Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR CURSO DE REFUERZO EN LINEA. INGRESO 2014.
CURSO DE FISICA SEMANA 9. TEMA IX: Dinámica de Traslación.
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014
CONTENIDO OBJETIVOS GENERALES ....................................................................................................................... 3 OBJETIVOS ESPECÍFICOS ...................................................................................................................... 3 5.1 DINAMICA DE TRASLACION ........................................................................................................... 5 LEYES DE LA DINAMICA. ................................................................................................................ 10 5.2 PRIMERA LEY DE NEWTON Y MARCOS DE REFERENCIA INERCIAL .............................................. 10 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE ....................................................................................................... 11 5.3 MASA INERCIAL Y MASA GRAVITACIONAL .................................................................................. 12 5.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON ......................................................................................................... 12 5.5 FUERZA GRAVITACIONAL. PESO .................................................................................................. 14 5.6 TERCERA LEY DE NEWTON LEY DE ACCIÓN REACCIÓN ............................................................... 14 5.7 ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON. ................................................................ 18 SIMPLIFICACIONES QUE SE HACEN PARA APLICAR LAS LEYES DE NEWTON................................. 18 ESTRATEGIAS PARA APLICAR LAS LEYES DE NEWTON. ................................................................. 19 5.8 EJEMPLOS .................................................................................................................................... 19
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 OBJETIVOS GENERALES Que el estudiante: 1. Sea capaz de interpretar las leyes de newton al movimiento de traslación de los cuerpos. 2. Aplique las leyes de newton a la resolución de problemas.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS 1- Definir los conceptos de fuerza, inercia, masa inercial y masa gravitacional. 2- Enunciar las leyes de Newton del movimiento y plantear las ecuaciones correspondientes. 3- Explicar la diferencia entre sistema de referencia inercial y no inercial. 4- Dibujar el diagrama de cuerpo libre de un cuerpo sometido a varias fuerzas. 5- Determinar la aceleración que experimenta un cuerpo de masa conocida sometido a un sistema de fuerzas. 6- Identificar los pares de fuerzas acción y reacción en la interacción de 2 o más cuerpos. 7- Calcular la fuerza resultante de un cuerpo de masa conocida, moviéndose en línea recta, si se conocen la velocidad inicial, la velocidad final y el tiempo que dura el movimiento. 8- Determinar usando la segunda Ley de Newton, la aceleración del objeto y/o las fuerzas que se le pidan a partir del diagrama de cuerpo libre correspondiente al enunciado de un problema. 9- Determinar si un cuerpo está en equilibrio a partir del enunciado de un problema y del correspondiente diagrama de cuerpo libre. 10- Dados dos o mas cuerpos unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable, calcular la aceleración de los cuerpos y la tensión en la cuerda. 11- Encontrar la aceleración con que se desplazan dos cuerpos unidos por una cuerda inextensible y de masa despreciable que pasa por una polea sin friccióm y de masa despreciable si uno de ellos esta colocado sobre un plano inclinado liso. 12- Calcular el peso de un cuerpo y la tensión en la cuerda, a partir del diagrama de cuerpo libre de un cuerpo en reposo sostenido por una cuerda y apoyado en un plano inclinado liso. 3
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 13- Determinar el peso aparente de una persona que viaja en un ascensor con una aceleración conocida. 14- Calcular la fuerza aplicada conocidas la masa, aceleración constante de un cuerpo en movimiento rectilíneo. 15- Analizar la relación entre fuerza, aceleración y masa para un desplazamiento rectilíneo experimentado por dos bloques suspendidos conectados por una cuerda ligera que pasa por una polea pequeña sin fricción.
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 5.1 DINAMICA DE TRASLACION La dinámica es la parte de la mecánica que estudia las causas del movimiento. Se denomina mecánica clásica aquella que estudia el movimiento de los objetos que son muy grandes comparado con el tamaño de un átomo y que se mueven con velocidades mucho menores que la velocidad de la luz en el vacío. La mecánica clásica establece una relación entre las fuerzas externas que actúan sobe un cuerpo y el cambio en el movimiento que este experimenta. La mecánica clásica se fundamenta en las leyes de Newton (leyes de la fuerzas) y las leyes del movimiento. Concepto de Fuerza. Se define la fuerza externa actuando sobre un cuerpo como el resultado de la interacción entre dicho objeto y su entorno. Una fuerza actuando sobre cualquier cuerpo causa deformaciones o cambia su estado de movimiento, pudiendo ocurrir ambas cosas simultáneamente. Para su estudio las fuerzas se clasifican como fuerzas de contacto y fuerzas de acción a distancia, las primeras requieren contacto físico entre los cuerpos y las segundas no. Son ejemplos de fuerzas de contacto: a) La fuerza perpendicular que un plano inclinado ejerce sobre un libro (fuerza normal n) tal como se muestra en la fig. 5.1
b) La fuerza de fricción debido al movimiento relativo entre dos superficies. Por ejemplo un bloque moviéndose rectilíneamente sobre la superficie de una mesa tal como se muestra en la fig. 5.2
5
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v
En este caso f es la fuerza de contacto. c) La fuerza necesaria para estirar o comprimir un resorte.
d) La fuerza al patear una pelota, para cambiar su estado de movimiento. e) La fuerza que ejercen las moléculas de un gas sobre las paredes del recipiente que lo contiene.
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Fig. 5.4 f) La fuerza de tensión que un cable ejerce sobre el cuerpo para sostener su peso y mantener el sistema en reposo.
T Fig. 5.5
m
Son ejemplo de fuerzas de acción a distancia o fuerzas de campo: a) La fuerza gravitacional con que la tierra atrae cualquier objeto próximo a su superficie. b) La fuerza eléctrica entre dos objetos con carga negativa separados una distancia d. c) La fuerza magnética con que un imán atrae las partículas de hierro que se encuentran próximos a el. Las fuerzas gravitacional, eléctrica y magnética se origina debido a los campos gravitacionales, campo eléctrico y campo magnético en las proximidades de los objetos mencionados en los literales a), b) y c) respectivamente. Respecto a la naturaleza de las fuerzas, la física reconoce como fuerzas fundamentales en la naturaleza las siguientes:
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 1. FUERZA GRAVITACIONAL: Se origina en la interacción entre masas, conociéndose solamente fuerzas de atracción. 2. FUERZAS ELECTROMAGNETICAS: Incluye las fuerzas eléctricas y fuerzas magnéticas producidas por campos eléctricos en reposo o en movimiento. Se conocen fuerzas eléctricas y fuerzas magnéticas de atracción y repulsión. 3. FUERZAS NUCLEARES: Comprendes la fuerza nuclear fuerte que es la responsable de la estabilidad del núcleo del átomo y la fuerza nuclear débil que se manifiesta en determinados procesos de desintegración radiactiva. Es de recordar que la fuerza es una magnitud vectorial, estas se representan por medio de vectores, debiéndose aplicar en sus operaciones las reglas del algebra vectorial. La fuerza se mide directamente utilizando una balanza de resorte o DINAMOMETRO, la cual utiliza la deformación de un resorte para efectuar la medida de la fuerza. v
La fig. 5.6 muestra una fuerza F estirando un resorte 2.00 la relación entre la fuerza y la deformación es fundamental para diseñar la escala de fuerza en el instrumento.
0 1 2 3 4 Fig. 5.6
F La unidad de fuerza en el sistema internacional es el newton que se simboliza por N. v v v
v
Los objetos por lo general están sometidos a varias fuerzas que representamos por F1 , F2 , F3 , ..., F n , debido a la interacción con otros objetos de su entorno. Es útil calcular la fuerza neta o fuerza resultante así:
8
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 v Fn e ta =
å
v v v v F = F1 + F2 + ... + Fn
Si se utilizan componentes rectangulares se puede expresar así: F x = F1 x + F2 x + ... + Fn x
å å Dónde:
å
Fx
F y = F1 y + F2 y + ... + Fn y
se denomina componente de la fuerza resultante en X,
å
Fy
se denomina
componente de la fuerza resultante en y. F n e ta =
(å
2
Fx ) + (å
y la d ir e c c io n q = ta n
Fy ) - 1
(
å å
2
Fy
)
Fx
Si suponemos ambas componentes positivas podemos ubicarlas en el primer cuadrante así:
Y
ƩF y
ƩF x
x
fig .5.7
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 LEYES DE LA DINAMICA. En el siguiente contenido estudiaremos la primera ley de Newton. · ·
Ley de Inercia, segunda ley de Newton, y la tercera ley de Newton. Ley de acción - reacción.
5.2 PRIMERA LEY DE NEWTON Y MARCOS DE REFERENCIA INERCIAL El enunciado de la primera ley de la primera ley de newton establece que: “Un cuerpo permanece en estado de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme, si la fuerza externa resultante que actúa sobre él es igual a cero”
Si
å
F
V = 0
= 0 se dice que el cuerpo está en equilibrio de traslación ya sea porque está en reposo (
) o se mueve con velocidad constante ( V
= c te , a = 0
).
La primera ley se conoce también como ley de inercia. Fue la primera ley de Newton el que llamo inercia a la propiedad de los objetos a mantenerse con M.R.U. o en reposo, siempre que la
å
F = 0
. El movimiento de un cuerpo puede observarse desde cualquier marco de referencia. Es
la primera ley de Newton la que define un conjunto especial de marcos de referencia denominados MARCOS DE REFERENCIA INERCIALES O NO ACELERADOS. Son ejemplos básicos de marcos de referencia inerciales: i. ii.
La tierra, supuesta en reposo. Un avión que se mueve con M.R.U. desde el cual se lanza un objeto que es observado por el piloto. Se dice que el piloto es un observador inercial.
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE Es la representación vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo representado como partícula. Los siguientes ejemplos ilustran los diagramas de cuerpo libre para muchos objetos.
Y n
m
X w
Y
F
n
q
m
X w
q
Y TA
TB
a
b O
X TC
Y
Y
n2
n1 T
m
m
Aa
b O
T
A
X
m1
T
A
X
m2 w2
w1
B
C Y
a
A
m
Y
T
m1
a
a
T
a
X
m :m a s a
v n :n o r m a l
o :n u d o
a , b , q : a n g u lo s
v w :p e s o
w2
w1
B
2
v T :te n s io n
X
m2
m m1 > m
B
v a :a c e le r a c io n
f ig . 5 .8
11
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 5.3 MASA INERCIAL Y MASA GRAVITACIONAL La masa es una propiedad inherente de la materia, su valor no depende del lugar ni del tiempo en el que se mide. La masa de un objeto es una medida de la inercia, es por eso que hablamos de masa inercial. Para medirla se requiere que el cuerpo se someta a una fuerza que le produzca una aceleración. La relación entre la fuerza y la aceleración permita obtener la masa inercial. La masa gravitacional se mide en reposo haciendo uso de una balanza. Experimentos realizados permiten concluir que la masa inercial y la masa gravitacional tienen el mismo valor, la diferencia es el método para medirla. Por todo lo anterior de aquí en adelante nos referiremos a la masa “m” de un cuerpo.
5.4 SEGUNDA LEY DE NEWTON La segunda ley de Newton se enuncia así:
“La aceleración de un objeto es directamente proporcional a la magnitud de la fuerza resultante aplicada e inversamente proporcional a su masa”.
a =
å
F
m
La aceleración tiene la misma dirección que la fuerza aplicada. La forma usual de escribir la segunda ley es: å F = ma
Para entender el enunciado debe considerarse que. a)
a a
b) a a
å 1
F
, si la masa permanece constante
, si la fuerza resultante es constante
m
Vectorialmente la segunda ley de newton se expresa así
å
F = ma
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Se pueden escribir expresiones escalares tal como:
å
Fx = m a x
å
Fy = m a y
å
Fz = m a z
Si
å
F = 0
, en este caso 0 = m a ya que m no pude ser cero. Un cuerpo en esta condiciones o
está en reposo o se mueve rectilíneamente con velocidad constante. La primera ley de Newton se puede considerar un caso particular de la segunda ley. Es importante recordar que la masa es una cantidad escalar por lo que para determinarla se debe escribir correctamente que:
m =
å
F
a
Ó
m =
å
F
a
En el sistema Internacional la fuerza se expresa en Newton que se simboliza por N. se define un newton como la fuerza que aplicada a una masa de 1kg le produce una aceleración de 1m/S2. Es decir: 1 N = 1 k g x 1 m /s
2
Se deduce que: 2 N = 1 k g x 2 m /s
2
3 N = 1 k g x 3 m /s
2
13
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 5.5 FUERZA GRAVITACIONAL. PESO
Fg
Se llama fuerza gravitacional a la fuerza con que la Tierra atrás los objetos próximos a su superficie. Esta fuerza se dirige al centro de la tierra y su magnitud se llama peso del cuerpo. Al aplicar la segunda ley de Newton F
g
å
F = ma
a un objeto en caída libre se obtiene:
= mg
Donde
å
F = Fg
;
a = g
. Luego la magnitud de
F
g
es igual a
mg
Fg = m g F
= w =mg
Es muy usual escribir. g . Mientras la masa tiene el mismo valor en cualquier lugar del universo el peso depende de g. por lo tanto el peso baria con la ubicación geográfica. Los objetos w =m g
; m es una masa pesan menos a mayores altitudes que a nivel del mar. La ecuación gravitacional, su medida no requiere que el objeto este en movimiento. Para medir el peso de los objetos se utiliza una balanza de resorte o Dinamómetro. Observe que a diferencia de la masa el peso no es una propiedad inherente de los objetos, mas bien es una propiedad del sistema objeto y tierra.
5.6 TERCERA LEY DE NEWTON LEY DE ACCIÓN REACCIÓN ENUCIADO: “Si dos cuerpos interaccionan, la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2 es igual y opuesta a la fuerza que el cuerpo 2 ejerce sobre el cuerpo 1”.
Lo anterior se expresa así: F1 2 = - F
21
Esta ley ilustra claramente que las fuerzas son interacciones y se aplica a cuerpos en contacto físico y a cuerpos separados una distancia. 14
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 a) Si hay contacto físico.
1
2 F21
F1 2
Haciendo diagrama de cuerpo libre se muestra que ambas fuerzas actúan en fuerzas diferentes
1
2
F21
F1 2
fig 5 .1 0
b) Si la interacción es a distancia.
f i g 5 .1 1
A este par de fuerzas iguales y contrarias que actúan en cuerpos diferentes se le denomina par acción – reacción. Cualquiera de las dos fuerzas puede ser considerada acción, luego la otra será la reacción. La aplicación correcta de la tercera ley requiere identificar correctamente los pares de acción – reacción. Para ello consideremos los siguientes ejemplos. 15
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 1) Un libro en reposo sobre un escritorio.
1
n
w
n
f i g 5 .1 2
1
w
Dónde: : Fuerza que el escritorio le hace al libro.
n n
1
: Fuerza con que la tierra atrae al libro.
w w
: Fuerza que el libro hace al escritorio.
1
: Fuerza con que el libro atrae a la tierra.
Son pares acción – reacción: i)
n y n
1
ii) w y w 1
Ambas son iguales y contrarias y actúan con cuerpos diferentes. Si representamos las fuerzas que actúan sobre el libro en reposo:
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Y
n
X
w
å
Fy = 0 ; n
+ w = 0 ; n = - w ; n =
w
, ambas fuerzas actúan sobre el mismo cuerpo por
lo que n y w No son un par acción – reacción. Para serlo debe cumplir con las dos condiciones expresadas anteriormente. Para finalizar este contenido responder a las siguientes preguntas: a) Una mosca choca con el parabrisas de un automóvil en movimiento. ¿La magnitud de la fuerza de interacción será mayor sobre la mosca o sobre el vehículo? Respuesta/ según la tercera ley de Newton la magnitud de las fuerzas de interacción son iguales. b) Un caballo tira de un coche ¿Es mayor la fuerza que el caballo hace sobre el coche que la que el coche le hace al caballo? Respuesta / igual que en la pregunta anterior la magnitud de la fuerza que el caballo hace sobre el coche es igual a la magnitud de la fuerza que el coche es igual a la magnitud de la fuerza que el coche hace sobre el caballo. c) Identificar las fuerzas de acción reacción – reacción para una piedra que cae en el aire hacia la superficie de la tierra. Respuesta / Existe el par acción – reacción w y w 1 , Siendo w la fuerza que la tierra ejerce sobre la piedra y w 1 la fuerza que la que la piedra ejerce sobre el centro de la tierra. Dado que la caída no es libre puede identificarse un segundo par acción – reacción como el siguiente: la fuerza que la piedra ejerce sobre el aire es igual y contraria a la fuerza que el aire ejerce sobre la piedra. d) Identificar los pares acción – reacción si una persona esta parada sobre el piso. Respuesta / existen 2 pares acción –reacción:
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 1.
n y n
1
. Donde n es la fuerza que el suelo hace sobre los zapatos de la persona y n 1
la fuerza que la persona ejerce sobre el suelo. 2. w y w 1 . En este caso w es la fuerza con que la tierra atrae a la persona y w 1 es la fuerza que la persona ejerce sobre la tierra.
5.7 ALGUNAS APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON. Las Leyes de Newton se aplican de dos formas: 1- Conocidas todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo determinar la posición, velocidad y aceleración de éste en función del tiempo. 2- conocidas la posición, velocidad y aceleración en función del tiempo obtener las fuerzas que actúan sobre éste. En el primer caso por medio de la segunda ley de newton se determina la aceleración así: a =
å
F
, a partir de este valor se puede obtener V(t) y luego X(t); siempre que se conozcan los
m
valores iniciales de dichas magnitudes (este cálculo constituye un proceso de integración en matemáticas). En el segundo caso si se conocen V(t) y X(t); por un proceso matemático de derivación obtenemos la aceleración ( d x ley
å
F = ma
dt
= v , lu e g o d v
dt
= a
)y conocida ésta se puede aplicar la segunda
para obtener la fuerza externa resultante.
En general, si la aceleración es igual a cero entonces se consideran los casos de equilibrio dinámico (v=constante). Si a ¹ 0 , y constante, se considera que el movimiento es ajo la acción de fuerzas constantes.
SIMPLIFICACIONES QUE SE HACEN PARA APLICAR LAS LEYES DE NEWTON. 1- Considerar los cuerpos como partículas. 2- Despreciar las masas de las cuerdas, poleas etc. Las cuerdas se consideran inextensibles (longitud constante). 3- No considerar fuerzas de fricción en poleas y en ocasiones en superficies. 4- tomando en cuenta la segunda simplificación, la magnitud de la fuerza ejercida en cualquier punto de la cuerda llamada tensión, es la misma a lo largo de ella en todos los puntos.
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 ESTRATEGIAS PARA APLICAR LAS LEYES DE NEWTON. 1- Identificar las fuerzas externas actuando sobre el cuerpo y dibujar el diagrama de cuerpo libre. 2- Repetir el paso anterior si hay más de un cuerpo. 3- Elegir el sistema de coordenadas convenientes para cada cuerpo. 4- Aplicar la segunda ley de newton ( å F = m a ) en forma de componentes: ∑Fx = max , ∑F y = may , ∑Fz = maz 5- Tomar en cuenta las caracteristicas de cada movimiento, por ejemplo si el cuerpo se mueve en a lo largo de ay =0, y az = 0 por lo que: ∑Fx = max .
5.8 EJEMPLOS EJEMPLO 1 Un bloque de masa de 1.0 kg descansa sobre una superficie horizontal lisa. a) Cuánto vale aceleración del bloque si se le aplica una fuerza horizontal de 10 N, b) Calcule la fuerza que la superficie hace el bloque, c) Calcular el desplazamiento ΔX y la velocidad v en función del tiempo, si para moverse parte del reposo. Solución: i) Primero hacemos un esquema en base a la información dada.
ii) Diagrama de cuerpo libre.
Dónde: n
, se denomina fuerza normal, es la fuerza que la superficie hace sobre el cuerpo.
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 w
: Fuerza con que la tierra atrae al cuerpo, es decir su peso.
T
: Fuerza que el cable ejerce sobre el boque (tensión).
n y T
Son fuerzas de contacto y w es una fuerza de acción a distancia, todas actuando sobre el
cuerpo. CALCULO DE ACELERACIÓN: El movimiento es a lo largo del eje X, luego a y = 0 y
ax =
å
Fx = m a x
; ax =
å
Fx
luego
m
T m
Si suponemos T = 4 0 N y m = 4 .0 k g entonces: ax =
T
40 N
=
m
= 10 m
4 .0 k g
s
2
La aceleración tiene la misma dirección y sentido que la tensión, siendo además constante. Calculo de la normal:
å
Fy = m a y = 0
n- w = 0
n = w = mg
El valor de la fuerza normal es: 2
n = m g = ( 4 .0 k g )(9 .8 m / s ) n = 3 9 .2 N
Calculo de D x y V en función del tiempo. Si el movimiento del cuerpo es rectilíneo, con aceleración constante, se puede escribir: D x = V0t + 1
2
at
2
= V 0t + 1
2
(T m ) t
2
Si el cuerpo parte del reposo V 0 = 0 y D x = 1
2
(T m ) t
2
20
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Dx = 1
2
( 4 0 4 .0 ) t
2
= 5 .0 t , Luego D x = 5 .0 t 2
2
Para obtener la velocidad: V = V0t + a t V0 = 0 æT ö æ 40 ö V = at = ç ÷t = ç ÷t è m ø è 4 .0 ø V = 10t
Ejemplo 2: Se jala un objeto de 2kg por medio de una cuerda que hace un ángulo de 35° con la horizontal como se muestra en la figura 5.14. 35°
T=20N
Calcular: a) La aceleración del bloque b) La magnitud de la fuerza normal que la superficie ejerce sobre el bloque. Solución: a) Diagrama de cuerpo libre:
n
35°
w
21
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Aplicando la segunda ley de newton a lo largo de los ejes x e y tenemos:
å
Fx = m a x
T cos q = m a x 20 cos 35 ° = 2 a x a x = 8 .1 9 m
ax
8 .2 m
s
s
2
2
b) La magnitud de la fuerza normal es
å
Fy = m a y
n + T sen 35 ° - w = 0
n = w - T sen 35° n = 2 ( 9 .8 ) - 2 0 s e n 3 5 °
n = 8 .1 3 N
8 .1 N
Ejemplo 3: Dos masas m1=10kg y m2=20kg situados sobre una superficie horizontal lisa, se conecta por medio de una cuerda ligera como se muestra en la figura. Sobre la masa m2 se ejerce una fuerza F=100N que forma un ángulo de 30° con la horizontal. Determina la aceleración de cada cuerpo y la tensión en la cuerda.
Fig. 5.15 Solución: i)diagramas de cuerpo libre ii)
22
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014
I)
diagramas de cuerpo libre para cada cuerpo. Y Y n1 n2
F
30°
T
T
m1
X
m2
w1
II)
w2
Escribir las ecuaciones respectivas para cada masa: En m1:
å
X
En m2:
å
Fx = m a x
Fx = m a x
F cos 30° - T = m 2a2
T = m 1 a1 = 1 0 a1
100 cos 30° - T = 20 a2 a1 = a 2 = a
Pero Luego:
1) T = 1 0 a
y 2) 8 6 .6 - T = 2 0 a
Sustituyendo 1) en 2) 8 6 .6 - 1 0 a = 2 0 a 8 6 .6 = 2 0 a + 1 0 a 8 6 .6 = 3 0 a
a =
8 6 .6
= 2 .8 8 6 m
30
a @ 2 .8 9 m
s
s
2
2
23
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Sustituyendo en 1) o en 2) el valor de
a
se determina la magnitud de la tensión.
T = 10a T = 1 0 ( 2 .8 9 )
T = 2 8 .9 N
Si utilizamos la ecuación 2) 8 6 .6 - T = 2 0 a
8 6 .6 - T = 2 0 ( 2 .8 8 6 ) T = 8 6 .6 - 2 0 ( 2 .8 8 6 ) T = 2 8 .8 8 N T @ 2 8 .9 N
EJEMPLO 4: La figura muestra una masa m=2.0kg suspendida por una cuerda ligera sujeta al techo. Calcular a) La tensión en la cuerda. b) Las fuerzas actuando sobre la cuerda c) Identificar los pares acción - reacción en el sistema cuerda – masa – tierra.
Figura 5.16 m
Solución: a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre en m Y T
m
X
24 w
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014
El sistema está en equilibrio estático: å
å
F = 0
.Las fuerzas actúan a lo largo de y entonces:
Fy = 0
T1 - W = 0 T1 = W = m g T1 = ( 2 .0 k g ) ( 9 .8
m s
2
)
T1 = 1 9 .6
b) Y c) Dibujar el diagrama de cuerpo libre en la cuerda de masa despreciable (mc @ 0)
1
T2
1
T1
Sean T1 ' : f u e r z a q u e m e je r c e s o b r e la c u e r d a T 2 ' : f u e r z a q u e e l te c h o e je r c e s o b r e la c u e r d a
Aplicando la expresión
å
F = 0 , T 2 '- T 1 ' = 0 ,
e n to n c e s e s c r ib im o s : T 2 ' = T 1 '
25
Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014
Identificación de pares acción-reacción: '
'
T 2 = T 2 ; d o n d e T 2 e s la fu e rrz a q u e la c u e rd a h a c e a l te c h o '
T 2 = T1 ; d o n d e T1 e s la fu e rz a q u e la c u e rd a h a c e a la m a s a '
w = w
; d o n d e w e s la fu e rz a c o n q u e la m a s a " m " a tra e
Anteriormente expresamos que: '
T1 = T 2
'
Pero: T1 ' = T1 y T 2 ' = T 2 , s u s titu ye n d o T1 = T 2 = 1 9 .6 N '
'
lu e g o T1 = T 2 = 1 9 .6 N
Ejemplo 5: Considere el siguiente sistema en equilibrio estático, donde m = 3 .0 k g
45 °
45 ° T1
T2
0 T3
m
Fig.5.1 7 5.17
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i)
Diagrama de cuerpo libre en “ m ” y “ 0 ”
Y
T3 m
X
w
Y
T1
45 °
T2
45 ° T3
X
27
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Si el sistema está en equilibrio:
å
F = 0
En m : å Fy = 0 T3 - w = 0 T 3 = w = m g = ( 3 .0 ) ( 9 .8 ) = 2 9 .4 N
En "0"
å
0
0
F x = 0 ; T 2 c o s 4 5 - T1 c o s 4 5 = 0 0
T1 c o s 4 5 = T 2 c o s 4 5
0
T1 = T 2
å
Fy = 0 0
0
T2 s e n 4 5 + T1 s e n 4 5 - T 3 = 0 ; T1 = T 2 = T 3 0
0
T s e n 4 5 + T s e n 4 5 - 2 9 .4 = 0 0
2 T s e n 4 5 = 2 9 .4 T =
2 9 .4 2 sen 45
0
Luego los valores de las tensiones son: T1 = T2 = 2 0 .8 N y T 3 = 2 9 .4 N v
v
v
Se puede comprobar que la resultante de T1 + T 2 tiene la misma magnitud que T 3
Y
R X
28
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Por Pitágoras
|R| =
(T1)2 + (T2)2
|R| =
(20.8)2 + (20.8)2
R = 29.4 N R y T3
Son iguales y contrarios.
Ejemplo 6: Determinar una expresión para la aceleración y la normal en función de q para un bloque de masa “m” que parte del reposo, resbala hacia abajo sobre una superficie lisa inclinada un ángulo q respecto a la horizontal tal como se muestra en la figura.
i) Elegimos el sistema de ejes coordenados con el eje X paralelo al plano y el eje y perpendicular al plano inclinado. Luego dibujamos el diagrama de cuerpo libre así.
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 El Angulo q del plano inclinado y el q del diagrama de cuerpo libre son iguales por tener sus lados mutuamente perpendiculares. ii) Aplicamos la segunda ley de newton:
å
v v F = ma
Escalarmente en x:
å
Fx = m a x
Wx = ma W se nq = m a m g se nq = m a Luego: a = g se nq
å
Fy = m a y = 0
n - Wy = 0;
n = W y = m g co s q
n = m g co s q
Es importante analizar los siguientes casos: 0 a) q = 0 , el bloque esa en reposo en un plano horizontal.
0
a = g sen 0 = 0 0
n = m g co s 0 = m g
0 b) q = 9 0 . El plano inclinado es perpendicular a la horizontal.
0
a = g s e n 9 0 = g = 9 .8 m
s
2
0
n = m g cos 90 = 0
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014
El bloque cae libremente sin hacer contacto con el plano inclinado ya que
v n = 0
.
Ejemplo 7: 0
Un bloque de masa m1=4.0kg está sobre un plano inclinado liso de ángulo q = 3 0 unido por una cuerda sobre una polea pequeña, sin fricción y de masa despreciable, a un segundo bloque de masa m2=2.0kg que cuelga verticalmente tal como se muestra en la figura. a) ¿Cuánto vale la aceleración de cada bloque? a) Halle la tensión en la cuerda.
Solución: a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre en m1 y m2 asumir la dirección en que se mueven los bloques.
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014
A partir de la segunda ley de newton:
å
å
v v F = m a escribimos para m1:
Fx = m a
W x - T = m 1a m 1g s e nq - T = m 1a 0
4 .0 (9 .8 ) s e n 3 0 - T = 4 .0 a 1 9 .6 - T = 4 .0 a (1) En m 2 :
å
Fy = m a
T - W 2 = m 2a T - m 2g = m 2a T = m 2 a + m 2 a g (2 ) T = m 2 (a + g ) S u s t it u y e n d o (2 ) e n (1 ) 1 9 .6 - ( m 2 a + m 2 g ) = 4 .0 a 1 9 .6 - m 2 a - m 2 g = 4 .0 a 1 9 .6 - m 2 g = 4 .0 a + m 2 a 1 9 .6 - 2 . 0 (9 .8 ) = 4 .0 a + 2 .0 a 1 9 .6 - 1 9 .6 = 6 .0 a 0 = 6 .0 a ® a = 0
El sistema se mueve con rapidez constante y está en equilibrio. Para calcular la tensión en la cuerda utilizamos:
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 T = m 2 (a + g ) T = 2 .0 (0 + 9 .8 ) T = 2 .0 (9 .8 ) T = 1 9 .6 N
Ejemplo 8: Una cadena consta de cisco eslabones, cada uno con una masa de 100g, se levanta verticalmente con una aceleración constante de 2.5 m/s2, como se muestra en la figura. Calcular: a) Identifique los pares acción-reacción entre eslabones adyacentes. b) La fuerza neta en cada eslabón. c) La fuerza F ejercida en el eslabón superior. d) Las fuerzas que actúan entre eslabones adyacentes.
Solución: a) Dibujar el diagrama de cuerpo libre para cada eslabón
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Se identifican los siguientes pares acción-reacción. v v v v v v v v F1 2 y F2 1 , F2 3 y F3 2 , F3 4 y F 4 3 , F 4 5 y F 5 4
b) Si aplicamos la segunda ley de newton a cada eslabón: E s la b o n (1) F - F2 1 - W 1 = m 1 a (2 ) F1 2 - F3 2 - W 2 = m 2 a (3 ) F2 3 - F 4 3 - W 3 = m 3 a (4 ) F3 4 - F 5 4 - W 4 = m 4 a (5 ) F 4 5 - W 5 = m 5 a
Cada eslabón tiene una masa m = 1 0 0 g x
1kg
= 0 .1 k g
1000g
La aceleración de cada eslabón es de 2.50 m/s2. Luego la fuerza neta en cada eslabón es de Fn e ta = (0 .1)(2 .5 0 ) N es decir Fn e ta 0 .2 5 N .
c) Para calcular F en las ecuaciones anteriores se eliminan los pares acción-reacción resultando: F - W 1 - W 2 - W 3 - W 4 - W 5 = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 )a F - (W 1 + W 2 + W 3 + W 4 + W 5 ) = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 ) a F = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 ) a + (W 1 + W 2 + W 3 + W 4 + W 5 ) F = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 )a + ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 )g F = ( m 1 + m 2 + m 3 + m 4 + m 5 )( a + g ) F = (0 .1 + 0 .1 + 0 .1 + 0 .1 + 0 .1)(2 .5 0 + 9 .8 ) F = (0 .5)(1 2 .3) F = 6 .1 5 N
d) Las fuerzas entre eslabones adyacentes se calculan utilizando las ecuaciones del literal b). (1) 6 .1 5 - F2 1 - 0 .9 8 = 0 .2 5 , F2 1 = 4 .9 2 N = F1 2 (2 ) 4 .9 2 - F3 2 - 0 .9 8 = 0 .2 5 , F3 2 = F2 3 = 3 .6 9 N (3) 3 .6 9 - F 4 3 - 0 .9 8 = 0 .2 5 , F 4 3 = F3 4 = 2 .4 6 N (4 ) 2 .4 6 - F 5 4 - 0 .9 8 = 0 .2 5 , F 5 4 = F 4 5 = 1 .2 3 N
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Curso de Nivelación - Nuevo Ingreso 2014 Se puede comprobar el valor de F considerando la cadena como un sistema: F - W to ta l = m to ta l a F = m to ta l a + W to ta l F = m to ta l ( a + g ) F = 0 .5(2 .5 0 + 9 .8 ) F = 6 .1 5 N
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