DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL X LA BINOMIAL.

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DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL:

1-La duración de un artículo electrónico se distribuye en forma exponencial con un promedio de vida útil de 5 años. añ os. Una empresa adquiere 8 de estos artículos. ¿C uál es la probabilidad de que al termino de 6 años la m itad de ellos a un continúen funcionando? 1-Primero debemos calcular la probabili dad que uno de ellos siga funcionando a los 6 añ os: La distribución exponencial tiene por formula y su media es

E(X)=1/λ

f(x)= λ*exp(-λ*x)

En este caso 5=1/λ

λ=1/5

Por lo que que la función función de distribución es f(x)=1/5*exp(-1/5x) La probabilidad es : P(X>=6) que es la integral entre 6 y +∞ de f(x) La integral indefinida es F(x)=-exp(-1/5*x) La integral definida es F(+∞) - F(6) = -exp(-1/5*∞)-(-exp(-1/5*6)) -exp(-1/5*∞)-(-exp(-1/5*6)) =

0 + exp(-6/5) =

p=0.3012

Ahora disponemos de n=8 artículos y cada uno tiene una probabili dad de seguir funcionando a los 6 años de p=0.3012, debemos calcular la probabilidad que la m itad de ellos aún sig an funcionando es decir que funcionen 4 P(X=4) La formula de la binomial es: P(X=x) = C(n,x) * p ^x * (1-p)^(n-x) P(X=4) = C(8,4) * 0.3012^4 * (1-0.3012)^4 = P(X=4) = 0.1374



2-El periodo de de vida en años de un televisor televisor de cierta marca tiene una distri distribución bución exponencial con un promedio de falla de 6 años. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un televisor falle antes de 2° año de uso? b) Suponga que analiza 5 televisores de esa marca, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 2 de los 5 televisores fallen antes del 2 ° año de uso.

sea f(t) = (1/6)e^(-t/6) función de densidad de probabilidad F(t) = int(f(t)) entonces F(t) = 1 - e^(-t/6) función de distribución de probabilidad P(t<2) = F(2) = 1-(e^-0.33) = 0.2835 Entonces la probabilidad de que un televisor falle antes de los d os años de uso es 0.2835 teniendo en cuenta esto, y sea X="cantidad (k) de televisores que fallan antes de los dos años" X es binomial (n,p) entonces P(X=k)=comb(n,k) . (0.2835)^k (0.7165)^(n-k) con n=5 P(X>=2)=1-P(X<2)=1-P(X=1 P(X>=2)=1-P(X<2)=1-P(X=1)-P(X=0) )-P(X=0) P(X=1)=comb(5,1) (0.2835) (0.7165)^4 = 0.3736 P(X=0)=comb(5,0) (0.7165)^5 = 0.1888 entonces P(X>=2)=1-0.3765-0.1888 P(X>=2)=1-0.3765-0.1888 = 0.4376



3-El tiempo de vida de un narco una vez identificado por la CIA de EUA se distribuye exponencialmente con un valor promedio de 2 años. a) encuentre la probabilidad de que de 5 narcos identificados, 2 de ellos s obrevivan mas de 3años? b) ¿encuentre la probabilidad de que un narco sobreviva entre 1 y 4 años? La distribución exponencial tiene por formula: f(x)= λ*exp(-λ*x) y su media es E(X)=1/λ En este caso

2=1/λ

λ=1/2

Por lo que la función de distribución es

f(x)=0.5*exp(-0.5x)

a) debemos la probabilidad que un narco sobreviva más de 3 años P(X>=3) que es la integral entre 3 y +∞ de f(x) La integral indefinida es F(x)=-exp(-0.5*x) La integral definida es F(+∞) - F(3) = p=0.2231

-exp(-0.5*∞)-(-exp(-0.5*3)) -exp(-0.5*∞)-(-exp(-0.5*3)) =

0 + exp(-1.5) =



Ahora tenemos n=5 narcos y cada uno tiene una probabilidad de s eguir vivo más d e 3 años de p=0.2231 debemos calcular la probabildiad que 2 ellos aún si gan vivos más de 3 años: P(X=2) La formula de la binomial es P(X=x) = C(n,x) * p ^x * (1-p)^(n-x) P(X=2) = C(5,2) * 0.2231^2 * (1-0.2231)^(5-2) =

b) Es la integral de 1 a 4 de f(x)=0.5*exp(-0.5*x) F(x)= -exp(-0.5*x) F(4) - F(1) = -exp(-0.5*4)- (-exp(-0.5*1)) = -exp(-2) + exp(-0.5) = 0.4712

P(X=2) = 0.2334



4-El tiempo en que una computadora comercial comercial permanece actualizada, se distribuye exponencialmente con una valor promedio de 2 años. ¿Cuál e s la probabilidad de que una computadora comercial que se compra el día d e hoy, permanezca actualizada dentro de 3 años?

La distribución exponencial tiene por formula f(x)= λ*exp(-λ*x) y su media es E(X)=1/λ

En este caso 2=1/λ

Por lo que la f unción de distribución es f(x)=0.5*exp(-0.5x) Nos piden la probabilidad

P(X>=3)

que es la integral entre 3 y +∞ de f(x) La integral indefinida es F(x)=-exp(-0.5*x) La integral definida es F(+∞) - F(3) = -exp(-0.5*∞)-(-exp(-0.5*3)) -exp(-0.5*∞)-(-exp(-0.5*3)) = 0 + exp(-1.5) = 0.2231

λ=1/2



5- El tiempo de vida de un reo en cárceles de México a partir de su ingreso a algún al gún reclusorio, se distribuye exponencialmente con un valor promedio 9 años. ¿Encuentre la probabilidad de que un reo que ingreso al reclusorio re clusorio norte del D, F hace 15 años, siga c on vida? La distribución exponencial tiene por formula f(x)= λ*exp(-λ*x) y su media es E(X)=1/λ En este caso 9=1/λ

λ=1/9

Por lo que la función de distribución es Nos piden la probabilidad

P(X>=15)

que es la integral entre 15 y +∞ de f(x) La integral indefinida es F(x)=-exp(-1/9*x) La integral definida es F(+∞) - F(15) = -exp(-1/9*∞)-(-exp(-1/9*15)) -exp(-1/9*∞)-(-exp(-1/9*15)) = 0 + exp(-1/9*15) = exp(-15/9)

0.1889

f(x)=1/9*exp(-1/9*x)



6- Un material radiactivo obedece un decaimiento exponencial con vida λ = 2 años. Sea X el tiempo en años del decaimiento radiactivo de un átomo, suponiendo suponiendo que X se distribuye exponencialmente ¿Cuál es la probabilidad de que un átomo se desintegre en el intervalo (1<=x<=2)?

F(x)= P(X<=x)= 0 F(x)=

P(X<=x)=

en dónde dónde

si x<0 1-e^(-k*x)

k=1/ λ =1/2

o sea que P(1<=X<=2)=

F (2)- F(1)=

(1-e^(-1/2*2 ) - [1-e^(-1/2(1)]=

e^(-2/2) - e^(-1/2) = 0.6065 - 0.3678 0.2387

si x>0



7-el tiempo que transcurra antes de que una persona sea atendida en una clínica de urgencias es una variable aleatoria que tiene una distribución exponencial con con una media de 5 minutos. a) cual es la probabilidad p robabilidad que una persona sea atendida antes de que transcurran 3 minutos. b) si se selecciona al azar az ar 10 personas ¿cuál es la probabilidad de q ue más de 2 personas sean atendidas en menos de 4 minutos? Media = 5 En la distribución exponencial la media es E(X)=1/λ

5=1/λ

λ=1/5

La función de probabilidad es f(x)=λe^(-λx) En este caso f(x)=1/5*e^(-1/5*x) a) P(X<=3)

Se calcula con la integral definida de x=0 a 3 de f(x)

f(x)=1/5*e^(-1/5*x) --> F(x) = -e^(-1/5*x) La integral se calcula como -e^(-1/5*3)- (-e^(-1/5*0)) = -e^(-3/5)+1= 1-e^(-3/5) = 0.4512 Por lo tanto P(X<=3) = 0.4512

F(3)-F(0)



b) Primero debemos calcular la l a probabilidad que una persona sea atendida en menos de 4 minutos: P(X<=4)

Se calcula con la integral definida de x=0 a 4 de f(x) f(x)=1/5*e^(-1/5*x) --> F(x) = -e^(-1/5*x) La integral se calcula como F(4)-F(0) -e^(-1/5*4)- (-e^(-1/5*0)) = Por lo tanto

-e^(-4/5)+1=

1-e^(-4/5) = 0.5507

P(X<=4) = 0.5507 p=0.5507

Ahora tenemos n=10 personas y utilizamos la di stribución binomial con parámetros n=10 y p=0.5507 La probabilidad buscada es P(X>2)=

1-P(X<=1)=

1-P(X=0)-P(X=1)

Según la binomial P(X=x) = C(n,x)* p^x* (1-p)^(n-x) Es decir P(X=0) = C(10,0)* C( 10,0)* 0.5507^0 *(1-0.5507)^(10-0) *(1-0.5507)^(10-0) = 0.00034 P(X=1) = C(10,1)* C (10,1)* 0.5507^1* (1-0.5507)^(10-1) =0.0041 Por lo tanto la p robabilidad buscada es P(X>2)= 1-P(X<=1)=

1-P(X=0)-P(X=1)=

1-0.00034-0.0041=

P(X>2) = 0.9956



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