIÓN DE AUTOBUSES
Alcaldía de Lima está estudiando la factibilidad de introducir un sistema de autobuses de tránsito masivo que disminuya el problema del smog, reduciendo el número de vehículos que circulan en la ciudad. El estudio inicial busca la determinación del número mínimo de autobuses que pueda manejar las necesidades de transporte. Después de recopilar la información necesaria, el ingeniero de la ciudad observó que el número mínimo de autobuses fluctuaba según la hora del día. Al estudiar más a fondo los datos, fue evidente que era posible hacer una aproximación del número de autobuses mediante valores constantes sobre intervalos sucesivos de 4 horas cada uno. La figura resume los descubrimientos del ingeniero. Para llevar a cabo el mantenimiento diario requerido, cada autobús podía operar sólo ocho horas sucesivas al día.
Solución Se requiere determinar el número de autobuses que van a operar durante los diferentes turnos
(variables), que satisfagan la demanda mínima (restricciones), al mismo tiempo que se minimiza el número total de autobuses diarios en operación (objetivo).
Suponemos que X1, X2, 3, X4, X5, X6 son el número autobuses que circulan
X de
de
de
de
de empiezan al las 12:01 p.m. X5 = Numero de autobuses que empiezan al las 4:01 p.m. X6 = Numero de autobuses que empiezan al las 8:01 p.m. El modelo matemático es: Mínimo Z = X1+ X2 +X3 + X4 + X5 + X6 Sujeto a: X1
+ X6
X1 + X2
(12:01 a.m. – 4:00 a.m.)
≥8
(4:01 a.m. – 8:00 a.m.)
≥ 10 (8:01 a.m. – 12:00 m.)
X2 + X3
≥7
X3 + X4
X5 + X6 Xj ≥0
(12:01 p.m. – 4:00 p.m.)
≥ 12 (4:01 p.m. – 8:00 p.m.)
X4 + X5
29.-
≥4
≥4
(8:01 p.m. – 4:00 p.m.)
j = 1,2,…6
USO Y URBANIZACIÓN DEL SUELO.
X1 = Numero autobuses que empiezan al las 12:01 a.m. X2 = Numero autobuses que empiezan al las 4:01 a.m. X3 = Numero autobuses que empiezan al las 8:01 a.m. X4 = Numero autobuses que
Birdeyes Real Estate Co. As propietario de 800 acres de terreno no urbanizado a orillas de un lago panorámico en el corazón de las montañas Ozark. En el pasado, se aplicaban muy pocas regulaciones, o ninguna, a las nuevas urbanizaciones alrededor del lago. En la actualidad, las playas del lago están salpicadas de casa para vacacionistas. Debido a la carencia de servicios de aguas negras, se utilizan extensamente las fosas sépticas, que se instalan en forma por demás inapropiada. A lo largo de los años, las filtraciones de las fosas sépticas han dado por resultado un grave problema de contaminación del agua. Par frenar una mayor degradación en la calidad del agua, los funcionarios del condado aprobaron reglamentos muy estrictos, aplicables a todas las futuras urbanizaciones. 1. Solo se pueden construir viviendas familiares individuales, dobles y triples y las viviendas de una sola familia deben sumar por lo menos 50% del total. 2. Para limitar el número de fosas sépticas, se requieren lotes de una superficie mínima de 2, 3 y 4 acres para las viviendas familiares individuales, dobles y triples, respectivamente. 3. Se deben establecer áreas recreativas de un acre cada una, en una proporción de un área por cada 200 familias. 4. Para preservar la ecología del lago, las aguas freáticas no pueden bombearse par uso doméstico o de jardinería. El presidente de Birdeyes Real Estate está estudiando la posibilidad de urbanizar los 800 acres de la compañía. La nueva urbanización incluirá viviendas familiares individuales, dobles y triples. Se calcula que 15% de la superficie de consumirá en abrir calles y en instalaciones par servicios públicos. Birdeyes calcula las utilidades de las diferentes unidades habitacionales como:
Unidad habitacional Utilidad neta por unidad($)
Individual 10 000
Doble 12 000
Triple 15 000
El costo de conectar el servicio de agua al área es proporcional al número de unidades construidas. Sin embargo, el condado estipula que se debe cobrar un mínimo de 100 000 dólares para que el proyecto sea económicamente factible. Además, la expansión del sistema de agua, más allá de su capacidad actual, está limitada a 200 000 galones al día durante los periodos pico. Los siguientes datos resumen el costo de la conexión del servicio de agua, así como el consumo de agua, suponiendo una familia promedio:
Unidad habitacional Costo de servicios de agua por unidad($) Consumo de agua por unidad (galones/día)
Individual 1 000
Doble 1 200
Triple 1 400
Área recreativa 800
400
600
840
450
Solución La compañía debe decidir el número de viviendas que va a construir junto con el número de áreas recreativas que satisfaga los reglamentos del condado Se define a: X1 = Número de unidades para una sola familia X2 = Número de unidades para dos familias X3 = Número de unidades para tres familias X4 = Número de áreas recreativas. El objetivo es maximizar la utilidad total, es decir. Maximice Z = 10 000X1 + 12 000X2 + 15 000X3 Restricciones del problema 1. 2. 3. 4. 5.
Límite en el uso de suelo Límite en los requerimientos para viviendas de una sola familia, en relación con otros estilos Límite en los requerimientos concernientes a áreas recreativas. Requerimiento de capital par la conexión de agua potable. Límite sobre el consumo diario de agua durante el período pico. 1. Uso del suelo. 2 .X1 + 3.X2 + 4.X3 + 1.X4 ≤ .85*800 = 680 2. Viviendas para Una sola familia X1 ≥ .50 X1 + X2 +x3 3. Áreas recreativas X1 + 2.X2 + 3.X3 X4 ≥ 200 4. Capital 1 000.X1 + 1 200.X2 +1 400.X3 + 800X4 ≥ 100 000 5. Consumo del agua. 400.X1 + 600.X2 +840.X3 + 450.X4 ≥ 200 000
No negatividad X1, X2, X3, X4 ≥ 0
30.-
PROBLEMA DE CONTAMINACIÓN
Hay tres fabricas a lo largo del rió Momiss (fabrica 1,2,3).Cada Fabrica descarga dos tipos de contaminantes(Contaminante 1,2) en él rió. Se puede reducir la contaminación del rió si se procesan los desechos de cada fábrica. El proceso de una tonelada de desechos de la fábrica 1, cuesta $ 15 y cada tonelada de desechos procesados de la fábrica 1 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.10 ton. Y la cantidad de contaminante 2 en 0.45 ton. El procesamiento de una ton. de desechos de la fabrica 2 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.20 ton. Y la cantidad de contaminante 2 en 0.25 ton. El proceso de una tonelada de desechos de la fabrica 3 cuesta $ 20 y cada tonelada de desechos procesados de la fabrica 3 reducirá la cantidad de contaminante 1 en 0.40 ton. Y la cantidad de contaminante 2 en 0.30 ton. El estado quiere reducir la cantidad de contaminante 1 en él rió en por lo menos 30 ton. Y de contaminante 2 en por lo menos 40 ton. Formule un P. L que minimizara el costo de reducir la contaminación en las cantidades deseadas.
X1 X2 X3
Fábrica 1 Fábrica 2 Fábrica 3 Reducir
Contaminante (ton) 1 2 0.10 0.45 0.20 0.25 0.40 0.30 30 40
Costo 15 10 20
Min Z = 15 X1 + 10 X2 +20 X3 s.a 0.10 X1 + 0.20 X2 + 0.40 X3 30 0.45 X1 + 0.25 X2 + 0.30 X3 30 X1 , X2 , X3 0
R. Contaminante 1 R. Contaminante 2
31.- PROBLEMA DE ALIMENTACIÓN Mi alimentación requiere que todo lo que coma pertenezca a uno de los cuatro “ Grupos básicos de alimentos ” (pastel de chocolate,helado ,refrescos y pastel de queso). Actualmente, se dispone de los siguientes alimentos para el consumo: Biscocho de chocolate y nueces, helado de chocolate, cola, y pastel de queso con piña. Cada biscocho cuesta 50 centavos; cada bola de helado de chocolate, 20 centavos; Cada botella de refresco de cola, 30 centavos; y cada pieza de pastel de queso con piña, 80 centavos. Cada día tengo que ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutritivo por unidad de cada elemento se muestra en la tabla. Formule un modelo lineal que se pueda utilizar para satisfacer los requerimientos alimenticios diarios a un Costo Mínimo.
X1 Biscochos X2 Helado de Chocolate (1 bola) X3 Refresco de Cola (1 botella) X4 Pastel de queso con Piña C/ día Ingerir
Calorías Chocolate Azúcar (onza) (onza) 400 3 2
Grasa Costo (onza) 2 50
200
2
2
4
20
150 500 500
0 0 6
4 4 10
1 5 8
30 80
Min Z = 50X1 + 20 X2 + 30X3 + 80X4 s.a 400X1 3X1 2X1 2X1
+ 200 X2 + 150X3 + 500X4 + 2 X2 + 2 X2 + 4X3 + 4X4 + 4 X2 + X3 + 5X4 X1, X2, X3, X4
500 6 10 8 0
R. calorías R. chocolate R. azúcar R. grasa R. signo
3.- Goldilocks tiene que obtener por lo menos 12 libras de oro y por lo menos 18 libras de plata para pagar la renta mensual. Existen dos minas en las cuales Goldilocks puede encontrar Oro y Plata. Cada día que Goldilocks esta en la mina 1, encuentra dos libras de oro y dos libras de plata. Cada día que esta
en la mina dos, encuentra 1 libra de Oro y 3 libras de Plata. Formule un PL. para ayudar a Goldilocks a satisfacer sus requerimientos, Minimizando el tiempo que tiene que estar en las minas. Oro 2 1 12
X1 Mina 1 X2 Mina 2 Obtener
Plata 2 3 18
Min Z = X1 + X2 s.a 2X1 + X2 12 2X1 + 3X2 18
32.- PROBLEMAS CON METODO SIMPLEX La donato compañía fabrica dos productos, dicha compañía obtiene una ganancia de $12 por cada unidad que vende del producto A y $ 16 por cada unidad de su producto B. Los supervisores de los tres departamentos que existen han estimado que tendrán una disponibilidad de horas durante el próximo mes: 900 en el departamento 1, 1800 horas en el departamento 2, y 2300 horas en el departamento 3, suponiendo que la compañía este interesada en maximizar sus ganancias, desarrolle el modelo de programación lineal correspondiente, si los requerimientos en términos de horas de trabajo para la fabricación de estos productos en los tres departamentos de producción se enumeran de manera resumida en la siguiente tabla.
REQUERIMIENTO DE HORAS DE TRABAJO PRODUCTO A
PRODUCTO B
1
1
2
2
1
3
3
2
3
DEPARTAMENTO
SOL: I. Hallando la función objetiva. (Máxima Utilidad) U = 12X1 + 16X2 If:
→
Max U = 12X1+ 16X2
X1 : Producto A X2 : producto B
→ →
Utilidad por unidad $12
→ → →
Horas de trabajo en el departamento 1 Horas de trabajo en el departamento 2 Horas de trabajo en el departamento 3
Utilidad por unidad $16
II. Hallando las restricciones. S.a. X1 + 2X2 ≤ 900 X1 + 3X2 ≤ 1800 2X1 + 3X2 ≤ 2300
33.- Jhony Castor es propietario de una pequeña fabrica de muebles, en el taller hay diferentes tipos de puertas: A, B, C. Con cada puerta se requiere determinar el tiempo para cortar las partes que las constituyen, ensamblarlas y pintar las piezas terminadas. Castor podrá vender todas las puertas que consiga fabricar. Además el modelo C puede venderse sin pintar, Castor emplea a varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales, por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de las actividades es varia de uno a otro mes. A partir de los datos siguientes formule un modelo de programación lineal que le permita maximizar sus ganancias el próximo mes. MODELO A B C C sin pintar CAPACIDAD
CORTE (HRS)
MONTAJE (HRS)
PINTURA (HRS)
GANANCIA (HRS)
3 1 4 4 150
4 2 5 5 200
5 5 4 0 300
25 20 50 30
SOL: I. Hallando la función objetiva. (Máxima Utilidad) U = 25X1 + 20X2 + 50X3 + 30X4
→
Max U = 25X1 + 20X2 + 50X3 + 30X4
If: X1 : Modelo X2 : Modelo X3 : Modelo X4 : Modelo
A B C D
→ → → →
Ganancia por hora $25 Ganancia por hora $20 Ganancia por hora $50 Ganancia por hora $30
II. Hallando las restricciones. S.a. 3X1 + X2 + 4X3 + 4X4 ≤ 1500 → 4X1 + 2X2 + 5X3 + 5X4 ≤ 200 → 5X1 + 5X2 + 5X3 ≤ 300→
Respecto al Corte Respecto al Montaje Respecto al Pintado
1.- U.S. Labs produce válvulas mecánicas para el corazón a partir de válvulas de credos. Operaciones diferentes del corazón necesitan válvulas de distintos tamaños. U.S. Labs compra válvulas de puercos de tres proveedores diferentes. Los costos y la mezcla de tamaños de las válvulas compradas de cada proveedor, se muestran en la Tabla 2. cada mes, U.S. Labs hace un pedido a cada proveedor. Hay que comprar por lo menos 500 válvulas grandes, 300 medianas y 300 pequeñas al mes. Debido a la disponibilidad limitada de válvulas de puercos, solamente se pueden comprar mensualmente a lo más 500 válvulas de cada proveedor. Formule un P.L. que se pueda utilizar para minimizar el costo para adquirir las válvulas necesarias.
Costo por válvulas
Porcentaje
Porcentaje
Porcentaje
Proveedor 1
(dólares) 5
Grande 40
Mediana 40
chica 20
Proveedor 2
4
30
35
35
Proveedor 3
3
20
20
60
X1 = cantidad proveedor 1 X2 = cantidad proveedor 2 X3 = cantidad proveedor 3 El costo mínimo para adquirir las válvulas son: Restricciones: Min. Z = 5x1 + 4x2 + 3x3 40x1 + 30x2 + 20x3 > 500 40x1 + 35x2 + 20x3 > 500 20x1 + 35x2 + 60x3 > 500 x1, x2, x3 < 500 x1, x2, x3 > 0
2.- Durante cada periodo de 4 horas, la policía de Smalltown necesita el siguiente numero de oficiales en servicio: de medianoche a 4 a.m., 8; de 4 a.m. a 8 a.m., 7; de 8 a.m. a mediodía, 6; de mediodía a 4 p.m., 6; de 4 a 8 p.m., 5; de 8 p.m. a medianoche, 4. cada oficial trabaja durante dos turnos seguidos de 4 horas. Formule un PL que se pueda utilizar para minimizar el número de oficiales que se necesitan para cumplir con los requerimientos con los requerimientos diarios de Smalltown. HORARIO medianoche a 4 a.m.
OFICIALES 8
x1
4 a.m. a 8 a.m.
7
x2
8 a.m. a mediodía
6
x3
mediodía a 4 p.m.
6
x4
4 p.m. a 8 p.m.
5
x5
8 p.m. a medianoche
4
x6
Para minimizar el número de oficiales: Min. Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Restricciones: x1 +
x6 > 8
x1 + x2
>7
x2 + x3
>6
x3 + x4
>6
x4 + x5
>5
x5 + x6 > 4
1.- U.S. Labs produce válvulas mecánicas para el corazón a partir de válvulas de credos. Operaciones diferentes del corazón necesitan válvulas de distintos tamaños. U.S. Labs compra válvulas de puercos de tres proveedores diferentes. Los costos y la mezcla de tamaños de las válvulas compradas de cada proveedor, se muestran en la Tabla 2. cada mes, U.S. Labs hace un pedido a cada proveedor. Hay que comprar por lo menos 500 válvulas grandes, 300 medianas y 300 pequeñas al mes. Debido a la disponibilidad limitada de válvulas de puercos, solamente se pueden comprar mensualmente a lo más 500 válvulas de cada proveedor. Formule un P.L. que se pueda utilizar para minimizar el costo para adquirir las válvulas necesarias.
Costo por válvulas
Porcentaje
Porcentaje
Porcentaje
Proveedor 1
(dólares) 5
Grande 40
Mediana 40
chica 20
Proveedor 2
4
30
35
35
Proveedor 3
3
20
20
60
X1 = cantidad proveedor 1 X2 = cantidad proveedor 2 X3 = cantidad proveedor 3 El costo mínimo para adquirir las válvulas son: Restricciones: Min. Z = 5x1 + 4x2 + 3x3 40x1 + 30x2 + 20x3 > 500 40x1 + 35x2 + 20x3 > 500 20x1 + 35x2 + 60x3 > 500 x1, x2, x3 < 500 x1, x2, x3 > 0
2.- Durante cada periodo de 4 horas, la policía de Smalltown necesita el siguiente numero de oficiales en servicio: de medianoche a 4 a.m., 8; de 4 a.m. a 8 a.m., 7; de 8 a.m. a mediodía, 6; de mediodía a 4 p.m., 6; de 4 a 8 p.m., 5; de 8 p.m. a medianoche, 4. cada oficial trabaja durante dos turnos seguidos de 4 horas. Formule un PL que se pueda utilizar para minimizar el número de oficiales que se necesitan para cumplir con los requerimientos con los requerimientos diarios de Smalltown. HORARIO medianoche a 4 a.m.
OFICIALES 8
x1
4 a.m. a 8 a.m.
7
x2
8 a.m. a mediodía
6
x3
mediodía a 4 p.m.
6
x4
4 p.m. a 8 p.m.
5
x5
8 p.m. a medianoche
4
x6
Para minimizar el número de oficiales: Min. Z = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Restricciones: x1 +
x6 > 8
x1 + x2
>7
x2 + x3
>6
x3 + x4
>6
x4 + x5
>5
x5 + x6 > 4
