PROFESOR: Ing. Martín García Ordóñez Geovani de Jesús Herrera Kantún
04-12-08
TRANSFORMACIONES LINEALES Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación
lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo o campo K, y T una función de V en W. T es una transformación lineal si para todo par de vectores u y v pertenecientes a V y para todo escalar k perteneciente a K, se satisface que: 1. 2. donde k es un escalar.
Propiedades de las transformaciones lineales Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa el
cuerpo) se satisface que: 1. 2. 3. 4.
Definición de núcleo o kernel e imagen Si
es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:
Es decir que el núcleo de una transformación lineal
está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
Algebra de las transformaciones lineales Definición 1.1 Diremos que un vector v ∈ V es combinación lineal de un sistema finito de vectores o {v1 , v2 , . . . , vn } cuando existan escalares λ1 , λ2 , . . . , λn ∈ R de manera que v = λ1 v1 + λ2 v2 + · · · + λn vn . El vector 0 es combinación lineal de cualquier conjunto de vectores. Se dirá que v es una combinación lineal de una parte arbitraria C ⊂ V , cuando sea combinación lineal de un sistema finito formado poro vectores pertenecientes a C. Denotaremos por < C > el conjunto de todas las combinaciones lineales formadas con elementos de C. Nota: Un sistema lineal Ax = b es compatible si, y sólo si, b es combinación lineal de las columnas de la matriz A, puesto que el producto Ax es una combinación lineal de las columnas de A tomando como escalar los coeficientes de x.
Definición 1.2 Se dirá que una parte W ⊂ V es un subespacio vectorial de V , cuando W sea no vacío y cerrada para las operaciones, es decir, Si v, w ∈ W entonces v + w ∈ W Si v ∈ W y λ ∈ R entonces λ · v ∈ W Esto es lo mismo que decir que W con las operaciones inducidas es a su vez un espacio vectorial. Además es fácil verificar que las dos propiedades anteriores son equivalentes a la siguiente 1. Si v, w ∈ W y λ, µ ∈ R entonces λ · v + µ · w ∈ W . Teorema 1.1 Sea (V, +, ·) un espacio vectorial y sea C ⊂ V . Se tienen 1. < C > es un subespacio vectorial de V . 2. Si W ⊂ V es un subespacio vectorial de V y C ⊂ W , entonces < C >⊂ W . Es decir, < C > es el subespacio vectorial más pequeño que contiene a C.an
APLICACIONES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES
Transformación Lineal Singular y No Singular Sean y espacios vectoriales sobre el mismo campo y una transformación lineal de en . Entonces, es no singular si: X
En caso contrario
es singular.
Función lineal como propiedad de los sistemas generales Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades: Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x) Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x) Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2. Esto incluye también a las funciones lineales diferenciales.
