Problemas de Inecuaciones Polinomicas

II.

Resuelve los siguientes problemas. 1. Pasados "t " minutos después de introducir un bactericida experimental en cierto N

10000 2

t 1

 2000

cultivo, el número de bacterias está dado por . Determinar a partir de qué momento el número de bacterias está por debajo de 4000 . Solución: Modelamos la inecuación:

10000  2000  4000 t 2 1 Pasamos todo al primer miembro:

10000  2000  0 t 2 1 Sacamos el denominador común:

10000  2000t 2  2000 0 t 2 1 Operamos en el numerador:

 2000t 2  8000 0 t 2 1 Factorizamos en el numerador:





 2000 t 2  4 0 t 2 1 Pasamos a dividir al segundo miembro:

t2  4 0 t 2 1 Factorizamos nuevamente el numerador:

 t  2 t  2  0 t 2 1

Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos: t  2 0 t  2

t  2 0 t2

t2  1  0 Este término siempre será positivo( raicescomplejas)

+

– –2

+ 2

C.S  ; 2  2; 

2; Dado que el tiempo es positivo, entonces la solución al problema será: . INTERPRETACIÓN: el número de bacterias será menor a 4000, si el tiempo es mayor a 2 minutos. 2. Una planta de empaque desea diseñar cajas sin tapa con un volumen de no más de 400 cm3. Para tal diseño se utilizará una pieza de cartón de 12cm por 15 cm, se

realizará cortes iguales y exactos en las esquinas y finalmente se doblarán las solapas hacia arriba. Determinar el tamaño máximo del corte que deben realizar en las esquinas de la pieza de cartón. Solución: sea x : el corte igual y exacto que se dará en las esquinas del cartón. x 12

x 15 El volumen debe ser menor a 400:

V  400

El volumen es largo por ancho por altura:

15  2 x 12  2 x  x   400

Operamos:

4 x 3  54 x 2  180 x  400 Pasamos todo al primer miembro:

4 x 3  54 x 2  180 x  400  0 Factorizamos el primer miembro:





2 2 x 3  27 x 2  90 x  200  0 Pasamos a dividir al segundo miembro:

2 x 3  27 x 2  90 x  200  0 Factorizamos nuevamente el primer miembro:

 x  10  2 x 2  7 x  20  0

Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos: x  10  0 x  10

2x2  7x  20  0 Este término siempre será positivo ( raicescomplejas)

_ −∞

+ 10

+∞

C.S   ;10

C.S   0;10 Dado x> 0 , entonces Las medidas de la caja también son positivas, es decir que: 15  2 x  0  12  2 x  0 x6

0;6 entonces la solución al problema será:   . INTERPRETACIÓN: el tamaño máximo del corte que se debe dar en las esquinas del cartón debe ser de 5cm (corte exacto).

3. La empresa de telecomunicaciones “Telemark” en su afán de expandirse, pone en promoción dos planes de telefonía para el mes venidero. La demanda del primer

plan está modelada a través de la ecuación

d2  

d1 

1/ 2 x  3 y la demanda del segundo

1/ 2 x  5 ; donde " x " indica el número de ventas que a

plan mediante la ecuación diario se realiza en la empresa. Determinar el número mínimo de ventas que debe realizar a diario; para que la demanda del primer plan sea mayor a la otra. Solución: sea x : el número de ventas que la empresa realiza a diario. Modelamos la inecuación:

1 1  2  2 x 3 x 5 Pasamos todo al primer miembro:

1 1 2  2 0 x 3 x 5 Sacamos el denominador común:

1  x  5   1  x  3 2 2 0  x  3 x  5 Operamos en el numerador:

x 5 x 3    2 2 2 2 0  x  3 x  5 x4 0  x  3 x  5 Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos:

x40 x4

x 3  0 x3

−∞

x5  0 x5

-

+ 3

4

+ 5

+∞

C.S  3;4  5;  INTERPRETACIÓN: dado que el número de ventas es una variable discreta, entonces el número mínimo de ventas deberá ser 6; para que el plan el primer plan sea mayor al segundo plan. 4. Un grupo de estudiantes decide asistir a un concierto. El costo de contratar a un autobús para que los lleve al concierto es de $450, lo cual se debe repartir en forma uniforme entre los estudiantes. Los promotores del concierto ofrecen descuentos a grupos que lleguen en autobús. Los boletos cuestan normalmente $50 cada uno, pero se reducen 10 céntimos de dólar del precio del boleto por cada persona que vaya en el grupo (capacidad máxima del autobús es 60). Determinar cuántos estudiantes deben ir en el grupo; para que el costo total por estudiante sea menor a $54. Solución: Sea

x : el número de alumnos que van en el autobús.

Modelamos la inecuación:

Costo 

Costo del bus  Costo del boleto número de estudiantes

C

450   50  0.10 x  x

C

450  50  0.1x x

El costo total debe ser menor a $54:

C  54

450  50  0.1x  54 x Pasamos todo al primer miembro:

450  50  0.1x  54  0 x Sacamos el denominador común:

450  50 x  0.1x 2  54 x 0 x Operamos en el numerador:

 0.1x 2  4 x  450 0 x Factorizamos el primer miembro:

  1  0.1x 2  4 x  450   0 x

Pasamos a dividir al segundo miembro:

0.1x 2  4 x  450 0 x

Factorizamos nuevamente el primer miembro:

 0.1x  5 x  90  0 x

Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos:

0.1x  5  0 x  50

x  90  0 x  90

−∞

x0

-

+ –90

0 0v

+ 50

−∞

C.S  90;0  50;  Dado que el número de alumnos es positivo y la capacidad del autobús, entonces 50;60 el conjunto de solución al problema será:  . INTERPRETACIÓN: Para que el costo por estudiante sea menor a $54, el número de estudiantes que debe ir en el autobús debe ser desde 51 hasta 60.

5. Para que un medicamento tenga efecto benéfico, su concentración en el torrente sanguíneo debe ser mayor que cierto valor; llamado este último “nivel terapéutico mínimo”. Suponga que la concentración “C” (mg/l) de cierto fármaco al transcurrir C

20t 2

t  4 . Si el nivel terapéutico “t” horas después de su ingestión está dada por mínimo es de 4 mg/l, entonces dentro de cuánto tiempo se excederá este nivel.

Solución: Modelamos la inecuación:

20t 4 t 4 2

Pasamos todo al primer miembro:

20t 40 t 4 2

Sacamos el denominador común:

20t  4t 2  16 0 t2  4 Ordenamos en el numerador:

 4t 2  20t  16 0 t2  4 Factorizamos en el numerador:

  4 t 2  5t  4  0 t2  4

Pasamos a dividir al segundo miembro:

t 2  5t  4 0 t2  4 Factorizamos nuevamente el numerador:

 t  1 t  4  0 t2  4

Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos: t  1 0 t1

t  4 0 t4

t2  4  0 Este término siempre será positivo ( raicescomplejas)

−∞

1

4

+∞

C.S  1;4 INTERPRETACIÓN: el nivel terapéutico mínimo se excederá entre la 1° y la 4° hora de la ingesta del medicamento. 6. En un plaza de nuestra cuidad se desea construir una fuente rectangular de 12m de perímetro. Según el reglamento para la construcción, las dimensiones deben ser cantidades exactas y que el producto de la base por el cuadrado de la otra no debe ser mayor a 16m. Determinar la dimensión máxima que deberá tener el ancho de la fuente. Solución: sea x : la base de la fuente

y : El ancho de la fuente.

y

x Por dato se tiene que el perímetro =12  2 x  2 y  12  x y 6  x  6  y...[1] 2

Tenemos la condición que x. y  16...[2] De [1] en [2] 2

 (6  y ) y  16 3

2

  y  6 y  16  0 3

2

 y  6 y  16  0 2

 ( y  2)( y  4 y  8)  0







V .C : y  2 1  3 ;2;2 1  3

−∞







2(1− √3)





 2 1  3 ;  C.S   2 1  3 ;2    



2 0v

2(1+ √ 3)

+∞







C.S   0;2   2 1  3 ;   Dado que entones el conjunto solución será . x  0  y  6 De [1], se tiene que si , entonces el conjunto de solución al problema es

x> 0

C.S   0;2    2(1  3);6

.

INTERPRETACIÓN: la dimensión máxima (exacta) que debe tener el ancho es de 2m.

7. En las cercanías de una hoguera, la temperatura "T " en C a una distancia de " x " metros desde el centro de la hoguera; se determina mediante la ecuación racional T

600000 2

x  300 .

500 C ? Solución:

¿A qué distancia del centro del fuego, la temperatura será menor de

Modelamos la inecuación:

600000  500 x 2  300

Pasamos todo al primer miembro:

600000  500  0 x 2  300 Sacamos el denominador común:

600000  500 x 2  150000 0 x 2  300 Operamos en el numerador:

 500 x 2  450000 0 x 2  300 Factorizamos en el numerador:

  500  x 2  900  0 x 2  300

Pasamos a dividir al segundo miembro:

x 2  900 0 x 2  300 Factorizamos nuevamente el numerador:

 x  30 x  30   0 x 2  300

Hemos obtenido los factores, ahora igualamos a cero cada uno y despejamos: x  30  0 x  30

x  30  0 x  30

x2  300  0 Este término siempre será positivo ( raicescomplejas)

+ –

+ –30

30

+

C.S  ; 30  30;  Dado que la distancia es positiva, entonces el conjunto de solución al problema 30; será: . INTERPRETACIÓN: Para una distancia mayor a 30m desde el centro de la fogata, la temperatura será menor a 500 °C.

8. Al realizar un estudio en un sector minero se encontró un gran porcentaje de personas con niveles elevados de plomo en la sangre. El instituto de salud pública decidió comenzar un tratamiento con uno costoso medicamento a las persona que tengan un 6% de sangre contaminada. El porcentaje que describe la cantidad de plomo en la sangre como efecto de “x” gramos del medicamento, viene dado por 2

P

x  5x  6 2

x  x  1 , con P expresado en %. ¿Al menos cuántos gramos deben la relación administrarse para que el porcentaje de plomo sea menor que 2%? Solución: sea

x : la cantidad de gramos de medicamento.

Modelamos la interrogante, mediante la inecuación: 2

x  5x  6 2

x  x 1



2



2

x  5 x  6  2( x  x  1) 2

x  x 1



2



 x  3x  4 2

x  x 1



2



x  3x  4

 2 x  x 1 ( x  4)( x  1)   2 x  x 1 V .C : x  1;4 2

( x  x  1  0, es siempre positivo; tiene raices complejas )

−∞

−1

4

+∞

C.S  ; 1  4;  Dado que la los gramos de medicamento son positivos, entonces el conjunto de 4; solución al problema será: . INTERPRETACIÓN: podemos afirmar que se deben administrar un poco más de 4 gramos del medicamento para que el porcentaje de plomo sea menor que 2 %.