Distribusi Gamma Dan Eksponensial

2. A.

DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL DISTRIBUSI GAMMA DAN EKSPONENSIAL

Distribusi normal adalah suatu distribusi yang dapat digunakan untuk memecahkan banyak persoalan dalam bidang rekayasa dan sains. Dan masih  banyak lagi persoalan yang menggunakan fungsi padat jenis lain. Dua fungsi  padat seperti itu adalah distribusi gamma dan eksponensial. Diketahui bahwa eksponensial merupakan hal khusus dari distribusi gamma. Keduanya mempunyai terapan yang luas. Distribusi eksponensial dan gamma memainkan peranan penting dalam teori antrian dan keandalan (reliabilitas). Contohnya yaitu : Jarak antara waktu tiba di fasilitas pelayanan (misalnya : bank, loket tiket kereta api, dll) dan lamanya waktu sampai rusaknya suku cadang alat listrik, sering menyangkut distribusi eksponensial. Hubungan antara gamma dan eksponensial memungkinkan penggunaan distribusi gamma dalam jenis persoalan yang sama. Distribusi gamma berasaal dari fungsi gamma yang sudah dikenal luas dan  juga dipelajari dalam banyak bidang matematika. Sebelum membahas distribusi gamma terlebih dahulu akan dijelaskan fungsi gamma dan beberapa sifatnya diantaranya yaitu : Definisi 1 Fungsi Gamma didefinisikan sebagai

Γ(α) =

∫  

untuk α > 0

Apabila diintegralkan menurut bagian dengan μ = x

α-1

-x

dan dv = e  dx maka

diperoleh :

1

Γ(α) =

   ∫  



=

 ∫  

Untuk α > 1, yang menghasilkan rumus berulang Γ(α) = (α-1) Γ (α-1) Dengan memenggunakan rumus berulang berkali diperoleh : Γ(α) = (α-1) (α-2) Γ (α-2) = (α-1) (α-2) (α-3) Γ (α-3) Dan seterusnya. Perhatikan bahwa bila α  = n , dengan n bilangan bulat  positif, maka Γ(n) = (n-1) (n-2),…, Γ (1) Akan tetapi menurut definisi Γ(1) =

∫  

 = 1

Sehingga Γ(n) = (n-1)! Suatu sifat penting fungsi gamma, yang diberikan sebgai latihan ialah  bahwa f(1/2) =

√ 

Sekarang fungsi gamma akan dipakai dalam mendefinisikan distribusi gamma.

Distribusi gamma

Peubah acak kontinu x berdistribusi gamma dengan

 parameter , bila fungsi padatnya berbentuk

2

f(x) =

   {  

     Γ α

Dengan α > 0 dan β > 0

Untuk beberapa nilai tertentu, distribusi gamma yang khusus dengan α = 1 disebut distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial  Peubah acak kontinu X berdistribusi eksponensial,

dengan parameter β, bila fungsi padatnya berbentuk

f(x) =

  {

     

Dengan β > 0

Teorema dibawah ini

dan akibatnya memberikan rataan dan variansi

distribusi gamma dan eksponensial Teorema 1 Rataan dan variansi distribusi gamma adalah

μ = αβ dan



= αβ2

Akibat 1 Rataan dan variansi distribusi eksponensial adalah

μ = α dan

B.



= β2

HUBUNGAN DENGAN PROSES POISSON

3

Hubungan antara distribusi eksponensial dan proses Poisson cukup sederhana. Distribusi Poisson diturunkan sebagai distribusi berparameter tunggal dengan parameter λ, disini λ ditafsirkan sebagai rataan banyaknya kejadian  persatuan waktu. Pandang sekarang peubah acak yang diperikan distribusi Poisson, kita peroleh bahwa peluang tidak ada kejadian yang muncul dalam  jangka waktu t diberikan oleh :

 p(0 ; λt) =

 

-λt

 = e

Dari hasil diatas akan digunakan dan misalkan X waktu sampai kejadian Poisson pertama. Peluang bahwa jangka waktu sampai kejadian pertama melampaui x sama dengan peluang bahwa tidak ada kejadian Poisson yang muncul dalam waktu x. yang terakhir ini sama dengan e -λx..dengan demikian -λx

P(X ≥ x) = λ e

Jadi fungsi distribusi tumpukan untuk X adlah P(0 ≤ X ≤ x) = 1 –  e-λx Untuk mengetahui keberadaan distribusi eksponensial, turunkanlah fungsi distribusi tumpukan diatas sehingga diperoleh fungsi padat f(x) = λ e

-λx

Yang merupakan fungsi padat dari distribusi eksponensial dengan λ =

C.

 

PENERAPAN DISTRIBUSI EKSPONENSIAL DAN GAMMA

Pada bab ini akan disajikan dasar bagi penerapan distribusi eksponensial dalam “waktu samapai tiba” atau persoalan waktu sampai kejadian Poisson. Disini akan diberikan ilustrasi kemudian diteruskan dengan pembahasan peran distribusi gamma dalam penerapan ini. Perhatikan bahwa rataan distribusi eksponensial adalah parameter β, k ebalikan dari parameter distribusi Poisson. Distribusi Poisson tidak punya ingatan . Maksudnya yaitu bahwa terjadinya dalam selang waktu yang berurutan tidak saling mempengaruhi. Parameter β yang penting

4

aldalah rataan waktu antara kejadian. Teori keandalan (reliabilitas) yang menyangkut kegagalan peralatan sering memenuhi proses Poisson ini, di sini β disebut rataan waktu antara kegagalan. Banyak kerusakan peralatan memenuhi  proses Poisson, dan karena itu distribusi eksponensial dapat diterapkan di situ. Pada contoh berikut diberikan suatu penerapan sederhana distribusi eksponenesial pada soal dalam keandalan . Distribusi binomial juga berperan juga  berperan dalam penyelesaiannya.

Contoh 1

Misalkan suatu system mengandung sejenis komponen yang daya tahannya dalam tahun dinyatakan oleh peubah acak

T  

yang berdistribusi eksponensial

dengan parameter waktu rataan sampai gagal β = 5. Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasang dalam system yang berlainan, berapakah peluang bahwa paling sedikit 2 masih akan berfungsi pada akhir tahun kedelapan?  Jawab

Peluang bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi setelah 8 tahun adalah

      ∫   dt      



Misalkan

X menyatakan bahwa suatu komponen yang masih berfungsi

setelah 8 tahun. Dengan menggunakan distribusi binomial, diperoleh

    ∑      

5

 ∑     

 

Pentingnya distribusi gamma terletak pada kenyataan bahwa distribusi ini merupakan suatu keluarga distribusi yang distribusi lainnya merupakan hal khusus. Tetapi gamma sendiri mempunyai terapan penting dalam waktu menunggu dan teori keandalan. Jika distribusi eksponensial memberikan waktu sampai terjadinya kejadian Poisson (atau waktu antara kejadian poissson) maka waktu (atau ruang) terjadinya sampai sejumlah tertentu kejadian Poisson terjadi merupakan peubah acak yang fungsi padatnya diberikan oleh distribusi gamma.Jumlah tertentu kejadian ini adalah parameter α dalam fungsi padat gamma. Karena itu mudah dipahami bahwa bila α =1 hal khusus distribusi eksponensial berlaku. Fungsi padat gamma dapat diperoleh dari hubungannya dengan proses Poisson mirip dengan cara memperoleh fungsi padat eksponensial. Rinciannya

diserahkan

sebagai

latihan.

Berikut

adalah

contoh

numeric

 penggunaan distribusi gamma dalam penerapan waktu menunggu.

Contoh 2

Misalkanlah bahwa hubungan telepon tiba disuatu gerdu (sentral memenuhi  proses Poisson dengan rata-rata 5 hubungan masuk per menit. Berapakah  peluangnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2 hubungan masuk ke gardu tadi?

6

 Jawab:

Proses Poisson berlaku dengan waktu sampai 2 kejadian Poisson memenuhi distribusi gamma dengan

     dan

. Misalkan peubah acak X menyatakan

waktu dalam menit yang berlalu sebelum 2 hubungan masuk. Peluang yang dicari adalah

         ∫    dx         ||

7