Judul Jurnal: Continuum Mechanics Models of Fractal Porous Media: Integral
Relations And Extremum Principles (by: Martin Ostoja-Starzewski)
Jurnal: Review Jurnal: A. Intisari
Jurnal ini merupakan kelanjutan dari pengembangan ilmu mekanika kontinum dan termodinamika, yang mana kedua disiplin ilmu tersebut akan digunakan untuk meneliti perilaku media berpori yang mengalami retak ( fractal ( fractal ). ). Penelitian yang dilakukan hanya melibatkan tiga variabel utama yaitu antra lain dimensi massa (spasial) media fractal ( D), D), dimensi permukaan ( surface) surface) media fractal , dan skala panjang ( R). R). Adapun variabel D juga merupakan bagian dari orde integral fraksional yang digunakan untuk menyatakan hukum keseimbangan global. Oleh karena itu, langkah pertama peyelesaian permasalahan ini adalah dengan mengeneralisasikan pokok teorema integral dari suatu mekanika kontinum terhadap media yang retak (Stokes, Reynolds, dan Helmholtz – Zórawski). Zórawski). Selanjutnya, dilakukan peninjauan kembali terhadap persamaan kesetimbangan dan pada akhirnya diperoleh suatu ilmu pengembangan untuk beberapa subbidang dari mekanika kontinum yang berkaitan dengan media yang retak. Hal ini juga diikuti dengan turunan extremum dan variasi-variasi prinsip elastisitas, serta melibatkan azas Hamilton untuk material berpori yang mengalami retak. Dalam semua kasus diperoleh suatu hubungan yang secara ekspilisit hanya bergantung pada variabel D, D, d , dan R, R, serta setelah ditentukan bahwa D=3 D=3 dan d =2 =2 dapat mengurangi bentuk konvensional dari governing dari governing equations untuk equations untuk media kontinum dengan menggunakan geometri Euclidean.
B. Latar belakang
Istilah kata fractal diciptakan oleh Benoît Mandelbrot (1975) yang digunakan untuk menunjukkan sebuah objek yang patah atau retak dalam suatu ruang dan atau waktu. Secara fundamental, objek yang mengalami fractal dapat dibagi lagi ke dalam beberapa bagian, di mana masing-masing diantaranya ditinjau dalam pengertian yang deterministik atau stochastik. Berdasarkan
pengertian tersebut, objek fractal yang telah tebagi merupakan sebuah salinan ukuran yang diperkecil dari suatu keseluruhan, yang mana hal ini terkenal dengan self - similarity property. Secara umum, objek yang fractal yang ditinjau harus memenuhi beberapa batasan sebagai berikut yaitu struktur halus dalam skala kecil yang bersifat acak; analisis dengan menggunakan bahasa tradisional geometrik Euclidean; dimensi Hausdorff lebih besar dibandingkan dengan dimensi topologisnya; dan peninjauan menggunakan definisi yang sederhana dan bersifat rekursif. Penelitian tentang objek yang mengalami fractal sudah dilakukan sejak akhir tahun delapan puluhan, yang berfokus pada fisika benda terkondensasi. Akan tetapi, analisis dengan menggunakan metode mekanika kontinum masih sangat kurang. Beberapa kemajuan diperlihatkan oleh beberapa ilmuwan yang mulai melakukan analisis dengan menggunakan prinsip-prinsip dasar kontinum. Tarasov (2005) mengembangkan beberapa persamaaan kontinum antara lain mengenai konservasi massa, linier dan momentum sudut, energi untuk kasus fractal , dan melakukan pembelajaran mendasar untuk beberapa kasus mengenai teori mekanika fluida dan gelombang. Adapun keunikan dari pendekatan yang dilakukan oleh Tarasov yaitu bertumpu kepada generalisasi teorema Green-Gauss untuk objek yang mengalami fractal melalui integral fractional dalam suatu ruang Euclidean. Keuntungan lainnya adalah pendekatan ini mengakui adanya pemisahan antara batasan atas dan batasan bawah dari suatu skala fractal . Berdasarkan semua teori yang telah diuraikan, maka pada jurnal ini akan dilakukan pembahasan tentang pengujian terhadap teorema integral dari mekanika kontinum yang telah dibatasi hanya pada kasus media yang mengalami fractal (Stokes, Reynolds, and Helmholtz – Zórawski). Adapun langkah kedua dari pengujian ini adalah memodifikasi derivatif dari material fractional hasil penemuan Tarasov, untuk kemudian dikembalikan kepada derivative material konvensional. Pada semua kasus, peneliti memperoleh hubungan yang secara eksplisit hanya bergantung pada variabel D, d , dan R, yang mana setelah ditentukan bahwa D=3 dan d =2 dapat mengurangi bentuk konvensional dari
governing equation untuk media kontinum dengan menggunakan geometri Euclidean.
C. Mekanika Kontinum pada kasus media yang mengalami fractal
Peneliti mengasumsikan bahwa media berpori yang mengalami fractal memiliki massa yang “patuh” kepada hukum power law relation seperti yang terlihat dalam persamaan 2.1. m( R)
kR
D
, D 3 ........................................................................................... (2.1)
Dimana R adalah ukuran segiempat (atau jari-jari bola, secara efektif dinyatakan sebagai pengukuran skala panjang), D merupakan dimensi massa dari suatu media fractal , dan k secara proporsional adalah konstanta. Persamaan (2.1) menunjukkan bahwa persamaan konvensional tersebut memberikan mas sa dalam region W yang memiliki 3 dimensi, yang mana harus digeneralisasikan. Adapun setelah digeneralisasikan, mengindiskasikan bahwa media yang mengalami fractal dengan dimensi massa ( D) yang bersifat noninteger , dijelaskan dengan menggunakan sebuah integral fractional yang memiliki orde D. Interpretasi dari media fractal sebagai suatu kontinum haruslah berdasarkan pada reformulasi dari teorema Green-Gauss. Dalam penyelesaian kasus ini dilibatkan pula teorema Reynolds (transport ) yang dimaksudkan untuk membentuk suatu persamaan tanpa adanya derivasi. Secara efektif teorema Green-Gauss dan teorema Reynolds telah membawa Tarasov untuk memperkenalkan persamaan konvensional baru seperti yang dapat dilihat dalam persamaan (2-10) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas. Menindaklanjuti teorema Green-Gauss, selanjutnya akan diperoleh sebuah ekstensi dari teorema Stokes. Sama seperti pada kasus media nonfractal , tetapi dalam hal ini difokuskan pada region W yang memiliki dimensi massa fractal ( D) dan dibatasi oleh suatu dimensi permukaan (d ), maka langkah selanjtunya akan diperoleh time rate of change dari suatu integral yang melibatkan spatially distributed quantity f seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2-14) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas. Dengan cara yang sama juga diperoleh time rate of change dari suatu integral permukaan yang melibatkan sebuah quantity Q yang
terdistribusi secara menyeluruh ke suatu permukaan W , kemudian akan didapatkan suatu persamaan seperti yang ditunjukkan dalam persamaan (2-16) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas. Hal ini menunjukkan bahwa media stuktur yang mengalami fractal tidak akan mempengeruhi kesimpulan mendasar dari teori yang diungkapkan oleh Helmholtz – Zórawski lemma. Hasil-hasil seperti yang telah didapatkan di atas, membantu peneliti untuk melakukan modifikasi persamaan kesetimbangan dari media yang mengalami fractal . Adapun beberapa persamaan yang diperoleh antara lain seperti yang ditunjukkan dalam persamaan (2-17), (2-18), (2-19), dan (2-20) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas. Sebagai kelengkapan, peneliti memberikan beberapa persamaan yang pernah ditemukan olehnya beberapa waktu lalu yang tentunya berkaitan dengan generalisasi mekanika kontinum untuk media yang mengalami fractal seperti yang terlihat pada persamaan (3-1) sampai (3-8) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas. Selain itu, untuk memecahkan permasalahan yang dibahas, dibutuhkan teori extremum and variational principles in elasticity dan Hamilton’s principle for a fractal continuum. Teori mengenai extremum and variational principles in elasticity terbagi menjadi 2 jenis yaitu antara lain statically admissible fields dengan beberapa persamaan seperti yang ditunjukkan dalam persamaan (4-1) sampai (4-12) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas, dan kinematically admissible fields dengan beberapa persamaan seperti yang ditunjukkan dalam persamaan (4-13) dan (4-18) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas. Adapun teori Hamilton’s principle for a fractal continuum memliki beberapa penguraian persamaan seperti yang ditunjukkan dalam persamaan (5-1) sampai (5-10) pada jurnal kontinum yang sedang dibahas.
D. Kesimpulan
Mekanika kontinum sebagai metode yang dikehendaki dalam memberikan gambaran matematis dari struktur mikro yang bersifat random heterogeneous dari segi bidang homogenisasi. Meskipun sejumlah metode telah dikembangkan selama beberapa dekade terakhir untuk membuktikan bahwa material memiliki
geometri Euclidean untuk kasus deterministik, akan tetapi pada kasus media yang fractal dimana hampir di setiap bagiannya bersifat nondifferentiable, beberapa metode baru di luar mekanika kontinum harus digunakan. Sebagai hasilnya bentuk baru dari governing equations diperoleh, di mana dimensi fractal dan spatial resolution muncul melalui beberapa koefisien eksplisit c( D, d , R), c2(d , R), dan c3( D, R). Hal ini mengindikasikan material seperti ini sangatlah kompleks dan bersifat multiscale baik pada tipe elastic maupun inelastic, yang mana sejauh ini telah menjadi domain dari fisika untuk kasus benda terkondensasi, geofisika, dan biofisika. Berdasarkan perkembangan tersebut, tidak menutup kemungkinan akan segera terbuka pembelajaran melalui metode initial-boundary value problems, untuk dikembangkan lebih lanjut untuk material yang bersifat halus. Hal ini dimungkinkan berkat pendekatan yang digagas oleh Tarasov dan pada kenyataanya, memungkinkan seseorang untuk menangani kasus media prefractal yang sering ditemukan di alam. Persamaan-persamaan bidang ( field equations) yang diperoleh lebih bersifat umum dibandingkan pada kasus media nonfractal yang sering ditemukan dalam mekanaik kontinum konvensional. Pada kasus ini dengan mengasumsikan D=3, d =2, di mana c( D, d , R)=c2(d , R)=c3( D, R)=1, maka memudahkan seseorang untuk melakukan recover bentuk konvensional dari persamaan transport , persamaan kesetimbangan, dan extremum principles dari suatu mekanika kontinum. Dengan demikian, untuk menghadapi kasus mekanika kontinum pada media yang mengalami fractal , mengharuskan seseorang untuk berurusan dengan persamaan diferensial parsial dan atau extremum principles yang mana koefisien-koefisien c( D, d , R), c2(d , R), dan c3( D, R) relevan dengan struktur mikro yang akan diteliti. Pendekatan yang dikembangkan dalam jurnal ini mempunyai beberapa batasan masalah
antara lain: (i) homogenitas spasial, yang sebenarnya
memungkinkan perataan pada beberapa skala panjang yang bersifat terbatas berkaitan dengan upper cutoff dari media prefractal , (ii) penggunaan formula Riesz dari integral fractional untuk media fractal pada kasus dimensi yang lebih besar yang menggunakan satu variabel integral dan skala radial (r ), sehingga membatasi permasalahan hanya pada bentuk bola yang simetris, yang pada
akhirnya menunjukkan respon material isotropi lokal. Adapun batasan lainnya adalah penghilangan dengan bantuan product measure selain menggunakan Riesz measure, dan dengan demikian juga memastikan bahwa pendekatan mekanis untuk mekanika kontinum konsisten dengan pendekatan energetic.
