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Mecánica para ingeniería DINÁMICA QUINTA EDICIÓN
Anthony Bedford • Wallace Fowler University of Texas at Austin
TRADUCCIÓN
Jesús Elmer Murrieta Murrieta Maestro en Investigación de Operaciones Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Morelos
REVISIÓN TÉCNICA
Alex Elías Zúñiga Departamento de Ingeniería Mecánica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Monterrey
Miguel Ángel Ríos Sánchez Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Estado de México
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Datos de catalogación bibliográfica BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T. Mecánica para ingeniería. Dinámica Quinta edición PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008 ISBN: 978-970-26-1278-0 Área: Ingeniería Formato: 20 25.5 cm
Páginas: 672
Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Dynamics, 5th edition by Anthony Bedford and Wallace T. Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall. Copyright © 2008. All rights reserved. ISBN 0136129161 Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Engineering mechanics: Dinamics 5th edition por Anthony Bedford y Wallace T. Fowler, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall. Copyright © 2008. Todos los derechos reservados. Esta edición en español es la única autorizada. Edición en español Editor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail:
[email protected] Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos Edición en inglés Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. Horton Acquisitions Editor: Tacy Quinn Associate Editor: Dee Bernhard Managing Editor: Scott Disanno Media Editor: David Alick Marketing Manager: Tim Galligan Production Editor: Craig Little Media Project Manager: Rich Barnes
Director of Creative Services: Paul Belfanti Creative Director: Juan Lopez Art Director: Jonathan Boylan Interior Designer: Kenny Beck Cover Designer: Jonathan Boylan Art Editor: Xiaohong Zhu Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long Manufacturing Buyer: Lisa McDowell
QUINTA EDICIÓN, 2008 D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5o. piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031. Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-1278-0 ISBN 13: 978-970-26-1278-0 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08
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Contenido Prefacio
xiii
Acerca de los autores
xxi
Créditos de fotografías
xxiii
12 Introducción 3 12.1 Ingeniería y mecánica
4
Resolución de problemas 4 Números 5 Espacio y tiempo 5 Leyes de Newton 6 Sistema internacional de unidades 7 Unidades de uso común en Estados Unidos Unidades angulares 8 Conversión de unidades 8
12.2 Gravitación de Newton
8
15
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iv
Contenido
13 Movimiento de un punto
21
13.1 Posición, velocidad y aceleración 13.2 Movimiento en línea recta
22
24
Descripción del movimiento 24 Análisis del movimiento 26 Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo 29 Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo 29 Cuando la aceleración es constante 30
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición 41 13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas 49 13.5 Movimiento angular
61
Movimiento angular de una línea 61 Rotación de un vector unitario 61 Movimiento angular de una línea 63 Rotación de un vector unitario 63
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial 67 Movimiento planar 67 Movimiento circular 70 Movimiento tridimensional 71 Componentes normal y tangencial en el movimiento planar Movimiento en el plano x–y de un marco de referencia cartesiano 73 Movimiento en una trayectoria circular 73
72
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas 84 Coordenadas polares 88 Coordenadas cilíndricas 89
13.8 Movimiento relativo Problemas de repaso
99
104
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Contenido
14 Fuerza, masa y aceleración 14.1 Segunda ley de Newton
v
107
108
Ecuación de movimiento para el centro de masa Marcos de referencia inerciales 110
108
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta 112 14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial 133 14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilíndricas 14.5 Mecánica de órbitas
146
153
Determinación de la órbita 153 Tipos de órbitas 156 Problemas de repaso 160
15 Métodos energéticos 15.1 Trabajo y energía cinética Principio del trabajo y la energía Evaluación del trabajo 167 Potencia 168 Principio del trabajo y la energía Evaluación del trabajo 170 Potencia 170
165 166 166
169
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares
180
Peso 180 Resortes 182
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas Energía potencial 196 Fuerzas conservativas 197 Fuerzas conservativas y energía potencial 200 Conservación de la energía 200 Energías potenciales asociadas con fuerzas particulares
196
201
15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía potencial 213 Problemas de repaso
217
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vi
Contenido
16 Métodos de la cantidad de movimiento
223
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento
224
16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos 238 Conservación de la cantidad de movimiento lineal Impactos 239 Colisión perfectamente plástica 242 Impactos 242 Conservación de la cantidad de movimiento lineal Impacto central directo 243 Impacto central oblicuo 243
16.3 Cantidad de movimiento angular
238
242
255
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular Movimiento bajo una fuerza central 256 Cantidad de movimiento angular 257 Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular Movimiento bajo una fuerza central 258
16.4 Flujos de masa Problemas de repaso
255
257
263 272
17 Climática plana de cuerpos rígidos 17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento Traslación 281 Rotación respecto a un eje fijo Movimiento plano 282
279 280
281
17.2 Rotación respecto a un eje fijo
283
17.3 Movimientos generales: velocidades
290
Velocidades relativas 290 Vector de la velocidad angular 292 Velocidades relativas 294 Movimiento de rodadura 295 Vector de velocidad angular 295
17.4 Centros instantáneos
308
17.5 Movimientos generales: aceleraciones Velocidades y aceleraciones relativas Movimiento plano 318 Movimiento de rodadura 318
17.6 Contactos deslizantes
315
318
328
17.7 Marcos de referencia móviles
342
Movimiento de un punto respecto a un marco de referencia móvil 342 Marcos de referencia inerciales 343 Movimiento de un punto respecto a un marco de referencia móvil 347 Marcos de referencia 348 Problemas de repaso 359
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Contenido
18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
vii
365
18.1 Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas 366 Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 366 Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 367 Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 369 Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 369
18.2 Ecuaciones de movimiento plano Rotación alrededor de un eje fijo Movimiento plano general 370
Apéndice: Momentos de inercia Objetos simples 395 Teorema de los ejes paralelos Problemas de repaso 408
369
369
395 398
19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos 19.1 Trabajo y energía
413
414
Energía cinética 415 Trabajo y energía potencial 417 Potencia 419 Principio del trabajo y la energía 419 Energía cinética 420 Trabajo realizado por una fuerza 420 Trabajo realizado por un par 421 Conservación de la energía 421 Potencia 422
19.2 Impulso y cantidad de movimiento
436
Cantidad de movimiento lineal 436 Cantidad de movimiento angular 437 Cantidad de movimiento lineal 440 Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en movimiento plano 440
19.3 Impactos
450
Conservación de la cantidad de movimiento Coeficiente de restitución 451 Cantidad de movimiento lineal 454 Cantidad de movimiento angular 455 Coeficiente de restitución 455 Problemas de repaso 468
450
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viii
Contenido
20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos 20.1 Cinemática
475
476
Velocidades y aceleraciones 476 Marcos de referencia en movimiento
20.2 Ecuaciones de Euler
477
491
Rotación respecto a un punto fijo 491 Movimiento tridimensional general 494 Ecuaciones de movimiento plano 496 Segunda ley de Newton 497 Giro respecto a un punto fijo 497 Movimiento tridimensional general 498
20.3 Ángulos de Euler
513
Objetos con un eje de simetría 513 Objetos arbitrarios 517 Ángulos de Euler para un objeto con un eje de simetría Precesión estable 520 Precesión estable libre de momento 521 Conos espacial y de cuerpo 522 Ángulos de Euler para un objeto arbitrario 522
Apéndice: Momentos y productos de inercia Objetos simples 529 Placas delgadas 530 Teoremas de los ejes paralelos 532 Momento de inercia respecto a un eje arbitrario Ejes principales 534 Problemas de repaso 544
21 Vibraciones
529
534
549
21.1 Sistemas conservativos Ejemplos Soluciones
519
550
550 551
21.2 Vibraciones amortiguadas
566
Amortiguamiento subcrítico 566 Amortiguamientos crítico y supercrítico Amortiguamiento subcrítico 569 Amortiguamiento crítico y supercrítico
21.3 Vibraciones forzadas
567 570
578
Función forzante de excitación oscilatoria 579 Función forzante de excitación polinomial 581 Solución particular para una función forzante de excitación oscilatoria 583 Solución particular para una función de excitación polinomial Problemas de repaso 592
www.FreeLibros.org 583
Contenido
ix
APÉNDICES
A
Repaso de matemáticas
A.1
Álgebra
597
597
Ecuaciones cuadráticas Logaritmos naturales
A.2
Trigonometría
A.3
Derivadas
598
A.4
Integrales
599
A.5
Series de Taylor
A.6
Análisis vectorial
597 597
598
600 600
Coordenadas cartesianas 600 Coordenadas cilíndricas 600
B
Propiedades de áreas y líneas
B.1
Áreas
B.2
Líneas
C
Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos 605
D
Coordenadas esféricas
E
Principio de D’Alembert
601
601 604
608 609
Soluciones a los problemas de práctica
611
Respuestas a los problemas con número par 637 Índice
645
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Prefacio El desarrollo de la quinta edición de Mecánica para Ingeniería: Estática y Dinámica comenzó al preguntarnos de qué manera podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar a los estudiantes a aprender mecánica de manera más eficaz y eficiente. Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido presentar el material de una forma que emule el desarrollo de los conceptos por parte del profesor en el salón de clases y enfatice el análisis visual para mejorar la comprensión del estudiante. Ahora, con base en nuestras experiencias a través de muchos años en el salón de clases y los comentarios de colegas y estudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegarnos a la manera en que los estudiantes actualmente usan los libros de texto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de los nuevos elementos descritos anteriormente seguimos apegados a nuestros objetivos originales de enseñar procedimientos eficaces para la resolución de problemas y la importancia central de los diagramas de cuerpo libre.
Novedades en esta edición Ejemplos activos Un nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estudiantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la comprensión de los mismos. Los análisis se relacionan de manera visual con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustraciones y texto integrados para una lectura eficiente. Al final del ejemplo activo se proporciona un “problema de práctica” de manera que los estudiantes se vean motivados a verificar si comprendieron el material; y pueden evaluar fácilmente sus conocimientos al consultar la respuesta, que se proporciona en la misma página, o estudiando la solución completa que se presenta en el apéndice, con el mismo formato de ilustraciones y texto integrados.
Problemas con enfoque en ejemplos
comprensión de los conceptos. Los números de estos problemas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que los profesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estudio de ciertos temas seleccionados.
Resultados La mayoría de las secciones del libro ahora concluye con una nueva subsección de resultados, una descripción completa y suficiente de los resultados necesarios para entender los ejemplos y problemas siguientes. Para una comprensión más fácil, se presentan en el mismo formato de ilustraciones y texto integrados que se usa en los ejemplos activos y se puede consultar de manera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el ejemplo y trabaja con los problemas.
Conjunto de problemas En este texto, treinta por ciento de los problemas son nuevos. Se han marcado con un asterisco aquellos que son relativamente más largos o difíciles. También es posible generar problemas adicionales usando el sistema de tareas en línea con sus capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de este libro).
Elementos especiales de este texto Ejemplos Además de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los que siguen una estructura con tres partes —Estrategia/ Solución/Razonamiento crítico— diseñados para ayudar a los estudiantes a desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas de ingeniería. En las secciones de estrategia, demostramos cómo planear la solución de un problema, la cual presenta los pasos detallados necesarios para llegar a los resultados requeridos. Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y proporcionan análisis detallados de aplicaciones de la dinámica al diseño de ingeniería.
www.FreeLibros.org Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incentivar a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su
xi
xii
Prefacio
Mecánica en computadoras Algunos profesores prefieren enseñar dinámica sin dar énfasis al uso de la computadora. Otros la usan como una oportunidad de introducir a los estudiantes al uso de las computadoras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus propios programas en un lenguaje de nivel básico o que utilicen software de nivel superior para la resolución de problemas. Nuestro libro es compatible con ambos enfoques. Existe material opcional de mecánica en computadoras en el sitio Web Companion, donde se incluyen tutoriales en MathCad y MATLAB. Para mayor información, vea la sección de suplementos.
Triple verificación de la exactitud: Compromiso con los estudiantes y profesores Nuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomar precauciones para asegurar la exactitud del texto hasta donde nuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple verificación de la exactitud en el cual tres participantes, además de los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por asegurar que las respuestas son correctas y que tienen un nivel de dificultad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se compone de: • Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University • Karim Nohra de la University of South Florida
Programa de ilustraciones Reconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a visualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren y se sienten más motivados con situaciones reales. Nuestros textos incluyen muchas fotografías y “figuras realistas” que ayudan a visualizar las aplicaciones y proporcionar una conexión más fuerte con la práctica de la ingeniería.
Uso del segundo color Para ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figuras, hemos usado ciertos valores de identificación:
• Kurt Norlin del Laurel Technical Services Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos y los problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue siendo responsabilidad de nosotros, los autores, y agradeceremos la comunicación de estudiantes y profesores en relación con yerros o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de correo es Department of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics, University of Texas at Austin, Texas 78712. Nuestra dirección de correo electrónico es:
[email protected].
Recursos adicionales Recursos para el estudiante
Vectores unitarios
Fuerzas
Posiciones
El paquete de estudio Dynamics está diseñado para proporcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus habilidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para repasar los temas antes de los exámenes. Contiene una ayuda para los diagramas de cuerpo libre con cincuenta problemas de práctica de dificultad ascendente, los cuales incluyen soluciones completas. Las estrategias y recomendaciones adicionales ayudan a los estudiantes a comprender cómo utilizar los diagramas en la resolución de problemas relacionados. Este suplemento y material de repaso adicional para cada capítulo fue preparado por Peter Schiavone de la University of Alberta. Evaluación en la red y tutoriales: Los estudiantes pueden acceder a los recursos de ayuda, como los problemas de práctica complementarios, en el sitio Web de este libro. www.pearsoneducacion.net/bedford
Pares
El sitio Web cuenta con archivos de ayuda para MATLAB y MathCad. En cada uno de estos archivos se analiza un concepto básico de mecánica, y después se demuestra cómo resolver un problema específico relacionado con este concepto usando MATLAB y MathCad. Existen veinte archivos de ayuda tanto en MATLAB como en MathCad. La hojas de cálculo fueron desarrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la Montana State University-Bozeman.
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Prefacio
Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en línea a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas y los resultados se califican y registran de manera electrónica.
xiii
Gautam Batra
University of Nebraska David M. Bayer
Recursos para el profesor Manual de soluciones para el profesor: Este suplemento, disponible para los profesores en la página Web, contiene soluciones completas. Cada solución viene con el enunciado del problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos estos complementos se encuentran en idioma inglés.
University of North Carolina Glenn Beltz
University of California-Santa Barbara Mary Bergs
Marquette University
Evaluación en la red y recursos adicionales: A través de PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea para los estudiantes usando problemas del texto, los cuales están en un formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje con problemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas se registran en un libro de calificaciones en línea que puede bajarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web del libro, donde encontrará series de problemas complementarios y demás información. Para mayores detalles contacte a su representante de Pearson Educación.
Don L. Boyer
Arizona State University Spencer Brinkerhoff
Northern Arizona University L. M. Brock
University of Kentucky William (Randy) Burkett
Reconocimientos Los siguientes colegas realizaron revisiones con base en su conocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron de gran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores. Shaaban Abdallah
University of Cincinnati Edward E. Adams
Michigan Technological University George G. Adams
Northeastern University Raid S. Al-Akkad
University of Dayton Jerry L. Anderson
Memphis State University James G. Andrews
University of Iowa Robert J. Asaro
University of California, San Diego Leonard B. Baldwin
University of Wyoming
Texas Tech University Donald Carlson
University of Illinois Major Robert M. Carpenter
U.S. Military Academy Douglas Carroll
University of Missouri, Rolla Paul C. Chan
New Jersey Institute of Technology Namas Chandra
Florida State University James Cheney
University of California, Davis Ravinder Chona
Texas A & M University Daniel C. Deckler
The University of Akron Wayne College Anthony DeLuzio
Merrimack College
www.FreeLibros.org Haim Baruh
Rutgers University
Mitsunori Denda
Rutgers University
xiv
Prefacio
James F. Devine
University of South Florida Craig Douglas
University of Massachussets, Lowell Marijan Dravinski
University of Southern California S. Olani Durrant
Brigham Young University Estelle Eke
California State University, Sacramento Bogdan I. Epureanu
University of Michigan William Ferrante
University of Rhode Island Robert W. Fitzgerald
Worcester Polytechnic Institute George T. Flowers
Auburn University Mark Frisina
Wentworth Institute Robert W. Fuessle
Bradley University Walter Gerstle
University of New Mexico William Gurley
University of Tennessee, Chattanooga John Hansberry
University of Massachusetts, Dartmouth Mark J. Harper
United States Naval Academy W. C. Hauser
California Polytechnic University, Pomona Linda Hayes
University of Texas-Austin
Paul R. Heyliger
Colorado State University James Hill
University of Alabama Robert W. Hinks
Arizona State University Allen Hoffman
Worcester Polytechnic Institute Edward E. Hornsey
University of Missouri, Rolla Robert A. Howland
University of Notre Dame Joe Ianelli
University of Tennessee, Knoxville Ali Iranmanesh
Gadsden State Community College David B. Johnson
Southern Methodist University E. O. Jones, Jr.
Auburn University Serope Kalpakjian
Illinois Institute of Technology Kathleen A. Keil
California Polytechnic University, San Luis Obispo Yohannes Ketema
University of Minnesota Seyyed M. H. Khandani
Diablo Valley College Charles M. Krousgrill
Purdue University B. Kent Lall
Portland State University Chad M. Landis
Rice University
www.FreeLibros.org R. Craig Henderson
Tennessee Technological University
Kenneth W. Lau
University of Massachusetts, Lowell
Prefacio Norman Laws
University of Pittsburgh William M. Lee
U.S. Naval Academy Donald G. Lemke
University of Illinois, Chicago Richard J. Leuba
North Carolina State University Richard Lewis
Louisiana Technological University John B. Ligon
Michigan Tech University Bertram Long
Northeastern University V. J. Lopardo
U.S. Naval Academy Frank K. Lu
University of Texas, Arlington Mark T. Lusk
Colorado School of Mines K. Madhaven
Christian Brothers College Nels Madsen
Auburn University James R. Matthews
University of New Mexico Gary H. McDonald
University of Tennessee James McDonald
Texas Technical University Jim Meagher
California Polytechnic State University, San Luis Obispo Lee Minardi
Tufts University
xv
Shanti Nair
University of Massachusetts, Amherst Saeed Niku
California Polytechnic State University, San Luis Obispo Mohammad Noori
North Carolina State University Harinder Singh Oberoi
Western Washington University James O’Connor
University of Texas, Austin Samuel P. Owusu-Ofori
North Carolina A & T State University Venkata Panchakarla
Florida State University Assimina A. Pelegri
Rutgers University Noel C. Perkins
University of Michigan Corrado Poli
University of Massachusetts-Amherst David J. Purdy
Rose-Hulman Institute of Technology Yitshak Ram
Louisiana State University Colin E. Ratcliffe
U.S. Naval Academy Daniel Riahi
University of illinois Charles Ritz
California Polytechnic State University, Pomona George Rosborough
University of Colorado, Boulder Edwin C. Rossow
Northwestern University
www.FreeLibros.org Norman Munroe
Florida International University
Kenneth Sawyers
Lehigh University
xvi
Prefacio
Robert Schmidt
University of Detroit Robert J. Schultz
Oregon State University Richard A. Scott
University of Michigan Brian Self
U.S. Air Force Academy William Semke
University of North Dakota Patricia M. Shamamy
Lawrence Technological University Sorin Siegler
Drexel University Peng Song
Rutgers State University Candace S. Sulzbach
Colorado School of Mines L. N. Tao
Illinois Institute of Technology Craig Thompson
Western Wyoming Community College John Tomko
Cleveland State University Kevin Z. Truman
Washington University John Valasek
Texas A & M University Christine Valle
Georgia Institute of Technology Dennis VandenBrink
Western Michigan University Thomas J. Vasko
University of Hartford
Mark R. Virkler
University of Missouri, Columbia William H. Walston, Jr.
University of Maryland Andrew J. Walters
Mississippi University Reynolds Watkins
Utah State University Charles White
Northeastern University Norman Wittels
Worcester Polytechnic Institute Julius P. Wong
University of Louisville T. W. Wu
University of Kentucky Constance Ziemian
Bucknell University Los elementos nuevos que diferencian esta edición de las anteriores, particularmente la integración de texto e ilustraciones, fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas y editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivaron y sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecido el nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en el desarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora Tacy Quinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los libros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejos valiosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisión más importante desde las conversaciones iniciales acerca de nuestras ideas hasta la publicación del libro. Craig Little continuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y fue el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendario establecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyo consumado en los aspectos relativos a ilustraciones y fotografías. Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra comunicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer Lonschein proporcionó apoyo editorial y de producción. David Alick, Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los recursos en línea que se han convertido en herramientas tan esenciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las portadas. Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los
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Prefacio
paquetes de estudio que acompañan a los libros, y a Stephen Hunt y Ronald Larsen por escribir los apoyos en MATLAB y MathCad. Scout Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, valiosos colegas de nuestras campañas anteriores, nos dieron consejos con respecto al estilo y la claridad, corrigieron muchos de nuestros errores y revisaron los manuales de solución. Somos responsables por los errores que aún quedan. Nancy Bedford
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nos ofreció consejo editorial y nos ayudó con la revisión. Muchas otras personas talentosas y profesionales tanto de Prentice Hall como de otras partes también contribuyeron en la revisión de este texto, por lo que les estamos agradecidos. Y una vez más agradecemos a nuestras familias, especialmente a Nancy y Marsha, por su paciencia y comprensión en la realización de las nuevas ediciones.
Anthony Bedford y Wallace Fowler Austin, Texas
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Acerca de los autores
Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler
Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aeroespacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas at Austin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de la Academia de Maestros Distinguidos de la University of Texas. Su actividad profesional principal ha sido la educación y la investigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículos sobre teoría mixta, propagación de ondas y la mecánica de impactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio de Hamilton en Mecánica Continua, Introducción a la Propagación Elástica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecánica de Materiales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial en Douglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laboratories.
Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & Betty Robertson de ingeniería en la University of Texas y es director del Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al American Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAA) y a la American Society for Engineering Education (ASEE). El Dr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza de dinámica general en 1976, el premio John Leland Atwood de AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en ingeniería aeroespacial), el premio a la enseñanza del concejo de maestros de la University of Texas en 1990-1991, además del premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEE en 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la academia de profesores distinguidos de la University of Texas. El Dr. Fowler también se desempeñó como presidente de la American Society for Engineering Education de 2000 a 2001. Los intereses del Dr. Fowler relativos a la investigación y la enseñanza en la UT en Austin, se enfocan en la ingeniería y el diseño de sistemas espaciales.
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Mecánica para ingeniería DINÁMICA
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CAPÍTULO
12 Introducción ¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los dispositivos que se usan en la vida diaria, desde objetos simples como sillas y sacapuntas hasta estructuras complicadas como presas, automóviles, aviones y naves espaciales? Ellos deben tener un conocimiento profundo de la física subyacente al diseño de tales dispositivos y ser capaces de usar modelos matemáticos para predecir su comportamiento. Al estudiar mecánica, los estudiantes de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar y predecir los comportamientos de los sistemas físicos.
Los movimientos del bobsled (trineo) y su tripulación —sus posiciones, velocidades y aceleraciones— pueden analizarse usando las ecuaciones de la dinámica. Los ingenieros emplean la dinámica para predecir los movimientos de los objetos.
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Capítulo 12 Introducción
12.1 Ingeniería y mecánica ANTECEDENTES ¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus características antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su conocimiento de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para producir nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosa técnica: desarrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de los objetos que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento de sus diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real. Los ingenieros aeroespaciales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá un trasbordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos matemáticos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos. En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos. La mecánica elemental se divide en estática, que es el estudio de los objetos en equilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resultados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos campos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructuras usan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Los ingenieros civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos y los ingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan las ecuaciones de movimiento obtenidas de la dinámica. La mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos fundamentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran en casi todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléctrica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos, como el equilibrio, la energía y la estabilidad, al aprenderlos en sus contextos mecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollo histórico de esas ideas. La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento de los objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplos que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudiante resuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemas de este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficientemente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada generación de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.
Resolución de problemas En el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver problemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los diferentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se aplican a muchos de ellos: • Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe determinarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propias palabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico o el modelo involucrado. • Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios y ecuaciones aplicables y decida cómo los usará. Cuando sea posible, dibuje diagramas para visualizar y resolver el problema. • Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intuición y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta. • Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados y compárelos con su predicción. El último paso se llama verificación en la realidad. ¿Es razonable su respuesta?
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12.1 Ingeniería y mecánica
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Números Las mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería se expresan en números. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y problemas de este libro, y cómo deberá expresar los resultados de sus propios cálculos. Dígitos significativos Este término se refiere al número de dígitos significativos (o sea, exactos) en un número, contando hacia la derecha a partir del primer dígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cuatro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del número 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notación científica como 7.630 106. Si un número es el resultado de una medición, los dígitos significativos que contiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de una medición es 2.43, esto significa que el valor real estará más cercano a 2.43 que a 2.42 o a 2.44. Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos. Por ejemplo, el valor de puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14, o con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una computadora, el número de dígitos significativos está limitado por la cantidad de cifras significativas que la máquina puede manejar según su diseño. Uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben tratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos contengan. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponer que su valor es 32.200. . . . Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos significativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos, así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados deben tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redondear resultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de esto, efectúe sus cálculos con la exactitud disponible reteniendo los valores en su calculadora.
Espacio y tiempo El espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Las experiencias diarias proporcionan una noción intuitiva del espacio y las ubicaciones, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en el espacio es la longitud de la línea recta que los une. Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad de longitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI, como las unidades de uso común en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad de longitud es el metro (m); en unidades de uso común en Estados Unidos la unidad de longitud es el pie. Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Los ciclos diarios de luz y oscuridad, y las horas, minutos y segundos medidos por un reloj proporcionan una noción intuitiva del tiempo. Éste se mide mediante los intervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o las vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI, como en las de uso común en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s); también se usan comúnmente minutos (min), horas (h) y días. Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de referencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama velocidad, y la razón del cambio de su velocidad se denomina aceleración. En unidades SI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleración en metros por segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso común en Estados Unidos, la
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Capítulo 12 Introducción
velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies por segundo cuadrado (pie/s2).
Leyes de Newton La mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en 1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunque sumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrollados durante una lucha larga y difícil hacia el conocimiento (figura 12.1).
Guerra del Peloponeso Invasión de Roma a Bretaña
400 a.C. 0
Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámica Arquímedes: Estática de palancas, centros de masa, flotación Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleas Papo: Definición precisa del centro de masa
400 d. C. Juan Filopono: Concepto de inercia Coronación de Carlomagno
800
Conquista normanda de Bretaña Firma de la Carta Magna
1200 Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio
Peste bubónica en Europa 1400
Alberto de Sajonia: Velocidad angular Nicola d’Oresme: Cinemática gráfica, coordenadas William Heytesbury: Concepto de aceleración
Impresión de la Biblia de Gutenberg Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solar Dominic de Soto: Cinemáticas de objetos que caen Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios
Viaje de Colón
Fundación de la colonia de Jamestown
1600
Guerra de los Treinta Años Llegada de los peregrinos a Massachusetts
Simon Stevin: Principio del trabajo virtual Johannes Kepler: Geometría y cinemática de movimientos planetarios Galileo Galilei: Experimentos y análisis en estática y dinámica, movimiento de un proyectil René Descartes: Coordenadas cartesianas Evangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinámica
Fundación de la Universidad de Harvard 1650
Blaise Pascal: Análisis en hidrostática
Colonización de Carolina John Wallis, Christopher Wren, Christiaan Huyghens: Impactos entre objetos Cesión de Pennsylvania a William Penn
Juicios a brujas de Salem 1700
Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de movimiento, postulado de la gravitación universal, análisis de movimientos planetarios
Figura 12.1 Cronología de desarrollos en mecánica hasta la publicación del Principia de Newton en relación con otros eventos en la historia de Estados Unidos.
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12.1 Ingeniería y mecánica
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Newton enunció tres “leyes” del movimiento que, expresadas en términos modernos, son: 1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero, su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partícula se encuentra en reposo, permanecerá en reposo. 2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no es igual a cero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de las fuerzas es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración. 3. Las fuerzas ejercidas por dos partículas entre sí son iguales en magnitud y opuestas en dirección. Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton. La visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Para demostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tiene masa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte a esta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posible determinar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. También se puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unitaria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la fuerza. De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisos a los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo (kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para impartir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadrado (m/s2). En las unidades del uso común en Estados Unidos, la unidad de fuerza es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa acelerada a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra. Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos de los problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la validez de las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un problema implica velocidades que no son pequeñas comparadas con la velocidad de la luz (3 108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a tales problemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican dimensiones que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para describir los fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.
Sistema internacional de unidades En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). El tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente también se usan los minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos se les llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la fuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una aceleración de un metro por segundo cuadrado:
1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2. Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama unidad derivada. Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 12.1 se muestran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan. Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son 106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).
Tabla 12.1 Prefijos comunes usados en las unidades SI y los múltiplos que representan. Prefijo
Abreviatura
nanomicromillikilomegagiga-
n m m k M G
Múltiplo 10-9 10-6 10-3 103 106 109
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Capítulo 12 Introducción
Unidades de uso común en Estados Unidos En las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies y la fuerza en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). Éstas son las unidades básicas de uso común en Estados Unidos. En este sistema de unidades la masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de material acelerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. La segunda ley de Newton establece que 1 lb (1 slug)(1 pie/s2). A partir de esta expresión se obtiene 1 slug = 1 lb-s2/pie. En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi 5280 pies) y la pulgada (1 pie 12 pulg). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a 1000 lb.
Unidades angulares s u s u R
R
Figura 12.2 Definición de un ángulo en radianes.
En ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes (rad). En la figura 12.2 se muestra el valor de un ángulo u en radianes. Se define como la razón de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del círculo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) en un círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2pR, 360° son iguales a 2p rad. Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendo que los ángulos se expresan en radianes. Consecuentemente, cuando se desee sustituir el valor de un ángulo expresado en grados en una ecuación, primero se debe convertir a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculadoras están diseñadas para aceptar ángulos expresados ya sea en grados o en radianes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.
Conversión de unidades
Tabla 12.2 Tiempo
Conversión de unidades. 1 minuto 1 hora 1 día
Longitud 1 pie 1 milla 1 pulgada 1 pie
60 segundos 60 minutos 24 horas
12 pulgadas 5280 pies 25.4 milímetros 0.3048 metros
Ángulo
2p radianes 360 grados
Masa
1 slug
14.59 kilogramos
En la práctica de la ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertir valores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Por ejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dados en unidades SI y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos ellos se deben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustituidos en la ecuación. La conversión de unidades es directa pero debe hacerse con cuidado. Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos de pie por segundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segundos, se pueden emplear las expresiones
⎛ 5280 pies ⎞ y ⎛ 1 h ⎞ ⎝ 1 mi ⎠ ⎝ 3600 s ⎠ como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene
1 mi/h = 11 mi/h2a
5280 pies 1h ba b = 1.47 pies/s. 3600 s 1 mi
www.FreeLibros.org Fuerza
1 libra
4.448 newtons
En la tabla 12.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades.
12.1 Ingeniería y mecánica
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RESULTADOS Identifique la información dada y la información que debe determinarse. Desarrolle una estrategia; identifique los principios y ecuaciones aplicables y decida cómo los usará. Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta. Obtenga la respuesta y, cuando sea posible, interprétela y compárela con su predicción
Resolución de problemas: Estos pasos se aplican a muchos tipos de problemas.
Unidades SI: Las unidades básicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para acelerar una masa de un kilogramo a un metro por segundo cuadrado. Sistemas de unidades. Unidades de uso común en Estados Unidos: Las unidades básicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies y la fuerza en libras (lb). La unidad de masa el slug, que es la masa acelerada a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra.
s u R
s u R
Las cantidades equivalentes, como 1 hora 60 minutos, pueden escribirse como razones cuyos valores son 1: 1h 1, 60 min y usarse para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo, 15 min 15 min 1 h 0.25 h. 60 min
Definición de un ángulo en radianes.
Conversión de unidades.
Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlett de la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en línea en www.unc.edu/~rowlett/units.
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Capítulo 12 Introducción
Ejemplo activo 12.1
Conversión de unidades ( Relacionado con el problema 12.11) Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)? Estrategia Un kilómetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos 60 segundos 3600 segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su velocidad en km/h. Solución
Convierta de metros a kilómetros. Convierta de segundos a horas. 6 m/s 6 m/s
1000 m 1 km
3600 s 1h
21.6 km/h. Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies por segundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)? Respuesta: 6.82 mi/h.
Ejemplo 12.2
Conversión de unidades de presión ( Relacionado con el problema 12.6) La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de 3.00 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine la presión en libras por pie cuadrado.
Estrategia A partir de la tabla 12.2, 1 libra 4.448 newtons y 1 pie 0.3048 metros. Con estas conversiones de unidades es posible calcular la presión en libras por pie cuadrado. Solución La presión (con tres dígitos significativos) es 3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22a
1 lb 0.3048 m 2 ba b 4.448 N ft 11pie
62,700 lb/pie2
Vehículo de sumersión profunda.
Razonamiento crítico ¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa? Observe en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro que 1 Pa 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,
⎛ 0.0209 lb/pie 2 ⎞ 3.00 × 10 6 N/m 2 = (3.00 × 10 6 N/m 2 ) ⎜ ⎟⎠ 1 N/m 2 ⎝ = 62,7 700 lb/pie 2 .
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12.1 Ingeniería y mecánica
Ejemplo 12.3
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Determinación de unidades a partir de una ecuación ( Relacionado con el problema 12.20)
Suponga que en la ecuación de Einstein
E = mc2, la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo. a) ¿Cuáles son las unidades SI de E? b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidades básicas de uso común en Estados Unidos?
Estrategia a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las unidades de E a partir de la ecuación dada. b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas en la tabla 12.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso común en Estados Unidos.
Solución a) De la ecuación para E,
E = 1m kg21c m/s22, las unidades SI de E son kg-m2/s2. b) De la tabla 12.2, 1 slug 14.59 kg y 1 pie 0.3048 m. Por lo tanto,
⎛ 1 slug ⎞ ⎛ 1 pie ⎞ 2 1 kg-m 2/s2 = (1 kg-m 2/s 2 ) ⎜ ⎝ 14.59 kg ⎟⎠ ⎝ 0.3048 m ⎠ = 0.738 slug-pie 2/s2. El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.
Razonamiento crítico En el inciso a), ¿cómo se supo que era posible determinar las unidades de E al determinar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada término en una ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a + b = c, las dimensiones de cada uno de los términos a, b, y c deben ser las mismas. Se dice que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresa mediante la frase coloquial. “No se pueden comparar peras con manzanas”.
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Capítulo 12 Introducción
Problemas 12.1 El valor p es 3.14159265. . . . Si C es la circunferencia de un círculo y r su radio, determine el valor de r/C con cuatro dígitos significativos.
12.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 pies de alto, por lo que el área es 24 pies 8 pies 192 pies2. ¿Cuál es el área en m2 con tres dígitos significativos?
r
C
Problema 12.1
12.2 La base de los logaritmos naturales es e 2.718281828. . . . a) Exprese e con cinco dígitos significativos. b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos.
Problema 12.4
12.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, será el edificio más alto del mundo, con una altura de 705 m. El área de su base será de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base a unidades de uso común en Estados Unidos con tres dígitos significativos.
c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar el valor de e2 con cinco dígitos significativos. [El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados durante los cálculos]. 12.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con un radio nominal r 5 mm. El radio real del agujero está en el rango r 5 0.01 mm. a) ¿Con cuántos dígitos significativos se puede expresar el radio? b) ¿Con cuántas cifras significativas se puede expresar el área del agujero?
5 mm
Problema 12.3
www.FreeLibros.org Problema 12.5
Problemas 12.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 coupe y desea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de uso común en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene llaves con anchos w 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automóvil tiene tuercas con dimensiones n 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm y 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si w no es 2% mayor que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?
w
13
12.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pieslb (pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión en N-m (newton-metros).
n
Problema 12.6
12.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest está entre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿a cuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en pies y b) en metros? 12.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shanghai al aeropuerto en Pudong alcanza una velocidad de 430 km/h. Determine su velocidad a) en mi/h y b) en pies/s.
Problema 12.10
12.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo 12.1 se define mediante 21 mv2, donde m es su masa y v es su velocidad. La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que su energía cinética es 21 (68 kg)(6 m/s)2 = 1224 kg-m2/s2. ¿Cuál es su energía cinética en unidades de uso común en Estados Unidos? 12.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en unidades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades, utilice este valor para determinar la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos. 12.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad en broma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satírico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar los ingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quincena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo a su clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincena con tres dígitos significativos? 12.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) en m2; b) en pulg2. y
Problema 12.8
40 mm
12.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera de ski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu de Estonia en un tiempo de 38 minutos, 1.3 segundos. Determine su velocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado) con tres dígitos significativos a) en km/h; b) en mi/h.
120 mm
x
40 mm 40 mm 200 mm
www.FreeLibros.org Problema 12.14
14
Capítulo 12 Introducción
12.15 El área de la sección transversal de la viga de acero Canal Estándar Americano C12 30 es A 8.81 pulg2. ¿Cuál es el área de su sección transversal en mm2?
12.18 Las cargas distribuidas sobre vigas se expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud. Si el valor de una carga distribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor en lb/pie?
y
12.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto al eje x está dado por la ecuación
A
I = 13 bh3. Las dimensiones del área son b 200 mm y h 100 mm. Determine el valor de I con cuatro dígitos significativos en términos de a) mm4, b) m4, y c) pulg4. x y
h
Problema 12.15 x b
12.16 Un transductor de presión mide un valor de 300 lb/pulg2. Determine el valor de la presión en pascales. Un pascal (Pa) es igual a un newton por metro cuadrado. 12.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt es igual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por los motores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos de fuerza.
Problema 12.19 12.20 En el ejemplo 12.3, en vez de la ecuación de Einsten considere la ecuación L mc, donde la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c está en metros por segundo. a) ¿Cuáles son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unidades SI es 12, ¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común en Estados Unidos? 12.21 La ecuación s =
My I
se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos normales en vigas. a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades básicas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (m) e I está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidades SI de s? Problema 12.17
b) si M 2000 N-m, y 0.1 m e I 7 10–5 m4, ¿cuál es el valor de s en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?
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12.2 Gravitación de Newton
15
12.2 Gravitación de Newton ANTECEDENTES Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que están separadas por la distancia r (figura 12.3) es
F =
Gm1 m 2 r2
,
(12.1)
donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unidades SI es 6.67 10–11 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calculó la fuerza gravitatoria entre una partícula de masa m1 y una esfera homogénea de masa m2, y encontró que también está dada por la ecuación (12.1), donde r denota la distancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esfera homogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de un cuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene
W =
GmmE r2
,
(12.2)
donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al objeto. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al centro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad de materia que contiene y que no depende de su posición. Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la aceleración resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso la segunda ley de Newton establece que W = ma, y de la ecuación (12.2) se observa que la aceleración debida a la gravedad es
a =
GmE r2
.
m1
F
r
F
m2
Figura 12.3 Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas son iguales en magnitud y están dirigidas a lo largo de la línea que las une.
(12.3)
La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se denota con g. Si el radio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuación (12.3) que GmE = gR2E. Sustituyendo este resultado en la ecuación (12.3), se obtiene una expresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r del centro de la Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar:
a = g
R2E r2
.
(12.4)
Como el peso del cuerpo es W ma, el peso de un cuerpo a una distancia r del centro de la Tierra es
W = mg
R2E r2
.
(12.5)
Al nivel del mar (r RE), el peso de un cuerpo está dado en función de su masa mediante la simple relación
W = mg.
(12.6)
www.FreeLibros.org El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valores que se usarán en los ejemplos y problemas son g 9.81 m/s2 en unidades SI y g 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.
16
Capítulo 12 Introducción
RESULTADOS La fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que están separadas por la distancia r es Gm1m2 , (12.1) F r2 donde G es la constante de gravitación universal. El valor de G en unidades SI es
Gravitación de Newton.
6.67 1011 N-m2/kg2. Cuando la Tierra se modela como una esfera homogénea de radio RE, la aceleración debida a la gravedad a una distancia r desde el centro es R2 (12.4) a g 2E , r donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. W mg, (12.6) donde m es la masa del objeto y g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar.
Ejemplo activo 12.4
Aceleración debida a la gravedad de la tierra.
Peso de un objeto al nivel del mar.
Peso y masa ( Relacionado con el problema 12.22) La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar. [16 oz (onzas) 1 lb]. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g 32.2 pies/s2. ¿Cuál es la masa de la prensa C en slugs? Estrategia Primero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarse la ecuación (12.6) para determinar la masa en slugs.
Solución
14 oz 14 oz
m
16 oz 0.875 lb. 1 lb
W 0.875 lb 0.0272 slug. g 32.2 pies/s2
Convierta el peso de onzas a libras. Use la ecuación (12.6) para calcular la masa en slugs.
Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g = 9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa C al nivel del mar en newtons? Respuesta: 3.89 N.
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12.2 Gravitación de Newton
Ejemplo 12.5
17
Determinación del peso de un objeto ( Relacionado con el problema 12.27)
Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Mars Exploration Rover) se ensambló por completo, su masa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km. a) ¿Cuál era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra? b) ¿Cuál es el peso del Rover sobre la superficie de Marte? c) La fase de introducción comenzó cuando la nave espacial alcanzó el punto de interfaz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era el peso del Rover en ese punto?
Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Marte.
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18
Capítulo 12 Introducción
Estrategia El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (12.6) con g 9.81 m/s2. El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecuación (12.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2. Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede escribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (12.5).
Solución a) El peso al nivel del mar en la Tierra es
W = mg
= 1180 kg219.81 m/s22 = 1770 N 1397 lb2.
b) Sea gM 3.68 m/s2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte. Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es
W = mgM
= 1180 kg213.68 m/s22 = 662 N 1149 lb2.
c) Sea RM 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (12.5), el peso del Rover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es
W = mgM
R2M r2
= 1180 kg213.68 m/s22 = 614 N 1138 lb2.
13,390,000 m22 13,522,000 m22
Razonamiento crítico En el inciso c), ¿cómo se supo que la ecuación (12.5) podía aplicarse a Marte? La ecuación 12.5 se aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera homogénea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismo supuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y no homogéneo sea el objeto.
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Problemas
19
Problemas 12.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Luna es 1.62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del ejemplo activo 12.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería el peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna? 12.23 El cubo de hierro de 1 pie 1 pie 1 pie pesa 490 lb al nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de 1 m 1 m 1 m del mismo material al nivel del mar.
1 pie
1 pie
12.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, a menudo la variación de su peso con la distancia desde el centro de la Tierra puede ignorarse. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es su masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objeto se reduce a 0.99 mg? 12.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532 km y su masa es 1.0247 1026 kg. Si el planeta se modela como una esfera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a la gravedad en su superficie? (La constante gravitatoria universal es G 6.67 10–11 N-m2/kg2).
1 pie
Problema 12.23
12.24 El área del Océano Pacífico es 64,186,000 millas cuadradas y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga que el peso por unidad de volumen del agua del océano es 64 lb/pie3. Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en kilogramos. 12.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constante gravitatoria universal es G 6.67 10–11 N-m2/kg2. Use esta información para determinar la masa de la Tierra. 12.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la Tierra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitatoria de la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una estación espacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la Tierra? 12.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM 1738 km. (Vea el ejemplo 12.5). a) ¿Cuál es el peso en newtons en la superficie de la Luna de un objeto que tiene una masa de 10 kg? b) Usando el método descrito en el ejemplo 12.5, determine la fuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste se encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.
Problema 12.29
12.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de la fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra es igual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro de la Tierra hasta ese punto con tres dígitos significativos? La distancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna es 383,000 km y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de la Luna es 1738 km y la aceleración debida a la gravedad en su superficie es 1.62 m/s2.
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CAPÍTULO
13 Movimiento de un punto En este capítulo se inicia el estudio del movimiento. Aquí no se tiene interés en las propiedades de los objetos ni en las causas de sus movimientos; el objetivo consiste sólo en describir y analizar el movimiento de un punto en el espacio. Después de definir la posición, velocidad y aceleración de un punto, se considera el caso más sencillo: el movimiento a lo largo de una línea recta. Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa y analiza usando diversos sistemas coordenados.
an
at
Las líneas muestran las trayectorias seguidas por partículas subatómicas que se mueven en un campo magnético. Las partículas con trayectorias curvas tienen tanto componentes de aceleración tangenciales como normales.
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22
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.1 Posición, velocidad y aceleración ANTECEDENTES Si alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitación, por ejemplo un grupo de personas en una fiesta, podrá percibir las posiciones en relación con la habitación. Algunas personas estarán en el fondo de la habitación, otras en medio del cuarto, etcétera. La habitación es su “marco de referencia”. Para precisar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con sus ejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar la posición de una persona (en realidad, la posición de algún punto de la persona, por ejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posición r en relación con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es un marco de referencia conveniente para los objetos en la habitación. Si alguien está sentado en un avión, podrá percibir las posiciones de los objetos dentro del avión en relación con éste. En tal caso, el interior del avión es su marco de referencia. Para especificar de manera precisa la posición de una persona dentro del avión, se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que esté fijo en relación con el avión y mida la posición del centro de masa de una persona especificando las componentes del vector de posición r en relación con el origen (figura 13.1b). Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuado para especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menos con las coordenadas cartesianas. En este capítulo se analiza otro ejemplo y a lo largo del libro se continúa el estudio de los marcos de referencia. Se puede describir la posición de un punto P en relación con un marco de referencia dado con origen O mediante el vector de posición r desde O hasta P (figura 13.2a). Suponga que P está en movimiento respecto al marco de referencia escogido, de manera que r es una función del tiempo t (figura 13.2b). Lo anterior se expresa mediante la notación r r(t). La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como v =
r1t + ¢ t2 - r1t2 dr = lím , ¢t : 0 dt ¢t
(13.1)
y
x r
O
z (a) y
Figura 13.1 Marcos de referencias convenientes para especificar posiciones de objetos (a) en una habitación; (b) en un avión.
O
r
www.FreeLibros.org x
z
(b)
13.1 Posición, velocidad y aceleración P
23
P
r O
O (a)
(b) P(t t) r(t t) r(t)
r(t t)
P(t)
Figura 13.2 (a) Vector de posición r de P respecto a O. (b) Movimiento de P respecto al marco de referencia. (c) Cambio en la posición de P de t a t ¢t.
r(t) O (c)
donde el vector r(t ¢t) r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P, durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.2c). Así, la velocidad es la razón de cambio de la posición de P. Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporción, por lo que las dimensiones de v son (distancia)(tiempo). El marco de referencia usado suele ser obvio, y se llamará simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo, recuerde que la posición y la velocidad de un punto pueden especificarse sólo con respecto a un marco de referencia. Observe en la ecuación (13.1) que la derivada de un vector con respecto al tiempo se define exactamente igual que la derivada de una función escalar. Por lo anterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada de una función escalar. Se usarán dos de esas propiedades: la derivada con respecto al tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es
v(t t) v(t) O
v(t t)
v(t t) v(t)
v(t)
Figura 13.3 Cambio en la velocidad de P desde t hasta t ¢t.
du dw d 1u + w2 = + , dt dt dt y la derivada respecto al tiempo del producto de una función escalar f y una función vectorial u es
d1fu2 dt
=
df du u + f . dt dt
P r O
r
La aceleración de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como
a =
dv = lím ¢t:0 dt
v1t + ¢t2 - v1t2 ¢t
,
O (a)
(13.2)
donde v(t ¢t) v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.3). La aceleración es la razón de cambio de la velocidad de P en el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y sus dimensiones son (distancia)(tiempo)2. Se ha definido la velocidad y la aceleración de P en relación con el origen O del marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidad y aceleración en relación con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado. Sea O un punto fijado de manera arbitraria, y sea r el vector de posición de O a P (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a O es v dr dt. La velocidad de P
P r O
r R O (b)
www.FreeLibros.org Figura 13.4 (a) Vectores de posición de P relativos a O y O . (b) Vector de posición de O relativo a O.
24
Capítulo 13 Movimiento de un punto
relativa al origen O es v drdt. Se desea demostrar que v v. Sea R el vector de O a O (figura 13.4b), de modo que r r R. Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a O es
v¿ =
dr¿ dr dR dr = = = v. dt dt dt dt
La aceleración de P relativa a O es a dv dt, y la aceleración de P relativa a O es a dvdt. Como v v, a a. Así, la velocidad y aceleración de un punto P relativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del punto de referencia fijo usado para especificar la posición de P.
RESULTADOS P
Posición La posición de un punto P en relación con un sistema coordenado específico, o marco de referencia, con origen O puede describirse mediante el vector de posición r de O a P.
r O
Velocidad La velocidad de P relativa a O en el tiempo t es la derivada de la posición r con respecto a t (la razón de cambio de r).
v
dr . dt
(13.1)
Aceleración La aceleración de P relativa a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la razón de cambio de v).
a
dv . dt
(13.2)
Un punto tiene la misma velocidad y aceleración relativas a cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.
13.2 Movimiento en línea recta ANTECEDENTES Este tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtenga experiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embargo, en muchas situaciones prácticas los ingenieros deben analizar movimientos en línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movimiento de un pistón en un motor de combustión interna.
Descripción del movimiento
www.FreeLibros.org Considere una línea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado. Se supone que la dirección de la línea relativa al marco de referencia está fija (por ejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y
25
13.2 Movimiento en línea recta
tiene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede especificar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a O por medio de una coordenada s medida a lo largo de la línea que va de O a P. En la figura 13.5a se define a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está a la derecha de O y negativa cuando P está a la izquierda de O. El desplazamiento de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición s(t) s(t0), donde s(t) denota la posición en el tiempo t. Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la línea y que apunta en la dirección positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posición de P respecto a O como r se.
P
O
s
s (a) O
P
s
r
e
(b)
Figura 13.5 (a) Coordenada s de O a P. (b) Vector unitario e y vector de posición r.
Como la magnitud y la dirección de e son constantes, dedt 0, por lo que la velocidad de P respecto a O es
v =
ds dr e. = dt dt
Se puede escribir el vector velocidad como v ve, y obtener la ecuación escalar
v =
ds . dt
La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la línea tangente a la gráfica de s como una función del tiempo (figura 13.6). La aceleración de P respecto a O es
a =
s
v
dv d dv 1ve2 = e. = dt dt dt
1
Al escribir el vector de aceleración como a ae se obtiene la ecuación escalar
a =
d 2s dv . = dt dt 2
La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la línea tangente a la gráfica de v como una función del tiempo (figura 13.7). Con la introducción del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalares que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordenada s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones
v =
ds dt
t
t
Figura 13.6 La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de s contra t es la velocidad en el tiempo t.
(13.3) v
y
a =
dv . dt
(13.4)
Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, es posible escribir la derivada de la velocidad con respecto al tiempo como
a 1
dv ds dv = , dt ds dt con lo que se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que frecuentemente resulta útil:
t
t
www.FreeLibros.org a =
dv v. ds
(13.5)
Figura 13.7 La pendiente de la línea recta tangente a la gráfica de v contra t es la aceleración en el tiempo t.
26
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Análisis del movimiento
O
s
Figura 13.8 La coordenada s mide la posición del centro de masa del camión respecto a un punto de referencia.
En algunas situaciones se conoce la posición s de algún objeto como función del tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometría de láser para medir posiciones en función del tiempo. En este caso, con las ecuaciones (13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciación la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura 13.8 durante el intervalo de tiempo de t 2 s a t 4 s está dada por la ecuación
s = 6 +
1 3 t m, 3
entonces, su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son
v =
ds = t 2 m/s dt
a =
dv = 2t m/s 2. dt
y
Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición, porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley de Newton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Cuando se conoce la aceleración, con las ecuaciones (13.3) a (13.5) se pueden determinar por integración la velocidad y la posición. Aceleración especificada como función del tiempo Si la aceleración es una función conocida del tiempo, se puede integrar la relación
dv = a dt
(13.6)
con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo. Se obtiene
v =
L
a dt + A,
donde A es una constante de integración. Después se puede integrar la relación
ds = v dt
(13.7)
para determinar la posición en función del tiempo,
s =
L
v dt + B,
donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B se necesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores de v y s en un tiempo dado. En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (13.6) puede escribirse como
www.FreeLibros.org dv a dt
13.2 Movimiento en línea recta
27
e integrar en términos de integrales definidas: v
Lv0
t
dv =
a dt.
Lt0
(13.8)
El límite inferior v0, es la velocidad en el tiempo t0 y el límite superior v es la velocidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral del lado izquierdo de la ecuación (13.8), se obtiene una expresión para la velocidad en función del tiempo: t
v = v0 +
a dt.
Lt0
(13.9)
Se puede escribir la ecuación (13.7) como ds v dt e integrar en términos de integrales definidas, s
t
ds =
Ls0
v dt,
Lt0
donde el límite inferior s0 es la posición en el tiempo t0 y el límite superior s es la posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral del lado izquierdo, se obtiene la posición como una función del tiempo: t
s = s0 +
Lt0
v dt.
(13.10)
Aunque se ha mostrado cómo determinar la velocidad y la posición cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo, no es recomendable memorizar resultados como las ecuaciones (13.9) y (13.10). Como se demostrará en los ejemplos, se recomienda que los problemas de movimiento en línea recta se resuelvan usando las ecuaciones (13.3) a (13.5). Se pueden realizar algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (13.9) y (13.10): • El área definida por la gráfica de la aceleración de P como una función del tiempo de t0 a t es igual al cambio en la velocidad de t0 a t (figura 13.9a). • El área definida por la gráfica de la velocidad de P como una función del tiempo de t0 a t es igual al cambio en la posición de t0 a t (figura 13.9b). A menudo estas relaciones pueden usarse para obtener una apreciación cualitativa del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para determinar su movimiento en forma cuantitativa.
v
a
Área v(t) v(t0)
Área s(t) s(t0)
www.FreeLibros.org t0
t
(a)
t
t0
t
(b)
t
Figura 13.9 Relaciones entre áreas definidas por las gráficas de la aceleración y la velocidad de P, y cambios en su velocidad y posición.
28
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Aceleración constante En algunas situaciones, la aceleración de un objeto es constante, o casi constante. Por ejemplo, si se deja caer un objeto denso, como una pelota de golf o una roca, y éste no cae muy lejos, la aceleración de este cuerpo es aproximadamente igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Sea la aceleración una constante conocida a0. A partir de las ecuaciones (13.9) y (13.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son v v0 a0(t t0)
(13.11)
y
s = s0 + v01t - t02 +
1 a01t - t022, 2
(13.12)
donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observe que si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo. A partir de la ecuación (13.5), puede escribirse la aceleración como
a0 =
dv v. ds
Escribiendo esta expresión como v dv a0 ds e integrando, v
Lv0
s
v dv =
Ls0
a0 ds,
se obtiene una ecuación para la velocidad como una función de la posición:
v 2 = v 20 + 2a01s - s02.
(13.13)
Aunque las ecuaciones (13.11) a (13.13) pueden ser útiles cuando la aceleración es constante, no deben ser usadas en otros casos.
RESULTADOS Posición La posición de un punto P sobre una línea recta respecto a un punto de referencia O puede describirse mediante la coordenada s medida a lo largo de la línea desde O hasta P. El desplazamiento de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio en posición s(t) s(t0), donde s(t) denota la posición en el tiempo t.
Velocidad La velocidad de P respecto a O en el tiempo t es la derivada de la posición s con respecto a t (la razón de cambio de s).
O
P
s
s
ds . dt
www.FreeLibros.org v
(13.3)
13.2 Movimiento en línea recta
Aceleración La aceleración de P respecto a O en un tiempo t es la derivada de la velocidad v con respecto a t (la razón de cambio de v).
a
dv . dt
(13.4)
a
dv v. ds
(13.5)
29
Aplicando la regla de la cadena dv dv ds dt ds dt se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que con frecuencia resulta útil. a
Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo La aceleración puede integrarse con respecto al tiempo para determinar la velocidad como una función del tiempo. A es una constante de integración.
De manera alternativa se pueden usar integrales definidas para determinar la velocidad. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0, y v es la velocidad en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la velocidad del tiempo t0 al tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la aceleración desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
dv a, dt v
L
a dt A.
v
L v0
t
dv
L t0
a dt, t
v v0
L t0
a dt.
a
Área v(t) v(t0) t0
t
t
Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo La velocidad puede integrarse con respecto al tiempo para determinar la posición como una función de éste. B es una constante de integración.
ds v, dt
www.FreeLibros.org s
L
v dt B.
30
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Pueden usarse integrales definidas para determinar la posición. Aquí, s0 es la posición en el tiempo t0, y s es la posición en el tiempo t. Este resultado muestra que el cambio en la posición del tiempo t0 al tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la velocidad desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
s
L s0
t
dv
L t0
v dt,
s s0
t v dt.
Lt0
v
Área s(t) s(t0) t0
t
t
Cuando la aceleración es constante Suponga que la aceleración es una constante a a0. Las ecuaciones (13.3) a (13.5) pueden integrarse para obtener estos resultados convenientes para la velocidad v y la posición s en el tiempo t. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0, y s0 es la posición en el tiempo t0.
Ejemplo activo 13.1
v v0 a0(t t0),
(13.11)
1 s s0 v0(t t0) a0(t t0)2, 2 v2 v20 2a0(s s0).
(13.12) (13.13)
Aceleración que es una función del tiempo ( Relacionado con el problema 13.12) La aceleración (en m/s2) del punto P mostrado respecto al punto O está dada como una función del tiempo por a 3t2, donde t está en segundos. En t 1 s, la posición de P es s 3 m y en t 2 s, la posición de P es s 7.5 m. ¿Cuál es la posición de P en t 3 s? O
P
s
s
Estrategia Debido a que la aceleración está dada como una función del tiempo, ésta puede integrarse para obtener una ecuación para la velocidad en función del tiempo. Después se puede integrar la velocidad para obtener una ecuación para la posición en función del tiempo. Las ecuaciones resultantes contendrán dos constantes de integración. Estas expresiones pueden evaluarse usando los valores dados de la posición en t 1 s y t 2 s.
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13.2 Movimiento en línea recta
31
Solución
Integre la aceleración para determinar la velocidad como una función del tiempo. A es una constante de integración.
Integre la velocidad para determinar la posición como una función del tiempo. B es una constante de integración.
Use las posiciones conocidas en t 1 s y en t 2 s para determinar A y B, obteniendo A 0.75 y B 2.
dv 3t2, dt v t3 A. a
ds t3 A, dt 1 s t4 At B. 4
v
1 4 (1) A(1) B, 4 1 s t2 s 7.5 (2)4 A(2) B. 4 s t1 s 3
1 s t4 0.75t 2 : 4 1 s t3 s (3)4 0.75(3) 2 24.5 m. 4
Determine la posición en t 3 s.
Problema de práctica La aceleración (en pies/s2) del punto P respecto al punto O está dado como una función del tiempo por a 2t, donde t está dado en segundos. Cuando t 3 s, la posición y la velocidad de P son s 30 pies y v 14 pies/s. ¿Qué valores tienen la posición y la velocidad de P en t 10 s?
O
P
s
s
Respuesta: s 389 pies, v 105 pies/s.
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32
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.2
Movimiento en línea recta con aceleración constante ( Relacionado con el problema 13.1) Los ingenieros que prueban un vehículo que debe lanzarse por paracaídas estiman que la velocidad vertical del automóvil al tocar el suelo será de 6 m/s. Si sueltan el vehículo desde el bastidor de prueba mostrado, ¿a qué altura h se debe soltar para simular la caída con paracaídas?
h
Estrategia Si la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto cerca de la superficie de la Tierra es su peso, la aceleración del objeto es aproximadamente constante e igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo tanto, se supone que la aceleración del vehículo durante su corta caída es g 9.81 m/s2. Se pueden integrar las ecuaciones (13.3) y (13.4) para obtener la velocidad y la posición del vehículo como funciones del tiempo y después usarlas para determinar la posición del vehículo cuando su velocidad es igual a 6 m/s. Solución Sea t 0 el tiempo en el que el vehículo se suelta, y sea s la posición del fondo de la plataforma que soporta al vehículo respecto a su posición en t 0 (figura a). La aceleración del vehículo es a 9.81 m/s2. De la ecuación (13.4),
dv = a = 9.81 m/s 2. dt Integrando, se obtiene v 9.81t A, donde A es una constante de integración. Como el vehículo se encuentra en reposo al soltarlo, v 0 cuando t 0. Por lo tanto, A 0, y la velocidad del vehículo en función del tiempo es
www.FreeLibros.org v 9.81t m/s.
13.2 Movimiento en línea recta
33
s
a) La coordenada s mide la posición del fondo de la plataforma respecto a su posición inicial.
Se sustituye este resultado en la ecuación (13.3) para obtener
ds = v = 9.81t dt y se integra, de donde resulta s 4.91t2 B. La posición s 0 cuando t 0, por lo que la constante de integración B 0, y la posición en función del tiempo es s 4.91t2. De la ecuación para la velocidad como una función del tiempo, el tiempo necesario para que el vehículo alcance 6 m/s es
t =
v 6 m/s = = 0.612 s. 9.81 m/s 2 9.81 m/s 2
Sustituyendo este tiempo en la ecuación para la posición en función del tiempo, se obtiene la altura h requerida: h 4.91t2 4.91(0.612)2 1.83 m.
Razonamiento crítico Observe que la altura h, desde la cual debe soltarse el vehículo, podría haberse determinado de una manera más simple usando la ecuación (13.13), que relaciona la velocidad con la posición.
v2 v20 2a0(s s0): (6 m/s)2 0 2(9.81 m/s2)(h 0). Al resolver, se obtiene h 1.83 m. Pero resulta esencial recordar que las ecuaciones (13.11) a (13.13) son aplicables sólo cuando la aceleración es constante, como en este ejemplo.
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34
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.3
Solución gráfica de un movimiento en línea recta ( Relacionado con el problema 13.26) El guepardo, Acinonyx jubatus, puede correr a 75 mi/h. Si se supone que la aceleración del animal es constante y que alcanza su velocidad máxima en 4 s, ¿qué distancia podrá recorrer en 10 s?
Estrategia La aceleración tiene un valor constante durante los primeros 4 s y después es cero. Se puede determinar la distancia recorrida durante cada una de esas “fases” del movimiento y sumarlas para obtener la distancia total recorrida. Esto se hará de manera analítica y gráfica.
Solución La velocidad máxima en pies por segundo es
75 mi/h = 175 mi/h2a
5280 pies 1h ba b = 110 pies/s. 1 mi 3600 s
Primer método Sea a0 la aceleración durante los primeros 4 s. Se integra la ecuación (13.4) y resulta v
t
dv =
L0
a0 dt,
L0
v
t
0
0
cv d = a0 ct d , v - 0 = a01t - 02, de donde se obtiene la velocidad en función del tiempo durante los primeros 4 s: v a0 t pies/s. Cuando t 4 s, v 110 pies/s; entonces a0 1104 27.5 pies/s2. Por lo tanto, la velocidad durante los primeros 4 segundos es v 27.5t pies/s. Ahora se integra la ecuación (13.3), s
L0
t
ds = s
L0
27.5t dt,
cs d = 27.5c 0
t2 t d , 2 0
s - 0 = 27.5a
t2 - 0b , 2
y se obtiene la posición como función del tiempo durante los primeros 4 s:
www.FreeLibros.org s 13.75t 2 pies.
13.2 Movimiento en línea recta
35
En t 4 s la posición es s 13.75(4)2 220 pies. De t 4 s a t 10 s, la velocidad v 110 pies/s. Se escribe la ecuación (13.3) como ds v dt 110 dt y se integra para determinar la distancia viajada durante la segunda fase del movimiento, s
L0
10
ds =
L4
110 dt,
s
10
0
4
c s d = 110 c t d , s - 0 = 110110 - 42, obteniendo s 660 pies. La distancia total que viaja el guepardo en 10 s es 220 pies 660 pies 880 pies, o 293 yd. Segundo método En la figura a se dibuja la gráfica de la velocidad del guepardo en función del tiempo. La aceleración es constante durante los primeros 4 s de su movimiento, por lo que su velocidad es una función lineal del tiempo desde v 0 en t 0 hasta v 110 pies/s en t 4 s. La velocidad es constante durante los últimos 6 s. La distancia total recorrida es la suma de las áreas durante las dos fases del movimiento:
v (pies/s)
–12 (4 s)(110 pies/s) (6 s)(110 pies/s) 220 pies 660 pies 880 pies.
El área es igual a la distancia recorrida de t 0 a t 10 s. 110
0
0
10
4
t (s)
(a) Velocidad del guepardo en función del tiempo.
Razonamiento crítico Observe que en el primer método se usaron integrales definidas en vez de indefinidas para determinar la velocidad y posición del guepardo en función del tiempo. Se sugiere resolver este ejemplo usando integrales indefinidas y comparar los resultados de ambos métodos. El uso de integrales definidas o indefinidas es una cuestión de preferencia personal, pero es necesario estar familiarizado con ambos procedimientos.
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36
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas Los siguientes problemas implican movimiento en línea recta. El tiempo t está en segundos a menos que se indique otra cosa. 13.1 En el ejemplo 13.2 suponga que el vehículo se deja caer desde una altura h 6 m. a) ¿Qué valor tiene la velocidad descendente 1 s después de soltar el vehículo? b) ¿Qué valor tiene la velocidad descendente justo antes de llegar al suelo? 13.2 La fresadora que se muestra en la figura está programada de modo que durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 2 s, la posición de su cabeza (en pulgadas) está dada como una función del tiempo por s 4t 2t 2. ¿Cuál es la velocidad (en pulg/s) y la aceleración (en pulg/s2) de la cabeza cuando t 1 s?
13.3 En un experimento para estimar la aceleración debida a la gravedad, un estudiante deja caer una pelota a una distancia de 1 m sobre el piso. Su compañero de laboratorio mide el tiempo que la pelota tarda en caer y obtiene una estimación de 0.46 s. a) ¿Cuál es su estimación de la aceleración debida a la gravedad? b) Sea s la posición de la pelota respecto al piso. Usando el valor de la aceleración debida a la gravedad obtenida por los estudiantes, y suponiendo que la pelota se suelta en t 0, determine s (en m) como una función del tiempo.
s
s
Problema 13.2
s0
Problema 13.3
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Problemas 13.4 La posición del bote que se muestra en la figura durante el intervalo de tiempo desde t 2 s hasta t 10 s está dada por s 4t 1.6t2 0.08t3 m. a) Determine la velocidad del bote y la aceleración en t 4 s. b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bote durante este intervalo de tiempo y cuándo ocurre?
37
13.7 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 3 s es s 12 5t2 t3 pies. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo, y en qué momento ocurre? b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima? 13.8 La manivela giratoria que se muestra en la figura ocasiona que la posición del punto P como una función del tiempo sea s 0.4 sen(2pt) m. a) Determine la velocidad y la aceleración de P en t 0.375 s. b) ¿Cuál es la magnitud máxima de la velocidad de P? c) Cuando la magnitud de la velocidad de P es máxima, ¿cuál es la aceleración de P? 13.9 Para el mecanismo del problema 13.8, dibuje gráficas de la posición s, la velocidad v y la aceleración a del punto P como funciones del tiempo para 0 t 2 s. Usando sus gráficas, confirme que la pendiente de la gráfica de s es cero en los tiempos para los cuales v es igual a cero y que la pendiente de la gráfica de v es cero en los tiempos para los cuales a es igual a cero.
Problema 13.4 13.5 El cohete que se muestra en la figura parte del reposo en t = 0 y viaja hacia arriba en línea recta. Su altura sobre el suelo como una función del tiempo puede aproximarse por s bt2 ct3, donde b y c son constantes. En t 10 s, la velocidad del cohete y la aceleración son v 229 m/s y a 28.2 m/s2. Determine el tiempo en el que el cohete alcanza la velocidad supersónica (325 m/s). ¿Cuál es la altura cuando esto ocurre?
P s
Problemas 13.8/13.9 13.10 Un sismógrafo mide el movimiento horizontal del terreno durante un sismo. Al analizar los datos, un ingeniero determina que para un intervalo de 10 segundos comenzando en t 0, la posición se puede expresar aproximadamente con s 100 cos(2pt) mm. ¿Cuáles son a) la velocidad máxima y b) la aceleración máxima del terreno durante el intervalo de 10 segundos? 13.11 En una operación de ensamblaje, el brazo de robot mostrado se mueve a lo largo de una línea recta. Durante un intervalo de tiempo de t 0 a t 1 s, su posición está dada por s 30t2 20t3 mm. a) Determine la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo. b) ¿Qué valores tienen la posición y la aceleración cuando la velocidad es máxima? s
s
Problema 13.5 13.6 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo 1 desde t 0 hasta t 6 s está dada por s –2 t3 6t2 4t m. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo y en qué momento ocurre? b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?
www.FreeLibros.org Problema 13.11
38
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.12 En el ejemplo activo 13.1, la aceleración (en m/s2) del punto P respecto al punto O está dada como una función del tiempo por a 3t2. Suponga que en t 0 la posición y velocidad de P son s 5 m y v 2 m/s. Determine la posición y la velocidad de P en t 4 s. 13.13 El Porsche mostrado parte del reposo en el tiempo t 0. Durante los primeros 10 segundos de su movimiento, su velocidad en km/h está dada como una función del tiempo por v 22.8t 0.88t2, donde t se da en segundos. a) ¿Cuál es la aceleración máxima del automóvil en m/s2, y en qué momento ocurre? b) ¿Qué distancia en km viaja el automóvil durante los 10 segundos?
13.18 Los misiles diseñados como defensa contra los cohetes balísticos alcanzan aceleraciones superiores a 100 g, es decir, mayores que 100 veces la aceleración debida a la gravedad. Suponga que el misil mostrado despega desde el suelo y tiene una aceleración constante de 100 g. ¿Cuánto tiempo tarda en alcanzar una altura de 3000 m? ¿A qué velocidad viaja cuando alcanza esa altura? 13.19 Suponga que el misil mostrado despega desde el suelo y, debido a que se vuelve más ligero conforme gasta el combustible, su aceleración (en número de g) está dada como una función del tiempo en segundos por a =
100 . 1 - 0.2t
¿Cuál es la velocidad del misil, en millas por hora, 1 s después de haber despegado?
Problema 13.13 13.14 La aceleración de un punto es a 20t m/s2. Cuando t 0, s 40 m y v 10 m/s. ¿Cuáles son la posición y la velocidad en t 3 s? 13.15 La aceleración de un punto es a 60t 36t2 pies/s2. Cuando t 0, s 0 y v 20 pies/s. ¿Cuáles son la posición y la velocidad en función del tiempo? 13.16 Como una primera aproximación, un ingeniero biomecánico que estudia el vuelo de las aves supone que el petrel de nieve se eleva con aceleración constante. Las mediciones en video indican que este pájaro requiere una distancia de 4.3 m para despegar y se mueve a 6.1 m/s cuando lo hace. ¿Qué valor tiene la aceleración? 13.17 Al desarrollar de manera progresiva un modelo más realista, el ingeniero biomecánico modela la aceleración del petrel de nieve mediante una ecuación de la forma a C(1 sen vt), donde C y v son constantes. A partir de las mediciones en video del despegue de un ave, estima que v 18 y determina que el pájaro requiere 1.42 s para despegar y se mueve a 6.1 m/s cuando lo hace. ¿Qué valor tiene la constante C?
Problemas 13.18/13.19
www.FreeLibros.org Problemas 13.16/13.17
Problemas
39
13.20 El avión mostrado libera su paracaídas en el tiempo t 0. Su velocidad está dada como una función del tiempo por v =
80 m/s. 1 + 0.32t
¿Cuál es la aceleración del avión en t 3 s? 13.21 ¿Qué tanto se desplaza el avión del problema 13.20 durante el intervalo de tiempo desde t 0 hasta t 10 s?
Problemas 13.20/13.21
13.22 La velocidad de un trineo es v 10t pies/s. Cuando t 2 s, su posición es s 25 pies. ¿Cuál es su posición cuando t 10 s?
13.24 La velocidad de un objeto es v 200 2t2 m/s. Cuando t 3 s, su posición es s 600 m. ¿Cuáles son la posición y la aceleración del objeto en t 6 s? 13.25 Un sistema de navegación inercial mide la aceleración de un vehículo desde t 0 hasta t 6 s y determina que es a 2 0.1t m/s2. En t 0, la posición y velocidad del vehículo son s 240 m y v 42 m/s, respectivamente. ¿Cuáles son la posición y velocidad del vehículo en t 6 s?
Problema 13.22
13.23 En septiembre de 2003, Tony Schumacher partió desde el reposo y condujo un cuarto de milla (1320 pies) en 4.498 s durante una carrera de la Asociación Nacional de Automovilismo. Su velocidad cuando cruzó la línea de meta era de 328.54 mi/h. Suponga que la aceleración del automóvil puede expresarse mediante una función lineal de tiempo a b ct. a) Determine el valor de las constantes b y c. b) ¿Cuál es la velocidad del automóvil 2 s después del inicio de la carrera?
13.26 En el ejemplo 13.3, suponga que la aceleración del guepardo es constante y alcanza su velocidad máxima de 75 mi/h en 5 s. ¿Qué distancia puede cubrir en 10 s?
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40
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.27 La gráfica muestra la aceleración de un avión durante su despegue. ¿Cuál es la velocidad del avión cuando éste se eleva (despega) en t 30 s? 13.28 La gráfica muestra la aceleración de un avión durante su despegue. ¿Qué distancia se ha desplazado el avión cuando éste despega en t 30 s?
13.31 Un tren de alta velocidad tiene una velocidad máxima de 100 m/s. Para comodidad de los pasajeros, la magnitud de la aceleración y desaceleración se limita a 2 m/s2. Determine el tiempo mínimo requerido para un viaje de 100 km. Estrategia: Un procedimiento gráfico puede ayudar a resolver este problema. Recuerde que el cambio de posición de un tiempo inicial t0 a un tiempo t es igual al área definida por la gráfica de la velocidad en función del tiempo desde t0 hasta t.
Problema 13.31
a 9 pies/s2
3 pies/s2 0
t 0
5s
30 s
Problemas 13.27/13.28 13.29 Un automóvil viaja a 30 mi/h cuando se enciende la luz ámbar de un semáforo que se encuentra 295 pies adelante. El conductor tarda 1 s en reaccionar antes de aplicar los frenos. a) Después de aplicar los frenos, ¿qué desaceleración constante permitirá que el automóvil se detenga justo al llegar al semáforo? b) ¿Cuánto tiempo tardará el automóvil en desplazarse los 295 pies hasta el semáforo? 13.30 Un automóvil viaja a 30 mi/h cuando se enciende la luz ámbar de un semáforo que se encuentra 295 pies adelante. El conductor tarda 1 s en reaccionar antes de acelerar. Si el automóvil tiene una aceleración constante de 5 pies/s2 y la luz ámbar permanecerá durante 5 s, ¿el automóvil llegará al semáforo antes de que la luz cambie a roja? ¿Qué tan rápido se estará moviendo el automóvil cuando llegue al semáforo?
30 mi/h
13.32 La estrella más cercana a la Tierra es Próxima Centauri, que está a 4.22 años luz de nuestro planeta. Ignore el movimiento relativo entre el sistema solar y Próxima Centauri, y suponga que una nave espacial acelera desde la vecindad de la Tierra a 0.01g (0.01 veces la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar) hasta que alcanza un décimo de la velocidad de la luz, viaja por inercia hasta que llega el momento de desacelerar, luego desacelera a razón de 0.01g hasta que llega al reposo en la vecindad de Próxima Centauri. ¿Cuánto tiempo dura el viaje? (La luz viaja a 3 108 m/s). 13.33 Un auto de carreras parte desde el reposo y acelera según la función a 5 2t pies/s2 durante 10 s. Se aplican los frenos y el auto adquiere una aceleración constante a 30 pies/s2 hasta que se detiene. Determine a) la velocidad máxima, b) la distancia total recorrida y c) el tiempo total del recorrido. 13.34 Cuando t 0, la posición de un punto es s 6 m y su velocidad es v 2 m/s. De t 0 a t 6 s, la aceleración del punto es a 2 2t2 m/s2. Desde t 6 s hasta que alcanza el reposo, su aceleración es a 4 m/s2. a) ¿Cuál es el tiempo total de viaje? b) ¿Qué distancia total cubre el desplazamiento? 13.35 Ciertos zoólogos que estudian la ecología de la llanura Serengeti estiman que un guepardo adulto promedio puede correr a 100 km/h y la gacela promedio puede correr a 65 km/h. Si los animales corren a lo largo de la misma línea recta, comenzando al mismo tiempo, y ambos tienen aceleración constante y alcanzan su velocidad máxima en 4 s, ¿qué tan cerca debe estar un guepardo al iniciar la caza para dar alcance a la gacela en 15 s? 13.36 Suponga que una persona conduce imprudentemente su automóvil a 75 mi/h en una zona de 55 mi/h y rebasa a una patrulla de policía que va a 55 mi/h en la misma dirección. Si los oficiales de la patrulla comienzan a acelerar en el momento de ser rebasados y aumentan su velocidad hasta 80 mi/h en 4 s, ¿cuánto tardarán en alcanzar al automóvil?
www.FreeLibros.org 295 pies
Problemas 13.29/13.30
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición 13.37 Si u 1 rad y dudt 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de P respecto a O? Estrategia: Se puede escribir la posición de P respecto a O como s (2 pies) cos u (2 pies) cos u,
41
13.39* Si u 1 rad y dudt 1 rad/s, ¿cuál es la velocidad de P relativa a O?
y luego calcular la derivada de esta expresión con respecto al tiempo para determinar la velocidad. 13.38 Si u 1 rad, dudt 2 rad/s y d 2udt 2 0, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración de P respecto a O?
400 mm
200 mm
O
u
s
P
Problema 13.39 2 pies
2 pies
u O P s
Problemas 13.37/13.38
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición ANTECEDENTES Aceleración especificada como función de la velocidad Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas ocasionan que la aceleración de un objeto dependa de su velocidad (figura 13.10). Suponga que la aceleración es una función conocida de la velocidad; es decir,
dv = a1v2. dt
(13.14)
No es posible integrar esta ecuación con respecto al tiempo para determinar la velocidad, porque a(v) no se conoce como función del tiempo. Sin embargo, se pueden separar variables poniendo los términos que contengan v en un lado de la ecuación y los términos que contengan t en el otro lado:
dv = dt. a1v2
(13.15)
Ahora se puede integrar, de donde se obtiene
Figura 13.10 Las fuerzas aerodinámicas e hidrodinámicas dependen de la velocidad del cuerpo. Cuando la velocidad de la bala decrece, la fuerza aerodinámica de arrastre que resiste su movimiento disminuye.
www.FreeLibros.org v
t
dv dt, = Lt0 Lv0 a1v2
(13.16)
42
Capítulo 13 Movimiento de un punto
donde v0 es la velocidad en el tiempo t0. En principio, se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función del tiempo, y luego integrar la relación
ds = v dt para determinar la posición en función del tiempo. Usando la regla de la cadena, también se puede determinar la velocidad en función de la posición. Escribiendo la aceleración como
dv ds dv dv v = = dt ds dt ds y sustituyéndola en la ecuación (13.14) se obtiene
dv v = a1v2. ds La separación de variables produce
v dv = ds. a1v2 Integrando, v
s
v dv ds, = Ls0 Lv0 a1v2 es posible obtener una relación entre la velocidad y la posición. Aceleración especificada como función de la posición Las fuerzas gravitatorias y las fuerzas ejercidas por resortes pueden hacer que la aceleración de un cuerpo dependa de su posición. Si la aceleración se conoce como una función de la posición; es decir,
dv = a1s2, dt
(13.17)
no se puede integrar con respecto al tiempo para determinar la velocidad porque a(s) no se conoce como función del tiempo. Además, no es posible separar variables porque la ecuación contiene tres variables: v, t y s. Sin embargo, usando la regla de la cadena
dv ds dv dv v, = = dt ds dt ds la ecuación (13.17) puede escribirse como
dv v = a1s2. ds
www.FreeLibros.org Ahora se pueden separar variables, v dv a(s) ds,
(13.18)
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición
43
y se integra: v
Lv0
s
v dv =
Ls0
a1s2 ds.
(13.19)
En principio se puede resolver esta ecuación para la velocidad en función de la posición:
v =
ds = v1s2. dt
(13.20)
Luego es posible separar variables en esta ecuación e integrar para determinar la posición en función del tiempo: s
t
ds dt. = v1s2 Lt0 Ls0
RESULTADOS
Cuando la aceleración se conoce como una función de la velocidad, a a(v).
Separe variables dv a(v): dt dv dt, a(v) e integre para determinar la velocidad como una función del tiempo. O aplique primero la regla de la cadena, dv dv ds dv v a(v), ds dt ds dt Después, separe variables, v dv ds, a(v) e integre para determinar la velocidad como una función de la posición.
Aplique la regla de la cadena, Cuando la aceleración se conoce como una función de la posición, a a(s).
dv dv ds dv v a(s), dt ds dt ds después separe variables, v dv a(s)ds, e integre para determinar la velocidad como una función de la posición.
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.4
Aceleración que es una función de la velocidad ( Relacionado con el problema 13.40) Después de desplegar su paracaídas de freno, el avión que se presenta en la figura tiene una aceleración (en m/s2) de a 0.004v2, donde v es la velocidad en m/s. Determine el tiempo requerido para que la velocidad del avión se reduzca de 80 m/s a 10 m/s. Estrategia La aceleración del avión se conoce como una función de su velocidad. Si se escribe la aceleración como a dvdt, es posible separar variables e integrar para determinar la velocidad como una función del tiempo. Solución
dv 0.004v2 : dt dv 0.004dt. v2
Separe variables.
v
t
dv 0.004 dt, L80 v2 L0 t 1 v 0.004 t , v 80 0
Integre, definiendo t 0 como el tiempo en el cual la velocidad es de 80 m/s. Aquí v es la velocidad en el tiempo t.
1 1 0.004t. v 80 Despeje t en términos de la velocidad. A partir de esta ecuación, se encuentra que el tiempo requerido para que la velocidad disminuya a 10 m/s es 21.9 s. En la gráfica se muestra la velocidad del avión como una función del tiempo.
t 250
v 80 . 1
1
80 70
v (m/s)
60 50 40 30 20 10 0
0
5
10
15
20
21.9
25
30
t (s)
Problema de práctica ¿Qué distancia viaja el avión mientras su velocidad disminuye de 80 m/s a 10 m/s?
www.FreeLibros.org Respuesta: 520 m.
45
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración depende de la velocidad o de la posición
Ejemplo 13.5
Aceleración gravitatoria (dependiente de la posición) ( Relacionado con el problema 13.62)
En términos de la distancia s desde el centro de la Tierra, la magnitud de la aceleración debida a la gravedad es gR2Es2, donde RE es el radio de la Tierra. (Vea en la sección 12.2 el análisis de la gravedad). Si una nave espacial está a una distancia s0 del centro de la Tierra, ¿qué velocidad v0 hacia afuera se le debe dar para que llegue a una distancia especificada h desde el centro de la Tierra?
v0 RE
s s0
Estrategia La aceleración se conoce como una función de la posición s. Se puede aplicar la regla de la cadena y separar variables, después integrar para determinar la velocidad como una función de s. Solución La aceleración debida a la gravedad es hacia el centro de la Tierra:
a = -
gR2E
. s2 La aplicación de la regla de la cadena resulta en gR2E dv ds dv dv v = - 2 . = = dt ds dt ds s Separando variables se obtiene gR2E v dv = - 2 ds. s Esta ecuación se integra usando la condición inicial, (v v0 cuando s s0) como los límites inferiores, y la condición final (v 0 cuando s h) como los límites superiores: 0 h gR2E v dv = ds, 2 Ls0 s Lv0 a =
c
1 h v2 0 d = gR2E c d , s s0 2 v0
v20 1 1 = gR2E a - b . s0 2 h Despejando v0, se obtiene la velocidad inicial necesaria para que la nave espacial llegue a una distancia h: 0 -
v0 =
C
2gR2E a
1 1 - b. s0 h
Razonamiento crítico Se puede hacer una observación interesante e importante a partir del resultado de este ejemplo. Observe que conforme la distancia h aumenta, la velocidad inicial v0 necesaria tiende a un límite finito. Este límite,
vesc = lím v0 = h: q
2gR2E , C s0
se llama velocidad de escape. En ausencia de otros efectos, un objeto con esta velocidad inicial continuará moviéndose indefinidamente hacia afuera. La existencia de una velocidad de escape hace factible enviar naves espaciales a otros planetas. Una vez que se alcanza la velocidad de escape, ya no es necesario gastar combustible adicional para mantener el movimiento.
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Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.40 En el ejemplo activo 13.4, determine el tiempo requerido para que la velocidad del avión disminuya de 50 m/s a 10 m/s. 13.41 Un ingeniero que está diseñando un sistema para controlar el puntero de un proceso de maquinado, modela el sistema de manera que la aceleración del puntero (en pulg/s2) durante un intervalo de tiempo está dado por a 0.4v, donde v es la velocidad del puntero en pulg/s. Cuando t 0, la posición es s 0 y la velocidad es v 2 pulg/s. ¿Cuál es la posición en t 3 s?
s
Problema 13.41
13.42 La lancha de la figura se mueve a 10 m/s cuando su motor se apaga. Debido a la resistencia aerodinámica, su aceleración subsecuente es a 0.05v2 m/s2, donde v es la velocidad de la lancha en m/s. ¿Cuál es la velocidad de la lancha 4 s después de que se apaga el motor? 13.43 En el problema 13.42, ¿qué distancia recorre la lancha en los 4 s que siguen al apagado del motor?
13.44 Una bola de acero se libera del reposo en un recipiente de aceite. Su aceleración hacia abajo es a 2.4 0.6v pulg/s2, donde v es la velocidad en pulg/s. ¿Cuál es la velocidad hacia abajo de la bola 2 s después de haber sido soltada? 13.45 En el problema 13.44, ¿cuál es la distancia que cae la bola en los primeros 2 s después de haber sido soltada?
Problemas 13.44/13.45
13.46 La mayor profundidad oceánica descubierta hasta ahora se halla en el foso de las Marianas, en el Océano Pacífico occidental. Si se libera una bola de acero en la superficie requiere 64 minutos para llegar al fondo. La aceleración de la bola hacia abajo es a 0.9g cv, donde g 9.81 m/s2 y la constante c 3.02 s1. ¿Cuál es la profundidad del foso de las Marianas en kilómetros? 13.47 La aceleración de un avión regional durante su carrera de despegue es a 14 0.0003v2 pies/s2, donde v es la velocidad en pies/s. ¿Cuánto tiempo tarda el avión en alcanzar su velocidad de despegue de 200 pies/s? 13.48 En el problema 13.47, ¿qué distancia requiere el avión para despegar?
Problemas 13.42/13.43
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Problemas
47
13.49 Una paracaidista salta de un helicóptero y cae en línea recta a 30 m/s cuando se abre su paracaídas. A partir de ese momento su aceleración es aproximadamente a g cv2, donde g 9.81 m/s2 y c es una constante. Después de un periodo inicial de “transición”, desciende a una velocidad de 5 m/s casi constante.
13.52 La aceleración de un automóvil se relaciona con su posición mediante a 0.01s m/s2. Cuando s 100 m, el automóvil se mueve a 12 m/s. ¿Qué tan rápido se mueve el automóvil cuando s 420 m?
a) ¿Cuál es el valor de c y cuáles son sus unidades SI? b) ¿A qué desaceleración máxima está sometida? c) ¿Cuál es su velocidad cuando ha caído 2 m desde el punto en que se abre su paracaídas?
13.53 Los ingenieros que analizan el movimiento de un mecanismo determinan que la velocidad de un punto de conexión está dada por v A 4s2 pies/s, donde A es una constante. Cuando s 2 pies, la aceleración del punto se mide y se determina que es a 320 pies/s2. ¿Cuál es su velocidad cuando s 2 pies? 13.54 La aceleración de un cuerpo está dada en pies por la función a 2s2 pies/s2. Cuando s 0, su velocidad es v 1 pie/s. ¿Cuál es la velocidad del objeto cuando s 2 pies? 13.55 Las pistolas de gas se usan para investigar las propiedades de materiales sometidos a impactos de alta velocidad. Un proyectil se acelera a través del cañón de la pistola mediante un gas a alta presión. Suponga que la aceleración del proyectil en m/s2 está dada por a cs, donde s es la posición del proyectil en el cañón en metros y c es una constante que depende de la presión inicial del gas detrás del proyectil. El proyectil parte del reposo en s 1.5 m y acelera hasta llegar al extremo del cañón en s 3 m. Determine el valor de la constante c necesaria para que el proyectil salga del cañón con una velocidad de 200 m/s.
Problema 13.49
13.50 El trineo de retroimpulso que se muestra en la figura parte del reposo y acelera con a 30 2t m/s2 hasta que su velocidad es de 400 m/s. En ese momento encuentra un freno de agua y su aceleración es a 0.003v2 m/s2 hasta que su velocidad disminuye a 100 m/s. ¿Qué distancia total recorre el trineo? 13.51 En el problema 13.50, ¿cuál es el tiempo total del viaje del trineo?
13.56 Si el gas propulsor de la pistola descrita en el problema 13.55 es aire, un modelado más exacto de la aceleración del proyectil se obtiene suponiendo que la aceleración del proyectil está dada por a c/sg, donde g 1.4 es la razón del calor específico para el aire. (Esto significa que se supone un proceso de expansión isoentrópica en lugar del proceso isotérmico supuesto en el problema 13.55). Determine el valor de la constante c necesaria para que el proyectil salga del cañón a una velocidad de 200 m/s.
s
Problemas 13.55/13.56
Problemas 13.50/13.51
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48
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.57 Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra en la figura. La coordenada s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no está estirado. Si el resorte es lineal, la masa está sometida a una desaceleración proporcional a s. Suponga que a 4s m/s2 y que la masa tiene una velocidad v 1 m/s en la posición s 0. a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte la detenga? b) ¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s 0? 13.58 En el problema 13.57, suponga que en t 0 la masa se libera desde el reposo en la posición s 1 m. Determine la velocidad de la masa en función de s al moverse desde su posición inicial hasta s 0.
13.60 La masa de la figura se libera desde el reposo con los resortes sin estirar. Su aceleración hacia abajo es a 32.2 50s pies/s2, donde s es la posición de la masa medida desde la posición en que se liberó. a) ¿Qué distancia cae la masa? b) ¿Cuál es la máxima velocidad de la masa mientras cae? 13.61 Suponga que la masa del problema 13.60 está en la posición s 0 y se le da una velocidad hacia abajo de 10 pies/s. a) ¿Qué distancia cae la masa? b) ¿Cuál es la máxima velocidad de la masa mientras cae?
13.59 Un oscilador consiste en una masa y un resorte conectados como se muestra en la figura. La coordenada s mide el desplazamiento de la masa respecto a su posición cuando el resorte no está estirado. Suponga que el resorte no lineal somete a la masa a una aceleración a 4s 2s3 m/s2 y que se le da a la masa una velocidad v 1 m/s en la posición s 0. a) ¿Qué distancia se moverá la masa hacia la derecha antes de que el resorte la detenga? b) ¿Qué velocidad tendrá la masa cuando regrese a la posición s 0?
s
Problemas 13.60/13.61 13.62 Si una nave espacial está a 100 mi sobre la superficie de la Tierra, ¿qué velocidad inicial v0 requeriría para alcanzar la órbita de la Luna, a 238,000 mi del centro de la Tierra? El radio de la Tierra es de 3960 mi. Ignore el efecto de la gravedad de la Luna. (Vea el ejemplo 13.5). s
100 mi v0
Problemas 13.57–13.59
238,000 mi
Problema 13.62
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49
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas 13.63 El radio de la Luna de 1738 km. La magnitud de la aceleración debida a la gravedad en su superficie a una distancia s desde su centro es 4.89 * 1012 s2
m/s2.
Suponga que una nave espacial se lanza hacia arriba desde la superficie de la Luna con una velocidad de 2000 m/s. a) ¿Cuál será la magnitud de su velocidad cuando se encuentre a 1000 km sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál es la máxima altura que alcanzará sobre la superficie de la Luna?
13.65 Suponga que se puede taladrar un túnel recto a través de la Tierra, desde el Polo Norte hasta el Polo Sur, y evacuar el aire. Un objeto liberado desde la superficie caería con aceleración a gsRE, donde g es la aceleración de la gravedad al nivel del mar, RE es el radio de la Tierra y s es la distancia del objeto respecto al centro de la Tierra. (La aceleración debida a la gravedad es igual a cero en el centro de la Tierra y se incrementa linealmente con la distancia desde el centro). ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del objeto cuando éste llega el centro de la Tierra?
13.66* Determine el tiempo en segundos requerido para que el objeto del problema 13.65 caiga desde la superficie de la Tierra hasta su centro. El radio de la Tierra es de 6370 km.
13.64* La velocidad de un objeto sometido sólo al campo gravitacional de la Tierra es
N Túnel
1 1>2 1 v = c v20 + 2gR2E a - b d , s s0
s
donde s es la posición del objeto respecto al centro de la Tierra, v0 es la velocidad en la posición s0, y RE es el radio de la Tierra. Usando esta ecuación, muestre que la aceleración del objeto está dada como una función de s por a gRE2 s2.
RE
S
Problemas 13.65/13.66
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas ANTECEDENTES El movimiento de un punto a lo largo de una línea recta puede describirse mediante los escalares s, v y a. Pero si un punto describe una trayectoria curvilínea, respecto a algún marco de referencia, se debe especificar su movimiento en términos de los vectores de posición, velocidad y aceleración. En muchos casos, el movimiento del punto puede analizarse de manera conveniente expresando los vectores en coordenadas cartesianas. Sea r el vector de posición de un punto P respecto al origen O de un marco de referencia cartesiano (figura 13.11). Las componentes de r son las coordenadas x, y y z de P:
y
r xi y j z k.
P (x, y, z)
Los vectores unitarios i, j y k tienen cada uno magnitudes y direcciones constantes respecto al marco de referencia, por lo que la velocidad de P en relación con su marco de referencia es
v =
dy dr dz dx i + j + k. = dt dt dt dt
r
j
x O
(13.21)
i
www.FreeLibros.org z
Expresando la velocidad en términos de componentes escalares, se obtiene v vx i vy j vz k,
(13.22)
k
Figura 13.11 Sistema coordenado cartesiano con origen en O.
50
Capítulo 13 Movimiento de un punto
de donde se obtienen ecuaciones escalares que relacionan las componentes de la velocidad con las coordenadas de P:
vx =
dy dx dz , vy = , vz = . dt dt dt
(13.23)
La aceleración de P es
dvy dvz dvx dv i + j + k. = dt dt dt dt
a =
Expresando la aceleración en términos de componentes escalares, a ax i ay j az k,
(13.24)
se obtienen las ecuaciones escalares
ax =
y
v0
u0 x
Figura 13.12 Condiciones iniciales para un problema de proyectil.
dvy dvz dvx , ay = , az = . dt dt dt
(13.25)
Las ecuaciones (13.23) y (13.25) describen el movimiento de un punto respecto a un sistema cartesiano. Observe que las ecuaciones que describen el movimiento en cada dirección coordenada son idénticas en forma a las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, a menudo se puede analizar el movimiento en cada dirección coordenada usando los métodos aplicables al movimiento en línea recta. El problema del proyectil es el ejemplo clásico de este tipo. Si un objeto se dispara al aire y la resistencia aerodinámica es insignificante, su aceleración hacia abajo será la aceleración de la gravedad. En términos de un sistema coordenado cartesiano fijo, con su eje y hacia arriba, la aceleración está dada por ax 0, ay g y az 0. Suponga que en t 0, el proyectil se encuentra en el origen y tiene velocidad v0, en el plano xy a un ángulo u0, sobre la horizontal (figura 13.12). En t 0, x 0 y vx v0 cos u0. La aceleración en la dirección x es cero; es decir,
ax =
dvx = 0. dt
Por lo tanto, vx es constante y permanece igual a su valor inicial:
vx =
dx = v0 cos u0. dt
(13.26)
(Este resultado puede parecer poco realista. La razón es que la intuición, con base en la experiencia diaria, considera la resistencia del aire, mientras que el análisis que se presenta aquí no lo hace). Integrando la ecuación (13.26), resulta x
L0
t
dx =
L0
v0 cos u0 dt,
www.FreeLibros.org y se obtiene la coordenada x del objeto como una función del tiempo: x (v0 cos u0)t.
(13.27)
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
51
Así se ha determinado la posición y la velocidad del proyectil en la dirección x como funciones del tiempo sin considerar el movimiento en las direcciones y o z. En t 0, y 0 y vy v0 sen u0. La aceleración en la dirección y es
ay =
dvy dt
= - g.
Integrando, se obtiene vy
t
Lv0 sen u0
dvy =
L0
- g dt,
de donde se sigue que
vy =
dy = v0 sen u0 - gt. dt
(13.28)
Al integrar esta ecuación, resulta y
L0
t
dy =
L0
1v0 sen u0 - gt2 dt,
y se encuentra que la coordenada y en función del tiempo es
y = 1v0 sen u02t - 12gt2.
(13.29)
Observe en este análisis que se obtienen la misma velocidad y la misma posición vertical lanzando el proyectil hacia arriba con velocidad inicial v0 sen u0 (figuras 13.13a y b). El movimiento vertical es completamente independiente del movimiento horizontal. Despejando t de la ecuación (13.27) y sustituyendo el resultado en la ecuación (13.29), se obtiene una ecuación que describe la trayectoria parabólica del proyectil:
y = 1tan u02x -
g 2v20 cos2 u0
x 2.
(13.30)
y
Figura 13.13 (a) Posiciones del proyectil en intervalos de tiempo ¢t iguales. La distancia ¢x v0(cos u0) ¢t. (b) Posiciones en intervalos de tiempo ¢t iguales de un proyectil, dada una velocidad vertical inicial igual a v0 sen u0.
www.FreeLibros.org x
x
x
x
x
(a)
x
(b)
52
Capítulo 13 Movimiento de un punto
RESULTADOS y P (x, y, z) r
O
x
z
Las componentes del vector de posición de un punto P respecto al origen O de un sistema coordenado cartesiano son las coordenadas x, y, z de P.
r xi yj zk.
Componentes cartesianas de la velocidad de P respecto al marco de referencia.
vx
dx dy dz , vy , vz . dt dt dt
(13.23)
Componentes cartesianas de la aceleración de P respecto al marco de referencia.
ax
dvy dvz dvx , ay , az . dt dt dt
(13.25)
La forma de las ecuaciones que describen el movimiento en cada dirección coordenada es idéntica a la de las ecuaciones que describen el movimiento de un punto a lo largo de una línea recta. En consecuencia, el movimiento en cada dirección coordenada puede analizarse usando los métodos para el movimiento rectilíneo.
Ejemplo activo 13.6
Análisis del movimiento en términos de componentes cartesianas ( Relacionado con el problema 13.67) Durante un vuelo de prueba, un helicóptero parte del reposo en t 0 en el origen del sistema de coordenadas mostrado y se mueve en el plano x–y, los acelerómetros montados a bordo indican que sus componentes de aceleración (en m/s2) durante el intervalo del tiempo de t 0 a t 10 s son ax 0.6t, ay 1.8 0.36t,
www.FreeLibros.org ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t 6 s?
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
53
y
x
Estrategia Se puede analizar de manera independiente el movimiento en cada dirección coordenada, integrando cada componente de la aceleración para determinar las componentes de la velocidad en función del tiempo. Solución
Integre la componente x de la aceleración para determinar la componente x de la velocidad en función del tiempo.
dvx 0.6t, dt vx t dvx 0.6 t dt, L L 0 0 ax
vx 0.3t2. Evalúe la componente x de la velocidad en t 6 s.
Integre la componente y de la aceleración para determinar la componente y de la velocidad en función del tiempo.
vx t6 s 0.3(6)2 10.8 m/s.
ay vy
L 0
dvy dt
1.8 0.36t,
t
dvy (1.8 0.36t) dt, L 0 vy 1.8t 0.18t2.
Evalúe la componente y de la velocidad en t 6 s.
vy t6 s 1.8(6) 0.18(6)2 4.32 m/s.
|v|t6 s vx2 vy2 Calcule la magnitud de la velocidad en t 6 s.
2 2 (10.8 m/s) (4.32 m/s)
11.6 m/s Problema de práctica Determine el vector de posición del helicóptero en t 6 s respecto a su posición en t 0.
www.FreeLibros.org Respuesta: rt 6 s 21.6i 19.4j (m).
54
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problema de un proyectil ( Relacionado con el problema 13.69)
Ejemplo 13.7
El esquiador mostrado en la figura deja la superficie inclinada 20° a 10 m/s. a) Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza. b) ¿Cuáles son las magnitudes de sus componentes de velocidad paralela y perpendicular a la superficie inclinada a 45° justo antes de aterrizar?
20 3m
Estrategia a) Si se ignora el arrastre aerodinámico y se trata al esquiador como un proyectil, puede d
45
determinarse su velocidad y posición en función del tiempo. Usando la ecuación que describe la superficie recta sobre la que el esquiador aterriza, se pueden relacionar sus coordenadas horizontal y vertical en el impacto y, consecuentemente, obtener una ecuación para el tiempo en el cual aterriza. Al conocer el tiempo, es posible determinar su posición y velocidad. b) Se puede determinar la velocidad paralela y perpendicular a la superficie inclinada a 45° usando el resultado de que la componente de un vector U en la dirección de un vector unitario e es (e U)e. Solución
y
a) En la figura a se introduce un sistema coordenado con su origen en el punto donde
el esquiador despega. Sus componentes de velocidad en ese instante (t 0) son 20
vx 10 cos 20° 9.40 m/s
x
y
3m
vy 10 sen 20° 3.42 m/s.
e
La componente x de la aceleración es cero, por lo tanto vx es constante y la coordenada x del esquiador en función del tiempo es
d
x 9.40t m.
45
La componente y de la aceleración es (a)
ay =
dvy dt
= - 9.81 m/s2.
Integrando para determinar vy como una función del tiempo, se obtiene vy
t
L-3.42
dvy =
L0
-9.81 dt,
de donde resulta que
vy =
dy = - 3.42 - 9.81t m/s. dt
Se integra esta ecuación para determinar la coordenada y como una función de tiempo. Se tiene y
L0
t
dy =
L0
1 - 3.42 - 9.81t2 dt,
www.FreeLibros.org de donde
y 3.42t 4.905t2 m.
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas cartesianas
55
La pendiente de la superficie sobre la cual aterriza el esquiador es 1, por lo que la ecuación lineal que la describe es y (1)x A, donde A es una constante. En x 0, la coordenada y de la superficie es 3 m, entonces A 3 m y la ecuación que describe la superficie inclinada a 45° es
y x 3 m. Al sustituir las ecuaciones obtenidas para x e y como funciones del tiempo en esta ecuación, se obtiene una expresión para el tiempo en el cual aterriza el esquiador:
3.42t 4.905t2 9.40t 3. Despejando t, se obtiene t 1.60 s. Por lo tanto, sus coordenadas cuando el esquiador aterriza son
x 9.40(1.60) 15.0 m y
y 3.42(1.60) 4.905(1.60)2 18.0 m, y la distancia d es
d = 2115.022 + 118.0 - 322 = 21.3 m. b) Las componentes de la velocidad del esquiador justo antes de aterrizar son
vx 9.40 m/s y
vy 3.42 9.81(1.60) 19.1 m/s, y la magnitud de su velocidad es ƒ v ƒ = 219.4022 + 1-19.122 = 21.3 m/s. Sea e un vector unitario paralelo a la pendiente sobre la que aterriza (figura a):
e cos 45°i sen 45°j. La componente de la velocidad paralela a la superficie es (e v)e [(cos 45°i sen 45°j) (9.40i 19.1j)]e
20.2e (m/s). La magnitud de la velocidad del esquiador paralela a la superficie es 20.2 m/s. Por consiguiente, la magnitud de su velocidad perpendicular a la superficie es
2 ƒ v ƒ 2 - 120.222 = 6.88 m/s. Razonamiento crítico La clave para resolver este problema fue que se conocía la aceleración del esquiador. Al saber cuál era la aceleración, se pudieron determinar las componentes de su velocidad y su posición como funciones del tiempo. Observe cómo se determinó la posición en la que el esquiador aterrizó sobre la pendiente. Se supo que al instante de aterrizar, sus coordenadas x e y especifican un punto sobre la línea recta que define la superficie de la pendiente. Al sustituir su coordenadas x e y como funciones del tiempo en la ecuación para la línea recta que define la pendiente, fue posible resolver el tiempo en el que aterrizó. Conociendo el tiempo, se pudo determinar su posición y velocidad en ese instante.
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56
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.67 En una segunda prueba, las coordenadas de posición (en m) del helicóptero del ejemplo activo 13.6 están dadas como funciones del tiempo por x 4 2t, y 4 4t t 2. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del helicóptero en t 3 s? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del helicóptero en t 3 s? 13.68 En términos de un marco de referencia particular, la posición del centro de masa del F-14 en el instante mostrado (t 0) es r 10i 6j 22k (m). La velocidad de t 0 a t 4 s es v (52 6t)i (12 t2)j (4 2t2)k (m/s). ¿Cuál es la posición del centro de masa del avión en t 4 s?
13.71 Inmediatamente después de que la pelota de golf mostrada despega del piso, sus componentes de velocidad son vx 0.662 m/s y vy 3.66 m/s. a) Determine la distancia horizontal desde el punto donde la pelota despegó del piso hasta el punto donde lo golpea de nuevo. b) La pelota despega del piso en x 0, y 0. Determine la coordenada y de la pelota como una función de x. (La función parabólica que se obtendrá se muestra superpuesta sobre la fotografía de la pelota).
y
Problema 13.68
x Problema 13.71
13.69 En el ejemplo 13.7, suponga que el ángulo entre la horizontal y la pendiente sobre la cual aterriza el esquiador es de 30° en vez de 45°. Determine la distancia d hasta el punto donde aterriza. 13.70 Un proyectil se dispara desde el nivel del suelo con velocidad inicial v0 20 m/s. Determine su alcance R si a) u0 30°, b) u0 45° y c) u0 60°. y
13.72 Suponga que usted está diseñando un mortero para lanzar una cuerda de salvamento desde un guardacostas a un buque en zozobra. La cuerda está unida a un peso que es lanzado por el mortero. Ignore la resistencia aerodinámica y el peso de la cuerda para su análisis preliminar. Si desea que la cuerda alcance un buque que se encuentra a 300 pies cuando el mortero se dispara a 45° sobre la horizontal, ¿cuál es la velocidad inicial en la boca del mortero requerida? 13.73 En el problema 13.72, ¿cuál es la altura máxima sobre el punto de disparo que alcanza el peso?
v0
u0 x R
y 45
x
Problema 13.70 Problemas 13.72/13.73
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Problemas 13.74 Cuando el atleta de la figura suelta la bala, ésta se encuentra a 1.82 m sobre el suelo y su velocidad inicial es v0 13.6 m/s. Determine la distancia horizontal que viaja la bala desde el punto de liberación hasta el punto donde golpea el suelo.
57
13.76 Si el palo que está usando el golfista de la figura le da a la pelota a un ángulo u0 50°, ¿qué rango de velocidades v0 causará que la pelota aterrice a 3 pies del hoyo? (Suponga que el hoyo se encuentra en el plano de la trayectoria de la pelota). v0
v0 30
u0
3 pies 30 pies
Problema 13.76
13.77 Un bateador golpea la pelota a 3 pies sobre el cojín de home y la eleva. El jugador de segunda base la toma a 6 pies sobre el cojín, 3.68 s después de haber sido golpeada. ¿Cuál fue la velocidad inicial de la pelota, y cuál fue el ángulo entre el vector de la velocidad inicial y la horizontal?
Problema 13.74
90
Segunda base
es
pi 90
pi
es
13.75 Un piloto quiere lanzar marcadores de exploración en cierta región remota de Australia. Si vuela a velocidad constante v0 40 m/s a una altura h 30 m y el marcador se suelta con velocidad cero respecto al avión, ¿a qué distancia horizontal d del impacto deseado debe soltarse el marcador?
v0
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Problema 13.77
h
d
Problema 13.75
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58
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.78 Un pitcher lanza una bola rápida con velocidad inicial v0 90 mi/h. Sea u el ángulo inicial del vector de velocidad de la pelota sobre la horizontal. Cuando la pelota es lanzada, está a 6 pies sobre el terreno y a 58 pies del bateador. La zona de strike del bateador se extiende entre 1 pie 10 pulg y 4 pies 6 pulg sobre el suelo. Ignorando los efectos aerodinámicos, determine si la pelota pasará por la zona de strike, a) si u 1° y b) si u 2°.
13.81 El travesaño de la zona de gol de campo en fútbol americano está a yc 10 pies sobre el terreno. Para anotar un gol de campo, el pateador debe hacer que el balón pase por encima del travesaño y entre los dos postes que lo soportan. Suponga que el pateador intenta un gol de campo de 40 yardas (xc 120 pies) y patea el balón con una velocidad inicial v0 70 pies/s y un ángulo u0 40°. ¿Cuál es la distancia vertical por la que el balón supera al travesaño?
13.79 En el problema 13.78, suponga que el pitcher lanza la pelota con un ángulo u 1° sobre la horizontal y determine el intervalo de velocidades v0 (en pies/s) con que debe lanzar la pelota para que ésta pase por la zona de strike.
v0
yc
u0 xc
Problema 13.81
4 pies 6 pulg 1 pies 10 pulg 58 pies
13.82* Un mariscal de campo de fútbol americano está parado en el punto A de la figura. En el instante que el mariscal lanza el balón, el receptor está en B corriendo a 20 pies/s hacia C, donde atrapa la pelota. El balón se lanza a un ángulo de 45° sobre la horizontal, y se lanza y se atrapa a la misma altura sobre el suelo. Determine la magnitud de la velocidad inicial del balón y el tiempo que está en el aire. C
Problemas 13.78/13.79
13.80 Un estudiante de posgrado en zoología está provisto de un arco y una flecha que tiene una jeringa con tranquilizador, porque debe medir la temperatura de un rinoceronte negro (Diceros bicornis). El alcance del arco cuando se tensa por completo y apuntado a 45° sobre la horizontal es de 100 m. Un rinoceronte furioso embiste directamente hacia el zoólogo a 30 km/h, si éste tensa por completo el arco y lo apunta a 20° sobre la horizontal, ¿a qué distancia debe estar el rinoceronte cuando suelte la flecha?
Trayectoria del receptor Trayectoria del balón
20
90
A B
Problema 13.80
30 pies
Problema 13.82
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Problemas 13.83 Los clavadistas de Acapulco, México, deben sincronizar sus clavados de modo que entren al agua en la cresta (punto más alto) de una ola. Las crestas de las olas tienen 1 m sobre la profundidad media del agua h 4 m. La velocidad horizontal de las olas es igual a 1gh. La meta de los clavadistas es un punto a 2 m de la base del acantilado. Suponga que cuando se inicia el clavado la velocidad es horizontal. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de los clavadistas cuando entran al agua? b) ¿A qué distancia de la meta debe estar la cresta de la ola en el instante en que se lanza un clavadista, para que éste entre al agua justo en la cresta?
59
13.85 Un proyectil se lanza a 100 pies/s a 60° sobre la horizontal. La superficie sobre la cual aterriza está descrita por la ecuación mostrada. Determine la coordenada x del punto de impacto. y
100 pies/s
60 x y 0.001x2
Problema 13.85 13.86 En t 0, a una bola de acero en un tanque de aceite se le da una velocidad horizontal v 2i (m/s). Las componentes de la aceleración de la bola en m/s2 son ax 1.2vx, ay 8 1.2vy y az 1.2vz. ¿Cuál es la velocidad de la bola en t 1 s?
26 m
13.87 En el problema 13.86, ¿cual es la posición de la bola en t 1 s respecto a su posición en t 0? y 1m h 6.4 m
2m
x
Problema 13.83
13.84 Un proyectil se lanza a 10 m/s desde una superficie inclinada. El ángulo a 80°. Determine el alcance R.
10 m/s
Problemas 13.86/13.87
30 a
R
www.FreeLibros.org Problema 13.84
60
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.88 El punto P se mueve a lo largo de una trayectoria con radio R. Muestre que la magnitud de su velocidad es v Rdudt. Estrategia: Use las ecuaciones (13.23).
13.90* Un automóvil viaja a una velocidad constante de 100 km/h sobre un camino recto con pendiente creciente cuyo perfil vertical se puede aproximar con la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del automóvil es x 400 m, ¿cuál es su aceleración?
y y
y = 0.0003x2
P u
x
Problema 13.90
x
Problema 13.88
13.89 Si en la figura y 150 mm, dydt 300 mm/s y d 2 yd t 2 0, ¿cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto P?
13.91* Suponga que un proyectil tiene las condiciones iniciales mostradas en la figura 13.12. Demuestre que en términos del sistema coordenado x y con su origen en el punto más alto de la trayectoria, la ecuación que la describe es y¿ = -
y
g 2v20
cos2 u0
1x¿22.
y
x P
y 300 mm x
Problema 13.89
Problema 13.91
13.92* Las componentes de la aceleración de un punto son ax 4 cos 2t, ay 4 sen 2t y az 0. En t 0, la posición y velocidad son r i y v 2j. Demuestre que a) la magnitud de la velocidad es constante, b) los vectores de velocidad y de aceleración son perpendiculares, c) la magnitud de la aceleración es constante y señala hacia el origen y d) la trayectoria del punto es un círculo con su centro en el origen.
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13.5 Movimiento angular
61
13.5 Movimiento angular ANTECEDENTES Se ha visto que en algunos casos el movimiento curvilíneo de un punto puede analizarse usando coordenadas cartesianas. En las siguientes secciones se describen problemas que se pueden analizar más fácilmente con otros sistemas coordenados. Para ayudarlo a entender el análisis de estos sistemas de coordenadas alternativos, se presentan dos temas preliminares: el movimiento angular de una línea en un plano y la derivada respecto al tiempo de un vector unitario girando en un plano.
Movimiento angular de una línea Se puede especificar la posición angular de una línea L en un plano particular respecto a una línea de referencia L 0 en el plano, por medio del ángulo u (figura 13.14). La velocidad angular de L respecto a L 0 está definida por
v =
du , dt
(13.31)
L u L0
Figura 13.14 Línea L y línea de referencia L0 en un plano.
y la aceleración angular de L respecto a L0 por
a =
dv d 2u . = dt dt 2
(13.32)
Las dimensiones de la posición angular, la velocidad angular y la aceleración angular son radianes (rad), rad/s y rad/s2 respectivamente. Aunque estas cantidades suelen expresarse en grados o revoluciones en vez de radianes, deben convertirse en radianes antes de usarlas en cálculos.
Rotación de un vector unitario Las direcciones de los vectores unitarios i, j y k respecto al marco de referencia cartesiano son constantes. Sin embargo, en otros sistemas coordenados los vectores unitarios usados para describir el movimiento de un punto giran conforme se mueve el punto. Para obtener expresiones de la velocidad y la aceleración en tales sistemas coordenados, se deben conocer las derivadas respecto al tiempo de un vector unitario en rotación. El movimiento angular de un vector unitario e en un plano puede describirse de la misma forma que el movimiento angular de una línea. La dirección de e respecto a una línea de referencia L0 se especifica con el ángulo u en la figura 13.15a, y la razón de rotación de e respecto a L0 se especifica con la velocidad angular
v =
du . dt
La derivada de e respecto al tiempo está definida por
e1t + ¢t2 - e1t2 de = lím . ¢t:0 dt ¢t La figura 13.15b muestra el vector e en el tiempo t y en el tiempo t ¢t. El cambio en e durante este intervalo es ¢e e(t ¢t) e(t), y el ángulo al cual gira e es ¢u u(t ¢t) u(t). El triángulo de la figura 13.15b es isósceles, por lo que
www.FreeLibros.org ¢e 2e sen (¢u2) 2 sen(¢u2).
62
Capítulo 13 Movimiento de un punto
n e
e(t t) e
u
u
L0
e(t)
u(t)
(a)
L0 (b)
n de du n vn dt dt e(t t) e e(t)
L0
u
(c)
L0 (d)
Figura 13.15 (a) Vector unitario e y línea de referencia L0. (b) El cambio ¢e en e de t a t ¢t. (c) Cuando ¢t tiende a cero, n se vuelve perpendicular a e(t). (d) Derivada de e respecto al tiempo.
Para escribir el vector ¢e en términos de esta expresión, se incluye un vector unitario n que apunta en la dirección de ¢e (figura 13.15b): ¢e ¢en 2 sen(¢u2)n. En términos de esta expresión, la derivada respecto al tiempo de e es
2 sen1¢u>22n de ¢e = lím = lím . ¢t:0 ¢t ¢t:0 dt ¢t Para evaluar este límite, se escribe en la forma
sen1¢u>22 ¢u de = lím n. ¢t:0 dt ¢u>2 ¢t En el límite, cuando ¢t tiende a cero, sen (¢u2)(¢u2) 1, ¢u¢t dudt, y el vector unitario n es perpendicular a e(t) (figura 13.15c). Por lo tanto, la derivada respecto al tiempo de e es
de du n = vn, = dt dt
(13.33)
donde n es un vector unitario que es perpendicular a e y apunta en la dirección positiva de u (figura 13.15d). En las siguientes secciones se usará este resultado al deducir expresiones para la velocidad y aceleración de un punto en diferentes sistemas coordenados.
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13.5 Movimiento angular
63
RESULTADOS
Movimiento angular de una línea Posición angular La posición angular de una línea L en un plano respecto a una línea de referencia L0 en el plano puede describirse mediante un ángulo u.
L u L0
Velocidad angular La velocidad angular de L respecto a L0 en un tiempo t es la derivada de la posición angular u con respecto a t (la razón de cambio de u).
v
du . dt
(13.31)
Aceleración angular La aceleración angular de L respecto L0 en un tiempo t es la derivada de la velocidad angular v con respecto a t (la tasa de cambio de v).
a
d2u dv 2. dt dt
(13.32)
Las ecuaciones que relacionan la posición angular u, la velocidad angular v, y la aceleración angular a son idénticas en forma a las ecuaciones que relacionan la posición s, la velocidad v, y la aceleración a en el movimiento a lo largo de una línea recta. En consecuencia, los problemas que implican movimiento angular pueden resolverse usando los mismos métodos aplicados al movimiento rectilíneo.
Movimiento en línea recta v a
Movimiento angular
ds dt
dv d2s 2 dt dt
v a
du dt
dv d2u 2 dt dt
Rotación de un vector unitario Sea e un vector unitario que gira en un plano respecto a una línea de referencia L0 en el plano.
e u
L0
La derivada de e con respecto al tiempo es de du n vn, (13.33) dt dt donde n es un vector unitario que es perpendicular a e y apunta en la dirección positiva u.
de dt
www.FreeLibros.org e
u
L0
64
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.8
Análisis del movimiento angular ( Relacionado con el problema 13.96) El rotor de un motor de reacción está girando a 10,000 rpm (revoluciones por minuto) cuando se interrumpe el suministro de combustible. La aceleración angular resultante (en rad/s2) es a 0.02v, donde v es la velocidad angular en rad/s. ¿Cuánto tarda el rotor en llegar 1000 rpm?
L
Estrategia Para analizar el movimiento angular del rotor, se define una línea L que está fija al rotor y perpendicular a su eje. Luego se examina el movimiento angular de L respecto a la línea de referencia L0. La aceleración angular del rotor se conoce en términos de su velocidad angular. Como en el caso del movimiento en línea recta, se pueden separar variables e integrar para obtener una relación entre la velocidad angular y el tiempo.
u
L0
Solución
2p rad
1 min
1 revolución 60 s
1 rpm (1 revolución/min) Determine la conversión de rpm a rad/s. a
Escriba la aceleración angular como a dv/dt y separe variables.
p rad/s. 30
dv 0.02v, dt
dv 0.02dt. v 1000p/30
t
dv 0.02 dt, v L L 0 10,000p/30
Integre, definiendo t 0 como el tiempo en que la velocidad es 10,000 rpm 10,000p/30 rad/s.
1000p/30
t
lnv 10,000p/30 0.02 t 0 , ln(10) 0.02t. t
Resuelva para t.
ln(10) 115 s. 0.02
Problema de práctica Determine el número de revoluciones a las que gira el rotor mientras desacelera de 10,000 a 1000 rpm. Comience por aplicar la regla de la cadena a la aceleración angular:
a =
dv dv du dv = = v. dt du dt du
www.FreeLibros.org Respuesta: 7500 revoluciones.
Problemas
65
Problemas 13.93 Cuando un avión aterriza en t 0, una rueda en reposo se somete a una aceleración angular a 110 rad/s2 hasta t 1 s. a) ¿Cuál es la velocidad angular de la rueda en t 1 s? b) En t 0, el ángulo u 0. Determine u en radianes y en revoluciones en t 1 s.
13.95 La aceleración angular de la línea L respecto a la línea L0 está dada como una función del tiempo por a 2.5 1.2t rad/s2. En t 0, u 0 y la velocidad angular de L respecto a L0 es v 5 rad/s. Determine u y v en t 3 s. L
u L0
Problema 13.95 u
Problema 13.93 13.94 En la figura, sea L una línea desde el centro de la Tierra a un punto fijo sobre el ecuador, y sea L0 una línea de referencia de dirección fija. La figura muestra la Tierra vista desde arriba del Polo Norte. a) ¿dudt es positiva o negativa? (Recuerde que el Sol sale por el este). b) ¿Determine el valor aproximado de dudt en rad/s y utilícelo para calcular el ángulo que gira la Tierra en una hora?
13.96 En el ejemplo activo 13.8, suponga que la aceleración angular del rotor es a 0.00002v2, donde v es la velocidad angular del rotor en rad/s. ¿Cuánto tarda el rotor para bajar de 10,000 a 1000 rpm? 13.97 El astronauta de la figura no está girando y tiene un sistema de control de la orientación que puede someterlo a una aceleración angular constante de 0.1 rad/s2 alrededor del eje vertical en cualquier dirección. Si desea girar 180° respecto al eje vertical (esto es, girar hasta quedar mirando hacia la izquierda) y no estar rotando en su nueva orientación, ¿cuál es el tiempo mínimo en que podrá lograr la nueva posición? 13.98 El astronauta de la figura no está girando y tiene un sistema de control de la orientación que puede someterlo a una aceleración angular constante de 0.1 rad/s2 alrededor del eje vertical en cualquier dirección (consulte el problema 13.97). Por seguridad, el sistema de control no permitirá que su velocidad angular sea mayor a 15° por segundo. Si él desea girar 180° respecto al eje vertical (esto es, girar hasta quedar mirando hacia la izquierda) y no estar rotando en su nueva orientación, ¿cuál es el tiempo mínimo en que podrá lograr la nueva posición?
L u L0
Problema 13.94
www.FreeLibros.org Problemas 13.97/13.98
66
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.99 El rotor de un generador eléctrico está girando a 200 rpm cuando el motor se apaga. Debido a efectos de fricción, la aceleración angular del rotor después de que se apaga el motor es a 0.01v rad/s2, donde v es la velocidad angular en rad/s. a) ¿Cuál es la velocidad angular del rotor un minuto después de haber apagado el motor? b) Después de apagar el motor, ¿cuántas revoluciones gira el rotor antes de llegar al reposo? Estrategia: Para resolver el inciso b), utilice la regla de la cadena para escribir la aceleración angular como a =
dv du dv dv = = v. dt du dt du
13.101 El ángulo u de la figura mide la dirección del vector unitario e respecto al eje x. La velocidad angular de e es v dudt 2 rad/s, una constante. Determine la derivada de dedt cuando u 90° de dos formas: a) Use la ecuación (13.33). b) Exprese el vector e en términos de sus componentes x e y y obtenga la derivada de e. 13.102 En la figura, el ángulo u mide la dirección del vector unitario e respecto al eje x. El ángulo u está dado como una función del tiempo por u 2t2 rad. ¿Cuál es el vector dedt en t 4 s? y
13.100 La aguja de un instrumento de medición está conectada a un resorte torsional que la somete a una aceleración angular a 4u rad/s2, donde u es la posición angular de la aguja en radianes respecto a una dirección de referencia. A la aguja se le da una velocidad angular v 2 rad/s en la posición u 0. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular cuando u 30°? b) ¿Cuál es el ángulo máximo u que alcanza la aguja antes de rebotar?
e u
x
Problemas 13.101/13.102 13.103 La línea OP tiene longitud constante R. El ángulo u v0 t, donde v0 es una constante. u
a) Use las relaciones vx =
Problema 13.100
dx dt
y
vy =
dy dt
para determinar la velocidad del punto P respecto a O. b) Use la ecuación (13.33) para determinar la velocidad de P respecto a O, y vea que su resultado coincida con el del inciso a). Estrategia: En el inciso b), escriba el vector posición de P respecto a O como r Re, donde e es un vector unitario que apunta de O a P. y
P R u O
x
www.FreeLibros.org Problema 13.103
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
67
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial ANTECEDENTES En este método para describir el movimiento curvilíneo, se especifica la posición de un punto mediante una coordenada medida a lo largo de su trayectoria, y la velocidad y la aceleración se expresan en términos de sus componentes tangencial y normal (perpendicular) a la trayectoria. Estas componentes son particularmente útiles cuando un punto se mueve en una trayectoria circular. Además permiten observar el carácter de la velocidad y la aceleración en el movimiento curvilíneo. Primero se analizará el movimiento en una trayectoria planar debido a su simplicidad conceptual.
Movimiento planar Considere un punto P que se mueve a lo largo de una trayectoria plana curvilínea (figura 13.16a). El vector de posición r especifica la posición de P respecto al punto de referencia O, y la coordenada s mide la posición de P respecto a un punto O sobre su trayectoria. La velocidad de P respecto a O es
v =
r1t + ¢t2 - r1t2 dr ¢r , = lím = lím ¢t:0 ¢t:0 ¢t dt ¢t
(13.34)
donde ¢r r(t ¢t) r(t) (figura 13.16b). Se denota con ¢s la distancia recorrida entre t y t ¢t. Si se introduce un vector unitario e definido apuntando en la dirección de ¢r, se puede escribir la ecuación (13.34) como
v = lím
¢t:0
¢s e. ¢t
Cuando ¢t tiende a cero, ¢s¢t se vuelve dsdt y e es un vector unitario tangente a la trayectoria en la posición de P en el tiempo t, que se denotan con et (figura 13.16c):
v = ve t =
ds e t. dt
(13.35)
La velocidad de un punto en movimiento curvilíneo es un vector cuya magnitud es igual a la razón de cambio de la distancia recorrida a lo largo de la trayectoria y cuya dirección es tangente a ésta. e
e r P(t)
P O
O
s r
et r(t t)
r(t t) r(t)
r(t) O
(a)
P(t)
s
s
O
O
(b)
(c)
www.FreeLibros.org Figura 13.16 (a) La posición de P a lo largo de su trayectoria se especifica con la coordenada s. (b) Posición de P en el tiempo t y en el tiempo t ¢t. (c) El límite de e cuando ¢t S 0 es un vector unitario tangente a la trayectoria.
68
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Para determinar la aceleración de P, se deriva respecto al tiempo la ecuación (13.35):
a = en
et u P
s r O
(13.36)
Si la trayectoria no es una línea recta, el vector unitario et gira conforme P se mueve. En consecuencia, la derivada respecto al tiempo de et no es cero. En la sección anterior se dedujo una expresión para la derivada respecto al tiempo de un vector unitario en rotación en términos de la velocidad angular del vector unitario [ecuación (13.33)]. Para usar ese resultado, se define el ángulo u de la trayectoria que especifica la dirección de et respecto a una línea de referencia (figura 13.17). Entonces, de la ecuación (13.33), la derivada respecto al tiempo de et es
de t du e , = dt dt n
O
Figura 13.17 Ángulo u de la trayectoria.
de t dv dv et + v . = dt dt dt
donde en es un vector unitario normal a et que apunta en la dirección positiva de u si dudt es positiva. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (13.36), se obtiene la aceleración de P:
a =
du dv e + v e n. dt t dt
(13.37)
Este resultado puede obtenerse de una manera menos rigurosa pero que aclara el significado de las componentes tangencial y normal de la aceleración. En la figura 13.18a puede verse la velocidad de P en los tiempos t y t ¢t. En la figura 13.18b se muestra que el cambio en la velocidad, v(t ¢t) v(t), consiste en dos componentes. La componente ¢v, tangente a la trayectoria en el tiempo t, se debe al cambio en la magnitud de la velocidad. La componente v¢u, que es perpendicular a la trayectoria en el tiempo t, se debe al cambio de dirección del vector de velocidad. Así, el cambio en la velocidad es (aproximadamente) v(t ¢t) v(t) ¢v et v¢u en. Para obtener la aceleración, se divide esta expresión entre ¢t y se obtiene el límite cuando ¢t S 0:
a = lím
¢t:0
=
¢v ¢v ¢u = lím a et + v e b ¢t:0 ¢t ¢t ¢t n
du dv e + v en. dt dt t
v(t t) v(t t) en
P
en
vu
u
www.FreeLibros.org Figura 13.18 (a) Velocidad de P en t y en t ¢t. (b) Componentes tangencial y normal del cambio en la velocidad.
P
et
v(t)
et
(a)
v(t)
(b)
v
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
Así, se obtuvo de nuevo la ecuación (13.37). Sin embargo, esta deducción señala claramente que la componente tangencial de la aceleración proviene de la razón de cambio de la magnitud de la velocidad, mientras que la componente normal surge de la razón de cambio de la dirección del vector de velocidad. Observe que si la trayectoria es una línea recta en el tiempo t, la componente normal de la aceleración es igual a cero porque dudt es cero. La aceleración puede expresarse en otra forma que a menudo resulta más conveniente. En la figura 13.19 se muestran las posiciones sobre la trayectoria alcanzadas por P en los tiempos t y t dt. Si la trayectoria es curva, las líneas rectas que se extiendan desde esos puntos perpendicularmente a la trayectoria se intersecarán como se muestra. La distancia r desde la trayectoria hasta el punto donde esas dos líneas se intersecan se llama radio de curvatura instantáneo de la trayectoria. (Si la trayectoria es circular, r es simplemente su radio). El ángulo du es el cambio en el ángulo de la trayectoria, y ds es la distancia recorrida entre t y t ¢t. En la figura puede verse que r está relacionada con ds por
69
du u du
r P ds u P
Figura 13.19 Radio de curvatura instantáneo, r.
ds r du. Dividiendo entre dt, se obtiene
du ds = v = r . dt dt Usando esta relación, es posible escribir la ecuación (13.37) como
a =
dv v2 et + e. r n dt
et
Para un valor dado de v, la componente normal de la aceleración depende del radio de curvatura instantáneo. Cuanto mayor es la curvatura de la trayectoria, mayor es la componente normal de la aceleración. Cuando la aceleración se expresa de esta manera, el vector unitario en debe definirse de manera que apunte hacia el lado cóncavo de la trayectoria (figura 13.20). Así, la velocidad y la aceleración en términos de las componentes normal y tangencial son (figura 13.21)
v = ve t =
ds e dt t
P et en P
et
en P
en
P en et
Figura 13.20 El vector unitario normal a la trayectoria apunta hacia el lado cóncavo de ésta.
(13.38)
a v vet
en
an en atet
en
et
et
P
P s
s
www.FreeLibros.org (a)
(b)
Figura 13.21 Componentes normal y tangencial de la velocidad (a) y la aceleración (b).
70
Capítulo 13 Movimiento de un punto
y
y en
a a t e t a n e n,
et
(13.39)
donde
u P
at = x
Figura 13.22 Punto P moviéndose en el plano x–y.
dv dt
an = v
y
du v2 . = r dt
(13.40)
Si el movimiento ocurre en el plano x–y de un marco de referencia cartesiano (figura 13.22) y u es el ángulo entre el eje x y el vector unitario et, los vectores unitarios et y en se relacionan con los vectores unitarios cartesianos por medio de et cos ui sen uj y en sen ui cos uj.
(13.41)
Si la trayectoria en el plano x–y está descrita por una función y y(x), puede mostrarse que el radio de curvatura instantáneo está dado por
c1 + a r =
`
dy 2 3>2 b d dx
d 2y dx
` 2
.
(13.42)
Movimiento circular Si un punto P se mueve en una trayectoria circular plana de radio R (figura 13.23), la distancia s está relacionada con el ángulo u por
P s
s Ru
u R
O
Figura 13.23 Punto moviéndose en un plano circular.
(trayectoria circular).
Entonces, usando esta relación, se puede especificar la posición de P a lo largo de la trayectoria circular por medio de s o u. Derivando respecto al tiempo esta ecuación, se obtiene una relación entre v dsdt y la velocidad angular de la línea que va desde el centro de la trayectoria hasta P:
v = R
du = Rv dt
(trayectoria circular).
(13.43)
Derivando de nuevo, se obtiene una relación entre la componente tangencial de la aceleración at dvdt y la aceleración angular:
at = R
dv = Ra dt
(trayectoria circular).
(13.44)
Para esta trayectoria circular, el radio de curvatura instantáneo r R, por lo que la componente normal de la aceleración es
an =
v2 = Rv2 R
(trayectoria circular).
(13.45)
www.FreeLibros.org Como los problemas que implican movimiento circular son comunes, es muy recomendable recordar estas expresiones. Se debe tener el cuidado de usarlas sólo cuando la trayectoria sea circular.
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
71
Movimiento tridimensional Aunque la mayoría de las aplicaciones de las componentes normal y tangencial implican el movimiento de un punto en el plano, se analiza de manera breve el movimiento tridimensional para obtener el conocimiento que proporciona sobre la naturaleza de la velocidad y la aceleración. Si se considera el movimiento de un punto a lo largo de una trayectoria tridimensional respecto a algún marco de referencia, los pasos que conducen a la ecuación (13.38) no se alteran. La velocidad es
v = ve t =
ds e t, dt
(13.46)
donde v dsdt es la razón de cambio de la distancia a lo largo de la trayectoria y el vector unitario et es tangente a la trayectoria y apunta en la dirección del movimiento. Para obtener la aceleración, se obtiene la derivada respecto al tiempo de esta ecuación:
a =
de t dv dv et + v . = dt dt dt
Conforme el punto se mueve a lo largo de su trayectoria tridimensional, la dirección del vector unitario et cambia. En el caso del movimiento de un punto en un plano, este vector unitario gira en el plano, pero en el movimiento tridimensional, dicho aspecto es más complicado. En la figura 13.24a se muestra la trayectoria vista desde un punto perpendicular al plano que contiene el vector et en los tiempos t y t dt. Este plano se llama el plano osculador osculatriz. Puede concebirse como el plano de rotación instantáneo del vector unitario et, y su orientación generalmente cambiará conforme P se mueve a lo largo de su trayectoria. Como et gira en el plano osculador osculatriz en el tiempo t, su derivada respecto al tiempo es
de t du = e n, dt dt
et(t dt)
P
(13.47)
et(t) P
donde dudt es la velocidad angular de et en el plano osculador osculatriz y el vector unitario en se define según se muestra en la figura 13.24b. El vector en es perpendicular a et, paralelo al plano osculador osculatriz y se dirige hacia el lado cóncavo de la trayectoria. Por lo tanto, la aceleración es
(a)
en
du dv e t + v e n. a = dt dt
du dt
(13.48)
et
De la misma forma que en el caso del movimiento en un plano, también se puede expresar la aceleración en términos del radio de curvatura instantáneo de la trayectoria (figura 13.24c):
a =
dv v2 et + e . r n dt
P (b)
(13.49)
Se observa que las expresiones para la velocidad y la aceleración, en términos de sus componentes normal y tangencial para el movimiento tridimensional, son idénticas en su forma a las expresiones para el movimiento planar. La velocidad es un vector con magnitud igual a la razón de cambio de la distancia viajada a lo largo de la trayectoria y cuya dirección es tangente a ésta. La aceleración tiene una componente tangencial a la trayectoria igual a la razón de cambio de la magnitud de la velocidad y una componente perpendicular a la trayectoria que depende de la magnitud de la velocidad y el radio de curvatura instantáneo de dicha trayectoria. En el movimiento planar, el vector unitario en es paralelo al plano del movimiento. En el movimiento tridimensional, en es paralelo al plano osculador osculatriz, cuya
du du 1 ds dt r dt
en r ds et P (c)
www.FreeLibros.org Figura 13.24 (a) Definición del plano osculador osculatriz. (b) Definición del vector unitario en. (c) Radio de curvatura instantáneo.
72
Capítulo 13 Movimiento de un punto
orientación depende de la naturaleza de la trayectoria. Observe, de la ecuación (13.47), que en puede expresarse en términos de et mediante
de t dt en = . de t ` ` dt
et
en ep
(13.50)
P
Como el paso final necesario para establecer un sistema coordenado tridimensional, se introduce un tercer vector unitario que es perpendicular tanto a et como a en, por medio de la definición Plano osculador
e p e t e n.
(13.51)
El vector unitario ep es perpendicular al plano osculador osculatriz (figura 13.25).
Figura 13.25 Definición del tercer vector unitario, ep.
RESULTADOS
Componentes normal y tangencial en el movimiento planar
a anen
v vet
en
atet
en
et
et
P
P s
s
Velocidad v y aceleración a de P en términos de las componentes normal y tangencial. El vector unitario et es tangente a la trayectoria y apunta en la dirección del movimiento. El vector unitario en es perpendicular a la trayectoria y apunta hacia el lado cóncavo de ésta.
ds et , dt a ate t an e n , v vet
(13.38) (13.39)
donde at
dv du v2 . , y an v r dt dt
(13.40)
du u du
r P ds
El parámetro r es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria. u es el ángulo entre una dirección de referencia fija y la trayectoria.
www.FreeLibros.org u
P
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
73
Movimiento en el plano x–y de un marco de referencia cartesiano y en et u P x
et cosui senuj, (13.41)
Relaciones entre los vectores unitarios. en senui cosuj.
r
2 3/2
1 dx dy
Expresión para el radio de curvatura instantáneo cuando la trayectoria está descrita por una función y y(x).
.
(13.42)
d2y dx2
Movimiento en una trayectoria circular P s u R
O
Si un punto se mueve en una trayectoria circular de radio R, la velocidad y las componentes normal y tangencial de la aceleración pueden expresarse en términos de la velocidad angular y la aceleración angular.
du Rv, (movimiento circular) (13.43) dt dv Ra, (movimiento circular) (13.44) at R dt vR
www.FreeLibros.org an
v2 Rv2. (movimiento circular) (13.45) R
74
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.9
Movimiento en términos de las componentes normal y tangencial ( Relacionado con el problema 13.104) La motocicleta de la figura parte del reposo en t 0 sobre una pista circular de 400 m de radio. La componente tangencial de su aceleración (en m/s2) está dada como una función del tiempo por at 2 0.2t. ¿Cuál es la velocidad de la motocicleta en términos de sus componentes normal y tangencial en t 10 s? ¿Qué distancia s recorre la motocicleta a lo largo de la pista en t 10 s?
O
s
P
400 m
en
et
Estrategia Sea s la distancia a lo largo de la pista desde la posición inicial O de la motocicleta hasta su posición en el tiempo t. Conociendo la aceleración tangencial en función del tiempo, es posible integrar para determinar la velocidad v y la posición s como funciones del tiempo. Solución
at Integre la aceleración tangencial para determinar la velocidad como una función del tiempo.
dv 2 0.2t, dt
v
t
dv
L0
(2 0.2t)dt,
L0
v 2t 0.1t2 m/s. Evalúe la velocidad en t 10 s.
v t10 s 2(10) 0.1(10)2
Exprese la velocidad en t 10 s como un vector en términos de las componentes normal y tangencial.
v vet
30 m/s.
30et (m/s).
v Integre v ds/dt para determinar la posición como una función del tiempo.
ds 2t 0.1t2, dt
S
L0
t
ds
L0
(2t 0.1t2)dt,
www.FreeLibros.org s t2
0.1 3 t m. 3
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
Evalúe la posición en t 10 s.
s t10 s (10)2
75
0.1 (10)3 3
133 m.
Problema de práctica Determine la aceleración de la motocicleta en términos de las componentes normal y tangencial en t 10 s. Respuesta: a 4et 2.25en (m/s2).
Ejemplo 13.10
Problema de órbita circular ( Relacionado con el problema 13.114)
Un satélite tiene una órbita circular de radio R alrededor de la Tierra. ¿Cuál es su velocidad? Estrategia La aceleración debida a la gravedad a una distancia R del centro de la Tierra es gR2ER2, donde RE es el radio de la Tierra. (Vea la ecuación 12.4). Usando esta expresión junto con la ecuación para la aceleración en términos de sus componentes normal y tangencial, se puede obtener una ecuación para calcular la velocidad del satélite. Solución En términos de las componentes normal y tangencial (figura a), la aceleración del satélite es
a =
et en
v2 dv et + en. dt R
Esta expresión debe ser igual a la aceleración de la gravedad hacia el centro de la Tierra:
gR 2E dv v2 et + en = en. dt R R2
RE R
(1)
Como no hay componente et en el lado derecho de la ecuación (1) se concluye que la magnitud de la velocidad del satélite es constante:
dv = 0. dt
(a) Descripción del movimiento del satélite en términos de las componentes normal y tangencial.
Igualando las componentes en en la ecuación (1) y despejando v, se obtiene
v =
gR2E . C R
Razonamiento crítico En el ejemplo 13.5 se determinó la velocidad de escape de un cuerpo que viaja en línea recta alejándose de la Tierra, en términos de su distancia inicial desde el centro de la Tierra. La velocidad de escape de un cuerpo a una distancia R del centro de la Tierra, vesc = 2 2gR 2E >R , es sólo 22 veces la velocidad de un cuerpo en una órbita circular de radio R. Esto explica por qué fue posible empezar a lanzar sondas a otros planetas poco después de que los primeros satélites se pusieron en órbita alrededor de la Tierra.
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76
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.11
Relación de las componentes cartesianas y las componentes tangenciales ( Relacionado con el problema 13.122) Durante un vuelo en el que un helicóptero parte del reposo en t 0, las componentes cartesianas de su aceleración son ax 0.6t m/s2 y ay 1.8 0.36t m/s2. ¿Cuáles son las componentes normal y tangencial de su aceleración y el radio de curvatura instantáneo de su trayectoria en t 4 s?
Estrategia Se pueden integrar las componentes cartesianas de la aceleración para determinar las componentes cartesianas de la velocidad en t 4 s, y después pueden determinarse las componentes del vector unitario tangencial et dividiendo el vector de velocidad entre su magnitud: et vv. Enseguida se puede determinar la componente tangencial de la aceleración al evaluar el producto punto del vector de aceleración por et. Conociendo la componente tangencial de la aceleración, se puede evaluar la componente normal y determinar el radio de curvatura de la trayectoria a partir de la relación an v2r.
Solución Integrando las componentes de la aceleración respecto al tiempo (vea el ejemplo activo 13.6), se encuentra que las componentes cartesianas de la velocidad son vx 0.3t2 m/s y vy 1.8t 0.18t2 m/s. En t 4 s, vx 4.80 m/s y vy 4.32 m/s. El vector unitario tangencial et en t 4 s es (figura a)
et =
4.80i + 4.32j v = 0.743i + 0.669j. = ƒvƒ 214.8022 + 14.3222
Las componentes cartesianas de la aceleración en t 4 s son ax 0.6(4) 2.4 m/s2 y
www.FreeLibros.org ay 1.8 0.36(4) 0.36 m/s2,
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
77
y
4.32 m/s et
4.80 m/s
x
(a) Componentes cartesianas de la velocidad y el vector et.
entonces, la componente tangencial de la aceleración en t 4 s es
at = e t # a = 10.743i + 0.669j2 # 12.4i + 0.36j2 = 2.02 m/s2. La magnitud de la aceleración es 212.422 + 10.3622 = 2.43 m/s2 , por lo que la magnitud de la componente normal de la aceleración es
an = 2 ƒ a ƒ 2 - a2t = 212.4322 - 12.0222 = 1.34 m/s2. Así que el radio de curvatura de la trayectoria es
r =
ƒvƒ2 an
=
14.8022 + 14.3222 = 31.2 m. 1.34
Razonamiento crítico Las componentes cartesianas de un vector son paralelas a los ejes del sistema de coordenadas cartesianas, mientras que las componentes normal y tangencial tienen esa condición respecto a la trayectoria. En este ejemplo, las componentes cartesianas de la aceleración del helicóptero fueron dadas como funciones del tiempo. ¿Cómo podrían determinarse las componentes normal y tangencial de la aceleración en t 4 s si no se conocía la trayectoria? Observe que se usó el hecho de que el vector de velocidad es tangente a la trayectoria. Se integraron las componentes cartesianas de la aceleración para determinar las componentes cartesianas de la velocidad en t 4 s, con esto se conoció la dirección de la trayectoria. Al dividir el vector de velocidad entre su magnitud se obtuvo un vector unitario tangente a la trayectoria que apuntaba en la dirección del movimiento, que es el vector et.
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78
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.12
Centrífuga ( Relacionado con el problema 13.128) La distancia desde el centro de la centrifugadora médica hasta sus muestras es de 300 mm. Cuando la centrifugadora se enciende, su motor y su sistema de control le dan una aceleración angular a A Bv2. Elija las constantes A y B de manera que las muestras estén sometidas a una aceleración horizontal máxima de 12,000 g y de modo que la centrifugadora alcance 90% de su velocidad operativa máxima en 2 minutos.
300 mm
Estrategia Como se conoce tanto el radio de la trayectoria circular sobre la que se mueven las muestras como la aceleración horizontal a la que éstas se encuentran sometidas, se puede obtener la velocidad angular operativa de la centrifugadora. Se usará la aceleración angular dada para determinar la velocidad angular de la centrifugadora como una función del tiempo, en términos de las constantes A y B. Luego puede usarse la velocidad angular operativa y la condición de que la centrifugadora alcance 90% de dicha velocidad angular en 2 minutos, para determinar las constantes A y B.
Solución Por la ecuación (13.45), las muestras están sometidas a una aceleración normal an Rv2. Estableciendo an (12,000)(9.81) m/s2 y R 0.3 m y despejando la velocidad angular, se encuentra que la velocidad operativa máxima deseada es vmáx 626 rad/s. La aceleración angular es
a =
dv = A - Bv2. dt
Se separan variables para obtener
dv = dt. A - Bv2
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13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial
79
Después se integra para determinar v como una función del tiempo, suponiendo que la centrifugadora parte desde el reposo en t 0: t
v
dv = dt. A Bv2 L0 L0 Evaluando las integrales, se obtiene
1 2 2AB
ln a
A + 2ABv A - 2ABv
b = t.
La solución de esta ecuación para v es
v =
A e22ABt - 1 a b. A B e22ABt + 1
Conforme t se vuelve más grande, v se aproxima a 2A>B , por lo tanto se tiene la condición de que
A = vmáx = 626 rad/s, AB
(1)
y se puede escribir la ecuación para v como
v = vmáx a
e22ABt - 1 e22ABt + 1
b.
(2)
También se tiene la condición de que v 0.9vmáx después de 2 minutos. Estableciendo v 0.9vmáx y t 120 s en la ecuación (2) y despejando 2AB se obtiene
2AB =
ln1192 240
.
Se resuelve esta ecuación junto con la ecuación (1), para obtener A 7.69 rad/s2 y B 1.96 105 rad1. En la gráfica se muestra la velocidad angular de la centrifugadora en función del tiempo. 700 600
v (rad/s)
500 400 300 200 100 0 0
100
200
300
400
www.FreeLibros.org t (s)
80
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.104 En el ejemplo activo 13.9, determine la velocidad y la aceleración de la motocicleta cuando t 5 s, en términos de sus componentes normal y tangencial. 13.105 La armadura mostrada parte desde el reposo en t 0 y tiene una aceleración angular constante a 2 rad/s2. En t 4 s, ¿qué valor tienen la velocidad y la aceleración del punto P respecto al punto O en términos de sus componentes normal y tangencial?
13.108 Una centrifugadora usada para someter a componentes de ingeniería a altas aceleraciones tiene un radio de 8 m. Parte desde el reposo en t 0, y durante su fase de aceleración de 2 minutos está programada para que su aceleración angular sea una función del tiempo en segundos, dada por a 0.192 0.0016t rad/s2. En t 120 s, ¿cuál es la magnitud de la aceleración a la que está sometido un componente?
P O
80 mm
Problema 13.105
13.106 Suponga que se quiere diseñar una centrifugadora para someter muestras a aceleraciones normales de 1000 g. a) Si la distancia del centro de la centrifugadora a la muestra es de 300 mm, ¿qué velocidad de rotación en rpm se necesita? b) Si se quiere que la centrifugadora alcance sus rpm de diseño en 1 min. ¿qué aceleración angular constante se necesita?
Problema 13.108
13.109 Se está probando la maniobrabilidad de una lancha de motor, la cual parte desde el reposo en t 0 y es conducida en una trayectoria circular de 12 m de radio. La componente tangencial de la aceleración de la lancha en función del tiempo es at 0.4t m/s2. a) ¿Cuáles son los valores de la velocidad y la aceleración de la lancha en términos de sus componentes normal y tangencial cuando t 4 s? b) ¿Qué distancia se desplaza la lancha a lo largo de su trayectoria circular desde t 0 hasta t 4 s?
13.107 La centrifugadora médica que se muestra en la figura parte desde el reposo en t 0 y se encuentra sometida a una aceleración angular constante a 3 rad/s2. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración total a la que están sometidas las muestras en t 1 s?
300 mm
Problema 13.109
www.FreeLibros.org Problemas 13.106/13.107
Problemas 13.110 Se tiene el ángulo u 2t2 rad. a) ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración del punto P en términos de las componentes normal y tangencial cuando t 1 s? b) ¿Qué distancia a lo largo de la trayectoria circular recorre P desde t 0 hasta t 1 s? 13.111 El ángulo u 2t2 rad, ¿qué valores tienen la velocidad y la aceleración del punto P, en términos de las componentes normal y tangencial, cuando P ha realizado un giro alrededor de la trayectoria circular comenzando en t 0?
81
13.114 Suponga que es posible excavar un túnel circular de radio R debajo del ecuador. En principio podría colocarse un satélite en órbita alrededor del centro de la Tierra dentro del túnel. La aceleración debida a la gravedad en el túnel sería gRRE, donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar y RE es el radio de la Tierra. Determine la velocidad del satélite y demuestre que el tiempo requerido para completar una órbita es independiente del radio R. (Vea el ejemplo 13.10). Ecuador
P RE
R Túnel
u O 4m
Problema 13.114
Problemas 13.110/13.111 13.112 En el instante mostrado, la manivela AB gira con una velocidad angular de 5000 rpm contraria al giro de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto B a) en términos de las componentes normal y tangencial y b) en términos de las componentes cartesianas.
13.115 En el instante mostrado, la magnitud de la velocidad del avión es de 130 m/s, su componente tangencial de aceleración es at 4 m/s2, y la razón de cambio del ángulo de su trayectoria es dudt 5°s. a) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del avión en términos de sus componentes normal y tangencial? b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del avión?
13.113 La manivela AB gira con una velocidad angular constante de 5000 rpm, contraria al giro de las manecillas del reloj. Determine la aceleración del punto B a) en términos de las componentes normal y tangencial y b) en términos de las componentes cartesianas.
u
y
Problema 13.115
C
A
pu
lg
45 B x
2
www.FreeLibros.org Problemas 13.112/13.113
82
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.116 En el diseño preliminar de un automóvil solar, un grupo de estudiantes de ingeniería estima que su aceleración será de 0.6 m/s2. Suponga que el automóvil parte desde el reposo en el punto A y que la componente tangencial de su aceleración es at 0.6 m/s2. ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración del automóvil en términos de sus componentes normal y tangencial cuando llega al punto B? 13.117 Después de someter el diseño de un automóvil a pruebas en un túnel de viento, los estudiantes estiman que la componente tangencial de su aceleración será at 0.6 0.002v2 m/s2, donde v es su velocidad en m/s. Si el automóvil parte desde el reposo en el punto A, ¿qué valores tienen su velocidad y su aceleración en términos de las componentes normal y tangencial cuando llega al punto B? 13.118 Suponga que la componente tangencial de la aceleración de un automóvil está dada en términos de su posición por at 0.4 0.001s m/s2, donde s es la distancia viajada por el auto a lo largo de la pista desde el punto A. ¿Qué valores tienen su velocidad y su aceleración en términos de las componentes normal y tangencial cuando llega al punto B?
50 m B
13.121 Ciertos candidatos a astronauta presentarán una prueba en una centrifugadora con radio de 10 m en el plano horizontal. Los ingenieros que realizan la prueba desean someter a los candidatos a una aceleración de 5 g, o cinco veces la aceleración debida a la gravedad. La gravedad de la Tierra ejerce de manera efectiva una aceleración de 1 g en la dirección vertical. Determine la velocidad angular de la centrifugadora en revoluciones por segundo de modo que la magnitud de la aceleración total sea de 5 g.
10 m
Problema 13.121 13.122 En el ejemplo 13.11, ¿cuál es la velocidad del helicóptero en términos de las componentes normal y tangencial en t 4 s? 13.123 El atleta mostrado lanza la bala con velocidad v 16 m/s. a) ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración de la bala en términos de sus componentes normal y tangencial cuando está en el punto más alto de su trayectoria? b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la bala cuando se encuentra en el punto más alto de su trayectoria?
A 200 m
Problemas 13.116–13.118 13.119 El automóvil mostrado incrementa su velocidad a una razón constante desde 40 mi/h en A hasta 60 mi/h en B. ¿Cuál es la magnitud de su aceleración 2 s después de que pasa por el punto A? 13.120 El automóvil mostrado incrementa su velocidad a una razón constante desde 40 mi/h en A hasta 60 mi/h en B. Determine la magnitud de su aceleración cuando ha viajado a lo largo del camino, una distancia a) de 120 pies desde A y b) de 160 pies desde A.
13.124 En t 0, el atleta mostrado lanza la bala con velocidad v 16 m/s. a) ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración de la bala en términos de sus componentes normal y tangencial cuando t 0.3 s? b) Utilice la relación an v2r para determinar el radio de curvatura instantáneo de la bala cuando t 0.3 s? 13.125 En t 0, el atleta mostrado lanza la bala con velocidad v 16 m/s. Utilice la ecuación (13.42) para determinar el radio de curvatura instantáneo de la bala cuando t 0.3 s? v 20
y
120 pies 30
B
A 30 80 pies
80 pies
x
100 pies
www.FreeLibros.org Problemas 13.119/13.120
Problemas 13.123–13.125
83
Problemas 13.126 Las coordenadas cartesianas de un punto que se mueve en el plano x–y son x 20 4t 2 m
y
13.130* En el problema 13.129, ¿cuál es la componente normal de la aceleración del avión en función del tiempo?
y 10 t 3 m.
y
¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del punto en t 3 s? 13.127 El helicóptero mostrado parte desde el reposo en t 0. Las coordenadas cartesianas de su aceleración son ax 0.6t m/s2 y ay 1.8 0.36t m/s2. Determine las componentes tangencial y normal de la aceleración en t 6 s.
x O
y
Problemas 13.129/13.130 13.131 Si y 100 mm, dydt 200 mms y d2ydt2 0, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración de P en términos de las componentes normal y tangencial? 13.132* Suponga que el punto P se mueve hacia arriba por la ranura con velocidad v 300 et (mm/s). Cuando y 150 mm, ¿qué valor tienen dydt y d2ydt2? x
Problema 13.127
13.128 Suponga que cuando la centrifugadora del ejemplo 13.12 se enciende, su motor y sistema de control le dan una aceleración angular (en rad/s2) a 12 0.02v, donde v es la velocidad angular de la centrifugadora. Determine las componentes tangencial y normal de la aceleración de las muestras en t 0.2 s.
P
y
13.129* Para el entrenamiento de astronautas, el avión mostrado debe alcanzar la “ingravidez” por un corto periodo de tiempo volando a lo largo de una trayectoria tal que su aceleración sea ax 0 y ay g. Si su velocidad en O en t 0 es v v0i, demuestre que el piloto automático debe volar el avión de manera que su componente tangencial de aceleración en función del tiempo sea at = g
gt>v0
21 + 1gt>v022
.
300 mm
Problemas 13.131/13.132 13.133* Un auto viaja a 100 km/h cuesta arriba por un camino recto cuyo perfil vertical se puede aproximar mediante la ecuación mostrada. Cuando la coordenada horizontal del auto es x 400 m, ¿cuáles son las componentes tangencial y normal de su aceleración? y y 0.0003x2
www.FreeLibros.org x
Problema 13.133
84
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.134 Un niño patina sobre la superficie de concreto de un canal vacío descrito por la ecuación mostrada. El niño parte de y 20 pies y la magnitud de su velocidad se aproxima mediante v = 22132.22120 - y2 pies/s. a) Use la ecuación (13.42) para determinar el radio de curvatura instantánea de la trayectoria del niño cuando éste llega al fondo. b) ¿Cuál es la componente normal de la aceleración del niño cuando éste llega al fondo?
13.136* Utilizando las ecuaciones (13.41), a) demuestre que las relaciones entre los vectores unitarios cartesianos y los vectores unitarios et y en son i cos u et sen u en j sen u et cos u en. y b) demuestre que det du = e dt dt n
13.135 En el problema 13.134, ¿cuál es la componente normal de la aceleración del niño cuando ha pasado por el fondo y alcanza la posición y 10 pies?
y
den du = - et. dt dt
y y 0.03x 2
x
Problemas 13.134/13.135
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas ANTECEDENTES Las coordenadas polares suelen usarse para describir el movimiento curvilíneo de un punto. El movimiento circular, los problemas de ciertas órbitas y, de manera más general, los problemas de fuerza central, en los que la aceleración de un punto se dirige hacia un punto dado, pueden expresarse convenientemente en coordenadas polares. Considere un punto P en el plano x–y de un sistema coordenado cartesiano. Se puede especificar la posición de P respecto al origen O mediante sus coordenadas cartesianas x, y y o por medio de sus coordenadas polares, r, u (figura 13.26a). Para expresar vectores en coordenadas polares, se define un vector unitario er que apunta en la dirección de la línea radial desde el origen hacia P y un vector unitario eu, perpendicular a er y que apunta en la dirección creciente de u (figura 13.26b). En términos de esos vectores, el vector de posición r desde O hasta P es r rer.
(13.52)
(Observe que r no tiene componente en la dirección de eu). Se puede determinar la velocidad de P en términos de coordenadas polares derivando respecto al tiempo la ecuación (13.52):
www.FreeLibros.org v =
de r dr dr = . e + r dt dt r dt
(13.53)
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas y
85
y eu er P P
(x, y) r
r u
x
O
u
x
O
(a)
(b)
Figura 13.26 (a) Coordenadas polares de P. (b) Vectores unitarios er y eu y vector de posición r.
Cuando P se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea, el vector unitario er gira con velocidad angular v dudt. Por lo tanto, de la ecuación (13.33), la derivada respecto al tiempo de er en términos de eu se puede expresar como
de r du = e u. dt dt
(13.54)
Sustituyendo este resultado en la ecuación (13.53) se obtiene la velocidad de P:
v =
du dr dr er + r eu = e r + rv e u. dt dt dt
(13.55) y
Se puede obtener el resultado de un modo menos riguroso, pero más directo e intuitivo. En la figura 13.27 se muestra el vector de posición de P en los tiempos t y t ¢t. El cambio en el vector de posición, r(t ¢t) r(t), consiste en dos componentes. La componente ¢r se debe al cambio en la posición radial r y tiene la dirección de er. La componente r¢u debida al cambio en u tiene la dirección de eu. Así, el cambio en la posición de P es (aproximadamente)
r1t + ¢t2 - r1t2 = ¢re r + r¢u e u.
¢t:0
=
ru r(t t) u
P r
r(t) O
Dividiendo esta expresión entre ¢t y obteniendo el límite cuando ¢t S 0, se obtiene la velocidad de P:
v = lím a
P
x
Figura 13.27 Vector de posición de P en t y en t ¢t.
¢r ¢u er + r eu b ¢t ¢t
dr e + rve u. dt r
Una componente de la velocidad está en la dirección radial y es igual a la razón de cambio de la posición radial r. La otra componente es normal, o transversal a la dirección radial, y es proporcional a la distancia radial y a la razón de cambio de u. La aceleración de P se obtiene derivando la ecuación (13.55) respecto al tiempo:
www.FreeLibros.org a =
d 2r dr du d 2u du deu dv dr der = + . e + e + r eu + r r u 2 2 dt dt dt dt dt dt dt dt dt
(13.56)
86
y
Capítulo 13 Movimiento de un punto deu du er dt dt
der du eu dt dt
eu r u O
du dt
P
er
La derivada respecto al tiempo del vector unitario er debido a la razón de cambio de u está dada por la ecuación (13.54). Cuando P se mueve, eu también gira con velocidad angular dudt (figura 13.28). En esta figura se puede ver que la derivada respecto al tiempo de eu tiene la dirección er si dudt es positiva:
de u du = - e r. dt dt
x
Figura 13.28 Derivadas respecto al tiempo de er y eu.
Sustituyendo esta expresión y la ecuación (13.54) en la ecuación (13.56), se obtiene la aceleración de P:
a = c
d 2u dr du d 2r du 2 r a de + c r + 2 b deu. r 2 2 dt dt dt dt dt
Así, la velocidad y la aceleración son respectivamente (figura 13.29)
v = vr er + vu eu =
dr er + rv eu dt
(13.57)
y
a = ar er + au eu,
(13.58)
donde
ar =
d 2r du 2 d 2r b r a = - rv2 dt dt 2 dt 2 (13.59)
au = r
d 2u dr du dr + 2 = ra + 2 v. 2 dt dt dt dt
El término rv2 en la componente radial de la aceleración se llama aceleración centrípeta, y el término 2(drdt)v en la componente transversal se llama aceleración de Coriolis. Los vectores unitarios er y eu se relacionan con los vectores cartesianos unitarios por medio de er cos ui sen uj y
(13.60) eu sen ui cos uj.
y
y v
vu eu
au eu vrer
eu
a eu
ar er
er
er
P
P
www.FreeLibros.org r
Figura 13.29 Componentes radial y transversal de la velocidad (a) y de la aceleración (b).
u
x
O
(a)
O
r u
x
(b)
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas
Movimiento circular El movimiento circular puede describirse de manera conveniente usando las componentes radial y transversal o las componentes normal y tangencial. A continuación se compararán esos dos métodos para expresar la velocidad y la aceleración de un punto P que se mueve en una trayectoria circular de radio R (figura 13.30). Como la coordenada polar r R es constante, la ecuación (13.57) para la velocidad se reduce a
87
y
eu P
er
R u
v Rveu.
x
En términos de las componentes normal y tangencial, la velocidad es v vet. Observe en la figura 13.30 que eu et. Comparando esas dos expresiones para la velocidad, se obtiene la relación entre la velocidad y la velocidad angular en el movimiento circular:
(a) et
v Rv.
en
P s
De las ecuaciones (13.58) y (13.59), la aceleración en coordenadas polares para una trayectoria circular de radio R es
R
a Rv er Raeu, 2
y la aceleración en términos de las componentes normal y tangencial es
a =
(b)
dv v2 et + en. dt R
El vector unitario er en. Debido a la relación v Rv, las componentes normales de la aceleración son iguales: v2R Rv2. Igualando las componentes transversal y tangencial, se obtiene la relación
Figura 13.30 Punto P moviéndose en una trayectoria circular. (a) Coordenadas polares. (b) Componentes normal y tangencial.
dv = at = Ra. dt Coordenadas cilíndricas Las coordenadas polares describen el movimiento de un punto P en el plano x–y. El movimiento tridimensional se puede describir usando coordenadas cilíndricas r, u y z (figura 13.31). Las coordenadas cilíndricas r y u son las coordenadas polares de P medidas en el plano paralelo al plano
y
er
eu
P
r O
ez x
r
z u
z
www.FreeLibros.org Figura 13.31 Coordenadas cilíndricas r, u, y z del punto P y vectores unitarios er, eu y ez.
88
Capítulo 13 Movimiento de un punto
x–y, y las definiciones de los vectores unitarios er y eu no cambian. La posición de P perpendicular al plano x–y se mide mediante la coordenada z, y el vector unitario ez apunta en la dirección positiva del eje z. El vector de posición r en términos de coordenadas cilíndricas es la suma de la expresión para el vector de posición en coordenadas polares y la componente z: r rer zez.
(13.61)
(La coordenada polar r no es igual a la magnitud de r excepto cuando P se encuentra en el plano x–y). Derivando respecto al tiempo, se obtiene la velocidad
dr = vr e r + vu e u + vz e z dt dz dr e + rv e u + e = dt r dt z
v =
(13.62)
y la aceleración,
a =
dv = ar e r + au e u + az e z, dt
(13.63)
donde
ar =
d 2r dr - rv2, au = ra + 2 v 2 dt dt
az =
y
d 2z . dt 2
(13.64)
Observe que las ecuaciones (13.62) y (13.63) se reducen a las expresiones en coordenadas polares para la velocidad y aceleración, las ecuaciones (13.57) y (13.58), cuando P se mueve a lo largo de una trayectoria en el plano x–y.
RESULTADOS
Coordenadas polares y
y v
vueu
vrer
eu
u
a eu
arer
er
er
P
r O
aueu
x
r u
P
O
x
r rer, Posición r, velocidad v y aceleración a de P en términos de coordenadas polares. El vector unitario er apunta en la dirección de la línea radial del origen O al punto P. El vector unitario eu es perpendicular a er y apunta en la dirección creciente de u.
(13.52)
dr er rveu, v vrer vueu dt a arer aueu, donde
(13.57) (13.58)
2
du d2r d2r 2 rv2, r 2 dt dt dt (13.59) dr du dr d2u ra 2 v. au r 2 2 dt dt dt dt
ar
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13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas
89
y
eu P
er
R u
x
Relaciones entre los vectores unitarios.
er
cosui senuj,
eu senui cosuj.
(13.60)
Coordenadas cilíndricas y
er
eu
P
r O
ez x
r
z u
z
r rer zez,
(13.61)
v vrer vueu vzez Posición r, velocidad v y aceleración a de P en términos de coordenadas cilíndricas.
dr dz ez, er rveu dt dt a arer aueu azez,
(13.62) (13.63)
donde ar
dr d 2r d2z 2, a ra 2 . (13.64) v, az rv u dt dt2 dt2
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90
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.13
Análisis del movimiento en términos de coordenadas polares ( Relacionado con el problema 13.138) El brazo robótico que se muestra en la figura está programado para que el punto P siga la trayectoria descrita por r 1 0.5 cos 2pt m, u 0.5 0.2 sen 2pt rad. ¿Cuál es la velocidad de P en términos de las coordenadas polares cuando t 0.8 s? y
r P
u x
Estrategia Las coordenadas polares r y u de P están dadas en función del tiempo, entonces se pueden calcular las derivadas de la expresión para la velocidad en términos de coordenadas polares y evaluar la velocidad en t 0.8 s. Solución
Determine las derivadas de la expresión para la velocidad.
Determine la velocidad como una función del tiempo.
Evalúe la velocidad en t 0.8 s.
dr psen2pt, dt du 0.4pcos2pt. dt dr du er r eu dt dt psen2pter (1 0.5cos2pt)(0.4pcos2pt)eu.
v
v 2.99er 0.328eu (m/s).
Problema de práctica ¿Cuál es la aceleración de P en términos de coordenadas polares cuando t 0.8 s?
www.FreeLibros.org Respuesta: a 5.97er 4.03eu (m/s2).
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas
Ejemplo 13.14
91
Expresión del movimiento en términos de coordenadas polares ( Relacionado con el problema 13.141)
Suponga que está usted de pie sobre un gran disco que gira con velocidad angular constante v0, y usted empieza a caminar con velocidad constante v0 a lo largo de una línea recta radial pintada sobre el disco. ¿Cuáles son su velocidad y aceleración cuando se encuentre a una distancia r del centro del disco?
v0
v0
Estrategia Se puede describir su movimiento en coordenadas polares (figura a). Usando la información duda acerca de su movimiento y el movimiento del disco, es posible evaluar los términos en las expresiones para la velocidad y la aceleración en términos de coordenadas polares. Solución La velocidad con que usted camina a lo largo de la línea radial es la razón de cambio de r, drdt v0, y la velocidad angular del disco es la razón de cambio de u, v v0. Su velocidad es
v =
dr e r + rve u = v0 e r + rv0 e u. dt
Su velocidad consta de dos componentes: una componente radial debida a la velocidad con que usted va caminando, y una componente transversal debida a la razón de rotación del disco. La componente transversal se incrementa conforme aumenta su distancia desde el centro del disco. Su velocidad al caminar v0 drdt es constante, por lo que d 2rdt 2 0. Asimismo, la velocidad angular del disco, v0 dudt es constante, por lo que d 2udt 2 0. La componente radial de su aceleración es
y
eu er
ar =
2
d r - rv 2 = - rv 20, dt 2
r
u
x
y la componente transversal es
au = ra + 2
dr v = 2v0v0. dt (a) Su posición en términos de coordenadas polares.
Razonamiento crítico ¿Por qué no se utilizaron las componentes normal y tangencial para determinar su velocidad y aceleración? La razón por la que no serían convenientes en este ejemplo es que la trayectoria no se conoce, y las componentes normal y tangencial están definidas en términos de la trayectoria. Si usted ha tratado alguna vez de caminar sobre un disco de este tipo, sabrá que no es fácil. Este ejemplo indica por qué: Subjetivamente, usted ha caminando a lo largo de una línea recta con velocidad constante, pero en realidad usted experimenta la aceleración centrípeta ar y la aceleración de Coriolis au debido a la rotación del disco.
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92
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.15
Velocidad en términos de componentes polares y cartesianas ( Relacionado con los problemas 13.155 y 13.156) En el mecanismo de leva y seguidor que se muestra en la figura, la barra ranurada gira con velocidad angular constante v 4 rad/s, y la posición radial del seguidor está determinada por el perfil elíptico de la leva en reposo. La trayectoria del seguidor puede describirse mediante la ecuación polar
r =
0.15 m. 1 + 0.5 cos u
y
r
Seguidor u x Leva
Determine la velocidad del seguidor cuando u 45° en términos de (a) coordenadas polares y (b) coordenadas cartesianas. Estrategia Tomando la derivada respecto al tiempo de la ecuación polar para el perfil de la leva, se puede obtener una relación entre la velocidad angular conocida y la componente radial de la velocidad que permita evaluar la velocidad en términos de coordenadas polares. Luego, empleando la ecuación (13.60), puede obtenerse la velocidad en términos de coordenadas cartesianas. Solución a) La ecuación polar para el perfil de la leva tiene la forma r r(u). Tomando su derivada con respecto al tiempo, se obtiene
dr1u2 du dr = dt du dt =
d 0.15 du a b du 1 + 0.5 cos u dt
www.FreeLibros.org = c
0.075 sen u du d . 11 + 0.5 cos u22 dt
Problemas
93
Por lo tanto, la velocidad del seguidor en coordenadas polares es
v =
du dr er + r eu dt dt
= c
0.075 sen u du 0.15 du d e + a b eu. 2 dt r 1 + 0.5 cos u dt 11 + 0.5 cos u2
La velocidad angular v dudt 4 rad/s, por lo que pueden evaluarse las componentes polares de la velocidad cuando u 45°, obteniendo v 0.116er 0.443eu (m/s). b) Sustituyendo las ecuaciones (13.60) con u 45° en la expresión de coordenadas polares para la velocidad, se obtiene la velocidad en términos de coordenadas cartesianas:
v 0.116er 0.443eu 0.116(cos 45°i sen 45°j) 0.443(sen 45°i cos 45°j) 0.232i 0.395j (m/s).
Razonamiento crítico Observe que, al determinar la velocidad del seguidor, se hizo el supuesto tácito de que éste permanece en contacto con la superficie de la leva mientras la barra gira. Los diseñadores de mecanismos de leva deben asegurar que el resorte sea suficientemente fuerte para que el seguidor no pierda contacto con la superficie. En el capítulo 14 se introducen los conceptos necesarios para analizar este tipo de problemas.
Problemas 13.137 Las coordenadas polares del collarín A están dadas como funciones del tiempo en segundos por r 1 0.2t2 pies y u 2t rad. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración del collarín cuando t 2 s?
13.138 En el ejemplo activo 13.13, suponga que el brazo robótico se reprograma para que el punto P siga la trayectoria descrita por r 1 0.5 sen 2pt m, u 0.5 0.2 cos 2pt rad.
A
¿Cuál es la velocidad de P en términos de coordenadas polares cuando t 0.8 s?
r u
www.FreeLibros.org Problema 13.137
94
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.139 En el instante mostrado, r 3 m y u 30°. Las componentes cartesianas de la velocidad del punto A son vx 2 m/s y vy 8 m/s. a) Determine la velocidad del punto A en términos de las coordenadas polares. b) ¿Cuál es la velocidad angular dudt de la grúa en el instante mostrado?
13.140 Las coordenadas polares del punto A de la grúa están dadas como funciones del tiempo en segundos por r 3 0.2t2 m y u 0.02t2 rad. Determine la aceleración del punto A en términos de coordenadas polares cuando t 3 s.
y A
r
u x
Problemas 13.139/13.140
13.141 La línea radial mostrada gira con velocidad angular constante de 2 rad/s. El punto P se mueve a lo largo de la línea con velocidad constante de 4 m/s. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de P cuando r 2 m. (Vea el ejemplo 13.14).
y 2 rad/s
4 m/s P
r
x
O
Problema 13.141
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95
Problemas 13.142 En el instante mostrado, las coordenadas del collarín A son x 2.3 pies, y 1.9 pies. El collarín se desliza sobre la barra desde B hacia C a una velocidad constante de 4 pies/s. a) ¿Cuál es la velocidad del collarín en términos de coordenadas polares?
13.145 El collarín A se desliza sobre la barra circular mostrada. La posición radial de A (en metros) está dada como una función de u por r 2 cos u. En el instante mostrado, u 25° y dudt 4 rad/s. Determine la velocidad de A en términos de coordenadas polares.
b) Use la respuesta al inciso a) para determinar la velocidad angular de la línea radial desde el origen hasta el collarín A en el instante mostrado.
13.146 En el problema 13.145, d 2 udt2 0 en el instante mostrado. Determine la aceleración de A en términos de las coordenadas polares.
13.143 En el instante mostrado, las coordenadas del collarín A son x 2.3 pies, y 1.9 pies. El collarín se desliza sobre la barra desde B hacia C a una velocidad constante de 4 pies/s. a) ¿Cuál es la aceleración del collarín en términos de coordenadas polares? b) Use la respuesta al inciso a) para determinar la aceleración angular de la línea radial desde el origen hasta el collarín A en el instante mostrado.
y
A
r u x
y C
Problemas 13.145/13.146
A
13.147 La coordenada radial del satélite terrestre que se muestra en la figura se relaciona con su posición angular u por r =
60 B x
Problemas 13.142/13.143 13.144* Una embarcación que busca sitios arqueológicos submarinos en el Mar Egeo navega a 4 nudos y sigue la trayectoria r 10u m, con u en radianes. (Un nudo es una milla náutica, o 1852 m, por hora). Cuando u 2p rad, determine la velocidad de la embarcación a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas.
1.91 * 107 m. 1 + 0.5 cos u
El producto de la posición radial y la componente transversa de la velocidad es rvu 8.72 1010 m2/s. ¿Cuál es la velocidad del satélite en términos de coordenadas polares cuando u 90°? 13.148* En el problema 13.147, ¿cuál es la aceleración del satélite en términos de coordenadas polares cuando u 90°? Satélite
y
r
u
x
Problemas 13.147/13.148
www.FreeLibros.org Problema 13.144
96
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.149 Una cuenta se desliza a lo largo de un alambre que gira en el plano x–y con velocidad angular constante v0. La componente radial de la aceleración de la cuenta es cero. La componente radial de su velocidad es v0 cuando r r0. Determine las componentes polares de la velocidad de la cuenta en función de r. Estrategia: La componente radial de la velocidad es vr =
dr , dt
13.151* A partir de datos astronómicos, Johannes Kepler dedujo que la línea desde el Sol hasta un planeta describe áreas iguales en tiempos iguales (figura a). Demuestre que este resultado se deduce del hecho que la componente transversa au de la aceleración de su planeta es cero [cuando r cambia en una cantidad dr y u cambia una cantidad du (figura b), el elemento diferencial resultante del 1 área es dA –2 r(r du)].
y la componente radial de su aceleración es
t2
d 2r
dvr du 2 ar = 2 - r a b = - rv 20. dt dt dt
t2 t
t1 t
A
Usando la regla de la cadena,
A
dvr dr dvr dvr = = vr, dt dr dt dr
t1
la componente radial de la aceleración puede expresarse en la forma dvr v - rv 20. ar = dr r
(a) y
y
v
r dr dA
du r
x
r u
x (b)
Problema 13.149
Problema 13.151
13.150 Si el movimiento de un punto en el plano x–y es tal que su componente transversa de aceleración au es igual a cero, muestre que el producto de su posición radial y su velocidad transversa es constante: rvu constante.
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Problemas 13.152 La barra mostrada gira en el plano x–y con velocidad angular constante v0 12 rad/s. La componente radial de la aceleración del collarín C (en m/s2) está dada como una función de la posición radial en metros por ar 8r. Cuando r 1 m, la componente radial de la velocidad de C es vr 2 m/s. Determine la velocidad de C en términos de coordenadas polares cuando r 1.5 m. Estrategia: Use la regla de la cadena para escribir el primer término en la componente radial de la aceleración como d2r dt2
=
97
13.155 En el ejemplo 13.15, determine la velocidad del seguidor de leva cuando u 135° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas. 13.156* En el ejemplo 13.15, determine la aceleración del seguidor de leva cuando u 135° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas. 13.157 En el mecanismo de leva y seguidor mostrado, la barra ranurada gira con velocidad angular constante v 10 rad/s y la posición radial del seguidor A está determinada por el perfil de la leva en reposo. La trayectoria del seguidor puede describirse mediante la ecuación polar
dvr dr dvr dvr = = vr. dt dr dt dr
y
r 1 0.5 cos 2u pies. Determine la velocidad del seguidor cuando u 30° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas.
v0
C
13.158* En el problema 13.157, determine la aceleración del seguidor de leva cuando u 30° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas.
r y x
Problema 13.152 13.153 El actuador hidráulico de la figura mueve el pasador P hacia arriba con velocidad v 2j (m/s). Determine la velocidad del pasador en términos de coordenadas polares y la velocidad angular de la barra ranurada cuando u 35°. 13.154 El actuador hidráulico de la figura mueve el pasador P hacia arriba con velocidad constante v 2j (m/s). Determine la aceleración del pasador en términos de coordenadas polares y la aceleración angular de la barra ranurada cuando u 35°.
A
r u
x
Problemas 13.157/13.158
y
P
u
x 2m
www.FreeLibros.org Problemas 13.153/13.154
98
Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.159* Las coordenadas cartesianas de un punto P en el plano x–y están relacionadas con las coordenadas polares por las ecuaciones x r cos u, e y r sen u. a) Demuestre que los vectores unitarios i y j están relacionados con los vectores unitarios er y eu por
13.160 El avión mostrado vuela en línea recta a 400 mi/h. El radio de su hélice es de 5 pies y gira a 2000 rpm en dirección contraria a la de las manecillas del reloj, vista desde el frente del avión. Determine la velocidad y la aceleración de un punto en la punta de la hélice en términos de coordenadas cilíndricas (considere que el eje z está orientado como se muestra en la figura).
i cos u er sen u eu y j sen u er cos u eu.
5 pies z
b) Iniciando con la expresión para el vector de posición de P en términos de coordenadas cartesianas, r xi yj, deduzca la ecuación (13.52) para el vector de posición en términos de coordenadas polares. c) Tomando la derivada respecto al tiempo del vector de posición del punto P expresado en términos de coordenadas cartesianas, deduzca la ecuación (13.55) para la velocidad en términos de coordenadas polares. y
Problema 13.160 13.161 Una partícula cargada P en un campo magnético se mueve a lo largo de la trayectoria espiral descrita por r 1 m, u 2z rad, donde z está en metros. La partícula se mueve en la dirección mostrada con velocidad constante v 1 km/s. ¿Cuál es la velocidad de la partícula en términos de coordenadas cilíndricas? y
eu
x er
r
P P
u
z
x
Problema 13.159
1 km/s
Problema 13.161
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13.8 Movimiento relativo
99
13.8 Movimiento relativo ANTECEDENTES Hasta ahora se ha estudiado el movimiento curvilíneo de un punto respecto a un marco de referencia dado. En muchas aplicaciones, es necesario analizar los movimientos de dos o más puntos respecto a un marco de referencia, así como los movimientos de los puntos relativos entre sí. Como un ejemplo simple, considere un pasajero a bordo de un autobús en movimiento. Si el pasajero camina por el pasillo, la posición y la velocidad que son importantes para él son su posición en el autobús y qué tan rápido se está moviendo por el pasillo. Su movimiento subjetivo es relativo al autobús. Pero también tiene una posición y una velocidad relativa a la Tierra. Sería conveniente tener un marco para analizar el movimiento del autobús respecto a la Tierra, el movimiento del pasajero respecto al autobús y el movimiento del pasajero respecto a la Tierra. En esta sección se desarrolla un marco de este tipo, presentando conceptos y terminología que serán usados en muchos contextos a lo largo del libro. Sean A y B dos puntos cuyos movimientos deben describirse respecto a un marco de referencia con origen O. Las posiciones de A y B respecto a O se denotan con rA y rB (figura 13.32). También se desea describir el movimiento del punto A respecto al punto B, y la posición de A respecto a B se denota con rAB. Estos vectores se relacionan mediante rA rB rAB.
A
rA
rA/B B
rB O
Figura 13.32
(13.65)
Expresado en palabras, la posición de A es igual a la posición de B más la posición de A respecto a B. Observe que cuando se dice simplemente “posición de A” o “posición de B,” se trata de sus posiciones respecto a O. La derivada de la ecuación (13.65) con respecto al tiempo es
drA>B drB drA = + . dt dt dt Esta ecuación puede escribirse como vA vB vAB,
(13.66)
donde vA es la velocidad de A respecto a O, vB es la velocidad de B respecto a O, y vAB drABdt es la velocidad de A respecto a B. La velocidad de A es igual a la velocidad de B más la velocidad de A respecto a B. Ahora se toma la derivada de la ecuación (13.66) con respecto al tiempo,
dvA>B dvA dvB = + , dt dt dt y se escribe esta ecuación como aA aB aAB.
(13.67)
El término aA es la aceleración de A respecto a O, aB es la aceleración de B respecto a O, y aAB dvABdt es la aceleración de A respecto a B. La aceleración de A es igual a la aceleración de B más la aceleración de A respecto a B. Aunque las ecuaciones (13.65) a (13.67) y sus conceptos subyacentes tienen una forma muy simple, son extremadamente útiles y se aplican en una variedad de contextos a lo largo del libro.
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100
Capítulo 13 Movimiento de un punto
RESULTADOS A
rA
rA/B B
rB O
Ejemplo activo 13.16
Sean rA y rB las posiciones de dos puntos A y B respecto al origen O de un marco de referencia dado. La posición de A es igual a la posición de B más la posición rA/B de A respecto a B.
rA rB rA/B.
(13.65)
La velocidad de A respecto a O es igual a la velocidad de B respecto a O más la velocidad vA/B de A respecto a B.
vA vB vA/B.
(13.66)
La aceleración de A respecto a O es igual a la aceleración de B respecto a O más la aceleración aA/B de A respecto a B.
aA aB aA/B.
(13.67)
Movimiento de un barco en una corriente ( Relacionado con el problema 13.167) Un barco que se mueve a 5 nudos (millas náuticas por hora) respecto al agua está en una corriente uniforme que fluye hacia el este a 2 nudos. Si el capitán quiere navegar hacia el noroeste respecto a la Tierra, ¿en qué dirección debe dirigir el barco? ¿Cuál será la magnitud resultante de la velocidad del barco respecto a la Tierra? y N
2 nudos
B
A
E
W S
www.FreeLibros.org O
x
13.8 Movimiento relativo
101
Estrategia Considere que el marco de referencia mostrado está fijo con respecto a la Tierra. Se denota al barco con A y se define B como un punto que se encuentra fijo respecto al agua. Es decir, el punto B se mueve hacia el este a 2 nudos. Aplicando la ecuación (13.66) se puede determinar la dirección del movimiento del barco respecto al agua y la magnitud de la velocidad del barco respecto a la Tierra. Solución y
N 5 nudos vA/B
vA
E
W S
45 vB 2 nudos O
x
La velocidad del barco respecto a la Tierra es igual a la velocidad del agua respecto a la Tierra más la velocidad del barco respecto al agua.
vA vB vA/B.
Sea vA la magnitud desconocida de la velocidad del barco vA respecto a la Tierra, que apunta hacia el noroeste.
vA vAcos45 i vAsen45 j.
Use el hecho de que se conoce la magnitud de la velocidad del barco respecto al agua, |vA/B| 5 nudos, para determinar vA. Use la solución de vA para determinar las componentes de la velocidad del barco respecto al agua. Éstas indican que el piloto debe apuntar el barco a arctan (4.39/2.39) 61.4 al oeste del norte, para viajar hacia el noroeste respecto a la Tierra.
vA/B vA vB (vAcos45 2 nudos)i vAsen45 j,
|vA/B| (vAcos45 2 nudos)2 (vAsen45 )2 5 nudos. Resolviendo, se obtiene vA 3.38 nudos.
vA/B (vAcos45 2 nudos)i vAsen45 j, 4.39i 2.39j (nudos).
Problema de práctica Si el piloto desea viajar hacia el norte respecto a la Tierra, ¿a qué dirección debe apuntar el barco? ¿Cuál es la magnitud resultante de la velocidad del barco respecto a la Tierra?
www.FreeLibros.org Respuesta: 23.6° al oeste del norte, 4.58 nudos.
102
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.162 En t 0, se disparan de manera simultánea dos proyectiles A y B desde O con las velocidades y ángulos de elevación iniciales mostrados. Determine la velocidad del proyectil A respecto al proyectil B a) en t 0.5 s y b) en t 1 s.
13.166 El tren sobre la vía circular mostrada viaja a una velocidad constante de 50 pies/s. El tren sobre la vía recta viaja a 20 pies/s y está incrementando su velocidad a 2 pies/s2. En términos del sistema coordenado fijo a la Tierra que se muestra, ¿cuál es la aceleración del pasajero A respecto al pasajero B?
y
10 m/s A B
13.165 El tren sobre la vía circular mostrada viaja a 50 pies/s. El tren sobre la vía recta viaja a 20 pies/s. En términos del sistema coordenado fijo a la Tierra que se muestra, ¿cuál es la velocidad del pasajero A respecto al pasajero B?
10 m/s
60 30
O
y x
Problema 13.162
13.164 En relación con un sistema coordenado fijo en la Tierra, el disco mostrado gira respecto al punto fijo O con una velocidad angular constante de 10 rad/s. ¿Cuál es la aceleración del punto A respecto al punto B en el instante mostrado?
50
0p
ies
13.163 En relación con un sistema coordenado fijo en la Tierra, el disco mostrado gira respecto al punto fijo O a 10 rad/s. ¿Cuál es la velocidad del punto A respecto al punto B en el instante mostrado?
O
B
A
x
20 pies/s 50 pies/s
y A
10 rad/s
B 2 pies
O
x
Problemas 13.165/13.166
Problemas 13.163/13.164
13.167 En el ejemplo activo 13.16, suponga que la velocidad de la corriente se incrementa a 3 nudos fluyendo hacia el este. Si el piloto desea viajar hacia el noroeste respecto a la Tierra, ¿a qué dirección debe apuntar el barco? ¿Cuál es la magnitud resultante de la velocidad del barco respecto a la Tierra?
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Problemas 13.168 Un piloto privado desea volar de una ciudad P a una ciudad Q que está a 200 km directamente al norte de la ciudad P. El avión volará con una velocidad en el aire de 290 km/h. A la altura en la que estará volando el avión, hay un viento del este (es decir, la dirección del viento es hacia el oeste) con una velocidad de 50 km/h. ¿A qué dirección deberá apuntar el piloto al avión para volar directamente de la ciudad P a la ciudad Q? ¿Cuánto tiempo tardará el viaje?
103
13.171* El bote mostrado navega hacia el norte con velocidad v0 6 nudos (millas náuticas por hora) respecto a la Tierra y luego hacia el este a la misma velocidad. El dispositivo indicador de la figura muestra la dirección del viento respecto al bote. Determine la dirección y la magnitud de la velocidad del viento (en nudos) respecto a la Tierra.
Q
v0
N
60
v0 E
W
200 km
50 km/h Indicador
S
N E
W P
S
Problema 13.168 13.169 El río mostrado fluye hacia el norte a 3 m/s. (Suponga que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en línea recta del punto C al punto D en un bote que navega a una velocidad constante de 10 m/s respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar el bote? ¿Cuánto tarda en realizar el cruce?
Problema 13.171
13.170 El río mostrado fluye hacia el norte a 3 m/s. (Suponga que la corriente es uniforme). ¿Cuál es la velocidad mínima del bote respecto al agua, necesaria para navegar en línea recta del punto C al punto D? ¿Cuánto tardará en realizar el cruce? Estrategia: Dibuje un diagrama vectorial mostrando las relaciones de la velocidad del río respecto a la Tierra, la velocidad del bote respecto al río y la velocidad del bote respecto a la Tierra. Observe cuál es la dirección de la velocidad del bote respecto al río que ocasiona que su magnitud sea mínima. 3 m/s D
N
400 m
E
W S C 500 m
www.FreeLibros.org Problemas 13.169/13.170
104
Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas de repaso 13.172 Suponga que usted lanza una pelota directamente hacia arriba a 10 m/s, desde 2 m sobre el suelo. a) ¿Cuál es la altura máxima sobre el suelo que alcanza la pelota? b) ¿Cuánto tiempo después de lanzar la pelota, ésta golpea el suelo? c) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad justo antes de golpear el suelo? 13.173 Suponga que se debe determinar la duración de la luz ámbar en la intersección de una carretera. Los vehículos se aproximan a la intersección a no más de 65 mi/h, los tiempos de reacción de los conductores son de 0.5 s, y los vehículos pueden alcanzar de manera segura una desaceleración de al menos 0.4g. a) ¿Cuánto tiempo debe permanecer la luz ámbar para que los conductores se detengan de manera segura antes de que se encienda la luz roja? b) ¿A qué distancia mínima deben estar los vehículos de la intersección cuando se pone la luz ámbar para poder detenerse de manera segura en la intersección?
13.177 La aceleración de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta es a cv3, donde c es una constante. Si la velocidad del punto es v0, ¿qué distancia se mueve antes de que su velocidad disminuya a v02? 13.178 El agua sale de la boquilla de una manguera a 20° sobre la horizontal y toca la pared en el punto indicado. ¿Cuál es la velocidad del agua cuando sale de la boquilla? Estrategia: Determine el movimiento del agua tratando cada partícula de agua como un proyectil.
20 20 pies
13.174 La aceleración de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta es a 4t 2 m/s2. Cuando t 2 s, su posición es s 36 m, y cuando t 4 s, su posición es s 90 m. ¿Cuál es su velocidad cuando t 4 s? 13.175 Un modelo de cohete despega en línea recta ascendente. Su aceleración durante los 2 s que su motor está encendido es de 25 m/s2. Desprecie la resistencia aerodinámica y determine a) la velocidad máxima del cohete durante el vuelo y b) la altura máxima alcanzada por el cohete. 13.176 En el problema 13.175, si el paracaídas del cohete no se abre, ¿cuál es el tiempo total de vuelo desde el despegue hasta que el cohete toca el suelo?
12 pies
35 pies
Problema 13.178 13.179 En una práctica, un mariscal de campo lanza el balón con velocidad v0 a 45° sobre la horizontal. En el mismo instante, el receptor que se encuentra a 20 pies frente a él, empieza a correr en línea recta a 10 pies/s y recibe el balón. Suponga que el balón se lanzó y recibió a la misma altura sobre el suelo. ¿Cuál es la velocidad v0? v0 10 pies/s
45
20 pies
Problema 13.179
www.FreeLibros.org Problemas 13.175/13.176
Problemas de repaso 13.180 La velocidad v 2 m/s es constante. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto P cuando x 0.25 m? 13.181 La velocidad v 2 m/s es constante. ¿Cuál es la aceleración del punto P en términos de las componentes normal y tangencial cuando x 0.25 m? 13.182 La velocidad v 2 m/s es constante. ¿Cuál es la aceleración del punto P en términos de las coordenadas polares cuando x 0.25 m? y y 0.2 sen px
105
13.184 En el mecanismo de leva y seguidor que se muestra en la figura, la barra ranurada gira con velocidad angular constante v 12 rad/s, y la posición radial del seguidor A está determinada por el perfil elíptico de la leva en reposo. La barra ranurada está articulada a una distancia h 0.2 m a la izquierda del centro de la leva circular. El seguidor se mueve en una trayectoria circular de 0.42 m de radio. Determine la velocidad del seguidor cuando u 40° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas. 13.185* En el problema 13.184, determine la aceleración del seguidor cuando u 40° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas. y
P x r
v
1m
A
u
Problemas 13.180–13.182 13.183 Un punto P se mueve a lo largo de la trayectoria espiral r (0.1)u pies, donde u está en radianes. La posición angular u 2t rad, donde t está en segundos, y r 0 en t 0. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de P en t 1 s. P r u
Problema 13.183
x
h
Problemas 13.184/13.185
Proyecto de diseño Diseñe y realice experimentos para medir la aceleración debida a la gravedad. Galileo (1564-1642) lo hizo al medir los movimientos de objetos que caían. Use este método, pero también trate de imaginar otros enfoques que podrían resultar más exactos. Investigue qué tan repetibles son sus medidas. Escriba un informe breve describiendo sus experimentos, donde analice las posibles fuentes de error y presente sus resultados.
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CAPÍTULO
14 Fuerza, masa y aceleración Hasta ahora se han analizado los movimientos de cuerpos sin considerar las fuerzas que los causan. En este capítulo se relaciona la causa con el efecto: dibujando el diagrama de cuerpo libre de un objeto para identificar las fuerzas que actúan sobre él, se puede usar la segunda ley de Newton para determinar su aceleración. De manera alternativa, cuando se conoce la aceleración de un objeto, se puede usar la segunda ley de Newton para obtener información acerca de las fuerzas que actúan sobre él.
La fuerza normal ejercida por la nieve sobre los esquís le da al esquiador una componente normal de aceleración, que resulta en su trayectoria curva.
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108
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.1 Segunda ley de Newton ANTECEDENTES Newton estableció que la fuerza total sobre una partícula es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal, que es el producto de su masa y de su velocidad:
f =
d 1mv2. dt
Si la masa de la partícula es constante, la fuerza total es igual al producto de su masa y de su aceleración:
f = m
dv = ma. dt
(14.1)
En el capítulo 12 se indicó que la segunda ley precisa los términos fuerza y masa. Una vez elegida una unidad de masa, la unidad de fuerza se define como la fuerza necesaria para dar a la unidad de masa una aceleración de magnitud unitaria. Por ejemplo, el newton, que es la unidad de fuerza en el SI, es la fuerza necesaria para imprimir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro sobre segundo al cuadrado. En principio, la segunda ley da el valor de cualquier fuerza y la masa de cualquier cuerpo. Sometiendo una masa de un kilogramo a una fuerza arbitraria y midiendo la aceleración, se puede encontrar con ayuda de la segunda ley la dirección de la fuerza y su magnitud en newtons. Sometiendo una masa arbitraria a una fuerza de un newton y midiendo la aceleración, es posible resolver la segunda ley para el valor de la masa en kilogramos. Si se conocen la masa de una partícula y la fuerza total que actúa sobre ella, la segunda ley determina su aceleración. En el capítulo 13 se describió cómo determinar la velocidad, la posición y la trayectoria de un punto si se conoce su aceleración. Por lo tanto, con la segunda ley se puede determinar el movimiento de una partícula si se conoce la fuerza total que actúa sobre ella, o se puede encontrar la fuerza total cuando se conoce el movimiento.
Ecuación de movimiento para el centro de masa La segunda ley de Newton se postula para una partícula, o pequeño elemento de materia, pero una ecuación con exactamente la misma forma describe el movimiento del centro de masa de un objeto arbitrario. Se puede demostrar que la fuerza externa total sobre un cuerpo cualquiera es igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa. Para ello se considera un sistema arbitrario de N partículas. Sea mi la masa de la i-ésima partícula, y sea ri su vector de posición (figura 14.1a). Sea m la masa total de las partículas; es decir,
m = a mi, i
donde la sumatoria con subíndice i significa “la suma sobre i desde 1 hasta N”. La posición del centro de masa del sistema es
www.FreeLibros.org r =
a mi ri i
m
.
14.1 Segunda ley de Newton
109
r O
ri
E af ij f i
mi
j
O
mi
ri (b)
(a)
Figura 14.1 (a) División de un objeto en partículas. El vector ri es el vector de posición de la i-ésima partícula y r es el vector de posición del centro de masa del objeto. (b) Fuerzas sobre la i-ésima partícula.
Derivando dos veces esta expresión se obtiene
a mi i
d 2ri dt 2
= m
d 2r = ma, dt 2
(14.2)
donde a es la aceleración del centro de masa del objeto. La i-ésima partícula puede estar sometida a fuerzas ejercidas por las otras partículas. Sea fij la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre la j-ésima. La tercera ley de Newton establece que la j-ésima partícula ejerce sobre la i-ésima partícula una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta: fji fij. Si se denota la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total que ejercen otros objetos sobre la i-ésima partícula) con f Ei , la segunda ley de Newton para la i-ésima partícula es (figura 14.1b)
E a f ij + f i = mi j
d 2ri dt 2
.
Esta ecuación se puede escribir para cada partícula del sistema. Sumando las ecuaciones resultantes de i 1 a N, se obtiene
d 2ri E f + f = m ij i i a a dt 2 . aa i j i i
(14.3)
El primer término del lado izquierdo, que es la suma de las fuerzas internas sobre el sistema, es cero por la tercera ley de Newton:
Á = 0. a a fij = f12 + f21 + f13 + f31 + i
j
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (14.3) es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema. Denotando esta suma con F y usando la ecuación (14.2) se concluye que la suma de las fuerzas externas es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de masa:
www.FreeLibros.org ©F = ma.
(14.4)
110
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Como esta ecuación es idéntica en forma al postulado de Newton para una sola partícula, por comodidad también se llama segunda ley de Newton. Observe que al obtener la ecuación (14.4) no se hicieron supuestos que restringieran la naturaleza del sistema de partículas ni su estado de movimiento. La suma de las fuerzas externas sobre un objeto o conjunto de objetos, sólidos, líquidos o gaseosos, es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de masa. Por ejemplo, suponga que el transbordador espacial está en órbita y aún tiene combustible en sus tanques. Si se encienden sus motores, el combustible empieza a agitarse en forma complicada, afectando el movimiento del transbordador debido a las fuerzas internas entre el combustible y la nave. Sin embargo, puede usarse la ecuación (14.4) para determinar la aceleración exacta del centro de masa del transbordador, incluyendo el combustible que contiene, y por ende obtener la velocidad, la posición y la trayectoria del centro de masa.
Marcos de referencia inerciales Cuando se analizó el movimiento de un punto en el capítulo 13, se especificó su posición, velocidad y aceleración del punto respecto a un marco de referencia arbitrario. Pero la segunda ley de Newton no se puede expresar en términos de cualquier marco de referencia. Suponga que ninguna fuerza actúa sobre una partícula y que se mide su movimiento respecto a determinado marco de referencia, y se determina que su aceleración es cero. En términos de este marco de referencia, la segunda ley de Newton concuerda con la observación realizada aquí. Pero si después se mide el movimiento de la partícula respecto a un segundo marco de referencia que tiene una aceleración o rotación respecto al primero, se encontraría que su aceleración no es cero. En términos del segundo marco de referencia, la segunda ley de Newton, por lo menos en la forma dada por la ecuación (14.4), no predice el resultado correcto. Un ejemplo bien conocido es una persona que aborda un elevador. Suponga que usted realiza un experimento en el que se encuentra dentro de un elevador parado sobre una báscula que mide su peso (figura 14.2a). Las fuerzas que actúan sobre usted son su peso W y la fuerza N ejercida sobre usted por la báscula (figura 14.2b). Usted ejerce una fuerza igual y opuesta N sobre la báscula que es la fuerza que ésta mide. Si el elevador está en reposo, se observa que la báscula registra su peso, N W. La suma de las fuerzas sobre usted es cero, y la segunda ley de Newton establece de manera correcta que su aceleración respecto al elevador es cero. Si el elevador tiene una aceleración a hacia arriba (figura 14.2c), usted sabe que se sentirá más pesado y, de hecho, observa que la báscula registra una fuerza más grande que su peso, N W. En términos de un marco de referencia fijo en la tierra. La segunda ley de Newton relaciona de manera correcta las fuerzas que actúan sobre usted con su aceleración: F N W ma. Pero suponga que se usa el elevador como marco de referencia. Entonces la suma de las fuerzas que actúan sobre usted no es igual a cero, por lo que la segunda ley de Newton establece que usted se está acelerando respecto al elevador. sin embargo, usted se encuentra en reposo respecto al elevador. Así, expresada en términos de este marco de referencia acelerado, la segunda ley de Newton da un resultado erróneo. Newton estableció que la segunda ley debe expresarse en términos de un marco de referencia sin giro y sin aceleración respecto a las “estrellas fijas”. Aun si las estrellas estuvieran fijas esto no sería práctico, ya que virtualmente todo marco de referencia conveniente acelera, gira o hace ambas cosas debido al movimiento de la Tierra. La segunda ley se puede aplicar rigurosamente usando marcos de referencia sometidos a giros y aceleraciones, mediante la consideración apropiada de la aceleración y la rotación. En el capítulo 17 se explicará cómo hacerlo
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14.1 Segunda ley de Newton
111
W N (a) (b) a
(c)
Figura 14.2 (a) Dentro de un elevador parado sobre una báscula (b) Diagrama de cuerpo libre de su cuerpo. (c) Aceleración hacia arriba del elevador.
pero, por ahora, es necesario proporcionar cierta guía de cuándo se puede aplicar la segunda ley de Newton. Por fortuna, en casi todas las aplicaciones “terrestres” se puede aplicar la segunda ley de Newton en la forma dada por la ecuación (14.4) en términos de un marco de referencia fijo respecto a la Tierra, y obtener respuestas suficientemente precisas. Por ejemplo, si se tira un pedazo de tiza a través de un cuarto, con un sistema coordenado fijo respecto al cuarto se puede predecir su movimiento. Mientras la tiza está en movimiento, la Tierra gira y, con ella, el sistema coordenado. Pero, como el vuelo de la tiza es breve, el efecto en la predicción es muy pequeño (la Tierra gira con lentitud: su velocidad angular es la mitad de la de la aguja horaria de un reloj). Por lo general, la ecuación (14.4) se puede aplicar usando un marco de referencia que se traslade con velocidad constante respecto a la Tierra. Por ejemplo, si dos personas juegan tenis sobre la cubierta de un barco que se mueve a velocidad constante, la ecuación (14.4) puede expresarse en términos de un marco de referencia fijo respecto al barco para analizar el movimiento de la pelota. Pero ese marco de referencia “fijo en el barco” no se puede usar si el barco está girando o modificando su velocidad. Se dice que un marco de referencia en el que se puede aplicar la ecuación (14.4) es newtoniano o inercial. En el capítulo 17 se analizarán los marcos de referencia inerciales a mayor detalle. Por ahora, se debe suponer que los ejemplos y problemas están expresados en términos de marcos de referencia inerciales.
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112
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
RESULTADOS
a
F
La segunda ley de Newton implica que la suma de las fuerzas externas sobre cualquier objeto es igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa respecto a un marco de referencia inercial. En muchas situaciones, un marco de referencia (sistema coordenado) que está fijo con respecto a la Tierra puede asumirse como inercial.
F ma.
(14.4)
En unidades SI, usualmente la fuerza se expresa en newtons, la masa en kilogramos y la aceleración en metros por segundo al cuadrado. En unidades de uso común en Estados Unidos, por lo general la fuerza se expresa en libras, la masa en slugs y la aceleración en pies por segundo al cuadrado.
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un objeto, se pueden identificar las fuerzas externas que actúan sobre él y usar la segunda ley de Newton para determinar la aceleración del objeto. De manera inversa, si se conoce el movimiento de un objeto, se puede emplear la segunda ley de Newton para determinar la fuerza externa total. En particular, si se sabe que la aceleración de un objeto en una dirección particular es igual a cero, la suma de las fuerzas externas en esa dirección debe ser cero. Si se expresa la suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto de masa m y la aceleración de su centro de masa en términos de sus componentes en un marco de referencia cartesiano (figura 14.3), la segunda ley de Newton establece que
©F = ma,
www.FreeLibros.org o bien
1©Fx i + ©Fy j + ©Fz k2 = m1ax i + ay j + az k2.
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta y
113
y
Fy Fx
Fz
ay
x
az
z
x ax
z (a)
(b)
Figura 14.3 (a) Componentes cartesianas de la suma de las fuerzas sobre un objeto. (b) Componentes de la aceleración del centro de masa del objeto.
Despejando las componentes x, y y z se obtienen tres ecuaciones escalares de movimiento:
©Fx = max,
©Fy = may,
©Fz = maz.
(14.5)
La fuerza total en cada dirección coordenada es igual al producto de la masa por la componente de la aceleración en esa dirección. Si el movimiento de un objeto se limita al plano x-y, az 0, por lo que la suma de las fuerzas en la dirección z es cero. Así, cuando el movimiento de un objeto se limita a un plano fijo, la componente de la fuerza total normal al plano es igual a cero. Para un movimiento en línea recta a lo largo del eje x (figura 14.4a), las ecuaciones (14.5) son
©Fx = max,
©Fy = 0, y ©Fz = 0.
Se observa que en el movimiento en línea recta, las componentes de la fuerza total perpendicular a la línea son iguales a cero, y la componente de la fuerza total tangente a la línea es igual al producto de la masa por la aceleración a lo largo de la línea (figura 14.4b).
y
y
Fy 0 z
z
Fx
ax Fz 0 x (a)
Figura 14.4 (a) Aceleración de un objeto en movimiento a lo largo de una línea recta sobre el eje x. (b) Las componentes y y z de la fuerza total que actúa sobre el objeto son iguales a cero.
x (b)
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114
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.1
Movimiento en línea recta ( Relacionado con el problema 14.1) La caja de 100 lb que se muestra en la figura se suelta desde el reposo sobre la superficie inclinada en el tiempo t 0. Los coeficientes de fricción entre la caja y la superficie inclinada son ms 0.2 y mk 0.15. ¿A qué velocidad se estará moviendo la caja en t 1 s?
20
Estrategia Primero es necesario determinar si la caja se desliza al soltarla. Suponiendo que permanece en reposo, se puede obtener la fuerza de fricción necesaria para mantener la caja en equilibrio y determinar si ésta excede la fuerza de fricción estática máxima que soportarán las superficies. Si la caja se desliza, puede usarse la segunda ley de Newton para determinar su aceleración hacia abajo sobre la superficie inclinada. Una vez que se conoce la aceleración, ésta se puede integrar para determinar la velocidad de la caja como una función del tiempo. Solución y
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja. Las fuerzas externas son el peso de la caja y las fuerzas normal y de fricción ejercidas por la superficie inclinada.
20 W
f N
x
Suponiendo que la caja está en reposo, use las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza de fricción necesaria para el equilibrio y la fuerza normal.
Fx W sen 20 f 0, Fy N W cos 20 0. Resolviendo se obtiene f W sen 20 (100 lb) sen 20 34.2 lb, N W cos 20 (100 lb) cos 20 94.0 lb.
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14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta
Calcule la fuerza de fricción estática máxima que soportarán las superficies. Este valor es menor que la fuerza de fricción necesaria para el equilibrio, por lo tanto la caja se desliza.
115
msN (0.2)(94.0 lb) 18.8 lb.
Fx W sen 20 mkN max : W sen 20 mkN , m La masa de la caja es ax
Aplique la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de la caja. La magnitud de la fuerza de fricción sobre la caja deslizante es mkN.
m
W 100 lb 3.11 slug, g 32.2 pies/s2
entonces la aceleración es ax
(100 lb) sen 20 (0.15)(94.0 lb) 6.47 pies/s2. 3.11 slug
y
ax
x
ax Integre para determinar la velocidad de la caja en función del tiempo. En t 1 s, la caja se mueve a 6.47 pies/s.
vx
L 0
dvx 6.47 pies/s2 , dt t
dvx 6.47 dt, L 0 vx 6.47t pies/s.
Problema de práctica Suponga que la superficie inclinada es lisa (se dice que una superficie es “lisa” cuando ejerce una fuerza de fricción insignificante). ¿A qué velocidad se estará moviendo la caja en t 1 s?
www.FreeLibros.org Respuesta: 11.0 piess.
116
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.2
Coordenadas cartesianas ( Relacionado con el problema 14.10) El movimiento del objeto de 2 kg que se muestra en la figura está limitado al plano x-y. La fuerza total sobre el objeto está dada como una función del tiempo por © F = 6 i + 2t j (N). En t 0, la posición del objeto es r = 5 i + 3 j (m) y su velocidad es v = 12 i + 5 j (m/s). ¿Cuál es la posición del objeto en t = 3 s?
y
F
x Estrategia Se puede usar la segunda ley de Newton para determinar la aceleración del objeto en función del tiempo, para después integrar y así encontrar su velocidad y su posición como funciones del tiempo. Solución
Use la segunda ley de Newton para determinar las componentes de la aceleración.
Integre para determinar vx, usando la condición vx 12 m/s en t 0.
ax
6N Fx 3 m/s2 , m 2 kg
ay
2t N Fy t m/s2 . m 2 kg
ax
dvx 3 m/s2 , dt
vx
L 12
t
dvx 3 dt, L 0 vx 12 3t m/s.
vx Integre para determinar x, usando la condición x 5 m en t 0.
dx dt
12 3t m/s, t
x
L 5
dx
L 0
(12 3t) dt,
www.FreeLibros.org x 5 12t
3 2 t m. 2
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta
dvy t m/s2. dt
ay Integre para determinar vy, usando la condición vy 5 m/s en t 0.
vy
t
dvy
L 5
L 0
t dt,
vy 5
vy
L 3
1 2 2 t
m/s.
dy 1 5 2 t2 m/s. dt
y
Integre para determinar y, usando la condición y 3 m en t 0.
117
t
dy
L 0
5 t dt,
y 3 5t
1 2 2
1 3 6 t
m.
3
xt3 s 5 12(3) 2 (3)2 54.5 m,
Determine la posición en t 3 s.
yt3 s 3 5(3)
1 6
(3)3 22.5 m.
Problema de práctica El movimiento del objeto de 10 lb está restringido al plano x-y. La posición del objeto está dada como una función del tiempo por r 8t2i t3j (pies). ¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre el objeto en t = 4 s?
y
x
www.FreeLibros.org Respuesta: ©F = 4.97i + 7.45 j (lb).
118
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Objetos conectados en movimiento rectilíneo ( Relacionado con el problema 14.28)
Ejemplo 14.3
Las dos cajas de la figura se sueltan desde el reposo. Sus masas son mA = 40 kg y mB = 30 kg, y los coeficientes de fricción entre la caja A y la superficie inclinada son ms = 0.2 y mk = 0.15. ¿Cuál es la aceleración de las cajas? A
20
B
Estrategia Primero es necesario determinar si A se desliza. Se supondrá que las cajas permanecen en reposo y se verá si la fuerza de fricción necesaria para el equilibrio excede a la fuerza de fricción máxima. Si ocurre el deslizamiento, se puede determinar la aceleración resultante dibujando los diagramas de cuerpo libre de las cajas y aplicándoles de manera individual la segunda ley de Newton. Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja A y se introduce un sistema coordenado. Si se supone que la caja no se desliza, son aplicables las siguientes ecuaciones de equilibrio:
y
T
20
Fx T mAg sen 20° f 0;
©Fy = N - mA g cos 20° = 0.
m Ag f N
En la primera ecuación, la tensión T es igual al peso de la caja B; por lo tanto, la fuerza de fricción necesaria para el equilibrio es x
(a) Diagrama de cuerpo libre de la caja A.
f mBg mAg sen 20° (30 kg)(9.81 m/s2) (40 kg)(9.81 m/s2) sen 20°
= 429 N. La fuerza normal N = mA g cos 20°, por lo que la fuerza de fricción máxima que la superficie soportará es fmáx msN
= 10.223140 kg219.81 m/s22 cos 20°4
www.FreeLibros.org = 73.7 N.
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta
119
Por consiguiente, la caja A se desliza y la fuerza de fricción es f = mk N. En la figura b se muestra la aceleración de la caja hacia abajo del plano. Su aceleración perpendicular al plano es igual a cero (es decir, ay = 0). Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene Fx T mAg sen 20° mkN mAax
©Fy = N - mA g cos 20° = 0. y y T ax mBg
x
x
(b) Aceleración de la caja.
(c) Diagrama de cuerpo libre de caja B.
En este caso, no se conoce la tensión T porque la caja B no está en equilibrio. En las figuras c y d se muestran el diagrama de cuerpo libre de la caja B y la aceleración vertical. La ecuación de movimiento es
©Fx = mB g - T = mB ax. (En términos de los dos sistemas coordenados que se usaron, las dos cajas tienen la misma aceleración ax). Así, al aplicar la segunda ley de Newton a ambas cajas, se obtuvieron tres ecuaciones en términos de las incógnitas T, N y ax. Resolviendo para ax se obtiene ax = 5.33 m/s2. y T
ax x
(d) Aceleración vertical de la caja B.
T
(e) Se supone que la tensión es igual en ambos lados de la polea.
Razonamiento crítico Observe que se supuso que la tensión en el cable es la misma en cada lado de la polea (figura e). De hecho, las tensiones deben ser diferentes porque se necesita un momento para ocasionar una aceleración angular a la polea. Por ahora, el único recurso con que se cuenta es suponer que la polea es suficientemente ligera para que el momento necesario para acelerarla sea insignificante. En el capítulo 18 se incluye el análisis del movimiento angular de la polea en problemas de este tipo y se obtienen soluciones más realistas.
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120
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.4
Aplicación al movimiento en línea recta ( Relacionado con el problema 14.45) El avión que se muestra en la figura aterriza sobre el portaviones con una velocidad horizontal de 50 m/s respecto al barco. El mecanismo de detención ejerce una fuerza horizontal de magnitud Tx = 10,000v newtons (N), donde v es la velocidad del avión en metros por segundo. La masa del avión es de 6500 kg. a) ¿Qué fuerza horizontal máxima ejerce el mecanismo de detención sobre el avión? b) Si las otras fuerzas horizontales pueden despreciarse, ¿qué distancia recorre el avión antes de detenerse?
Estrategia a) Como el avión comienza a desacelerar cuando entra en contacto con el mecanismo
de detención, la fuerza máxima se presenta durante ese contacto, es decir cuando v = 50 m/s. b) La fuerza horizontal ejercida por el mecanismo de detención es igual al producto de la masa del avión por su aceleración. Una vez conocida la aceleración, es posible integrar para determinar la distancia requerida para que el avión se detenga. Solución a) En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del avión y se introduce un sistema coordenado. Las fuerzas Tx y Ty son las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida por el mecanismo de detención, y N es la fuerza vertical sobre el tren y
mg
x Tx Ty
N
www.FreeLibros.org (a) Introducción de un sistema coordenado con el eje x paralelo a la fuerza horizontal.
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta
121
de aterrizaje. La fuerza horizontal sobre el plano es ©Fx = - Tx = - 10,000v N. La magnitud de la fuerza máxima es
10,000v = 110,00021502 = 500,000 N, o bien 112,400 lb. b) En términos de la componente de aceleración horizontal del plano (figura b), se
obtiene la ecuación de movimiento:
©Fx = max: - 10,000vx = max. y
ax
x
(b) Aceleración horizontal del avión.
La aceleración del avión es una función de su velocidad. Se usa la regla de la cadena para expresar la aceleración en términos de la derivada respecto a x:
max = m
dvx dvx dx dvx v = - 10,000vx. = m = m dt dx dt dx x
Ahora se separan variables y se integra, definiendo x 0 como la posición en la que el avión entra en contacto con el mecanismo de detención: 0
L50
x
m dvx = -
L0
10,000 dx.
Evaluando las integrales y despejando x, se obtiene
x =
1502165002 50m = = 32.5 m. 10,000 10,000
Razonamiento crítico La fuerza ejercida por el mecanismo de detención depende de la velocidad del avión, lo que resultó en una aceleración que depende de dicha velocidad. El uso que se le dio a la regla de la cadena para determinar la velocidad como una función de la posición cuando la aceleración es una función de la velocidad se analiza en la sección 13.3.
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122
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Problemas 14.1 En el ejemplo activo 14.1, suponga que el coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie inclinada es mk = 0.12. Determine la distancia que se ha movido la caja sobre la superficie inclinada cuando t = 1 s.
14.6 La superficie inclinada que se muestra en la figura es lisa. La velocidad de la caja de 14 kg es cero cuando se somete a una fuerza horizontal constante F 20 N. ¿Cuál es la velocidad de la caja dos segundos después?
14.2 El helicóptero Sikorsky UH-60A tiene una masa de 9300 kg. Despega verticalmente con su rotor ejerciendo un empuje constante hacia arriba de 112 kN. a) ¿A qué velocidad se estará elevando el helicóptero 3 s después de haber despegado? b) ¿A qué altura se habrá elevado 3 s después del despegue? Estrategia: Asegúrese de dibujar el diagrama de cuerpo libre del helicóptero.
14.7 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 14 kg y la superficie inclinada de la figura es mk = 0.1. La velocidad de la caja es cero cuando se somete a una fuerza horizontal constante F 20 N. ¿Cuál es la velocidad de la caja dos segundos después?
F
14.3 El helicóptero Sikorsky UH-60A tiene una masa de 9300 kg. Despega verticalmente en t 0. El piloto presiona el acelerador de manera que el empuje hacia arriba de su motor (en kN) está dado como una función del tiempo en segundos por T = 100 + 2t2. a) ¿A qué velocidad se estará elevando el helicóptero 3 s después de haber despegado? b) ¿A qué altura se habrá elevado 3 s después del despegue?
Problemas 14.2/14.3
20
Problemas 14.6/14.7
14.8 El esquiador de 170 lb que se muestra en la figura desciende por una pendiente de 25°. En el instante mostrado, se mueve a 40 piess. El coeficiente de fricción cinética entre sus esquís y la nieve es mk = 0.08. Si él no hace intentos por verificar su velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a 60 piess? 14.9 El esquiador de 170 lb que se muestra en la figura desciende por una pendiente de 25°. En el instante mostrado, se mueve a 40 piess. El coeficiente de fricción cinética entre sus esquís y la nieve es mk = 0.08. La resistencia aerodinámica ejerce una fuerza sobre el esquiador con magnitud 0.015v2, donde v es la magnitud de su velocidad. Si él no hace intentos por verificar su velocidad, ¿cuánto tiempo tardará en llegar a 60 piess?
14.4 La superficie horizontal mostrada es lisa. La caja de 30 lb está en reposo cuando se aplica la fuerza constante F. Dos segundos después, la caja se mueve hacia la derecha a 20 piess. Determine F. 14.5 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 30 lb y la superficie horizontal mostrada es mk = 0.1. La caja está en reposo cuando se aplica la fuerza constante F. Dos segundos después, la caja se mueve hacia la derecha a 20 piess. Determine F.
F 20
www.FreeLibros.org Problemas 14.4/14.5
Problemas 14.8/14.9
Problemas 14.10 La fuerza total externa sobre el objeto de 10 kg que se muestra en la figura es constante e igual a © F = 90i - 60j + 20k (N). En el tiempo t = 0, su velocidad es v = - 14i + 26j + 32k (m/s). ¿Cuál es su velocidad en t = 4 s? (Vea el ejemplo activo 14.2). 14.11 La fuerza total externa sobre el objeto de 10 kg que se muestra en el problema 14.10 está dada como una función del tiempo por ©F = 1-20t + 902i - 60j + 110t + 402k 1N2. En el tiempo t = 0, su posición es r = 40i + 30j - 360k 1m2 y su velocidad es v = - 14i + 26j + 32k 1m/s2. ¿Cuál es su posición en t = 4 s?
14.14 En el instante mostrado, la componente horizontal de aceleración del avión de 26,000 lb debida a la suma de las fuerzas externas que actúan sobre él es de 14 piess2. Si el piloto aumenta repentinamente la magnitud de la fuerza de empuje T en 4000 lb, ¿cuál es la componente horizontal de la aceleración del avión inmediatamente después de eso? y T
14.12 La posición del objeto de 10 kg que se muestra en la figura está dada como una función del tiempo por r = 120t3 - 3002i + 60t2j + 16t4 - 40t22k 1m2. ¿Cuál es su velocidad en t = 2 s? y
123
15 x
Problema 14.14
F
x
14.15 En el instante mostrado, el cohete viaja hacia arriba a 100 ms. Su masa es de 90,000 kg y la fuerza de empuje de su motor es de 2400 kN. El arrastre aerodinámico ejerce una fuerza de resistencia (en newtons) de magnitud 0.8v2, donde v es la magnitud de la velocidad. ¿Cuánto tarda el cohete en llegar a una velocidad de 200 ms?
z
Problemas 14.10–14.12 14.13 La fuerza total ejercida sobre el vehículo de lanzamiento de 80,000 lb que se muestra en la figura por el empuje de su motor, su peso y las fuerzas aerodinámicas durante el intervalo de tiempo desde t = 2 s hasta t = 4 s está dada como una función del tiempo por © F = (2000 - 400t2)i + (5200 + 440t)j + (800 + 60t2)k (lb). En t = 2 s, su velocidad es v 12i 220j 30k (pies/s). ¿Cuál es su velocidad en t = 4 s?
Problema 14.15
www.FreeLibros.org Problema 14.13
124
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.16 Un carrito de 2 kg que contiene 8 kg de agua se encuentra inicialmente en reposo (figura P.14.16a). El centro de masa del “objeto” consistente en el carrito y el agua está en x 0. El carrito está sometido a la fuerza dependiente del tiempo que se muestra en la figura P14.16b, donde F0 = 5 N y t0 = 2 s. Suponga que el carrito no derrama agua y que las fuerzas horizontales ejercidas por el piso sobre las ruedas son insignificantes. a) ¿Se conoce la aceleración del carrito durante el periodo 0 6 t 6 t0?
14.17 El peso combinado de la motocicleta y su conductor es de 360 lb. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y el camino es mk = 0.8. El motociclista parte desde el reposo, girando la rueda trasera. Ignore la fuerza horizontal ejercida sobre la rueda frontal por el camino. En dos segundos, la motocicleta se desplaza 35 pies. ¿Cuál fue la fuerza normal entre la rueda trasera y el camino?
b) ¿Se conoce la aceleración del centro de masa del “objeto” consistente en el carrito y el agua durante el periodo 0 6 t 6 t0? c) ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa del “objeto” cuando t 7 2t0?
y
Problema 14.17
x (a)
14.18 La masa de la pala B mostrada es de 180 kg. Desde t 0 hasta t 2 s, las coordenadas x e y del centro de masa de la pala son
F
x = - 0.2t 3 + 0.05t 2 + 10 m,
F0
y = 0.1t 2 + 0.4t + 6 m. t
F0
t0
Determine las componentes x e y de la fuerza ejercida sobre la pala por sus soportes en t 1 s.
2t0
y B
y
F
x (b)
Problema 14.16
x
Problema 14.18
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Problemas 14.19 Durante un vuelo de prueba un helicóptero de 9000 kg parte desde el reposo en t 0, la aceleración de su centro de masa des-de t 0 y t 10 s es
125
14.23 Las coordenadas en metros del centro de masa del avión deportivo de 360 kg que se muestra en la figura, respecto a un marco de referencia fijo en la tierra durante un intervalo de tiempo, son
a = 0.6ti + 11.8 - 0.36t2j 1m/s22.
x = 20t - 1.63t2,
¿Cuál es la magnitud de la fuerza externa total sobre el helicóptero (incluido su peso) en t 6 s? 14.20 Los ingenieros que realizan la prueba descrita en el problema 14.19 quieren expresar la fuerza total sobre el helicóptero en t 6 s en términos de tres fuerzas: el peso W, una componente T tangente a la trayectoria y una componente L normal a la trayectoria. ¿Cuáles son los valores de W, T y L? y
y = 35t - 0.15t3, y z = - 20t - 1.38t2, donde t es el tiempo en segundos. El eje y apunta hacia arriba. Las fuerzas ejercidas sobre el avión son su peso, el vector de empuje T ejercido por su motor, el vector de fuerza de sustentación L y el vector de la fuerza de arrastre D. En t 4 s, determine T + L + D. 14.24 La fuerza en newtons que sobre el avión deportivo de 360 kg (mostrado en el problema 14.23) ejercen su motor, la fuerza de sustentación y la fuerza de arrastre durante un intervalo de tiempo es
L
T + L + D = 1 - 1000 + 280t2i + 14000 - 430t2j
T
+ 1720 + 200t2k,
t
yec
Tra
oria W x
Problemas 14.19/14.20
donde t es el tiempo en segundos. Si las coordenadas del centro de masa del avión son (0, 0, 0) y su velocidad es 20i 35j 20k (ms) en t = 0, ¿cuáles son las coordenadas del centro de masa en t = 4 s?
14.21 En el instante mostrado, la velocidad del avión de v = 270 i 1m/s2. Las fuerzas que actúan sobre el avión son su peso, el empuje T = 110 kN, la sustentación L = 260 kN, y el arrastre D = 34 kN. (El eje x es paralelo a la trayectoria del avión). Determine la magnitud de la aceleración del avión.
y
14.22 En el instante mostrado, la velocidad del avión de 11,000 kg es v = 300 i 1m/s2. La razón de cambio de la magnitud de la velocidad es dv>dt = 5 m/s2. El radio de curvatura de la trayectoria del avión es de 4500 m, y el eje y apunta hacia el lado cóncavo de la trayectoria. La fuerza de empuje es T = 120,000 N. Determine las fuerzas de sustentación L y de arrastre D.
x
y z L
Problemas 14.23/14.24
T x 15 15 Trayectoria Horizontal
D
www.FreeLibros.org mg
Problemas 14.21/14.22
126
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.25 El manipulador robótico de la figura está programado de manera que x 40 24t2 mm, y 4t3 mm, y z 0 durante el intervalo de tiempo de t 0 a t 4 s. El eje y apunta hacia arriba. ¿Cuáles son las componentes x e y de la fuerza total ejercida por las tenazas del manipulador sobre la pieza A de 2 kg cuando t 3 s?
14.28 Las dos masas mostradas se sueltan desde el reposo. ¿A qué velocidad se estarán moviendo cuando t 0.5 s? (Vea el ejemplo 14.3).
14.26 El manipulador robótico de la figura está programado de manera que se encuentra en reposo en t 0 y las componentes de la aceleración de A son ax = 400 - 0.8vx mm/s2 y ay = 200 - 0.4vy mm/s2 desde t = 0 a t = 2 s, donde vx y vy son las componentes de la velocidad en mms. El eje y apunta hacia arriba. ¿Cuáles son las componentes x e y de la fuerza total ejercida por las tenazas del manipulador sobre la pieza A de 2 kg cuando t 1 s? y
2 kg
5 kg
Problema 14.28 14.29 Los dos pesos mostrados se sueltan desde el reposo. La superficie horizontal es lisa. a) ¿Cuál es la tensión en el cable después se soltar los pesos? b) ¿A qué velocidad se estarán moviendo los pesos un segundo después de haberlos soltado?
A
y
x
14.30 Los dos pesos mostrados se sueltan desde el reposo. El coeficiente de fricción cinética entre la superficie horizontal y el peso de 5 lb es mk = 0.18. a) ¿Cuál es la tensión en el cable después de soltar los pesos? b) ¿A qué velocidad se estarán moviendo los pesos un segundo después de haberlos soltado?
x
Problemas 14.25/14.26 14.27 En el deporte del curling, la idea es deslizar una “roca” con peso de 44 lb hacia el centro de la meta localizada a 31 yardas del punto de lanzamiento. En términos del sistema coordenado que se muestra en la figura, el punto de lanzamiento está en x 0, y 0. Suponga que un tiro se detiene en x 31.0 yardas, y 1 yarda. Suponga que el coeficiente de fricción cinética es constante e igual a mk = 0.01. ¿Cuáles fueron las componentes x e y de la velocidad de la roca en el lanzamiento?
5 lb
y 10 lb
31 yd
Problemas 14.29/14.30 14.31 La masa de cada una de las cajas mostradas es de 14 kg. Un segundo después de soltarlas desde el reposo, se han movido a 0.3 m de su posición inicial. ¿Cuál es el coeficiente de fricción cinética entre las cajas y la superficie?
Roca de curling
30
www.FreeLibros.org x
Problema 14.27
Problema 14.31
Problemas 14.32 Las masas mA 15 kg y mB 30 kg, y los coeficientes de fricción entre todas las superficies son ms 0.4 y mk 0.35. Los bloques están en reposo cuando se aplica la fuerza constante F. Determine la aceleración resultante del bloque B si a) F 200 N; b) F 400 N.
127
14.36 La caja de 100 lb que se muestra en la figura está inicialmente en reposo. Los coeficientes de fricción entre la caja y la superficie inclinada son ms 0.2 y mk 0.16. Determine la distancia que recorre la caja desde su posición inicial en 2 s si la fuerza horizontal es F 90 lb. 14.37 En el problema 14.36, determine la distancia que se recorre la caja desde su posición inicial en 2 s si la fuerza horizontal es F 30 lb.
A F B
Problema 14.32 F
14.33 La carretilla A de la grúa mostrada se mueve hacia la derecha con aceleración constante y la carga de 800 kg se mueve sin oscilar. a) ¿Cuál es la aceleración de la carretilla y de la carga? b) ¿Cuál es la suma de las tensiones en los cables paralelos que soportan la carga?
30
Problemas 14.36/14.37 14.38 La caja mostrada tiene una masa de 120 kg y los coeficientes de fricción entre ella y el plano inclinado son ms 0.6 y mk 0.5. a) ¿Qué tensión debe ejercer el malacate sobre el cable para que la caja en reposo empiece a deslizarse hacia arriba sobre el plano inclinado? b) Si la tensión se mantiene en el valor determinado en el inciso a), ¿cuál es la magnitud de la velocidad de la caja cuando ésta ha ascendido 2 m sobre el plano inclinado?
A
5
Problema 14.33 14.34 En la figura, la masa de A es de 30 kg y la masa de B es de 5 kg. La superficie horizontal es lisa. La fuerza constante F ocasiona que el sistema se acelere. El ángulo u 20° es constante. Determine F. 14.35 En la figura, la masa de A es de 30 kg y la masa de B es de 5 kg. El coeficiente de fricción cinética entre A y la superficie horizontal es mk 0.2. La fuerza constante F ocasiona que el sistema se acelere. El ángulo u 20° es constante. Determine F.
30
Problema 14.38
A F
u
www.FreeLibros.org B
Problemas 14.34/14.35
128
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.39 Los coeficientes de fricción entre la carga A y la plataforma del vehículo utilitario son ms 0.4 y mk 0.36. Si el piso está nivelado (u 0), ¿cuál es la máxima aceleración (en ms2) del vehículo para la cual la carga no se deslizará sobre la plataforma? 14.40 Los coeficientes de fricción entre la carga A y la plataforma del vehículo utilitario son ms 0.4 y mk 0.36. Si el ángulo u 20°. Determine las máximas aceleraciones del vehículo hacia delante y hacia atrás para la cual la carga no se deslizará sobre la plataforma.
14.42 La fuerza ejercida por el resorte lineal sobre la masa de 10 kg es F ks, donde k es la constante del resorte y s es el desplazamiento de la masa respecto a la posición en que el resorte no está estirado. El valor de k es de 40 Nm. La masa está en la posición s 0 y se le da una velocidad inicial de 4 ms hacia la derecha. Determine la velocidad de la masa como una función de s. Estrategia: Use la regla de la cadena para escribir la aceleración como dv ds dv dv v. = = dt ds dt ds s k
A
Problema 14.42 u
Problemas 14.39/14.40 14.41 El paquete mostrado parte desde el reposo y se desliza hacia abajo por la rampa lisa. El dispositivo hidráulico B ejerce una fuerza constante de 2000 N y detiene al paquete a una distancia de 100 mm del punto en el cual hace contacto. ¿Cuál es la masa del paquete?
14.43 El bote de 450 kg de la figura se mueve a 10 ms cuando su motor es apagado. La magnitud de la fuerza de resistencia hidrodinámica (en newtons) es de 40v2, donde v es la magnitud de la velocidad en ms. Cuando la velocidad del bote ha disminuido a 1 ms, ¿cuál es la distancia que ha recorrido desde su posición al apagar el motor?
A 2m
Problema 14.43 B
30
Problema 14.41
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Problemas
129
14.44 Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 lb. Él está cayendo verticalmente a 100 piess cuando su paracaídas se abre. Entonces, la magnitud de la fuerza de arrastre (en libras) es 0.5 v2.
14.46 Un saltador de bungee de 200 lb se lanza sobre un río desde un puente a 130 pies de altura. La cuerda que lo sostiene mide 60 pies sin estirar y su constante de resorte es k 14 lbpie.
a) ¿Cuál es la magnitud de su aceleración en el instante que el paracaídas se abre?
a) ¿A qué altura sobre el río se encuentra el saltador cuando la cuerda lo detiene?
b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad cuando ha descendido 20 pies desde el punto en que se abrió el paracaídas?
b) ¿Cuál es la fuerza máxima que ejerce la cuerda sobre él?
Problema 14.46
Problema 14.44
14.45 El Panavia Tornado, con una masa de 18,000 kg, aterriza a una velocidad de 213 kmh. La fuerza de desaceleración (en newtons) ejercida sobre el avión por sus frenos y la resistencia aerodinámica es 80,000 2.5v2, donde v es la velocidad del avión en ms. ¿Cuál es la longitud de su desplazamiento después de aterrizar? (Vea el ejemplo 14.4).
14.47 Un helicóptero que pesa 20,500 lb despega verticalmente desde el nivel del mar, y su velocidad hacia arriba en piess está dada como una función de su altura h en pies, mediante v = 66 - 0.01h. a) ¿Cuánto tarda el helicóptero en elevarse hasta una altura de 4000 pies? b) ¿Cuál es la suma de las fuerzas verticales sobre el helicóptero cuando su altura es de 2000 pies?
Problema 14.45
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130
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.48 En un tubo de rayos catódicos, un electrón (masa 9.11 1031 kg) se proyecta en O con velocidad v (2.2 107)i (ms). Mientras está entre las placas cargadas, el campo eléctrico generado por ellas lo somete a una fuerza F eEj, donde la carga del electrón e 1.6 1019 C (coulombs) y la intensidad del campo eléctrico E 15 kNC. Las fuerzas externas sobre el electrón son insignificantes cuando éste no está entre las placas. ¿En qué parte de la pantalla incide el electrón?
14.51 ¿Cuál es la aceleración del collarín A de 8 kg respecto a la barra lisa que se muestra en la figura? 14.52 Determine la aceleración del collarín A de 8 kg respecto a la barra mostrada si el coeficiente de fricción cinética entre el collarín y la barra es mk 0.1.
14.49 En el problema 14.48 determine en qué parte de la pantalla incide el electrón si la magnitud del campo eléctrico es E 15 sen (vt) kNC, donde la frecuencia v 2 109 s1.
20
Pantalla y
200 N
A
45 x
O
30 mm
Problemas 14.51/14.52 100 mm
Problemas 14.48/14.49 14.50 Una astronauta quiere desplazarse desde una estación espacial hasta un satélite S que necesita reparación. La astronauta sale de la estación espacial en O. Un dispositivo de lanzamiento a base de resorte da a su unidad de maniobras una velocidad inicial de 1 ms (respecto a la estación espacial) en la dirección y. En ese instante, la posición del satélite es x 70 m, y 50 m, z 0 y está viajando a 2 ms (respecto a la estación) en la dirección x. La astronauta intercepta el satélite aplicando un empuje constante paralelo al eje x. La masa total de la astronauta y su unidad de maniobras es de 300 kg.
14.53 En la figura, la fuerza F 50 lb. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del collarín A de 20 lb a lo largo de la barra lisa en el instante mostrado? 14.54* En el problema 14.53, determine la magnitud de la aceleración del collarín A de 20 lb, a lo largo de la barra en el instante mostrado, si el coeficiente de fricción estática entre el collarín y la barra es mk 0.2. y (5, 3, 0) pies
a) ¿Cuánto tarda la astronauta en alcanzar el satélite? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de empuje que debe aplicar para hacer la intercepción? c) ¿Cuál es la velocidad de la astronauta respecto al satélite cuando lo alcanza?
A (2, 2, 2) pies
y
F x
z (2, 0, 4) pies
S
Problemas 14.53/14.54
O
x
www.FreeLibros.org Problema 14.50
Problemas 14.55 El collarín de 6 kg mostrado parte desde el reposo en la posición A, donde las coordenadas de su centro de masa son (400, 200, 200) mm, y se desliza hacia arriba por la barra lisa hasta la posición B, donde las coordenadas de su centro de masa son (500, 400, 0) mm, bajo la acción de una fuerza constante F 40i 70j 40k (N). ¿Cuánto tiempo se requiere para desplazar el collarín desde A hasta B?
131
14.58 En la figura, si y = 100 mm, dy>dt = 600 mm/s, y d2y>dt2 = - 200 mm/s2, ¿qué fuerza horizontal ejerce la ranura lisa circular sobre el deslizador A de 0.4 kg?
14.56* En el problema 14.55, ¿cuánto tiempo se requiere para desplazar el collarín desde A hasta B si el coeficiente de fricción cinética entre el collarín y la barra es mk 0.2? A
y
y 300 mm
B
Problema 14.58 A x
F z
Problemas 14.55/14.56
14.57 La caja de la figura es jalada a lo largo del piso por un malacate que repliega el cable a una razón constante de 0.2 ms. La masa de la caja es de 120 kg y el coeficiente de fricción cinética entre la caja y el piso es mk 0.24. a) En el instante mostrado, ¿cuál es la tensión en el cable? b) Obtenga una solución “cuasiestática” para la tensión en el cable despreciando la aceleración de la caja. Compare esta solución con su resultado del inciso a).
14.59 El collarín P de 1 kg se desliza sobre la barra vertical mostrada y tiene un pasador que se desliza en la ranura curva. La barra vertical se mueve con velocidad constante v 2 m/s y el eje y apunta hacia arriba. ¿Cuáles son las componentes x e y de la fuerza total ejercida sobre el collarín por la barra vertical y la barra ranurada cuando x 0.25 m? y y 0.2 sen px P x v 1m
Problema 14.59 2m
4m
Problema 14.57
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132
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.60* El automóvil de 1360 kg viaja a lo largo de un camino recto con desnivel creciente, cuyo perfil está dado por la ecuación mostrada. La magnitud de la velocidad del automóvil es constante 100 kmh. Cuando x 200 m, ¿cuáles son las componentes x e y de la fuerza total que actúa sobre el automóvil (incluyendo su peso)? Estrategia: Se sabe que la componente tangencial de la aceleración del automóvil es cero. Esta condición puede usarse junto con la ecuación para el perfil del camino a fin de determinar las componentes x e y de la aceleración del automóvil. y
y 0.0003x2
14.63 El vehículo de 3000 lb ha despegado del suelo después de pasar por un montículo. En el instante mostrado se está moviendo horizontalmente a 30 mih y la parte inferior de sus llantas está a 24 pulg aproximadamente sobre el nivel del suelo. El sistema coordenado fijo a la Tierra se coloca con su origen a 30 pulg sobre el suelo, a la altura del centro de masa del vehículo cuando las llantas hacen contacto por primera vez con el suelo (suponga que el automóvil permanece horizontal). Cuando ocurre eso, el centro de masa del vehículo inicialmente se continúa moviendo hacia abajo y luego rebota hacia arriba debido a la flexión del sistema de suspensión. Mientras las llantas están en contacto con el suelo, la fuerza ejercida sobre ellas por el suelo es 2400i 18,000yj (lb), donde y es la posición vertical del centro de masa en pies. Cuando el vehículo rebota, ¿cuál es la componente vertical de la velocidad del centro de masa en el instante que las ruedas despegan del suelo? (Las ruedas se separan del suelo cuando el centro de masa está en y 0).
x
Problema 14.60 14.61* En la figura, los dos bloques de 100 lb se sueltan desde el reposo. Determine las magnitudes de sus aceleraciones si la fricción en todas las superficies de contacto es insignificante. Estrategia: Use el hecho de que las componentes de las aceleraciones de los bloques perpendiculares a su interfaz mutua deben ser iguales.
24 pulg x 30 pulg
30 pulg 24 pulg
y
Problema 14.63 14.62* En la figura, los dos bloques de 100 lb se sueltan desde el reposo. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies de contacto es mk 0.1. ¿Cuánto tarda el bloque A en descender 1 pie?
A
B
14.64* A una esfera de acero se le da una velocidad inicial v 2i (ms) en el origen del sistema de coordenadas mostrado. El radio de la esfera es de 15 mm. La densidad del acero es de 8000 kgm3 y la densidad del aceite es de 980 kgm3. Si V es el volumen de la esfera, la fuerza de flotación (hacia arriba) sobre la esfera es igual al peso de un volumen V de aceite. La magnitud de la fuerza de resistencia hidrodinámica D sobre la esfera, conforme ésta cae, es ƒ D ƒ = 1.6 ƒ v ƒ N, donde ƒ v ƒ es la magnitud de la velocidad de la esfera en ms. ¿Cuáles son las componentes x e y de la velocidad de la esfera en t 0.1 s? 14.65* En el problema 14.64, ¿cuáles son las coordenadas x e y de la esfera en t 0.1 s?
70
y
Problemas 14.61/14.62 x
www.FreeLibros.org Problemas 14.64/14.65
14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial
133
14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial Cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva plana, es posible descomponer la suma de las fuerzas que actúan sobre él en sus componentes normal y tangencial (figura 14.5a). También se puede expresar la aceleración del objeto en términos de sus componentes normal y tangencial (figura 14.5b) y escribir la segunda ley de Newton, F ma, en la forma
©Ft e t + ©Fn e n = m1a t e t + a n e n2,
(14.6)
donde at =
dv dt
y
an =
v2 . r
Igualando las componentes normal y tangencial en la ecuación (14.6), se obtienen dos ecuaciones escalares de movimiento:
©Ft = mat = m
dv , dt
©Fn = man = m
v2 . r
(14.7)
La suma de las fuerzas en la dirección tangencial es igual al producto de la masa por la razón de cambio de la magnitud de la velocidad, y la suma de las fuerzas en la dirección normal es igual al producto de la masa por la componente normal de la aceleración. Si la trayectoria del centro de masa pertenece a un plano, la aceleración del centro de masa perpendicular al plano es cero, por lo que la suma de las fuerzas perpendiculares al plano también es igual a cero.
en
an et
Fn
at
Ft
(a)
Figura 14.5 (a) Componentes normal y tangencial de la suma de las fuerzas sobre un objeto. (b) Componentes normal y tangencial de la aceleración del centro de masa del objeto.
(b)
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134
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.5
Componentes tangencial y normal ( Relacionado con el problema 14.66) El bote, que junto con sus pasajeros pesa 1200 lb, se mueve a 20 piess en una trayectoria circular con radio R 40 pies. En t 0, el conductor presiona el acelerador de manera que la componente tangencial de la fuerza total que actúa sobre la lancha se incrementa a 100 lb y permanece constante. El conductor continúa en la misma trayectoria circular. En t 2 s, determine la magnitud de la velocidad del bote y la fuerza total que actúa sobre éste en la dirección perpendicular a su trayectoria.
R
Estrategia Se puede aplicar la segunda ley de Newton en la dirección tangencial para determinar la componente tangencial de la aceleración del bote e integrar la aceleración para obtener la velocidad en una función del tiempo. Una vez que se ha determinado la velocidad en t 2 s, se puede aplicar la segunda ley de Newton en la dirección perpendicular al bote para determinar la fuerza normal total en t 2 s. Solución
Determine la masa del bote.
Aplique la segunda ley de Newton en la dirección tangencial para determinar la componente tangencial de la aceleración del bote.
m
W 1200 lb 37.3 slug. g 32.2 pies/s2
Ft mat : 100 lb (37.3 slug)at, at
100 lb 37.3 slug
2.68 pies/s2
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14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial
at
Integre la aceleración tangencial para determinar la velocidad del bote en función del tiempo.
135
dv 2.68 pies/s2 : dt v
t
dv 2.68 dt, L L 20 0 v 20 2.68t pies/s.
v 20 2.68(2) 25.4 pies/s.
Evalúe la velocidad en t 2 s.
Determine la componente normal de la aceleración del bote en t 2 s.
an
Aplique la segunda ley de Newton en la dirección normal para determinar la fuerza normal que actúa sobre el bote en t 2 s.
v2 (25.4 pies/s)2 16.1 pies/s2. 40 pies r
Fn man (37.3 slugs)(16.1 pies/s2). 600 lb.
Problema de práctica El bote se está moviendo a 20 piess en una trayectoria circular con radio R 40 pies. Suponga que en t 0 el conductor presiona el acelerador de manera que la componente tangencial de la fuerza total (en libras) que actúa sobre el bote está dada en función del tiempo por Ft 200t. El bote continúa con la misma trayectoria circular. En t 2 s, determine la magnitud de la velocidad del bote y la fuerza total que actúa sobre éste en la dirección perpendicular a su trayectoria. Respuesta: La velocidad es 30.7 piess, la fuerza normal es 880 lb.
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136
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.6
Tren sobre vías elevadas ( Relacionado con el problema 14.79) El tren que se muestra en la figura está soportado por fuerzas de repulsión magnéticas ejercidas en dirección perpendicular a las vías. El movimiento del tren en la dirección transversal es impedido por soportes laterales. El tren de 20,000 kg viaja a 30 ms sobre un segmento circular de vía de radio R 150 m y con un ángulo de inclinación de 40°. ¿Qué fuerza debe ejercer el sistema de levitación magnética para soportar el tren y qué fuerza total ejercen los soportes laterales?
Estrategia Se conoce la velocidad del tren y el radio de su trayectoria circular, por lo que es posible determinar su componente normal de aceleración. Expresando la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial, es posible determinar las componentes de fuerza normal y transversal a la vía. Solución
Vista superior del tren donde se muestran los vectores unitarios normal y tangencial. El vector et es tangencial a la trayectoria del tren y el vector en apunta hacia el centro de su trayectoria circular.
en et
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14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial
Vista frontal del tren. Las fuerzas que actúan sobre éste son su peso, la fuerza magnética M normal a las vías, y la fuerza S ejercida por los soportes laterales.
S
en
40 mg
La suma de las fuerzas en la dirección vertical (perpendicular a la trayectoria circular del tren) debe ser igual a cero.
Aplique la segunda ley de Newton en la dirección en.
an
137
M
M cos 40 S sen 40 mg 0.
(1)
Fn man: M sen 40 S cos 40 m
v2 . r
(2)
v2 R
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) con m 20,000 kg, g 9.81 m/s2, v 30 m/s, y r 150 m se obtiene M 227 kN y S 34.2 kN.
Problema de práctica ¿Para qué velocidad v del tren la fuerza lateral S sería igual a cero? (Ésta es la velocidad óptima para que el tren viaje sobre las vías elevadas. Si usted fuera un pasajero, no necesitaría ejercer ninguna fuerza lateral para permanecer en su sitio). Respuesta: 35.1 m/s.
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138
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.7
Segunda ley de Newton en las componentes normal y tangencial ( Relacionado con el problema 14.73) Las estaciones espaciales del futuro podrán diseñarse con movimiento giratorio a fin de simular una gravedad artificial para sus habitantes. Si la distancia desde el eje de rotación de la estación al anillo externo habitado es R 100 m, ¿que razón de rotación se necesita para simular una gravedad igual a la mitad de la terrestre?
Estrategia Dibujando el diagrama de cuerpo libre de una persona, y expresando la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial, se puede relacionar la fuerza ejercida sobre la persona por el piso con la velocidad angular de la estación. La persona ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el piso, que es su peso efectivo. Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de una persona parada en el anillo exterior, donde N es la fuerza ejercida por el piso. Con respecto al marco de referencia que no gira con origen en el centro de la estación, la persona se mueve en
en
et
N
www.FreeLibros.org (a) Diagrama de cuerpo libre de una persona parada en el anillo habitado.
14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial
139
una trayectoria circular de radio R. En la figura b se muestran las componentes normal y tangencial de su aceleración. Aplicando las ecuaciones (14.7), se obtiene
©Ft = 0 = m
dv dt
y
©Fn = N = m
v2 . R an
v2 R
at
dv dt
(b) Componentes normal y tangencial de la aceleración de la persona.
La primera ecuación simplemente indica que la magnitud de la velocidad de la persona es constante. La segunda ecuación indica la fuerza N. La magnitud de su velocidad es v = Rv, donde v es la velocidad angular de la estación. Si se simula una gravedad 1 igual a la mitad de la terrestre, N = 2 mg. Por lo tanto,
1Rv2 1 mg = m . 2 R 2
N =
Resolviendo para v, se obtiene la velocidad angular necesaria de la estación:
v =
g 9.81 m/s2 = = 0.221 rad/s. A 2R C 21100 m2
Es decir, una revolución cada 28.4 segundos. Razonamiento crítico Cuando usted está de pie en un cuarto, el piso lo empuja hacia arriba con una fuerza N igual a su peso. El efecto de la gravedad sobre su cuerpo no puede distinguirse del efecto de una fuerza de magnitud N que empuja sobre sus pies hacia arriba y le da una aceleración g en ausencia de gravedad. (Esta observación fue uno de los puntos de partida de Einstein para desarrollar su teoría general de la relatividad). Ésta es la base para simular gravedad usando rotación, y explica por qué se estableció N mg2 en este ejemplo a fin de simular la mitad de la gravedad terrestre.
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140
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.8
Dinámica de vehículos motorizados ( Relacionado con los problemas 14.89, 14.90) El diseño preliminar de una rampa de autopista realizado por un ingeniero civil es circular con radio R 60 m. Si se supone que el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es de por lo menos ms 0.4, ¿cuál es la máxima velocidad a la que los vehículos pueden entrar a la rampa sin perder tracción?
60 m
et f
en
(a) Vista superior del diagrama de cuerpo libre. mg
Estrategia Como un vehículo sobre la rampa se mueve en una trayectoria circular, tiene una componente de aceleración normal que depende de su velocidad. La componente normal de la fuerza necesaria es ejercida por la fricción entre los neumáticos y el camino, y la fuerza de fricción no puede ser mayor que el producto de ms por la fuerza normal. Suponiendo que la fuerza de fricción es igual a este valor, se puede determinar la velocidad máxima para que no ocurra deslizamiento. Solución En la figura a se observa el diagrama de cuerpo libre de un auto sobre la rampa visto desde arriba y en la figura b se puede ver desde el frente. En la figura c se muestra la aceleración del automóvil, que es perpendicular a la trayectoria circular del vehículo y dirigida hacia el centro de dicha trayectoria. La suma de las fuerzas en la dirección en es igual al producto de la masa y la componente normal de la aceleración; es decir
en
©Fn = man = m f
v2 , R
o bien N
(b) Vista frontal del diagrama de cuerpo libre.
v2 an R
f = m
v2 . R
La fuerza de fricción requerida aumenta con la velocidad v. La fuerza de fricción máxima que la superficie puede proporcionar es fmáx msN msmg. Por lo tanto, la velocidad máxima para que no ocurra deslizamiento es
v = 2ms gR = 20.419.81 m/s22160 m2 = 15.3 m/s,
www.FreeLibros.org (c) Aceleración en la vista frontal.
o bien 55.2 km/h 134.3 mi/h2.
Problemas
141
Problemas 14.66 El bote del ejemplo activo 14.5 pesa 1200 lb con sus pasajeros. Suponga que el bote se mueve a velocidad constante de 20 piess en una trayectoria circular con radio R 40 pies. Determine las componentes tangencial y normal de la fuerza que actúa sobre el bote. 14.67 En estudios de diseño preliminar para un automóvil de energía solar se estima que la masa del vehículo y el conductor será de 100 kg y el par de torsión producido por el motor resultará en una fuerza tangencial de 60 N sobre el automóvil. Suponga que el vehículo parte desde el reposo sobre la pista en A y está sometido a una fuerza tangencial constante de 60 N. Determine la magnitud de la velocidad del automóvil y la componente normal de la fuerza sobre el vehículo cuando llega a B.
14.70 El disco circular mostrado permanece en el plano horizontal. En el instante mostrado, el disco gira con una velocidad angular de 4 rads y una aceleración angular de 2 rads2, ambas en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El deslizador A de 0.5 kg está soportado de manera horizontal por la ranura lisa y la cuerda conectada en B. Determine la tensión en la cuerda y la magnitud de la fuerza horizontal ejercida por la ranura sobre el deslizador.
A
14.68 En una prueba de un automóvil de energía solar, la masa del vehículo y el conductor es de 100 kg. El automóvil inicia desde el reposo sobre la pista en A, moviéndose hacia la derecha. La fuerza tangencial ejercida sobre el vehículo (en newtons) está dada como una función del tiempo por © Ft = 20 + 1.2t. Determine la magnitud de la velocidad del automóvil y la componente normal de la fuerza sobre éste en t 40 s.
2 rad/s2 4 rad/s
B 0.6 m
Problema 14.70 50 m B A 200 m
Problemas 14.67/14.68
14.71 El disco circular mostrado permanece en el plano horizontal y gira con una velocidad angular constante de 4 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El deslizador A de 0.5 kg está soportado de manera horizontal por la ranura lisa y la cuerda conectada en B. Determine la tensión en la cuerda y la magnitud de la fuerza horizontal ejercida por la ranura sobre el deslizador.
14.69 Un candidato a astronauta con una masa de 72 kg se somete a una prueba en una centrifugadora con un radio de 10 m. La centrifugadora gira en el plano horizontal. Parte desde el reposo en t 0 y tiene una aceleración angular constante de 0.2 rads2. Determine la magnitud de la fuerza horizontal ejercida sobre él por la centrifugadora a) en t 0; b) en t 10 s.
B
0.6 m 90 4 rad/s
A
0.6 m
10 m
Problema 14.69
Problema 14.71
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142
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.72 El avión de 32,000 libras que se muestra en la figura está volando en el plano vertical a 420 piess. En el instante mostrado, el ángulo u 30°, y las componentes cartesianas de la aceleración del avión son ax 6 piess2, ay 30 piess2. a) ¿Cuáles son las componentes tangencial y normal de la fuerza total que actúa sobre el avión (incluyendo su peso)? b) ¿Qué valor tiene dudt en grados por segundo?
14.75 La masa m de 1 slug gira alrededor del poste vertical en una trayectoria horizontal circular. El ángulo u 30° y la longitud de la cuerda es L 4 pies. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la masa? Estrategia: Observe que la aceleración vertical de la masa es igual a cero. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la masa y escriba la segunda ley de Newton en términos de las componentes tangencial y normal. 14.76 La masa m de 1 slug gira alrededor del poste vertical en una trayectoria horizontal circular. La longitud de la cuerda es L 4 pies. Determine la magnitud de la velocidad de la masa y el ángulo u si la tensión en la cuerda es de 50 lb.
y
u x
Problema 14.72
14.73 Considere a una persona con una masa de 72 kg quien se encuentra en la estación espacial descrita en el ejemplo 14.7. Cuando está en el anillo habitado exterior, su peso simulado en newtons es 21 (72 kg)(9.81 m/s2) = 353 N. Suponga que la persona escala hasta una posición en uno de los túneles radiales que conducen al centro de la estación. Sea r su distancia en metros desde el centro de la estación. a) Determine el peso simulado en su nueva posición en términos de r. b) ¿Cuál sería su peso simulado cuando alcanza el centro de la estación? 14.74 Las pequeñas piezas de la figura se encuentran sobre una banda transportadora que se mueve con velocidad v constante y caen en un cajón. Demuestre que el ángulo u en el que las piezas empiezan a deslizarse sobre la banda satisface la ecuación
cos u -
1 v2 sen u = , ms gR
u
L
m
Problemas 14.75/14.76 14.77 La masa m de 10 kg gira alrededor del poste vertical mostrado en una trayectoria circular horizontal de radio R 1 m. Si la magnitud de su velocidad es v = 3 m/s, ¿cuáles son las tensiones en las cuerdas A y B? 14.78 La masa m de 10 kg gira alrededor del poste vertical mostrado en una trayectoria circular horizontal de radio R 1 m. ¿Cuál es el intervalo de valores de la velocidad v para los cuales la masa permanecerá en la trayectoria circular descrita?
donde ms es el coeficiente de fricción estática entre las piezas y la banda. 35 A u
B 55
R R v
m
www.FreeLibros.org Problema 14.74
Problemas 14.77/14.78
Problemas 14.79 Suponga que se va a diseñar un sistema de transporte por monorriel que viajará a 50 ms. El ángulo u con que los vagones oscilarán respecto a la vertical al tomar una curva no debe ser mayor que 20°. Si las curvas son circulares con radio R, ¿cuál es el mínimo valor admisible de R? (Vea el ejemplo activo 14.6).
143
14.81 En la figura, la masa m de 2 kg está en equilibrio. a) ¿Cuáles son las tensiones en las cuerdas A y B? b) Si se corta la cuerda A, ¿cuál es la tensión en la cuerda B inmediatamente después de esto?
B m A
45
Problema 14.81 14.82 Un avión vuela con velocidad v constante a lo largo de una trayectoria circular en un plano vertical. El radio de su trayectoria circular es de 2000 m. La masa del piloto es de 72 kg.
u
Problema 14.79
14.80 Un avión con peso W 200 000 lb realiza un viraje a altitud constante y a velocidad constante v 600 pies/s. El ángulo de inclinación es de 15°. a) Determine la fuerza L de sustentación. b) ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del avión?
a) El piloto experimentará “ingravidez” en la cima de la trayectoria circular si el avión no ejerce ninguna fuerza neta sobre él en ese punto. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del piloto y utilícelo para determinar la velocidad v necesaria para lograr esta condición. b) Suponga que usted no quiere que la fuerza ejercida por el avión sobre el piloto exceda cuatro veces su peso. Si él realiza esta maniobra cuando v = 200 m/s, ¿cuál es el radio mínimo aceptable de la trayectoria circular?
v
Problema 14.82
15
L
W
Problema 14.80
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144
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.83 La barra circular lisa de la figura gira con velocidad angular constante v0 alrededor del eje vertical AB. El radio R 0.5 m y la masa m permanece en reposo respecto a la barra circular cuando b = 40°. Determine v0.
14.86 Una masa m está unida a una cuerda enrollada alrededor de un poste fijo de radio R. En t 0, se le da a la masa una velocidad v0, como se muestra en la figura. Ignore las fuerzas externas sobre m excepto la ejercida por la cuerda. Determine el ángulo u en función del tiempo.
A
L0 m
R
R v0
b
u
m v0 B
Problemas 14.85/14.86 Problema 14.83 14.84 La fuerza ejercida por un campo magnético sobre una partícula cargada es F = qv * B, donde q y v son la carga y el vector de velocidad de la partícula y B es el vector de campo magnético. Una partícula de masa m y carga positiva q se proyecta en O con velocidad v = v0 i a un campo magnético uniforme B = B0 k. Usando las componentes normal y tangencial, demuestre que a) la magnitud de la velocidad de la partícula es constante y b) la trayectoria de la partícula es un círculo con radio mv0>qB0. y
v0
14.87 La suma de las fuerzas ejercidas sobre el avión deportivo de 360 kg que se muestra en la figura (incluyendo su peso) durante un intervalo de tiempo es 1 - 1000 + 280t2i + 1480 - 430t2j + 1720 + 200t2k, donde t es el tiempo en segundos. En t 0, la velocidad del centro de masa del avión respecto al marco de referencia fijo en la Tierra es 20i 35j 20k (ms). Si se descompone la suma de las fuerzas sobre el avión en las componentes tangente y normal a la trayectoria del avión en t 2 s, ¿cuáles son los valores de Ft y Fn? 14.88 En el problema 14.87, ¿cuál es el radio instantáneo de la curvatura de la trayectoria del avión en t 2 s? Las componentes vectoriales de la suma de las fuerzas en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria pertenecen al plano osculador. Determine las componentes de un vector unitario perpendicular al plano osculador en t 2 s.
x
O y
Problema 14.84 14.85 Una masa m está unida a una cuerda enrollada alrededor de un poste fijo de radio R. En t 0, se le da a la masa una velocidad v0, como se muestra en la figura. Ignore las fuerzas externas sobre m excepto la ejercida por la cuerda. Determine la tensión en la cuerda en función del ángulo u. Estrategia: El vector velocidad de la masa es perpendicular a la cuerda. Exprese la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial.
x
www.FreeLibros.org z
Problemas 14.87/14.88
Problemas 14.89 Una rampa de acceso a una carretera es circular con radio de 60 m (figura a). La rampa tiene una pendiente 15° (figura b). Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas de un automóvil y el camino es ms 0.4, ¿cuál es la velocidad máxima a la que un automóvil puede viajar en la rampa sin perder tracción? (Vea el ejemplo 14.8). 14.90* Una rampa de acceso a una carretera es circular con radio de 60 m (figura a). La rampa tiene una pendiente b (figura b). Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas de un automóvil y el camino es ms 0.4, ¿cuál es la pendiente b mínima necesaria para que (en teoría) un automóvil pueda entrar a la rampa a cualquier velocidad sin perder tracción? (Vea el ejemplo 14.8).
145
14.92 Un automóvil viaja a 30 ms y está en el fondo de una depresión. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y el camino es mk 0.8. El radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del automóvil es de 200 m. Si el conductor aplica los frenos y las llantas del automóvil se bloquean, ¿cuál es la desaceleración resultante del automóvil en la dirección tangente a su trayectoria? Compare su respuesta con la del problema 14.91.
Problema 14.92 14.93 La masa combinada de la motocicleta y su conductor es de 160 kg. La motocicleta parte desde el reposo en t 0 y se mueve a lo largo de una pista circular con un radio de 400 m. La componente tangencial de la aceleración de la motocicleta en función del tiempo es at 2 0.2t ms2. El coeficiente de fricción estática entre las llantas y la pista es ms 0.8. ¿Cuánto tiempo después de iniciar su movimiento, la motocicleta alcanza el límite de adhesión (cuando sus neumáticos están a punto de deslizarse)? ¿A qué velocidad se mueve la motocicleta cuando sucede esto? Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre donde se muestren las componentes tangencial y normal de la fuerza que actúa sobre la motocicleta.
60 m
(a)
b (b)
Problemas 14.89/14.90
14.91 Un automóvil viaja a 30 ms y está en la cima de una colina. El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el camino es mk 0.8. El radio de curvatura instantánea de la trayectoria del automóvil es de 200 m. Si el conductor aplica los frenos y las ruedas del vehículo se bloquean, ¿cuál es la desaceleración resultante en la dirección tangente a la trayectoria?
O
s
P
en
400 m
et
www.FreeLibros.org Problema 14.91
Problema 14.93
146
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilíndricas Cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva planar, el movimiento del centro de masa del objeto se puede describir en términos de coordenadas polares. Al descomponer la suma de las fuerzas paralelas al plano en componentes polares (figura 14.6a) y al expresar la aceleración del centro de masa en términos de componentes polares (figura 14.6b), la segunda ley de Newton, ©F = ma, puede escribirse en la forma
©Fr er + ©Fu eu = m1ar er + au eu2,
(14.8)
donde
ar =
d2r du 2 d2r r a = - rv2 b dt dt2 dt2
y
au = r
d2u dr du dr + 2 = ra + 2 v. dt dt dt dt2
Igualando las componentes er y eu en la ecuación (14.8), se obtienen las ecuaciones escalares
©Fr = mar = m a
d2r - rv2 b dt2
y
(14.9)
y
Fu
eu
er
au ar
Fr r
r
u
x (a)
u
x (b)
www.FreeLibros.org Figura 14.6 Componentes polares de (a) la suma de las fuerzas y (b) la aceleración del centro de masa.
14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilíndricas
147
y
©Fu = mau = m a ra + 2
dr v b. dt
(14.10)
El movimiento tridimensional de un objeto se puede describir usando coordenadas cilíndricas, en las cuales la posición del centro de masa perpendicular al plano x-y está medida por la coordenada z y el vector unitario ez apunta en la dirección positiva de z. La suma de las fuerzas se descompone en las componentes radial, transversa y z (figura 14.7a) y la aceleración del centro de masa se expresa en términos de las componentes radial, transversa y z (figura 14.7b). Las tres ecuaciones escalares de movimiento son las ecuaciones polares (14.9) y (14.10) y la ecuación de movimiento en la dirección z,
©Fz = maz = m
dvz dt
= m
d 2z . dt 2
(14.11)
y
Fu Fr eu
x
er ez
r
z
u
Fz z
(a) y
ar
au x
az
r
z
u
z (b)
www.FreeLibros.org Figura 14.7 (a) Componentes de la suma de las fuerzas sobre un objeto en coordenadas cilíndricas. (b) Componentes de la aceleración del centro de masa.
148
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Coordenadas polares ( Relacionado con los problemas 14.98, 14.99)
Ejemplo activo 14.9
La barra lisa que se muestra en la figura gira en el plano horizontal con velocidad angular constante v0. La longitud sin estirar del resorte lineal es r0. El collarín A tiene una masa m y se suelta en r = r0 sin velocidad radial. Determine la velocidad radial del collarín en función de r.
v0
Estrategia La única fuerza sobre el collarín en la dirección radial es la fuerza del resorte, que puede expresarse en coordenadas polares en términos de r. Integrando la ecuación (14.9), se puede determinar la componente radial de la velocidad vr = dr>dt en función de r.
A
k
Solución y N
Diagrama de cuerpo libre del collarín A con la fuerza ejercida por el resorte expresada en términos de r. La barra ejerce una fuerza transversa N sobre el collarín.
A
k(r r0) u x
Fr mar: Aplique la segunda ley de Newton en la dirección radial. Lo anterior resulta en una ecuación para la componente radial de la aceleración en función de r.
k(r r0) m
d2r
dt
2
rv2 m
dvr
dt
rv20 ,
que puede escribirse como dvr k rv20 (r r0). dt m
y au ar
A
www.FreeLibros.org u
x
Problemas
149
k dvr dv dr dv r r vr rv20 (r r0), m dt dr dt dr
Use la regla de la cadena para expresar la aceleración radial en términos de r en vez de t, separe variables, e integre.
vr
L 0
r
vr dvr
L r0
v
2 0
1 2 1 2 k vr v0 2 2 m
Resuelva para obtener la velocidad radial como una función de r.
vr
v
2 0
k k r r0 dr, m m
(r
2
r20)
k r0(r r0). m
k 2k (r2 r20) r0(r r0). m m
Problema de práctica Determine la fuerza transversa N ejercida por la barra sobre el collarín como una función de r.
Respuesta: N = 2mv0
A
2 a v0 -
k 2k 2 2 r (r - r0). b (r - r0) + m m 0
Problemas 14.94 El centro de masa del objeto de 12 kg se mueve en el plano x-y. Sus coordenadas polares están dadas en función del tiempo por r 12 0.4t2 m, u 0.02t3 rad. Determine las componentes polares de la fuerza total que actúa sobre el objeto en t 2 s. y
14.95 Un hombre de 100 lb camina sobre un gran disco que gira con una velocidad angular constante v0 = 0.3 rad/s. Él camina a una velocidad constante v0 5 piess a lo largo de una línea radial pintada sobre el disco. Determine las componentes polares de la fuerza horizontal ejercida sobre el hombre cuando se encuentra a 6 pies del centro del disco. (¿Cómo son estas fuerzas ejercidas sobre el hombre?).
v0
v0
r u x
Problema 14.94
www.FreeLibros.org Problema 14.95
150
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.96 El manipulador robótico de la figura está programado de modo que la parte A de 0.4 kg describa la trayectoria r 1 0.5 cos 2pt m, u 0.5 0.2 sen 2pt rad.
14.98 La barra lisa mostrada gira en el plano horizontal con velocidad angular constante v0 = 60 rpm. Si la velocidad radial del collarín A de 1 kg es vr = 10 m/s cuando su posición radial es r 1 m, ¿cuál es su velocidad radial cuando r 2 m? (Vea el ejemplo activo 14.9).
Determine las componentes polares de la fuerza ejercida sobre A por las tenazas del robot en t 2 s.
r
v0
A A
u
r
3m
Problema 14.96
Problema 14.98
14.97 Un objeto P de 50 lb se mueve a lo largo de la trayectoria en espiral r (0.1)u pies, donde u está en radianes. Su posición angular está dada en función del tiempo por u 2t rad, y r 0 en t 0. Determine las componentes polares de la fuerza total que actúa sobre el objeto cuando t 4 s.
14.99 La barra lisa mostrada gira en el plano horizontal con velocidad angular constante v0 = 60 rpm. La constante del resorte es k 20 Nm y la longitud del resorte sin estirar es de 3 m. Si la velocidad radial del collarín A de 1 kg es vr = 10 m/s cuando su posición radial es r 1 m, ¿cuál es su velocidad radial cuando r 2 m? (Vea el ejemplo activo 14.9).
P v0 r u
k A
Problema 14.97 r
3m
Problema 14.99
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Problemas 14.100 En la figura, la masa m de 2 kg se libera del reposo con la cuerda en posición horizontal. La longitud de la cuerda es L 0.6 m. Usando la segunda ley de Newton en términos de coordenadas polares, determine la magnitud de la velocidad de la masa y la tensión de la cuerda cuando u 45°.
151
14.104* Una masa de 2 kg descansa sobre una barra plana horizontal. La barra comienza a girar en el plano vertical alrededor de O con una aceleración angular constante de 1 rads2. Se observa que la masa se desliza respecto a la barra cuando está 30° arriba de la horizontal. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre la masa y la barra? ¿La masa se desliza acercándose o alejándose de O?
L u
2 kg
1 rad/s2 O
m
1m
Problema 14.100 14.101 Al bloque A de 1 lb se le da una velocidad inicial v0 14 piess hacia la derecha cuando está en la posición u 0, ocasionando que éste se deslice hacia arriba por la superficie lisa circular. Usando la segunda ley de Newton en términos de coordenadas polares, determine la magnitud de la velocidad del bloque cuando u 60°. 14.102 Al bloque de 1 lb se le da una velocidad inicial v0 14 piess hacia la derecha cuando está en la posición u 0, ocasionando que éste se deslice hacia arriba por la superficie lisa circular. Determine la fuerza normal ejercida por la superficie sobre el bloque cuando u 60°. 4 pies
u A
Problema 14.104 14.105* El deslizador A de 14 lb es empujado a lo largo de la barra circular por la barra ranurada como se muestra en la figura. La barra circular está en el plano horizontal. La posición angular de la barra ranurada es u 10t2 rad. Determine las componentes polares de la fuerza externa total ejercida sobre el deslizador en t 0.2 s. 14.106* El deslizador A de 14 lb es empujado a lo largo de la barra circular por la barra ranurada como se muestra en la figura. La barra circular está en el plano vertical. La posición angular de la barra ranurada es u 10t2 rad. Determine las componentes polares de la fuerza externa total ejercida sobre el deslizador en t 0.25 s.
A u
Problemas 14.101/14.102 14.103 El esquiador de la figura pasa por el punto A a 17 ms. De A a B, el radio de su trayectoria circular es de 6 m. Usando la segunda ley de Newton en coordenadas polares, determine la magnitud de su velocidad en el momento en que abandona la rampa en B. Ignore las fuerzas tangenciales excepto la componente tangencial de su peso.
2 pies 2 pies
Problemas 14.105/14.106
45 A
www.FreeLibros.org B
Problema 14.103
152
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.107* La barra ranurada de la figura gira en el plano horizontal con velocidad angular constante v0. La masa m tiene un pasador que embona en la ranura de la barra. Un resorte mantiene el pasador contra la superficie de la leva fija. La superficie de la leva se describe con r = r012 - cos u2. Determine las componentes polares de la fuerza externa total sobre el pasador en función de u. 14.108* En el problema 14.107, suponga que la longitud del resorte sin estirar es r0. Determine el valor mínimo de la constante del resorte k para el cual el pasador permanecerá sobre la superficie de la leva.
v0
m Leva
k
14.110 En el instante mostrado, las coordenadas cilíndricas de la parte A de 4 kg sostenida por el manipulador robótico son r 0.6 m, u 25° y z 0.8 m (el sistema coordenado está fijo con respecto a la Tierra y el eje y apunta hacia arriba). La posición radial de A se está incrementando en drdt 0.2 ms y d2rdt2 0.4 ms2. El ángulo u está aumentado cuando dudt 1.2 rads y d2udt2 2.8 rads2. La base del brazo manipulador se está acelerando en la dirección z en d2zdt2 2.5 ms2. Determine el vector de fuerza ejercido sobre A por el manipulador en términos de coordenadas cilíndricas. 14.111 Suponga que el manipulador robótico se usa en una estación espacial para investigar técnicas de fabricación con gravedad cero. Durante un intervalo de tiempo, el manipulador se programa de manera que las coordenadas cilíndricas de la parte A de 4 kg son u 0.15t2 rad, r 0.5(1 sen u) m, y z 0.8(1 u) m. Determine el vector de fuerza ejercido sobre A por el manipulador en t 2 s en términos de coordenadas cilíndricas. 14.112* En el problema 14.111, dibuje una gráfica de la magnitud de la fuerza ejercida sobre la parte A por el manipulador en función del tiempo desde t 0 hasta t 5 s, y use la gráfica para estimar la fuerza máxima durante ese intervalo de tiempo.
u
r0
y
Problemas 14.107/14.108
x
A
r
14.109 Una partícula cargada P se mueve en un campo magnético a lo largo de la trayectoria en espiral descrita por r 1 m, u 2z rad, donde z está en metros. La partícula se mueve a lo largo de la trayectoria en la dirección mostrada con velocidad constante ƒ v ƒ = 1 km/s. La masa de la partícula es 1.67 1027 kg. Determine la suma de las fuerzas sobre la partícula en términos de coordenadas cilíndricas.
u
z
z
Problemas 14.110–14.112
y
x
P z 1 km/s
Problema 14.109
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14.5 Mecánica de órbitas
153
14.5 Mecánica de órbitas ANTECEDENTES En este punto resulta apropiado incluir un análisis de la mecánica de órbitas dentro del capítulo sobre las aplicaciones de la segunda ley de Newton. La determinación analítica de Newton con respecto a las órbitas elípticas de los planetas, que se habían deducido a partir de datos observados por Johannes Kepler, constituyó un triunfo de la mecánica newtoniana y una confirmación de la relación inversa cuadrada de la aceleración gravitatoria. Se puede usar la segunda ley de Newton expresada en coordenadas polares para determinar la órbita de un satélite terrestre o de un planeta. Suponga que en t 0 un satélite tiene velocidad inicial v0 a una distancia r0 del centro de la Tierra (figura 14.8a). Se supone que la velocidad inicial es perpendicular a la línea que va del centro de la Tierra al satélite. La posición de éste durante su movimiento subsecuente está especificada por sus coordenadas polares (r, u), donde u se mide desde su posición en t 0 (figura 14.8b). El objetivo aquí consiste en determinar r en función de u.
Determinación de la órbita Si se modela la Tierra como una esfera homogénea, la fuerza ejercida sobre el satélite por la gravedad a una distancia r del centro de la Tierra es mgR2E>r2, donde RE es el radio de la Tierra. (Vea la ecuación 12.5). A partir de la ecuación (14.9), la ecuación de movimiento en la dirección radial es
©Fr = mar: -
mgR 2E r
2
= mc
d 2r du 2 - ra b d. 2 dt dt
De la ecuación (14.10), la expresión del movimiento en la dirección transversa es
©Fu = mau: 0 = mar
d 2u dr du b. + 2 2 dt dt dt er eu
r v0 u r0 (a)
(b)
Figura 14.8 (a) Posición y velocidad iniciales de un satélite terrestre. (b) Especificación de la trayectoria subsecuente en coordenadas polares.
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154
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Por lo tanto, se obtienen las dos ecuaciones
gR 2E du 2 d 2r r a = b dt dt 2 r2
(14.12)
y
r
d 2u dr du + 2 = 0. dt dt dt 2
(14.13)
La ecuación (14.13) se puede escribir en la forma
1 d du ar 2 b = 0, r dt dt que indica que
r2
du = rvu = constante. dt
(14.14)
En t 0 las componentes de la velocidad son vr 0 y vu v0, y la posición radial es r r0. Por lo tanto, puede escribirse la constante en la ecuación (14.14) en términos de las condiciones iniciales:
r2
du = rvu = r0 v0. dt
(14.15)
Usando esta ecuación para eliminar du>dt de la ecuación (14.12) se obtiene
r 02v 20 gR 2E d 2r = - 2 . 2 3 dt r r
(14.16)
Se puede resolver esta ecuación diferencial introduciendo el cambio de variable
1 u = . r
(14.17)
Al hacer esto, también se cambiará la variable independiente de t a u porque se desea determinar r en función del ángulo u y no de t. Para expresar la ecuación (14.16) en términos de u se debe determinar d 2r>dt 2 en términos de u. Usando la regla de la cadena, se escribe la derivada de r con respecto al tiempo como
1 du d 1 1 du du dr a b = - 2 = = - 2 . dt dt u u dt u du dt
(14.18)
Observe en la ecuación (14.15) que
www.FreeLibros.org r0 v0 du = 2 = r0 v0 u2. dt r
(14.19)
14.5 Mecánica de órbitas
155
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (14.18) se obtiene
du dr = - r0 v0 . dt du
(14.20)
Se diferencia esta expresión con respecto al tiempo y se aplica de nuevo la regla de la cadena:
d du du d du du d 2u d 2r = a r v v a v . b = r b = r 0 0 0 0 0 0 dt du dt du du dt du 2 dt 2 Usando la ecuación (14.19) para eliminar du>dt de esta expresión, se obtiene la segunda derivada respecto al tiempo de r en términos de u: 2 d 2r 2 2 2d u = r v u . 0 0 dt 2 du 2
Sustituyendo este resultado en la ecuación (14.16) se obtiene una ecuación diferencial lineal de u en función de u:
gR 2E d 2u + u = . du 2 r 02v 20 La solución general de esta ecuación es
u = A sen u + B cos u +
gR 2E r 20 v 20
,
(14.21)
donde A y B son constantes. Es posible usar las condiciones iniciales para determinar A y B. Cuando u = 0, u = 1>r0. Así mismo cuando u 0 la componente radial de la velocidad vr = dr>dt = 0, por lo que a partir de la ecuación (14.20), se observa que du>du = 0. De esas dos condiciones se obtiene
A = 0 y B =
gR 2E 1 - 2 2. r0 r 0v 0
Sustituyendo estos resultados en la ecuación (14.21), se puede escribir la solución resultante para r = 1>u como
r 1 + e = , r0 1 + e cos u
(14.22)
donde
www.FreeLibros.org e =
r0 v 20 gR 2E
- 1.
(14.23)
156
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración Directriz
Tipos de órbitas
d
La curva llamada sección cónica (figura 14.9) tiene la propiedad de que la razón de r sobre la distancia perpendicular d a una línea recta, llamada directriz, es constante. Esta razón, r>d = r0>d0, se llama excentricidad de la curva. En la figura, se observa que
Sección cónica
r cos u + d = r0 + d0,
r
que puede escribirse como
u r0
d0
Figura 14.9 Si la razón rd es constante, la curva describe una sección cónica.
1 + 1r0>d02 r = . r0 1 + 1r0>d02 cos u Comparando esta expresión con la ecuación (14.22), se observa que la órbita del satélite describe una sección cónica con excentricidad e. El valor de la excentricidad determina el carácter de la órbita. Órbita circular Si la velocidad inicial v0 se escoge de modo que e 0 la ecuación (14.22) se reduce a r r0 y la órbita es circular (figura 14.10). Si se establece e 0 en la ecuación (14.23) y despejando v0, se obtiene
v0 =
gR 2E , C r0
(14.24)
que concuerda con la velocidad de una órbita circular obtenida en el ejemplo 14.5 por un método diferente. ´1
´ 1
0´1
Órbita elíptica Si 0 6 e 6 1, la órbita es una elipse. El radio máximo de la elipse ocurre cuando u 180°. Haciendo u igual a 180° en la ecuación (14.22), se obtiene una expresión para el radio máximo de la elipse en términos del radio inicial y e:
rmáx = r0 a ´0
1 + e b. 1 - e
(14.25)
Órbita parabólica Observe que a partir de la ecuación (14.25), el radio máximo de la órbita elíptica aumenta sin límite cuando e : 1. Cuando e = 1, la órbita es una parábola (figura 14.10). La velocidad v0 correspondiente es la velocidad inicial mínima para la cual el radio r aumenta sin límite, que es la velocidad de escape. Haciendo e = 1 en la ecuación (14.23) y despejando v0, se obtiene Figura 14.10 Órbitas para diferentes excentricidades.
v0 =
2gR 2E . C r0
Éste es el mismo valor obtenido para la velocidad de escape que en el ejemplo 13.5 para el caso de un objeto que se mueve alejándose del centro de la Tierra.
www.FreeLibros.org Órbita hiperbólica
Si e 7 1, la órbita es una hipérbola (figura 14.10).
14.5 Mecánica de órbitas
157
La solución que se ha presentado, basada en la hipótesis de que la Tierra es una esfera homogénea, proporciona una aproximación a la órbita de un satélite terrestre. La determinación precisa de la órbita requiere tomar en cuenta las variaciones del campo gravitatorio de la Tierra debido a su distribución real de masa. De manera similar, dependiendo de la exactitud requerida, la determinación de la órbita de un planeta alrededor del Sol puede requerir que se tomen en cuenta las perturbaciones debidas a las atracciones gravitatorias de los otros planetas.
RESULTADOS
r v0 u r0
Ecuación polar para la órbita de un satélite terrestre con las condiciones iniciales mostradas. El parámetro e
r0v20 1, gR2E
(14.23)
donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar y RE es el radio de la Tierra modelada como una esfera homogénea.
r 1e , r0 1 e cos u
e1
(14.22)
e 1
0e1
El tipo de órbita está determinado por el valor de e. e0 Circular 0 e 1 Elíptica e1 Parabólica e 1 Hiperbólica
La posición radial del satélite y su componente transversal de velocidad satisfacen la relación rvu constante. (14.14)
e0
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158
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.10
Órbita de un satélite terrestre ( Relacionado con el problema 14.115) Un satélite terrestre se pone en órbita con una velocidad inicial v0 = 9240 m/s. La posición inicial del satélite está a 6600 km del centro de la Tierra. Demuestre que la órbita resultante es elíptica y determine su radio máximo. El radio de la Tierra es de 6370 km. v0
r0
Estrategia Se debe calcular el valor de e a partir de la ecuación (14.23) para determinar el tipo de órbita. Después puede usarse la ecuación polar para la órbita, ecuación (14.22), a fin de obtener el radio máximo. Solución
e Calcule el valor de e. La órbita es elíptica.
r0v20 gR2E
1
(6600 103 m)(9240 m/s)2 (9.81 m/s2)(6370 103 m)2
1
0.416.
Determine el radio máximo a partir de la ecuación polar para la órbita con u 180 . Se muestra la gráfica de la órbita elíptica.
1e
1 e cos 180 1e r 1e
rmáx r0 0
(6600 km)
1 0.416
1 0.416
16,000 km.
Problema de práctica Determine la velocidad del satélite cuando se encuentra en su radio máximo.
www.FreeLibros.org Respuesta: 3810 m/s.
Problemas
159
Problemas Use los valores RE = 6370 km = 3960 mi para el radio de la Tierra. 14.113 La Estación Espacial Internacional está en una órbita circular a 225 millas sobre la superficie terrestre. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la estación espacial? b) ¿Cuánto tiempo tarda en completar una revolución alrededor de la Tierra?
14.117 El tiempo requerido para que un satélite en una órbita circular terrestre complete una revolución se incrementa conforme el radio de la órbita aumenta. Si el radio se escoge de manera apropiada, el satélite completará una revolución en 24 horas. Si un satélite se coloca en una órbita de este tipo directamente arriba del ecuador y moviéndose de oeste a este, permanecerá en el mismo punto sobre la Tierra mientras el planeta gira debajo de él. Este tipo de órbita concebida por Arthur C. Clarke, se denomina geosincrónica, y se usa para satélites de comunicación y de cadenas de televisión. Determine el radio de una órbita geosincrónica en kilómetros. 14.118* Una nave espacial puede ser enviada de la Tierra a la Luna de la manera siguiente: Primero se lanza la nave en una órbita circular “estacionaria” de radio r0 alrededor de la Tierra (figura P.14.118a). Después se incrementa su velocidad en la dirección tangente a la órbita circular hasta un valor v0, de forma que siga una órbita elíptica cuyo radio máximo sea igual al radio rM de la órbita de la Luna alrededor de la Tierra (figura P.14.118b). El radio rM 238,000 mi. Sea r0 4160 mi. ¿Qué velocidad v0 es necesaria para enviar una nave espacial a la Luna? (Esta descripción está simplificada porque no se toma en cuenta la gravedad de la Luna). Órbita elíptica
Órbita de la Luna
Órbita estacionaria
v0
Problema 14.113
14.114 La Luna está aproximadamente a 383,000 km de la Tierra. Si se supone que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra es circular con velocidad dada por la ecuación (14.24) a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la Luna? b) ¿Cuánto tarda la Luna en completar una revolución alrededor de la Tierra? 14.115 Suponga que un satélite se pone en una órbita terrestre elíptica con un radio inicial r0 6700 km y una velocidad inicial v0 tal que el radio máximo de la órbita es de 13,400 km. a) Determine v0. b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del satélite cuando se encuentra en su radio máximo? (Vea el ejemplo activo 14.10). v0
r0
r0 rM
(a)
(b)
Problema 14.118 14.119* En t 0, un satélite terrestre está a una distancia r0 del centro de la Tierra y tiene una velocidad inicial v0, en la dirección mostrada. Demuestre que la ecuación polar de la órbita resultante es 1e + 12 cos2 b r , = r0 31e + 12 cos2 b - 14 cos u - 1e + 12 sen b cos b sen u + 1 donde e = 1r0 v 20 >gR 2E2 - 1.
r0
b
v0
Problema 14.115
www.FreeLibros.org 14.116 A un satélite se le da una velocidad inicial v0 = 6700 m/s a una distancia r0 = 2RE del centro de la Tierra, como se muestra en la figura 14.8a. Dibuje una gráfica de la órbita resultante.
RE
r0
Problema 14.119
160
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Problemas de repaso 14.120 El Acura NSX puede frenar desde 60 mih hasta detenerse en una distancia de 112 pies. El automóvil pesa 3250 lb. a) Si se supone que la desaceleración del vehículo es constante, ¿qué valores tienen su desaceleración y la magnitud de la fuerza horizontal que sus llantas ejercen sobre el camino? b) Si los neumáticos del automóvil están en el límite de adhesión (es decir, el deslizamiento es inminente), y la fuerza normal ejercida sobre el vehículo por el camino es igual a su peso, ¿qué valor tiene el coeficiente de fricción ms? (En este análisis se ignoran los efectos de las fuerzas aerodinámicas horizontal y vertical).
14.123 En una misión futura, una nave espacial se aproxima a la superficie de un asteroide que pasa cerca de la Tierra. Justo antes de aterrizar, la nave desciende a velocidad constante respecto a la superficie del asteroide y su empuje hacia abajo es de 0.01 N. La computadora disminuye el empuje a 0.005 N, y el interferómetro láser a bordo determina que la aceleración de la nave respecto a la superficie es ahora de 5 * 10-6 m/s2 hacia abajo. ¿Cuál es la aceleración gravitatoria del asteroide cerca de su superficie?
14.121 Usando el coeficiente de fricción obtenido en el problema 14.120, determine la máxima velocidad constante a la que el NSX puede conducirse sobre una pista plana, circular, de 600 pies de radio sin que se deslice. 14.122 Una locomotora de “cremallera” jala tres vagones de turistas hasta la cumbre de una montaña en Bavaria. La masa de cada vagón, incluidos sus pasajeros, es de 10,000 kg y las fuerzas de fricción ejercidas por las ruedas de los vagones son insignificantes. Determine las fuerzas en las uniones 1, 2 y 3 si a) la locomotora se mueve a velocidad constante; b) la locomotora acelera hacia arriba a 1.2 ms2.
Problema 14.123 14.124 Un automóvil con una masa de 1470 kg, incluyendo a su chofer, es conducido a 130 kmh sobre una ligera elevación en el camino. En la cúspide de la elevación, el conductor aplica los frenos. El coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el camino es ms = 0.9, y el radio de curvatura de la elevación es de 160 m. Determine la desaceleración del automóvil en el instante que se aplican los frenos y compárela con la desaceleración sobre un camino plano.
3
2
1 40
Problema 14.122
Problema 14.124 14.125 El automóvil de la figura viaja a velocidad constante hacia arriba sobre el segmento recto de camino que se encuentra a la izquierda. Si los neumáticos del vehículo continúan ejerciendo la misma fuerza tangencial sobre el camino después de que el vehículo ha pasado la cresta, y viaja ahora sobre el segmento recto de camino situado a la derecha, ¿cuál será la aceleración del automóvil?
www.FreeLibros.org 8
5
Problema 14.125
Problemas de repaso 14.126 El portaviones Nimitz pesa 91,000 tons (una ton equivale a 2000 lb). Suponga que está viajando a su velocidad máxima de aproximadamente 30 nudos (un nudo equivale a 6076 piesh) cuando se apagan sus motores. Si el agua ejerce una fuerza de arrastre de 20,000v lb, donde v es la velocidad del portaviones en pies por segundo, ¿qué distancia recorre éste antes de detenerse? 14.127 Si mA = 10 kg, mB = 40 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies mostradas es mk = 0.11, ¿cuál es la aceleración de B hacia abajo sobre la superficie inclinada? 14.128 Si A pesa 20 lb, B pesa 100 lb y el coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies mostradas es mk = 0.15, ¿cuál es la tensión en la cuerda cuando B resbala hacia abajo sobre la superficie inclinada?
161
14.130 Los pesos de los bloques mostrados son WA 120 lb y WB 20 lb, y sus superficies son lisas. Determine la aceleración del bloque A y la tensión en la cuerda.
A B
Problema 14.130 14.131 El transbordador espacial de 100 Mg está en órbita cuando sus motores se encienden, ejerciendo un empuje T 10i 20j 10k (kN) durante 2 s. Ignore el cambio resultante en su masa. Al final de los dos segundos, el combustible está aún agitándose en los tanques del transbordador. ¿Cuál es el cambio en la velocidad del centro de masa del transbordador (incluyendo el combustible que contiene) debido al encendido de los motores durante 2 segundos?
A B
20
Problemas 14.127/14.128 14.129 Para investigar propiedades de materiales se usa una pistola de gas que acelera proyectiles a altas velocidades. El proyectil se mantiene en su lugar mientras se bombea gas a una alta presión p0 en la parte izquierda del tubo y simultáneamente se evacua su parte derecha. El proyectil se libera y es acelerado por el gas en expansión. Suponga que la presión p del gas está relacionada con el volumen V que ocupa por pV constante, donde es una constante. Si se puede despreciar la fricción, demuestre que la velocidad del proyectil en la posición x es
v =
g 2p0 Ax0
a
1
C m1g - 12 xg0 - 1
-
g-1 b,
1
14.132 En la figura se muestra un esquiador acuático que entra a la rampa con una velocidad de 25 mih paralela a la superficie de la rampa. Si se desprecia la fricción y se supone que la cuerda de arrastre no ejerce fuerza sobre él una vez que toca la rampa, calcule la longitud horizontal de su salto desde el extremo de la rampa.
8 pies
20 pies
Problema 14.132
x
donde m es la masa del proyectil y A es el área de la sección transversal del tubo. Proyectil p0 v
x0 p
www.FreeLibros.org x
Problema 14.129
162
Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.133 Suponga que se está diseñando una pista para un parque de diversiones que conducirá los vagones por un lazo vertical de 40 pies de radio. Si se decide que, por seguridad, la fuerza hacia abajo ejercida sobre un pasajero por su asiento en la parte superior del lazo debe ser por lo menos de la mitad de su peso, ¿cuál es la mínima velocidad segura que los carros deben tener en la parte superior del lazo?
14.136 Si se quieren diseñar los vagones de un tren de manera que se inclinen al entrar a una curva para lograr la máxima comodidad de los pasajeros, ¿cuál es la relación entre el ángulo u de inclinación deseada, la velocidad v del tren y el radio de curvatura instantáneo de la vía? u
40 pies
Problema 14.133 14.134 Cuando la barra lisa mostrada gira en un plano horizontal, la cuerda se enrolla sobre el cilindro fijo y atrae al collarín A de 1 kg. La barra parte desde el reposo cuando t 0 en la posición mostrada y gira con aceleración angular constante. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando t 1 s? Problema 14.136
14.135 En el problema 14.134, suponga que el coeficiente de fricción cinética entre el collarín y la barra es mk 0.2. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando t 1 s?
A
40
0
m
m
6 rad/s2
14.137 Para determinar el coeficiente de fricción estática entre dos materiales, una ingeniera del Instituto Nacional de Normas y Tecnología de Estados Unidos coloca una pequeña muestra de uno de los materiales sobre un disco horizontal con su superficie en contacto con la del otro; luego se gira el disco partiendo del reposo con una aceleración angular constante de 0.4 rads2. Si ella determina que la pequeña muestra se desliza sobre el disco luego de 9.903 s, ¿cuál es el coeficiente de fricción?
10
0
m
m
200 mm
www.FreeLibros.org Problemas 14.134/14.135
Problema 14.137
Problemas de repaso 14.138* El deslizador A de 1 kg es empujado por la barra ranurada a lo largo de la barra curva. La barra curva está en el plano horizontal y su perfil se describe mediante r = 21u>2p + 12 m, donde u está en radianes. La posición angular de la barra ranurada es u 2t rad. Determine las componentes polares de la fuerza externa total ejercida sobre el deslizador cuando u 120°. 14.139* En el problema 14.138, suponga que la barra curva se encuentra en el plano vertical. Determine las componentes polares de la fuerza total ejercida sobre A por las barras curva y ranurada cuando t 0.5 s.
Proyecto de diseño El diseño propuesto para una defensa de absorción de energía en un automóvil ejerce una fuerza de desaceleración de magnitud bs cv sobre el automóvil cuando éste choca con un obstáculo rígido, donde s es la distancia que viaja el vehículo desde el punto en que hace contacto con el obstáculo y v es su velocidad. Así, la fuerza ejercida sobre el auto por la defensa es una función de la posición y de la velocidad del vehículo. a) Suponga que en t 0 el automóvil hace contacto con el obstáculo con velocidad inicial v0. Demuestre que la posición del auto está dada en función del tiempo por s =
A
u
Problemas 14.138/14.139
163
v0 -1d - h2t - e-1d + h2t D , Ce 2h
donde d = c>2m, h = 2d 2 - b>m, y m es la masa del vehículo. Para hacer esto, primero muestre que la ecuación satisface la segunda ley de Newton. Después confirme que satisface las condiciones iniciales s = 0 y v = v0 en t = 0. b) Investigue los efectos de la masa y la velocidad inicial del automóvil y de las constantes b y c sobre el movimiento del auto cuando éste choca con el obstáculo (suponga que d2 > b/m). Preste atención especial en cómo afectan sus elecciones de b y c la desaceleración máxima a la que estarán sometidos los ocupantes del automóvil. Escriba un informe breve donde presente los resultados de su análisis y dé sus conclusiones respecto al diseño de defensas para la absorción de energía.
v0
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d
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CAPÍTULO
15 Métodos energéticos Los conceptos de energía y conservación de la energía se originaron mayormente en el estudio de la mecánica clásica. Una transformación sencilla de la segunda ley de Newton resulta en una ecuación que da lugar a las definiciones de trabajo, energía cinética (energía debida al movimiento de un objeto) y energía potencial (energía debida a la posición de un objeto). Esta relación puede simplificar en forma considerable la solución de problemas en los que intervienen fuerzas que dependen de la posición de un cuerpo, como las fuerzas gravitatorias o las fuerzas ejercidas por resortes.
Un columpio proporciona diversión al transformar la energía potencial de la altura en la energía cinética del movimiento. En este capítulo se emplean los métodos energéticos para analizar el movimiento de los objetos.
y
v Nivel de referencia
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166
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.1 Trabajo y energía cinética ANTECEDENTES Principio del trabajo y la energía Se ha usado la segunda ley de Newton para relacionar la aceleración del centro de masa de un cuerpo con su masa y las fuerzas externas que actúan sobre él. Ahora se mostrará la manera en que la segunda ley de Newton, que es una ecuación vectorial, puede transformarse en una forma escalar muy útil en ciertas circunstancias. Se comienza con la segunda ley de Newton en la forma
©F = m
dv , dt
(15.1)
y se toma el producto punto de ambos lados con la velocidad:
©F # v = m
dv # v. dt
(15.2)
Se expresa el lado izquierdo de esta ecuación como
©F # v = ©F #
dr dt
y se escribe el lado derecho como
m
dv # d v = 21 m 1v # v2, dt dt
de donde se obtiene
©F # dr = 21 m d1v 22,
(15.3)
donde v2 = v v es el cuadrado de la magnitud de la velocidad. El término en el lado izquierdo de la ecuación (15.3) es el trabajo expresado en términos de la fuerza externa total sobre el objeto y del desplazamiento infinitesimal dr de su centro de masa. Integrando la ecuación (15.3) se obtiene r2
Lr1
©F # dr = 21 mv 22 - 21 mv 21 ,
(15.4)
donde v1 y v2 son las magnitudes de la velocidad del centro de masa del objeto cuando éste se encuentra en las posiciones r1 y r2, respectivamente. El término –21 mv2 se denomina la energía cinética asociada con el movimiento del centro de masa. Si el trabajo realizado cuando el centro de masa se mueve de r1 a r2 se denota con r2
U12 =
Lr1
©F # dr,
(15.5)
Se obtiene el principio del trabajo y la energía: El trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en su energía cinética.
www.FreeLibros.org U12 = 21 mv 22 - 21 mv 21 .
(15.6)
15.1 Trabajo y energía cinética
167
Las dimensiones del trabajo y consecuentemente las de la energía cinética, son (fuerza) * (longitud). En unidades SI, el trabajo se expresa en N-m o joules (J). En unidades de uso común en Estados Unidos, el trabajo se expresa en pies-lb. Si el trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dos posiciones puede ser evaluado, el principio del trabajo y la energía permite determinar el cambio en la magnitud de la velocidad del objeto. También se puede aplicar este principio a un sistema de objetos, igualando el trabajo total realizado por fuerzas externas con el cambio en la energía cinética total del sistema. Pero el principio debe aplicarse con cuidado porque, como se demuestra en el ejemplo 15.3, las fuerzas internas pueden realizar trabajo neto sobre un sistema. Aunque el principio del trabajo y la energía relaciona el cambio en la posición de un objeto con el cambio en su velocidad, no es conveniente para obtener otra información acerca del movimiento del objeto, como el tiempo requerido para moverse de una posición a otra. Además, como el trabajo es una integral respecto a la posición, por lo general sólo puede evaluarse cuando las fuerzas que lo realizan se conocen como funciones de la posición. A pesar de estas limitaciones, el principio es muy útil para ciertos problemas porque el trabajo puede determinarse con facilidad.
Evaluación del trabajo Considere un objeto en movimiento curvilíneo respecto a un marco de referencia inercial (figura 15.1a) y especifique su posición por la coordenada s medida a lo largo de su trayectoria desde un punto de referencia O. En términos del vector unitario tangencial et, la velocidad del objeto es
v =
ds e. dt t
Como v = dr>dt, se puede multiplicar la velocidad por dt a fin de obtener una expresión para el vector dr que describe un desplazamiento infinitesimal a lo largo de la trayectoria (figura 15.1b):
dr = v dt = ds et. El trabajo realizado por las fuerzas externas que actúan sobre el objeto como resultado del desplazamiento dr es
©F # dr = 1©F # et2 ds = ©Ft ds,
s2
dr
et
Ft
ds O
s
O (a)
s
s1
(b)
Figura 15.1 (a) Coordenada s y vector unitario tangente. (b) Desplazamiento infinitesimal dr. (c) El trabajo realizado de s1 a s2 está determinado por la componente tangencial de las fuerzas externas.
(c)
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168
Capítulo 15 Métodos energéticos Ft
Ft
s2
s1
s1
s
(a)
s2
s
(b) Ft
s1
s2
s
(c)
Figura 15.2 (a) El trabajo es igual al área definida por la gráfica de la fuerza tangencial en función de la distancia a lo largo de la trayectoria. (b) Si la fuerza tangencial es opuesta a la dirección del movimiento, se realiza un trabajo negativo. (c) El trabajo realizado por una fuerza tangencial constante es igual al producto de la fuerza por la distancia.
donde ©Ft es la componente tangencial de la fuerza total. Por lo tanto, al moverse el objeto de una posición s1 a una posición s2 (figura 15.1c), el trabajo es s2
U12 =
Ls1
©Ft ds.
(15.7)
El trabajo es igual a la integral de la componente tangencial de la fuerza total respecto a la distancia a lo largo de la trayectoria. Así, el trabajo efectuado es igual al área definida por la gráfica de la fuerza tangencial de s1 a s2 (figura 15.2a). Las componentes de fuerza perpendiculares a la trayectoria no trabajan. Observe que si ©Ft es opuesta a la dirección del movimiento sobre alguna parte de la trayectoria, lo que significa que el objeto se está desacelerando, el trabajo es negativo (figura 15.2b). Si ©Ft es constante entre s1 y s2, el trabajo es simplemente el producto de la fuerza total tangencial por el desplazamiento (figura 15.2c): U12 = ©Ft1s2 - s12.
Fuerza tangencial constante
(15.8)
Potencia La potencia es la razón con que se efectúa trabajo. El trabajo realizado por las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo durante un desplazamiento infinitesimal dr es ©F dr. Se obtiene la potencia P dividiendo esta expresión entre el intervalo de tiempo dt durante el cual tiene lugar el desplazamiento:
www.FreeLibros.org P = ©F v.
(15.9)
15.1 Trabajo y energía cinética
169
Ésta es la potencia transmitida hacia o desde el objeto, dependiendo de si P es positiva o negativa. En unidades SI, la potencia se expresa en newton-metro por segundo, que es un joule por segundo 1J/s2 o watt (W). En unidades de uso común en Estados Unidos, la potencia se expresa en libras-pie por segundo o el anacronismo caballos de fuerza (hp), que es igual a 746 W o aproximadamente 550 pies-lb/s. Observe en la ecuación (15.3) que la potencia es igual a la razón de cambio de la energía cinética del objeto:
P =
d 1 A mv 2 B . dt 2
La transmisión de potencia hacia o desde un objeto hace que su energía cinética aumente y disminuya, respectivamente. Si se emplea esta relación, es posible escribir el promedio de la potencia respecto al tiempo durante un intervalo de tiempo de t1 a t2 como v2
t
Pprom Pav =
2 2 1 1 1 P dt = m d1v 22. t2 - t1 Lt1 t2 - t1 Lv 12 2
Efectuando la integración, se encuentra que la potencia promedio transmitida hacia o desde un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su energía cinética, o al trabajo realizado, dividido entre el intervalo de tiempo:
Pav = Pprom
1 2 2 mv 2
- 21 mv 21
t2 - t1
=
U12 . t2 - t1
(15.10)
RESULTADOS Principio del trabajo y la energía m
La energía cinética asociada con el movimiento del centro de masa de un objeto con masa m se define como
1 mv2, 2
v
donde v2 es el cuadrado de
la magnitud de la velocidad del centro de masa.
El trabajo realizado por la fuerza externa total que actúa sobre un objeto cuando su centro de masa se mueve de una posición r1 a una posición r2 está definido por r2
U12
F dr.
(15.5)
F r1
r2
www.FreeLibros.org L r1
170
Capítulo 15 Métodos energéticos
El principio del trabajo y la energía establece que el trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en su energía cinética.
U12 12 mv 22 12 mv 21 .
(15.6)
Evaluación del trabajo
s2
Ft s1
Trabajo realizado cuando un objeto se mueve de un punto s1 a un punto s2, donde Ft es la componente tangencial de la fuerza externa total sobre el objeto. Las componentes de fuerza normales a la trayectoria no trabajan.
U12
Si Ft es constante entre s1 y s2, el trabajo es el producto de la fuerza tangencial por la distancia a lo largo de la trayectoria.
U12 Ft (s2 s1).
(15.8)
P F v,
(15.9)
s2
L s1
Ft ds,
(15.7)
Potencia Potencia, o razón a la cual se realiza el trabajo sobre un objeto por la fuerza externa total que actúa sobre éste, donde v es la velocidad del centro de masa.
La potencia promedio transmitida a un objeto durante un intervalo de tiempo de t1 a t2 es igual al cambio en su energía cinética, o al trabajo realizado sobre el objeto dividido entre el intervalo de tiempo.
1 2 2 mv2
12 mv21
U12 . t2 t1
www.FreeLibros.org Pprom
t 2 t1
(15.10)
15.1 Trabajo y energía cinética
171
Trabajo y energía en el movimiento rectilíneo ( Relacionado con el problema 15.1)
Ejemplo activo 15.1
El recipiente A de 180 kg que se muestra en la figura parte desde el reposo en la posición s = 0. La fuerza horizontal (en newtons), que es ejercida sobre el recipiente por el pistón hidráulico, está dada como una función de la posición s en metros por F = 700 - 150s. El coeficiente de fricción cinética entre el recipiente y el piso es mk = 0.26. ¿Cuál es la velocidad del recipiente cuando éste ha alcanzado la posición s = 1 m?
A
s
Estrategia La fuerza que actúa sobre el recipiente está dada como una función de su posición, por lo que se puede usar la ecuación (15.7) para determinar el trabajo realizado sobre éste. Aplicando el principio del trabajo y la energía, es posible determinar el cambio en su velocidad. Solución
Dibuje el diagrama de cuerpo libre del recipiente e identifique las fuerzas que realizan trabajo. La fuerza ejercida por el cilindro hidráulico y la fuerza de fricción son tangentes a la trayectoria. Para calcular la fuerza de fricción, se necesita la fuerza normal N. El recipiente no tiene aceleración en la dirección vertical, por lo que N (180 kg)(9.81 m/s2) 1770 N.
A F (180 kg)(9.81 m/s2) s mkN
N
s2
U12
L s1
Ft ds 1
Evalúe el trabajo realizado mientras el recipiente se mueve desde su posición inicial hasta s 1 m.
L 0
(F mkN)ds 1
L 0
[(700 150s) (0.26)(1770)]ds
166 N-m. A v s
Aplique el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del recipiente cuando éste llega a s 1 m. Resolviendo se obtiene v2 1.36 m/s.
U12 12 mv22 12 mv21 : 166 N-m 12 (180 kg)v22 0.
Problema de práctica Suponga que la masa del recipiente A es de 120 kg. ¿Cuál es su velocidad cuando llega a la posición s = 1 m?
www.FreeLibros.org Respuesta: 2.31 m/s.
172
Capítulo 15 Métodos energéticos
Aplicación del trabajo y la energía a un sistema ( Relacionado con el problema 15.23)
Ejemplo 15.2
Las dos cajas mostradas se liberan desde el reposo. Sus masas son mA = 40 kg y mB = 30 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre la caja A y la superficie inclinada es mk = 0.15. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las cajas cuando se han desplazado 400 mm? A
Estrategia La velocidad se determinará de dos maneras.
20 B
Primer método Dibujando los diagramas de cuerpo libre de las cajas aisladas y aplicando el principio del trabajo y la energía de manera individual, se pueden obtener dos ecuaciones en términos de la magnitud de la velocidad y la tensión en el cable. Segundo método Se puede dibujar un solo diagrama de cuerpo libre de las dos cajas, el cable y la polea, y aplicar el principio del trabajo y la energía al sistema completo.
0.4
Solución Primer método En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja A. Las fuerzas que realizan trabajo cuando la caja se mueve hacia abajo sobre el plano son las fuerzas tangenciales a su trayectoria: la tensión T; la componente tangencial del peso, mAg sen 20°; y la fuerza de fricción mkN. Como la aceleración de la caja normal a la superficie es cero, N = mAg cos 20°. La magnitud v de la velocidad a la cual se mueve A en forma paralela a la superficie es igual a la magnitud de la velocidad a la cual cae B (figura b). Usando la ecuación (15.7) para determinar el trabajo, se iguala el trabajo realizado sobre A, cuando ésta se mueve de s1 = 0 a s2 = 0.4 m, con el cambio en su energía cinética.
m
20 T m Ag A
mkN N
(a) Diagrama de cuerpo libre de A.
s2
Ls1
©Ft ds = 21 mv 22 - 21 mv 21 :
0.4
L0
v
3T + mA g sen 20° - mk1mA g cos 20°24 ds = 21 mA v 22 - 0.
(1)
Las fuerzas que realizan trabajo sobre la caja B son su peso mBg y la tensión T (figura c). La magnitud de la velocidad de B es igual que la de la caja A. El trabajo hecho sobre B es igual al cambio en su energía cinética.
A 20
B
s2
v
Ls1
2
2
©Ft ds = 21 mv2 - 21 mv1 :
0.4
(b) La magnitud de la velocidad de cada caja es la misma.
1mB g - T2 ds = 21 mB v2 - 0. 2
L0
(2)
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15.1 Trabajo y energía cinética
173
Sumando las ecuaciones (1) y (2) se elimina T y se obtiene T
0.4
1mA g sen 20° - mk mA g cos 20° + mB g2 ds = 21 1mA + mB2v 2: 2
L0
0.4 m
340 sen 20° - 10.1521402 cos 20° + 30419.81210.42 = 21 140 + 302v 2. 2
B
Despejando la velocidad, se obtiene v2 = 2.07 m/s.
mBg
(c) Diagrama de cuerpo libre de B.
Segundo método Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema que consiste en las cajas, el cable y la polea de la figura d. Observe que la tensión del cable no aparece en este diagrama. Las reacciones en el soporte de pasador de la polea no realizan trabajo porque el soporte no se mueve. El trabajo total realizado por las fuerzas externas sobre el sistema cuando las cajas se mueven 400 mm es igual al cambio en la energía cinética total del sistema. 0.4
L0
0.4
3mA g sen 20° - mk1mA g cos 20°24 ds +
L0
mB g ds 2
2
= 21 mA v2 + 21 mB v2 - 0: 340 sen 20° - 10.1521402 cos 20° + 30419.81210.42 = 21 140 + 302v2. 2
Esta ecuación es idéntica a la obtenida aplicando el principio del trabajo y la energía de manera individual a las cajas. 0.4
m
20 mAg mk N
A N
0.4 m
B
mBg
(d) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Razonamiento crítico A menudo se encontrará que es más sencillo aplicar el principio del trabajo y la energía a un sistema completo que a sus partes por separado. Sin embargo, como se verá en el siguiente ejemplo, las fuerzas internas en un sistema pueden realizar un trabajo neto.
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174
Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.3
Trabajo neto realizado por fuerzas internas ( Relacionado con el problema 15.30) Las cajas A y B de la figura se sueltan desde el reposo. El coeficiente de fricción cinética entre A y B es mk, y la fricción entre B y la superficie inclinada puede ignorarse. ¿Cuál es su velocidad cuando las cajas se han movido una distancia b?
A B
u
Estrategia Aplicando el principio del trabajo y la energía a cada caja se pueden obtener dos ecuaciones en términos de la tensión en el cable y la velocidad. Solución Se dibujan los diagramas de cuerpo libre de las cajas en las figuras a y b. La aceleración de A normal a la superficie inclinada es cero, por lo que N = mAg cos u. Las magnitudes de las velocidades de A y B son iguales (figura c). El trabajo efectuado sobre A es igual al cambio en su energía cinética.
U12 = 21 mAv22 - 21 mAv21: b
L0
1T - mA g sen u - mk mA g cos u2 ds = 21 mA v22.
(1)
b
T
mAg N
mkN
(a) Diagrama de cuerpo libre de A. v mk N
A
N B
T
v
mBg u
b M
(b) Diagrama de cuerpo libre de B.
(c) La magnitud de la velocidad de cada una de las cajas es la misma.
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15.1 Trabajo y energía cinética
175
El trabajo realizado sobre B es igual al cambio en su energía cinética.
U12 = 21 mB v22 - 21 mB v21 : b
L0
1- T + mB g sen u - mk mA g cos u2 ds = 21 mB v22.
(2)
Sumando estas ecuaciones para eliminar T y despejando v2 se obtiene
v2 = 22gb31mB - mA2 sen u - 2mkmA cos u4>1mA + mB2.
Razonamiento crítico Si se intenta resolver este ejemplo aplicando el principio del trabajo y la energía al sistema consistente en las cajas, el cable y la polea (figura d), se obtiene un resultado incorrecto. Igualando el trabajo hecho por las fuerzas externas con el cambio en la energía cinética total del sistema, resulta b
L0
b
mB g sen u ds -
L0
mA g sen u ds = 21 mA v 22 + 21 mB v 22:
1mB g sen u2b - 1mA g sen u2b = 21 mA v 22 + 21 mB v 22.
b mAg
mBg b M
(d) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Pero si se suman las ecuaciones de trabajo y energía para las cajas individuales —ecuaciones (1) y (2)— se obtiene la ecuación correcta:
31mB g sen u2b - 1mA g sen u2b4 + 3 - 12mk mA g cos u2b4 = 21 mA v22 + 21 mB v22. ('''''')''''''* ('''')''''* Trabajo realizado por Trabajo realizado por las fuerzas externas las fuerzas internas Las fuerzas de fricción interna que las cajas ejercen entre sí realizan trabajo neto sobre el sistema. Este trabajo no se toma en cuenta al aplicar el principio del trabajo y la energía al diagrama de cuerpo libre del sistema completo.
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176
Capítulo 15 Métodos energéticos
Problemas 15.1 En el ejemplo activo 15.1, ¿cuál es la velocidad del recipiente cuando éste ha llegado a la posición s = 2 m? 15.2 La masa del helicóptero Sikorsky UH-60A es de 9300 kg. Despega verticalmente con su rotor ejerciendo un empuje constante hacia arriba de 112 kN. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la altura a la que se eleva el helicóptero cuando su velocidad es de 6 m/s. Estrategia: Asegúrese de dibujar el diagrama de cuerpo libre del helicóptero.
15.5 La pelota de fútbol de 0.45 kg que se muestra en la figura está a 1 m sobre el suelo cuando es pateada directamente hacia arriba a 10 m/s. Usando el principio del trabajo y la energía, determine: a) la altura a la que llega la pelota, b) la magnitud de la velocidad de la pelota cuando cae de nuevo a una altura de 1 m sobre el suelo, c) la magnitud de la velocidad de la pelota inmediatamente antes de golpear el suelo. 15.6 Suponga que la pelota de fútbol mostrada está en reposo hasta que es pateada hacia arriba a 12 m/s. La duración de la patada es 0.02 s. ¿Cuál es la potencia promedio transferida a la pelota durante la patada? 12 m/s
1m
Problema 15.2
15.3 La caja de 20 lb se encuentra en reposo sobre la superficie horizontal cuando se aplica la fuerza constante F = 5 lb. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es mk = 0.2. Determine la velocidad a la que se está moviendo la caja cuando se ha desplazado 2 pies desde su posición inicial a) aplicando la segunda ley de Newton; b) aplicando el principio del trabajo y la energía.
F
Problema 15.3
15.4 En el instante mostrado, la caja de 30 lb se mueve hacia arriba sobre la superficie inclinada lisa a 2 pies/s. La fuerza constante F = 15 lb. ¿A qué velocidad se estará moviendo la caja cuando ésta se haya desplazado 1 pie hacia arriba sobre la superficie a partir de su posición actual?
Problemas 15.5/15.6 15.7 El vehículo de carreras de 2000 lb que se muestra en la figura parte desde el reposo y recorre una pista de un cuarto de milla. Completa el recorrido en 4.524 segundos y cruza la línea de meta a 325.77 mi/h. a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el vehículo mientras éste recorre la pista? b) Suponga que la fuerza horizontal ejercida sobre el vehículo es constante y utilice el principio del trabajo y la energía para determinarlo. 15.8 El vehículo de carreras de 2000 lb que se muestra en la figura parte desde el reposo y recorre una pista de un cuarto de milla. Completa el recorrido en 4.524 segundos y cruza la línea de meta a 325.77 mi/h. Suponga que la fuerza horizontal ejercida sobre el vehículo es constante. Determine a) la potencia máxima y b) la potencia promedio transmitida al vehículo mientras éste recorre la pista de un cuarto de milla.
F
20
www.FreeLibros.org Problema 15.4
Problemas 15.7/15.8
Problemas 15.9 Cuando el avión de 32,000 lb despega, la componente tangencial de la fuerza ejercida sobre él por sus motores es ©Ft = 45,000 lb. Si se desprecian las otras fuerzas ejercidas sobre el avión, use el principio del trabajo y la energía para determinar cuánta distancia se requiere para que su velocidad llegue a 200 mi/h. 15.10 Cuando el avión de 32,000 lb despega, la componente tangencial de la fuerza ejercida sobre él por sus motores es ©Ft = 45,000 lb. Si se desprecian las otras fuerzas ejercidas sobre el avión, determine a) la potencia máxima y b) la potencia promedio transmitida al avión mientras su velocidad aumenta de cero a 200 mi/h.
177
15.14 La fuerza ejercida sobre un automóvil por una barrera prototipo al golpear el automóvil contra ésta es F = -1120s + 40s32 lb, donde s es la distancia en pies medida desde el punto de contacto inicial. La longitud efectiva de la barrera es de 18 pies. ¿Hasta qué velocidad puede estarse moviendo un automóvil de 5000 lb para que sea detenido dentro de la longitud efectiva de la barrera? 15.15 Un automóvil de 5000 lb golpea la barrera prototipo mostrada a 80 mi/h y se detiene en 0.11 segundos. ¿Cuál es la potencia promedio transmitida por el automóvil durante el impacto?
s
15.11 El avión de 32,000 lb parte desde el reposo en la posición s = 0. La fuerza tangencial total ejercida sobre él por sus motores y la resistencia aerodinámica (en libras) está dada como una función de su posición s por ©Ft = 45,000 - 5.2s. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad a la que se desplaza el avión cuando su posición es s = 950 pies.
Problemas 15.14/15.15
15.16 Un grupo de estudiantes de ingeniería construye un automóvil de energía solar y lo prueba en una pista circular con un radio de 1000 pies. El automóvil, con un peso de 460 lb incluyendo a su ocupante, parte desde el reposo. La componente tangencial total de la fuerza sobre el auto es ©Ft = 30 - 0.2s lb,
Problemas 15.9–15.11 15.12 El resorte mostrado 1k = 20 N/m2 se encuentra sin estirar cuando s = 0. El carrito de 5 kg se mueve a la posición s = -1 m y se suelta desde el reposo. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad cuando regrese a la posición s = 0?
donde s es la distancia (en pies) que recorre el automóvil a lo largo de la pista desde la posición de inicio. a) Determine el trabajo realizado sobre el automóvil cuando éste ha recorrido una distancia s = 120 pies. b) Determine la magnitud de la fuerza horizontal total ejercida por el camino sobre las llantas del automóvil cuando éste se encuentra en la posición s = 120 pies.
15.13 El resorte mostrado 1k = 20 N/m2 se encuentra sin estirar cuando s = 0. El carrito de 5 kg se mueve a la posición s = -1 m y se suelta desde el reposo. ¿Cuál es la distancia máxima hacia abajo sobre la superficie inclinada que se mueve el carrito con respecto a su posición inicial?
k
s
www.FreeLibros.org 20
Problemas 15.12/15.13
178
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.17 En el instante mostrado, el centro de masa del saltador de 160 lb se encuentra a 8.5 pies sobre el suelo y la componente vertical de su velocidad es de 4 pies/s. Mientras la garrocha se endereza, ésta ejerce sobre el saltador una fuerza vertical de magnitud 180 + 2.8y2 lb, donde y es la posición vertical de su centro de masa respecto a su posición en el instante mostrado. Esta fuerza se ejerce sobre el saltador desde y = 0 hasta y = 4 pies, cuando él suelta la garrocha. ¿Cuál es la altura máxima sobre el suelo que alcanza el centro de masa del saltador?
15.19 Los coeficientes de fricción entre la caja de 160 kg y la rampa son ms = 0.3 y mk = 0.28. a) ¿Qué tensión T0 debe ejercer el malacate para que la caja empiece a moverse hacia arriba sobre la rampa? b) Si la tensión permanece en el valor T0 después de que la caja empieza a deslizarse, ¿cuál es el trabajo total realizado sobre la caja mientras ésta se desliza una distancia s = 3 m hacia arriba de la rampa? y ¿cuál es la velocidad resultante de la caja? 15.20 En el problema 15.19, si el malacate ejerce una tensión T = T011 + 0.1s2 después de que la caja empieza a deslizarse, ¿cuál es el trabajo total realizado sobre la caja mientras ésta se desliza una distancia s = 3 m hacia arriba de la rampa? y ¿cuál es la velocidad resultante de la caja?
18
s
Problemas 15.19/15.20 Problema 15.17 15.18 Los resortes mostrados 1k = 25 lb/pie2 están sin estirar cuando s = 0. El peso de 50 lb se suelta desde el reposo en la posición s = 0. a) Cuando el peso ha caído 1 pie, ¿cuánto trabajo ha sido realizado sobre él por cada uno de los resortes? b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del peso cuando éste ha caído 1 pie?
15.21 La pistola de gas de 200 mm de diámetro que se muestra en la figura es evacuada a la derecha del proyectil de 8 kg. A la izquierda del proyectil, el tubo contiene gas a una presión p0 = 1 * 105 Pa (N/m2). La fuerza F aumenta lentamente, moviendo el proyectil 0.5 m hacia la izquierda desde la posición mostrada. Después se elimina la fuerza y el proyectil se acelera hacia la derecha. Si se desprecia la fricción y se supone que la presión del gas se relaciona con su volumen por pV = constante, ¿cuál es la velocidad del proyectil cuando éste regresa a su posición original? 15.22 En el problema 15.21, si se supone que la presión del gas está relacionada con su volumen por pV = constante mientras el gas es comprimido (proceso isotérmico) y por la expresión pV1.4 = constante mientras se está expandiendo (proceso isoentrópico), ¿cuál es la velocidad del proyectil cuando éste regresa a su posición original?
k
s
Gas k
Proyectil F
1m
Problema 15.18
Problemas 15.21/15.22
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Problemas 15.23 En el ejemplo 15.2, suponga que el ángulo entre la superficie inclinada y la horizontal se aumenta de 20° a 30°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las cajas cuando éstas se han movido 400 mm? 15.24 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. La masa de 4 kg se desliza sobre la superficie horizontal lisa. Usando el principio del trabajo y la energía, determine la magnitud de la velocidad de las masas cuando la de 20 kg ha caído 1 m. 15.25 Resuelva el problema 15.24 si el coeficiente de fricción cinética entre la masa de 4 kg y la superficie horizontal es mk = 0.4.
179
15.28 Las masas de los tres bloques mostrados son mA = 40 kg, mB =16 kg y mC = 12 kg. Ignore la masa de la barra que mantiene a C en su sitio. La fricción es insignificante. Aplicando el principio del trabajo y la energía a A y B de manera individual, determine la magnitud de sus velocidades cuando se hayan movido 500 mm. 15.29 Resuelva el problema 15.28 aplicando el principio del trabajo y la energía al sistema formado por A, B, el cable que los conecta y la polea. 15.30 Las masas de los tres bloques mostrados son mA = 40 kg, mB =16 kg y mC = 12 kg. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies es mk = 0.1. Determine la magnitud de la velocidad de los bloques A y B cuando se han movido 500 mm. (Vea el ejemplo 15.3).
4 kg
C B
20 kg A
Problemas 15.24/15.25
15.26 Cada una de las cajas mostradas pesa 50 lb y las superficies inclinadas son lisas. El sistema se suelta desde el reposo. Determine la magnitud de las velocidades de las cajas cuando éstas se han movido 1 pie.
45
Problemas 15.28 –15.30
15.27 Resuelva el problema 15.26 si el coeficiente de fricción cinética entre las cajas y las superficies inclinadas es mk = 0.05.
30 45
Problemas 15.26/15.27
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180
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares ANTECEDENTES Se ha visto que si la componente tangencial de la fuerza externa total sobre un objeto se conoce en función de la distancia a lo largo de su trayectoria, el principio del trabajo y la energía puede usarse para relacionar un cambio de posición con el cambio de velocidad del objeto. Sin embargo, para ciertos tipos de fuerzas se puede determinar no sólo el trabajo sin conocer la componente tangencial de la fuerza en función de la distancia a lo largo de la trayectoria, sino que incluso no es necesario conocer la trayectoria. Dos ejemplos importantes son el peso y la fuerza ejercida por un resorte.
Peso Para evaluar el trabajo hecho por el peso de un objeto, se orienta un sistema coordenado cartesiano con el eje y hacia arriba y se supone que el objeto se mueve de la posición 1 con coordenadas 1x1, y1, z12 a la posición 2 con coordenadas 1x2, y2, z22 (figura 15.3a). La fuerza ejercida por el peso del objeto es F = -mgj. (Hay otras fuerzas que pueden actuar sobre el objeto, pero aquí sólo interesa el trabajo realizado por su peso). Como v = dr>dt, se puede multiplicar la velocidad, expresada en coordenadas cartesianas, por dt a fin de obtener una expresión para el vector dr:
dr = a
dy dz dx i + j + k b dt = dx i + dy j + dz k. dt dt dt
Tomando el producto punto de F y dr se obtiene
F # dr = 1 -mgj2 # 1dx i + dy j + dz k2 = - mg dy. El trabajo realizado al moverse el cuerpo de la posición 1 a la posición 2 se reduce a una integral con respecto a y: r2
U12 =
Lr1
F # dr =
y2
Ly1
- mg dy.
y
y 1
1 (x1, y1, z1)
mgj
x
x
2 (x2, y2, z2) z
2
z (a)
(b)
www.FreeLibros.org Figura 15.3 (a) Objeto que se mueve entre dos posiciones. (b) El trabajo realizado por el peso es igual para cualquier trayectoria.
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares eu r
181
er
F u
RE
Figura 15.4 Expresión del peso de un objeto en coordenadas polares.
Evaluando la integral se obtiene el trabajo realizado por el peso de un objeto cuando éste se mueve entre dos posiciones:
U12 = -mg1y2 - y12.
(15.11)
El trabajo es simplemente el producto del peso por el cambio en la altura del objeto. El trabajo realizado es negativo si la altura aumenta y positivo si disminuye. Observe que el trabajo realizado es el mismo independientemente de la trayectoria que siga el cuerpo entre la posición 1 y 2 (figura 15.3b). Así, no es necesario conocer la trayectoria para determinar el trabajo realizado por el peso de un objeto; sólo se requiere conocer las alturas relativas de las posiciones inicial y final. ¿Qué trabajo realiza el peso de un objeto si se toma en cuenta su variación con la distancia desde el centro de la Tierra? En términos de coordenadas polares, se puede escribir el peso de un objeto a una distancia r desde el centro de la Tierra como (figura 15.4)
mgR E2
F = -
r2
er.
Usando la expresión para la velocidad en coordenadas polares, se obtiene, para el vector dr = v dt,
dr = a
du dr er + r eu b dt = dr er + r du eu. dt dt
(15.12)
El producto punto de F y dr es
F # dr = a -
mgRE2 r2
er b # 1dr er + r du eu2 = -
mgR E2 r2
dr,
por lo que el trabajo se reduce a una integral con respecto a r: r2
U12 =
Lr1
F # dr =
2
r2
Lr1
-
mgR E r2
dr.
Evaluando la integral, se obtiene el trabajo realizado por el peso de un objeto, considerando la variación del peso con la altura:
www.FreeLibros.org U12 = mgRE2 a
1 1 - b. r2 r1
(15.13)
182
Capítulo 15 Métodos energéticos
r
r u
k
k(r r0)
Figura 15.5 Expresión de la fuerza ejercida por un resorte lineal en coordenadas polares.
De nuevo, el trabajo es independiente de la trayectoria entre las posiciones 1 y 2. Para evaluarlo, sólo se necesita conocer la distancia radial del cuerpo desde el centro de la Tierra en las dos posiciones.
Resortes Suponga que un resorte lineal conecta un cuerpo a un soporte fijo. En términos de coordenadas polares (figura 15.5), la fuerza ejercida sobre el objeto es
F = - k1r - r02er, donde k es la constante del resorte y r0 es la longitud del resorte sin estirar. Usando la ecuación (15.12), se obtiene el producto punto de F y dr:
F # dr = 3 -k1r - r02er4 # 1dr er + r du eu2 = - k1r - r02 dr. Resulta conveniente expresar el trabajo realizado por un resorte en términos de su alargamiento, definido por S = r - r0. (Aunque por lo general la palabra alargamiento significa un incremento de longitud, aquí el término se usa de manera más general para denotar el cambio de longitud del resorte. Un alargamiento negativo reduce la longitud). En términos de esta variable, F dr = -kS dS, y el trabajo es r2
U12 =
Lr1
F # dr =
S2
LS1
-kS dS.
El trabajo realizado por un resorte unido a un soporte fijo es
U12 = - 21 k1S 22 - S 21 2,
(15.14)
donde S1 y S2 son el alargamiento en las posiciones inicial y final. No es necesario conocer la trayectoria del objeto para determinar el trabajo realizado por el resorte. Sin embargo, recuerde que la ecuación (15.14) se aplica sólo a un resorte lineal. En la figura 15.6 se determina el trabajo efectuado al estirar un resorte lineal calculando el área definida por la gráfica de la fuerza como una función de S.
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15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 1
U 2 S2(kS2)
1 2
1
183
2
S1(kS1) 2 k(S22 S1 )
kS
kS2 kS1
S
S1 S2
Figura 15.6 Trabajo realizado al estirar un resorte lineal de S1 a S2. (Si S2 7 S1, el trabajo realizado sobre el resorte es positivo, por lo que el trabajo realizado por el resorte es negativo).
RESULTADOS Peso Cuando el peso puede considerarse constante, el trabajo es U12 mg(y2 y1), (15.11) donde el eje positivo y apunta hacia arriba. El trabajo es el producto del peso y el cambio en la altura. Es negativo si la altura aumenta y positivo si la z altura disminuye.
Para algunos tipos de fuerzas, el trabajo realizado durante un movimiento de una posición 1 a una posición 2 puede determinarse con facilidad. Observe que el trabajo es independiente de la trayectoria de 1 a 2.
Peso variable Cuando se debe considerar la variación de la gravedad con la altura, el trabajo es
1 1 , (15.13) r2 r1 donde RE es el radio de la Tierra. U12 mgR2E
Resortes El trabajo realizado sobre un objeto por un resorte lineal es U12 12 k(S22 S21),
y 1 (x1 , y1 , z1 )
x
mgj
2 (x2, y2, z2)
2 r2 RE
r1 1
2
(15.14)
donde S1 y S2 son los valores del estiramiento del resorte en las posiciones inicial y final.
1
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184
Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo activo 15.4
Trabajo realizado por pesos y resortes ( Relacionado con el problema 15.49) El martillo de 40 kg mostrado en la figura se levanta a la posición 1 y se libera desde el reposo. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo se encuentra en la posición 2. Ignore la fricción. ¿Cuál es la velocidad del martillo justo antes de que golpee la pieza de trabajo?
Martillo 1
k
k
400 mm
2
Pieza de trabajo
300 mm
Estrategia El peso del martillo y las fuerzas ejercidas sobre éste por los dos resortes realizan trabajo sobre él. Se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al movimiento del martillo de la posición 1 a la posición 2 para determinar su velocidad en la posición 2.
Solución
Calcule el trabajo realizado por el peso: El martillo cae hacia abajo, por lo que el trabajo es positivo, y su magnitud es el producto del peso por el cambio en la altura.
Upeso (peso)(cambio en altura) [(40 kg)(9.81 m/s2)](0.4 m) 157 N-m.
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15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares
185
S1 (0.3 m)2 (0.4 m)2 0.3 m 0.2 m, S2 0,
Calcule el trabajo realizado por cada uno de los resortes. Los resortes están sin estirar en la posición 2.
Uresorte 12 k(S22 S21) 12 (1500 N/m)[(0)2 (0.2 m)2] 30 N-m.
Upeso 2(Uresorte) 12 mv22 157 N-m 2(30 N-m)
Aplique el trabajo y la energía para obtener la velocidad del martillo en la posición 2.
1 2 2 mv1:
1 2 (40
kg)v22 0.
Resolviendo, se obtiene v2 3.29 m/s.
Problema de práctica Al martillo de 40 kg se le da una velocidad hacia abajo de 2 m/s en la posición 1. Cae y golpea a una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo se encuentra en la posición 1. Ignore la fricción. ¿Cuál es la velocidad del martillo justo antes de golpear la pieza de trabajo?
k
1
Martillo k
400 mm
2
Pieza de trabajo
300 mm
Respuesta: v2 = 2.97 m/s.
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186
Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.5
Trabajo realizado por el peso ( Relacionado con el problema 15.31) El esquiador de la figura, viaja a 15 m/s en la posición 1 acercándose a su salto. Cuando llega al extremo horizontal de la rampa en la posición 2, 20 m abajo de la posición 1, salta hacia arriba, alcanzando una componente vertical de velocidad de 3 m/s. (No tome en cuenta el pequeño cambio en la posición vertical de su centro de masa debido al movimiento de su salto). Ignore la resistencia aerodinámica y la fricción en sus esquís. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del esquiador cuando deja la rampa en la posición 2? b) En el punto más alto de su salto, posición 3, ¿cuáles son las magnitudes de su velocidad y la altura de su centro de masa sobre la posición 2?
1
3 2
Estrategia a) Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas y de fricción, la única fuerza que realiza trabajo entre las posiciones 1 y 2 es el peso del esquiador. La fuerza normal ejercida por la rampa sobre los esquís no trabaja porque es perpendicular a la trayectoria. Sólo es necesario conocer el cambio en la altura del esquiador desde la posición 1 hasta la posición 2 para calcular el trabajo realizado por su peso, por lo que se puede aplicar el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad en la posición 2 justo antes de saltar. b) Entre el tiempo que deja la rampa en la posición 2 y cuando alcanza la posición 3, la única fuerza que actúa sobre el esquiador es su peso, por lo que la componente horizontal de su velocidad es constante. Esto significa que se conoce la magnitud de su velocidad en la posición 3, porque se está moviendo horizontalmente en ese punto. Por lo tanto, se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al movimiento del esquiador de la posición 2 a la posición 3 para determinar su altura sobre la posición 2.
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15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares
187
y
2 x
(a) La altura del centro de masa del esquiador se mide respecto a la posición 2.
Solución a) Se usará la ecuación (15.11) para evaluar el trabajo realizado por el peso del esquiador, midiendo la altura de su centro de masa respecto a la posición 2 (figura a). El principio del trabajo y la energía entre la posición 1 y la posición 2 es
U12 = - mg1y2 - y12 = 12 mv22 - 12 mv21: - m19.81210 - 202 = 12 mv22 - 12 m11522. Despejando v2, se encuentra que la velocidad del esquiador en la posición 2 antes de saltar es de 24.8 m/s. Después de saltar, la magnitud de su velocidad en la posición 2 es v2œ = 2124.822 + 1322 = 25.0 m/s. b) La magnitud de la velocidad del esquiador en la posición 3 es igual a la componente horizontal de su velocidad en la posición 2: v3 = v2 = 24.8 m/s. Aplicando el trabajo y la energía a su movimiento entre la posición 2 y la 3, se obtiene
U23 = - mg1y3 - y22
= 21 mv23 - 21 m1v2œ 22:
- m19.8121y3 - 02 = 21 m124.822 - 21 m125.022, de donde se deduce que y3 = 0.459 m.
Razonamiento crítico ¿Por qué no fue necesario incluir el efecto de la fuerza normal ejercida por la rampa sobre el esquiador? La razón es que es perpendicular a su trayectoria y por lo tanto no trabaja. Para obtener una predicción exacta del movimiento del esquiador, podría ser necesario tomar en cuenta la fuerza de fricción ejercida por la rampa y las fuerzas aerodinámicas. No obstante, el análisis aproximado de este ejemplo proporciona un acercamiento útil, mostrando cómo el trabajo realizado por la gravedad mientras el esquiador desciende, hace que su energía cinética se incremente. Observe que el trabajo efectuado por la gravedad está determinado por su cambio en la altura, no por la longitud de su trayectoria.
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188
Capítulo 15 Métodos energéticos
Trabajo realizado por la gravedad de la Tierra ( Relacionado con el problema 15.74)
Ejemplo 15.6
v1
RE
r1
Una nave espacial localizada a una distancia r1 = 2RE del centro de la Tierra tiene una velocidad de magnitud v1 = 22gR E >3 respecto a un marco de referencia no giratorio con su origen en el centro de la Tierra. Determine la magnitud de la velocidad de la nave espacial cuando ésta se encuentra a una distancia r2 = 4RE desde el centro de la Tierra.
Estrategia Aplicando la ecuación (15.13) para determinar el trabajo realizado por la fuerza gravitacional sobre la nave espacial, se puede usar el principio del trabajo y la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la nave espacial.
Solución A partir de la ecuación (15.13), el trabajo realizado por la gravedad mientras la nave espacial se mueve de una distancia r1 desde el centro de la Tierra a una distancia r2 es
U12 = mgR2E a
1 1 - b. r2 r1
Sea v2 la magnitud de la velocidad de la nave espacial cuando se encuentra a una distancia r2 del centro de la Tierra. Aplicando el principio del trabajo y la energía resulta
U12 = mgR2E a
1 1 - b = 12 mv22 - 12 mv21. r2 r1
Se despeja v2, para obtener
v2 =
C
v21 + 2gR2E a
1 1 - b r2 r1
=
a
2gRE 1 1 b b + 2gR 2E a C 3 4RE 2RE
=
gRE . A 6
La velocidad v2 = v1>2.
Razonamiento crítico Observe que no fue necesario especificar la dirección de la velocidad inicial de la nave espacial para determinar la magnitud de su velocidad a una distancia diferente del centro de la Tierra. Esto ilustra el poder del principio del trabajo y la energía, así como una de sus limitaciones. Aun si se conoce la dirección de la velocidad inicial, el principio del trabajo y la energía indica sólo la magnitud de la velocidad a una distancia diferente.
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Problemas
189
Problemas 15.31 En el ejemplo 15.5, suponga que el esquiador se mueve a 20 m/s cuando está en la posición 1. Determine la componente horizontal de su velocidad cuando alcanza la posición 2, 20 m debajo de la posición 1. 15.32 Suponga que alguien está de pie en el borde de un precipicio de 200 pies y lanza rocas a 30 pies/s en las tres direcciones mostradas. Ignorando la resistencia aerodinámica, use el principio del trabajo y la energía en cada caso para determinar la magnitud de la velocidad de la roca justo antes de golpear el suelo.
15.35 En el caso a), una bola de 5 lb se suelta desde el reposo en la posición 1 y cae hasta la posición 2. En el caso b), la bola se suelta desde el reposo en la posición 1 y oscila hasta la posición 2. Para cada caso use el principio del trabajo y la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la bola en la posición 2. [En el caso b), observe que la fuerza ejercida por la cuerda sobre la bola es perpendicular a su trayectoria]. 1
1
(a) 2 pies
30
(b)
30 2
(c)
2
200 pies (a)
(b)
Problema 15.35
Problema 15.32
15.33 La caja de 30 kg que se muestra en la figura se desliza hacia abajo sobre la superficie lisa a 1 m/s cuando está en la posición 1. En cada caso, determine la magnitud de la velocidad de la caja en la posición 2. 15.34 Resuelva el problema 15.33 si el coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie inclinada es mk = 0.2.
15.36 La bola de 2 kg mostrada en la figura se suelta desde el reposo en la posición 1 con la cuerda horizontal. La longitud de la cuerda es L = 1 m. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la bola cuando está en la posición 2? 15.37 La bola de 2 kg mostrada en la figura se suelta desde el reposo en la posición 1 con la cuerda horizontal. La longitud de la cuerda es L = 1 m. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando la bola está en la posición 2? Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la bola cuando está en la posición 2 y escriba la segunda ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial.
1
1
1 40
2m
L 2
2
2
60 (a)
40
Problemas 15.36/15.37
(b)
Problemas 15.33/15.34
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190
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.38 La bola de demolición de 400 lb que se muestra en la figura oscila en el extremo de un cable de 25 pies. Si la magnitud de la velocidad de la bola en la posición 1 es de 4 pies/s, ¿cuál es la magnitud de su velocidad justo antes de golpear la pared en la posición 2? 15.39 La bola de demolición de 400 lb que se muestra en la figura oscila en el extremo de un cable de 25 pies. Si la magnitud de la velocidad de la bola en la posición 1 es de 4 pies/s, ¿cuál es la tensión máxima en el cable durante el movimiento de la bola desde la posición 1 hasta la posición 2?
15.42 El collarín de 4 lb mostrado se desliza hacia abajo por el alambre rígido liso desde la posición 1 hasta la posición 2. Cuando llega a la posición 2, la magnitud de su velocidad es de 24 pies/s. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad en la posición 1? y
(2, 6, 4) pies 1 4 lb
65 95
x
1
z
2
2
(4, 1, 4) pies
Problema 15.42 Problemas 15.38/15.39 15.40 Un conductor quiere guiar un automóvil a través del lazo circular de radio R = 5 m que se muestra en la figura. Determine la velocidad mínima v0 a la que el automóvil puede entrar al lazo y recorrerlo sin perder contacto con la pista. ¿Cuál es la velocidad del automóvil en la parte superior del lazo?
R
15.43 Las fuerzas que actúan sobre el avión de 28,000 lb mostrado son el empuje T y la resistencia D, las cuales son paralelas a la trayectoria del avión; la sustentación L, que es perpendicular a la trayectoria; y el peso W. El avión se eleva de 3000 pies a una altura de 10,000 pies. Durante la elevación, la magnitud de su velocidad disminuye de 800 pies/s a 600 pies/s. a) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el avión por la fuerza de sustentación durante la elevación? b) ¿Cuál es el trabajo realizado por las fuerzas de empuje y resistencia combinadas? T
L
v0
Problema 15.40 15.41 El collarín de 2 kg mostrado parte desde el reposo en la posición 1 y se desliza hacia abajo por el alambre rígido liso. El eje y apunta hacia arriba. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del collarín cuando alcanza la posición 2? y
1
D W
Problema 15.43
(5, 5, 2) m
2 kg
x
www.FreeLibros.org 2
z
(3, 1, 3) m
Problema 15.41
Problemas 15.44 El automóvil de 2400 lb mostrado viaja a 40 mi/h en la posición 1. Si el efecto combinado de la resistencia aerodinámica sobre el automóvil y la fuerza tangencial ejercida sobre el camino por sus neumáticos es una fuerza tangencial neta nula sobre el vehículo, ¿cuál es su velocidad en la posición 2?
15.45 El automóvil de 2400 lb mostrado viaja a 40 mi/h en la posición 1. Si el efecto combinado de la resistencia aerodinámica sobre el automóvil y la fuerza tangencial ejercida sobre el camino por sus neumáticos es una fuerza tangencial constante de 400 lb sobre el vehículo en la dirección de su movimiento, ¿cuál es la velocidad del automóvil en la posición 2?
191
15.47 Un ingeniero biomecánico interesado en los requerimientos energéticos de los deportes, determina a partir de un video que cuando el atleta comienza su movimiento para lanzar la bala de 7.25 kg (figura P15.47a), la bala está en reposo y a 1.50 m sobre el suelo. En el instante que el atleta la suelta (figura P15.47b), la bala está a 2.10 m sobre el suelo. La bala alcanza una altura máxima de 4.60 m sobre el suelo y recorre una distancia horizontal de 18.66 m desde el punto donde es lanzada. ¿Cuánto trabajo realiza el atleta sobre la bala desde el inicio de su movimiento hasta el instante en que la suelta?
120 pies 30 2 1 30 100 pies
Problemas 15.44/15.45
15.46 La masa del cohete mostrado es de 250 kg. Su motor tiene un empuje constante de 45 kN. La longitud total de la rampa de lanzamiento es de 10 m. Si la magnitud de la velocidad del cohete cuando éste llega al final de la rampa es de 52 m/s, ¿cuánto trabajo realizan la fricción y la resistencia aerodinámica sobre el cohete?
(a)
(b)
Problema 15.47 15.48 Una pequeña canica de masa m = 0.2 kg se desliza desde la posición de reposo en 1 a lo largo de la superficie lisa del cilindro mostrado, hasta la posición 2, donde u = 30°. a) ¿Qué trabajo se efectúa sobre la canica al deslizarse de la posición 1 a la 2? b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la canica en la posición 2?
1 2 m
2m
0.8 m
u
Problema 15.46 Problema 15.48 15.49 En el ejemplo activo 15.4, suponga que se desea incrementar el valor de la constante de resorte k de manera que la velocidad del martillo justo antes de golpear la pieza de trabajo sea de 4 m/s. ¿Cuál es el valor requerido de k?
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192
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.50 Suponga que se desea diseñar un “parachoques” que detenga un paquete de 50 lb que se mueve a 10 pies/s a 6 pulg del punto de contacto. Si la fricción es insignificante, ¿cuál es la constante de resorte k necesaria?
15.54 El sistema mostrado se libera desde el reposo con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 200 N/m. Determine la magnitud de la velocidad de los cuerpos cuando la masa de la derecha ha caído 1 m.
15.51 En el problema 15.50, ¿qué constante de resorte se requiere si el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y el piso es mk = 0.3 y el paquete entra en contacto con el parachoques moviéndose a 10 pies/s?
15.55 El sistema mostrado se libera desde el reposo con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 200 N/m. ¿Cuál es la velocidad máxima hacia abajo que alcanza la masa de la derecha mientras cae?
10 pies/s k
Problemas 15.50/15.51 4 kg
15.52 El paquete de 50 lb que se muestra en la figura parte desde el reposo, se desliza hacia abajo sobre la rampa y es detenido por el resorte. a) Si se desea que el paquete llegue al reposo a 6 pulg del punto de contacto, ¿qué valor debe tener la constante k del resorte? b) ¿Cuál es la desaceleración máxima a la que está sometido el paquete? 15.53 El paquete de 50 lb que se muestra en la figura parte desde el reposo, se desliza hacia abajo sobre la rampa y es detenido por el resorte. El coeficiente de fricción estática entre el paquete y la rampa es mk = 0.12. Si se desea que el paquete llegue al reposo a 6 pulg del punto de contacto, ¿qué valor debe tener la constante k del resorte?
s
4 pie
20 kg
k
Problemas 15.54/15.55
15.56 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. La masa de 4 kg se desliza sobre la superficie horizontal lisa. La constante del resorte es k = 100 N/m y la tensión en el resorte cuando el sistema se libera es 50 N. Usando el principio del trabajo y la energía, determine la magnitud de la velocidad de los cuerpos cuando la masa de 20 kg ha caído a 1 m. 15.57 Resuelva el problema 15.56 si el coeficiente de fricción cinética entre la masa de 4 kg y la superficie horizontal es mk = 0.4.
k
4 kg
k
30
Problemas 15.52/15.53 20 kg
www.FreeLibros.org Problemas 15.56/15.57
Problemas 15.58 La caja de 40 lb mostrada se libera desde el reposo sobre la superficie lisa inclinada con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 8 lb/pie. a) ¿Qué distancia recorre la caja a lo largo de la superficie inclinada antes de detenerse? b) ¿Qué velocidad máxima alcanza en su recorrido descendente? 15.59 Resuelva el problema 15.58 si el coeficiente de fricción cinética entre la caja de 4 kg y la superficie es mk = 0.2.
193
15.63 El collarín de 4 kg mostrado se suelta desde el reposo en la posición 1 sobre la barra lisa. La constante de resorte es k = 6 kN/m y el resorte no está estirado en la posición 2. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando éste ha caído a la posición 2? 15.64 El collarín de 4 kg mostrado se suelta desde el reposo en la posición 1 sobre la barra lisa. La constante de resorte es k = 4 kN/m. La tensión en el resorte en la posición 2 es de 500 N. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando ha caído a la posición 2? 15.65 El collarín de 4 kg mostrado se suelta desde el reposo en la posición 1 sobre la barra lisa. Su velocidad cuando ha caído a la posición 2 es de 4 m/s. El resorte no está estirado cuando el collarín está en la posición 2. ¿Qué valor tiene la constante de resorte k?
k
1
30
Problemas 15.58/15.59 15.60 El collarín de 4 kg mostrado parte desde el reposo en la posición 1 sobre la barra lisa y con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 100 N/m. ¿A qué distancia cae el collarín respecto a la posición 1?
250 mm
k
2
15.61 En la posición 1 sobre la barra lisa mostrada, el collarín de 4 kg tiene una velocidad hacia abajo de 1 m/s y el resorte está sin estirar. La constante del resorte es k = 100 N/m. ¿Cuál es la velocidad máxima hacia abajo que alcanza el collarín mientras cae? 15.62 El collarín de 4 kg mostrado parte desde el reposo en la posición 1 sobre la barra lisa. La tensión en el resorte en la posición 1 es de 20 N. La constante del resorte es k = 100 N/m. ¿A qué distancia cae el collarín respecto a la posición 1?
200 mm
Problemas 15.63–15.65 15.66 El collarín de 10 kg mostrado parte del reposo en la posición 1 y se desliza a lo largo de la barra lisa. El eje y apunta hacia arriba. La constante del resorte es k = 100 N/m y la longitud del resorte sin estirar es de 2 m. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando éste alcanza la posición 2? y
2 (4, 4, 2) m
k
(6, 2, 1) m 1 1 (1, 1, 0) m x
z
www.FreeLibros.org Problema 15.66
Problemas 15.60–15.62
194
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.67 Un mortero accionado por resortes se usa para lanzar al aire paquetes de fuegos artificiales de 10 lb. El paquete parte desde el reposo con el resorte comprimido a una longitud de 6 pulg. La longitud no estirada del resorte es de 30 pulg. Si la constante de resorte es k = 1300 lb/pie, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del paquete cuando sale del mortero?
15.70 El collarín de 2 kg mostrado está inicialmente en reposo en la posición 1. Una fuerza constante de 100 N se aplica a la cuerda, ocasionando que el collarín se deslice hacia arriba sobre la barra lisa vertical. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando alcanza la posición 2? (Vea el problema 15.69).
15.68 Suponga que el mortero del problema 15.67 se quiere diseñar para lanzar el paquete a una altura de 150 pies sobre su posición inicial. Ignorando la fricción y la fuerza de arrastre, determine la constante de resorte necesaria.
200 mm 2
500 mm 100 N 30 pulg
6 pulg
1
60
Problema 15.70 Problemas 15.67/15.68
15.69 Suponga que un objeto está unido a una cuerda con tensión constante T como se muestra. La fuerza ejercida sobre el objeto se puede expresar en coordenadas polares como F = -Ter. Demuestre que el trabajo realizado sobre el objeto cuando éste se mueve a lo largo de una trayectoria plana arbitraria desde una posición radial r1 a otra posición radial r2 es U12 = -T1r2 - r12.
15.71 El collarín de 10 kg mostrado parte desde el reposo en la posición 1. La tensión en la cuerda es de 200 N y el eje y apunta hacia arriba. Si la fricción es insignificante, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del collarín cuando éste alcanza la posición 2? (Vea el problema 15.69).
y
2 (4, 4, 2) m
(6, 2, 1) m
r 1
(1, 1, 0) m
200 N
u
x
z
Problema 15.71
www.FreeLibros.org T
Problema 15.69
Problemas 15.72 Cuando el avión F/A-18 mostrado aterriza a 210 pies/s, el cable que une los puntos A y B se acopla al gancho de freno del avión en C. El mecanismo de frenado mantiene la tensión del cable en un valor constante, y hace que el avión de 26,000 lb se detenga a una distancia de 72 pies. ¿Cuál es la tensión en el cable? (Vea el problema 15.69).
195
15.75 Un pedazo de material se desprende debido al choque de un meteoro contra la Luna. Cuando se encuentra a 1000 km sobre la superficie de la Luna, la magnitud de su velocidad (respecto a un marco de referencia no giratorio con su origen en el centro de la Luna) es de 200 m/s. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad justo antes de chocar con la superficie lunar? (La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Luna es de 1.62 m/s2. El radio de la Luna es de 1738 km).
15.73 Si el avión del problema 15.72 aterriza a 240 pies/s, ¿cuál es la distancia que rueda antes de que el sistema de frenado lo detenga? 1000 km
200 m/s
Problema 15.75
72 pies
C A
B
15.76 Un satélite en una órbita circular de radio r alrededor de la Tierra tiene una velocidad v = 2gR2E>r, donde RE = 6370 km es el radio de la Tierra. Suponga que se está diseñando un cohete para transferir un satélite de comunicaciones de 900 kg desde una órbita circular de espera de 6700 km de radio a una órbita geosincrónica de 42,222 km de radio. ¿Cuánto trabajo debe realizar el cohete sobre el satélite?
15.77 La fuerza ejercida sobre una partícula cargada por un campo magnético es F = qv * B,
66 pies
Problemas 15.72/15.73 15.74 Una nave espacial localizada a 320 km sobre la superficie de la Tierra tiene una velocidad de escape vesc = 10,900 m/s. ¿Cuál es la distancia desde el centro de la Tierra cuando su velocidad es 50 por ciento de la velocidad inicial? El radio de la Tierra es de 6370 km. (Vea el ejemplo 15.6).
donde q y v son la carga y la velocidad de la partícula y B es el vector de campo magnético. Suponga que las otras fuerzas sobre la partícula son despreciables. Use el principio del trabajo y la energía para demostrar que la magnitud de la velocidad de la partícula es constante.
vesc 320 km
Problema 15.74
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196
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas ANTECEDENTES Energía potencial El trabajo realizado sobre un objeto por algunas fuerzas se puede expresar como el cambio de una función de la posición del objeto, llamada energía potencial. Cuando todas las fuerzas que efectúan trabajo sobre un sistema tienen esta propiedad, el principio del trabajo y la energía puede establecerse como una ley de conservación: La suma de las energías cinética y potencial es constante. Cuando se dedujo el principio del trabajo y la energía en la sección 15.1 integrando la segunda ley de Newton, fue posible evaluar la integral a un lado de la ecuación y se obtuvo el cambio en la energía cinética: r2
U12 =
Lr1
©F # dr = 21 mv 22 - 21 mv 21 .
(15.15)
Suponga que se podría determinar una función escalar de la posición V tal que
dV = - ©F # dr.
(15.16)
Entonces también se podría evaluar la integral que define el trabajo: r2
U12 =
Lr1
©F # dr =
V2
LV1
- dV = - 1V2 - V12,
(15.17)
donde V1 y V2 son los valores de V en las posiciones r1 y r2, respectivamente. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (15.15), se obtiene el principio del trabajo y la energía de la forma 1 2 2 mv1
+ V1 = 21 mv22 + V2.
(15.18)
Si la energía cinética aumenta mientras el objeto se mueve de la posición 1 a la posición 2, la función V debe disminuir, y viceversa, como si V representara un depósito de energía cinética “potencial”. Por esta razón, V se llama energía potencial. La ecuación (15.18) establece que la suma de las energías cinética y potencial de un objeto tiene el mismo valor en cualesquiera dos puntos. La energía se conserva. Sin embargo, existe una restricción importante en el uso de este resultado. Se llegó a la ecuación (15.18) suponiendo que existe una función V, la energía potencial, que satisface la ecuación (15.16). Esto es cierto para un tipo limitado de fuerzas, que se denominan conservativas. Las fuerzas conservativas se analizan en la siguiente sección. Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un objeto son conservativas, es posible aplicar la ecuación (15.18), donde V es la suma de las energías potenciales de las fuerzas que realizan trabajo sobre el objeto. En caso contrario, la ecuación (15.18) no puede utilizarse. Se dice que un sistema es conservativo si todas las fuerzas que efectúan trabajo sobre el sistema son conservativas. En un sistema conservativo, la suma de las energías cinética y potencial se conserva. Un objeto puede estar sometido tanto a fuerzas conservativas como no conservativas. Cuando se da este caso, a menudo resulta conveniente introducir las energías potenciales de las fuerzas que son conservativas en el enunciado del principio del trabajo y la energía. Para permitir esta opción, se escribe la ecuación (15.15) como
www.FreeLibros.org 1 2 2 mv1
+ V1 + U12 = 21 mv22 + V2.
(15.19)
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
197
Cuando el principio del trabajo y la energía se escribe de esta manera, el término U12 incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre el objeto. Si una fuerza conservativa efectúa trabajo sobre el objeto, existe una alternativa. El trabajo se puede calcular y ser incluido en U12, o bien la energía potencial de la fuerza puede incluirse en V. Este procedimiento también puede aplicarse a un sistema que está sometido tanto a fuerzas conservativas como no conservativas. La suma de las energías cinética y potencial de un sistema en la posición 1 más el trabajo efectuado mientras el sistema se desplaza de la posición 1 a la posición 2 es igual a la suma total de las energías cinética y potencial en la posición 2.
Fuerzas conservativas La conservación de la energía se puede aplicar sólo si las fuerzas que realizan trabajo sobre un objeto o sistema son conservativas y sus energías potenciales se conocen (o pueden determinarse). En esta sección se determinan las energías potenciales de algunas fuerzas conservativas y se presentan aplicaciones de la conservación de la energía. Pero antes de analizar fuerzas conservativas, se demuestra con un sencillo ejemplo que las fuerzas de fricción no son conservativas. El trabajo hecho por una fuerza conservativa, cuando un objeto se mueve de una posición 1 a una posición 2, es independiente de la trayectoria del objeto. Esto se deduce de la ecuación (15.17), que establece que el trabajo depende sólo de la energía potencial en las posiciones 1 y 2. La ecuación (15.17) también implica que si el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, que lo hace regresar a la posición 1, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a cero. Suponga que un libro de masa m descansa sobre una mesa y es empujado horizontalmente deslizándose a lo largo de una trayectoria de longitud L. La magnitud de la fuerza de fricción es mkmg, y su dirección es opuesta a la del movimiento del libro (figura 15.7). El trabajo realizado es
2
mkmg
1
Figura 15.7 Trayectoria del libro de la posición 1 a la posición 2. La fuerza de fricción apunta en dirección opuesta a la del movimiento del libro.
L
U12 =
L0
- mk mg ds = - mk mgL.
El trabajo es proporcional a la longitud de la trayectoria del objeto y por lo tanto no es independiente de la trayectoria, Como lo demuestra este ejemplo sencillo, las fuerzas de fricción no son conservativas. El peso de un objeto y la fuerza ejercida por un resorte unido a un soporte fijo son fuerzas conservativas. Usándolas como ejemplos, se demostrará cómo determinar las energías potenciales de otras fuerzas conservativas. También se emplean las energías potenciales de estas fuerzas como ejemplos del uso de la conservación de la energía para analizar los movimientos de sistemas conservativos. Peso Para determinar la energía potencial asociada con el peso de un objeto, se usa un sistema cartesiano con su eje y dirigido hacia arriba (figura 15.8). El peso es F = - mgj y su producto punto con el vector dr es
y
F # dr = 1 -mgj2 # 1dx i + dy j + dz k2 = - mg dy. De la ecuación (15.16), la energía potencial V debe satisfacer la relación
dV = - F # dr = mg dy, que se puede escribir como
mgj
x
(15.20) z
www.FreeLibros.org dV = mg. dy
Figura 15.8 Peso de un objeto expresado en un sistema coordenado con el eje y dirigido hacia arriba.
198
Capítulo 15 Métodos energéticos
Integrando esta ecuación se obtiene
V = mgy + C, donde C es una constante de integración arbitraria. Esta expresión satisface la ecuación (15.20) para cualquier valor de C. Otra manera de entender por qué C es arbitraria es observar en la ecuación (15.18) que la diferencia en la energía potencial entre dos posiciones es la que determina el cambio en la energía cinética. Se hace C = 0 y se escribe la energía potencial del peso de un objeto como
V = mgy.
(15.21)
La energía potencial es el producto del peso del objeto por la altura. La altura se puede medir desde cualquier nivel de referencia conveniente, o datum. Como la diferencia de energía potencial determina el cambio en la energía cinética, es la diferencia de altura lo que importa, no el nivel desde el cual se mide ésta. La montaña rusa (figura 15.9a) es un ejemplo clásico de la conservación de la energía. Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas y de fricción, el peso del vagón es la única fuerza que realiza trabajo y el sistema es conservativo. La energía potencial del vagón de la montaña rusa es proporcional a la altura de la vía respecto a
Nivel de referencia
(a)
Energía cinética
Energía total 0
Energía potencial
(b)
www.FreeLibros.org Figura 15.9 (a) Montaña rusa y nivel de referencia, o datum. (b) La suma de las energías potencial y cinética es constante.
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
199
un nivel de referencia. En la figura 15.9b, se supone que el vagón parte desde el reposo en el nivel de referencia. La suma de las energías cinética y potencial es constante, por lo que la energía cinética “refleja” la energía potencial. En puntos de la vía que tienen igual altura, las magnitudes de las velocidades son iguales. Para tomar en cuenta la variación del peso con la distancia desde el centro de la Tierra, se puede expresar el peso en coordenadas polares como
F = -
mgR 2E r2
er,
donde r es la distancia desde el centro de la Tierra (figura 15.10). De la ecuación (15.12), el vector dr en términos de coordenadas polares es
dr = dr er + r du eu.
mgR 2E r2
r
(15.22) RE
La energía potencial debe satisfacer
dV = - F # dr =
eu
er
F u
dr, Figura 15.10 Expresión del peso en términos de coordenadas polares.
o
mgR 2E dV . = dr r2 Se integra esta ecuación y se iguala a cero la constante de integración, obteniendo la energía potencial
V = -
mgR 2E . r
(15.23)
Compare esta expresión con la energía potencial gravitatoria dada por la ecuación (15.21), donde la variación de la fuerza gravitatoria con la altura es insignificante. (Vea el problema 15.109). Resortes En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida sobre un objeto por un resorte lineal es
F = - k1r - r02er, donde r0 es la longitud sin estirar del resorte (figura 15.11). Usando la ecuación (15.22), se observa que la energía potencial debe satisfacer
dV = - F dr = k1r - r02 dr.
r
r u
k(r r0)
www.FreeLibros.org k
Figura 15.11 Expresión de la fuerza ejercida por un resorte lineal en coordenadas polares.
200
Capítulo 15 Métodos energéticos
Expresada en términos del alargamiento del resorte S = r - r0 esta ecuación es dV = kS dS, o
dV = kS. dS Integrando, se obtiene la energía potencial de un resorte lineal:
V = 21 kS2.
(15.24)
RESULTADOS
Fuerzas conservativas y energía potencial Para una fuerza dada F, si existe una función de posición V tal que dV Fdr, entonces se dice que F es conservativa, y V se denomina la energía potencial asociada con F.
Conservación de la energía Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un objeto son conservativas, la suma de la energía cinética y la energía potencial total es la misma en cualesquiera dos puntos.
1 2
mv21 V1 12 mv22 V2.
(15.18)
Cuando tanto fuerzas conservativas como no conservativas realizan trabajo sobre un objeto, el principio del trabajo y la energía puede expresarse en términos de la energía potencial V de las fuerzas conservativas y el trabajo U12 efectuado por las fuerzas no conservativas.
1 2
mv21 V1 U12
(15.19)
1 2
mv22 V2.
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15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
Por lo general, la aplicación de la conservación de la energía implica tres pasos.
201
1. Determinar si las fuerzas son conservativas. Dibuje un diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas que realizan trabajo y confirme que éstas son conservativas. 2. Determinar la energía potencial. Evalúe las energías potenciales de las fuerzas que realizan trabajo. 3. Aplicar la conservación de la energía. Iguale la suma de las energías cinética y potencial del sistema en dos posiciones. De ahí se obtiene una expresión que relaciona un cambio en la posición con el cambio en la energía cinética.
Energías potenciales asociadas con fuerzas particulares y
Peso Cuando el peso se puede considerar constante, la energía potencial es V mgy,
(15.21)
donde el eje y positivo apunta hacia arriba. La energía potencial es el producto del peso por la altura sobre un nivel de referencia, o datum, arbitrario.
Peso variable Cuando debe considerarse la variación de la gravedad con la altura, la energía potencial es
mgj
x
z
r u
RE
mgR2E (15.23) r , donde RE es el radio de la Tierra. V
Resortes La energía potencial de un resorte lineal es 1
V 2 kS2,
(15.24)
donde S es el estiramiento del resorte.
k
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202
Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo activo 15.7
Energía potencial de peso y resortes ( Relacionado con el problema 15.89) El martillo de 40 kg mostrado se levanta a la posición 1 y se libera desde el reposo. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo se encuentra en la posición 2. La fricción es insignificante. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad del martillo cuando llega a la posición 2.
Martillo 1
k
k
400 mm
2
Pieza de trabajo
300 mm
Estrategia Se debe confirmar que las fuerzas que realizan trabajo sobre el martillo son conservativas. Si lo son, es posible determinar la velocidad del martillo en la posición 2 igualando las sumas de las energías cinética y potencial en las posiciones 1 y 2.
Solución
En el diagrama de cuerpo libre del martillo se observa que el trabajo es realizado sólo por su peso y las fuerzas ejercidas por los resortes. El sistema es conservativo.
F
F mg
Elija un nivel de referencia para la energía potencial asociada con el peso del martillo. Considere que el nivel de referencia (y 0) es la posición 2.
Vpeso mgy.
y
Martillo 1 k
k
400 mm
2 Nivel de referencia Pieza de trabajo 300 mm
Energía potencial de uno de los resortes en términos del estiramiento S del resorte.
www.FreeLibros.org Vresorte 12 kS2.
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
203
S1 (0.3 m)2 (0.4 m)2 0.3 m
Calcule el estiramiento de uno de los resortes en las posiciones 1 y 2.
0.2 m, S2 0.
(Vpeso)1 2(Vresorte)1 12 mv21 (Vpeso)2 2(Vresorte)2 mgy1 2 Aplique la conservación de la energía a las posiciones 1 y 2 para determinar la velocidad en la posición 2.
1 2
kS21
1 2
mv21 mgy2 2
(40 kg) 9.81 m/s2 (0.4 m) 2
1 2
1 2
1 2
mv22:
1 kS22 2 mv22,
(1500 N/m)(0.2 m)2 0
0 0 12 (40 kg)v22. Resolviendo, se obtiene v2 3.29 m/s.
Problema de práctica Al martillo de 40 kg que se muestra en la figura se le da una velocidad hacia abajo de 2 m/s en la posición 1. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo se encuentra en la posición 1. La fricción es insignificante. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad del martillo justo antes de golpear la pieza de trabajo.
k
1
Martillo k
400 mm
2
Pieza de trabajo
300 mm
www.FreeLibros.org Respuesta: v2 = 2.97 m/s.
204
Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.8
Conservación de la energía de un sistema ( Relacionado con el problema 15.91) El resorte que se muestra en la figura 1k = 300 N/m2 está conectado al piso y al collarín A de 90 kg. El collarín A está en reposo, soportado por el resorte, cuando la caja B de 135 kg se suelta desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuáles son las velocidades de A y B cuando B ha caído 1 m? 2m
3m
B
A
k
Estrategia Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas, se puede aplicar la conservación de la energía para obtener una ecuación en términos de las velocidades de A y B cuando B ha caído 1 m. Para completar la solución, también se debe usar la cinemática para determinar la relación entre las velocidades de A y B. Py Px mAg
MP
N F
mBg
(a) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Solución Definición del sistema como conservativo Se considera el collarín A, la caja B y la polea como un solo sistema. A partir del diagrama de cuerpo libre del sistema en la figura a, se observa que el trabajo es realizado sólo por los pesos del collarín y la caja y por la fuerza F del resorte. Entonces, el sistema es conservativo. Determinación de la energía potencial Usando la posición inicial del collarín A como su nivel de referencia, la energía potencial asociada con el peso de A cuando éste se ha elevado una distancia xA (figura b) es VA = mAgxA. Usando la posición inicial de la caja B como su nivel de referencia, la energía potencial asociada con su peso cuando éste ha caído una distancia xB es VB = -mBgxB. (El signo de menos es necesario porque xB es positiva hacia abajo). Para determinar la energía potencial asociada con la fuerza del resorte, se debe tomar en cuenta el hecho de que en la posición inicial, el resorte está comprimido por el peso del collarín A. El resorte está inicialmente comprimido una distancia d tal que mAg = kd (figura c). Cuando el collar se ha movido hacia arriba una distancia xA, el estiramiento del resorte es S = xA - d = xA - mAg>k, por lo que su energía potencial es
www.FreeLibros.org VS = 21 kS2 = 21 k a xA -
mA g 2 b . k
205
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
La energía potencial total del sistema en términos de los desplazamientos del collarín y la caja es
2m
V = VA + VB + VS = mA gxA - mB gxB + 21 ka xA -
mA g 2 b . k
3m A
Aplicación de la conservación de la energía La suma de las energías cinética y potencial del sistema en su posición inicial y en la posición mostrada en la figura b deben ser iguales. Si se denota la energía cinética total con T, se tiene
xB
xA B
T1 + V1 = T2 + V2: 0 + 21 ka -
mA g 2 b = 21 mA v2A + 21 mB v2B k
mA g 2 b . + mA gxA - mB gxB + 21 ka xA k
(b) Desplazamientos del collarín y la caja.
(1)
Se desea determinar vA y vB cuando xB = 1 m, pero sólo se tiene una ecuación en términos de xA, xB, vA y vB. Para completar la solución, se debe relacionar el desplazamiento y la velocidad del collarín A con el desplazamiento y la velocidad de la caja B. En la figura b, la disminución en la longitud de la cuerda desde A hasta la polea cuando el collarín se eleva debe ser igual a la distancia que cae la caja:
213 m22 + 12 m22 - 213 m - xA22 + 12 m22 = xB.
Posición del collarín cuando el resorte está sin estirar xA d
A kd
Resolviendo esta ecuación para el valor de xA cuando xB = 1 m, se obtiene xA = 1.33 m. Tomando la derivada de esta ecuación con respecto al tiempo, también se obtiene una relación entre vA y vB:
c
3 m - xA
213 m - xA22 + 12 m22
d vA = vB.
mAg
(c) Determinación de la compresión inicial del resorte.
Estableciendo xA = 1.33 m, a partir de la ecuación anterior se determina que
0.641vA = vB. Se resuelve esta ecuación junto con la ecuación (1) para las velocidades del collarín y la caja cuando xA = 1.33 m y xB = 1 m, obteniendo vA = 3.82 m/s y vB = 2.45 m/s.
Razonamiento crítico ¿Por qué no se consideraron las fuerzas ejercidas por la cuerda sobre el collarín y la caja? La razón es que éstas son fuerzas internas cuando el collar, la caja y la polea se consideran un solo sistema. Este ejemplo demuestra con claridad la ventaja de aplicar la conservación de la energía a un sistema completo, cuando esto es posible.
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206
Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.9
Conservación de la energía de una nave espacial ( Relacionado con el problema 15.103)
v0 RE
r0
Una nave espacial a una distancia r0 = 2RE del centro de la Tierra se mueve hacia el exterior con una velocidad inicial v0 = 22gRE>3. Determine la velocidad de la nave espacial en función de su distancia al centro de la Tierra. Estrategia La energía potencial asociada con la gravedad de la Tierra está dada por la ecuación (15.23). Se conocen la posición radial inicial y la velocidad de la nave espacial, por lo que puede usarse la conservación de la energía para determinar su velocidad como una función de su posición radial. Solución Definición del sistema como conservativo Si sólo la gravedad realiza trabajo sobre la nave espacial, el sistema es conservativo. Determinación de la energía potencial La energía potencial asociada con el peso de la nave está dada en términos de su distancia r desde el centro de la Tierra por la ecuación (15.23): 2
mgRE . r Aplicación de la conservación de la energía Sea v la magnitud de la velocidad de la nave a una distancia arbitraria r. Las sumas de las energías potencial y cinética en r0 y r deben ser iguales: V = -
2
-
2
mgRE mgRE 2 + 21 mv0 = + 21 mv2: r0 r 2
-
2
mgRE mgRE + 21 m A 23 gRE B = + 21 mv2. r 2RE
Despejando v, se encuentra que la velocidad de la nave en función de r es
v =
C
gRE a
2RE 1 - b. r 3
Razonamiento crítico En la gráfica se muestran la energía cinética, la energía potencial y la energía total como funciones de r>RE. La energía cinética disminuye y la energía potencial aumenta conforme la nave se mueve hacia fuera hasta que su velocidad disminuye a cero en r = 6RE. 1– mv 2 2 0 Energía cinética
Energía total
Energía potencial mgRE2 – –––––– r0
www.FreeLibros.org 0
1
2
3 r/RE
4
5
6
Problemas
207
Problemas 15.78 La caja de 10 lb que se muestra en la figura se suelta desde el reposo en la posición 1 y se desliza hacia abajo sobre la superficie inclinada lisa hasta la posición 2. a) Si el nivel de referencia se coloca al nivel del piso como se muestra en la figura, ¿qué valor tiene la suma de las energías cinética y potencial de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 1? b) ¿Qué valor tiene la suma de las energías cinética y potencial de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 2? c) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 2.
15.80 El módulo lunar usado en los alunizajes del Apolo podía descender a la superficie lunar de manera segura si su velocidad vertical durante el impacto no era mayor a 5 m/s. Use la conservación de la energía para determinar la altura máxima h a la que el piloto podía apagar el motor si la velocidad vertical del módulo de aterrizaje era de a) 2 m/s hacia abajo y b) 2 m/s hacia arriba. La aceleración debida a la gravedad en la superficie lunar es de 1.62 m/s2.
1
2 30
5 pies Nivel de referencia
2 pies
Problema 15.78
15.79 Suponga que una pelota de fútbol de 0.45 kg está a 1 m sobre el suelo cuando es pateada directamente hacia arriba a 12 m/s. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad de la pelota cuando ésta se encuentra a 4 m sobre el suelo. Obtenga la respuesta colocando el nivel de referencia a) al nivel de la posición inicial de la pelota; b) al nivel del suelo.
12 m/s Nivel de referencia
(a)
Problema 15.80
15.81 El collarín de 0.4 kg mostrado parte desde el reposo en la posición 1 y se desliza hacia abajo por el alambre rígido liso. El eje y apunta hacia arriba. Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad del collarín cuando éste alcanza el punto 2.
12 m/s
1m
h
1m
(b)
Nivel de referencia
y
1
(5, 5, 2) m
Problema 15.79 0.4 kg
x
www.FreeLibros.org 2
z
(3, 0, 2) m
Problema 15.81
208
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.82 En el instante mostrado, la masa de 20 kg se mueve hacia abajo a 1.6 m/s. Sea d el desplazamiento hacia abajo de la masa respecto a su posición actual. Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la masa de 20 kg cuando d = 1 m.
4 kg
15.84 La masa de la bola mostrada es m = 2 kg y la longitud de la cuerda es L = 1 m. La bola se libera desde el reposo en la posición 1. Cuando la cuerda está en posición vertical, golpea el soporte fijo que se muestra en la figura. a) Use la conservación de la energía para determinar el ángulo mínimo u necesario para que oscile hasta la posición 2. b) Si la bola se suelta en el ángulo mínimo u determinado en el inciso a), ¿cuál es la tensión en la cuerda justo antes y justo después de que ésta golpee el pasador?
1 L 2
u
L
20 kg
2
Problema 15.82 1
15.83 La masa de la bola de la figura es m = 2 kg y la longitud de la cuerda es L = 1 m. La bola se suelta desde el reposo en la posición 1 y oscila hasta la posición 2, donde u = 40°. a) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de su velocidad en la posición 2. b) Dibuje gráficas de la energía cinética, la energía potencial y la energía total para valores de u desde 0 hasta 180°.
Problema 15.84 15.85 Una pequeña canica de masa m = 0.2 kg parte desde el reposo en la posición 1 mostrada y se desliza hacia abajo sobre la superficie lisa del cilindro hasta la posición 2. El radio R = 0.8 m. Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la canica en la posición 2 si u = 45°. 15.86 En el problema 15.85, ¿cuál es el valor del ángulo u en el que la canica pierde contacto con la superficie del cilindro?
1 u
1 L 20 m
2
2
Problema 15.83
R
u
m
Problemas 15.85/15.86
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Problemas 15.87 La barra de la figura es lisa. Al deslizador de 10 kg en A se le da una velocidad hacia abajo de 6.5 m/s. a) Use la conservación de la energía para determinar si el deslizador llegará al punto C. Si lo hace, ¿cuál es la magnitud de su velocidad en el punto C? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal que ejerce la barra sobre el deslizador cuando éste pasa por el punto B?
209
15.90 Un escalador en roca de peso W está unido, por seguridad, a una cuerda amarrada a una distancia h debajo de él. Suponga que el alpinista cae y que la cuerda se comporta como un resorte lineal con longitud sin estirar h y constante de resorte k = C>h, donde C es una constante. Use la conservación de la energía para determinar la máxima fuerza ejercida por la cuerda sobre el escalador. (Observe que la fuerza máxima es independiente de h, lo que tranquiliza a los alpinistas: La fuerza máxima que resulta de una caída larga es la misma que en una caída corta).
15.88 La barra de la figura es lisa. Al deslizador de 10 kg en A se le da una velocidad hacia abajo de 7.5 m/s. a) Use la conservación de la energía para determinar si el deslizador llegará al punto D. Si lo hace, ¿cuál es la magnitud de su velocidad en el punto D? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal que ejerce la barra sobre el deslizador cuando éste pasa por el punto B?
1m C
D h 2m
10 kg
A 1m
B
Problemas 15.87/15.88 15.89 En el ejemplo activo 15.7, suponga que se desea incrementar el valor de la constante k del resorte de manera que la velocidad del martillo justo antes de golpear la pieza de trabajo es de 4 m/s. Use la conservación de la energía par determinar el valor requerido de k.
Problema 15.90 15.91 El collarín A mostrado se desliza sobre la barra horizontal lisa. La constante del resorte k = 40 lb/pie. Los pesos son WA = 30 lb y WB = 60 lb. En el instante mostrado, el resorte está sin estirar y B se mueve hacia abajo a 4 pies/s. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad de B cuando este bloque se ha movido 2 pies hacia abajo desde su posición actual. (Vea el ejemplo 15.8). k
A
www.FreeLibros.org B
Problema 15.91
210
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.92 La constante del resorte mostrado k = 700 N/m. Las masas mA = 14 kg y mB = 18 kg. La barra horizontal es lisa. En el instante mostrado, el resorte está sin estirar y la masa B se mueve hacia abajo a 1 m/s. ¿A qué velocidad se estará moviendo B cuando este bloque se haya movido 0.2 m hacia abajo desde su posición actual?
0.3 m
15.94 La masa m = 1 kg, la constante del resorte k = 200 N/m, y la longitud sin estirar del resorte es 0.1 m. Cuando el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, el resorte se contrae, jalando la masa hacia la derecha. Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la masa cuando la cuerda y el resorte están paralelos. 15.95 En el problema 15.94, ¿cuál es la tensión en la cuerda cuando ésta y el resorte están paralelos?
k 0.15 m
A
0.3 m
B k 0.15 m
Problema 15.92
15.93 La barra semicircular mostrada es lisa. La longitud sin estirar del resorte es de 10 pulg. Al collarín de 5 lb en A se le da una velocidad hacia abajo de 6 pies/s, y cuando éste llega a B la magnitud de su velocidad es de 15 pies/s. Determine la constante k del resorte.
0.25 m
Problemas 15.94/15.95
15.96 La fuerza ejercida sobre un objeto por un resorte no lineal es
5 pulg
F = - 3k1r - r02 + q1r - r0234er,
2 pulg A k 1 pie
donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar. Determine la energía potencial del resorte en términos de su alargamiento S = r - r0.
B
Problema 15.93
r k
u
Problema 15.96
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Problemas 15.97 El cilindro de 20 kg mostrado se libera desde la posición mostrada y cae sobre el resorte lineal 1k = 3000 N/m2. Use la conservación de la energía para determinar la distancia que el cilindro se desplaza hacia abajo después de hacer contacto con el resorte.
211
15.100 El sistema está en reposo en la posición mostrada, con el collarín A de 12 lb descansando sobre el resorte 1k = 20 lb/pie2, cuando una fuerza constante de 30 lb se aplica al cable. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando se ha desplazado 1 pie? (Vea el problema 15.99).
15.98 El cilindro de 20 kg se libera desde la posición mostrada y cae sobre el resorte no lineal. En términos del estiramiento S del resorte, su energía potencial es V = 21 kS2 + 41 qS4, donde k = 3000 N/m y q = 4000 N/m3. ¿Cuál es la velocidad del cilindro cuando el resorte se ha comprimido 0.5 m?
30 lb
3 pies
A 2 pies 2m
k
Problema 15.100 1.5 m
Problemas 15.97/15.98
15.99 La cuerda mostrada ejerce una fuerza de magnitud constante T sobre el objeto. Use coordenadas polares para demostrar que la energía potencial asociada con esta fuerza es V = Tr.
r
u
15.101 Un disco de 1 kg se desliza sobre una mesa horizontal lisa y está unido a una cuerda que pasa a través de un orificio en la mesa. Se ejerce una fuerza constante T = 10 N sobre la cuerda. En el instante mostrado, r = 1 m y la velocidad del disco en términos de coordenadas polares es v = 6eu (m/s). Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad del disco cuando r = 2 m. (Vea el problema 15.99). 15.102 Un disco de 1 kg se desliza sobre una mesa horizontal lisa y está unido a una cuerda que pasa a través de un orificio en la mesa. Se ejerce una fuerza constante T = 10 N sobre la cuerda. En el instante mostrado, r = 1 m y la velocidad del disco en términos de coordenadas polares es v = 8eu (m/s). Como éste es un movimiento de fuerza central, el producto de la posición radial r por la componente transversal de la velocidad vu es constante. Use este hecho y la conservación de la energía para determinar la velocidad del disco en términos de coordenadas polares cuando r = 2 m.
r T
Problema 15.99
www.FreeLibros.org T
Problemas 15.101/15.102
212
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.103 Un satélite se pone inicialmente en órbita a una distancia r0 = 8800 km desde el centro de la Tierra. Cuando se encuentra a una distancia r = 18,000 km desde el centro de la Tierra, la magnitud de su velocidad es v = 7000 m/s. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad inicial v0. El radio de la Tierra es de 6370 km. (Vea el ejemplo 15.9). v
15.107 Las sondas espaciales Voyager y Galileo observaron nubes volcánicas sobre la superficie del satélite Io. Se pensó que éstas consistían de azufre condensado o dióxido de azufre gaseoso. Se estimó que la nube observada sobre un volcán llamado Prometeo se extendía a 50 km sobre la superficie. La aceleración debida a la gravedad en la superficie es de 1.80 m/s2. Usando la conservación de la energía e ignorando la variación de la gravedad con la altura, determine la velocidad a la que una partícula sólida tendría que ser expulsada para alcanzar 50 km sobre la superficie de Io.
15.108 Resuelva el problema 15.107 usando la conservación de la energía y tomando en cuenta la variación de la gravedad con la altura. El radio de Io es 1815 km.
r
v0 r0
RE
Problema 15.103
Problemas 15.107/15.108
15.104 Unos astrónomos detectan un asteroide a 100,000 km de la Tierra, que se mueve a 2 km/s respecto al centro de ésta. Suponga que el asteroide choca con la Tierra. Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de su velocidad al entrar a la atmósfera. (Se puede ignorar el espesor de la atmósfera en comparación con el radio de la Tierra de 6370 km). 15.105 Un satélite se encuentra en la órbita elíptica mostrada alrededor de la Tierra. Su velocidad, en términos de coordenadas polares, cuando está en el perigeo A es v = 8640e u (m/s). Determine la velocidad del satélite en términos de coordenadas polares cuando éste se encuentra en el punto B. 15.106 En el problema 15.105, use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad del satélite en el apogeo C. Con base en su resultado, confirme numéricamente que las velocidades en el perigeo y en el apogeo satisfacen la relación rAvA = rCvC.
15.109* Determine la relación entre la ecuación (15.21), que es la energía potencial gravitatoria ignorando la variación de la fuerza gravitatoria con la altura, y la ecuación (15.23), que toma en cuenta dicha variación. Exprese la distancia desde el centro de la Tierra como r = RE + y, donde RE es el radio de la Tierra e y es la altura sobre la superficie, de manera que la ecuación (15.23) pueda escribirse como
V = -
mgRE . y 1 + RE
Desarrollando esta ecuación como una serie de Taylor en términos de y>RE y suponiendo que y>RE V 1, demuestre que se obtiene una energía potencial equivalente a la ecuación (15.21).
B
13,900 km
A
C
www.FreeLibros.org 16,000 km
8000 km
8000 km
Problemas 15.105/15.106
15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía potencial
213
15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía potencial ANTECEDENTES Aquí se considerarán dos cuestiones: 1) Dada una energía potencial, ¿cómo se puede determinar la fuerza correspondiente? 2) Dada una fuerza, ¿cómo se puede determinar si ésta es conservativa? Es decir, ¿cómo se puede determinar si existe una energía potencial asociada? La energía potencial V de una fuerza F es una función de la posición que satisface la relación
dV = - F dr.
(15.25)
Si expresamos V en términos de un sistema de coordenadas cartesiano:
V = V1x, y, z2. La diferencia de V es
dV =
0V 0V 0V dx + dy + dz. 0x 0y 0z
(15.26)
Expresando F y dr en términos de componentes cartesianas y tomando su producto punto se obtiene
F # dr = 1Fx i + Fy j + Fz k2 # 1dxi + dyj + dzk2 = Fx dx + Fy dy + Fz dz. Sustituyendo esta expresión y la ecuación (15.26) en la ecuación (15.25), se obtiene
0V 0V 0V dx + dy + dz = - 1Fx dx + Fy dy + Fz dz2, 0x 0y 0z lo cual implica que
Fx = -
0V , 0x
Fy = -
0V 0V , y Fz = . 0y 0z
(15.27)
Dada una energía potencial V expresada en coordenadas cartesianas, las ecuaciones (15.27) se pueden usar para determinar la fuerza correspondiente. La fuerza
F = -a
0V 0V 0V i + j + kb = - §V, 0x 0y 0z
(15.28)
donde §V es el gradiente de V. Usando expresiones para el gradiente en otros sistemas coordenados, se puede determinar la fuerza F cuando se conoce la energía potencial en términos de esos sistemas coordenados. Por ejemplo, en términos de coordenadas cilíndricas,
www.FreeLibros.org F = -a
0V 1 0V 0V er + eu + e b. r 0u 0r 0z z
(15.29)
214
Capítulo 15 Métodos energéticos
Si una fuerza F es conservativa, su rotacional § * F es cero. La expresión para el rotacional de F en coordenadas cartesianas es
i 0 § * F = 4 0x Fx
j 0 0y Fy
k 0 4 . 0z Fz
(15.30)
Sustituyendo las ecuaciones (15.27) en esta expresión, se confirma que § * F = 0 cuando F es conservativa. La afirmación inversa también es cierta. Una fuerza F es conservativa si su rotacional es cero. Esta condición se puede usar para determinar si una fuerza dada es conservativa. En términos de coordenadas cilíndricas, el rotacional de F es
reu 0 0u rFu
er 1 0 § * F = 4 r 0r Fr
ez 0 4 . 0z Fz
(15.31)
RESULTADOS dV Fdr.
(15.25)
Definición de la energía potencial V asociada con una fuerza conservativa F.
Coordenadas cartesianas V V V F i j k . x y z
(15.28)
Una fuerza conservativa F puede determinarse a partir de su energía potencial V. Coordenadas cilíndricas
V
r e
F
r
1 V eu r u
V e . z z
(15.29)
Coordenadas cartesianas
F
Una fuerza F es conservativa sí y sólo si su rotacional F es cero.
i
j
k
x
y
z .
Fx
Fy
Fz
(15.30)
Coordenadas cilíndricas
F
1 r
er
reu
ez
r
u
z .
Fr
rFu
Fz
(15.31)
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Problemas
Ejemplo activo 15.10
215
Determinación de la fuerza a partir de una energía potencial ( Relacionado con los problemas 15.112, 15.113)
La energía potencial asociada con el peso de un objeto de masa m a una distancia r del centro de la Tierra es (en coordenadas cilíndricas)
mgR E2 , r donde RE es el radio de la Tierra. Use esta expresión para determinar la fuerza ejercida sobre el cuerpo por su peso. V = -
Estrategia La energía potencial está expresada en coordenadas cilíndricas, por lo que se usará la ecuación (15.29) para obtener la fuerza. Solución
Evalúe las derivadas parciales de la ecuación (15.29).
Determine la fuerza a partir de la ecuación (15.29).
V mgR2E , r2 r V 0, u V 0. z F
mgR2E er. r2
Problema de práctica Determine si la fuerza F obtenida en este ejemplo es conservativa. Respuesta: Sí.
Problemas y
15.110 La energía potencial asociada a una fuerza F que actúa sobre un objeto es V = x2 + y3 N/m, donde x e y están en metros. a) Determine F. b) Suponga que el objeto se mueve de la posición 1 a la posición 2 a lo largo de la trayectoria A y después se desplaza de 1 a 2 a través de la trayectoria B. Determine el trabajo realizado por F en cada trayectoria. 15.111 Un objeto está sometido a la fuerza F = yi - xj (N), donde x e y están en metros. a) Demuestre que F no es conservativa. b) Suponga que el objeto se mueve del punto 1 al punto 2 a lo largo de las trayectorias A y B mostradas en el problema 15.110. Determine el trabajo realizado por F a lo largo de cada trayectoria.
2 (1, 1) m
A
1
B
x
www.FreeLibros.org Problemas 15.110/15.111
216
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.112 En términos de coordenadas polares, la energía potencial asociada con la fuerza F ejercida sobre un objeto por un resorte no lineal es V =
1 1 k1r - r022 + q1r - r024, 2 4
donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar. Determine F en términos de coordenadas polares. (Vea el ejemplo activo 15.10).
15.115 En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida sobre un objeto de masa m por la gravedad de un planeta hipotético bidimensional es F = -1mgTRT>r2er, donde gT es la aceleración debida a la gravedad en la superficie, RT es el radio del planeta y r es la distancia al objeto desde el centro del planeta. a) Determine la energía potencial asociada con esta fuerza gravitatoria. b) Si el objeto tiene una velocidad v0 a una distancia r0, ¿cuál es su velocidad v en función de r?
15.113 En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida sobre un objeto por un resorte no lineal es
v0
F = - 3k1r - r02 + q1r - r0234er, donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar. Use la ecuación (15.31) para demostrar que F es conservativa. (Vea el ejemplo activo 15.10). 15.114 La energía potencial asociada con una fuerza F que actúa sobre un objeto es V = - r sen u + r2 cos2 u lb-pie, donde r está en pies. a) Determine F. b) Si el objeto se mueve del punto 1 al punto 2 a lo largo de la trayectoria circular, ¿cuánto trabajo realiza F?
r0 RT
Problema 15.115
15.116 Sustituyendo las ecuaciones (15.27) en la ecuación (15.30), confirme que § * F = 0 si F es conservativa. 15.117 Determine cuáles de las siguientes fuerzas son conservativas: a) F = 13x2 - 2xy2i - x2j; b) F = 1x - xy22i + x2yj; c) F = 12xy2 + y32i + 12x2y - 3xy22j.
y 2
1 pie 1
x
Problema 15.114
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Problemas de repaso
217
Problemas de repaso 15.118 El conductor de un automóvil de 3000 lb que circula a 40 mi/h aplica una fuerza creciente sobre el pedal del freno. La magnitud de la fricción ejercida sobre el vehículo por el camino es f = 250 + 6s lb, donde s es la posición horizontal del auto (en pies) respecto a la que tenía cuando se aplicaron los frenos. Suponiendo que los neumáticos no se deslizan, determine la distancia necesaria para que el auto se detenga a) usando la segunda ley de Newton y b) usando el principio del trabajo y la energía.
15.121 Los coeficientes de fricción entre la caja de 20 kg y la superficie son ms = 0.24 y mk = 0.22. Si la caja parte desde el reposo y la fuerza horizontal es F = 200 N, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de la caja cuando ésta se ha desplazado 2 m? 15.122 Los coeficientes de fricción entre la caja de 20 kg y la superficie son ms = 0.24 y mk = 0.22. Si la caja parte desde el reposo y la fuerza horizontal es F = 40 N, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de la caja cuando ésta se ha desplazado 2 m?
15.119 Suponga que el automóvil del problema 15.118 viaja sobre un pavimento húmedo y que los coeficientes de fricción entre los neumáticos y el camino son ms = 0.4 y mk = 0.35. Determine la distancia necesaria para que el auto se detenga.
F
30
Problemas 15.121/15.122 15.123 La locomotora Big Boy de la Union Pacific pesa 1.19 millones de libras y el esfuerzo de tracción (fuerza tangencial) de sus ruedas motrices es de 135,000 lb. Si se ignoran las otras fuerzas tangenciales, ¿qué distancia requiere para acelerar de cero a 60 mi/h? Problemas 15.118/15.119 15.120 Un astronauta en una pequeña nave espacial (masa combinada = 450 kg) en vuelo estacionario a 100 m sobre la superficie de la Luna, descubre que el combustible casi se ha agotado y puede ejercer el empuje necesario sólo durante 5 segundos más. Rápidamente considera dos estrategias para llegar a la superficie: a) Descender 20 m, ejercer el empuje durante 5 s y caer el resto del trayecto; b) descender 40 m, ejercer el empuje durante 5 s y caer el resto del trayecto. ¿Cuál estrategia le da mayor probabilidad de sobrevivir? ¿Cuánto trabajo es realizado por el empuje del motor en cada caso? (gLuna = 1.62 m/s2).
15.124 En el problema 15.123, suponga que la fuerza tangencial total sobre la locomotora al acelerar de cero a 60 mi/h es 1F0>m211 - v>882, donde F0 = 135,000 lb, m es su masa y v es su velocidad en pies por segundo. a) ¿Cuánto trabajo se realiza al acelerar el tren hasta 60 mi/h? b) Determine la velocidad de la locomotora en función del tiempo.
Problemas 15.123/15.124 15.125 Un automóvil que se desplaza a 65 mi/h choca contra la barrera descrita en el problema 15.14. Determine la desaceleración máxima a la que están sometidos los pasajeros si el auto pesa a) 2500 lb y b) 5000 lb.
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218
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.126 En el diseño preliminar de una máquina clasificadora del correo, los paquetes que se mueven hacia abajo sobre una rampa lisa a 2 pies/s son detenidos por un resorte lineal. ¿Cuál debería ser la constante del resorte si no se quiere que un paquete de 10 lb quede sometido a una desaceleración máxima superior a 10g?
15.129 El peso de 30 lb mostrado se suelta desde el reposo con los dos resortes 1kA = 30 lb/pie, kB = 15 lb/pie2 sin estirar. a) ¿Qué distancia cae el peso antes de rebotar? b) ¿Qué velocidad máxima alcanza?
2 pies/s kA
3 pies
k
kB
Problema 15.126 15.127 Cuando el collarín de 1 kg está en la posición 1, la tensión en el resorte es de 50 N y la longitud del resorte sin estirar es de 260 mm. Si el collarín se jala hacia la posición 2 y se suelta desde el reposo, ¿cuál es su velocidad cuando regresa a la posición 1? 15.128 Cuando el collarín de 1 kg está en la posición 1, la tensión en el resorte es de 100 N y cuando está en la posición dos, la tensión en el resorte es de 400 N. a) ¿Cuál es la constante k del resorte? b) Si al collarín se le da una velocidad de 15 m/s en la posición 1, ¿cuál es la magnitud de su velocidad justo antes de alcanzar la posición 2?
300 mm
Problema 15.129 15.130 En la figura, el pistón y la carga que soporta son acelerados hacia arriba por el gas en el cilindro. El peso total del pistón y la carga es 1000 lb. El cilindro ejerce una fuerza de fricción constante de 50 lb sobre el pistón cuando éste se eleva. La fuerza neta ejercida sobre el pistón por la presión es 1p2 - patm2A, donde p es la presión del gas, patm = 2117 lb/pie2 es la presión atmosférica, y A = 1 pie2 es el área transversal del pistón. Suponga que el producto de p por el volumen del cilindro es constante. Cuando s = 1 pie, el pistón está en reposo y p = 5000 lb/pie2. ¿Cuál es la velocidad del pistón cuando s = 2 pies?
k Pistón Gas s 2
1 600 mm
Problema 15.130 Problemas 15.127/15.128 15.131 Cuando el motor de un cohete de 22,000 kg se apaga a una altura de 2 km, su velocidad es de 3 km/s y viaja con un ángulo de 60° respecto a la horizontal. Ignore la variación de la fuerza gravitatoria con la altura. a) Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del cohete cuando éste alcanza una altura de 6 km? b) Si la velocidad real del cohete cuando éste alcanza una altura de 6 km es de 2.8 km/s, ¿cuánto trabajo realizan las fuerzas aerodinámicas cuando el cohete se desplaza de 2 km a 6 km de altura?
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Problemas de repaso 15.132 El collarín A de 12 kg está en reposo en la posición mostrada en t = 0 y se encuentra sometido a la fuerza tangencial F = 24 - 12t2 N durante 1.5 s. Ignorando la fricción, ¿qué altura h máxima alcanza el collarín?
219
15.134 Un estudiante de 180 lb corre a 15 pies/s, se cuelga de una cuerda y oscila sobre un lago. Suelta la cuerda cuando su velocidad es cero. a) ¿Cuál es el ángulo u cuando el estudiante suelta la cuerda? b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda justo antes de que la suelte? c) ¿Cuál es la tensión máxima en la cuerda?
F
h
A
15.135 Si el estudiante del problema 15.134 suelta la cuerda cuando u = 25°, ¿qué altura máxima alcanza respecto a su posición cuando sujeta la cuerda por primera vez?
2m
Problema 15.132
15.133 Suponga que para diseñar un lazo para una pista en un parque de diversiones se ha establecido como criterio de seguridad que en la parte superior del lazo la fuerza normal ejercida sobre un pasajero sea igual al 10% del peso de éste. (Es decir, el “peso efectivo” que comprime al pasajero en su asiento es el 10 por ciento de su peso). El vagón se mueve a 62 pies/s cuando entra al lazo. ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo r necesario de la vía en la parte superior del lazo?
u
30 pies
Problemas 15.134/15.135
r 50 pies
15.136 Un niño comienza a correr y salta sobre su trineo en la posición 1 de la figura. Abandona el terreno en la posición 2 y aterriza en la nieve a una distancia b = 25 pies. ¿Qué velocidad tenía en la posición 1? 15.137 En el problema 15.136, si el niño tiene una velocidad de 15 pies/s en la posición 1, ¿qué distancia b recorre en el aire?
Problema 15.133
1
15 pies
2
35
5 pies b
Problemas 15.136/15.137
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220
Capítulo 15 Métodos energéticos
15.138 El collarín A de 1 kg está unido por una cuerda a un resorte lineal 1k = 500 N/m2. El collarín parte desde el reposo en la posición mostrada, y la tensión inicial en la cuerda es de 100 N. ¿Qué distancia recorre el collarín sobre la barra lisa?
15.141 En la figura, el eje y es vertical y la barra curva es lisa. Si la magnitud de la velocidad del deslizador de 4 lb es de 6 pies/s en la posición 1, ¿cuál es la magnitud de su velocidad cuando llega a la posición 2? 15.142 En el problema 15.141, determine la magnitud de la velocidad del deslizador cuando éste alcanza la posición 2 si durante su movimiento está sometido a una fuerza adicional F = 3xi - 2j (lb). y
k
1
A
2 pies
Problema 15.138 15.139 Las masas mA = 40 kg y mB = 60 kg. El collarín A se desliza sobre la barra horizontal lisa. El sistema se suelta desde el reposo. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad del collarín A cuando éste se ha desplazado 0.5 m a la derecha.
2 x 4 pies
Problemas 15.141/15.142 A
B
Problema 15.139 15.140 La constante del resorte mostrado es k = 850 N/m, mA = 40 kg, y mB = 60 kg. El collarín A se desliza sobre la barra horizontal lisa. El sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada con el resorte sin estirar. Use la conservación de la energía para determinar la velocidad del collarín A cuando éste se ha movido 0.5 m a la derecha. k
15.143 Suponga que un objeto de masa m está bajo la superficie de la Tierra. En términos de un sistema de coordenadas polar con su origen en el centro de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre el objeto es - 1mgr>RE2er, donde RE es el radio de la Tierra. Demuestre que la energía potencial asociada con la fuerza gravitatoria es V = mgr2>2RE. 15.144 Se afirma que si se pudieran perforar túneles rectos a través de la Tierra entre puntos sobre su superficie, los trenes podrían viajar entre esos puntos usando la fuerza gravitatoria para acelerar y desacelerar (los efectos de la fricción y de la fuerza de arrastre aerodinámica se podrían minimizar vaciando los túneles y usando trenes con levitación magnética). Suponga que un tren así viaja del Polo Norte a un punto sobre el ecuador. No tome en cuenta la rotación de la Tierra. Determine la magnitud de la velocidad del tren a) cuando llega al ecuador; b) cuando se encuentra a la mitad del camino entre el Polo Norte y el ecuador. El radio de la Tierra es RE = 3960 millas. (Vea el problema 15.143).
A N 0.4 m
B
www.FreeLibros.org 0.9 m
Problema 15.140
Problema 15.144
Problemas de repaso 15.145 En el problema 15.123, ¿cuál es la máxima potencia transferida a la locomotora durante su aceleración? 15.146 Justo antes de despegar, un avión de 10,500 kg tiene una velocidad de 60 m/s. La fuerza horizontal total ejercida por sus motores es de 189 kN, y el avión está acelerando a 15 m/s2. a) ¿Cuál es la potencia que transmiten sus motores al avión? b) ¿Cuál es la potencia total transmitida al avión?
221
Proyecto de diseño Determine las especificaciones (longitud sin estirar y constante de resorte k) para la cuerda elástica que se va a utilizar en la instalación de un salto de bungee. Los participantes deben saltar desde una plataforma a 150 pies sobre el suelo. Al rebotar, deben evitar un obstáculo que se extiende 15 pies por debajo del punto en el que saltan. Determine las especificaciones para la cuerda, estableciendo límites de seguridad razonables para las distancias mínimas por las cuales los participantes deben evitar el suelo y el obstáculo. Tome en cuenta el hecho de que los participantes tendrán pesos diferentes. Si es necesario, especifique un peso permisible máximo para los participantes. Escriba un informe breve donde presente su análisis y haga una recomendación para las especificaciones de la cuerda.
Problema 15.146
15.147 El “Cañón París”, usado por Alemania en la Primera Guerra Mundial, tenía un alcance de 120 km, un cañón de 37.5 m, una velocidad inicial de 1550 m/s y disparaba un proyectil de 120 kg. a) Si se supone que la aceleración del proyectil era constante, ¿qué potencia máxima se le transmitía al viajar a lo largo del barril? b) ¿Qué potencia media se le transmitía al proyectil?
Problema 15.147
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CAPÍTULO
16 Métodos de la cantidad de movimiento Al integrar la segunda ley de Newton con respecto al tiempo, se obtiene una relación entre la integral respecto al tiempo de las fuerzas que actúan sobre un objeto y el cambio en su cantidad de movimiento lineal. Con este resultado, llamado el principio del impulso y la cantidad de movimiento, se puede no sólo determinar el cambio en la velocidad de un objeto cuando se conocen las fuerzas externas en función del tiempo, sino también analizar impactos entre objetos y evaluar las fuerzas ejercidas por flujos continuos de masa.
vA
v¿B
v¿A
La cantidad de movimiento lineal total de la bola de billar es aproximadamente la misma antes y después del impacto. En este capítulo se emplean métodos basados en las cantidades de movimiento lineal y angular para analizar los desplazamientos de los objetos.
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224
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento ANTECEDENTES El principio del trabajo y la energía es una herramienta muy útil en mecánica. Se puede obtener otra herramienta útil para el análisis del movimiento al integrar la segunda ley de Newton con respecto al tiempo. Dicha ley se expresa en la forma
©F = m
dv . dt
Luego se integra con respecto al tiempo para obtener t2
Lt1
©F dt = mv2 - mv1,
(16.1)
donde v1 y v2 son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2. El término de la izquierda se llama impulso lineal, y mv es la cantidad de movimiento lineal. La ecuación (16.1) se denomina el principio del impulso y la cantidad de movimiento: El impulso aplicado a un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su cantidad de movimiento lineal (figura 16.1). Las dimensiones del impulso lineal y la cantidad de movimiento lineal son (masa) (longitud) (tiempo). El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa sobre un objeto desde t1 hasta t2 es t
©Fprom =
2 1 ©F dt, t2 - t1 Lt1
de manera que la ecuación (16.1) puede escribirse como (t2 t1) ©Fprom mv2 mv1.
(16.2)
Con esta ecuación se puede determinar el valor promedio de la fuerza total que actúa sobre un objeto durante un intervalo de tiempo dado si se conoce el cambio en su velocidad. Una fuerza que actúa durante un intervalo pequeño de tiempo, pero que ejerce un impulso lineal significativo, se llama fuerza impulsiva. En la figura 16.2 se muestra una fuerza impulsiva y su promedio respecto al tiempo. La determinación del desarrollo temporal real de tal fuerza suele ser impráctica, pero algunas veces Tiempo t2 Tiempo t1 mv1
F
ft
t2
F dt mv2 mv1
mv2
www.FreeLibros.org 1
Figura 16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento.
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento
puede especificarse su valor promedio con la ecuación (16.2). Por ejemplo, una pelota de golf golpeada por un palo está sometida a una fuerza impulsiva. Filmando a gran velocidad es posible determinar la duración del impacto, la velocidad de la pelota y el movimiento resultante por el impacto. Conociendo la duración y la cantidad de movimiento lineal de la pelota resultantes del impacto, es posible determinar la fuerza promedio ejercida sobre la pelota por el palo (vea el ejemplo 16.3). Las ecuaciones (16.1) y (16.2) pueden expresarse en formas escalares que a menudo resultan útiles. La suma de las fuerzas en la dirección tangente a la trayectoria de un objeto es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su velocidad a lo largo de la trayectoria (vea la ecuación 14.7):
©Ft = mat = m
dv . dt
225
F
Fprom
t1
t2
t
Figura 16.2 Fuerza impulsiva y su valor promedio.
Integrando esta ecuación con respecto al tiempo, se obtiene t2
Lt1
©Ft dt = mv2 - mv1,
(16.3)
donde v1 y v2 son las velocidades a lo largo de la trayectoria en los tiempos t1 y t2. El impulso aplicado a un objeto por la suma de las fuerzas tangentes a su trayectoria durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en la cantidad de movimiento lineal a lo largo de la trayectoria. En términos del promedio con respecto al tiempo de la suma de las fuerzas tangentes a la trayectoria, o bien t
©Ft prom =
2 1 ©Ft dt, t2 - t1 Lt1
la ecuación (16.3) puede escribirse como (t2 t1) ©Ft prom mv2 mv1.
(16.4)
Esta ecuación relaciona el promedio de la suma de las fuerzas tangentes a la trayectoria durante un intervalo de tiempo con el cambio en la velocidad a lo largo de la trayectoria. Observe que la ecuación (16.1) y el principio del trabajo y la energía, ecuación (15.6), son muy similares. Ambas expresiones relacionan la integral de las fuerzas externas con el cambio en la velocidad de un objeto. La ecuación (16.1) es una ecuación vectorial que proporciona el cambio en la magnitud y la dirección de la velocidad, mientras que el principio del trabajo y la energía, que es una ecuación escalar, sólo proporciona el cambio en la magnitud de la velocidad. Sin embargo, hay una gran diferencia entre los dos métodos: en el caso del impulso y la cantidad de movimiento, no hay tipos de fuerzas equivalentes a las fuerzas conservativas que facilitan en gran medida la aplicación del trabajo y la energía. Cuando se conocen las fuerzas externas que actúan sobre un objeto como funciones del tiempo, el principio del impulso y la cantidad de movimiento puede aplicarse para determinar el cambio en su velocidad durante un intervalo de tiempo. Aunque éste es un resultado importante, no es nuevo. En el capítulo 14, cuando se usó la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de un objeto y luego se integró la aceleración con respecto al tiempo para determinar su velocidad, se estaba aplicando de manera efectiva el principio del impulso y la cantidad de movimiento. En el resto de este capítulo se mostrará que tal principio puede extenderse a nuevas e interesantes aplicaciones.
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226
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
RESULTADOS Tiempo t2 Tiempo t1 mv1
F mv2
Al integrar la segunda ley de Newton con respecto al tiempo desde t1 hasta t2 se obtiene el principio del impulso y la cantidad de movimiento: el impulso lineal aplicado a un objeto es igual al cambio en su cantidad de movimiento lineal.
t2
3 t
F dt mv2 mv1.
(16.1)
1
Impulso lineal
Introduciendo el promedio de la fuerza total con respecto al tiempo de t1 a t2 , t2
1 F dt, Fprom t2 t1 L t1
(t2 t1) Fprom mv2 mv1
(16.2)
el principio del impulso y el momento puede expresarse en términos de la fuerza promedio.
Una fuerza que actúa a lo largo de un intervalo de tiempo pequeño pero que ejerce un impulso lineal significativo se denomina fuerza impulsiva. Con frecuencia, el principio del impulso y la cantidad de movimiento puede usarse para determinar el valor promedio de una fuerza impulsiva.
Formas alternativas del principio del impulso y la cantidad de movimiento que se usan con frecuencia. Ft es la componente tangencial de la fuerza total sobre un objeto y Ft prom es el promedio de Ft desde t1 hasta t2. Los términos v1 y v2 son las velocidades a lo largo de la trayectoria en t1 y t2.
t2
L t1
Ft dt mv2 mv1,
(16.3)
www.FreeLibros.org (t2 t1) Ft prom mv2 mv1.
(16.4)
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento
Ejemplo activo 16.1
227
Aplicación del impulso y la cantidad de movimiento ( Relacionado con el problema 16.7)
Un helicóptero de 1200 kg parte desde el reposo en el tiempo t 0. Las componentes de la fuerza total (en newtons) sobre el helicóptero desde t 0 hasta t 10 s son
©Fx = 720t, ©Fy = 2160 - 360t, ©Fz = 0. Determine la velocidad del helicóptero en t 10 s. y
x
Estrategia Se conoce la velocidad del helicóptero en t 0 y las componentes de la fuerza total que actúa sobre éste como una función del tiempo, por lo tanto se puede usar la ecuación (16.1) para determinar su velocidad en t 10 s. Solución t2
L t1
F dt mv2 mv1:
10
Aplique el principio del impulso y la cantidad de movimiento desde t 0 hasta t 10 s.
3 0
[720ti (2160 360t)j]dt (1200)v2 (1200)(0), 10
360t i (2160t 180t )j 2
1200v2,
2
0
36,000i 3600j 1200v2. Despejando v2, la velocidad en t 10 s es 30i 3j (m/s).
Problema de práctica Suponga que no se conocen las componentes de la fuerza total que actúa sobre el helicóptero desde t 10 s hasta t 20 s. Sin embargo, se sabe que en t 20 s, la velocidad del helicóptero es 36i 8j (ms). ¿Cuál es la fuerza total promedio que actúa sobre éste desde t 10 s hasta t 20 s?
www.FreeLibros.org Respuesta: 720 i + 600j (N).
228
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo activo 16.2
Impulso y cantidad de movimiento tangentes a la trayectoria ( Relacionado con los problemas 16.29, 16.30) La motocicleta mostrada parte desde el reposo en el tiempo t 0. La componente tangencial de la fuerza total (en newtons) que actúa sobre la motocicleta desde t 0 hasta t 30 s es
©Ft = 300 - 9t. La masa combinada de la motocicleta y su piloto es de 225 kg. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la motocicleta en t 30 s?
Estrategia Se conoce la velocidad en t 0 y se sabe cuál es la componente tangencial de la fuerza total en función del tiempo, por lo tanto se puede utilizar la ecuación (16.3) para determinar la magnitud de la velocidad en t 30 s. Solución t2
L t1
Ft dt mv2 mv1:
30
Aplique la ecuación (16.3) al intervalo de tiempo entre t 0 y t 30 s.
3 0
(300 9t)dt 225v2 225(0), 30
300t 4.5t
225v2,
2
0
4950 225v2.
Se obtiene v2 = 22 m/s. Problema de práctica ¿Cuál es el promedio de la componente tangencial de la fuerza total que actúa sobre la motocicleta desde t 0 hasta t 30 s?
www.FreeLibros.org Respuesta: ©Ft = 165 N.
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento
229
Determinación de una fuerza impulsiva ( Relacionado con el problema 16.33)
Ejemplo 16.3
Una pelota de golf en vuelo es fotografiada a intervalos de 0.001 s como se muestra en la figura. La pelota de 1.62 onzas tiene 1.68 pulg de diámetro. Si el palo estuvo en contacto con la pelota durante 0.0006 s, estime la fuerza impulsiva promedio ejercida por el palo. Estrategia Midiendo la distancia recorrida por la pelota en uno de los intervalos de 0.001 s es posible calcular su velocidad después de ser golpeada; luego puede usarse la ecuación (16.2) para determinar la fuerza promedio total sobre la pelota. Solución Comparando la distancia recorrida durante uno de los intervalos de 0.001 s con el diámetro conocido de la pelota, se estima que ésta viajó 1.9 pulg y que su dirección fue de 21° sobre la horizontal (figura a). La magnitud de la velocidad de la pelota es
11.9 >122 pies 0.001 s
= 158 pies/s.
y
21
1.9 pulg
x
(a) Estimación de la distancia viajada recorrida en un intervalo de 0.001 s.
El peso de la pelota es 1.6216 0.101 lb, por lo que su masa es 0.10132.2 3.14 103 slug. De la ecuación (16.2), se obtiene
1t2 - t12©Fprom = mv2 - mv1:
10.0006 s2©Fprom =
13.14 * 10-3 slug21158 pies/s21cos 21°i + sen 21°j2 - 0,
de donde resulta ©Fprom 775i 297j (lb). Razonamiento crítico La fuerza promedio durante el tiempo en que el palo está en contacto con la pelota incluye tanto la fuerza impulsiva ejercida por el palo como el peso de la pelota. En comparación con la gran fuerza impulsiva promedio ejercida por el palo, el peso (0.101j lb) es insignificante. La determinación del desarrollo temporal de la fuerza ejercida por el palo sobre la pelota requeriría un análisis complicado que tomase en cuenta la deformación de la pelota durante el impacto. En contraste, fue posible determinar la fuerza promedio ejercida sobre la pelota mediante la aplicación directa del principio del impulso y la cantidad de movimiento.
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230
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Problemas 16.1 La caja de 20 kg mostrada está en reposo en el tiempo t 0; se encuentra sujeta a una fuerza horizontal dada como una función del tiempo (en newtons) por F 10 2t2. a) Determine la magnitud del impulso lineal ejercido sobre la caja desde t 0 hasta t 4 s. b) Use principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar qué tan rápidamente se está moviendo la caja en t 4 s.
16.3 La masa del helicóptero mostrado es de 9300 kg. Despega verticalmente en el tiempo t 0. El piloto presiona el acelerador de manera que el empuje hacia arriba de su motor (kN) está dado como una función del tiempo en segundos por T 100 2t2. a) Determine la magnitud del impulso lineal debido a las fuerzas que actúan sobre el helicóptero desde t 0 hasta t 3 s. b) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la velocidad a la que se mueve el helicóptero en t 3 s.
F
Problema 16.1 Problema 16.3 16.2 La caja de 100 lb mostrada se suelta desde el reposo sobre la superficie inclinada en el tiempo t 0. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es mk 0.18. a) Determine la magnitud del impulso lineal debido a las fuerzas que actúan sobre la caja desde t 0 hasta t 2 s. b) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la velocidad a la que se mueve la caja en t 2 s.
16.4 Un barco carguero de 150 millones de kg parte desde el reposo. La fuerza total ejercida sobre éste por sus motores y la resistencia aerodinámica (en newtons) puede aproximarse como una función del tiempo en segundos por ©Ft 937,500 – 0.65t2. Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la velocidad a la que se estará moviendo el barco después de 16 minutos.
30
Problema 16.2
Problema 16.4
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Problemas 16.5 La masa combinada de la motocicleta mostrada y su conductor es de 136 kg. El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos de la motocicleta y el camino es mk 0.6. El conductor parte desde el reposo y hace girar la rueda trasera (motriz). La fuerza normal entre la rueda trasera y el camino es de 790 N. a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza de fricción sobre la rueda trasera en 2 s? b) Si se ignoran otras fuerzas horizontales, ¿cuál es la velocidad que alcanza la motocicleta en 2 s?
231
16.7 En el ejemplo activo 16.1, ¿cuál es la fuerza total promedio que actúa sobre el helicóptero desde t 0 hasta t 10 s? 16.8 En el tiempo t 0, la velocidad del objeto de 15 kg que se muestra en la figura es v 2i 3j – 5k (ms). La fuerza total que actúa sobre el objeto desde t 0 hasta t 4 s es ©F = (2t 2 - 3t + 7)i + 5tj + (3t + 7)k (N). Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar su velocidad en t 4 s. 16.9 En el tiempo t 0, la velocidad del objeto de 15 kg que se muestra en la figura es v 2i 3j – 5k (ms). La fuerza total que actúa sobre el objeto desde t 0 hasta t 4 s es ©F = (2t 2 - 3t + 7)i + 5tj + (3t + 7)k (N). ¿Cuál es la fuerza total promedio que actúa sobre el objeto durante el intervalo de tiempo entre t 0 y t 4 s? y
F
Problema 16.5
16.6 Un ingeniero biomecánico modela la fuerza generada por las alas del petrel de las nieves de 0.2 kg mostrado en la figura, mediante una ecuación de la forma F F0(1 sen vt), donde F0 y v son constantes. A partir de mediciones en video de un ave despegando, el ingeniero estima que v 18 y determina que el ave requiere 1.42 s para despegar y cuando lo hace se mueve a 6.1 ms. Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la constante F0.
x z
Problemas 16.816.9
Problema 16.6
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232
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.10 El collarín A de 1 lb está inicialmente en reposo en la posición mostrada sobre la barra horizontal lisa. En t 0, se aplica 1 2 1 1 3 t i + 10 tj - 30 t k 1lb2 sobre el collarín, ocasiouna fuerza F = 20 nando que éste se deslice a lo largo de la barra. ¿Cuál es la velocidad del collarín en t 2 s?
16.12 Durante los primeros 5 s del recorrido de despegue de un avión de 14,200 kg, el piloto aumenta el empuje del motor a una razón constante de 22 kN hasta alcanzar su empuje total de 112 kN. a) ¿Qué impulso ejerce el empuje sobre el avión durante los 5 s? b) Si se ignoran otras fuerzas, ¿qué tiempo total se requiere para que el avión alcance su velocidad de despegue de 46 ms?
y
F A
4 pies
Problema 16.10
16.11 En la figura, el eje y es vertical y la barra curva es lisa. El deslizador de 4 lb se suelta desde el reposo en la posición 1 y requiere 1.2 s para deslizarse hasta la posición 2. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza tangencial promedio que actúa sobre el deslizador mientras éste se mueve de la posición 1 a la posición 2?
y
Problema 16.12
16.13 La caja de 10 kg que se muestra en la figura parte desde el reposo sobre la superficie lisa y se somete a la fuerza horizontal descrita en la gráfica. Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la velocidad de la caja en t = 12 s. 16.14 La caja de 10 kg que se muestra en la figura parte desde el reposo sobre la superficie lisa y se somete a la fuerza horizontal descrita en la gráfica. Los coeficientes de fricción entre la caja y la superficie son ms mk 0.2. Determine la velocidad de la caja en t = 12 s.
1
2 pies
2 x
F
4 pies
Problema 16.11
F (N) 50 N
0
4
8
12
t (s)
Problemas 16.1316.14
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Problemas 16.15 La caja mostrada tiene una masa de 120 kg y los coeficientes de fricción entre ésta y la superficie inclinada son ms 0.6 y mk 0.5. La caja parte desde el reposo y el malacate ejerce una tensión T 1220 N. a) ¿Qué impulso se aplica a la caja durante el primer segundo de movimiento? b) ¿Cuál es la velocidad de la caja después de 1 s?
16.16 Resuelva el problema 16.15 si la caja parte desde el reposo en t 0 y el malacate ejerce una tensión T 1220 200t N.
233
16.19 En un tubo de rayos catódicos, un electrón (masa 9.11 1031 kg) se proyecta en O con velocidad v (2.2 107)i (ms). Mientras el electrón está entre las placas cargadas, el campo eléctrico generado por éstas lo somete a una fuerza F eEj. La carga del electrón es e 1.6 1019 C (coulombs) y la intensidad del campo eléctrico es E 15 sen(vt) kNC, donde la frecuencia v 2 109 s1. a) ¿Qué impulso ejerce el campo eléctrico sobre el electrón mientras éste se encuentra entre las placas? b) ¿Cuál es la velocidad del electrón cuando sale de la región localizada entre las placas?
y
x
O
30
30 mm
Problemas 16.1516.16 Problema 16.19 16.17 En un proceso de ensamblado, el paquete A de 20 kg parte desde el reposo y resbala sobre la rampa lisa mostrada. Suponga que se quiere diseñar el dispositivo hidráulico B para que ejerza una fuerza constante de magnitud F sobre el paquete y lo detenga en 0.15 s. ¿Cuál es la fuerza F requerida?
16.18 En un proceso de ensamblado, el paquete A de 20 kg parte desde el reposo y resbala sobre la rampa lisa mostrada. Si el dispositivo hidráulico B ejerce una fuerza de magnitud F 540(1 0.4t2) N sobre el paquete, donde t está en segundos medidos desde el momento del primer contacto, ¿qué tiempo se requiere para llevar el paquete al reposo?
16.20 Los dos pesos mostrados se sueltan desde el reposo en el tiempo t 0. El coeficiente de fricción cinética entre la superficie horizontal y el peso de 5 lb es mk 0.4. Use el principio del impulso y el momento para determinar la magnitud de la velocidad del peso de 10 lb en t 1 s. Estrategia: Aplique el principio a cada peso de manera individual.
5 lb A
2m
B 10 lb
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Problemas 16.1716.18
Problema 16.20
234
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.21 Las dos cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus masas son mA 40 kg y mB 30 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre la caja A y la superficie inclinada es mk 0.15. ¿Cuál es la magnitud de las velocidades de las cajas después de 1 s?
A
20 B
16.24 En t = 0, a un proyectil de 20 kg se le da una velocidad inicial v0 = 20 ms en u0 = 60° sobre la horizontal. a) Usando la segunda ley de Newton para determinar la aceleración del proyectil, determine su velocidad en t = 3 s. b) ¿Qué impulso es aplicado al proyectil por su peso desde t = 0 hasta t = 3 s? c) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la velocidad del proyectil en t = 3 s.
16.25 Un jugador de fútbol patea una pelota en reposo de 0.45 kg hacia un compañero de equipo. El balón alcanza una altura máxima sobre el suelo de 2 m a una distancia horizontal de 5 m desde el punto donde fue pateado. La duración de la patada fue de 0.04 segundos. Ignorando el efecto de la resistencia aerodinámica, determine la magnitud de la fuerza promedio que el jugador ejerció sobre la pelota.
Problema 16.21
16.22 Las dos cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus masas son mA 20 kg y mB 80 kg, y las superficies son lisas. El ángulo u 20°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja A después de 1 s? Estrategia: Aplique el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada caja de manera individual. 16.23 Las dos cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus masas son mA 20 kg y mB 80 kg. El coeficiente de fricción cinética entre las superficies en contacto es mk 0.1. El ángulo u 20°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja A después de 1 s?
A B
u
Problemas 16.2216.23
Problema 16.25
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Problemas 16.26 Un objeto de masa m 2 kg se desliza con velocidad constante v0 4 ms sobre una mesa horizontal (vista desde arriba en la figura). El cuerpo está unido con una cuerda de longitud L 1 m al punto fijo O y se encuentra en la posición mostrada, con la cuerda paralela al eje x, en t 0. a) Determine las componentes x e y de la fuerza ejercida por la cuerda sobre la masa en función del tiempo. b) Use sus resultados del inciso a) y el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar el vector de velocidad de la masa en t 1 s. Estrategia: Para solucionar el inciso a), escriba la segunda ley de Newton para la masa en coordenadas polares.
y v0 O
L
235
16.29 La motocicleta mostrada parte del reposo en t 0 y se desplaza a lo largo de una pista circular con 300 m de radio. Desde t 0 hasta t 10 s, la componente de la fuerza total sobre la motocicleta tangente a su trayectoria es ©Ft 600 N. La masa combinada de la motocicleta y su conductor es de 150 kg. Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la magnitud de la velocidad de la motocicleta en t 10 s. (Vea el ejemplo activo 16.2). 16.30 La motocicleta mostrada parte del reposo en t 0 y se desplaza a lo largo de una pista circular con 300 m de radio. Desde t 0 hasta t 10 s, la componente de la fuerza total sobre la motocicleta tangente a su trayectoria está dada en función del tiempo por ©Ft 460 3t2 N. La masa combinada de la motocicleta y su conductor es de 150 kg. Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la magnitud de la velocidad de la motocicleta en t 10 s. (Vea el ejemplo activo 16.2).
m
x
Problema 16.26 16.27 Un cañón sobre rieles que usa un campo electromagnético para acelerar un objeto acelera un proyectil de 30 g a 5 kms en 0.0004 s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida sobre el proyectil?
16.28 La masa de la lancha mostrada y su pasajero es de 420 kg. En el tiempo t 0, la lancha viaja a 14 ms cuando su motor se apaga. La magnitud de la resistencia hidrodinámica sobre la lancha (en newtons) está dada como una función del tiempo por 830(1 – 0.08t). Determine el tiempo necesario para que la velocidad de la lancha disminuya a 5 ms.
Problemas 16.2916.30
Problema 16.28
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236
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.31 El rotor de titanio de una ultracentrifugadora Beckman Coulter usada en la investigación biomédica contiene muestras de 2 gramos a una distancia de 41.9 mm desde el eje de rotación. El rotor alcanza su velocidad máxima de 130,000 rpm en 12 minutos. a) Determine la fuerza tangencial promedio ejercida sobre una muestra durante los 12 minutos que el rotor está acelerando. b) Cuando el rotor alcanza su velocidad máxima, ¿a qué aceleración normal están sujetas las muestras?
16.35 Una ingeniera biomecánica que utiliza un maniquí instrumentado para probar una máscara protectora para porteros de hockey, lanza un disco de 170 g de manera que golpee la máscara moviéndose horizontalmente a 40 ms. Por las fotografías del impacto, se estima que la duración de éste es de 0.02 s y se observa que el disco rebota a 5 ms. a) ¿Qué impulso lineal ejerce el disco? b) ¿Cuál es el valor promedio de la fuerza impulsiva ejercida sobre la máscara por el disco?
16.32 El ángulo u entre la horizontal y la trayectoria del avión que se muestra en la figura varía desde u 0 hasta u 30° a una razón constante de 5 grados por segundo. Durante esta maniobra, la fuerza de empuje y la resistencia aerodinámica están balanceadas, de manera que la única fuerza ejercida sobre el avión en la dirección tangente a su trayectoria se debe a su peso. La magnitud de la velocidad del avión cuando u 0 es de 120 ms. Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la magnitud de la velocidad cuando u 30°.
u
Problema 16.32 Problema 16.35 16.33 En el ejemplo 16.3, suponga que la masa de la pelota de golf es de 0.046 kg y su diámetro es de 43 mm. El palo hace contacto con la pelota durante 0.0006 s, y la distancia que ésta recorre en un intervalo de 0.001 s es de 50 mm. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza impulsiva promedio ejercida por el palo? 16.34 En una prueba de una barrera antichoques, un automóvil de 2800 lb se conduce hasta chocar contra ésta a 5 mih. La duración del impacto es de 0.4 segundos. Cuando el automóvil rebota de la barrera, la magnitud de su velocidad es de 1.5 mih. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal promedio ejercida sobre el automóvil durante el impacto? b) ¿Cuál es la desaceleración promedio del vehículo durante el impacto?
16.36 Un objeto frágil que cae sobre una superficie dura se rompe debido a que queda sometido a una gran fuerza impulsiva. Si se deja caer un reloj de 2 onzas desde 4 pies, la duración del impacto es de 0.001 s y el reloj rebota 2 pulg sobre el piso, ¿cuál es el valor promedio de la fuerza impulsiva?
www.FreeLibros.org Problema 16.34
Problemas 16.37 La pelota de fútbol de 0.45 kg que se muestra en la figura recibe una patada con duración de 0.12 s. El balón se acelera desde el reposo hasta una velocidad de 12 ms a 60° sobre la horizontal. a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total promedio ejercida sobre la pelota durante la patada? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida sobre la pelota por el pie del jugador durante la patada? Estrategia: Use la ecuación (16.2) a fin de calcular la fuerza total promedio sobre la pelota. Para determinar la fuerza promedio ejercida por el pie del jugador, se debe restar el peso de la pelota a la fuerza total promedio.
237
16.39 Una pelota de béisbol de 5 onzas está a 3 pies sobre el suelo cuando es golpeada con un bate. La distancia horizontal hasta el punto donde la pelota golpea el suelo es de 180 pies. Los estudios fotográficos indican que la pelota se movía aproximadamente en dirección horizontal a 100 piess antes de ser golpeada, la duración del impacto fue de 0.015 s y la pelota viajó a 30° sobre la horizontal después de haber sido golpeada. ¿Cuál fue la magnitud de la fuerza impulsiva promedio ejercida por el bate sobre la pelota?
30
Problema 16.39 16.40 Según las reglas oficiales del frontón, una pelota estándar tiene 241 pulgadas de diámetro, pesa 1.4 onzas (16 onzas 1 libra), y rebota entre 68 y 72 pulgadas después de caer 100 pulgadas a una temperatura entre 70 y 74 grados Fahrenheit. Suponga que una pelota rebota 71 pulgadas cuando se deja caer desde una altura de 100 pulgadas. Si la duración del impacto es de 0.08 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida por el piso sobre la pelota?
Problema 16.37
16.38 Un entomólogo mide el movimiento de un insecto de 3 g durante su salto y se determina que acelera desde el reposo hasta 3.4 ms en 25 ms (milisegundos). El ángulo de despegue es de 55° sobre la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal y vertical de la fuerza impulsiva promedio ejercida por las patas traseras del insecto durante el salto?
16.41 Se tienen las masas mA mB sobre la superficie lisa mostrada. En t 0, A se encuentra en reposo, el resorte está sin estirar, y a B se le da una velocidad v0 hacia la derecha. a) En el movimiento subsecuente, ¿cuál es la velocidad del centro de masa común de A y B? b) ¿Cuáles son las velocidades de A y B cuando el resorte está sin estirar? Estrategia: Para resolver el inciso b), considere los movimientos de las masas respecto a su centro de masa común. 16.42 Se tienen las masas mA 40 kg y mB 30 kg, y k 400 Nm. Las dos masas se sueltan desde el reposo sobre la superficie lisa mostrada con el resorte estirado 1 m. ¿Cuáles son las magnitudes de las velocidades de las masas cuando el resorte está sin estirar?
k mA
mB
www.FreeLibros.org Problemas 16.4116.42
238
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos ANTECEDENTES En esta sección se consideran los movimientos de varios objetos y se muestra que si las fuerzas externas pueden ignorarse, la cantidad de movimiento lineal total de los objetos se conserva. (Por fuerzas externas se entiende aquellas fuerzas que no son ejercidas por los objetos bajo consideración). Este resultado proporciona una herramienta poderosa para analizar interacciones entre objetos, como las colisiones, y también permite determinar las fuerzas ejercidas sobre los objetos como resultado de la ganancia o pérdida de masa.
A FAB FBA
B
Figura 16.3 Dos objetos y las fuerzas que ejercen entre sí.
Conservación de la cantidad de movimiento lineal Considere los objetos A y B de la figura 16.3. FAB es la fuerza ejercida sobre A por B y FBA es la fuerza ejercida sobre B por A. Esas fuerzas podrían resultar del contacto entre los dos cuerpos, o podrían ser ejercidas por un resorte que los conectara. Como consecuencia de la tercera ley de Newton, esas fuerzas son iguales y opuestas, de manera que
FAB + FBA = 0.
(16.5)
Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre A y B, o que las otras fuerzas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que A y B ejercen entre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento a cada objeto durante tiempos arbitrarios t1 y t2: t2
FAB dt = mA vA2 - mA vA1,
Lt1
t2
A
Lt1 B rA
FBA dt = mB vB2 - mB vB1.
Al sumar estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y se tiene
mA vA1 + mB vB1 = mA vA2 + mB vB2,
r
lo que significa que la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva: rB O
Figura 16.4 Vector de posición r del centro de masa común de A y B.
constante. mA vA + mB vB = constant.
(16.6)
Se puede demostrar que la velocidad del centro de masa combinado de A y B (es decir, de A y B considerados como un solo objeto) también es constante. Sean rA y rB, los vectores de posición de sus centros de masa individuales (figura 16.4). La posición del centro de masa combinado es
r =
mA rA + mB rB . mA + mB
Derivando esta ecuación respecto al tiempo y usando la ecuación (16.6), se obtiene
v =
mA vA + mB vB = constant, constante, mA + mB
(16.7)
donde v = dr>dt es la velocidad del centro de masa combinado. Aunque por lo general el objetivo consistirá en determinar los movimientos individuales de los objetos, si se sabe que la velocidad del centro de masa combinado es constante contribuye al mejor entendimiento del problema, y en algunos casos el movimiento del centro de masa combinado puede ser la única información que puede obtenerse.
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16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos
239
Aun cuando haya fuerzas externas que actúen sobra A y B, si las fuerzas externas son insignificantes en una dirección particular, las ecuaciones (l6.6) y (16.7) son aplicables en esa dirección. Estas ecuaciones también se aplican a un número arbitrario de cuerpos: si las fuerzas externas que actúan sobre cualquier conjunto de cuerpos son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de los cuerpos se conserva y la velocidad de sus centros de masa es constante.
Impactos En máquinas que realizan operaciones de estampado o de forja, los troqueles se impactan contra las piezas de trabajo. Las impresoras mecánicas crean imágenes impactando elementos metálicos contra papel y placas. Hay vehículos que se impactan de manera intencional, como cuando los vagones de ferrocarril se hacen chocar para acoplarlos entre sí, y otros sin intención, en los accidentes. Los impactos ocurren en muchas situaciones de interés para la ingeniería. En esta sección se considera un asunto básico: si se conocen las velocidades de dos objetos antes de que choquen, ¿cómo se pueden determinar las velocidades después de la colisión? Es decir, ¿cuál es el efecto del impacto sobre los movimientos de los objetos? Si los cuerpos que chocan no están sujetos a fuerzas externas, sus cantidades de movimiento lineal total deben ser las mismas antes y después del impacto. Aun cuando estén sujetos a fuerzas externas, la fuerza del impacto a menudo es tan grande y su duración es tan breve, que el efecto en sus movimientos durante el impacto es insignificante. Suponga que los objetos A y B con velocidades vA y vB entran en
v A
v
A
B
v
vA
B (a) v
mA vA + mB vB . mA + mB
B
A
(16.8)
Además, la velocidad v del centro de masa de A y B es la misma antes y después del impacto. Así, de la ecuación (16.7),
v =
vB
A
œ colisión; sean v A y vB sus velocidades después del impacto (figura 16.5a). Si los efectos de fuerzas externas son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total del sistema compuesto por A y B se conserva:
mA vA + mB vB = mA vAœ + mB vBœ .
v B
vA
v
vB
A B
(16.9)
Si A y B se adhieren y permanecen juntos después de la colisión, se dice que experimentan un impacto perfectamente plástico. La ecuación (16.9) proporciona la velocidad del centro de masa del objeto que ellos forman después del impacto (figura 16.5b). Un aspecto notable de este resultado es que se puede determinar la velocidad posterior al impacto sin considerar la naturaleza física del impacto. Si A y B no se adhieren, la conservación de la cantidad de movimiento lineal por sí misma no es suficiente para determinar sus velocidades después del impacto. Primero se considerará el caso en que viajan a lo largo de la misma línea recta antes y después de que tengan la colisión. Impactos centrales directos Suponga que los centros de masa de A y B viajan a lo largo de la misma línea recta con velocidades vA y vB antes de su impacto (figura 16.6a). Sea R la magnitud de la fuerza que ejercen entre sí durante el impacto (figura 16.6b). Se supone que las superficies que chocan están orientadas de manera que R es paralela a la línea en la que viajan los dos objetos y que está dirigida hacia sus centros de masa. Esta condición, llamada impacto central directo, significa que A y B pueden seguir viajando en la misma línea recta después del impacto (figura 16.6c). Si los efectos de las fuerzas externas durante el impacto son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de los objetos se conserva:
(b)
Figura 16.5 (a) Velocidades de A y B antes y después del impacto y velocidad v de sus centros de masa. (b) Impacto perfectamente plástico.
www.FreeLibros.org mA vA + mB vB = mA vAœ + mB vBœ .
(16.10)
240
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento vA
vB
A
(a) Antes del impacto
B A
Figura 16.6 (a) Objetos A y B que recorren la misma línea recta. (b) Durante el impacto, ejercen entre sí una fuerza R. (c) Recorren la misma línea recta después del impacto central.
B R
A R
vA
A
A
B
(a)
B
A
(b) Durante del impacto
B
v B
B
(c) Después del impacto
œ œ Sin embargo, se necesita otra ecuación para determinar las velocidades vA y vB . Para obtenerla se debe considerar el impacto con mayor detalle. Sea t1 el tiempo en que A y B entran por primera vez en contacto (figura 16.7a). Como resultado del impacto, primero se deforman y sus centros de masa continúan acercándose uno al otro. En un tiempo tC, sus centros de masa habrán alcanzado su máxima proximidad (figura 16.7b). En este tiempo, la velocidad relativa de los dos centros de masa es cero, por lo que ambos tendrán la misma velocidad; ésta se denota con vC. Los objetos comienzan a separarse en un tiempo t2 (figura 16.7c). Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a A durante los intervalos de tiempo desde t1 hasta el tiempo de máxima proximidad tC y también de tC a t2: tC
(b)
-R dt = mA vC - mA vA,
(16.11)
-R dt = mA vAœ - mA vC.
(16.12)
Lt1 A
t2
B
LtC (c)
Figura 16.7 (a) Primer contacto, t = t1. (b) Acercamiento más próximo, t = tC. (c) Fin del contacto, t = t2.
Después se aplica este principio a B en los mismos intervalos de tiempo: tC
R dt = mB vC - mB vB,
(16.13)
R dt = mB vBœ - mB vC.
(16.14)
Lt1 t2
LtC
Como resultado del impacto, parte de la energía cinética de los objetos puede perderse debido a una variedad de mecanismos, incluidos la deformación permanente y la generación de calor y sonido. En consecuencia, el impulso que se imparten entre sí durante la fase de “restitución” del impacto de tC a t2 es, en general, menor que el impulso que se imparten de t1 a tC. La razón de esos impulsos se llama coeficiente de restitución: t2
e =
LtC
R dt
tC
Lt1
.
(16.15)
R dt
www.FreeLibros.org El valor de e depende de las propiedades de los objetos y de sus velocidades y orientaciones al chocar, y se puede determinar sólo mediante experimentos o por un análisis detallado de las deformaciones durante el impacto.
16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos
241
Si se divide la ecuación (16.12) entre la ecuación (16.11) y se divide la ecuación (16.14) entre la ecuación (16.13), se pueden expresar las ecuaciones resultantes en las formas
1vC - vA2e = vAœ - vC
y
1vC - vB2e = vBœ - vC.
Restando la primera ecuación de la segunda, se obtiene
e =
vBœ - vAœ . vA - vB
(16.16)
Así, el coeficiente de restitución se relaciona de manera sencilla con las velocidades relativas de los objetos antes y después del impacto. Si se conoce e, puede usarse la ecuación (16.16) junto con la ecuación de la conservación de la cantidad œ œ de movimiento lineal, ecuación (16.10), para determinar vA y vB . œ œ Si e 0, la ecuación (16.16) indica que vB = vA. Los objetos permanecen juntos después del impacto, y éste es perfectamente plástico. Si e 1, puede demostrarse que la energía cinética total es la misma antes y después del impacto: 1 2 2 mA vA
+ 21 mB vB2 = 21 mA1vAœ 22 + 21 mB1vBœ 22 1when (cuandoe e=12. 1).
Un impacto en el que se conserva la energía cinética se denomina perfectamente elástico. Aunque a veces ésta es una aproximación útil, en cualquier impacto entre cuerpos materiales siempre se pierde energía. Si un choque se puede escuchar, la energía cinética se ha convertido en sonido. Las deformaciones permanentes y las vibraciones de los cuerpos en colisión después del impacto también representan pérdidas de energía cinética.
y
v A
v B
A
B x vB
vA
Impactos centrales oblicuos El procedimiento utilizado para analizar los impactos centrales se puede extender al caso en que los cuerpos se aproximan entre sí con un ángulo oblicuo. Suponga que A y B se aproximan con velocidades arbitrarias vA y vB (figura 16.8) y que las fuerzas que ejercen entre sí durante su impacto son paralelas al eje x y apuntan hacia sus centros de masa. Ninguna fuerza se ejerce sobre A y B en las direcciones y o z, por lo que sus velocidades en esas direcciones no cambian con el impacto:
1vAœ 2y = 1vA2y,
1vBœ 2y = 1vB2y,
1vAœ 2z = 1vA2z,
1vBœ 2z = 1vB2z.
A
B
Figura 16.8 Impacto central oblicuo.
(16.17)
En la dirección x se conserva la cantidad de movimiento lineal
mA1vA2x + mB1vB2x = mA1vAœ 2x + mB1vBœ 2x.
(16.18)
Mediante el mismo análisis que se usó para obtener la ecuación (16.16), las componentes x de la velocidad satisfacen la relación
e =
1vBœ 2x - 1vAœ 2x
1vA2x - 1vB2x
.
y
v A
(16.19)
Si la fricción es insignificante, se puede analizar un impacto en el que un objeto A choca con un objeto en reposo B. Suponga que B está restringido de manera que no puede moverse con respecto al marco de referencia inercial. Por ejemplo, en la figura 16.9, A golpea una pared B que está fija respecto a la Tierra. Las componentes y y z de la velocidad de A no cambian, porque la fricción se ignora y el impacto no ejerce ninguna fuerza en esas direcciones. La componente x de la velocidad de A después del impacto está dada por la ecuación (16.19) con la velocidad de B igual a cero:
A B
x
vA
A
www.FreeLibros.org 1vAœ 2x = - e1vA2x.
Figura 16.9 Impacto con un objeto en reposo.
242
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
RESULTADOS
Conservación de la cantidad de movimiento lineal Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos objetos A y B son las fuerzas que ejercen entre sí, su cantidad de movimiento lineal total se conserva y la velocidad v de su centro de masa común es constante.
mAvA mBvB constante.
(16.6)
mAvA mBvB v constante. mA mB
(16.7)
mAvA mBvB mAv¿A mBv¿B,
(16.8)
Impactos v A
v
v B
A
vA
B
v
vB
A B
Si dos objetos A y B entran en colisión y los efectos de las fuerzas externas son insignificantes, su cantidad de movimiento lineal total y la velocidad de su centro de masa común son las mismas antes y después del impacto.
mAvA mBvB v . mA mB
(16.9)
Colisión perfectamente plástica v B
A
vA
v
vB
A B
En este tipo de colisión, A y B se adhieren y permanecen juntos después del impacto. La velocidad de su centro de masa común después del impacto está dada por la ecuación (16.9).
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16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos
243
Impacto central directo vA
vB
A
Antes del impacto
B A
B R
A
Durante el impacto
B
R
vA
v B
A
B
La cantidad de movimiento lineal se conserva y las velocidades antes y después del impacto están relacionadas por el coeficiente de restitución e. Si e 0, la colisión es perfectamente plástica, y si e 1, se conserva la energía cinética total.
Después del impacto
mAvA mBvB mAv¿A mBv¿B, e
v¿B v¿A . vA v B
(16.10) (16.16)
Impacto central oblicuo y
v A
v B
A
B x vA
A
vB
B
Las componentes de velocidad paralelas al plano del impacto no cambian.
Se conserva la cantidad de movimiento lineal en la dirección perpendicular al plano del impacto y las componentes de la velocidad están relacionadas por el coeficiente de restitución.
(v¿A)y (vA)y,
(v¿B)y (vB)y, (16.17)
(v¿A)z (vA)z,
(v¿B)z (vB)z.
mA(vA)x mB(vB)x mA(v¿A)x mB(v¿B)x.
(16.18)
www.FreeLibros.org e
(v¿B)x (v¿A)x . (vA)x (vB)x
(16.19)
244
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo activo 16.4
Conservación de la cantidad de movimiento lineal ( Relacionado con el problema 16.43) Una persona de masa mP está de pie sobre el centro de la barcaza en reposo con masa mB, que se muestra en la figura. Suponga que la persona corre hacia el extremo derecho de la barcaza y se detiene. ¿Cuál es su posición y la de la barcaza respecto a sus posiciones originales? Ignore las fuerzas horizontales ejercidas por el agua sobre la barcaza.
1 L 2
1 L 2
Estrategia Las únicas fuerzas horizontales ejercidas sobre la persona y la barcaza son las que éstas ejercen entre sí. Por lo tanto, la velocidad horizontal de su centro de masa común debe ser constante. Su velocidad inicial es cero, por lo que debe permanecer en reposo: no se mueve. Esta condición puede usarse para determinar las posiciones de los centros de masa de la persona y la barcaza cuando la primera se encuentra en el extremo derecho de la barcaza. Solución
y
Coloque el origen del sistema coordenado en la posición original del centro de masa común de la barcaza y la persona. Sea xP la posición de la persona cuando ésta se ha detenido en el extremo derecho de la barcaza, y sea xB la posición de la barcaza a la izquierda del origen.
La posición del centro de masa común de la persona y la barcaza debe permanecer en x 0.
xP xB
1 L 2
x
x
xPmP (xB)mB 0. mP mB
Resolviendo esta ecuación junto con la relación xP xB L/2 se obtienen las dos posiciones. mBL , 2(mP mB)
mPL . 2(mP mB)
www.FreeLibros.org xP
xB
16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos
245
Problema de práctica Si la persona deja su posición inicial sobre el centro de la barcaza en reposo y comienza a correr con velocidad vP hacia la derecha, ¿cuál es la velocidad resultante de la barcaza? vB
vP
y
x izquierda. Respuesta: vB = (mP>mB)vP hacia towardlathe left.
Ejemplo activo 16.5
Análisis de un impacto ( Relacionado con el problema 16.60)
Las masas A y B de 4 kg se deslizan sobre la barra horizontal lisa con las velocidades mostradas. Determine sus velocidades después de entrar en colisión si su coeficiente de restitución es e 0.8. 10 m/s
5 m/s
A
B
Estrategia Conociendo las masas, las velocidades antes de la colisión y el coeficiente de restitución, se pueden usar las ecuaciones (16.10) y (16.16) para determinar las velocidades de las dos masas después de la colisión.
Aplique la ecuación (16.10) (conservación de la cantidad de movimiento lineal).
Aplique la ecuación (16.16) (definición del coeficiente de restitución).
Resuelva las ecuaciones (1) y (2) para obtener las velocidades después del impacto.
mAvA mBvB mAv¿A mBv¿B : (4 kg)(10 m/s) (4 kg)(5 m/s) (4 kg)v¿A (4 kg)v¿B.
(1)
v¿B v¿A e v v : A B 0.8
v¿B v¿A . 10 m/s (5 m/s)
(2)
v¿A 3.5 m/s, v¿B 8.5 m/s.
Problema de práctica Suponga que las masas A y B están cubiertas con velcro y se
adhieren entre sí al entrar en colisión. ¿Cuál es su velocidad después del impacto?
www.FreeLibros.org Respuesta: 2.5 ms.
246
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo 16.6
Aplicación de los métodos de la cantidad de movimiento al acoplamiento de una nave espacial ( Relacionado con el problema 16.77) El módulo de servicio y comando Apolo (A) intenta acoplarse con la cápsula Soyuz (B) el 15 de julio de 1975. Sus masas son mA 18 Mg y mB 6.6 Mg. El Soyuz se encuentra en reposo respecto al marco de referencia mostrado, y el módulo de servicio se aproxima con velocidad vA 0.2i 0.03j 0.02k (ms). a) Si el primer intento de acoplamiento tiene éxito, ¿cuál es la velocidad del centro de masa de los dos vehículos combinados después de haberse acoplado? b) Si el primer intento no tiene éxito y el coeficiente de restitución del impacto resultante es e 0.95, ¿cuáles son las velocidades de los dos vehículos después del impacto?
y
x
vA B z
A
Estrategia a) Si el acoplamiento tuvo éxito, el impacto es perfectamente plástico y se puede
emplear la ecuación (16.9) para determinar la velocidad del centro de masa del objeto combinado después del impacto. b) Suponiendo un impacto central oblicuo con las fuerzas ejercidas por los collares de acoplamiento paralelos al eje x, se pueden usar las ecuaciones (16.18) y (16.19) para determinar las velocidades de ambos vehículos después del impacto. Solución a) A partir la ecuación (16.9), la velocidad del centro de masa de los vehículos combinados es
v = =
mA vA + mB vB mA + mB
118 Mg230.2i + 0.03j - 0.02k 1m/s24 + 0
18 Mg + 6.6 Mg = 0.146i + 0.0220j - 0.0146k 1m/s2. b) Las componentes y y z de las velocidades de ambos vehículos espaciales no
cambian. Para determinar las componentes x, primero se usa la conservación de la cantidad de movimiento lineal, ecuación (16.18).
mA1vA2x + mB1vB2x = mA1vAœ 2x + mB1vBœ 2x:
www.FreeLibros.org 118 Mg210.2 m/s2 + 0 = 118 Mg21vAœ 2x + 16.6 Mg21vBœ 2x.
Problemas
247
Después se usa el coeficiente de restitución, ecuación (16.19), para obtener
e = 0.95 =
1vBœ 2x - 1vAœ 2x
1vA2x - 1vB2x
1vBœ 2x - 1vAœ 2x 0.2 m/s - 0
:
.
œ Resolviendo estas dos ecuaciones, se obtiene 1vA 2x = 0.0954 m/s y œ 1vB2x = 0.285 m/s, por lo que las velocidades de los vehículos espaciales después del impacto son
vAœ = 0.0954i + 0.03j - 0.02k 1m/s2, vBœ = 0.285i 1m/s2.
Razonamiento crítico ¿Por qué son útiles los cálculos de este tipo? Las simulaciones analíticas del impacto entre dos vehículos espaciales durante su acoplamiento se usaron en el diseño de los mecanismos de acople así como en el entrenamiento de astronautas que realizaron esta maniobra.
Problemas 16.43 Una joven que pesa 80 lb está de pie en reposo sobre una plataforma flotante que pesa 325 lb. Empieza a correr a 10 piess respecto a la plataforma hasta llegar al extremo. Ignore la fuerza horizontal ejercida por el agua sobre la plataforma. a) Después de que la joven empieza a correr, ¿cuál es su velocidad respecto al agua? b) Mientras ella está corriendo, ¿cuál es la velocidad del centro de masa común de la joven y la plataforma respecto al agua? (Vea el ejemplo activo 16.4).
16.44 Los vagones de ferrocarril mostrados, con pesos WA 120,000 lb y WB 70,000 lb, chocan y quedan acoplados. El carro A está lleno y el B lleno hasta la mitad de ácido carbólico. Cuando los vagones chocan, el ácido en B se agita con violencia. a) Inmediatamente después del impacto, ¿cuál es la velocidad del centro de masa común de los dos vagones? b) Cuando ha terminado la agitación en B, ¿cuál es la velocidad de los dos vagones? 16.45 Los pesos de los vagones de ferrocarril mostrados son WA 120,000 lb y WB 70,000 lb. La vía tiene una pendiente constante de 0.2 grados hacia arriba a la derecha. Si los vagones están a 6 pies de distancia en el instante mostrado, ¿cuál es la velocidad de su centro de masa común inmediatamente después del acoplamiento?
A
2 pies/s
B
1 pie/s
Problemas 16.4416.45
www.FreeLibros.org Problema 16.43
248
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.46 El satélite S de 400 kg que se muestra en la figura, viaja a 7 kms y es golpeado por un meteoro M de 1 kg que viaja a 12 kms. Debido al impacto, el meteoro se incrusta en el satélite. Determine la magnitud de la velocidad de su centro de masa común después del impacto y el ángulo b entre la trayectoria del centro de masa y la trayectoria original del satélite.
16.49 Un niño que pesa 80 lb está sentado sobre un carro en reposo de 20 lb y quiere simular una propulsión de reacción lanzando ladrillos desde el carro. Ignore las fuerzas horizontales sobre las ruedas. Si tiene tres ladrillos de 10 lb de peso cada uno y los lanza con una velocidad horizontal de 10 piess respecto al carro, determine la velocidad alcanzada a) si lanza uno a la vez; b) si los lanza todos juntos.
16.47 El satélite S de 400 kg que se muestra en la figura, viaja a 7 kms y es golpeado por un meteoro M de 1 kg. Debido al impacto, el meteoro se incrusta en el satélite. ¿Cuál debería ser la magnitud de la velocidad del meteoro para ocasionar que el ángulo b entre la trayectoria original del satélite y la trayectoria del centro de masa combinado del satélite y el meteoro después del impacto sea de 0.5°? ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del centro de masa después del impacto?
S
b
7 km/s
45
Problema 16.49
M
Problemas 16.4616.47
16.48 Un astronauta de 68 kg se encuentra inicialmente en reposo en el lado izquierdo de un módulo experimental dentro de un transbordador espacial en órbita. El centro de masa del transbordador de 105,000 kg está 4 m a la derecha del astronauta. Él se impulsa con los pies hacia el centro de masa del transbordador a 1 ms respecto a la nave. Se desplaza 8 m respecto al transbordador antes de llegar al reposo en la pared opuesta del módulo experimental. a) ¿Cuál es el cambio en la magnitud de la velocidad del transbordador respecto a su velocidad original durante el desplazamiento del astronauta? b) ¿Cuál es el cambio en la magnitud de la velocidad del transbordador respecto a su velocidad original después del “vuelo” del astronauta? c) ¿Dónde está el centro de masa del transbordador respecto al astronauta después de su “vuelo”?
16.50 La catapulta mostrada, diseñada para lanzar un cable a embarcaciones en peligro, lanza un proyectil de 2 kg. La masa de la catapulta es de 36 kg, y descansa sobre una superficie lisa. Si la velocidad del proyectil respecto a la Tierra cuando éste sale del tubo es de 50 ms en u0 30° sobre a la horizontal, ¿cuál es la velocidad resultante de la catapulta hacia la izquierda? 16.51 La catapulta mostrada, que tiene una masa de 36 kg y lanza un proyectil de 2 kg, descansa sobre una superficie lisa. La velocidad del proyectil respecto a la catapulta cuando éste sale del tubo es de 50 ms en u0 30° sobre la horizontal, ¿cuál es la velocidad resultante de la catapulta hacia la izquierda?
v
u0
Problemas 16.5016.51
www.FreeLibros.org Problema 16.48
249
Problemas 16.52 Una bala con masa de 3.6 gramos se mueve horizontalmente con velocidad v y golpea un bloque de madera de 5 kg y se incrusta en él. Después del impacto, la bala y el bloque se deslizan 24 mm sobre el piso. Si el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y el piso es mk 0.4, determine la velocidad v.
16.54 La banda transportadora que se muestra en la figura deja caer el paquete A de 12 kg en la caja B de l.6 kg. El paquete es pegajoso y se adhiere al fondo de la caja. Si el coeficiente de fricción entre la caja y la banda horizontal es mk 0.2, ¿qué distancia se desliza la caja después del impacto?
v
26
A
Problema 16.52
1m
/s
B
16.53 Una bala de 0.12 onzas golpea un bloque colgante de madera de 15 lb y se incrusta en él. Los alambres de los que cuelga el bloque oscilan través de un ángulo de 7° como consecuencia del impacto. ¿Cuál era la velocidad de la bala?
2 pies
7
Problema 16.53
0.2 m/s
Problema 16.54 16.55 Un autobús de 12,000 lb choca con un automóvil de 2800 lb. La velocidad del autobús antes del choque era vB 18i (piess) y la velocidad del automóvil era vC 33j (piess). Los dos vehículos quedaron trabados y permanecieron juntos después de la colisión. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas de los vehículos y el camino es mk 0.6. a) ¿Cuál es la velocidad del centro de masa común de los vehículos inmediatamente después de la colisión? b) Determine la posición final aproximada del centro de masa común de los vehículos respecto a su posición cuando ocurrió el impacto? (suponga que las llantas se traban y no ruedan sobre el camino).
y
vB vC
x
Problema 16.55
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250
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.56 La velocidad del astronauta A de 200 kg que se muestra en la figura, respecto a la estación espacial es 40i 30j (mms). La velocidad del elemento estructural B de 300 kg respecto a la estación es 20i 30j (mms). Cuando se aproximan uno al otro, el astronauta se sujeta del elemento estructural y permanece junto a él. a) ¿Cuál es la velocidad de su centro de masa común cuando llegan a la estación? b) Determine la posición aproximada en la que entran en contacto con la estación.
16.59 Los objetos A y B de la figura con velocidades vA = 20 ms y vB = 4 ms sufren un impacto central directo. Sus masas son mA 8 kg y mB 12 kg. Después del impacto, el objeto B se mueve hacia la derecha a 16 ms. ¿Cuál es el coeficiente de restitución? vA
vB
A
B
Problema 16.59 16.60 La masa A de 8 kg y la masa B de 12 kg se deslizan sobre la barra horizontal lisa con las velocidades mostradas. Si el coeficiente de restitución es e 0.2, determine las velocidades de las masas después de la colisión. (Vea el ejemplo activo 16.5).
y
6m A B 9m
16.57 Los pesos de los objetos de la figura son WA 5 lb y WB 8 lb. El objeto A se mueve a vA = 2 piess y sufre un impacto perfectamente elástico con el objeto estacionario B. El coeficiente de restitución es e 5 0.8. Determine las velocidades de los objetos después del impacto. 16.58 Los pesos de los objetos de la figura son WA 5 lb y WB 8 lb. El objeto A se mueve a vA = 2 piess y sufre un impacto central directo con el objeto estacionario B. El coeficiente de restitución es e 0.8. Determine las velocidades de los objetos después del impacto.
A
B
Problemas 16.5716.58
2 m/s
A
B
x
Problema 16.56
vA
3 m/s
Problema 16.60 16.61 En un estudio de los efectos de un accidente sobre los ocupantes simulados de los dos vehículos que se muestran en la figura, el automóvil de 1900 lb con velocidad vA = 30 mih choca con el automóvil de 2800 lb con velocidad vB = 20 mih. Si el coeficiente de restitución del impacto es e 0.15, ¿cuáles son las velocidades de los automóviles después de la colisión? 16.62 En un estudio de los efectos de un accidente sobre los ocupantes simulados de los dos vehículos que se muestran en la figura, el automóvil de 1900 lb con velocidad vA = 30 mih choca con el automóvil de 2800 lb con velocidad vB = 20 mih. El coeficiente de restitución del impacto es e 0.15 y la duración de la colisión es de 0.22 s. Determine la magnitud de la aceleración promedio a la que están sometidos los ocupantes de cada uno de los automóviles.
vA
vB
www.FreeLibros.org Problemas 16.6116.62
Problemas 16.63 Las bolas mostradas tienen igual masa m. Las bolas B y C se conectan mediante un resorte sin estirar y están en reposo. La bola A se mueve hacia la B con velocidad vA. El impacto de A con B es perfectamente elástico (e 1). a) ¿Cuál es la velocidad del centro de masa común de las bolas B y C inmediatamente después del impacto? b) ¿Cuál es la velocidad del centro de masa común de las bolas B y C en el tiempo t después del impacto? 16.64 En el problema 16.63, ¿cuál es la fuerza compresiva máxima en el resorte como resultado del impacto? 16.65* Las bolas mostradas tienen igual masa m. Las bolas B y C se conectan mediante un resorte sin estirar y están en reposo. La bola A se mueve hacia la B con velocidad vA. El impacto de A con B es perfectamente elástico (e 1). Suponga que esto se interpreta como un impacto entre la bola A y el “objeto” D consistente en las bolas conectadas B y C. a) ¿Cuál es el coeficiente de restitución del impacto entre A y D? b) Si se considera la energía total después del impacto como la œ 2 œ 2 , donde vD suma de las energías cinéticas 21 m1vAœ 22 + 21 12m21vD es la velocidad del centro de masa de D después del impacto, ¿cuánta energía se “pierde” como resultado del impacto? c) ¿Cuánta energía se pierde en realidad como resultado del impacto? (Este problema es un modelo interesante para uno de los mecanismos de la energía perdida en los impactos entre objetos. La energía “perdida” que se calcula en el inciso b se transforma en “energía interna”, los movimientos vibratorios de B y C respecto a su centro de masa común.)
251
16.66 Suponga que se investiga un accidente en el que un auto A de 3400 lb golpea el auto B de 1960 lb que se encuentra estacionado. Las cuatro ruedas de B estaban frenadas y las marcas de patinaje indican un deslizamiento de 20 pies después del impacto. Si el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos de B y el pavimento se estima en mk 0.8 y el coeficiente de restitución después del impacto es e 0.2, ¿cuál fue la velocidad vA del auto A justo antes del impacto? (Suponga que sólo ocurrió un impacto). vA A
B
Problema 16.66 16.67 Cuando el jugador suelta la pelota desde el reposo a una altura de 5 pies sobre el piso, rebota hasta una altura de 3.5 pies. Si él lanza la pelota hacia abajo, soltándola a 3 pies sobre el piso, ¿a qué velocidad necesita lanzarla para que rebote a una altura de 12 pies?
5 pies
vA k A
B
C
Problemas 16.63–16.65
Problema 16.67
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252
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.68 En la figura, la pelota de fútbol de 0.45 kg se encuentra a 1 m sobre el suelo cuando es pateada hacia arriba a 12 ms. Si el coeficiente de restitución entre la pelota y el suelo es e 0.6, ¿cuál es la altura máxima sobre el suelo que alcanzará el balón en su primer rebote? 16.69 En la figura, la pelota de fútbol de 0.45 kg se encuentra en reposo justo antes de ser pateada hacia arriba a 12 ms. Si el impacto dura 0.02 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida sobre la pelota por el pie del jugador?
12 m/s
16.72 En una operación de forja, el peso de 100 lb se levanta hasta la posición 1 y luego se libera desde el reposo. Al caer golpea una pieza de trabajo en la posición 2. Si el peso se mueve a 15 piess inmediatamente antes del impacto y el coeficiente de restitución es e 0.3, ¿cuál es la velocidad del peso inmediatamente después del impacto? 16.73 El peso de 100 lb mostrado se suelta desde el reposo en la posición 1. La constante del resorte es k 120 lbpie, y los resortes están sin estirar en la posición 2. Si el coeficiente de restitución del impacto del peso con la pieza de trabajo en la posición 2 es e 0.6, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del peso inmediatamente después del impacto?
1m
1
16 pulg
Problemas 16.6816.69 2
16.70 Tomando medidas directamente de la fotografía de una pelota de golf rebotando, estime el coeficiente de restitución.
k
k
Pieza de trabajo
16.71 Si la pelota de golf del problema 16.70 se lanza horizontalmente a 2 piess y se suelta a 4 pies sobre la superficie, ¿cuál es la distancia entre los dos primeros rebotes?
12 pulg
Problemas 16.7216.73
Problemas 16.7016.71
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Problemas 16.74* Un ingeniero biomecánico que estudia el diseño de un casco utiliza un aparato experimental con el cual lanza un casco de 2.4 kg, que contiene una cabeza de plástico de 2 kg modelando la cabeza humana, contra una superficie rígida a 6 ms. La cabeza, suspendida dentro del casco, no es afectada inmediatamente por el impacto y continúa moviéndose hacia la derecha a 6 ms, hasta que choca con el casco. Si el coeficiente de restitución del impacto del casco con la superficie es de 0.85 y el de la cabeza con el casco es de 0.15, ¿cuál es la velocidad de la cabeza después de su impacto inicial con el casco?
253
16.77 En el ejemplo 16.6, si el módulo de servicio y comando Apolo se aproxima a la nave espacial Soyuz con una velocidad de 0.25i 0.04j 0.01k (ms) y el acoplamiento es exitoso, ¿cuál es la velocidad del centro de masa de los vehículos combinados después del acoplamiento? 16.78 En la figura, el objeto A de 3 kg y el objeto B de 8 kg sufren un impacto central oblicuo. El coeficiente de restitución es e 0.8. Antes del impacto, vA 10i 4j 8k (ms) y vB 2i 6j 5k (ms). ¿Cuáles son las velocidades de A y B después del impacto?
16.75* a) En el problema 16.74, si la duración del impacto de la cabeza con el casco es de 0.004 s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza media ejercida sobre la cabeza a consecuencia del impacto? b) Suponga que la cabeza sola golpea la superficie a 6 ms, el coeficiente de restitución es 0.5 y la duración del impacto es de 0.0002 s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida sobre la cabeza por el impacto?
y
A
B x
6 m/s
Problema 16.78
Problemas 16.7416.75 16.76 Las dos bolas mostradas, cada una con peso de 1 lb, cuelgan de cuerdas con longitud L 3 pies. La bola izquierda se suelta desde el reposo con u 35°. El coeficiente de restitución del impacto es e 0.9. ¿Hasta qué ángulo máximo oscila la bola derecha?
16.79 Un bate de béisbol (mostrado en la figura con el eje del bate perpendicular a la página) golpea una pelota en movimiento. Antes del impacto, la velocidad de la pelota es de vb 132(cos 45°i cos 45°j) (pies) y la velocidad del bate es vB 60(cos 45°i cos 45°j) (pies). Ignore el cambio en la velocidad del bate debido al impacto central directo. El coeficiente de restitución es e 0.2. ¿Cuál es la velocidad de la pelota después del impacto? Suponga que la pelota y el bate se mueven de manera horizontal.¿El bateador logra un potencial hit o un posible foul? y
vb Pelota de béisbol L u
L
vB
Bate
m
www.FreeLibros.org x
m
Problema 16.76
Problema 16.79
254
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.80 En la figura, el taco le proporciona a la bola blanca en A una velocidad paralela al eje y. La bola blanca golpea en B a la bola 8 que después entra en la buchaca. Si la magnitud de la velocidad de la bola blanca justo antes del impacto con la bola 8 es de 2 ms y el coeficiente de restitución es e 1, ¿cuáles son los vectores de velocidad de las dos bolas justo después del impacto? (Las bolas tienen masas iguales). 16.81 En el problema 16.80, ¿cuáles son los vectores de velocidad de las dos bolas inmediatamente después del impacto si el coeficiente de restitución es e 0.9?
16.83 La velocidad del disco de hockey de 170 g que se muestra en la figura es vP 10i 4j (ms). Si se ignora el cambio en la velocidad vS = v S j del bastón por el impacto y el coeficiente de restitución es e 0.6, ¿qué valor debe tener vS para enviar el disco hacia la portería? 16.84 En el problema 16.63, si el bastón responde al impacto como un objeto con la misma masa que el disco y el coeficiente de restitución es e 0.6, ¿qué valor debe tener vS para enviar el disco hacia la portería?
y
y
Dirección de la portería 20
45
vP
B
vS
x
A
x
Problemas 16.8316.84
Problemas 16.8016.81
16.82 En la figura, si el coeficiente de restitución es el mismo para ambos impactos, demuestre que la trayectoria de la bola blanca después de golpear dos bandas es paralela a su trayectoria original.
www.FreeLibros.org Problema 16.82
16.3 Cantidad de movimiento angular
255
16.3 Cantidad de movimiento angular ANTECEDENTES En esta sección se obtiene un resultado, análogo al principio del impulso y la cantidad de movimiento, que relaciona la integral respecto al tiempo de un momento con el cambio en una cantidad llamada cantidad de movimiento angular.
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular La posición de un objeto respecto a un marco de referencia inercial con origen O puede describirse con el vector de posición r de O al centro de masa del objeto (figura 16.10a). Recuerde que se obtuvo el útil principio del trabajo y la energía tomando el producto punto de la segunda ley de Newton por la velocidad. Aquí se obtendrá otro resultado tomando el producto vectorial de la segunda ley de Newton por el vector de posición. Este procedimiento proporciona una relación entre el momento de las fuerzas externas respecto a O y el movimiento del objeto. Si se toma el producto cruz de la segunda ley de Newton por r:
r * ©F = r * ma = r * m
dv . dt
(16.20)
Observe que la derivada respecto al tiempo de la cantidad r * mv es
dv dr d 1r * mv2 = a * mv b + a r * m b . dt dt dt (')'* = 0 (El primer término en el lado derecho es cero porque dr>dt = v y el producto cruz de vectores paralelos es igual a cero). Usando este resultado es posible escribir la ecuación (16.20) como
r * ©F =
dHO , dt
(16.21)
donde el vector
HO = r * mv
(16.22) v
F
r r
O
O HO r mv (a)
(b)
www.FreeLibros.org Figura16.10 (a) Vector de posición y fuerza externa total sobre un objeto. (b) Vector de la cantidad de movimiento angular y regla de la mano derecha para determinar su dirección.
256
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
se llama cantidad de movimiento angular respecto a O (figura 16.10b). Si se interpreta la cantidad de movimiento angular como el momento de la cantidad de movimiento lineal del objeto respecto a O, la ecuación (16.21) establece que el momento r * ©F es la razón de cambio del momento de la cantidad de movimiento respecto al punto O. Si el momento es cero durante un intervalo de tiempo, HO es constante. Integrando la ecuación (16.21) respecto al tiempo, se obtiene t2
Lt1
1r * ©F2 dt = 1HO22 - 1HO21.
(16.23)
La integral de la izquierda se llama impulso angular y la ecuación se llama principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular: el impulso angular aplicado a un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su cantidad de movimiento angular. Si se conoce el momento r * ©F en función del tiempo, se puede determinar el cambio en la cantidad de movimiento angular. Las dimensiones del impulso y la cantidad de movimiento angular son (masa) (longitud)2(tiempo).
Movimiento bajo una fuerza central Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo permanece dirigida hacia un punto fijo respecto a un marco de referencia inercial, se dice que el objeto se encuentra en movimiento bajo una fuerza central. El punto fijo se llama centro del movimiento. Los problemas de órbitas son los casos más comunes de movimientos bajo una fuerza central. Por ejemplo, la fuerza gravitatoria sobre un satélite de la Tierra permanece dirigida hacia el centro del planeta. Si se coloca el punto de referencia O en el centro del movimiento (figura 16.11a), el vector de posición r es paralelo a la fuerza total, por lo que r * ©F es igual a cero. Consecuentemente, la ecuación (16.23) indica que en un movimiento bajo una fuerza central, la cantidad de movimiento angular del objeto se conserva: HO constante.
(16.24)
En un movimiento bajo una fuerza central plana, r y v pueden expresarse en coordenadas cilíndricas (figura 16.11b):
r = rer,
v = vr er + vueu. F vu vr
y y
r O
x
r
z (a)
O
x (b)
www.FreeLibros.org Figura 16.11 (a) Movimiento bajo una fuerza central. (b) Expresión de la posición y la velocidad en coordenadas cilíndricas.
16.3 Cantidad de movimiento angular
257
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (16.22), se obtiene el movimiento angular:
HO = 1rer2 * m1vr er + vueu2 = mrvuez.
A partir de esta expresión se observa que
rvu = constante. constant.
(16.25)
RESULTADOS
Cantidad de movimiento angular v
r O
HO r mv
El producto cruz del vector de posición del centro de masa por la cantidad de movimiento lineal se llama cantidad de movimiento angular asociada con el movimiento del centro de masa.
HO r mv.
(16.22)
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular F
r O
La integral con respecto al tiempo del momento ejercido por las fuerzas externas sobre un objeto, el impulso angular, es igual al cambio en su cantidad de movimiento lineal. Si el momento es cero durante un intervalo de tiempo, la cantidad de movimiento angular es constante.
t2
(r F)dt (HO)2 (HO)1.
(16.23)
www.FreeLibros.org L t1
Impulso angular
258
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Movimiento bajo una fuerza central F y r O
x
z
Movimiento en el que la fuerza total que actúa sobre un objeto sigue dirigida hacia un punto O que está fijo respecto a un marco de referencia inercial. El momento respecto a O es cero, por lo que la cantidad de movimiento angular respecto a O es constante.
HO constante.
(16.24)
rvu constante.
(16.25)
vu vr y r O
x
En el movimiento bajo una fuerza central, el producto de la distancia radial desde el centro del movimiento por la componente transversal de la velocidad es constante.
Impulso y cantidad de movimiento angular ( Relacionado con el problema 16.91)
Ejemplo activo 16.7
O
r
F
El disco de masa m que se muestra en la figura se desliza sobre una mesa horizontal lisa. El disco está unido a una cuerda que es jalada a través de un orificio en O a una velocidad constante v0. En t 0, la posición radial es r r0 y la velocidad transversal del disco es cero. El disco está sometido a una fuerza con magnitud constante F y que es perpendicular a la cuerda. Determine la velocidad del disco en función del tiempo Estrategia Expresando r en función del tiempo, es posible determinar el momento de la fuerza respecto a O que actúa sobre el disco en función del tiempo. La cantidad de movimiento angular del disco depende de su velocidad, por lo que se puede aplicar el principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular para obtener información sobre la velocidad en función del tiempo.
www.FreeLibros.org v0
16.3 Cantidad de movimiento angular
259
Solución
Exprese r en términos del radio inicial r0 y la velocidad constante v0. eu
r r0 v0t.
er
r F T O
Exprese el momento respecto a O en términos de coordenadas cilíndricas.
r F rer (Ter Feu) F(r0 v0t)ez. HO r mv
Exprese la cantidad de movimiento angular respecto a O en términos de coordenadas cilíndricas.
rer m(vrer vueu) mvu(r0 v0t)ez. t2
L t1
(r F) dt (HO)2 (HO)1 :
t
Aplique el principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular para el intervalo de tiempo desde 0 hasta t.
L 0
F(r0 v0t)ez dt mvu(r0 v0t)ez 0,
vu
Exprese la velocidad como una función del tiempo en términos de coordenadas cilíndricas.
1 F r0t v0t2 ez mvu r0 v0t ez. 2 Despeje vu. [r0t (1/2)v0t2]F (r0 v0t)m
v vrer vueu v0er
[r0t (1/2)v0t2]F eu. (r0 v0t)m
Problema de práctica Considere que la fuerza transversal F 0. La cuerda se jala a través de un orificio en el punto O de la mesa a velocidad constante v0. Suponga que en t 0, la posición radial es r r0 y la velocidad transversal del disco es v0. Use el hecho de que el disco está en movimiento bajo una fuerza central para determinar su velocidad en función del tiempo.
www.FreeLibros.org Respuesta: v = - v0 er +
r0 v0 e. r0 - v0 t u
260
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo 16.8
Aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento y la energía a un satélite ( Relacionado con los problemas 16.87, 16.88)
vP
rA vA
rP
Cuando un satélite terrestre está en su perigeo (el punto en que se encuentra más cercano a la Tierra), la magnitud de su velocidad es vP = 7000 m/s y su distancia al centro de la Tierra es rP = 10,000 km. ¿Cuáles son las magnitudes de su velocidad vA y de su distancia rA al centro de la Tierra en su apogeo (el punto en que se encuentra más alejado de la Tierra)? El radio de la Tierra es RE = 6370 km. Estrategia Como el satélite experimenta un movimiento bajo una fuerza central respecto al centro de la Tierra, el producto de la distancia desde el centro de ésta por la componente transversal de la velocidad del satélite es constante. Lo anterior proporciona una ecuación que relaciona vA y rA. Podemos obtener una segunda ecuación que relaciona vA y rA usando la conservación de la energía. Solución De la ecuación (16.25), la conservación del movimiento angular requiere que
rA vA = rP vP. A partir de la ecuación (15.27), la energía potencial del satélite en términos de la distancia al centro de la Tierra es
V = -
mgR 2E . r
La suma de las energías cinética y potencial en el apogeo y en el perigeo deben ser iguales:
mgR 2E mgR 2E 1 1 mv A2 = mv 2P . rA rP 2 2 Sustituyendo rA = rP vP>vA en esta ecuación y reordenando términos, se obtiene
1vA - vP2 avA + vP -
2gR E2 b = 0. rP vP
Esta ecuación da la solución trivial vA = vP y también la solución para la velocidad en el apogeo:
vA =
2gR 2E - vP. rP vP
Sustituyendo los valores de g, RE, rP, y vP, se obtiene vA = 4370 m/s y
rA = 16,000 km.
Razonamiento crítico En este ejemplo se conocía la velocidad del satélite y su distancia desde el centro de la Tierra en el perigeo. Observe que con esta información puede usarse la ecuación (16.25) para determinar la componente transversal de la velocidad del satélite, vu, en cualquier posición radial dada. Se puede emplear la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad del satélite en la misma posición radial, lo que significa que también puede determinarse la componente radial de la velocidad del satélite, vr.
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Problemas
261
Problemas 16.85 En el instante mostrado (t1 0), la posición del centro de masa del objeto de 2 kg es r 6i 4j 2k (m) y su velocidad es v 16i 8j 12k (ms). Ninguna fuerza externa actúa sobre el objeto. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del objeto respecto al origen O en t2 1 s?
16.86 La fuerza externa total sobre el objeto de 2 kg que se muestra en la figura, dada en función del tiempo, es ©F 2ti 4j (N). En el tiempo t1 0, su posición y velocidad son r 0 y v 0. a) Use la segunda ley de Newton para determinar la velocidad v y la posición r del objeto en función del tiempo. b) Integrando r ©F con respecto al tiempo desde t1 0 hasta t2 6 s, determine el impulso angular respecto a O ejercido sobre el objeto durante este intervalo de tiempo. c) Use los resultados del inciso a) para determinar el cambio en el movimiento angular del cuerpo entre t1 0 y t2 6 s.
16.87 Un satélite está en la órbita terrestre que se muestra en la figura. Su velocidad en el perigeo A es de 8640 ms. El radio de la Tierra es de 6370 km. a) Use la conservación de la cantidad de movimiento angular para determinar la magnitud de la velocidad del satélite en el apogeo C. b) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de la velocidad en C. (Vea el ejemplo 16.8). 16.88 Para el satélite del problema 16.87, determine las magnitudes de la velocidad radial vr y la velocidad transversal vu en B. (Vea el ejemplo 16.8).
B
13,900 km
A
C y
r O
x 16,000 km
z
Problemas 16.8516.86
8000 km
8000 km
Problemas 16.8716.88
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262
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.89 La barra mostrada gira en el plano horizontal alrededor de un pasador liso en el origen. La manga A de 2 kg se desliza sobre la barra lisa, y la masa de la barra es insignificante en comparación con la masa de la manga. La constante del resorte es k 40 Nm, y éste se encuentra sin estirar cuando r 0. En t 0, la posición radial de la manga es r 0.2 m y la velocidad angular de la barra es v0 6 rads. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra cuando r 0.25 m? 16.90 La barra mostrada gira en el plano horizontal alrededor de un pasador liso en el origen. La manga A de 2 kg se desliza sobre la barra lisa, y la masa de la barra es insignificante en comparación con la masa de la manga. La constante del resorte es k 40 Nm, y éste se encuentra sin estirar cuando r 0. En t 0, la posición radial de la manga es r 0.2 m, su velocidad radial es vr = 0, y la velocidad angular de la barra es v0 = 6 rad/s. ¿Cuáles son la velocidad angular de la barra y la velocidad radial de la manga cuando r 0.25 m?
16.93 Un disco de 1 kg se desliza sobre una mesa horizontal y está unido a una cuerda que pasa por un agujero en la mesa. a) Si la masa se mueve en una trayectoria circular de radio r 1 m con velocidad transversal de 2 ms, ¿cuál es la tensión T? b) Iniciando desde la condición inicial descrita en el inciso a), la tensión T se incrementa de manera que la cuerda se jala a través del agujero a razón constante hasta que r 0.5 m. Determine el valor de T en función de r mientras esto ocurre. 16.94 En el problema 16.93, ¿cuánto trabajo se efectúa sobre la masa al tirar de la cuerda a través del agujero, como se describió en el inciso b)?
r v0 k A
T r
Problemas 16.9316.94
Problemas 16.8916.90 16.91 Un disco de 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal lisa y está conectado a una cuerda elástica cuya tensión es T 6r N, donde r es la posición radial del disco en metros. Si el disco está en r 1 m y se le da una velocidad inicial de 4 ms en la dirección transversal, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes radial y transversal de su velocidad cuando r 2m? (Vea el ejemplo activo 16.7).
16.95 Dos satélites para investigación de la gravedad (mA 250 kg, mB 50 kg) están unidos por un cable. Los satélites y el cable giran con velocidad angular v0 = 0.25 revoluciones por minuto. Los controladores en Tierra ordenan al satélite A desenrollar con lentitud 6 m de cable adicional. ¿Cuál es la velocidad angular después de esto?
v0 B
A
16.92 En el problema 16.91, determine el valor máximo de r alcanzado por el disco. 12 m
r
Problema 16.95
www.FreeLibros.org Problemas 16.9116.92
16.4 Flujos de masa 16.96 Un astronauta se mueve en el plano xy sujeto al extremo de una cuerda de 10 m unida a una estación espacial en O. La masa total del astronauta y su equipo es de 120 kg. a) ¿Cuál es su cantidad de movimiento angular respecto a O antes de que la cuerda se tense? b) ¿Cuál es la magnitud de la componente de su velocidad
perpendicular a la cuerda inmediatamente después de que la cuerda se tensa? 16.97 Un astronauta se mueve en el plano xy sujeto al extremo de una cuerda de 10 m unida a una estación espacial en O. La masa total del astronauta y su equipo es de 120 kg. El coeficiente de restitución del “impacto” que ocurre cuando el astronauta alcanza el extremo de la cuerda es e 0.8, ¿cuáles son las componentes x e y de su velocidad inmediatamente después de que la cuerda se tensa?
263
16.98 Una bola suspendida de una cuerda que pasa por un agujero en el techo en O se mueve con velocidad vA en una trayectoria circular horizontal de radio rA. Después, la cuerda se jala a través del agujero hasta que la esfera se mueve con velocidad vB en una trayectoria circular horizontal de radio rB. Use el principio del impulso angular y de la cantidad de movimiento angular para mostrar que rA vA = rB vB. Estrategia: Sea e un vector unitario perpendicular al techo. Aunque éste no es un problema de fuerza central —el peso de la bola no apunta hacia O— se puede demostrar que e # 1r * ©F2 = 0, por lo que e # HO se conserva.
O y 2i (m/s) vB
rB
6m vA
O
rA
Problema 16.98
x
Problemas 16.9616.97
16.4 Flujos de masa ANTECEDENTES En esta sección, se usa la conservación de la cantidad de movimiento lineal para determinar la fuerza ejercida sobre un cuerpo que emite o absorbe un flujo continuo de masa. La ecuación resultante se aplica a diversas situaciones como la determinación del empuje de un cohete y el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre cuerpos por flujos de fluidos o materiales granulares. Suponga que un objeto de masa m y velocidad v no está sometido a fuerzas externas (figura 16.12a) y que emite un elemento de masa ¢mf con velocidad vf respecto al objeto (figura 16.12b). Se denota con v v la nueva velocidad del cuerpo. La cantidad de movimiento lineal del objeto antes de la emisión del elemento de masa es igual a la cantidad de movimiento lineal total del cuerpo y el elemento después de la emisión:
mv = 1m - ¢m f21v + ¢v2 + ¢m f1v + vf2.
v
m
(a)
v v
m mf
mf
v vf
(b)
www.FreeLibros.org Evaluando los productos y simplificando se obtiene
m¢v + ¢m f v f - ¢m f ¢v = 0.
(16.26)
Figura16.12 Masa y velocidad de un objeto (a) antes y (b) después de emitir un elemento de masa.
264
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ahora se supone que, en vez de un elemento de masa discreto, se emite un flujo continuo de masa y que ¢mf es la cantidad emitida en un intervalo de tiempo ¢t. Se divide la ecuación (16.26) entre ¢t y se escribe el resultado como
m
¢mf ¢v ¢mf ¢v v ¢t = 0. + ¢t ¢t f ¢t ¢t
Tomando el límite de esta ecuación cuando ¢t : 0, se obtiene
-
dmf vf = ma, dt
donde a es la aceleración del centro de masa del cuerpo y el término dmf>dt es la razón de flujo másico—la razón a la que la masa fluye del objeto. Comparando esta ecuación con la segunda ley de Newton, se concluye que un flujo de masa desde un objeto ejerce una fuerza
Ff = -
dmf v dt f
(16.27)
sobre dicho objeto. La fuerza es proporcional a la razón de flujo másico y a la magnitud de la velocidad relativa del flujo, y su dirección es opuesta a la dirección de la velocidad relativa. Por el contrario, un flujo de masa hacia un objeto ejerce una fuerza en la misma dirección que la velocidad relativa.
RESULTADOS
vf
La fuerza ejercida sobre un objeto debida al flujo de masa que sale de un objeto (cohete de propulsión o manguera de agua, por ejemplo) con velocidad relativa vf. El término dmf/dt es la velocidad del flujo de masa, o masa por unidad de tiempo, que sale del objeto.
Ejemplo activo 16.9
Ff
dmf v. dt f
(16.27)
Fuerza resultante de un flujo de masa ( Relacionado con el problema 16.113) El trineo de propulsión mostrado disminuye su velocidad mediante un freno de agua después de haber apagado su motor. Un tubo se extiende hacia abajo hasta un canal de agua entre los rieles. El extremo abierto del tubo apunta hacia delante, de manera que el agua entra en dirección paralela al eje x mientras el trineo se sigue moviendo hacia el frente. El otro extremo del tubo apunta hacia arriba, de manera que el agua sale en dirección paralela al eje y. Si v es la velocidad del trineo, el agua entra al trineo con velocidad v respecto a éste y sale con la misma velocidad. La razón del flujo de masa a través del tubo es rvA, donde r = 1000 kg/m3 es la densidad del agua y
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16.4 Flujos de masa
265
A 0.01 m2 es el área de la sección transversal del tubo. En el instante cuando v = 300 m/s, ¿cuál es la fuerza ejercida sobre el trineo por el flujo de agua que entra en éste? y
z
x
Estrategia Se puede usar la ecuación (16.27) para determinar la fuerza ejercida por el agua que entra al trineo. Solución
Determine la velocidad del flujo de masa respecto al objeto.
La velocidad del agua que entra al trineo respecto a éste es vf vi 300i (m/s).
Como el agua está entrando al trineo, Determine la razón del flujo de masa.
dmf rvA dt (1000 kg/m3)(300 m/s)(0.01 m2) 3000 kg/s.
Aplique la ecuación (16.27)
La fuerza ejercida sobre el trineo es dmf v Ff dt f (3000 kg/s)[300i (m/s)] 900,000i (N).
Problema de práctica Use la ecuación (16.27) para determinar la fuerza ejercida sobre el trineo por el flujo de agua que sale de él.
www.FreeLibros.org Respuesta: Ff = - 900,000 j (N).
266
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo 16.10
Fuerza de empuje de un cohete ( Relacionado con el problema 16.110)
y
vf
El ejemplo clásico de una fuerza creada por un flujo de masa es un cohete. Suponga que el mostrado en la figura tiene una velocidad de escape uniforme vf paralela al eje x. (a) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre el cohete por el flujo de masa de su escape? (b) Si la fuerza determinada en el inciso a) es la única fuerza que actúa sobre el cohete, y éste parte desde el reposo con una masa inicial m0, determine la velocidad del cohete como una función de su masa m. x
Estrategia (a) La ecuación (16.27) proporciona la fuerza ejercida sobre el cohete en términos de la velocidad de escape y la razón del flujo de masa del combustible. (b) Se puede utilizar la segunda ley de Newton para obtener una ecuación para la velocidad del cohete en función de su masa. Solución (a) En términos del sistema coordenado que se muestra en la figura, el vector de ve-
locidad del escape es vf = – v f i. De la ecuación (16.27), la fuerza ejercida sobre el cohete es
Ff = -
dmf dmf v = v i, dt f dt f
donde dmf>dt es la razón del flujo de masa del combustible del cohete. La fuerza ejercida sobre el cohete por su escape es hacia la derecha, en dirección opuesta al flujo del escape. b) La segunda ley de Newton aplicada al cohete es
dmf dvx vf = m , dt dt donde m es la masa del cohete. La razón de flujo del combustible es la razón a la cual la masa del cohete se está consumiendo. Por lo tanto, la razón de cambio de la masa del cohete es dmf dm = . dt dt Usando esta expresión, la segunda ley de Newton puede escribirse como ©Fx =
dm . m Como la velocidad de escape vf es constante, se puede integrar esta ecuación para determinar la velocidad del cohete en función de su masa: dvx = - vf
vx
L0 El resultado es
m
dvx = - vf
vx = vf ln a
dm . Lm0 m
m0 b. m
Razonamiento crítico La velocidad lograda por el cohete está determinada por la velocidad de escape y la cantidad de masa consumida. Así, el cohete puede ganar más velocidad consumiendo más masa. Sin embargo, observe que el incremento de la razón m0>m de 10 a 100 sólo aumenta la velocidad en un factor de dos. Por el contrario, al incrementar la velocidad de escape se obtiene un aumento proporcional en la velocidad
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16.4 Flujos de masa
267
del cohete. Los ingenieros en esta área utilizan combustibles como el oxígeno y el hidrógeno líquidos porque éstos producen una velocidad de escape relativamente grande. Este objetivo también ha llevado a la investigación sobre motores para cohete que utilizan campos electromagnéticos para acelerar partículas cargadas de combustible a grandes velocidades.
Ejemplo 16.11
Fuerza resultante de un flujo de masa ( Relacionado con el problema 16.104)
Una corriente horizontal de agua con velocidad v0 y razón de flujo másico dmf>dt golpea una placa que desvía el agua en el plano horizontal a través de un ángulo u. Suponga que la magnitud de la velocidad del agua cuando ésta abandona la placa es aproximadamente igual a v 0. ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre la placa?
u
Estrategia Se puede determinar la fuerza ejercida sobre la placa considerando la parte de la corriente en contacto con la placa como un cuerpo con un flujo de masa que entra y sale de él. Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la parte de la corriente en contacto con la placa. Corrientes de masa con velocidad v0 entran y salen de este “objeto”, y FP es la fuerza que ejerce la placa sobre la corriente. Se desea determinar la fuerza FP que ejerce la corriente sobre la placa. Primero se considera la corriente de agua que sale. La razón de flujo másico de agua que sale del diagrama de cuerpo libre debe ser igual a la razón de flujo másico que entra. En términos del sistema coordenado que se muestra, la velocidad de la corriente que sale es vf v0 cos ui v0 sen uj.
v0
y
u v0 FP x
(a) Diagrama de cuerpo libre de la corriente.
Sea FD la fuerza que ejerce la corriente que sale sobre el objeto. De la ecuación (16.27),
FD = -
dmf dmf v = 1v cos u i + v0 sen sin u j2. dt f dt 0
La velocidad de la corriente que entra es vf = v0 i. Como este flujo ingresa al objeto en vez de salir de él, la fuerza resultante FE tiene la misma dirección que la velocidad relativa:
dmf dmf v = v i. FE = dt f dt 0
FP
(b) Fuerza ejercida sobre la placa.
La suma de las fuerzas sobre el diagrama de cuerpo libre debe ser igual a cero:
FD + FE + FP = 0. Por lo cual, la fuerza que ejerce el agua sobre la placa es (figura b)
- FP = FD + FE =
dmf v0311 - cos u2i - sen sin u j4. dt
Razonamiento crítico Este sencillo ejemplo proporciona una idea de cómo las cuchillas de las turbinas y las alas de los aviones crean fuerzas al desviar corrientes de líquidos o gases (figura c).
www.FreeLibros.org (c) Patrón del fluido en movimiento alrededor del ala de un avión.
268
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo 16.12
Motor de reacción ( Relacionado con los problemas 16.118–16.120) En un motor turborreactor, entra al compresor una razón de flujo másico dmc>dt de aire con velocidad vi. El aire se mezcla con combustible y se enciende en la cámara de combustión. Luego la mezcla fluye por la turbina que impulsa al compresor. Los gases de escape, con una razón de flujo másico igual a la del aire más la razón de flujo másico del combustible 1dmc>dt + dmf>dt2, salen a una alta velocidad ve, ejerciendo una gran fuerza sobre el motor. Suponga que dmcdt 13.5 kgs y que dmf>dt = 0.130 kg/s. La velocidad de entrada del aire es vi = 120 m/s y la velocidad de escape es ve = 480 m/s. ¿Cuál es el empuje del motor?
dmf dt dmc dt
dmc dt
⎧ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ Compresor
Cámara de combustión
Turbina
Estrategia Se puede determinar el empuje del motor usando la ecuación (16.27). Para determinar el empuje neto se debe incluir la fuerza ejercida por el escape del motor y la fuerza ejercida por el flujo másico del aire que entra al compresor.
Solución La descarga del motor ejerce una fuerza hacia la izquierda igual al producto de la razón del flujo másico de la mezcla combustible-aire por la velocidad de escape. El aire de entrada ejerce una fuerza hacia la derecha igual al producto de la razón del flujo másico del aire entrante por la velocidad de entrada. El empuje del motor (fuerza neta hacia la izquierda) es
T = a
dmc dmf dmc v + b ve dt dt dt i
= 113.5 + 0.130214802 - 113.5211202
www.FreeLibros.org = 4920 N.
Problemas
269
Problemas 16.99 El barco Cheverton de bomberos y rescate que se muestra en la figura, puede lanzar con cada uno de sus cañones 3.8 kgs de agua a una velocidad de 44 ms. Si ambos cañones apuntan en la misma dirección, ¿qué fuerza total ejercen sobre el barco?
16.102 El vehículo limpianieve mostrado se desplaza a 1 ms y recoge 750 kgs. Determine la fuerza ejercida por el flujo entrante de nieve. 16.103 El vehículo limpianieve mostrado recoge 750 kgs y lanza la nieve a 45° desde una boquilla a 2 m sobre el suelo. La nieve cae a 20 m de distancia. ¿Qué fuerza horizontal ejerce sobre el vehículo el flujo de la nieve lanzada?
Problema 16.99 16.100 La razón del flujo de masa de agua a través de la boquilla mostrada es 1.6 slugs. Determine la magnitud de la fuerza horizontal ejercida sobre el camión por el flujo de agua.
Problemas 16.10216.103 16.104 Una boquilla emite una corriente de agua horizontal a 40 ms con una razón de flujo másico de 30 kgs, y la corriente es desviada en el plano horizontal por una placa. Determine la fuerza que ejerce la corriente sobre la placa en los casos a), b) y c). (Vea el ejemplo 16.11).
20 20 pies
y
12 pies
45
35 pies
Problema 16.100
x (a)
16.101 El tractor con pala al frente que se muestra en la figura, se mueve a 2 mih recogiendo mineral de hierro. La fuerza horizontal constante ejercida sobre el tractor es de 400 lb. ¿Cuál es el peso del mineral de hierro recogido en 3 s?
y
y
x (b)
x (c)
Problema 16.104
www.FreeLibros.org Problema 16.101
270
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.105* Una corriente de agua con velocidad de 80i (ms) y razón de flujo másico de 6 kgs golpea la cuchilla de una turbina que se mueve a una velocidad constante de 20i (ms). (a) ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre la cuchilla?
16.107 Un flujo de 45 kgs de grava sale de una tolva a 2 ms y cae sobre una banda que se mueve a 0.3 ms. Determine las componentes de la fuerza que ejerce el flujo de la grava sobre la banda si u = 0.
(b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del agua al perder contacto con la cuchilla?
16.108 Resuelva el problema 16.107 si u = 30°.
y
45 70
y 2m
20 m/s 80 m/s x 0.3 m/s
Problema 16.105
u x
16.106 En el instante mostrado, la boquilla A del rociador de agua se localiza en (0.1, 0, 0) m. De la boquilla sale agua a 8 ms, respecto a la boquilla con una razón de flujo másico de 0.22 kgs. El flujo respecto a la boquilla en A tiene la dirección del vector unitario e =
1 1 1 i j + k. 13 13 13
Determine el momento total respecto al eje z que ejercen los flujos de las cuatro boquillas sobre el rociador.
Problemas 16.10716.108 16.109 Suponga que se está diseñando un auto de juguete que será impulsado por el agua que sale de un tanque interior a 10 piess respecto al auto. El peso total del auto y su “combustible” de agua debe ser de 2 lb. Si se desea que el auto alcance una velocidad de 12 piess, ¿qué parte del peso total debe ser de agua?
20
y
Problema 16.109
A
x
16.110 El cohete mostrado consta de una carga útil de 1000 kg y un impulsor de 9000 kg. El 80% de la masa del impulsor es combustible y su velocidad de escape es de 1200 ms. Si el cohete parte desde el reposo y se ignoran las fuerzas externas, ¿qué velocidad alcanzará? (Vea el ejemplo 16.10).
Impulsor
Problema 16.106
Problema 16.110
Carga útil
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Problemas
271
16.111* El cohete mostrado consta de una carga útil de 1000 kg y un impulsor. Este último tiene dos etapas con masa total de 9000 kg. El ochenta por ciento de la masa de cada etapa es combustible y la velocidad de cada etapa es 1200 ms. Cuando el combustible de la etapa 1 se agota, ésta se desprende del impulsor y se enciende el motor de la etapa 2. Suponga que el cohete parte desde el reposo e ignore las fuerzas externas. Determine la velocidad alcanzada por el cohete si las masas de las dos etapas son m1 6000 kg y m2 3000 kg. Compare su resultado con el del problema 16.110.
1
2
Carga útil
Problema 16.111
16.112 Un cohete de masa inicial m0 despega directamente hacia arriba. Su velocidad de escape vf y la razón del flujo másico de su motor mf dmfdt son constantes. Demuestre que, durante la parte inicial del vuelo, cuando la resistencia aerodinámica es insignificante, la velocidad hacia arriba del cohete en función del tiempo es v = vf ln a
m0 # b - gt. m0 - m f t
16.113 La masa del trineo impulsado del ejemplo activo 16.9 es de 440 kg. Suponiendo que la única fuerza significativa sobre el trineo en la dirección de su movimiento es la fuerza ejercida por el flujo de agua entrando en éste, ¿cuáles son la distancia y el tiempo requeridos para que el trineo desacelere de 300 ms a 100 ms? 16.114* Suponga que usted sujeta el extremo de una cadena que pesa 3 lbpie y la levanta del piso a una velocidad constante de 2 piess. a) Determine la fuerza F hacia arriba que usted debe ejercer en función de la altura s. b) ¿Cuánto trabajo efectúa al levantar la parte superior de la cadena hasta s 4 pies? Estrategia: Trate la parte de la cadena que ha levantado como un cuerpo que está ganando masa. 16.115* Resuelva el problema 16.114 suponiendo que usted levanta del piso el extremo de la cadena con una aceleración constante de 2 piess2.
s
Problema 16.112
www.FreeLibros.org Problemas 16.11416.115
272
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.116* Se ha sugerido que para detener gradualmente un avión después de aterrizar podría usarse una pesada cadena. Un gancho unido al extremo de la cadena se engarza en la rueda frontal del avión y éste jala una longitud creciente de la cadena al rodar sobre la pista. Sea m la masa del avión, v0 es su velocidad inicial y rL la masa por unidad de longitud de la cadena. Si se ignoran la fricción y la resistencia aerodinámica, ¿cuál es la velocidad del avión en función de s? 16.117* En el problema 16.116, en realidad la fuerza de fricción que ejerce el suelo sobre la cadena dominaría a las otras fuerzas conforme aumentara la distancia s. Si el coeficiente de fricción estática entre la cadena y el suelo es mk y se ignoran todas las fuerzas excepto la de fricción, ¿cuál es la velocidad del avión en función de s?
s
16.119 Un motor turborreactor se encuentra en un avión que vuela a 400 kmh. La razón de flujo másico del aire que entra en el compresor es de 13.5 kgs y la razón de flujo másico del combustible es de 0.13 kgs. La velocidad efectiva del aire que entra al compresor es igual a la velocidad del avión y la velocidad de escape (relativa al avión) es de 500 ms. ¿Cuál es el empuje del motor? (Vea el ejemplo 16.12). 16.120 Un inversor del empuje del motor turborreactor ocasiona que la descarga salga del motor a 20° respecto a la línea central de éste. La razón de flujo másico del aire que entra al compresor es de 44 kgs y el aire entra a 60 ms. La razón de flujo másico del combustible es de 1.5 kgs y su velocidad de escape es de 370 ms. ¿Qué fuerza de frenado ejerce el motor sobre el avión? (Vea el ejemplo 16.12).
20
Problemas 16.11616.117 16.118 Se está probando un motor turborreactor. La razón de flujo másico del aire que entra al compresor es de 13.5 kgs y la razón de flujo másico del combustible es de 0.13 kgs. La velocidad efectiva del aire que entra al compresor es cero y la velocidad de escape es de 500 ms. ¿Cuál es el empuje del motor? (Vea el ejemplo 16.12).
20
Problema 16.120
Problemas de repaso 16.121 La fuerza externa total sobre un cuerpo de 10 kg es constante e igual a 90i 60j 20k (N). En t 2 s, la velocidad del objeto es 8i 6j (ms).
16.123 Para detener aeroplanos cuyos sistemas de frenos fallan se usa un sistema de detención de aviones. El sistema detiene un avión de 47,500 kg que se mueve a 80 ms en 9.15 s.
a) ¿Qué impulso se aplica al objeto desde t 2 s hasta t 4 s?
a) ¿Qué impulso se aplica al avión durante los 9.15 s?
b) ¿Cuál es la velocidad del objeto en t 4 s?
b) ¿Cuál es la desaceleración promedio a la que se someten los pasajeros?
16.122 La fuerza externa total sobre un objeto es F 10ti 60j (lb). En t 0, la velocidad del objeto es v 20j (piess). En t 12 s, la componente x de su velocidad es de 48 piess. a) ¿Qué impulso se aplica al objeto entre t 0 y t 6 s? b) ¿Cuál es la velocidad del objeto en t 6 s?
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Problemas de repaso 16.124 El cañón Austrian 1895 de 150-mm tenía una longitud de 1.94 m de largo, una velocidad de 300 ms en la boca y disparaba un obús de 38 kg. Si el obús tardaba 0.013 s en recorrer la longitud del cañón, ¿qué fuerza promedio se ejercía sobre el obús? 16.125 Un atleta lanza una bala que pesa 16 lb. Cuando la suelta, la bala está a 7 pies sobre el suelo y sus componentes de velocidad son vx 31 piess y vy 26 piess.
273
16.127 Dos jugadores de hockey (mA 80 kg, mB 90 kg) al converger hacia el disco en x 0, y 0 se traban y caen al hielo. Antes de la colisión, vA 9i 4j (ms) y vB 3i 6j (ms). Si el coeficiente de fricción cinética entre los jugadores y el hielo es mk 0.1, ¿cuál es su posición aproximada cuando dejan de deslizarse?
a) Suponga que el atleta acelera la bala desde el reposo en 0.8 s y como primera aproximación que la fuerza F ejercida sobre ésta es constante, use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar las componentes x e y de F.
y
x
b) ¿Cuál es la distancia horizontal desde el punto en que el atleta suelta la bala hasta el punto en que ésta toca el suelo? A
y
B
Problema 16.127
x
Problema 16.125
16.128 El cañón de 400 lb de peso que se muestra en la figura disparó un proyectil de 10 lb de peso con una velocidad de 200 piess al momento de salir de la boca. Para el ángulo de elevación de 10° mostrado, determine a) la velocidad del cañón después del disparo y b) la distancia que recorre el proyectil. (Ignore la resistencia del aire).
16.126 La camioneta A de 6000 lb que circula a 40 piess choca contra el automóvil B de 4000 lb que circula a 30 piess.
10
a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de su centro de masa común después del impacto? b) Si la colisión se trata como un impacto perfectamente plástico. ¿Cuánta energía cinética se pierde?
Problema 16.128 A
30
www.FreeLibros.org B
Problema 16.126
274
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.129 Una pelota de 1 kg se mueve horizontalmente a 12 ms y golpea un bloque de 10 kg. El coeficiente de restitución del impacto es e 0.6, y el coeficiente de fricción cinética entre el bloque y la superficie inclinada es mk 0.4. ¿Qué distancia se desliza el bloque antes de detenerse?
v
16.131 Un remolcador (masa 40,000 kg) y una barcaza (masa 160,000 kg) están en reposo con una cuerda floja que los conecta. El remolcador acelera a 2 nudos (1 nudo 1852 mh) antes de que la cuerda se tense. Determine las velocidades del remolcador y la barcaza justo después de que la cuerda se tense a) si el “impacto” es perfectamente plástico (e 0); b) si el “impacto” es perfectamente elástico (e 1). Ignore las fuerzas ejercidas por el agua y los motores del remolcador. 16.132 En el problema 16.131, determine la magnitud de la fuerza impulsiva ejercida sobre el remolcador en los dos casos si la duración del “impacto” es de 4 s. Ignore las fuerzas ejercidas por el agua y los motores del remolcador durante este periodo.
25
Problema 16.129 16.130 Un voluntario de los Cuerpos de Paz diseña el dispositivo sencillo que se muestra en la figura para perforar pozos en áreas alejadas. Un “martillo” como una sección de tronco o un tambor de acero parcialmente lleno con cemento de 70 kg de masa, se levanta hasta h 1 m y se deja caer sobre la cabeza del tubo de perforación. La masa combinada de la cabeza y del tubo es de 20 kg. Suponga que el coeficiente de restitución es casi cero. a) ¿Cuál es la velocidad de la cabeza y el tubo inmediatamente después del impacto? b) Si el tubo se mueve 30 mm hacia abajo cuando el martillo lo golpea, ¿qué fuerza resistente ejerce el suelo sobre el tubo? (Suponga que esta fuerza es constante durante el movimiento del tubo).
Martillo
Problemas 16.13116.132 16.133 La masa A de 10 kg mostrada se mueve a 5 ms cuando está a 1 m de la masa B de 10 kg en reposo. El coeficiente de fricción cinética entre el piso y las dos masas es mk 0.6 y el coeficiente de restitución del impacto es e 0.5. Determine cuánto se desplaza B desde su posición inicial a consecuencia del impacto.
5 m/s
A
h
B
1m
Problema 16.133
Problema 16.130
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Problemas de repaso
275
16.134 Los coeficientes de fricción cinética entre las cajas de 5 kg A y B y la superficie inclinada son 0.1 y 0.4, respectivamente. El coeficiente de restitución entre las cajas es e 0.8. Si las cajas se sueltan desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son las magnitudes de sus velocidades inmediatamente después de que chocan?
16.137 El taco de la figura da a la bola blanca en A una velocidad de 3 ms. El ángulo b 0 y el coeficiente de restitución del impacto de la bola blanca con la bola 8 en B es e 1. Si la magnitud de la velocidad de la bola 8 después del impacto es de 0.9 ms, ¿cuál fue el coeficiente de restitución del impacto de la bola blanca con la baranda? (Las bolas tienen masas iguales).
16.135 Resuelva el problema 16.134 si la caja A tiene una velocidad de 0.2 ms hacia abajo sobre la superficie inclinada y la caja B se encuentra en reposo cuando las cajas están en la posición mostrada.
16.138 ¿Cuál es la solución del problema 16.137 si el ángulo b 10°? 16.139 ¿Cuál es la solución del problema 16.137 si el ángulo b 15° y el coeficiente de restitución del impacto entre las dos bolas es e 0.9?
A b 30
0.1 m A
B
B
60
Problemas 16.137–16.139 Problemas 16.13416.135 16.136 Un objeto pequeño parte del reposo en A y se desliza hacia abajo sobre la rampa lisa mostrada. El coeficiente de restitución de su impacto con el piso es e 0.8. ¿A qué altura sobre el piso el objeto golpea a la pared?
16.140 A una pelota se le da una velocidad horizontal de 3 ms a 2 m sobre el piso liso. Determine la distancia D entre su primer y segundo rebotes si el coeficiente de restitución es e 0.6.
A 3 m/s
3 pies
60
2m
1 pie
D
6 pies
Problema 16.136
Problema 16.140
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276
Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.141* Una pelota de baloncesto lanzada al suelo desde una altura de 4 pies rebota a una altura de 3 pies. En el lanzamiento mostrado, la magnitud de la velocidad de la pelota es de 5 piess y los ángulos entre su vector de velocidad y los ejes coordenados positivos son ux 42°, uy 68° y uz 124° justo antes de tocar el tablero. ¿Cuáles son la magnitud de su velocidad y los ángulos entre su vector de velocidad y los ejes coordenados positivos justo después de que rebota en el tablero?
16.145 En la figura, la nieve tiene 2 pies de profundidad y pesa 20 lbpie3; la camioneta limpianieve tiene 8 pies de ancho y viaja a 5 mih. ¿Qué fuerza ejerce la nieve sobre la camioneta?
16.142* En el problema 16.141 el diámetro de la pelota es de 9.5 pulgadas, las coordenadas del centro del borde de la canasta son x 0, y 0, z 12 pulg y el tablero está en el plano x-y. Determine las coordenadas x e y del punto en que la pelota debe golpear el tablero para que el centro de la pelota pase por el centro del borde de la canasta. Problema 16.145 y
16.146 Un tambor vacío de 55 lb con 3 pies de diámetro está sobre una balanza. El agua empieza a verterse en el tambor a 1200 lbmin desde 8 pies sobre el fondo del tambor. La densidad del agua es aproximadamente 62.4 lbpie3. ¿Qué peso indica la balanza 40 s después de que comenzó a verterse el agua? x
z 8 pies
Problemas 16.14116.142 16.143 Un satélite en r0 10,000 millas del centro de la Tierra recibe una velocidad inicial v0 20,000 piess en la dirección mostrada. Determine la magnitud de la componente transversal de su velocidad cuando r 20,000 millas. (El radio de la Tierra es de 3960 millas).
Problema 16.146
16.144 En el problema 16.143, determine las magnitudes de las componentes radial y transversal de la velocidad del satélite cuando r 15,000 millas.
r v0 u
45
www.FreeLibros.org RE
r0
Problemas 16.14316.144
Problemas de repaso 16.147 El sistema de propulsión por chorro recibe agua en A y la expulsa en B a 80 piess respecto a la lancha. Suponga que el agua recibida entra sin velocidad horizontal relativa con respecto al agua. La razón máxima de flujo másico del agua a través del motor es de 2.5 slugs. La resistencia hidrodinámica ejerce sobre la lancha una fuerza de 1.5v lb, donde v es la velocidad de la lancha en pies por segundo. Si se desprecia la resistencia aerodinámica, ¿cuál es la velocidad máxima de la lancha? 16.148 La lancha del problema 16.147 pesa 2800 lb. La velocidad de flujo másico del agua que pasa por su motor es de 2.5 slugs, y la nave parte desde el reposo en t 0. Determine la velocidad de la lancha a) en t 20 s y b) en t 60 s.
B
277
Proyecto de diseño Diseñe y realice experimentos para medir los coeficientes de restitución cuando a) una pelota de tenis de mesa, b) una pelota de tenis y c) una pelota de fútbol o baloncesto rebota sobre una superficie rígida. Compruebe que sus resultados puedan reproducirse y determine qué tan sensibles son a la velocidad de la pelota. Escriba un informe breve donde describa sus experimentos, analice las posibles fuentes de error y presente sus resultados. También comente las posibles razones para las diferencias en sus resultados para los tres tipos de pelotas.
A
Problemas 16.14716.148 16.149* Una caja de masa m se desliza a lo largo de un piso liso jalando una cadena que está apilada y en reposo. La masa por unidad de longitud de la cadena es rL. Si la velocidad de la caja es v0 cuando s 0, ¿cuál es su velocidad en función de s?
s
Problema 16.149
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CAPÍTULO
17 Cinemática plana de cuerpos rígidos Si se conocen las fuerzas que actúan sobre un objeto, puede usarse la segunda ley de Newton para determinar el movimiento de su centro de masa sin considerar ningún movimiento angular del objeto respecto a su centro de masa. Sin embargo, en muchas situaciones también debe considerarse el movimiento angular. Los movimientos rotacionales de algunos objetos son fundamentales para su funcionamiento, como en el caso de engranes, ruedas, generadores y turbinas. En este capítulo se analizan los movimientos de los objetos, incluyendo sus movimientos rotacionales.
v a
Al diseñar un motor de reacción, los ingenieros deben analizar el movimiento rotacional de su ventilador, compresor y turbina.
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280
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento ANTECEDENTES Si se lanza un ladrillo (figura 17.1a), se puede determinar el movimiento de su centro de masa sin tener que considerar su movimiento rotacional. La única fuerza significativa es su peso, y la segunda ley de Newton determina la aceleración de su centro de masa. Sin embargo, suponga que el ladrillo está parado sobre el piso y usted lo vuelca (figura 17.1 b) porque desea determinar el movimiento de su centro de masa al caer. En este caso el ladrillo está sujeto a su peso y a una fuerza ejercida por el piso. No se puede determinar la fuerza ejercida por el piso ni el movimiento del centro de masa sin analizar su movimiento rotacional. Antes de poder analizar tales movimientos es necesario considerar cómo describirlos. Un ladrillo es un ejemplo de cuerpo cuyo movimiento puede describirse tratándolo como cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un cuerpo que no se deforma. La definición precisa es que la distancia entre todo par de puntos del cuerpo rígido permanece constante. Aunque cualquier cuerpo se deforma al moverse, si su deformación es pequeña su movimiento puede aproximarse modelándolo como cuerpo rígido. Por ejemplo, un bastón se puede modelar en su uso normal como cuerpo rígido (figura 17.2a), pero no puede hacerse lo mismo con una caña de pescar (figura 17.2b).
(a)
(b)
Figura 17.1 (a) Lanzamiento de un ladrillo: su rotación no afecta el movimiento de su centro de masa. (b) Volcamiento de un ladrillo: su rotación y el movimiento de su centro de masa están relacionados.
(a)
(b)
www.FreeLibros.org Figura 17.2 (a) Un bastón puede modelarse como un cuerpo rígido. (b) Bajo uso normal, una caña de pescar es demasiado flexible para modelarla como un cuerpo rígido.
17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento
(a)
281
Figura 17.3 (a) Un objeto en traslación no gira. (b) La parte en traslación del columpio, sobre la que está sentada la niña, permanece en su nivel.
(b)
Para describir el movimiento de un cuerpo rígido se requiere un marco de referencia (sistema coordenado) respecto al cual se midan los movimientos de los puntos del cuerpo rígido y su movimiento angular. En muchas situaciones, resulta conveniente usar un marco de referencia que esté fijo respecto a la Tierra. Por ejemplo, se podría usar un marco de referencia fijo a la tierra de este tipo para describir el movimiento del centro de masa y el movimiento angular del ladrillo de la figura 17.1. En los párrafos siguientes, se analizan algunos tipos de movimientos de cuerpos rígidos respecto a un marco de referencia dado que se presentan con frecuencia en las aplicaciones.
Traslación Si un cuerpo rígido en movimiento respecto a un marco de referencia dado no gira, se dice que está en traslación (figura 17.3a). Por ejemplo, el columpio de la niña de la figura 17.3b está diseñado para que la barra horizontal a la que está unido el asiento esté en traslación. Aunque cada punto de la barra horizontal se mueve en una trayectoria circular, la barra no gira sino que permanece horizontal, lo que hace más fácil que la niña se monte con seguridad. Cada punto de un cuerpo rígido en traslación tiene la misma velocidad y aceleración, por lo que el movimiento del cuerpo rígido se puede describir completamente describiendo el movimiento de un solo punto.
Rotación respecto a un eje fijo Después de la traslación, el tipo más sencillo de movimiento de cuerpo rígido es la rotación alrededor de un eje que está fijo respecto a un marco de referencia dado (figura 17.4a). Cada punto del cuerpo rígido sobre el eje está en reposo y cada punto que no esté sobre el eje se mueve en una trayectoria circular alrededor de éste mientras el cuerpo rígido gira. El rotor de un motor eléctrico (figura 17.4b) es un ejemplo de un objeto que gira alrededor de un eje fijo. El movimiento de la hélice de un barco relativo a la nave también es una rotación respecto a un eje fijo. En la siguiente sección se analizará con más detalle este tipo de movimiento.
Figura 17.4 (a) Cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo. (b) Con respecto al bastidor de un motor eléctrico, su rotor gira alrededor de un eje fijo.
www.FreeLibros.org Rotor
(a)
(b)
282
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Movimiento plano
Plano del movimiento
Considere un plano que está fijo respecto a un marco de referencia dado y un cuerpo rígido intersecado por el plano (figura 17.5a). Si el cuerpo rígido experimenta un movimiento en el que los puntos intersecados por el plano permanecen en el plano, se dice que es un movimiento bidimensional o plano. El plano fijo se denomina plano de movimiento. La rotación de un cuerpo rígido respecto a un eje fijo es un caso especial del movimiento plano. Como otro ejemplo, cuando un auto sigue una trayectoria recta, sus ruedas están en movimiento bidimensional (figura 17.5b). Los componentes de un motor de combustión interna ilustran estos tipos de movimiento (figura 17.6). Respecto a un marco de referencia que se encuentra fijo con respecto al motor, los pistones se trasladan dentro de los cilindros. Las bielas están en movimiento plano general, y el cigüeñal gira alrededor de un eje fijo.
(a)
Pistón (traslación) Biela (movimiento plano general) (b)
Figura 17.5 (a) Cuerpo rígido intersecado por un plano fijo. (b) Rueda en movimiento plano.
Cigüeñal (rotación)
Figura 17.6 Traslación, rotación respecto a un eje fijo, y el movimiento plano en un motor de automóvil.
RESULTADOS Cuerpo rígido Modelo idealizado de un objeto que no se deforma. La distancia entre cada par de puntos de un cuerpo rígido permanece constante.
Traslación Movimiento de un cuerpo rígido en el que éste no gira. Cada punto de un cuerpo rígido en traslación tiene la misma velocidad y aceleración, por lo que el movimiento del objeto está completamente descrito por el desplazamiento de un solo punto.
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17.2 Rotación respecto a un eje fijo
283
Rotación respecto a un eje fijo Movimiento de un cuerpo rígido en el que los puntos sobre un eje fijo están en reposo. Cada punto que no se encuentra sobre el eje se mueve en una trayectoria circular alrededor del eje mientras el cuerpo rígido gira.
Movimiento plano Movimiento de un cuerpo rígido en el que los puntos intersecados por un plano fijo permanecen en el plano. La rotación alrededor de un eje fijo es un caso especial del movimiento plano.
Plano del movimiento
17.2 Rotación respecto a un eje fijo ANTECEDENTES Al considerar la rotación de un objeto alrededor de un eje que está fijo respecto a un marco de referencia dado, se pueden introducir algunos de los conceptos del movimiento de cuerpos rígidos en un contexto familiar. En este tipo de movimiento, cada punto del cuerpo rígido se mueve en una trayectoria circular alrededor del eje fijo, consecuentemente, los movimientos de los puntos pueden analizarse usando los resultados desarrollados en el capítulo 13. En la figura 17.7 se muestra un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo y se introducen dos líneas perpendiculares al eje. La línea de referencia está fija y la línea fija al cuerpo gira con el cuerpo rígido. El ángulo u entre la línea de refeLínea fija al cuerpo
Eje fijo
u Línea de referencia
www.FreeLibros.org Figura 17.7 Especificación de la orientación de un objeto que gira alrededor de un eje fijo.
284
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
rencia y la línea fija al cuerpo describe la posición, u orientación, del cuerpo rígido alrededor del eje fijo. La velocidad angular del cuerpo rígido, o razón de rotación, y su aceleración angular son
v
v =
r
v
(a)
at
du , dt
a =
dv d 2u . = dt dt 2
(17.1)
Cada punto del objeto que no está sobre el eje fijo se mueve en una trayectoria circular alrededor de él. Con el conocimiento adquirido sobre el movimiento de un punto en una trayectoria circular, se puede relacionar la velocidad y la aceleración de un punto con la velocidad y la aceleración angulares del objeto. En la figura 17.8, se observa el objeto en dirección paralela al eje fijo. La velocidad de un punto a una distancia r del eje es tangente a su trayectoria (figura 17.8a) y está dada, en términos de la velocidad angular del objeto, por
v = rv. an r a v
(b)
Figura 17.8 (a) Velocidad y (b) aceleración de un punto de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
(17.2)
Un punto tiene componentes de aceleración tangencial y normal a su trayectoria circular (figura 17.8b). En términos de la velocidad y la aceleración angulares del objeto, las componentes de la aceleración son
at = ra,
an =
v2 = rv 2. r
(17.3)
Con estas relaciones se pueden analizar problemas de objetos que giran alrededor de ejes fijos. Por ejemplo, suponga que se conoce la velocidad angular vA, y la aceleración angular aA del engrane izquierdo de la figura 17.9 respecto a un marco de referencia particular, y desea determinar vB y aB. Las velocidades de los engranes deben ser iguales en P porque no hay movimiento relativo entre ellos en la dirección tangencial en P. Por lo tanto, rAvA rBvB, y se encuentra que la velocidad angular del engrane B es
vB = a
rA bv . rB A
Derivando esta ecuación respecto al tiempo, se determina la aceleración angular del engrane B:
aB = a
rA ba . rB A ω αB B ωA αA P
rB
rA
www.FreeLibros.org Figura 17.9 Relación entre las velocidades angulares y las aceleraciones angulares de engranes acoplados.
17.2 Rotación respecto a un eje fijo
285
Con este resultado se observa que las componentes tangenciales de la aceleración de los engranes en P son iguales: rAaA = rB aB. Sin embargo, las componentes normales de las aceleraciones de los engranes en P tienen direcciones diferentes y, si los engranes cuentan con radios distintos, también son diferentes en magnitud. La componente normal de la aceleración del engrane A en P apunta hacia el centro del engrane A, y su magnitud es rAv2A. La componente normal de la aceleración del engrane B en P apunta hacia el centro del engrane B, y su magnitud es
rB v2B = 1rA >rB21rAv2A2.
RESULTADOS Línea fija al cuerpo
Eje fijo
u Línea de referencia
La posición de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo puede especificarse mediante el ángulo u entre una línea fija al cuerpo y una línea de referencia fija. La velocidad angular v y la aceleración angular a de la línea fija al cuerpo son la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo rígido respecto al eje.
v
du , dt
a
dv d2u 2 . dt dt
(17.1)
v
Visto con el eje de rotación fijo en posición perpendicular a la página, cada punto del cuerpo rígido describe una trayectoria circular alrededor del eje fijo mientras el cuerpo rígido gira. La velocidad de un punto puede expresarse en términos de su distancia radial al eje y de la velocidad angular del cuerpo rígido. Las componentes tangencial y normal de la aceleración del punto pueden expresarse en términos de la distancia radial, la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo rígido.
v rv.
(17.2)
r v
at
at ra, (17.3)
an r
v rv2. r 2
an
www.FreeLibros.org a v
286
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 17.1
Giro de objetos alrededor de ejes fijos ( Relacionado con el problema 17.1) El engrane A del malacate de la figura hace girar al engrane B, que eleva el gancho H. El engrane A parte desde el reposo en el tiempo t 0 y su aceleración angular en el sentido de las manecillas del reloj (en rads2) como una función del tiempo es aA 0.2t. ¿Cuál es la velocidad hacia arriba del gancho y cuál es la distancia vertical que se ha elevado en t 10 s?
200 mm 50 mm A
B
100 mm
H
Estrategia Igualando las componentes tangenciales de la aceleración de los engranes A y B en sus puntos de contacto, se puede determinar la aceleración angular del engrane B. Luego se puede integrar para obtener la velocidad angular del engrane B y el ángulo que ha girado en t 10 s. Con esa información es posible determinar la velocidad del gancho y la distancia que ha recorrido.
Solución
200 mm
50 mm 0.2t rad/s
aB
2
at
En su punto de contacto, los engranes tienen la misma componente tangencial de la aceleración. La componente tangencial de la aceleración es igual al producto de la distancia radial al eje de rotación por la aceleración angular.
at (0.05 m)(0.2t rad/s2) (0.2 m)aB. Por lo tanto, la aceleración angular de B en sentido contrario al de las manecillas del reloj es (0.05 m)(0.2t rad/s2) 0.05t rad/s2. (0.2 m)
www.FreeLibros.org aB
17.2 Rotación respecto a un eje fijo
Integre aB dvB/dt para determinar la velocidad angular del engrane B en función del tiempo.
Integre vB duB/dt para determinar el ángulo que ha girado el engrane B en función del tiempo.
vB
3 0
287
t
dvB
0.05t dt:
3 0
vB 0.025t2 rad/s.
uB
3 0
t
duB
3 0
0.025t2 dt:
uB 0.00833t3 rad.
vB 0.025(10)2
Determine vB y uB en t 10 s.
2.5 rad/s, uB 0.00833(10)3 8.33 rad.
vH (0.1 m) vB 100 mm
vB
La velocidad del gancho es igual a la velocidad del engrane B en r 0.1 m.
La cantidad de cable enrollado alrededor del tambor en t 10 s, que es la distancia que se ha elevado el gancho, es igual al producto de uB por el radio del tambor.
vH (0.1 m)vB (0.1 m)(2.5 rad/s) 0.25 m/s.
(0.1 m)uB (0.1 m)(8.33 rad) 0.833 m.
Problema de práctica Sea PA el punto del engrane A que está en contacto con el engrane B en t 10 s. ¿Cuál es la magnitud de la aceleración de PA en ese instante?
www.FreeLibros.org Respuesta: 5.00 m/s2.
288
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Problemas 17.1 En el ejemplo activo 17.1 suponga que en un instante dado el gancho H se mueve hacia abajo a 2 ms. ¿Cuál es la velocidad angular del engrane A en ese instante?
17.5 La velocidad angular del disco izquierdo que se muestra en la figura se da en función del tiempo por vA 4 0.2t rads. a) ¿Cuáles son las velocidades angulares vB y vC en t 5 s?
17.2 El ángulo u (en radianes) está dado en función del tiempo por u 0.2pt2. En t 4 s, determine las magnitudes de a) la velocidad del punto A y b) las componentes tangencial y normal de la aceleración del punto A.
b) ¿Qué ángulo gira el disco derecho desde t 0 hasta t 5 s?
100 mm 100 mm
2
ωA
A
s pie
ωB 200 mm
ωC 200 mm
θ
Problema 17.5 Problema 17.2 17.3 La masa A parte desde el reposo en t 0 y cae con una aceleración constante de 8 ms2. Cuando la masa ha caído un metro, determine las magnitudes de a) la velocidad angular de la polea y b) las componentes tangencial y normal de la aceleración de un punto en el borde exterior de la polea. 100 mm
17.6 a) Si la rueda de engranes (sprocket) de bicicleta mostrada mide 120 mm y gira una revolución, ¿cuántas revoluciones gira el engrane de 45 mm? b) Si la velocidad angular de la rueda de engranes es de 1 rads, ¿cuál es la velocidad angular del engrane? 17.7 La rueda trasera de la bicicleta mostrada tiene un radio de 330 mm y está rígidamente unida al engrane de 45 mm. Si el ciclista gira los pedales, que están rígidamente unidos a la rueda de engranes de 120 mm, a una revolución por segundo, ¿cuál es la velocidad de la bicicleta?
A 45 mm
Problema 17.3 17.4 En el instante mostrado, el disco izquierdo tiene una velocidad angular de 3 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 1 rads2 en la dirección de las manecillas del reloj. a) ¿Qué valores tienen la velocidad angular y la aceleración angular del disco derecho? (Suponga que no existe movimiento relativo entre los discos en su punto de contacto). b) ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto A? 3 rad/s 1 rad/s2
120 mm
Problemas 17.617.7
A 2.5 m
2m
1m
www.FreeLibros.org Problema 17.4
Problemas
289
17.8 El disco mostrado gira con velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 100 rpm. Determine las componentes x e y de la velocidad de los puntos A y B (en pulgs).
17.11 Si la barra mostrada tiene una velocidad angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj de 8 rads y una aceleración angular en el sentido de las manecillas del reloj de 40 rads2, ¿cuáles son las magnitudes de las aceleraciones de los puntos A y B?
17.9 El disco mostrado gira con velocidad angular constante en el sentido de las manecillas del reloj de 100 rpm. Determine las componentes x e y de la aceleración de los puntos A y B (en pulgs2).
17.12 Si las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto A en la barra giratoria mostrada son vA 3 ms y aA 28 ms2, ¿qué valores tienen vB y aB? A
y
0.4 m A 8 pulg 8 pulg
B
x
16 pulg
0.2 m
0.4 m
0.4 m
B
Problemas 17.817.9
Problemas 17.1117.12
17.10 El radio de las llantas del Corvette es de 14 pulg. Viaja a 80 mih cuando el conductor aplica los frenos, sometiendo al automóvil a una desaceleración de 25 piess2. Suponga que las llantas continúan girando, no derrapan, sobre la superficie del camino. En ese instante, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes tangencial y normal de la aceleración (en piess2) de un punto en el borde exterior de una llanta respecto a un sistema coordenado no giratorio con su origen en el centro de la llanta?
17.13 Un disco de radio R 0.5 m rueda sobre una superficie horizontal. La relación entre la distancia horizontal x que mueve el centro del disco y el ángulo b a través del cual gira el disco es x Rb. Suponga que el centro del disco se mueve a la derecha con una velocidad constante de 2 ms. a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco?
y
b) En relación con un marco de referencia no giratorio con su origen en el centro del disco, ¿cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración de un punto que se encuentra en el borde del disco?
R x
β
Problema 17.10
R
x
Problema 17.13
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290
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.3 Movimientos generales: velocidades ANTECEDENTES Cada punto de un cuerpo rígido en traslación experimenta el mismo movimiento. Cada punto de un cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo experimenta un movimiento circular alrededor de éste. Para analizar movimientos más complejos que combinan traslación y rotación, es necesario desarrollar ecuaciones que relacionen los movimientos relativos de los puntos de un cuerpo rígido con su movimiento angular.
Velocidades relativas En la figura 17.10a se observa un cuerpo rígido perpendicular al plano de su movimiento. A y B son puntos del cuerpo rígido contenidos en el plano, y O es el origen de un marco de referencia dado. La posición de A respecto a B, rA>B, se relaciona con las posiciones de A y B en relación con O mediante
rA = rB + rA>B. Derivando esta ecuación respecto al tiempo se obtiene
vA = vB + vA>B,
(17.4)
A
A vA/B vrA/B
rA/B
rA/B rA v B
B
rB O
O (b)
(a) La velocidad de A es la suma vectorial de estas velocidades A
vB
vrA/B
v vB B
Figura 17.10 (a) Cuerpo rígido en movimiento plano. (b) Velocidad de A respecto a B. (c) La velocidad de A es la suma de su velocidad respecto a B y la velocidad de B.
www.FreeLibros.org O
(c)
17.3 Movimientos generales: velocidades
291
donde vA y vB son las velocidades de A y B respecto al marco de referencia dado y vA>B = drA>B>dt es la velocidad de A respecto a B. (Cuando se mencione simplemente la velocidad de un punto, se estará hablando de su velocidad respecto al marco de referencia dado). Se puede demostrar que vAB se relaciona de manera simple con la velocidad angular del cuerpo rígido. Como A y B son puntos del cuerpo rígido, la distancia entre ellos, rAB rAB, es constante. Lo que significa que A se mueve respecto a B en una trayectoria circular mientras el cuerpo rígido gira. Por lo tanto, la velocidad de A respecto a B es tangente a la trayectoria circular e igual al producto de rAB y la velocidad angular v del cuerpo rígido (figura 17.10b). A partir de la ecuación (17.4), la velocidad de A es la suma de la velocidad de B y la velocidad de A respecto a B (figura 17.10c). Este resultado se puede usar para relacionar velocidades de puntos de un cuerpo rígido en movimiento plano cuando se conoce su velocidad angular. Por ejemplo, en la figura 17.11a se muestra un disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular v en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Decir que la superficie es estacionaria significa que se está describiendo el movimiento del disco en términos de un marco de referencia que está fijo con respecto a la superficie. Rodar implica que
y
v
vB/C Rv
B
R R v C
C
(a)
(b)
y
y
x
La velocidad de A es la suma de estas velocidades
Rv
vA/B Rv
v
B B
R
A
vB Rv
Rv
x
x (c)
Figura 17.11 (a) Disco rodando con velocidad angular v. (b) Velocidad del centro B respecto a C. (c) Velocidad de A respecto a B. (d) La velocidad de A es igual a la suma de la velocidad de B y la velocidad de A respecto a B.
A
(d)
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292
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
la velocidad del disco en su punto de contacto C respecto a la superficie es igual a cero. En la figura 17.11b se ilustra la velocidad del centro B del disco respecto a C. Como vC 0, la velocidad de B en términos del sistema de coordenadas mostrado es
vB = vC + vB>C = - Rvi. Este resultado es muy útil: La magnitud de la velocidad del centro de un cuerpo redondo que rueda sobre una superficie estacionaria es igual al producto del radio por la magnitud de la velocidad angular. La velocidad de cualquier otro punto del disco se puede determinar de la misma forma. En la figura 7.11c se muestra la velocidad de un punto A respecto al punto B. La velocidad de A es la suma de la velocidad de B y la velocidad de A respecto a B (figura 17.11d):
vA = vB + vA>B = - Rvi + Rvj.
Vector de la velocidad angular La razón de rotación de un cuerpo rígido puede expresarse como un vector. El teorema de Euler establece que un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto fijo B, puede moverse entre dos posiciones cualesquiera con una simple rotación respecto a algún eje que pase por B. Suponga que se elige un punto arbitrario B de un cuerpo rígido sometido a un movimiento arbitrario en un tiempo t. El teorema de Euler permite expresar el cambio en la posición respecto a B del cuerpo durante un intervalo de tiempo desde t hasta t dt como una simple rotación a través de un ángulo du respecto a algún eje. En el tiempo t, la razón de giro del cuerpo rígido respecto al eje es su velocidad angular v dudt, y el eje alrededor del cual gira se llama eje instantáneo de rotación. El vector de velocidad angular, denotado por , especifica tanto la dirección del eje instantáneo de rotación como la velocidad angular. El vector de velocidad angular se define paralelo al eje instantáneo de rotación (figura 7.12a) y su magnitud es la razón de rotación, es decir el valor absoluto de v. Su dirección está relacionada con la dirección de la rotación del cuerpo rígido por la regla de la mano
Eje de rotación instantáneo
Dirección de la rotación
(a)
(b)
www.FreeLibros.org Figura 17.12 (a) Vector de velocidad angular. (b) Regla de la mano derecha para la dirección del vector.
293
17.3 Movimientos generales: velocidades
derecha: si los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor de en la dirección de la rotación entonces el pulgar de la mano derecha debe apuntar hacia (figura 17.12b). Por ejemplo, el eje de rotación del disco rodante de la figura 17.11 es paralelo al eje z, por lo que su vector de velocidad angular es paralelo al eje z y su magnitud es v. Si los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor del eje z en la dirección de la rotación, el pulgar apuntará en la dirección z positiva (figura 17.13). El vector de velocidad angular del disco es = vk. El vector de velocidad angular permite expresar los resultados de la sección anterior en una forma muy conveniente. Sean A y B puntos de un cuerpo rígido con velocidad angular (figura. 17.14a). Se puede demostrar que la velocidad de A respecto a B es
vA>B =
drA>B dt
= * rA>B.
(17.5)
y v
x
z
Figura 17.13 Determinación de la dirección del vector de velocidad angular de un disco rodando.
En el instante presente y respecto a B, el punto A se mueve en una trayectoria circular de radio rAB sen b, donde b es el ángulo entre los vectores rAB y (figura 17.14b). La magnitud de la velocidad de A respecto a B es igual al producto del radio de la trayectoria circular por la velocidad angular del cuerpo rígido; es decir vAB (rAB sen b). El lado derecho de esta ecuación es la magnitud del producto cruz de rAB por . Además, vAB es perpendicular tanto a como a rAB. Pero, ¿es vAB igual a rAB o a rAB ? En la figura 17.14b observe que, apuntando con los dedos de la mano derecha en la dirección de y cerrándolos hacia rAB, el pulgar apunta en la dirección de la velocidad de A respecto a B, por lo que vAB rAB. Sustituyendo la ecuación (17.5) en la ecuación (17.4), se obtiene una ecuación para la relación entre las velocidades de dos puntos de un cuerpo rígido en términos de su velocidad angular:
vA = vB + * rA>B. (')'* vA>B
(17.6)
Si se conocen el vector de velocidad angular y la velocidad de un punto de un cuerpo rígido, puede usarse la ecuación (17.6) para determinar la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo rígido. Volviendo al ejemplo del disco de radio R
rA/B sen b
A
A
rA/B
B
b
vA/B
rA/B
B (a)
(b)
www.FreeLibros.org Figura 17.14 (a) Puntos A y B de un cuerpo rígido en rotación. (b) A se mueve en una trayectoria circular respecto a B.
294
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos y
v
A
B rA/B
x
Figura 17.15 Disco en rotación y vector de posición de A respecto a B.
que rueda con velocidad angular v (figura 17.15), se usará la ecuación (17.6) para determinar la velocidad del punto A. La velocidad del centro del disco está dada en términos de su velocidad angular por vB = - Rvi, el vector de velocidad angular del disco es = vk, y el vector de posición de A respecto al centro es rA>B = Ri. La velocidad del punto A es
vA = vB + * rA>B = - Rvi + 1vk2 * 1Ri2 = - Rvi + Rvj. Compare este resultado con la velocidad del punto A mostrado en la figura 17.11d.
RESULTADOS
Velocidades relativas
A
rA/B rA B rB O
La velocidad de A (respecto a un marco de referencia) es igual a la velocidad de B más la velocidad de A respecto a B, vA/B drA/B / dt.
www.FreeLibros.org vA vB vA/B.
(17.4)
17.3 Movimientos generales: velocidades
295
Movimiento de rodadura v
El objeto redondo de radio R rueda sobre la superficie plana estacionaria con una velocidad angular v en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La velocidad del punto C en contacto con la superficie es igual a cero. La velocidad del centro B es Rv en la dirección mostrada.
B vB Rv
C
Vector de velocidad angular Dirección de rotacion (giro)
El vector de velocidad angular describe la rotación de un objeto respecto a un marco de referencia dado. El vector se define paralelo al eje de rotación del objeto. Su dirección se especifica mediante la regla de la mano derecha: cuando los dedos de la mano derecha se doblan alrededor del eje x en la dirección de la rotación del objeto, el pulgar apunta en la dirección de . La magnitud de es la velocidad angular del objeto respecto a su eje de rotación.
y v
Suponga que el eje de rotación de un objeto es paralelo al eje z y que el objeto gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con velocidad angular v. Entonces, su vector de velocidad angular es vk.
x
www.FreeLibros.org z
296
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
A
rA/B
B
La velocidad del punto A de un objeto respecto a un punto B puede expresarse en términos de la posición de A respecto a B y el vector de velocidad angular del objeto.
Ejemplo activo 17.2
vA vB rA/B.
(17.6)
vA/B
Determinación de velocidades y velocidades angulares ( Relacionado con el problema 17.33) La barra AB mostrada gira con velocidad angular de 10 rads en la dirección de las manecillas del reloj. El punto C se desliza sobre la superficie horizontal. En el instante mostrado, determine la velocidad angular de la barra BC y la velocidad del punto C.
B
0.4 m A
C
10 rad/s
0.4 m
0.8 m
Estrategia La velocidad angular de la barra AB está dada y el punto A es fijo, por lo tanto puede usarse la ecuación (17.6) para determinar la velocidad del punto B. Luego, aplicando de nuevo la ecuación (17.6) a los puntos B y C de la barra BC, se puede determinar tanto la velocidad angular de la barra BC como la velocidad del punto C.
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17.3 Movimientos generales: velocidades
297
Solución y
B rB/A
0.4 m C
10 rad/s
A
x
0.4 m
vB vA AB rB/A
El eje de rotación de la barra AB es paralelo al eje z y la barra gira en el sentido de las manecillas del reloj, por lo que su vector de velocidad angular es AB 10k (rad/s).
0.4 m
B
j
k
0 0
0
10
0.4
0
0.4
Aplique la ecuación (17.6) para determinar la velocidad del punto B.
y
i
4i 4j (m/s).
vBC
rC/B A
C
vC x
0.8 m
La velocidad angular vBC de la barra BC y la velocidad horizontal vC del punto C son desconocidas. Como ya se determinó la velocidad del punto B, aplicando las ecuaciones (17.6) a los puntos B y C se obtienen dos ecuaciones en términos de vBC y vC.
vC vB BC rC/B : i
j
k
vCi 4i 4j 0
0
vBC
0.8 0.4 0 (4 0.4vBC)i (4 0.8vBC)j. Igualando las componentes i y j. vC 4 0.4vBC, 0 4 0.8vBC, y resolviendo se obtiene vBC 5 rad/s y vC 6 m/s.
Problema de práctica Suponga que en el instante presente las barras AB y BC están en las posiciones mostradas. ¿Qué valor debería tener la velocidad angular de la barra AB para que el punto C se moviera hacia la izquierda a 3 ms? ¿Cuál sería la velocidad angular de la barra BC?
www.FreeLibros.org Respuesta: Barra AB, 5 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Barra BC,
2.5 rads en la dirección de las manecillas del reloj.
298
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.3
Análisis de una estructura articulada ( Relacionado con el problema 17.36) La barra AB de la figura gira con una velocidad angular de 10 rads en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad vertical vR de la cremallera del engrane de cremallera y piñón? B C
12 pulg
10 pulg 10 rad/s 6 pulg
A
D
6 pulg
16 pulg
vR
6 pulg
Estrategia Para determinar la velocidad de la cremallera se debe determinar la velocidad angular del elemento CD. Como se conoce la velocidad angular de la barra AB, es posible aplicar la ecuación (17.6) a los puntos A y B para determinar la velocidad de B. Luego puede aplicarse la ecuación (17.6) a los puntos C y D a fin de obtener una ecuación para vC en términos de la velocidad angular del elemento CD. También se puede aplicar la ecuación (17.6) a los puntos B y C y obtener una ecuación para vC en función de la velocidad angular de la barra BC. Igualando las dos expresiones para vC, se obtiene una ecuación vectorial con dos incógnitas: las velocidades angulares de BC y CD. Solución Primero se aplica la ecuación (17.6) a los puntos A y B (figura a). En términos del sistema coordenado que se muestra, el vector de posición de B respecto a A es rBA 0.5i j (pies), y el vector de velocidad angular de la barra AB es AB 10k (rads). La velocidad de B es
y B C rB/A 10 rad/s
rC/D
A
vCD D
(a) Determinación de las velocidades de los puntos B y C.
x
i vB = vA + AB * rB>A = 0 + 3 0 0.5
j 0 1
k - 10 3 0
= 10i - 5j (pies/s). 1ft/s2. Ahora se aplica la ecuación (17.6) a los puntos C y D. Sea v CD la velocidad angular desconocida del elemento CD (figura a). El vector de posición de C respecto a D es rCD 0.500i 0.833j (pies), y el vector de velocidad angular del elemento CD es CD vCD k. La velocidad de C es
vC = vD + CD * rC>D
= 0 + 3
i 0 -0.500
j 0 0.833
k - v CD 3 0
www.FreeLibros.org = 0.833v CD i + 0.500v CD j.
17.3 Movimientos generales: velocidades
299
Ahora se aplica la ecuación (17.6) a los puntos B y C (figura b). La velocidad angular desconocida de la barra BC puede denotarse por vBC. El vector de posición de C respecto a B es rCB 1.333i 0.167j (pies), y el vector de velocidad angular de la barra BC es BC vBCk. Expresando la velocidad de C en términos de la velocidad de B se obtiene
i j k 0 vBC 3 vC = vB + BC * rC>B = vB + 3 0 1.333 -0.167 0 = vB + 0.167vBC i + 1.333vBC j.
y B
vBC C rC/B
x
(b) Expresión de la velocidad del punto C en términos de la velocidad del punto B.
Sustituyendo las expresiones para vB y vC en esta ecuación, se obtiene
0.833vCD i + 0.500vCD j = 10i - 5j + 0.167vBC i + 1.333vBC j. Igualando las componentes i y j, resultan dos ecuaciones en términos de vBC y vCD:
0.833vCD = 10 + 0.167vBC, 0.500vCD = - 5 + 1.333vBC. Resolones, se obtiene vBC = 8.92 rad/s y vCD = 13.78 rad/s. La velocidad vertical de la cremallera es igual a la velocidad del engrane en el punto en que éste se encuentra en contacto con la cremallera: vR (0.5 pies)vCD (0.5)(13.78) 5 6.89 pies/s. Razonamiento crítico ¿Cómo se supo cuál era la secuencia de pasos que determinaría la velocidad del engrane de cremallera y piñón? La sección de estrategia puede darle la impresión de que sólo existe un método de solución y que éste resulta obvio. Ninguna de estas impresiones es verdadera. La mayoría de los problemas de este tipo pueden resolverse aplicando repetidamente la ecuación (17.6) hasta obtener suficientes ecuaciones para determinar lo que se necesita conocer. Sólo recuerde que la ecuación (17.6) se aplica sólo a dos puntos del mismo cuerpo rígido. Por ejemplo, en este caso se podría aplicar la ecuación (17.6) a los puntos B y C, pero no podría haberse aplicado a los puntos A y C.
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300
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Problemas 17.14 La turbina mostrada gira respecto al sistema coordenado a 30 rads alrededor de un eje fijo que coincide con el eje x. ¿Cuál es el vector de velocidad angular? y
17.17 Un disco de radio R 0.5 m rueda sobre una superficie horizontal. Las relaciones entre la distancia horizontal x que recorre el centro del disco y el ángulo b a través del cual gira el disco es x Rb. Suponga que el centro del disco se mueve a la derecha con una velocidad constante de 2 ms. a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco? b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del disco?
z
30 rad/s
y
R
β
x
R
Problema 17.14 x
17.15 La placa rectangular mostrada oscila en el plano x-y con barras de igual longitud. ¿Cuál es el vector de velocidad angular de a) la placa rectangular y b) de la barra AB?
x
Problema 17.17
y
A
17.18 El cuerpo rígido mostrado gira con velocidad angular v 12 rads. La distancia rAB 0.4 m. a) Determine las componentes x e y de la velocidad de A respecto a B representando la velocidad como se muestra en la figura 17.10b.
x 10 rad/s
B
b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del cuerpo rígido? c) Use la ecuación (17.5) para determinar la velocidad de A respecto a B. Problema 17.15
y
17.16 La barra OQ gira en la dirección de las manecillas del reloj a 4 rads. ¿Cuáles son los vectores de velocidad angular de las barras OQ y PQ? Estrategia: Observe que si se conoce la velocidad angular de la barra OQ, también se sabe cuál es la velocidad angular de la barra PQ.
v A
B
x
rA/B y
Q
1.2 m
1.2 m
Problema 17.18
4 rad / s O
www.FreeLibros.org x
P
Problema 17.16
Problemas
301
17.19 La barra mostrada gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con velocidad angular v. La magnitud de la velocidad del punto A es 6 ms. Determine la velocidad del punto B.
17.24 El disco mostrado gira respecto al eje z a 50 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Determine las componentes x e y de las velocidades de los puntos A, B y C.
17.20 La barra mostrada gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con velocidad angular v. La magnitud de la velocidad del punto A respecto a B es 6 ms. Determine la velocidad del punto B.
17.25 Si la magnitud de la velocidad del punto A respecto al punto B es de 4 ms, ¿cuál es la magnitud de la velocidad angular del disco?
y y A
A
100 mm
0.4 m
x x C
0.2 m
B 45
0.4 m
45
B
0.4 m
Problemas 17.2417.25
Problemas 17.1917.20 17.21 La ménsula mostrada gira alrededor del punto O con velocidad angular v en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj. La magnitud de la velocidad del punto A respecto al punto B es de 4 ms. Determine v.
17.26 El radio de las llantas del Corvette es de 14 pulg. El automóvil viaja a 80 mih. Suponga que las llantas ruedan, no derrapan, sobre la superficie del camino. a) ¿Cuál es la velocidad angular de las llantas? b) En términos del sistema coordenado fijo a la Tierra que se muestra en la figura, determine la velocidad (en piess) del punto de la llanta con coordenadas (14 pulg, 0, 0).
A y
120 mm
B
O
x
y
180 mm
48
Problema 17.21 17.22 Determine las componentes x e y de la velocidad del punto A mostrado. 17.23 Si la velocidad angular de la barra mostrada es constante, ¿cuáles son las componentes x e y de la velocidad del punto A 0.1 s después del instante mostrado?
x
Problema 17.26
y A 2m
5 rad/s 30
www.FreeLibros.org O
x
Problemas 17.2217.23
302
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.27 El punto A del disco rodante mostrado se mueve hacia la derecha. La magnitud de la velocidad del punto C es 5 ms. Determine las velocidades de los puntos B y D. y
17.30 Los puntos A y B de la barra de 2 m mostrada se deslizan sobre las superficies planas. El punto B se mueve hacia la derecha a 3 ms. ¿Cuál es la velocidad del punto medio G de la barra? Estrategia: Primero aplique la ecuación (17.6) a los puntos A y B para determinar la velocidad angular de la barra. Después aplique la ecuación (17.6) a los puntos B y G. y
D
A
45
0.6 m C A G B
x
70
Problema 17.27
B
17.28 El helicóptero de la figura está en movimiento bidimensional en el plano x-y. En el instante mostrado, la posición del centro de masa, G, de la nave es x 2 m, y 2.5 m; y su velocidad es vG 12i 4j (ms). La posición del punto T donde está montado el rotor de la cola es x 3.5 m, y 4.5 m. La velocidad angular del helicóptero es 0.2 rads en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad del punto T?
x
Problema 17.30 17.31 La barra AB mostrada gira a 6 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad (en pulgs) del deslizador C.
y
B
4 pulg
T
A 6 rad/s
G 3 pulg
C x 4 pulg
Problema 17.28 17.29 La barra se mueve en el plano x-y y gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La velocidad del punto A respecto al marco de referencia es vA 12i 2j (ms). La magnitud de la velocidad del punto A respecto al punto B es de 8 ms. ¿Cuál es la velocidad del punto B respecto al marco de referencia?
10 pulg
Problema 17.31 17.32 Si en la figura u 45° y el collarín P se mueve hacia la derecha a 2 ms, ¿cuáles son las velocidades de las barras OQ y PQ?
y
Q
B
1.2 m
1.2 m
2m O
θ
30
www.FreeLibros.org A
P
x
Problema 17.29
Problema 17.32
Problemas 17.33 En el ejemplo activo 17.2, considere el instante cuando la barra AB está en posición vertical y gira en el sentido de las manecillas del reloj a 10 rads. Trace un bosquejo mostrando las posiciones de las dos barras en ese instante. Determine la velocidad angular de la barra BC y la velocidad del punto C. 17.34 La barra AB mostrada gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a 6 rads. Determine la velocidad angular de la barra BD y la velocidad del punto D.
303
17.36 En el ejemplo 17.3, determine la velocidad angular de la barra AB que sería necesaria para que la velocidad hacia abajo de la cremallera sea vR 10 piess en el instante mostrado. 17.37 La barra AB mostrada gira a 12 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Determine las velocidades angulares de las barras BC y CD.
C y
D B
350 mm
0.32 m
200 mm
C
12 rad/s D
A 300 mm
0.48 m
350 mm
Problema 17.37
6 rad/s B
A
x
0.32 m
17.38 La barra AB gira a 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El disco rueda sobre la superficie circular. Determine las velocidades angulares de la barra BC y del disco en el instante mostrado.
0.24 m 0.16 m
Problema 17.34
17.35 En el instante mostrado, la velocidad del pistón es vC 14i (ms). ¿Cuál es la velocidad angular de la manivela AB?
1m
3m
A 3m
2m
y
C B
B 50 mm
C
A
x
Problema 17.38
175 mm 50 mm
Problema 17.35
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304
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.39 La barra AB mostrada gira a 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto medio G de la barra BC.
17.42 En la figura, la manija y mordaza superiores de la pinza ABC se encuentran en reposo. La manija inferior DEF gira a 0.2 rads en el sentido de las manecillas del reloj. En el instante mostrado, ¿cuál es la velocidad angular de la mordaza inferior CFG?
y B
En reposo
12 pulg G
C
A
C
B
10 pulg 2 rad/s
30 mm
45
30
A
G
x
D
F
E D 70 mm
Problema 17.39
30 mm 30 mm
Problema 17.42 17.40 La barra AB mostrada gira a 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto E. y
17.43 El elemento horizontal ADE que soporta la pala mostrada se encuentra en reposo. Si el eslabón BD gira en el sentido de las manecillas del reloj a 1 rads, ¿cuál es la velocidad angular de la pala? B
B
C 2 pies
400 mm C
10 rad/s
A
D
E
A 5 pies
400 mm
700 mm
700 mm
1 pie
2 pies 6 pulg
pala
Problema 17.43
Problema 17.40 17.41 La barra AB mostrada gira a 4 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto C. y
E
D
x
1 pie 6 pulg
17.44 El diámetro del disco mostrado es de 1 m y la longitud de la barra AB es de 1 m. El disco está rodando y el punto B se desliza sobre la superficie plana. Determine la velocidad angular de la barra AB y la velocidad del punto B.
C B
400 mm
4 rad/s
D A 600 mm
500 mm E
A 600 mm 300 mm
200 mm
300 mm
B x
Problema 17.44
www.FreeLibros.org Problema 17.41
305
Problemas 17.45 En la figura, un motor hace girar al disco montado en A, dando a la sierra un movimiento de vaivén (la sierra está soportada por una ranura horizontal de modo que C se mueve horizontalmente). El radio AB es de 4 pulg y el eslabón BC tiene 14 pulg de longitud. En la posición mostrada, u 45° y el eslabón BC está en posición horizontal. Si el disco gira a una revolución por segundo en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la velocidad de la sierra?
17.48 El disco mostrado rueda sobre la superficie curva. La barra gira a 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto A. y
A 10 rad/s
40 mm
17.46 En el problema 17.45, si la velocidad angular del disco es de una revolución por segundo en dirección contraria a la de las manecillas del reloj y u 270°, ¿cuál es la velocidad de la sierra?
x
120 mm
y
B
C A
θ
Problema 17.48 x
17.49 En la figura, si vAB 2 rads y vBC 4 rads, ¿cuál es la velocidad del punto C, donde el cubo de la excavadora está conectado?
Problemas 17.4517.46 17.47 Los discos mostrados ruedan sobre la superficie plana. La velocidad angular del disco izquierdo es de 2 rads en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad angular del disco derecho? 2 rad/s
17.50 En la figura, si vAB 2 rads, ¿qué velocidad angular vBC en el sentido de las manecillas del reloj hará que la componente vertical de la velocidad del punto C sea cero? ¿Cuál es la velocidad resultante de C? y B vBC
vAB
5.5 m
3 pies
C
5m A
1 pie
1.6 m
1 pie
x 4m
Problema 17.47
3m
2.3 m
Problemas 17.4917.50
17.51 En la figura se muestra el eslabonamiento de dirección de un automóvil. El elemento DE gira alrededor del pasador fijo E. El disco de freno derecho está unido rígidamente al elemento DE. El tensor CD está articulado en C y D. En el instante mostrado, el brazo Pitman AB tiene una velocidad angular en sentido contrario de las manecillas del reloj de 1 rads. ¿Cuál es la velocidad angular del disco de freno derecho? Discos de freno
A B 180 mm
100 mm E 220 mm 200 mm
C
www.FreeLibros.org 460 mm
Eslabón de dirección
Problema 17.51
D
340 mm
70 mm
306
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.52 El atleta de la figura ejercita su brazo levantando la masa m. La articulación del hombro A está en reposo. La distancia AB es de 300 mm y la distancia BC es de 400 mm. En el instante mostrado, vAB 1 rads y vBC 2 rads. ¿Con qué rapidez se eleva la masa m? 17.53 En la figura, la distancia AB es de 12 pulg, la distancia BC es de 16 pulg, vAB 0.6 rads, y la masa m se eleva a 24 pulgs. ¿Cuál es la velocidad angular vBC?
17.56 El eslabón AB del brazo de robot mostrado gira a 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el eslabón BC gira a 3 rads en el sentido de las manecillas del reloj, y el eslabón CD gira a 4 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad del punto D? y
mm
3
C 30
vBC
250
m
m 00
30
B
20 D C
A
vAB
x 250 mm
60
A
B
m
Problema 17.56 Problemas 17.5217.53 17.54 En la figura, los puntos B y C están en el plano x-y. Los vectores de velocidad angular de los brazos AB y BC son AB = - 0.2k 1rad/s2 y BC = 0.4k 1rad/s2. ¿Cuál es la velocidad del punto C?
17.57 En la figura, la persona presiona los mangos de las tijeras, ocasionando las velocidades angulares mostradas. ¿Cuál es la velocidad angular resultante de la mordaza BD?
17.55 En la figura, considere que la velocidad del punto C del brazo robótico es vC = - 0.15i + 0.42j 1m/s2, ¿cuáles son las velocidades angulares de los brazos AB y BC? y
92
m
0m
0m
m
76
B
30
40 A
x
0.12 rad/s C
D
z B
18 mm
C E
25 mm 25 mm
0.12 rad/s
www.FreeLibros.org Problemas 17.5417.55
Problema 17.57
Problemas 17.58 En la figura, determine la velocidad vW y la velocidad angular de la polea pequeña.
50 mm
307
17.61 En la figura, suponga que el anillo externo gira en el sentido de las manecillas del reloj a 5 rpm y se desea que los puntos centrales de los portadores permanezcan en reposo durante el proceso de pulido. ¿Cuál es la velocidad angular necesaria del anillo interno? Anillo externo
0.6 m/s
1.0 m 0.6 m
100 mm
12 rpm Portadores (3) Anillo interno 7 rpm
vW
Problemas 17.6017.61
Problema 17.58 17.59 Determine la velocidad del bloque mostrado y la velocidad angular de la polea pequeña.
17.62 En la figura, el engrane anular está fijo y los engranes piñón y planetario están unidos. La biela gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a 60 rpm. Determine la velocidad angular del engrane central y la magnitud de la velocidad del punto A. A
Engrane planetario 2 pulg
9 pulg/s
Engrane piñón 140 mm
Biela
3 pulg
340 mm 240 mm
Problema 17.59
720 mm Engrane central
17.60 El dispositivo mostrado se usa en la industria de los semiconductores para pulir discos de silicio. Los discos se colocan sobre las caras de los portadores. Después, los anillos externo e interno se giran, ocasionando que los discos se muevan y giren contra una superficie abrasiva. Si el anillo externo gira en el sentido de las manecillas del reloj a 7 rpm y el anillo interno gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a 12 rpm, ¿cuál es la velocidad angular de los portadores?
Engrane anular
Problema 17.62 17.63 En la figura, el engrane grande está fijo. La barra AB tiene una velocidad angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj de 2 rads. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las barras CD y DE?
B
10 pulg
16 pulg
4 pulg C
D
4 pulg
10 pulg
2 rad/s
www.FreeLibros.org E
A
Problema 17.63
308
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.4 Centros instantáneos ANTECEDENTES v A rA/C vA/C rA/Cv
C
(a) v
C
(b)
Figura 17.16 (a) Un centro instantáneo C y un punto A diferente. (b) Cada punto gira alrededor del centro instantáneo.
El centro instantáneo es un punto de un cuerpo rígido cuya velocidad es cero en un momento dado. “Instantáneo” significa que podría tener velocidad igual a cero sólo en el instante considerado, aunque también se refiere a un punto fijo como un centro instantáneo, por ejemplo el punto de un eje fijo respecto al cual gira un cuerpo rígido. Cuando se conoce la posición del centro instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento plano y también su velocidad angular, las velocidades de otros puntos son fáciles de determinar. Por ejemplo, suponga que el punto C de la figura 17.16a es el centro instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento plano con velocidad angular v. Respecto a C, un punto A se mueve en una trayectoria circular. La velocidad de A respecto a C es tangente a la trayectoria circular e igual al producto de la distancia desde C hasta A por la velocidad angular. Pero como C está en reposo en el instante presente, la velocidad de A respecto a C es la velocidad de A. En ese momento, cada punto del cuerpo rígido gira respecto a C(figura 17.16b). Con frecuencia, el centro instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento plano puede localizarse mediante un procedimiento sencillo. Suponga que se conocen las direcciones de los movimientos de dos puntos A y B y éstas no son paralelas (figura 17.17a). Si se dibujan líneas a través de A y B perpendiculares a sus direcciones de movimiento, entonces el punto C, donde se intersecan las líneas, es el centro instantáneo. Para demostrar que esto es cierto, se expresará la velocidad de C en función de la velocidad de A (figura 17.17b):
vC = vA + * rC>A. El vector * rC>A es perpendicular a rC>A, por lo que esta ecuación indica que la vC es paralela a la dirección del movimiento de A. También se puede expresar la velocidad de C en términos de la velocidad de B:
vC = vB + * rC>B. El vector * rC>B es perpendicular a rC>B, por lo que esta ecuación indica que vC es paralela a la dirección del movimiento de B. Se ha demostrado que la componente de vC perpendicular a la dirección del movimiento de A es igual a cero y que la componente de vC perpendicular a la dirección del movimiento de B también es cero, por lo que vC 0. Dirección del movimiento de A
Dirección del movimiento de B
A B A B C
rC/A
rC/B
www.FreeLibros.org Figura 17.17 (a) Localización del centro instantáneo en movimiento plano. (b) Demostración de que vC = 0.
C
Centro instantáneo
(a)
(b)
17.4 Centros instantáneos Dirección del movimiento de A
309
Dirección del movimiento de B
A
A B
Centro Instantáneo
B
C
C
(a)
(b)
Figura 17.18 (a) Centro instantáneo externo al cuerpo rígido. (b) Cuerpo extendido en forma hipotética. El punto C estaría en reposo.
Un centro instantáneo puede no ser un punto del cuerpo rígido (figura 17.18a). Esto significa simplemente que en este instante el cuerpo rígido gira alrededor de un punto externo. Es conveniente imaginar el cuerpo rígido extendido de modo que quede incluido el centro instantáneo (figura 17.18b). La velocidad del punto C del cuerpo extendido sería cero en el instante considerado. Observe en la figura 17.18a que si se cambian las direcciones del movimiento de A y B de modo que las líneas perpendiculares a sus direcciones de movimiento resulten paralelas, C se desplaza al infinito. En este caso, el cuerpo rígido está en traslación pura, con una velocidad angular igual a cero. Volviendo de nuevo al ejemplo del disco de radio R que rueda con velocidad angular v (figura 17.19a), el punto C, en contacto con el piso, está en reposo en el instante mostrado es el centro instantáneo del disco. Por lo tanto, la velocidad de cualquier otro punto es perpendicular a la línea que va de C al punto y su magnitud es igual al producto de v por la distancia desde C hasta el punto. En términos del sistema coordenado dado en la figura 17.19b, la velocidad del punto A es
vA = - 22Rv cos 45°i + 22Rv sen sin 45°j = - Rvi + Rvj.
v
R
C (a) y vA 2 Rv
2R
v
A
C
x
(b)
Figura 17.19 (a) El punto C es el centro instantáneo del disco rodante. (b) Determinación de la velocidad del punto A.
RESULTADOS Un punto de un cuerpo rígido cuya velocidad es cero en un instante dado se llama centro instantáneo. “Instantáneo” significa que el punto puede tener velocidad cero sólo en el instante considerado, aunque un punto fijo, como aquel perteneciente a un eje fijo alrededor del cual gira un cuerpo rígido, también se conoce como centro instantáneo. v A rA/C
Si un punto C es el centro instantáneo de un cuerpo rígido que experimenta movimiento bidimensional con velocidad angular v, pueden determinarse la magnitud y la dirección de la velocidad de cualquier otro punto A.
www.FreeLibros.org vA/C rA/C v
C
310
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos Dirección del movimiento de A
Dirección del movimiento de B
Si se conocen las direcciones del movimiento de dos puntos A y B de un cuerpo rígido en movimiento bidimensional, puede determinarse la ubicación del centro instantáneo C. Éste es la intersección de las líneas trazadas a través de A y B perpendiculares a sus direcciones de movimiento. Observe que si las direcciones del movimiento de A y B son paralelas, el centro instantáneo está en el infinito, es decir, el cuerpo rígido está en traslación.
A B
C
Centro instantáneo
Ejemplo activo 17.4
Análisis de eslabonamientos por centros instantáneos ( Relacionado con el problema 17.70) La barra AB mostrada gira con velocidad angular de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las barras BC y CD? B
C
2m 10 rad/s D
A 2m
2m
Estrategia Las barras AB y CD giran respecto a ejes fijos, por lo que se conocen las direcciones del movimiento de los puntos B y C y por ende se puede localizar el centro instantáneo de la barra BC. Usando estos centros instantáneos y las relaciones entre las velocidades de los puntos de las barras y las velocidades angulares de las barras, se pueden determinar las velocidades angulares. Solución B
C
vB 2m 10 rad/s A
D
Comience con la barra AB, porque su velocidad angular es conocida y use su centro instantáneo para determinar la velocidad del punto B.
vB (2 m)(10 rad/s) 20 m/s.
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17.4 Centros instantáneos
Localice el centro instantáneo de la barra BC dibujando líneas a través de los puntos B y C perpendiculares a sus direcciones de movimiento. Use el centro instantáneo y la velocidad conocida del punto B para determinar la velocidad angular de la barra BC.
311
20 m/s (2 m) vBC, por tanto 20 m/s vBC 10 rad/s. 2m
Centro instantáneo de la barra BC vBC
8m
2m B
C
20 m/s vC A
D
Use el centro instantáneo y la velocidad angular de la barra BC para determinar la velocidad del punto C.
vC ( 8 m) (10 rad/s) 10 8 m/s.
C
B
8m vC A
vCD
D
Use la velocidad del punto C y el centro instantáneo de la barra CD para determinar la velocidad angular de la barra CD.
vC ( 8 m) vCD, por tanto v vCD C 8m 10 8 m/s 8m 10 rad/s.
Problema de práctica Suponga que en el instante mostrado la barra CD gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a 5 rads. Use centros instantáneos para determinar la velocidad angular de la barra BC.
www.FreeLibros.org Respuesta: 5 rads en el sentido de las manecillas del reloj.
312
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Problemas 17.64 Si la barra mostrada tiene una velocidad angular de 10 rads en el sentido de las manecillas del reloj y vA 20 ms, ¿cuáles son las coordenadas de su centro instantáneo y el valor de vB? 17.65 En la figura, si vA 24 ms y vB 36 ms, ¿cuáles son las coordenadas del centro instantáneo de la barra y su velocidad angular?
17.67 Los puntos A y B de la barra de 1 m mostrada se desliza sobre las superficies planas. La velocidad de B es vB 2i (ms). a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro instantáneo de la barra? b) Use el centro instantáneo para determinar la velocidad de A.
y y vA
vB A x
A 1m
B 1m
Problemas 17.6417.65
G
17.66 La velocidad del punto O del bate mostrado es vO 6i 14j (piess), y el bate gira alrededor del eje z con una velocidad angular de 4 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas x e y del centro instantáneo del bate?
70 B
x
Problema 17.67 y
17.68 La barra mostrada tiene un movimiento bidimensional en el plano x-y. La velocidad del punto A es vA 8i (piess), y B se mueve en la dirección paralela a la barra. Determine la velocidad de B a) usando la ecuación (17.6) y b) usando el centro instantáneo de la barra.
y
B 4 pies O
x 30 A
Problema 17.66
x
Problema 17.68
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Problemas 17.69 El punto A de la barra se mueve a 8 ms en la dirección del vector unitario 0.966i 0.259j, y el punto B se mueve en la dirección del vector unitario 0.766i 0.643j. a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro instantáneo de la
313
17.72 Cuando el mecanismo del problema 17.71 está en la posición que se muestra a continuación, use centros instantáneos para determinar la velocidad horizontal de B.
barra? b) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra? y
1 rad/s A B B
2m O 30
Problema 17.72
A
x
Problema 17.69 17.70 La barra AB gira con una velocidad angular de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante mostrado, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras BC y CD? (Vea el ejemplo activo 17.4). B
17.73 En la figura, el ángulo u 45°, y la barra OQ gira en el sentido contrario al de las manecillas del reloj a 0.2 rads. Use centros instantáneos para determinar la velocidad del collarín P. Q
C
2 pies
2m
2 pies
u O P
10 rad/s A
D
Problema 17.73 2m
1m
Problema 17.70 17.71 Use centros instantáneos para determinar la velocidad horizontal del punto B mostrado.
17.74 En la figura, la barra AB gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a 5 rads. El disco rueda sobre la superficie horizontal. Determine la velocidad angular de la barra BC.
C
B 1 rad/s
D
5 rad/s
0.2 m
A A 0.4 m 6 pulg
B
0.2 m
0.2 m
Problema 17.74
www.FreeLibros.org O
12 pulg
Problema 17.71
314
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.75 La barra AB mostrada gira a 6 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar la velocidad angular de la barra BC.
17.78 La barra AB mostrada gira a 12 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar las velocidades angulares de las barras BC y CD.
B C 4 pulg A
B
6 rad/s
350 mm
3 pulg
200 mm
C
12 rad/s 4 pulg
10 pulg
D
A
Problema 17.75
300 mm
17.76 En la figura, la manivela AB gira en el sentido de las manecillas del reloj a 2000 rpm (revoluciones por minuto). a) En el instante mostrado, ¿cuáles son las coordenadas del centro instantáneo de la biela BC? b) Use centros instantáneos para determinar la velocidad angular de la biela BC en el instante mostrado.
350 mm
Problema 17.78 17.79 En la figura, el elemento horizontal ADE que soporta la pala se encuentra en reposo. El eslabón BD gira a 1 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar la velocidad angular de la pala.
y
B C 2 pies A
B 50 mm
D 5 pies
1 pie
C
A
x
1 pie 6 pulg
E 2 pies 6 pulg
pala
Problema 17.79 17.80 El disco mostrado está en movimiento plano. En la figura se muestran las direcciones de las velocidades de los puntos A y B. La velocidad del punto A es vA 2 ms. a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro instantáneo del disco?
175 mm 50 mm
b) Determine la velocidad vB y la velocidad angular del disco.
Problema 17.76
y
17.77 Los discos ruedan sobre la superficie plana. El disco izquierdo gira a 2 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar las velocidades angulares de la barra y del disco derecho. 2 rad/s
vB
3 pies vA A 1 pie
70 B (0.5, 0.4)m
30
x
1 pie
www.FreeLibros.org Problema 17.77
Problema 17.80
17.5 Movimientos generales: aceleraciones
315
17.5 Movimientos generales: aceleraciones ANTECEDENTES En el capítulo 18 se estudiará cómo determinar el movimiento de un cuerpo rígido cuando se conocen las fuerzas y los pares externos que actúan sobre él. Las ecuaciones que lo rigen se expresan en función de la aceleración del centro de masa del cuerpo rígido y de su aceleración angular. Para resolver tales problemas es necesario entender las relaciones entre las aceleraciones de puntos de un cuerpo rígido y su aceleración angular. En esta sección se extienden a las aceleraciones los métodos ya utilizados para analizar velocidades de cuerpos rígidos. Considere los puntos A y B de un cuerpo rígido en movimiento plano respecto a un marco de referencia dado (figura 17.20a). Sus velocidades se relacionan mediante la ecuación
vA = vB + vA>B. Derivando esta ecuación respecto al tiempo, se obtiene
aA = aB + aA>B,
A
v2rA/B a v
rA/B B
arA/B A
rA/B
B rA
rB O
O
(a)
(b) La aceleración de A es la suma vectorial de estas tres aceleraciones arA/B v2rA/B a v B
A
aB
aB
O (c)
Figura 17.20 (a) Puntos A y B de un cuerpo rígido en movimiento plano y vector de posición de A respecto a B. (b) Componentes de la aceleración de A respecto a B. (c) Aceleración de A.
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316
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
v a
v a
B
B Ra
R
(a)
(b) y La aceleración de C es la suma vectorial de estas aceleraciones
B
B
a v
Ra
Rv2
C (c)
Ra
Rv2 Ra
C
Ra
x
(d)
Figura 17.21 (a) Disco que rueda con velocidad angular v y aceleración angular a. (b) Aceleración del centro B. (c) Componentes de la aceleración de C respecto a B. (d) Aceleración de C.
donde aA y aB son las aceleraciones de A y B respecto al marco de referencia y aA>B es la aceleración de A respecto a B. (Cuando se mencione simplemente la aceleración de un punto, se estará hablando de su aceleración respecto al marco de referencia dado). Como A se mueve en una trayectoria circular respecto a B mientras el cuerpo rígido gira, aA>B tiene componentes normal y tangencial (figura 17.20b). La componente tangencial es igual al producto de la distancia rA>B = ƒ rA>B ƒ y la aceleración angular a del cuerpo rígido. La componente normal apunta hacia el centro de la trayectoria circular, y su magnitud es ƒ vA>B ƒ 2>rA>B = v2rA>B. La aceleración de A es igual a la suma de la aceleración de B más la aceleración de A respecto a B (figura 17.20c). Por ejemplo, considere un disco circular de radio R que rueda sobre una superficie plana fija. El disco tiene una velocidad angular v en sentido contrario al de las manecillas del reloj y aceleración angular a en la misma dirección (figura 17.21a). El centro B del disco se mueve en una línea recta con velocidad Rv. Su velocidad es hacia la izquierda si v es positiva. Por lo tanto, la aceleración de B es ddt(Rv) Ra y es hacia la izquierda si a es positiva (figura 17.21b). En otras palabras, la magnitud de la aceleración del centro de un objeto redondo que rueda sobre una superficie en reposo es el producto del radio por la aceleración angular. Ahora que se conoce la aceleración del centro del disco, se determinará la aceleración del punto C que está en contacto con la superficie. Respecto a B, el punto C se mueve en una trayectoria circular de radio R con velocidad angular v y aceleración a. En la figura 17.21c se muestran las componentes tangencial y normal
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17.5 Movimientos generales: aceleraciones
317
de la aceleración de C respecto a B. La aceleración de C es la suma de la aceleración de B más la aceleración de C respecto a B (figura 17.21d). En términos del sistema de coordenadas mostrado
aC = aB + aC>B = - Rai + Rai + Rv2j = Rv2j. La aceleración del punto C paralela a la superficie es cero, pero tiene una aceleración normal a la superficie. La expresión de la aceleración de un punto A respecto a un punto B en términos de la trayectoria circular de A respecto a B, como se ha hecho, resulta útil para visualizar y entender la aceleración relativa. Sin embargo, como se hizo en el caso de la velocidad relativa, es posible obtener aA>B en una forma más conveniente para las aplicaciones usando el vector de velocidad angular . La velocidad de A respecto a B está dada en términos de por la ecuación (17.5):
vA>B = * rA>B. Derivando esta ecuación respecto al tiempo se obtiene
aA>B = =
d * rA>B + * vA>B dt d * rA>B + * 1 * rA>B2. dt
Enseguida se define el vector de aceleración angular como la razón de cambio del vector de velocidad angular,
=
d . dt
(17.7)
La aceleración de A respecto a B es
aA>B = * rA>B + * 1 * rA>B2. Usando esta expresión, se pueden escribir ecuaciones que relacionen las velocidades y aceleraciones de dos puntos de un cuerpo rígido en términos de su velocidad y su aceleración angulares: rA/B
vA = vB + * rA>B,
(17.8)
aA = aB + * rA>B + * 1 * rA>B2.
( rA/B)
A
(17.9)
En el caso del movimiento plano, el término * rA>B de la ecuación (17.9) es la componente tangencial de la aceleración de A respecto a B y * 1 * rA>B2 es la componente normal (figura 17.22). Por lo tanto, se puede escribir la ecuación (17.9) en la forma más sencilla
a v B
www.FreeLibros.org 2
aA = aB + * rA>B - v rA>B.
movimiento plano planar motion
(17.10)
Figura 17.22 Componentes vectoriales de la aceleración de A respecto a B en el movimiento plano.
318
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
RESULTADOS
Velocidades y aceleraciones relativas
A
rA/B B rA
rB O
La velocidad y la aceleración de A (respecto a un marco de referencia dado) pueden expresarse en términos de la velocidad y la aceleración de B, la posición de A respecto a B, la velocidad angular del cuerpo rígido y la aceleración angular d/dt del cuerpo rígido.
vA vB rA/B, vA/B
(17.8)
aA aB rA/B ( rA/B). aA/B
(17.9)
Movimiento plano
En el movimiento plano, un punto A de un cuerpo rígido se mueve en una trayectoria circular respecto al punto B. Las componentes tangencial y normal de la aceleración de A respecto a B pueden expresarse en términos de la distancia desde A hasta B y de la velocidad angular y la aceleración angular del cuerpo rígido.
2
v rA/B a v
arA/B A
rA/B
B
O
La ecuación (17.9) puede expresarse de una manera más sencilla en el movimiento plano.
aA aB rA/B v2 rA/B.
(17.10)
Movimiento de rodadura a
El objeto redondo de radio R que rueda sobre la superficie plana en reposo tiene una aceleración angular a en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La componente de la aceleración del punto C tangencial a la superficie es igual a cero. La aceleración del centro B es aR en la dirección mostrada.
B aB Ra
www.FreeLibros.org C
17.5 Movimientos generales: aceleraciones
Ejemplo activo 17.5
319
Aceleración de un punto de un disco con movimiento de rodadura ( Relacionado con el problema 17.85)
El disco mostrado rueda sin deslizar y tiene una velocidad angular v y una aceleración angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración del punto A?
v a
Estrategia Se conoce la aceleración del centro de un disco rodante en términos de su radio y de su aceleración angular. Se puede obtener la aceleración del punto A al sumar la aceleración del centro y las componentes tangencial y normal de la aceleración de A respecto al centro.
A R
Solución y
v a B aB aR
A
x
Exprese la aceleración del centro B del disco como un vector en términos del sistema de coordenadas mostrado.
aB aBi aRi.
y
aR B
A
v2R x
Respecto a B, el punto A sigue una trayectoria circular. Exprese las componentes tangencial y normal de la aceleración de A respecto a B como un vector.
La aceleración de A es igual a la aceleración de B más la aceleración de A respecto a B.
aA/B v2Ri aRj.
aA aB aA/B aRi v2Ri aRj.
Problema de práctica Determine la aceleración del punto A aplicando la ecuación (17.10) al punto A y al centro B del disco.
www.FreeLibros.org Respuesta: aA = - aR i - v2R i + aR j.
320
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.6
Aceleración angular de los elementos de un eslabonamiento ( Relacionado con el problema 17.90) La barra AB de la figura tiene una velocidad angular de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 300 rads2 en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las aceleraciones angulares de las barras BC y CD? y C
B
2m
10 rad/s 300 rad/s2 A
D 2m
x
2m
Estrategia Como se conoce la velocidad angular de la barra AB, se puede determinar la velocidad del punto B. Después se puede aplicar la ecuación (17.8) a los puntos C y D a fin de obtener una ecuación para vC en términos de la velocidad angular de la barra CD. También se puede aplicar la ecuación (17.8) a los puntos B y C a fin de obtener una ecuación para vC en términos de la velocidad angular de la barra BC. Igualando las dos expresiones para vC, se obtendrá una ecuación vectorial con dos incógnitas: las velocidades angulares de BC y CD. Luego, siguiendo la misma secuencia de pasos, pero usando la ecuación (17.10), se pueden obtener las aceleraciones angulares de las barras BC y CD. Solución La velocidad de B es (figura a)
vB = vA + AB * rB>A
= 0 + 110k2 * 12j2 = - 20i 1m/s2.
y C
B
Sea vCD la velocidad angular desconocida de la barra CD (figura b). La velocidad de C en términos de la velocidad de D es
rB/A
vC = vD + CD * rC>D
2m
10 rad/s 300 rad/s2 A
D
x
i = 0 + 3 0 -2
j 0 2
k vCD 3 0
www.FreeLibros.org (a) Determinación del movimiento de B.
= - 2vCD i - 2vCD j.
17.5 Movimientos generales: aceleraciones
Denotando la velocidad angular de la barra BC con vBC (figura c), se obtiene la velocidad de C en términos de la velocidad de B:
321
y C
B
vC = vB + BC * rC>B = - 20i + 1vBC k2 * 12i2 = - 20i + 2vBC j.
rC/D 2m vCD aCD
A
Igualando las dos expresiones para vC resulta
- 2vCD i - 2vCD j = - 20i + 2vBC j. Igualando las componentes i y j se obtiene vCD 10 rads y vBC 10 rads. Se puede usar la misma secuencia de pasos para determinar las aceleraciones angulares. La aceleración de B es (figura a)
D
x
2m
(b) Determinación del movimiento de C en términos del movimiento angular de la barra CD. y
aB = aA + AB * rB>A -
v2ABrB>A
= 0 + 1- 300k2 * 12j2 - 1102 12j2 2
aBC vBC C
B
= 600i - 200j 1m/s22.
rC/B
La aceleración de C en términos de la aceleración de D es (figura b)
aC = aD + CD * rC>D - v2CDrC>D i j k 3 = 0 + 0 0 aCD 3 - 110221 - 2i + 2j2 -2 2 0 = 1200 - 2aCD2i - 1200 + 2aCD2j.
D
A
x
2m
(c) Determinación del movimiento de C en términos del movimiento angular de la barra BC.
La aceleración de C en términos de la aceleración de B es (figura c)
aC = aB + BC * rC>B - v2BCrC>B = 600i - 200j + 1aBC k2 * 12i2 - 1 -102212i2 = 400i - 1200 - 2aBC2j. Igualando las expresiones para aC, se obtiene
1200 - 2aCD2i - 1200 + 2aCD2j = 400i - 1200 - 2aBC2j. Igualando las componentes i y j se obtienen las aceleraciones angulares aBC 100 rads2 y aCD 100 rads2. Razonamiento crítico Para determinar las aceleraciones angulares de un conjunto de cuerpos rígidos articulados, por lo general es necesario encontrar primero sus velocidades angulares, porque la velocidad angular aparece en las ecuaciones (17.9) y (17.10). Pero como lo demuestra este ejemplo, el paso inicial proporciona una guía para llegar a la solución. Una vez que se ha encontrado una secuencia de pasos usando la ecuación (17.8) para determinar las velocidades angulares, puede usarse la misma secuencia de pasos, pero empleando las ecuaciones (17.9) o (17.10), a fin de encontrar las aceleraciones angulares.
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322
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Problemas 17.81 El cuerpo rígido de la figura gira alrededor del eje z con velocidad angular v 4 rads y aceleración angular a 2 rads2, ambas con sentido contrario al de las manecillas del reloj. La distancia rAB 0.6 m. a) ¿Cuáles son los vectores de la velocidad angular y de la aceleración angular? b) Determine la aceleración del punto A respecto al punto B, primero usando la ecuación (17.9) y luego empleando la ecuay ción (17.10).
17.84 El helicóptero mostrado está en movimiento bidimensional en el plano x-y. En el instante mostrado, la posición de su centro de masa G es x 2 m, y 2.5 m, su velocidad es vG 12i 4j (ms), y su aceleración es aG 2i 3j (ms2). La posición del punto T donde está montado el rotor de la cola es x 3.5 m, y 4.5 m. La velocidad angular del helicóptero es de 0.2 rads en el sentido de las manecillas del reloj, y su aceleración angular es de 0.1 rads2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración del punto T?
a
y
v A
B
x
T
rA/B
G
Problema 17.81
x
17.82 La barra mostrada gira con una velocidad angular de 5 rads y una aceleración angular de 30 rads2, ambas en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración de A a) usando la ecuación (17.9) y b) empleando la ecuación (17.10). y 5 rad/s2
A
30 rad/s2
Problema 17.84 17.85 El punto A del disco rodante que se muestra en la figura se mueve hacia la derecha y acelera en esa misma dirección. La magnitud de la velocidad del punto C es de 2 ms, y la magnitud de su aceleración es de 14 ms2. Determine las aceleraciones de los puntos B y D. (Vea el ejemplo activo 17.5). y
30 x 2m
Problema 17.82 17.83 La barra mostrada gira con una velocidad angular de 20 rads y una aceleración angular de 6 rads2, ambas en sentido contrario al de las manecillas del reloj. a) Aplique la ecuación (17.10) al punto A y a un punto fijo O para determinar la aceleración del punto A. b) Use el resultado del inciso a) y aplique la ecuación (17.10) a los puntos A y B para determinar la aceleración del punto B.
D 45
300 mm C A
B
y
x
Problema 17.85 20 rad/s 6 rad/s2 A
B x
O
www.FreeLibros.org 1m
1m
Problema 17.83
Problemas 17.86 El disco mostrado rueda sobre la superficie circular con una velocidad angular constante de 1 rads en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las aceleraciones de los puntos A y B? Estrategia: Comience por determinar la aceleración del centro del disco. Observe que el centro se mueve en una trayectoria circular y la magnitud de su velocidad es constante.
323
17.88 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB mostrada son vAB 2 rads y aAB 10 rads2. Las dimensiones de la placa rectangular son 12 pulg 24 pulg. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración angulares de la placa rectangular?
20 pulg
D
12 pulg
y
A
A
45
B vAB aAB
45 C
0.4 m x
Problema 17.88 B
17.89 El engrane anular mostrado se encuentra en reposo y el engrane central tiene una aceleración angular de 10 rads2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular de los engranes periféricos.
1.2 m Engrane anular
7 pulg 34 pulg
Problema 17.86
20 pulg
17.87 La longitud de la barra mostrada es L 4 pies y el ángulo u 30°. La velocidad angular de la barra es v 1.8 rads y su aceleración angular es a 6 rads2. Los extremos de la barra se deslizan sobre las superficies planas. Determine la aceleración del punto medio G. Estrategia: Comience por aplicar la ecuación (17.10) a los extremos de la barra para determinar sus aceleraciones.
Engranes periféricos (3) Engrane central
Problema 17.89
y
17.90 En el ejemplo 17.6, ¿cuál es la aceleración del punto medio de la barra BC? 17.91 El disco de 1 m de diámetro mostrado rueda sobre la superficie plana, y el punto B de la barra de 1 m de largo se desliza sobre la misma superficie. Determine la aceleración angular de la barra y la aceleración del punto B. 10 rad/s2
u
4 rad/s
L G v a
A
www.FreeLibros.org B
x
Problema 17.87
Problema 17.91
324
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.92 En la figura, si u 45° y el collarín P se mueve hacia la derecha con una velocidad constante de 2 ms, ¿cuáles son las aceleraciones angulares de las barras OQ y PQ?
17.96 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB mostrada son vAB 4 rads y aAB 6 rads2. Determine las aceleraciones angulares de las barras BC y CD. y
17.93 En la figura, si u 50° y la barra OQ tiene una velocidad angular constante de 1 rads en el sentido de las manecillas del reloj, ¿cuál es la aceleración del collarín P?
2m B
A vAB aAB
Q
1m
C 1.2 m
1.2 m
1m D
θ
O
1m
P
2m
Problema 17.96
Problemas 17.9217.93 17.94 En la figura, el ángulo u 60°, y la barra OQ tiene una velocidad angular constante de 2 rads en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra PQ?
17.97 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB mostrada son vAB 2 rads y aAB 8 rads2. ¿Cuál es la aceleración del punto D? y
D
0.32 m
Q C 400 mm
200 mm
θ
O
0.48 m vAB aAB
P A
B
x
Problema 17.94 17.95 En el instante mostrado, la velocidad y la aceleración del pistón son vC 14i (ms) y aC 2200i (ms2). ¿Cuál es la aceleración angular de la manivela AB? y
0.32 m
0.24 m 0.16 m
Problema 17.97 17.98 En la figura, la velocidad angular vAB 6 rads. Si la aceleración del deslizador C en el instante mostrado es igual a cero, ¿cuál es el valor de la aceleración angular aAB? y B
B 50 mm
C
A
x
4 pulg A
aAB vAB
3 pulg C
x
www.FreeLibros.org 175 mm
50 mm
Problema 17.95
4 pulg
10 pulg
Problema 17.98
325
Problemas 17.99 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB mostrada son vAB 5 rads y aAB 10 rads2. Determine la aceleración angular de la barra BC.
C
B 0.2 m
aAB
17.101 En la figura, si vAB 2 rads, aAB 2 rads2, vBC 1 rads, y aBC 4 rads2, ¿cuál es la aceleración del punto C donde está conectada la pala de la excavadora?
17.102 Si la velocidad del punto C de la excavadora mostrada es vC 4i (ms) y ésta es constante, ¿qué valores tienen vAB, aAB, vBC y aBC?
D
y
A
vAB
0.4 m
0.2 m
B vBC
vAB aAB
0.2 m
Problema 17.99
aBC
5.5 m
C
5m A
17.100 En el instante mostrado, la barra AB gira a 10 rads en el sentido de las manecillas del reloj y tiene una aceleración angular de 20 rads2 en la misma dirección. El disco rueda sobre la superficie circular. Determine las aceleraciones angulares de la barra BC y el disco.
1.6 m x 4m
3m
2.3 m
Problemas 17.10117.102 1m
3m
A 3m
2m C B
Problema 17.100
17.103 En la figura se muestra el eslabonamiento de dirección de un automóvil. El elemento DE gira alrededor del pasador fijo E. El disco de freno derecho está unido rígidamente al elemento DE. El tensor CD está articulado en C y D. En el instante mostrado, el brazo Pitman AB tiene una velocidad angular en sentido contrario de las manecillas del reloj de 1 rads y una aceleración angular en el sentido de las manecillas del reloj de 2 rads2. ¿Cuál es la aceleración angular del disco de freno derecho? Discos de freno
A B 180 mm
100 mm E 220 mm 200 mm
C
D
www.FreeLibros.org 460 mm
Eslabón de dirección
Problema 17.103
340 mm
70 mm
326
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.104 En el instante mostrado, la barra AB no tiene velocidad angular pero sí una aceleración angular de 10 rads2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración del punto E.
17.107 En la figura se muestran las velocidades y las aceleraciones angulares de los mangos de las tijeras. ¿Cuál es la aceleración angular resultante de la mordaza BD?
y
B 400 mm C
D
E x
A
700 mm
400 mm
700 mm
Problema 17.104 17.105 En la figura, si vAB 12 rads y aAB 100 rads2, ¿cuáles son las aceleraciones angulares de las barras BC y CD?
0.12 rad/s
0.08 rad/s2
D C B
18 mm
C E
B
0.12 rad/s
350 mm
25 mm 25 mm 200 mm
0.08 rad/s2
aAB vAB D
A 300 mm
Problema 17.107
350 mm
Problema 17.105 17.106 En la figura, si vAB 4 rads y aAB 12 rads2, ambas en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la aceleración del punto C? y
C B
400 mm D
600 mm
500 mm E
A 600 mm
x
www.FreeLibros.org 300 mm
200 mm
Problema 17.106
300 mm
Problemas 17.108 Si el brazo AB de la figura tiene una velocidad angular constante de 0.8 rads en el sentido de las manecillas del reloj, el brazo BC tiene una velocidad angular constante de 0.2 rads en la misma dirección, y el brazo CD permanece vertical, ¿cuál es la aceleración de la parte D? 17.109 Si el brazo AB de la figura tiene una velocidad angular constante de 0.8 rads en el sentido de las manecillas del reloj, y se quiere que la parte D tenga velocidad y aceleración iguales a cero, ¿cuáles son las velocidades y aceleraciones angulares necesarias de los brazos BC y CD? 17.110 Si se desea que el brazo CD permanezca vertical y que la parte D tenga velocidad vD 1.0i (ms) y aceleración igual a cero, ¿cuáles son las velocidades y aceleraciones angulares necesarias de los brazos AB y BC?
327
17.112 El mango y la mordaza superiores de la pinza ABC mostrada se encuentran en reposo. El mango inferior DEF gira en el sentido de las manecillas del reloj con una velocidad angular constante de 0.2 rads. En el instante mostrado, ¿cuál es la aceleración angular de la mordaza inferior CFG? En reposo A
C
B
30 mm G F
E D 70 mm
30 mm 30 mm
y
Problema 17.112 300 m
17.113 El elemento horizontal ADE que soporta la pala de la excavadora mostrada se encuentra en reposo. Si el eslabón BD tiene una velocidad angular de 1 rads en el sentido de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 2 rads2 en la dirección contraria, ¿cuál es la aceleración angular de la pala?
m
B 0m
m
15
30
C
B C
170 mm 50
2 pies
x
A
D
A
D 5 pies
1 pie 6 pulg E
1 pie
2 pies 6 pulg
Pala
Problema 17.113 17.114 El engrane anular mostrado está fijo y los engranes piñón y planetario están unidos. La biela tiene una aceleración angular de 10 rads2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine las aceleraciones angulares de los engranes planetario y central.
Problemas 17.108–17.110 17.111 El eslabón AB del brazo robótico mostrado gira con una velocidad angular constante de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y el eslabón BC gira con una velocidad angular constante de 3 rads en el sentido de las manecillas del reloj. El eslabón CD gira a 4 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y tiene una aceleración angular de 6 rads2 en la misma dirección. ¿Cuál es la aceleración del punto D? y
17.115 La biela de la figura tiene una velocidad angular de 4 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 12 rads2 en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la magnitud de la aceleración del punto A. A
Engrane planetario Engrane piñón
250
m 0m
mm
Biela
140 mm
30
30
B
20
D
C A
340 mm 240 mm
x 250 mm
720 mm Engrane central Engrane anular
www.FreeLibros.org Problema 17.111
Problemas 17.11417.115
328
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.116 En la figura, el engrane grande está fijo. La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB son vAB 2 rads y aAB 4 rads2. Determine las aceleraciones angulares de las barras CD y DE. 4 pulg B
16 pulg
10 pulg D
C
4 pulg
10 pulg A
vAB aAB
E
Problema 17.116
17.6 Contactos deslizantes ANTECEDENTES A
B
C
Figura 17.23 Eslabón con un contacto deslizante.
En esta sección se considera un tipo de problema que es superficialmente similar a los que ya se han analizado en este capítulo, pero que requiere un método de solución diferente. Por ejemplo, en la figura 17.23, el pasador A de la barra conectada en C se desliza en una ranura de la barra conectada en B. Suponga que se conoce la velocidad angular de la barra conectada en B y que se desea determinar la velocidad angular de la barra AC. No puede usarse la ecuación vA = vB + * rA>B para expresar la velocidad del pasador A en términos de la velocidad angular de la barra fija en B, porque se dedujo bajo el supuesto de que A y B son puntos del mismo cuerpo rígido. Aquí el pasador A se mueve respecto a la barra conectada en B mientras éste se desliza a lo largo de la ranura. Éste es un ejemplo de contacto deslizante entre cuerpos rígidos. Para resolver este tipo de problemas, se deben volver a deducir las ecuaciones (17.8), (17.9) y (17.10) sin suponer que A es un punto del cuerpo rígido. Para describir el movimiento de un punto que se mueve respecto a un cuerpo rígido dado, resulta conveniente usar un marco de referencia que se mueva con el cuerpo rígido. Se dice que tal marco de referencia está fijo al cuerpo. En la figura 17.24, se presenta un marco de referencia xyz fijo al cuerpo, con su origen
y A rA/B B
x rA
z
Marco de referencia secundario (fijo al cuerpo)
rB
www.FreeLibros.org Figura 17.24 Punto B de un cuerpo rígido, marco de referencia secundario fijo al cuerpo y punto arbitrario A.
O
Marco de referencia primario
17.6 Contactos deslizantes
329
en el punto B del cuerpo rígido, además del marco de referencia primario con origen O. (El marco de referencia primario es el sistema respecto al cual se describe el movimiento del cuerpo rígido). No se hace el supuesto de que A es un punto del cuerpo rígido. La posición de A respecto a O es
rA = rB + xi + yj + zk, ('')''* rA>B donde x, y y z son las coordenadas de A en términos del marco de referencia fijo al cuerpo. El siguiente paso es derivar respecto al tiempo esta expresión a fin de obtener una ecuación para la velocidad de A. Al hacerlo, se reconoce que los vectores unitarios i, j y k no son constantes puesto que giran con el marco de referencia fijo al cuerpo:
vA = vB +
y
dj dy di dk dx dz i + x j + y k + z . + + dt dt dt dt dt dt
P
B
x
i
Ahora, ¿cuáles son las derivadas de los vectores unitarios? En la sección 17.3 se mostró que si rP>B es la posición de un punto P de un cuerpo rígido respecto a otro punto B del mismo cuerpo rígido, drP>B>dt = vP>B = * rP>B. Como se puede considerar al vector unitario i como el vector de posición de un punto P del cuerpo rígido (figura 17.25), su derivada es di>dt = * i. Aplicando el mismo argumento a los vectores unitarios j y k, se obtiene
di = * i, dt
dj = * j, dt
z
Figura 17.25 Interpretación de i como el vector de posición de un punto P respecto a B.
dk = * k. dt
Usando esas expresiones es posible escribir la velocidad del punto A como
vA = vB + vA rel + * rA>B, (''')'''* vA>B
(17.11)
donde
vA rel =
dy dx dz i + j + k dt dt dt
(17.12)
es la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo. Es decir, vA es la velocidad de A respecto al marco de referencia primario y vA rel es la velocidad de A relativa al cuerpo rígido. La ecuación (17.11) expresa la velocidad de un punto A como la suma de tres términos (figura 17.26): la velocidad de un punto B del cuerpo rígido, la velocidad * rA>B de A respecto a B debido a la rotación del cuerpo rígido, y la velocidad vA rel de A respecto al cuerpo rígido. vB
rA/B
A
A
A
vA rel
www.FreeLibros.org vB
B
rA/B
B
Figura 17.26 Expresión de la velocidad de A en términos de la velocidad de un punto B del cuerpo rígido.
330
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
y A
vA rel
aA rel
B z
x
Figura 17.27 Imagínese a usted mismo en reposo respecto al cuerpo rígido.
A fin de obtener una ecuación para la aceleración del punto A, se deriva respecto al tiempo la ecuación (17.11) y se usa la ecuación (17.12). El resultado es (vea el problema 17.142)
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + * rA>B + * 1 * rA>B2, ('''''''''''')'''''''''''* (17.13) aA>B
v (a)
A
donde
aA rel =
v
d 2y d 2x d 2z i + j + k 2 2 dt dt dt 2
(17.14)
A B
(b) x v y vA rel vi
x A B
(c) x vx y v A B
(d)
Figura 17.28 (a) Punto que se mueve a lo largo de una barra. (b) La barra está girando. (c) Marco de referencia fijo al cuerpo. (d) Componentes de vA.
es la aceleración de A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo. Es decir, aA es la aceleración A respecto al marco de referencia primario, y aA rel es la aceleración de A relativa al cuerpo rígido. En el caso del movimiento plano es posible expresar la ecuación (17.13) en la forma más sencilla
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + * rA>B - v2rA>B. (''''''''')'''''''''* aA>B
(17.15)
En resumen, vA y aA son la velocidad y la aceleración del punto A respecto al marco de referencia primario—el marco de referencia respecto al cual se describe el movimiento del cuerpo rígido. Los términos vA rel y aA rel son la velocidad y la aceleración del punto A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo. Es decir, son la velocidad y la aceleración medidas por un observador que se mueve con el cuerpo rígido (figura 17.27). Si A es un punto del cuerpo rígido. Entonces vA rel y aA rel son iguales a cero, y las ecuaciones (17.11) y (17.13) son idénticas a las ecuaciones (17.8) y (17.9). Estos conceptos pueden ilustrarse con un ejemplo simple. En la figura 17.28a se muestra un punto A que se mueve con velocidad v paralela al eje de una barra. (Imagine que A es un insecto caminando a lo largo de la barra). Suponga que al mismo tiempo, la barra gira respecto a un punto fijo B con una velocidad angular constante v relativa a un marco de referencia fijo a la Tierra (figura 17.28b). Se usará la ecuación (17.11) para determinar la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra. Considere que el sistema coordenado de la figura 17.28c está fijo con respecto a la barra, y sea x la posición actual de A. En términos de este marco de referencia fijo al cuerpo, el vector de velocidad angular de la barra (y el marco de referencia) respecto al marco de referencia primario fijo a la Tierra es = vk. En
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17.6 Contactos deslizantes
331
relación con el marco de referencia fijo al cuerpo, el punto A se mueve a lo largo del eje x con velocidad v, por lo que vA rel = vi. A partir de la ecuación (17.11), la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es
vA = vB + vA rel + * rA>B = 0 + vi + 1vk2 * 1xi2 = vi + vxj. Respecto al marco de referencia fijo a la Tierra, A tiene una componente de velocidad paralela a la barra y también una componente perpendicular debida a la rotación de la barra (figura 17.28d). Aunque vA es la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra, observe que se expresa en componentes que están en términos del marco de referencia fijo al cuerpo.
RESULTADOS
y A rA/B B
x rA
z
Marco de referencia secundario (fijo al cuerpo)
rB
O Marco de referencia primario
Los términos vA, vB, aA, y aB son las velocidades y aceleraciones de los puntos A y B respecto al marco de referencia primario. y son la velocidad y la aceleración angulares del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario. El término dz dx dy k j vA rel i (17.12) dt dt dt es la velocidad de A relativa al marco de referencia secundario, es decir, respecto al cuerpo rígido. El término d2z d 2x d2y i k (17.14) 2 2 j dt dt dt2 es la aceleración de A respecto al marco de referencia secundario. aA rel
vA vB vA rel rA/B,
(17.11)
aA aB aA rel 2 vA rel rA/B ( rA/B).
(17.13)
En el caso del movimiento plano, la ecuación (17.13) puede escribirse aA aB aA rel 2 vA rel rA/B v2rA/B.
(17.15)
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332
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Eslabonamiento con un contacto deslizante ( Relacionado con el problema 17.117)
Ejemplo activo 17.7
La barra AB de la figura tiene una velocidad angular de 2 rads y una aceleración angular de 10 rads2, ambas en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante mostrado, determine la velocidad angular de la barra AC y la velocidad del pasador A respecto a la ranura de la barra AB.
A 10 rad/s2 2 rad/s
400 mm
B
Estrategia Introduciendo un marco de referencia secundario que esté fijo con respecto a la barra ranurada AB, se puede aplicar la ecuación (17.11) a los puntos A y B, para así expresar la velocidad del pasador A en términos de su velocidad relativa a la ranura (el término vA rel) y la velocidad angular conocida de la barra AB. El pasador A es un punto de la barra AC, por lo que también se puede aplicar la ecuación (17.8) a los puntos A y C a fin de expresar la velocidad del pasador A en términos de la velocidad angular desconocida de la barra AC. Igualando las dos expresiones para la velocidad de A, se obtendrán dos ecuaciones en términos de la velocidad de A respecto a la ranura y de la velocidad angular de la barra AC.
C 800 mm
Solución y A 10 rad/s 2 rad/s
2
400 mm
rA/B C
B
x
800 mm
vA vB vA rel rA/B El sistema coordenado está fijo con respecto a la barra AB. Es decir, gira con la barra. Aplique la ecuación (17.11) a los puntos A y B.
i
j
k
0 vA rel 0
0
2
0.4
0
0.8
vA rel 0.8i 1.6j.
(1)
vA rel vA rel cosbi vA rel senbj.
(2)
y A
vA rel
400 mm B
b
C
x
800 mm
La velocidad del pasador A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo es paralela a la ranura. Sea vA rel la velocidad desconocida de A a lo largo de la ranura. El ángulo b arctan(0.4/0.8) 26.6 .
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17.6 Contactos deslizantes
Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1).
y
vA (vA rel cos 26.6 0.8)i (vA rel sen 26.6 1.6)j.
333
(3)
A rA/C 400 mm
B
vAC aAC C
x
vA vC AC rA/C Sea vAC la velocidad angular desconocida de la barra AC en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Aplique la ecuación (17.8) a los puntos A y C.
i
j
k
0 0
0
vAC
0.4
0
0 0.4vACi.
(4)
(vA rel cos 26.6 0.8) i + (vA rel sen 26.6 + 1.6) j 0.4vAC i. Igualando las componentes i y j resultan las dos ecuaciones vA rel cos 26.6 0.8 0.4vAC, vA rel sen 26.6 1.6 0. Iguale las expresiones (3) y (4) para determinar vA rel y vAC.
Resolviendo, se obtiene vA rel 3.58 m/s y vAC 10 rad/s. En este instante, el pasador A se está moviendo respecto a la ranura a 3.58 m/s hacia B. El vector de velocidad del pasador A respecto a la ranura es vA rel
vA rel cos 26.6 i vA rel sen 26.6 j (3.58) cos 26.6 i (3.58) sen 26.6 j 3.2 i 1.6 j (m/s).
Problema de práctica En el instante mostrado, determine la aceleración angular de la barra AC y la aceleración del pasador A respecto a la ranura de la barra AB.
www.FreeLibros.org Respuesta: aAC 170 rads2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, A se acelera a 75.1 ms2 hacia B.
334
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.8
Barra deslizante respecto a un soporte ( Relacionado con los problemas 17.130, 17.131) El collarín mostrado en B se desliza a lo largo de la barra circular, ocasionando que el pasador B se mueva a velocidad constante v0 en una trayectoria circular de radio R. La barra BC se desliza por el collarín en A. En el instante mostrado, determine la velocidad y la aceleración angulares de la barra BC. C
A
v0
b
B R
b
Estrategia Se usará un marco de referencia secundario con su origen en B que está fijo al cuerpo con respecto a la barra BC. Usando las ecuaciones (17.11) y (17.15) para expresar la velocidad y la aceleración del pasador en reposo A en términos de la velocidad y la aceleración del pasador B, se puede determinar la velocidad angular y la aceleración angular de la barra BC. Solución Velocidad angular Considere la velocidad y la aceleración angulares de la barra BC, que también son la velocidad y la aceleración angulares del sistema coordenado fijo al cuerpo, sea vBC y aBC (figura a). La velocidad del pasador en reposo A es igual a cero. A partir de la ecuación (17.11),
vA = 0 = vB + vA rel + * rA>B, y
(1)
C A aBC vBC v0
b
x B R
b
www.FreeLibros.org (a) Marco de referencia fijo con respecto a la barra BC.
17.6 Contactos deslizantes
donde vA rel es la velocidad de A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo y vBCk es el vector de la velocidad angular del sistema coordenado. La velocidad del pasador B es vB = v0 j. La velocidad del pasador fijo A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo es paralela a la barra (figura b), por lo que puede expresarse en la forma
sin 45°j vA rel = vA rel cos 45°i + vA rel sen
335
y vA rel A
(2)
y se escribe la ecuación (1) como
sin 45°j 0 = v0 j + vA rel cos 45°i + vA rel sen
45 x
i + 30 b
j 0 b
B
k vBC 3 . 0
(b) Dirección de la velocidad del pasador fijo A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo.
De las componentes i y j de esta ecuación, se obtiene
vA rel cos 45° - bvBC = 0, sin 45° + bvBC = 0. v0 + vA rel sen Resolviendo estas ecuaciones, se determina que la velocidad del pasador A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo es
sin 45°j vA rel = vA rel cos 45°i + vA rel sen = -
v0 v0 i j 2 2
y la velocidad angular de la barra BC es
vBC = -
v0 . 2b
Aceleración angular La aceleración del pasador A es cero. A partir de la ecuación (17.5),
aA = 0 = aB + aA rel + 2 * vA rel + * rA>B - v2rA>B.
(3)
La aceleración del pasador B es aB = - 1v 02>R2i. La aceleración del pasador A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo es paralelo a la barra (figura c). Por lo tanto, puede expresarse como
aA rel = aA rel cos 45°i + aA rel sin sen 45°j
y aA rel A
(4)
y la ecuación (3) se escribe como
v 02 i + aA rel cos 45°i + aA rel sen sin 45°j R i j k i j k + 23 0 0 vBC 3 + 3 0 0 aBC 3 - v0>2 - v0>2 0 b b 0
0 = -
45 x B
(c) Dirección de la aceleración del pasador fijo A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo.
www.FreeLibros.org - v2BC1bi + bj2.
336
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
De las componente i y j de esta ecuación, se obtiene
-
v 20 2 = 0, + aA rel cos 45° + v0vBC - baBC - bvBC R
2 sen 45° - v0vBC + baBC - bvBC = 0. aA rel sin
Resolviendo estas ecuaciones, se determina que la aceleración angular de la barra BC es
aBC = -
v 20 1 1 a + b. 2b R b
Razonamiento crítico En este ejemplo, la barra BC se desliza respecto a su soporte en A. Observe que el soporte fijo A se mueve en relación con el sistema coordenado que está fijo al cuerpo respecto a la barra BC. Como la barra BC está en reposo con respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo, se sabía que la velocidad y la aceleración del soporte A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo eran paralelas a la barra BC. Esta fue la razón por la que éstas pudieron expresarse en las formas dadas por las ecuaciones (2) y (4).
Ejemplo 17.9
Análisis de un contacto deslizante ( Relacionado con los problemas 17.136, 17.137) La barra AB mostrada gira con una velocidad angular constante de 1 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El bloque B se desliza en una ranura circular en la barra curva BC. En el instante mostrado, el centro de la ranura circular está en D. Determine la velocidad y la aceleración angulares de la barra BC.
B 1 rad/s 350 mm
500 mm
A
C
D
Estrategia Como se conoce la velocidad angular de la barra AB, es posible determinar la velocidad del punto B. Como B no es un punto de la barra BC, se debe aplicar la ecuación (17.11) a los puntos B y C. Igualando las expresiones para vB, es posible despejar la velocidad angular de la barra BC. Después, siguiendo la misma secuencia de pasos pero esta vez usando la ecuación (17.15), se puede determinar la aceleración angular de la barra BC.
500 mm 1000 mm
y B 1 rad/s
rB/A b
A
C
D 500 mm
x
500 mm
Solución Para determinar la velocidad de B, se expresa en términos de la velocidad de A y de la velocidad angular de la barra AB: vB = vA + AB * rB>A. En términos del sistema coordenado mostrado en la figura a, el vector de posición de B respecto a A es
rB>A = 10.500 + 0.500 cos b2i + 0.350j = 0.857i + 0.350j 1m2, donde b arcsen(350500) 44.4°. Por lo tanto, la velocidad de B es
(a) Determinación de la velocidad del punto B.
vB = vA + AB * rB>A = 0 + 3
i 0 0.857
j 0 0.350
k 13 0
www.FreeLibros.org = - 0.350i + 0.857j 1m/s2.
(1)
17.6 Contactos deslizantes
y
y B
337
vBC aBC
vB rel B
rB/C b
A
C
D
x b
500 mm
(b) Sistema coordenado fijo con respecto a la barra curva.
C
D
x
(c) Velocidad de B relativa al sistema coordenado fijo al cuerpo.
Para aplicar la ecuación (17.11) a los puntos B y C, se introduce un sistema coordenado secundario paralelo que gire con la barra curva (figura b). La velocidad de B es
vB = vC + vB rel + BC * rB>C.
(2)
El vector de posición de B respecto a C es
rB>C = - 10.500 - 0.500 cos b2i + 0.350j = - 0.143i + 0.350j 1m2. Respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo, el punto B se mueve en una trayectoria circular alrededor del punto D (figura c). En términos del ángulo b, el vector
vB rel = - vB rel sen sin bi + vB rel cos bj. Las expresiones anteriores se sustituyen para rB>C y vB rel en la ecuación (2), de donde se obtiene
vB = - vB rel sen sin bi + vB rel cos bj + 3
i 0 -0.143
j 0 0.350
k vBC 3 . 0
Igualando esta expresión para vB con su valor dado en la ecuación (1) resultan las dos ecuaciones
-vB rel sen sin b - 0.350vBC = - 0.350, vB rel cos b - 0.143vBC = 0.857. Resolviendo estas ecuaciones se obtiene vB rel = 1.0 m/s y vBC = - 1.0 rad/s. Se sigue la misma sucesión de pasos para determinar la aceleración angular de la barra BC. La aceleración del punto B es
aB = aA + AB * rB>A - v2AB rB>A
= 0 + 0 - 112210.857i + 0.350j2
www.FreeLibros.org = - 0.857i - 0.350j 1m/s22.
(3)
338
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
y
Como el movimiento del punto B respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo es una trayectoria circular alrededor del punto D, existe una componente tangencial de aceleración, que se denota por aBt, y una componente normal de aceleración v2B rel>10.5 m2. Estas componentes se muestran en la figura d. En términos del ángulo b, el vector
aBt v2B rel
B
0.5 b
C
D
x
sin bi + aBt cos bj aB rel = - aBt sen - 1v2B rel>0.52 cos bi - 1v2B rel>0.52 sen sin bj.
500 mm
(d) Aceleración de B respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo.
Aplicando la ecuación (17.15) a los puntos B y C, se obtiene la aceleración de B:
aB = aC + aB rel + 2BC * vB rel + ABC * rB>C - v2BC rB>C sin bi + aBt cos bj = 0 - aBt sen - 31122>0.54 cos bi - 31122>0.54 sin sen bj + 23
+ 3
i 0 -112 sen sin b
i 0 -0.143
j 0 112 cos b
j 0 0.350
k -1 3 0
k aBC 3 - 1 -1221 - 0.143i + 0.350j2. 0
Igualando esta expresión para aB con su valor dado en la ecuación (3) resultan las dos ecuaciones
sin b - 0.350aBC + 0.143 = - 0.857, - aBt sen aBt cos b - 0.143aBC - 0.350 = - 0.350. Resolviendo se obtiene aBt = 0.408 m/s2 y aBC = 2.040 rad/s2.
Razonamiento crítico Este ejemplo se distinguió por el hecho de que la barra ranurada tiene la forma de un arco circular. Como resultado, el bloque B se movía en una trayectoria circular respecto al sistema coordenado que está fijo en relación con la barra circular. La dirección de la velocidad vB rel era tangencial a la trayectoria circular. Sin embargo, debido a la trayectoria curva, se supo que aB rel tendría componentes tangencial y normal a la trayectoria. Además, la magnitud de la componente normal podría escribirse en términos de la magnitud de la velocidad y del radio de la trayectoria circular. Por lo tanto, una vez que se conoció vB rel, sólo era necesario determinar la componente tangencial de aB rel.
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Problemas
339
Problemas 17.117 En el ejemplo activo 17.7, suponga que la distancia desde el punto C hasta el pasador A de la barra vertical AC es de 300 mm en vez de 400 mm. Trace un bosquejo del eslabonamiento con su nueva geometría. Determine la velocidad angular de la barra AC y la velocidad del pasador A respecto a la ranura en la barra AB.
17.121 La barra AC tiene una velocidad angular de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj que está disminuyendo a razón de 4 rads2. El pasador en C se desliza en la ranura de la barra BD.
17.118 La barra mostrada gira con velocidad angular constante de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y el collarín A se desliza a velocidad constante de 4 piess con respecto a la barra. Use la ecuación (17.15) para determinar la aceleración de A.
b) Determine la aceleración angular de la barra BD y la aceleración del pasador respecto a la ranura.
y
10 rad/s
4 pies/s x
B A 2 pies
a) Determine la velocidad angular de la barra BD y la velocidad del pasador respecto a la ranura.
17.122 La velocidad del pasador C mostrado respecto a la ranura es de 21 pulgs hacia arriba y disminuye a razón de 42 pulgs2. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración angulares de la barra AC? 17.123 ¿Cuáles deberían ser la velocidad y la aceleración angulares de la barra AC mostrada si se quiere que la velocidad y la aceleración angulares de la barra BD sean de 4 rads y de 24 rads2, respectivamente, y que ambas tengan un sentido contrario al de las manecillas del reloj?
Problema 17.118
D
17.119 El collarín C mostrado se desliza a 1 ms con respecto a la barra BD. Use el sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra en la figura para determinar la velocidad de C. 17.120 Las aceleraciones angulares de las dos barras mostradas son cero y el collarín C se desliza con una velocidad constante de 1 ms con respecto a la barra BD. ¿Cuál es la aceleración del collarín C?
C
4 pulg
A
B
y 4 rad/s
7 pulg
1 m/s
B
D C
x
Problemas 17.121–17.123
400 mm 600 mm 2 rad/s A
600 mm
Problemas 17.11917.120
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340
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.124 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular de 4 rads en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad del pasador B respecto a la ranura?
17.128 En la figura, la velocidad angular vAC 5° por segundo. Determine la velocidad angular del actuador hidráulico BC y la razón a la cual se extiende el actuador.
17.125 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular de 4 rads en el sentido de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rads2 en la dirección contraria. ¿Cuál es la aceleración del pasador B respecto a la ranura?
17.129 En la figura, la velocidad angular vAC 5° por segundo y la aceleración angular aAC 2° por segundo al cuadrado. Determine la aceleración angular del actuador hidráulico BC y la razón de cambio de la razón de extensión del actuador.
B
60 mm C A
C aAC 80 mm
2.4 m
vAC
35 mm
Problemas 17.12417.125
A
17.126 El actuador hidráulico BC de la grúa se extiende (aumenta su longitud) a razón de 0.2 ms. En el instante mostrado, ¿cuál es la velocidad angular del aguilón AD de la grúa? Estrategia: Use la ecuación (17.8) para escribir la velocidad del punto C en términos de la velocidad del punto A, y use la ecuación (17.11) para escribir la velocidad del punto C en términos de la velocidad del punto B. Después iguale las dos expresiones para la velocidad del punto C. 17.127 El actuador hidráulico BC de la grúa se extiende (aumenta su longitud) a razón de 0.2 ms. En el instante mostrado, cuál es la aceleración angular del aguilón AD de la grúa? D
B
1.4 m
1.2 m
Problemas 17.12817.129 17.130 El collarín en el punto A de la figura se desliza hacia arriba con velocidad constante de 10 ms. La barra AC se desliza a través del collarín en B. Determine la velocidad angular de la barra AC y la velocidad con que ésta se desliza respecto al collarín en B. (Vea el ejemplo 17.8). 17.131 El collarín en el punto A de la figura se desliza hacia arriba con velocidad constante de 10 ms. Determine la aceleración angular de la barra AC y la razón de cambio de la velocidad con que se desliza respecto al collarín en B. (Vea el ejemplo 17.8).
C A
2.4 m 1m
10 m/s A
B 1m
1.8 m
30
1.2 m B
Problemas 17.12617.127
www.FreeLibros.org C
Problemas 17.13017.131
Problemas 17.132 El bloque A mostrado se desliza hacia arriba sobre la superficie inclinada a 2 piess. Determine la velocidad angular de la barra AC y la velocidad del punto C. 17.133 El bloque A mostrado se desliza hacia arriba sobre la superficie inclinada a una velocidad constante de 2 piess. Determine la aceleración angular de la barra AC y la aceleración del punto C. y C
17.138* El disco mostrado rueda sobre la superficie plana con una velocidad angular de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. La barra AB se desliza sobre la superficie del disco en A. Determine la velocidad angular de la barra AB. 17.139* El disco mostrado rueda sobre la superficie plana con una velocidad angular constante de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular de la barra AB.
10 rad/s
B
341
A
2p
ies
45 C
2 pies 6 pulg
B
A x
20
1 pie
2 pies 6 pulg
4 pies 6 pulg
Problemas 17.13217.133 Problemas 17.13817.139 17.134 La velocidad angular de la pala de la excavadora que se muestra en la figura es de 1 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la razón a la que se está extendiendo el actuador hidráulico AB. 17.135 La velocidad angular de la pala de la excavadora que se muestra en la figura es de 1 rads en el sentido de las manecillas del reloj y su aceleración angular es cero. Determine la razón de cambio de la razón a la que se está extendiendo el actuador hidráulico AB.
17.140* La barra BC mostrada gira con una velocidad angular de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Un pasador en B se desliza en una ranura circular de la placa rectangular. Determine la velocidad angular de la placa y la velocidad a la que el pasador se desliza respecto a la ranura circular. 17.141* La barra BC mostrada gira con una velocidad angular constante de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular de la placa.
B C 2 pies A
D 5 pies
1 pie 6 pulg A
E 1 pie
2 pies 6 pulg
Pala
30 mm
B 40 mm C
Problemas 17.13417.135 17.136 Suponga que la barra curva del ejemplo 17.9 gira con una velocidad angular de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. a) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra AB? b) ¿Cuál es la velocidad del bloque B respecto a la ranura? 17.137 Suponga que la barra curva del ejemplo 17.9 tiene una velocidad angular de 4 rads en el sentido de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 10 rads2 en la dirección contraria. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra AB?
40 mm
60 mm
Problemas 17.14017.141 17.142* Derivando la ecuación (17.11) respecto al tiempo y usando la ecuación (17.12), deduzca la ecuación (17.13).
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342
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.7 Marcos de referencia móviles ANTECEDENTES En esta sección se verán de nuevo los temas de los capítulos 13 y 14—el movimiento de un punto y la segunda ley de Newton. En muchas situaciones, es conveniente describir el movimiento de un punto usando un marco de referencia secundario que se mueva respecto a algún marco de referencia primario. Por ejemplo, para medir el movimiento de un punto respecto a un vehículo en movimiento, se puede usar un marco de referencia secundario que esté fijo con respecto al vehículo. Aquí se muestra cómo están relacionadas la velocidad y la aceleración de un punto respecto a un marco de referencia primario con sus valores en un marco de referencia secundario que se mueve. También se analiza cómo aplicar la segunda ley de Newton usando marcos de referencia secundarios cuando el marco de referencia primario es inercial. En el capítulo 14 se mencionó el ejemplo de jugar tenis sobre la cubierta de un barco. Si el barco se traslada con velocidad constante, se puede usar la ecuación ©F = ma expresada en términos de un marco de referencia fijo con respecto al barco para analizar el movimiento de la pelota. No se puede hacer así si el barco gira o modifica su velocidad. Sin embargo, se puede aplicar la segunda ley usando marcos de referencia que aceleran y giran con respecto a un marco de referencia inercial, si se toman en cuenta de manera apropiada la aceleración y la rotación. En la presente sección se explicará cómo hacer esto.
Movimiento de un punto respecto a un marco de referencia móvil Las ecuaciones (17.11) y (17.13) proporcionan la velocidad y la aceleración de un punto arbitrario A respecto a un punto B de un cuerpo rígido en términos de un marco de referencia fijo al cuerpo:
vA = vB + vA rel + * rA>B,
(17.16)
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + * rA>B + * 1 * rA>B2.
(17.17)
Pero estos resultados no requieren suponer que el marco de referencia secundario está conectado a algún cuerpo rígido. Se aplican a cualquier marco de referencia con un origen móvil B y que gira con velocidad angular y aceleración angular respecto a un marco de referencia primario (figura 17.29). Los términos vA y aA y
A
rA/B B
z
rA
x Marco de referencia secundario
rB
www.FreeLibros.org O
Figura 17.29 Un marco de referencia secundario con origen en B y un punto arbitrario A.
Marco de referencia primario
17.7 Marcos de referencia móviles
343
y vA rel A
aA rel
Figura 17.30 Imagínese a usted mismo en reposo respecto al marco de referencia secundario.
B
z
x
son la velocidad y la aceleración de A respecto a un marco de referencia primario. Los términos vA rel y aA rel son la velocidad y la aceleración de A respecto al marco de referencia secundario. Es decir, son la velocidad y la aceleración medidas por un observador que se mueve con el marco de referencia secundario (figura 17.30). Cuando se conoce la velocidad y la aceleración de un punto A respecto a un marco de referencia secundario móvil, se pueden usar las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar la velocidad y la aceleración de A respecto al marco de referencia primario. También se presentarán situaciones en las que se conocen la velocidad y la aceleración de A respecto al marco de referencia primario, en tal caso pueden usarse las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar la velocidad y la aceleración de A respecto a un marco de referencia secundario móvil.
Marcos de referencia inerciales Se dice que un marco de referencia es inercial si se puede usar para aplicar la segunda ley de Newton en la forma ©F = ma. ¿Por qué suele suponerse que un marco de referencia fijo a la Tierra es inercial, aun cuando ésta acelera y gira? ¿Cómo se puede aplicar la segunda ley de Newton usando un sistema coordenado que está fijo respecto a un barco o un avión? Ahora es posible responder esas preguntas. Marco de referencia sin rotación, centrado en la Tierra Se comienza mostrando por qué un marco de referencia sin giro, con su origen en el centro de la Tierra, puede suponerse inercial con el fin de describir movimientos de los objetos cerca de la Tierra. En la figura 17.31a se muestra un marco de referencia hipotético sin giro y sin aceleración con origen en O, y otro marco de referencia secundario sin giro con su centro en la Tierra. La Tierra (y por ende el marco de
B
gB
gB
B rB
rB
O
O (a)
rA/B rA
gA
A F
(b)
www.FreeLibros.org Figura 17.31 (a) Marco de referencia inercial y marco de referencia no giratorio con su origen en el centro de la Tierra. (b) Determinación del movimiento de un objeto A.
344
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
referencia centrado en ella), acelera debido a las atracciones gravitatorias del Sol, la Luna, etcétera. Se denota la aceleración de la Tierra con el vector gB. Suponga que se desea determinar el movimiento de un cuerpo A de masa m (figura 17.31b). A también está sometido a las atracciones gravitatorias del Sol, la Luna, etcétera, y se denota la aceleración gravitatoria resultante con el vector gA. El vector ©F es la suma de todas las otras fuerzas externas que actúan sobre A, incluyendo la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra. La fuerza externa total que actúa en A es ©F + mgA. Se puede aplicar la segunda ley de Newton a A, usando el marco de referencia inercial hipotético:
©F + mgA = maA.
(17.18)
Aquí, aA es la aceleración de A respecto a O. Como el marco de referencia centrado en la Tierra no gira, puede usarse la ecuación (17.17) para escribir aA como
aA = aB + aA rel, donde aA rel es la aceleración de A respecto al marco de referencia centrado en la Tierra. Usando esta relación y la definición de la aceleración de la Tierra aB = gB en la ecuación (17.18), se obtiene
©F = maA rel + m1gB - gA2.
(17.19)
Si el objeto A está en la Tierra o cerca de ella, su aceleración gravitatoria gA debida a la atracción del Sol, etcétera, es casi igual a la aceleración gravitatoria de la Tierra, gB. Si se desprecia la diferencia, la ecuación (17.19) se convierte en
©F = maA rel.
(17.20)
Así, se puede aplicar la segunda ley de Newton usando un marco de referencia sin giro centrado en la Tierra. Aun cuando este marco de referencia acelera, virtualmente la misma aceleración gravitatoria actúa sobre el objeto. Observe que esto no es válido si el objeto no está cerca de la Tierra.
B
rB O
rA/B A
rA
F
Marco de referencia fijo a la Tierra Para muchas aplicaciones, el mejor marco de referencia es un sistema coordenado local fijo a la Tierra. ¿Por qué generalmente se puede suponer que un sistema así es inercial? En la figura 17.32 se muestra un sistema coordenado sin giro con su origen O en el centro de la Tierra y un marco secundario fijo a la Tierra con su origen en un punto B. Como se puede suponer que el marco de referencia sin giro centrado en la Tierra es inercial, se puede escribir la segunda ley de Newton para un cuerpo A de masa m como
©F = maA, Figura 17.32 Un marco de referencia, sin giro, centrado en la Tierra (origen O), un marco de referencia fijo a la Tierra (origen B) y un objeto A.
(17.21)
donde aA es la aceleración de A respecto a O. El marco de referencia fijo a la Tierra gira con la velocidad angular de ésta, que se denota con E. Puede usarse la ecuación (17.17) para escribir la ecuación (17.21) en la forma
©F = maA rel + m3aB + 2E * vA rel + E * 1E * rA>B24,
(17.22)
donde aA rel es la aceleración de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra. Si se pueden despreciar los términos entre corchetes del lado derecho de la ecuación (17.22), el marco de referencia fijo a la Tierra puede tomarse como inercial. Se considerará cada término. (Recuerde, de la definición del producto cruz, que U V UV sen u, donde u es el ángulo entre los dos vectores. Por lo tanto,
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17.7 Marcos de referencia móviles
345
la magnitud del producto cruz está limitada por el producto de las magnitudes de los vectores). • El término E * 1E * rA>B2: La velocidad angular de la Tierra vE es aproximadamente de una revolución por día 7.27 105 rads. Por lo tanto, la magnitud de este término está limitada por v2E ƒ rA>B ƒ = 15.29 * 10-92 ƒ rA>B ƒ . Por ejemplo, si la distancia ƒ rA>B ƒ del origen del marco de referencia fijo a la Tierra al objeto A es de 10,000 m, este término no es mayor que 5.3 105 ms2. • El término aB: Es la aceleración del origen B del marco de referencia fijo a la Tierra respecto al centro de ésta. B se mueve en una trayectoria circular debido a la rotación de la Tierra. Si B se encuentra en la superficie de la Tierra, aB está limitado por v2ERE, donde RE es el radio de la Tierra. Usando el valor RE 6370 km, se encuentra que v2ERE = 0.0337 m/s2. Este valor es muy grande como para despreciarlo, y normalmente se incluye el término como parte del valor local de la aceleración debida a la gravedad. • El término 2E vA rel: Es la aceleración de Coriolis. Su magnitud está limitada por 2EvA rel (1.45 104)vA rel. Por ejemplo, si la magnitud de la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es de 10 ms, este término no es mayor que 1.45 103 ms2. Se observa que en la mayoría de las aplicaciones los términos entre corchetes de la ecuación (17.22) pueden ignorarse. Sin embargo, en algunos casos esto no es posible. La aceleración de Coriolis se vuelve significativa si la velocidad de un objeto respecto a la Tierra es grande, y aun aceleraciones muy pequeñas son importantes si el movimiento tiene que predecirse en un periodo largo de tiempo. En tales casos, aún se puede usar la ecuación (17.22) para determinar el movimiento, pero se deben retener los términos significativos. Cuando se hace esto, los términos entre corchetes suelen moverse al lado izquierdo:
©F - maB - 2mE * vA rel - mE * 1E * rA>B2 = maA rel.
(17.23)
Escrita de esta manera, la ecuación tiene la forma usual de la segunda ley de Newton excepto que el lado izquierdo contiene “fuerzas” adicionales. (Se usan comillas porque las cantidades que representan estos términos no son fuerzas, sino que surgen del movimiento del marco de referencia fijo a la Tierra). Efectos de Coriolis El término 2mE vA rel en la ecuación (17.23) se llama fuerza de Coriolis. Explica cierto número de fenómenos físicos que exhiben comportamientos diferentes en los hemisferios norte y sur. El vector de velocidad angular E de la Tierra apunta hacia el norte. Cuando un objeto en el hemisferio norte, que se está moviendo tangente a la superficie de la Tierra, viaja hacia el norte (figura 17.33a), el producto cruz E vA rel apunta hacia el oeste (figura 17.33b). Por lo tanto, la fuerza de Coriolis señala hacia el este; ocasiona que un objeto que se mueve hacia el norte se desvíe hacia la derecha (figura 17.33c). Si el objeto se está moviendo hacia el sur, la dirección de vA rel se invierte y la fuerza de Coriolis apunta hacia el oeste; su efecto es ocasionar que el objeto que se mueve hacia el sur gire a la derecha (figura 17.33c). Por ejemplo, en el hemisferio norte los vientos que convergen en un centro de baja presión tienden a girar alrededor de él en sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura 17.34a). Cuando un objeto en el hemisferio sur viaja hacia el norte (figura 17.33d), el producto cruz E vA rel apunta hacia el este (figura 17.33e). La fuerza de Coriolis apunta hacia el oeste y ocasiona que el objeto gire hacia la izquierda (figura 17.33f). Si el objeto se está moviendo hacia el sur, la fuerza de Coriolis apun-
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346
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos N
N
E E
vA rel
vA rel
E vA rel (b)
(a) N
(c) N
E
E
vA rel vA rel
(d)
E vA rel
(e)
(f)
Figura 17.33 (a) Objeto en el hemisferio norte que se mueve hacia el norte. (b) Producto cruz de la velocidad angular de la Tierra por la velocidad del objeto. (c) Efectos de la fuerza de Coriolis en el hemisferio norte. (d) Objeto en el hemisferio sur que se mueve hacia el norte. (e) Producto cruz de la velocidad angular de la Tierra por la velocidad del objeto. (f) Efectos de la fuerza de Coriolis en el hemisferio sur.
(a)
(b)
Figura 17.34 Tormentas en (a) el hemisferio norte y (b) el hemisferio sur.
ta hacia el este y ocasiona que el cuerpo gire hacia la izquierda (figura 17.33f). En el hemisferio sur, los vientos que convergen en un centro de baja presión tienden a girar alrededor de él en el sentido de las manecillas del reloj (figura 17.34b).
www.FreeLibros.org Marco de referencia arbitrario ¿Cómo se puede analizar el movimiento de un objeto respecto a un marco de referencia que experimenta un movimiento arbitrario, como el marco de referencia fijo a un vehículo en movimiento? Suponga
17.7 Marcos de referencia móviles
que el marco de referencia primario con su origen en O de la figura 17.35 es inercial y que el marco de referencia secundario con su origen en B experimenta un movimiento arbitrario con velocidad angular y aceleración angular . Se puede escribir la segunda ley de Newton para un objeto A de masa m como
©F = maA,
rB
347 F
rA/B B
A
rA
(17.24)
O
donde aA rel es la aceleración de A respecto a O. Se usa la ecuación (17.17) para escribir la ecuación (17.24) en la forma
©F - m3aB + 2 * vA rel + * rA>B + * 1 * rA>B24 = maA rel, (17.25)
Figura 17.35 Marco de referencia inercial (origen O) y marco de referencia que experimenta un movimiento arbitrario (origen B).
donde aA rel es la aceleración de A respecto al marco de referencia secundario. Ésta es la segunda ley de Newton expresada en términos de un marco de referencia secundario que experimenta un movimiento arbitrario respecto a un marco de referencia primario inercial. Si se conocen las fuerzas que actúan sobre A y el movimiento del marco de referencia secundario, se puede usar la ecuación (17.25) para determinar aA rel.
RESULTADOS
Movimiento de un punto relativa a un marco de referencia móvil y
A
rA/B B
z
rA
x Marco de referencia secundario
rB
O Marco de referencia primario
vA vB vA rel rA/B, Los términos vA, vB, aA, y aB son las velocidades y aceleraciones de los puntos A y B relativas al marco de referencia primario. y son la velocidad y la aceleración angulares del marco de referencia secundario relativas al marco de referencia primario. Los términos vA rel y aA rel son la velocidad y la aceleración de A relativa al marco de referencia secundario.
(17.16)
aA aB aA rel 2 vA rel rA/B ( rA/B). (17.17) En ecuaciones planares, la ecuación (17.17) puede escribirse de la siguiente forma
www.FreeLibros.org aA aB aA rel 2 vA rel rA/B v2rA/B.
348
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Marcos de referencia inerciales Se dice que un marco de referencia es inercial si éste puede usarse para aplicar la segunda ley de Newton en la forma F ma.
rB
F
rA/B B
A
rA O
Se supone que el marco de referencia con origen O es inercial. El marco de referencia secundario con origen B experimenta un movimiento arbitrario respecto al marco de referencia inercial. y son la velocidad y la aceleración angulares del marco de referencia secundario respecto al marco de referencia inercial. El punto A es el centro de masa de un objeto con masa m.
Ejemplo activo 17.10
La segunda ley de Newton para el objeto A puede expresarse en términos de la aceleración de A respecto al marco de referencia inercial. F maA.
(17.24)
Usando la ecuación (17.17), la segunda ley de Newton también puede expresarse en términos de la aceleración de A respecto al marco de referencia secundario: F m[aB 2 vA rel rA/B ( rA/B)] maA rel.
(17.25)
Cuando la segunda ley de Newton se expresa de esta forma, aparecen “fuerzas” adicionales en el lado izquierdo de la ecuación las cuales son artificios surgidos del movimiento del marco de referencia secundario.
Un marco de referencia secundario giratorio ( Relacionado con el problema 17.143) El carrusel mostrado gira con velocidad angular constante v respecto a un marco de referencia primario que está fijo en relación con la Tierra. Suponga que usted está en el centro en B y observa el movimiento de una segunda persona A, usando un sistema coordenado que está fijo respecto al carrusel. La persona A está de pie sobre el suelo enseguida del carrusel. En el instante mostrado, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración de la persona respecto al marco de referencia creado por usted? y
v B
A A
B O
x
R
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17.7 Marcos de referencia móviles
349
Estrategia La persona A está en reposo respecto a la Tierra, por lo que su velocidad y aceleración respecto al marco de referencia primario son conocidas. Se pueden usar las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar su velocidad vA rel y su aceleración aA rel respecto al marco de referencia secundario. Solución
vA vB vA rel rA/B: i j k 0 0 vA rel 0 0 v R 0 0
Aplique la ecuación (17.16)
0 vA rel vRj. La velocidad de la persona respecto a su marco de referencia es vA rel vRj. aA aB aA rel 2 vA rel rA/B v2rA/B: i
j
k
0 0 aA rel 2 0 0 v 0 v2 (Ri) 0 vR 0
Aplique la ecuación (17.17)
0 aA rel 2v2Ri v2Ri. La aceleración de la persona respecto a su marco de referencia es aA rel v2Ri. v
y
B
v2R
A
x
Aunque la persona A está en reposo con respecto a la Tierra, tiene una velocidad y una aceleración respecto al marco de referencia giratorio.
vR
y
v
Problema de práctica Suponga que la persona A no está de pie sobre el suelo, sino que está parada sobre el borde externo del carrusel, moviéndose con él. Ahora la persona está en reposo respecto al marco de referencia secundario. Use las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar su velocidad y su aceleración respecto a la Tierra.
A
B O
x
R
www.FreeLibros.org Respuesta: vA = vRj, aA = - v2Ri.
350
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.11
Marco de referencia fijo con respecto a un barco ( Relacionado con el problema 17.147) En el instante mostrado, el barco B se mueve hacia el norte con velocidad constante de 15.0 ms respecto a la Tierra y está girando hacia el oeste a razón constante de 5.0° por segundo. Respecto al sistema coordenado fijo en el barco, su radar indica que la posición, velocidad y aceleración del helicóptero A son
rA>B = 420.0i + 236.2j + 212.0k 1m2,
vA rel = - 53.5i + 2.0j + 6.6k 1m/s2, y
aA rel = 0.4i - 0.2j - 13.0k 1m/s22. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del helicóptero respecto a la Tierra?
y A
rA/B
x
B
Estrategia Se tiene la velocidad del barco y suficiente información para determinar su aceleración, velocidad angular y aceleración angular respecto a la Tierra. También se conoce la posición, la velocidad y la aceleración del helicóptero respecto al sistema coordenado secundario fijo al cuerpo. Por lo tanto, se pueden usar las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar la velocidad y la aceleración del helicóptero respecto a la Tierra. Solución En términos del sistema coordenado fijo al cuerpo, la velocidad del barco es v B 15.0i (ms). La velocidad angular del barco debido a su razón de giro es v (5.0180)p 0.0873 rads. El barco está girando respecto al eje y. Si el arco de los dedos de la mano derecha señala en la dirección de la rotación del barco alrededor del eje y, se encuentra que el pulgar señala en la dirección y positiva, por lo que el vector de velocidad angular es 0.0873j (rads). La velocidad del helicóptero respecto a la Tierra es
vA = vB + vA rel + * rA>B = 15.0i + 1 -53.5i + 2.0j + 6.6k2 + 3
i 0 420.0
j 0.0873 236.2
k 0 3 212.0
www.FreeLibros.org = - 20.0i + 2.0j - 30.1k 1m/s2.
17.7 Marcos de referencia móviles
351
Se puede determinar la aceleración del barco expresándola en sus componentes normal y tangencial en la forma dada por la ecuación (13.37) (figura a):
aB =
du dv u e + v en = 0 + 115210.08732en dt t dt = 1.31en 1m/s22.
El eje z es perpendicular a la trayectoria del barco y señala hacia su lado convexo (figura b). Por lo tanto, en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo, la aceleración del barco es aB 1.31k (ms2). El vector de la velocidad angular del barco es constante, por lo que 0. La aceleración del helicóptero respecto a la Tierra es
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + * rA>B + * 1 * rA>B2 = - 1.31k + 10.4i - 0.2j - 13.0k2 + 2 3
+ 0 + 10.0873j2 * 3
i 0 420.0
j 0.0873 236.2
i 0 -53.5
j 0.0873 2.0
k 0 3 6.6
k 0 3 212.0
= - 1.65i - 0.20j - 6.59k 1m/s22.
en
x et
en et
u
z
(a) Determinación de la aceleración del barco.
(b) Correspondencia entre las componentes normal y tangencial y el sistema coordenado fijo al cuerpo.
Razonamiento crítico Observe las diferencias sustanciales entre la velocidad y la aceleración del helicóptero respecto a la Tierra y los valores que el barco mide usando su sistema coordenado fijo al cuerpo. Los instrumentos del barco, como los usados en cualquier vehículo en movimiento, intrínsecamente hacen mediciones respecto a un marco de referencia fijo al cuerpo. Las ecuaciones (17.16) y (17.17) deben usarse para transformar las mediciones de velocidad y aceleración en valores relativos a otros marcos de referencia.
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352
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.12
Un marco de referencia fijo a la Tierra ( Relacionado con el problema 17.151) El satélite A está en una órbita polar circular (órbita que interseca al eje de rotación de la Tierra). Respecto a un marco de referencia primario que no gira, con su origen en el centro de la Tierra, el satélite se mueve en una trayectoria circular de radio R con una velocidad de magnitud constante vA. En el instante presente, el satélite está sobre el ecuador. El marco de referencia secundario fijo a la Tierra que se muestra en la figura está orientado con el eje y en la dirección del polo norte y el eje x en dirección del satélite. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del satélite respecto al marco de referencia fijo a la Tierra? Sea vE la velocidad angular de la Tierra.
y
N vA
A
B
x
R
Estrategia Se tiene información suficiente para determinar la velocidad y la aceleración del satélite, vA y aA, respecto al marco de referencia primario no giratorio y el vector de velocidad angular del marco de referencia secundario. Por lo tanto, se pueden usar las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar la velocidad y la aceleración del satélite respecto al marco de referencia fijo a la Tierra, vA rel y aA rel.
Solución En el instante presente, la velocidad y la aceleración del satélite respecto a un marco de referencia primario no giratorio con su origen en el centro de la Tierra son vA = vA j y aA = - 1v2A>R2i. El vector de velocidad angular de la Tierra apunta hacia el norte (confirme esto usando la regla de la mano derecha), por lo que la
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17.7 Marcos de referencia móviles
353
velocidad angular del marco de referencia fijo a la Tierra es = vE j. A partir de la ecuación (17.16),
vA = vB + vA rel + * rA>B: i vA j = 0 + vA rel + 3 0 R
j vE 0
k 03. 0
Despejando vA rel, se encuentra que la velocidad del satélite respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es
vA rel = vA j + RvE k. El segundo término en el lado derecho de esta ecuación es la velocidad del satélite hacia el oeste respecto al marco de referencia giratorio fijo a la Tierra. A partir de la ecuación (17.17),
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + * rA>B + * 1 * rA>B2: i v2A 3 - i = 0 + aA rel + 2 0 R 0
j vE vA
k i 3 3 0 + 0 + 0 0 RvE
j vE 0
k 0 3. - RvE
Despejando aA rel, se encuentra la aceleración del satélite respecto al marco de referencia fijo a la Tierra:
aA rel = - a
v2A + v2ER b i. R
Razonamiento crítico En este ejemplo, se supuso que el movimiento del satélite se conocía respecto a un marco de referencia primario no giratorio con su origen en el centro de la Tierra, y se usaron las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar su velocidad y su aceleración respecto a un marco de referencia secundario fijo a la Tierra. En la práctica, es más común el procedimiento inverso. Los instrumentos de medición terrenos miden la aceleración y la velocidad respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, y las ecuaciones (17.16) y (17.17) se usan para determinar sus valores respecto a otros marcos de referencia.
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354
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.13
Marcos de referencia inerciales ( Relacionado con el problema 17.154) Suponga que usted y un amigo juegan tenis sobre la cubierta de un barco, y que usa el sistema coordenado fijo en el barco con origen en B para analizar el movimiento de la pelota A. En el instante mostrado, la posición y velocidad de la pelota respecto al sistema coordenado fijo en el barco son rAB 5i 2j 12k (m) y vrel A i 2j 7k (ms). La masa de la pelota es de 0.056 kg. Desprecie la fuerza aerodinámica que actúa sobre la pelota en el instante mostrado. Como resultado del movimiento del barco, la aceleración del origen B respecto a la Tierra es aB 1.10i 0.07k (ms2), y la velocidad angular del sistema coordenado fijo al barco es constante e igual a 0.1j (rads). Use la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de la pelota respecto al sistema coordenado fijo al barco, (a) suponiendo que el sistema coordenado fijo al barco es inercial y (b) sin suponer que el sistema coordenado fijo al barco es inercial, pero suponiendo que un sistema coordenado local fijo a la Tierra es inercial.
y
B A
x
z
Estrategia En el inciso (a), se conoce la masa de la pelota y las fuerzas externas que actúan sobre ella, por lo que se puede aplicar la segunda ley de Newton para determinar la aceleración. En la parte (b) se puede expresar la segunda ley de Newton en la forma dada por la ecuación (17.25), que se aplica a un sistema coordenado que experimenta un movimiento arbitrario respecto a un sistema coordenado inercial. Solución (a) Si se supone que el sistema coordenado fijo al barco es inercial, se puede aplicar la segunda ley de Newton a la pelota en la forma ©F = maA rel. La única fuerza externa sobre la pelota es el peso,
- 10.056219.812j = 0.056aA rel,
www.FreeLibros.org por lo que se obtiene aA rel = - 9.81j 1m/s22.
Problemas
355
(b) Si se considera que el marco de referencia fijo a la Tierra es inercial, se puede
resolver la ecuación (17.25) para la aceleración de la pelota respecto al marco de referencia fijo al barco:
1 ©F - aB - 2 * vA rel - * rA>B - * 1 * rA>B2 m i j k 1 3 - 10.056219.812j4 - 11.10i + 0.07k2 - 2C 0 0.1 0 S = 0.056 1 -2 7
aA rel =
i - 0 - 10.1j2 * C 0 5
j 0.1 2
k 0S 12
= - 2.45i - 9.81j + 0.25k 1m/s22. Razonamiento crítico En este ejemplo se ilustra lo cuidadoso que se debe ser al aplicar la segunda ley de Newton. Cuando se supone que el sistema coordenado fijo al barco es inercial, la segunda ley de Newton no predijo correctamente la aceleración de la pelota respecto al sistema coordenado, porque no se tomaron en cuenta los efectos del movimiento del sistema coordenado sobre el movimiento relativo de la pelota.
Problemas 17.143 En el ejemplo activo 17.10, suponga que el carrusel tiene una velocidad angular v en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una aceleración angular a en la misma dirección. La persona A aún está de pie sobre el suelo. En el instante mostrado, determine la aceleración de la persona respecto al marco de referencia creado por usted.
17.145 La placa metálica de la figura está unida a un soporte de bola y cuenca en O. El pasador A se desliza en una ranura de la placa. En el instante mostrado, xA = 1 m, dxA>dt = 2 m/s, y d2xA>dt2 = 0, y la velocidad y aceleración angulares de la placa son = 2k 1rad/s2 y A = 0. ¿Cuáles son las componentes x, y, z de la velocidad y aceleración de A respecto a un marco de referencia sin giro y con su origen en O?
17.144 El sistema de coordenadas x-y está fijo al cuerpo con respecto a la barra. El ángulo u (en radianes) está dado como una función del tiempo por u 0.2 0.04t2. La coordenada x del collarín A (en pies) está dada en función del tiempo por x 1 0.03t3. Use la ecuación (17.16) para determinar la velocidad del collarín en t 4 s respecto a un marco de referencia no giratorio con su origen en B. (Aunque se está determinando la velocidad de A respecto a un marco de referencia no giratorio, su respuesta se expresará en términos de componentes del marco de referencia fijo al cuerpo).
17.146 El pasador A se desliza en una ranura de la placa que se muestra en la figura. Suponga que en el instante mostrado, xA = 1 m, dxA>dt = - 3 m/s, d2xA>dt2 = 4 m/s2, y que la velocidad y la aceleración angulares de la placa son = - 4j + 2k 1rad/s2 y = 3i - 6j 1rad/s22. ¿Cuáles son las componentes x, y, z de la velocidad y aceleración de A respecto a un marco de referencia sin rotación que está en reposo respecto a O? y
x y A x
B
u
x
A
y 0.25x2 m
www.FreeLibros.org Problema 17.144
O
Problemas 17.14517.146
356
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.147 El sistema coordenado que se muestra está fijo respecto al barco B. En el instante mostrado, el barco se dirige hacia el norte a 5 ms respecto a la Tierra y su velocidad angular es de 0.26 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Usando un radar, se determina que la posición del avión es 1080i 1220j 6300k (m) y que su velocidad respecto al sistema coordenado del barco es 870i 45j – 21k (ms). ¿Cuál es la velocidad del avión respecto a la Tierra? (Vea el ejemplo 17.11).
17.149 El tren sobre la vía circular de la figura viaja a una velocidad constante de 50 piess en la dirección mostrada. El tren sobre la vía recta viaja a 20 piess en la dirección mostrada e incrementa su velocidad a razón de 2 piess2. Determine la velocidad del pasajero A que el pasajero B observa respecto al sistema de coordenadas dado, el cual está fijo al vagón en que viaja B. 17.150 En el problema 17.149, determine la aceleración del pasajero A que el pasajero B observa respecto al sistema coordenado fijo al vagón en que viaja B.
y A y
50
0p
ies
N
500 pies B B
x
A
50 pies/s
x
20 pies/s
Problema 17.147 17.148 El transbordador espacial mostrado intenta recuperar un satélite para repararlo. En el momento actual, la posición del satélite respecto a un sistema coordenado fijo al transbordador es 50i (m). Los giróscopos del transbordador indican que su velocidad angular actual es 0.05j 0.03k (rads). El piloto del transbordador mide la velocidad del satélite respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo y determina que es 2i 1.5j 2.5k (rads). ¿Cuáles son las componentes x, y, z de la velocidad del satélite respecto a un sistema coordenado sin giro con su origen fijo al centro de masa del transbordador? y
x
Problemas 17.14917.150 17.151 El satélite A está en órbita circular polar (órbita que interseca al eje de rotación de la Tierra). El radio de la órbita es R, y la magnitud de la velocidad del satélite respecto a un marco de referencia sin giro con origen en el centro de la Tierra es vA. En el instante mostrado, el satélite se encuentra sobre el ecuador. Un observador B sobre la Tierra directamente abajo del satélite mide su movimiento usando el sistema coordenado fijo a la Tierra que se muestra en la figura. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del satélite respecto al sistema coordenado de B fijo a la Tierra? El radio de la Tierra es RE y su velocidad angular es vE. (Vea el ejemplo 17.12). y
50 m
N
vA
Problema 17.148 RE
B
A
R
x
www.FreeLibros.org Problema 17.151
Problemas 17.152 Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en una carretera con orientación norte-sur a una velocidad constante v. El radio de la Tierra es RE y su velocidad angular es vE. (El vector de velocidad angular de la Tierra apunta hacia al norte). El sistema coordenado está fijo a la Tierra y el eje x pasa por la posición del automóvil en el instante mostrado. Determine la velocidad y la aceleración del automóvil a) respecto al sistema coordenado fijo a la Tierra y b) respecto a un marco de referencia sin giro con su origen en el centro de la Tierra. N y v
17.154 Para realizar experimentos relacionados con vuelos espaciales de larga duración, ciertos ingenieros construyen en la Tierra un laboratorio que gira alrededor del eje vertical en B con velocidad angular constante v de una revolución cada 6 s. Se establece un sistema coordenado fijo al laboratorio con su origen en B y el eje z dirigido hacia arriba. Un ingeniero sostiene un objeto en el punto A, a 3 m del eje de rotación, y lo suelta. En el instante en que suelta el objeto, determine su aceleración relativa al sistema coordenado fijo al laboratorio a) suponiendo que el sistema coordenado fijo al laboratorio es inercial; b) sin suponer que el sistema coordenado fijo al laboratorio es inercial, pero suponiendo que un sistema coordenado fijo a la Tierra con origen en B sí es inercial. (Vea el ejemplo 17.13).
x
y
A v
L B
357
RE
A
B
Problema 17.152 17.153 En la figura, el avión B realiza pruebas de vuelo de un misil. En el instante mostrado, el avión viaja a 200 ms respecto a la Tierra en una trayectoria circular de 2000 m de radio en un plano horizontal. El sistema coordenado está fijo respecto al avión. El eje x es tangente a la trayectoria y apunta hacia adelante. El eje y apunta hacia afuera del lado derecho del avión y el z hacia afuera del piso del avión. El ángulo del avión (la inclinación del eje z respecto a la vertical) es constante e igual a 20°. Respecto al sistema coordenado del avión, el piloto mide la posición y la velocidad del cohete y determina que éstos son rA>B = 1000 i 1m2 y vA>B = 100.0 i + 94.0j + 34.2k 1m/s2.
x
3m y
B
A x
Problema 17.154
a) ¿Cuáles son las componentes x, y, z del vector de velocidad angular del avión? b) ¿Cuáles son las componentes x, y, z de la velocidad del misil respecto a la Tierra?
2000 m y B
x A
www.FreeLibros.org 20
z
Problema 17.153
358
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.155 El disco mostrado gira en el plano horizontal alrededor de un eje fijo en el origen con velocidad angular constante v 10 rads. El bloque deslizante A de 2 kg se mueve en una ranura lisa del disco. El resorte no está estirado cuando x 0 y su constante es k 400 Nm. Determine la aceleración de A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo cuando x 0.4 m.
17.157* Considere un punto A sobre la superficie de la Tierra con latitud norte L. El radio de la Tierra es RE y su velocidad angular es vE. Una plomada suspendida justo sobre el suelo en A cuelga con un pequeño ángulo b respecto a la vertical debido a la rotación de la Tierra. Demuestre que b se relaciona con la latitud por
Estrategia: Use la ecuación (17.25) a fin de expresar la segunda ley de Newton para el bloque deslizante en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo.
tan b =
sin L cos L v 2ERE sen g - v 2ERE cos2 L
.
Estrategia: Usando el sistema coordenado fijo a la Tierra que se muestra en la figura, exprese la segunda ley de Newton en la forma dada por la ecuación (17.22).
y
v
N x
x
y x
k
x
A
b
A L B RE
A
Problema 17.155 17.156* Ciertos ingenieros realizan pruebas de vuelo de un cohete a 30° de latitud norte. Los ingenieros miden el movimiento del cohete usando un sistema coordenado fijo a la Tierra con el eje x dirigido hacia arriba y el eje y hacia el norte. En un instante particular, la masa del cohete es de 4000 kg, su velocidad relativa al sistema coordenado de los ingenieros es 2000i 2000j (ms) y la suma de las fuerzas ejercidas sobre el cohete por su empuje, peso y fuerzas aerodinámicas es 400i 400j (N). Determine la aceleración del cohete respecto al sistema coordenado de los ingenieros a) suponiendo que su sistema coordenado fijo a la Tierra es inercial y b) sin suponer que su sistema coordenado fijo a la Tierra es inercial. N y x
Problema 17.157 17.158* Suponga que una estación espacial está en órbita alrededor de la Tierra y que dos astronautas dentro de ella se lanzan entre sí una pelota. Observan que la pelota parece viajar entre ellos en línea recta a velocidad constante. a) Escriba la segunda ley de Newton para la pelota al viajar entre ellos en términos de un sistema coordenado sin giro con su origen fijo a la estación. ¿Qué es el término ©F? Use la ecuación que escribió para explicar el comportamiento de la pelota observado por los astronautas. b) Escriba la segunda ley de Newton para la pelota al viajar entre ellos en un sistema coordenado sin giro con su origen fijo al centro de la Tierra. ¿Qué es el término ©F? Explique la diferencia entre esta ecuación y la obtenida en el inciso a).
30
Problema 17.156
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Problemas de repaso
359
Problemas de repaso 17.159 Si u 60° y la barra OQ mostrada gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj a 5 rads, ¿cuál es la velocidad angular de la barra PQ?
17.160 Si u 55° y el collarín P mostrado se mueve hacia la izquierda a 2 ms, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras OQ y PQ?
17.162 Si el cigüeñal AB mostrado gira a 2000 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la velocidad del pistón? 17.163 Si el pistón mostrado se mueve con velocidad vC 20j (piess), ¿cuáles son las velocidades angulares del cigüeñal AB y de la biela BC? 17.164 Si el pistón mostrado se mueve con velocidad vC 20j (piess) y su aceleración es cero, ¿cuáles son las aceleraciones angulares del cigüeñal AB y de la biela BC?
Q 400 mm
200 mm
y u O P C
Problemas 17.15917.160 5 pu
lg
17.161 En la figura, determine la velocidad vertical vH del gancho y la velocidad angular de la polea pequeña.
A
x
2
pu
lg
45 B
Problemas 17.162–17.164 120 mm/s 40 mm
vH
Problema 17.161
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360
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.165 La barra AB mostrada gira a 6 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar la velocidad angular de la barra BCD y la velocidad del punto D.
17.170 En la figura, los puntos B y C están en el plano x-y. Los vectores de velocidad angular de los brazos AB y BC son AB 0.5k (rads) y BC 2.0k (rads). Determine la velocidad del punto C.
17.166 La barra AB mostrada gira a una velocidad angular constante de 6 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración del punto D.
17.171 Si la velocidad del punto C de la figura es vC 1.0i (ms), ¿cuáles son los vectores de velocidad angular de los brazos AB y BC?
y
17.172 Los vectores de velocidad angular de los brazos AB y BC de la figura son AB 0.5k (rads), y BC 2.0k (rads), y sus vectores de aceleración angular son AB 1.0k (rads2) y BC 1.0k (rads2). ¿Cuál es la aceleración del punto C?
D
8 pulg C
17.173 La velocidad del punto C de la figura es vC 1.0i (ms) y aC 0. ¿Cuáles son los vectores de la velocidad y la aceleración angulares del brazo BC? 12 pulg y 6 rad/s B
A
x 8 pulg
6 pulg
760
4 pulg
C
mm
Problemas 17.16517.166
50
m
m
15
0
A
x
90
17.167 El punto C de la figura se está moviendo hacia la derecha a 20 pulgs. ¿Cuál es la velocidad del punto medio G de la barra BC?
B
z
17.168 El punto C de la figura se está moviendo hacia la derecha con una velocidad constante de 20 pulgs. ¿Cuál es la aceleración del punto medio G de la barra BC? 17.169 Si la velocidad del punto C de la figura es vC 1.0i (pulgs), ¿cuáles son los vectores de velocidad angular de los eslabones AB y BC? Problemas 17.170–17.173 y B
4 pulg
17.174 La manivela AB tiene una velocidad angular constante de 200 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración del pistón P?
G
A
B 3 pulg C
x
2 pulg
A P
4 pulg
10 pulg
Problemas 17.167–17.169
2 pulg
6 pulg
www.FreeLibros.org Problema 17.174
361
Problemas de repaso 17.175 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 20 rads2 en la dirección de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular de la barra BC y la aceleración del punto C.
17.178 Si se desea programar el robot de manera que en el instante mostrado la velocidad del punto D sea vD 0.2i 0.8j (ms) y la velocidad angular del brazo CD sea 0.3 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuáles son las velocidades angulares necesarias de los brazos AB y BC? y
y 8 pulg
6 pulg
250
m 0m
mm
30
10 rad/s A
30
B
B
20
D
C 20 rad/s
A
4 pulg
2
C
x 250 mm
x
Problema 17.175 17.176 En la figura, la velocidad angular del brazo AC es de 1 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad angular de la pala? 17.177 La velocidad angular del brazo AC mostrado es de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj y su aceleración angular es de 4 rads2 en la dirección de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la pala?
Problema 17.178
17.179 El engrane planetario está en reposo, y el engrane central gira a 120 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de los engranes periféricos y la magnitud de la velocidad de sus centros.
7 pulg
1m D
Engrane anular
34 pulg 20 pulg
C 1m 0.6 m B
A
Engranes periféricos (3)
0.15 m
0.6 m
Engrane central
Pala
Problemas 17.17617.177
Problema 17.179
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362
Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.180 El brazo AB mostrado gira a 10 rads en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular del brazo BC y la velocidad a la que se desliza respecto al collarín en C.
17.184 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular constante de 2 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. El collarín C de 1 kg se desliza sobre la barra horizontal lisa. En el instante mostrado, ¿cuál es la tensión en el cable BC?
17.181 El brazo AB mostrado gira a una velocidad angular de 10 rads y una aceleración angular de 20 rads2, ambas en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular del brazo BC.
B
2m B 1.8
C
m
A
30 1m
A
2m
C
Problema 17.184 2m
Problemas 17.18017.181 17.182 El brazo AB mostrado gira a una velocidad angular constante de 10 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad y la aceleración verticales de la cremallera R del engrane de piñón y cremallera.
17.185 El atleta de la figura ejercita su brazo levantando una masa m de 8 kg. La articulación del hombro A está en reposo. La distancia AB es de 300 mm, la distancia BC es de 400 mm y la distancia de C a la polea es de 340 mm. Las velocidades angulares vAB 1.5 rads y vBC 2 rads son constantes. ¿Cuál es la tensión en el cable?
C
17.183 La cremallera R del engrane de piñón y cremallera mostrado se mueve hacia arriba a una velocidad constante de 10 piess, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración angulares de la barra BC?
30
vBC
vAB
B
60
C A 12 pulg
B
m
10 pulg 6 pulg D
A
R 6 pulg
16 pulg
Problema 17.185
6 pulg
Problemas 17.18217.183
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Problemas de repaso 17.186 El actuador hidráulico BC de la grúa se extiende (aumenta su longitud) a una razón constante de 0.2 ms. Cuando el ángulo b 35°, ¿cuál es la velocidad angular del aguilón AD de la grúa?
2m
3m
D
Proyecto de diseño La barra AB mostrada gira alrededor del punto fijo A con velocidad angular constante v0. a) Determine las longitudes necesarias de las barras AB y BC para que cuando la barra AB gire, el collarín C se mueva alternadamente entre las posiciones D y E. b) Dibuje gráficas de la velocidad y la aceleración del collarín C como funciones de la posición angular de la barra AB. c) Suponga que una restricción de diseño es que la magnitud de la aceleración del collarín C no debe ser mayor de 200 ms2. ¿Cuál es el valor permisible máximo de v0?
C
b A
363
B
B
v0
2m A
0.8 m
Problem 17.186 D
17.187 El sistema coordenado de la figura está fijo respecto al barco B. Éste usa su radar para medir la posición de una boya A estacionaria y determina que es 400i 200j (m). También mide la velocidad de la boya respecto a su sistema coordenado fijo al cuerpo y determina que es 2i 8j (ms). ¿Cuáles son la velocidad y la velocidad angular del barco respecto a la Tierra? (Suponga que la velocidad del barco es en la dirección del eje y).
0.8 m
C
E
1.0 m
y
A
B
x
Problema 17.187
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CAPÍTULO
18 Dinámica plana de cuerpos rígidos En el capítulo 17 se analizaron los movimientos planos de cuerpos rígidos sin considerar las fuerzas y pares que los producen; en este capítulo se deducen ecuaciones planas para el movimiento angular de un cuerpo rígido. Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un objeto y aplicar las ecuaciones de movimiento, es posible determinar la aceleración de su centro de masa y su aceleración angular en términos de las fuerzas y pares a los cuales está sometido.
M
a
Los ciclistas ejercen fuerzas sobre los pedales de las bicicletas ejercitadoras, lo que resulta en movimientos planos de los cigüeñales, la cadena y las ruedas.
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366
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.1 Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas ANTECEDENTES Las deducciones de las ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos se basan en los principios que rigen el movimiento de un sistema de partículas. En esta sección se resumen estos importantes principios generales. mi
ri
O
Figura 18.1 Sistema de partículas. El vector ri es el vector de posición de la i-ésima partícula.
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal Se comienza por mostrar que la suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total. Considere un sistema de N partículas; la masa de la i-ésima partícula se denota con mi y su vector de posición respecto al origen O de un marco de referencia inercial es ri (figura 18.1). Sea fij la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre la j-ésima partícula y sea f Ei la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total ejercida por objetos ajenos al sistema de partículas considerado). La segunda ley de Newton establece que la fuerza total sobre la i-ésima partícula es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal; es decir,
d E a fij + f i = dt 1mivi2, j
(18.1)
donde vi = dri >dt es la velocidad de la i-ésima partícula. Escribiendo esta ecuación para cada partícula del sistema y sumando desde i = 1 hasta N, se obtiene
d E a a fij + a f i = dt a mivi. i j i i
(18.2)
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de las fuerzas internas sobre el sistema de partículas. Como consecuencia de la tercera ley de Newton 1fij + fji = 02, este término es igual a cero:
Á = 0. a a fij = f12 + f21 + f13 + f31 + i
j
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (18.2) es la suma de las fuerzas externas sobre el sistema. Denotándolo con ©F, se concluye que la suma de las fuerzas externas sobre el sistema es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total:
d mivi. dt a i
©F =
(18.3)
Sea m la suma de las masas de las partículas:
m = a mi. i
La posición del centro de masa del sistema es
r =
a miri i
m
,
por lo que la velocidad del centro de masa es
(18.4)
www.FreeLibros.org v =
a mivi dr i . = m dt
18.1 Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas
367
Usando esta expresión, se puede escribir la ecuación (18.3) como
©F =
d 1mv2. dt
La fuerza externa total sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio del producto de su masa total por la velocidad de su centro de masa. Dado que cualquier objeto o colección de objetos, incluyendo un cuerpo rígido, se puede modelar como un sistema de partículas, este resultado es uno de los más generales y elegantes de la mecánica. Además, si la masa total m es constante, se obtiene ©F = ma, donde a = dv>dt es la aceleración del centro de masa. Se observa que la fuerza externa total es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de masa.
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular mi
Ahora se obtienen relaciones entre la suma de los momentos debidos a las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas y la razón de cambio de su momento angular total. En la figura 18.2, ri es el vector de posición de la i-ésima partícula de un sistema de partículas, r es el vector de posición del centro de masa del sistema y Ri es el vector de posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa. Estos vectores están relacionados por ri = r + Ri.
Ri ri r
(18.5) O
Se toma el producto cruz de la segunda ley de Newton para la i-ésima partícula, (ecuación 18.1), por el vector de posición ri y la suma desde i = 1 hasta N, escribiendo la ecuación resultante de la forma
d E a a r i * f ij + a ri * f i = dt a ri * mi vi. i j i i
Figura 18.2 El vector Ri es el vector de posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa.
(18.6)
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por las demás partículas del sistema. Este término desaparece si se supone que las fuerzas mutuas ejercidas por cada par de partículas no sólo son iguales y opuestas sino que también están dirigidas a lo largo de la recta entre las dos partículas. Por ejemplo, considere las partículas 1 y 2 de la figura 18.3. Si las fuerzas que ejercen las partículas entre sí están dirigidas a lo largo de la recta entre las partículas, se puede escribir el momento respecto a O como
r1 * f12 + r1 * f21 = r1 * 1f12 + f212 = 0.
f21
(18.7)
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (18.6) es la suma de los momentos respecto a O debido a las fuerzas y pares externos, que se denota con ©MO. Se escribe la ecuación (18.6) como
dHO , dt
©MO =
(18.8)
donde
2
f12 1 r2 r1
O
Figura 18.3 Partículas 1 y 2 y las fuerzas que ejercen entre sí. Si las fuerzas actúan a lo largo de la línea entre las partículas, su momento total respecto a O es igual a cero.
www.FreeLibros.org HO = a ri * mivi i
(18.9)
368
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
es la cantidad de movimiento angular total respecto a O. La suma de los momentos respecto a O es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular total respecto a O. Usando las ecuaciones (18.4) y (18.5), se puede escribir la ecuación (18.8) como
©MO =
d 1r * mv + H2, dt
(18.10)
donde
dRi H = a Ri * mi dt i
mv
r
(18.11)
es la cantidad de movimiento angular total del sistema respecto al centro de masa. También es necesario determinar la relación entre la suma de los momentos respecto al centro de masa del sistema, que se denota con ©M, y H. Se puede obtener esta relación haciendo que el punto fijo O coincida con el centro de masa en el instante presente. En ese caso, ©MO = ©M y r = 0, y de la ecuación (18.10) se observa que
H
O HO H r mv
©M =
Figura 18.4 El momento angular respecto a O es igual a la suma del momento angular respecto al centro de masa y el momento angular respecto a O debido a la velocidad del centro de masa.
dH . dt
(18.12)
La suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa. Las cantidades de movimiento angulares respecto al punto O y respecto al centro de masa están relacionadas por (figura 18.4) HO = H + r * mv.
(18.13)
RESULTADOS Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido pueden obtenerse a partir de los principios que rigen el movimiento de un sistema de partículas. En la presente sección se resumen estos principios.
Considere un sistema de N partículas. Sea mi la masa de la i-ésima partícula, y sea ri su posición respecto al origen O de un marco de referencia inercial. La posición del centro de masa del sistema es r
i miri
m ,
donde m es la masa total del sistema y
mi Ri ri
(18.4)
i denota la
r
www.FreeLibros.org suma desde i 1 hasta N. El vector Ri es la posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa.
O
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
369
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal La suma de las fuerzas externas sobre un sistema de partículas (que puede representar virtualmente cualquier objeto, incluyendo un cuerpo rígido) es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal. La cantidad de movimiento lineal es el producto de la masa total m y la velocidad v dr/dt del centro de masa. El término a dv/dt es la aceleración del centro de masa.
F
d (mv). dt
Si la masa total es constante F m
da . dt
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular La suma de los momentos respecto al origen O debidos a las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular total respecto a O.
La suma de los momentos respecto al centro de masa debidos a las fuerzas que actúan sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular total respecto al centro de masa. Relación entre la cantidad de movimiento angular total HO respecto al origen y la cantidad de movimiento angular total H respecto al centro de masa.
dHO (18.8) , dt donde la cantidad de movimiento angular total respecto a O es MO
HO
i ri mivi.
M
dH , dt
(18.9)
(18.12)
donde la cantidad de movimiento angular total respecto al centro de masa es dRi (18.11) H Ri mi dt i
HO H r mv.
(18.13)
18.2 Ecuaciones de movimiento plano ANTECEDENTES Ahora se deducirán las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido en movimiento plano. Ya hemos mostrado que la fuerza externa total sobre cualquier objeto es igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa: ©F = ma.
(18.14)
Esta ecuación, llamada segunda ley de Newton, describe el movimiento del centro de masa de un cuerpo rígido. Para deducir las ecuaciones del movimiento angular, primero se considera la rotación alrededor de un eje fijo y luego el movimiento plano general.
Rotación alrededor de un eje fijo
www.FreeLibros.org Sea O un punto que está en reposo respecto a un marco de referencia inercial y sea LO una línea sin giro que pasa por O. Suponga que un cuerpo rígido gira alrededor de LO. En términos de un sistema coordenado con el eje z alineado
370
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos Plano del movimiento
con LO (figura 18.5a), se puede expresar el vector de velocidad angular como = vk, y la velocidad de la i-ésima partícula del cuerpo rígido es
y
mi
dri = * ri = vk * ri. dt
ri
Sea ©MO = ©MO k la suma de los momentos respecto a LO. Tomando el producto punto de la ecuación (18.8) por k, se obtiene
LO O
v
z
x
©MO =
(a)
dHO , dt
(18.15)
donde
ri ri sen b k ri z
HO = HO # k = a [ri * mi1vk * ri2] # k
y
mi
i
es la cantidad de movimiento angular respecto a LO. Si se usa la identidad U 1V * W2 = 1U * V2 W, se puede escribir esta expresión como
ri LO
b k O
HO = a mi1k * ri2 # 1k * ri2v = a mi ƒ k * ri ƒ 2v.
x
(b)
Figura 18.5 (a) Sistema coordenado con el eje z alineado con el eje de rotación, LO. (b) La magnitud de k * ri es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a m i.
i
(18.16)
i
En la figura 18.5b, se muestra que ƒ k * ri ƒ es la distancia perpendicular de LO a la i-ésima partícula, que se denota con ri. Usando la definición del momento de inercia de masa del cuerpo rígido respecto a LO,
IO = a mi r 2i , i
se puede escribir la ecuación (18.16) como HO = IOv. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (18.15) se obtiene la ecuación del movimiento angular de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo. La suma de los momentos respecto al eje fijo es igual al producto del momento de inercia respecto al eje fijo por la aceleración angular: ©MO = IOa.
(18.17)
Movimiento plano general En la figura 18.6a se muestra el plano del movimiento de un cuerpo rígido en movimiento plano general. El punto O es un punto fijo contenido en el plano, LO es la línea que pasa por O y que es perpendicular al plano, y L es la línea paralela a LO que pasa por el centro de masa del cuerpo rígido. En términos del sistema coordenado que se muestra, puede expresarse el vector de velocidad angular como = vk, y la velocidad de la i-ésima partícula respecto al centro de masa es
dRi = * Ri = vk * Ri. dt Al calcular el producto punto cruz de la ecuación (18.10) por k, se obtiene
©MO =
d [1r * mv2 # k + H], dt
(18.18)
www.FreeLibros.org donde
H = H # k = a [Ri * mi1vk * Ri2] # k i
371
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
es el movimiento angular respecto a L. Usando la identidad U 1V * W2 = 1U * V2 W, se puede escribir esta ecuación para H como
Plano del movimiento
H = a mi1k * Ri2 # 1k * Ri2v = a mi ƒ k * Ri ƒ 2v. i
y
mi
i
Ri
El término ƒ k * Ri ƒ = ri es la distancia perpendicular de L a la i-ésima partícula (figura 18.6b). En términos del momento de inercia de masa del cuerpo rígido respecto a L,
L
z
x r
I = a mi r 2i ,
LO
i
O
la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido respecto a L es
(a)
H = Iv. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (18.18) se obtiene
©MO =
d [1r * mv2 # k + Iv] = 1r * ma2 # k + Ia. dt
(18.19)
Con esta ecuación se puede obtener la relación entre la suma de los momentos respecto a L, que se denota con ©M, y la aceleración angular. Si se hace que el eje fijo LO coincida con L en el instante presente, entonces ©MO = ©M y r = 0, y a partir de la ecuación (18.19) se obtiene la ecuación del movimiento angular para un cuerpo rígido en movimiento plano. La suma de los momentos respecto al centro de masa es igual al producto del momento de inercia respecto al centro de masa por la aceleración angular: ©M = Ia.
y
mi
(18.20)
ri Ri sen b k Ri z
Ri L
b k x (b)
Figura 18.6 (a) Sistema coordenado con el eje z alineado con L. (b) La magnitud de k * Ri es la distancia perpendicular de L a mi.
RESULTADOS La suma de las fuerzas externas sobre cualquier objeto es igual al producto de su masa y la aceleración de su centro de masa respecto a un marco de referencia inercial.
F ma.
(18.14)
MO IOa.
(18.17)
a MO O
Si un cuerpo rígido experimenta movimiento plano respecto a un eje fijo O, la suma de los momentos respecto a O debidos a las fuerzas y pares externos es igual al producto del momento de inercia del cuerpo rígido respecto a O por la aceleración angular.
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372
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
a M
Si un cuerpo rígido experimenta movimiento plano, la suma de los momentos respecto al centro de masa debidos a las fuerzas y pares externos es igual al producto del momento de inercia del cuerpo rígido respecto al centro de masa por la aceleración angular. Si la aceleración angular es cero, la suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a cero.
Las ecuaciones de movimiento plano pueden usarse para obtener información acerca del movimiento de un objeto, para determinar fuerzas o pares desconocidos que actúan sobre el objeto, o para ambas cosas. Lo anterior, normalmente requiere la realización de tres pasos.
Ejemplo activo 18.1
M Ia.
(18.20)
1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre. Aísle el cuerpo e identifique las fuerzas y pares externos que actúan sobre él. 2. Aplicar las ecuaciones de movimiento. Escriba las ecuaciones de movimiento, eligiendo un sistema de coordenadas apropiado para aplicar la segunda ley de Newton. Por ejemplo, si el centro de masa se mueve en una trayectoria circular, sería provechoso usar componentes normales y tangenciales. 3. Determinar relaciones cinemáticas. Si es necesario, complemente las ecuaciones de movimiento con relaciones entre la aceleración del centro de masa y la aceleración angular del objeto.
Objeto en traslación ( Relacionado con el problema 18.4) El avión mostrado pesa 830,000 lb y el empuje total de sus motores durante su carrera de despegue es T = 208,000 lb. Determine la aceleración del avión y las fuerzas normales ejercidas por la pista sobre sus ruedas en A y B. Ignore las fuerzas horizontales ejercidas sobre sus ruedas.
6 pies T 9 pies A
B
www.FreeLibros.org 16 pies
68 pies
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
373
Estrategia Se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre del avión para identificar las fuerzas externas que actúan sobre él. Puede aplicarse la segunda ley de Newton para determinar la aceleración horizontal. Después se usarán dos condiciones para determinar las fuerzas normales en A y en B. (1) La aceleración del avión en la dirección vertical es cero, por lo que la suma de las fuerzas en la dirección vertical debe ser igual a cero. (2) La aceleración angular del avión es cero durante su carrera de despegue, por lo que la ecuación de movimiento angular establece que la suma de los momentos respecto al centro de masa debidos a las fuerzas sobre el avión es igual a cero. Solución y
Dibuje el diagrama de cuerpo libre del avión.
6 pies T 9 pies
A
16 pies
x
68 pies W
B
La masa del avión es m Aplique la segunda ley de Newton para determinar la aceleración.
W 830,000 lb 25,800 slug. g 32.2 pies/s2
Fx T max. La aceleración es T 208,000 lb ax 8.07 pies/s2. m 25,800 slug
El avión no tiene aceleración vertical, por lo que la suma de las fuerzas verticales es igual a cero.
Fy A B W 0.
(1)
El avión no tiene aceleración angular, por lo que la suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a cero.
M (6 pies)T (68 pies)B (16 pies)A 0.
(2)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) con W 830,000 lb y T 208,000 lb se obtiene A 687,000 lb y B 143,000 lb.
Problema de práctica Con motores mejorados, la aceleración del avión durante su carrera de despegue es de 9 pies/s2. Su peso no cambia. Determine las fuerzas normales ejercidas por la pista sobre sus ruedas en A y B.
www.FreeLibros.org Respuesta: A = 688,000 lb, B = 142,000 lb.
374
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Movimiento de rodadura ( Relacionado con los problemas 18.32, 18.33)
Ejemplo activo 18.2
El disco homogéneo circular con radio R y masa m de la figura, se suelta desde el reposo sobre la superficie inclinada. El momento de inercia del disco respecto a su centro es I = –12 mR2. Determine la aceleración angular del disco mientras éste rueda hacia abajo sobre la superficie.
R
Estrategia Se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre individual del disco y aplicar las ecuaciones de movimiento. También debe usarse la relación entre la aceleración angular del disco y la aceleración de su centro de masa.
b
Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre
mg sen b
Diagrama de cuerpo libre del disco. N y f son las fuerzas normal y de fricción ejercidas por la superficie inclinada.
mg cos b
f N
Aplicación de las ecuaciones de movimiento
Aplique la segunda ley de Newton.
Fx mg sen b f max.
(1)
M Rf Ia.
(2)
y a
ax
x
Aplique la ecuación del movimiento angular. En este caso es conveniente definir el momento y la aceleración angulares como positivos en el sentido de las manecillas del reloj.
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18.2 Ecuaciones de movimiento plano
375
Determinación de relaciones cinemáticas
Relación entre la aceleración del centro del disco y la aceleración angular en el movimiento de rodadura.
ax Ra.
Resolviendo las ecuaciones (1) a (3) para las tres variables ax, a, y f y sustituyendo I
1 2
a
mR 2 se obtiene
(3)
2g sen b. 3R
la aceleración angular.
Problema de práctica Cuando el disco se soltó desde el reposo sobre la superficie inclinada, se supuso que éste rodaría y no se deslizaría. Sea ms el coeficiente de fricción estática entre el disco y la superficie. ¿Cuál es el valor máximo del ángulo b para el cual el disco rodará en vez de deslizarse? Respuesta: b = arctan13ms2.
Ejemplo activo 18.3
Barra en movimiento plano general ( Relacionado con el problema 18.45)
La barra delgada de masa m que se muestra en la figura se desliza sobre el piso y la pared lisos. En el instante mostrado, tiene una velocidad angular v en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra?
u l
v
Estrategia Después de dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra, se aplicará la segunda ley de Newton y la ecuación de movimiento angular. De aquí se obtendrán tres ecuaciones en términos de las dos componentes de la aceleración del centro de masa de la barra, la aceleración angular y las fuerzas desconocidas que el piso y la pared ejercen sobre la barra. Para completar la solución, se deben obtener dos relaciones cinemáticas entre la aceleración del centro de masa y la aceleración angular.
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376
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre y
P
1 l 2 u
Diagrama de cuerpo libre de la barra. N y P son las fuerzas normales ejercidas por el piso y la pared.
G 1 l 2
mg
x
N
Aplicación de las ecuaciones de movimiento
Exprese la aceleración del centro de masa G de la barra en términos de sus componentes aG ax i ay j,
Fx P max,
(1)
Fy N mg may.
(2)
y escriba la segunda ley de Newton.
y
ay G
ax a
x
Escriba la ecuación del movimiento angular. Aquí, I
1 12
ml2 es el mo-
M N
1 2
l sen u P
1 2
l cos u Ia.
(3)
www.FreeLibros.org mento de inercia de la barra respecto a su centro de masa.
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
377
Determinación de las relaciones cinemáticas
aG aA rG/A v2rG/A: Exprese la aceleración del centro de masa en términos de la aceleración del extremo inferior A de la barra. Igualando las componentes j se obtiene una relación entre ay y la aceleración angular a.
i 0
ax i a y j aAi 12
v2
1 2
l sen u
1 2
j
k
0
a
l cos u 0
l sen ui 12 l cos uj .
Igualando las componentes j se obtiene 2 ay 12 l(a sen u v cos u).
(4)
y
B 1 l 2 u rG/B
G
rG/A
1 l 2
A x
aG aB rG/B v2rG/B:
Exprese la aceleración del centro de masa en términos de la aceleración del extremo superior B de la barra. Igualando las componentes i se obtiene una relación entre ax y la aceleración angular a.
ax i a y j a B j 1 2
v2
1 2
i
j
k
0
0
a
l sen u 12 l cos u 0
l sen ui 12 l cos uj .
Igualando las componentes i se obtiene 2 ax 12 l(a cos u v sen u).
Al resolver las ecuaciones (1) a (5) para las cinco variables ax, ay, a, N y P se obtiene la aceleración angular.
a
(5)
3g sen u. 2l
Problema de práctica Suponga que la barra se suelta desde el reposo con u = 30°. En ese instante, ¿cuáles son las fuerzas normales ejercidas sobre la barra por el piso y la pared?
www.FreeLibros.org Respuesta: N = 0.813mg, P = 0.325mg.
378
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Barra que gira alrededor de un eje fijo ( Relacionado con el problema 18.19)
Ejemplo 18.4
A
La barra delgada de masa m que se muestra en la figura se suelta desde el reposo en la posición horizontal mostrada. Determine la aceleración angular de la barra y la fuerza ejercida sobre ésta por el soporte A en el instante mostrado.
l
Estrategia Como la barra gira alrededor de un punto fijo, se puede usar la ecuación (18.22) para determinar su aceleración angular. La ventaja de usar esta ecuación en vez de la ecuación (18.23) es que las reacciones desconocidas en A no aparecen en la ecuación del movimiento angular. Una vez que se conozca la aceleración angular, será posible determinar la aceleración del centro de masa y usar la segunda ley de Newton para obtener las reacciones en A.
Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre En la figura a se dibujó el diagrama de cuerpo libre de la barra mostrando las reacciones en el soporte de pasador. y Ay G
x Ax mg 1 l 2
(a) Diagrama de cuerpo libre de la barra.
Aplicación de las ecuaciones de movimiento Considere que la aceleración del centro de masa G de la barra es aG = ax i + ay j, y que su aceleración angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj es a (figura b). La segunda ley de Newton para la barra es
©Fx = Ax = max, ©Fy = Ay - mg = may. y
a
ay G A
ax
(b) Aceleración angular y componentes de la aceleración del centro de masa.
x
1 l 2
La ecuación del movimiento angular respecto al punto fijo A es
www.FreeLibros.org ©MA =
A 21 l B mg = IAa.
(1)
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
379
El momento de inercia de una barra delgada respecto a su centro de masa es 1 2 I=– 12 ml . (Vea el apéndice C). A partir del teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia de la barra respecto a A es
IA = I + d 2m =
1 2 12 ml
+
A 21 l B 2m = 13 ml 2.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1), se obtiene la aceleración angular:
a =
1 2 mgl 1 2 3 ml
=
3 2
g . l
Determinación de las relaciones cinemáticas Para encontrar las reacciones Ax y Ay, es necesario determinar las componentes ax y ay de la aceleración. Esto puede hacerse expresando la aceleración de G en términos de la aceleración de A:
aG = aA + * rG>A - v2rG>A. En el instante en que se suelta la barra, su velocidad angular v = 0. Asimismo, aA = 0, por lo que se obtiene
aG = ax i + ay j = 1ak2 *
A - 21 li B = - 21 la j.
Igualando las componentes i y j, resulta
ax = 0, ay = - 21 la = - 43 g. Sustituyendo estas componentes de aceleración en la segunda ley de Newton, se encuentra que las reacciones en A en el instante en que la barra se suelta son
Ax = 0,
Ay = mg + m A - 43 g B = 41 mg.
Razonamiento crítico Se podría haber determinado la relación cinemática entre la aceleración angular de la barra y la aceleración del centro de masa G de manera menos formal. Como G describe una trayectoria circular alrededor de A, se sabe que la componente tangencial de la aceleración es igual al producto de la distancia radial desde A hasta G por la aceleración angular de la barra. Debido a la manera en que se definieron las direcciones positivas de ay y a, se tiene que ay = -1l>22a. La componente normal de la aceleración de G es igual al cuadrado de su velocidad dividida entre el radio de su trayectoria circular. La velocidad es igual a cero en el instante en que se suelta la barra, por lo que ax = 0.
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380
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Cuerpos rígidos conectados ( Relacionado con los problemas 18.53, 18.54)
Ejemplo 18.5
La barra delgada de la figura tiene masa m y está articulada en A a un bloque metálico de masa mB que descansa sobre una superficie horizontal lisa. El sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en el instante de la liberación?
u l
A
A
Estrategia Se deben dibujar diagramas de cuerpo libre de la barra y del bloque y aplicarles de manera individual las ecuaciones de movimiento. Para completar la solución, también se debe relacionar la aceleración del centro de masa de la barra y su aceleración angular con la aceleración del bloque. Solución Dibujo de los diagramas de cuerpo libre En la figura a se dibujan los diagramas de cuerpo libre de la barra y del bloque. Observe las fuerzas opuestas que ejercen entre sí en el punto en que están articulados. Aplicación de las ecuaciones de movimiento Si se escribe la aceleración del centro de masa de la barra como a G = a x i + a y j , a partir de la segunda ley de Newton se tiene que ©Fx = Ax = max y ©Fy = Ay - mg = may. Si a es la aceleración angular de la barra en sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura b), la ecuación del movimiento angular es
©M = Ax A 21 l cos u B + Ay A 21 l sen u B = Ia.
y
y
u
ay a
G mg 1 l 2
G
Ay
ax
Ay Ax
Ax
aA
mBg N
aA
www.FreeLibros.org x
(a) Diagramas de cuerpo libre de la barra y del bloque.
x
(b) Definiciones de las aceleraciones.
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
381
Se expresa la aceleración del bloque como aA i (figura b) y se escribe la segunda ley de Newton para el bloque:
©Fx = - Ax = mB aA, ©Fy = N - Ay - mB g = 0. Determinación de las relaciones cinemáticas Para relacionar el movimiento de la barra con el del bloque, se expresa la aceleración del centro de masa de la barra en términos de la aceleración del punto A (figuras b y c):
i ax i + ay j = aA i + 3 0 - 21 l sen u
j 0 1 2 l cos u
u G
* rG>A - v2rG>A,
aG = aA +
y
k a 3 - 0. 0
1 l 2
rG/A A x
(c) Vector de posición de G respecto a A.
Igualando las componentes i y j, se obtiene
ax = aA - 21 la cos u y
ay = - 21 la sen u. Se tienen cinco ecuaciones de movimiento y dos relaciones cinemáticas en términos de siete incógnitas: Ax, Ay, N, ax, ay, a y aA. Resolviéndolas para la aceleración 1 2 angular y usando la relación I = – 12 ml para el momento de inercia de la barra, se obtiene
a =
3 2 1g>l2
1 -
3 4
sen u
C m>1m + mB2 D cos2 u
.
Razonamiento crítico Este ejemplo es un caso sencillo de un tipo de problema muy importante. El método usado es aplicable al análisis de movimientos planos de una gran variedad de máquinas que constan de partes móviles interconectadas. Primero se dibujan por separado los diagramas de cuerpo libre de las partes, incluyendo las fuerzas y pares que las partes ejercen entre sí. Las ecuaciones de movimiento se escriben para cada parte. La solución se completa al determinar las relaciones cinemáticas. En este ejemplo, el bloque está restringido a moverse de manera horizontal. El bloque y la barra tienen la misma aceleración en el pasador A, y la aceleración del centro de masa G de la barra se relaciona con la aceleración angular de la barra y la aceleración del punto A porque la barra está articulada en A. Como lo ilustra este ejemplo, la determinación de las relaciones cinemáticas es comúnmente la parte más complicada de la solución.
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382
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Problemas 18.1 Se aplica una fuerza horizontal F = 30 lb sobre un refrigerador de 230 lb como muestra la figura. La fricción es insignificante. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del refrigerador? b) ¿Qué fuerzas normales ejerce el piso sobre el refrigerador en A y B?
18.4 El Boeing 747 mostrado comienza su carrera de despegue en el tiempo t = 0. Las fuerzas normales ejercidas sobre sus llantas en A y B son NA = 175 kN y NB = 2800 kN. Si se supone que estas fuerzas son constantes y se ignoran las fuerzas horizontales distintas al empuje T, ¿a qué velocidad se estará moviendo el avión en t = 4 s? (Vea el ejemplo activo 18.1).
18.2 Resuelva el problema 18.1 si el coeficiente de fricción cinética en los puntos A y B es mk = 0.1.
T A
F
5m
3m B 2m
26 m
Problema 18.4
60 pulg 28 pulg A
18.5 La grúa mostrada se mueve hacia la derecha con aceleración constante, y la carga de 800 kg se mueve sin oscilar. a) ¿Cuál es la aceleración de la grúa y la carga? b) ¿Qué valores tienen las tensiones en los cables unidos en A y B?
B 14 pulg
14 pulg
Problemas 18.1/18.2
18.3 Cuando la avioneta de 2800 lb mostrada comienza su carrera de despegue en t = 0, su hélice ejerce una fuerza horizontal T = 1000 lb. Ignore las fuerzas horizontales ejercidas por la pista sobre las ruedas. a) ¿Cuál es la distancia recorrida por la avioneta en t = 2 s? b) ¿Cuáles son las fuerzas normales ejercidas sobre las llantas en A y B?
5
5
A
B
1m
1.5 m
1.5 m
Problema 18.5
T 4 pies 3 pies
W A
5 pies
2 pies
B
Problema 18.3
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Problemas 18.6 El peso total de un go-cart y su conductor es de 240 lb. En la figura se muestra la ubicación de su centro de masa combinado. Las ruedas traseras ejercen juntas una fuerza horizontal de 24 lb sobre la pista. Ignore las fuerzas horizontales ejercidas sobre las ruedas frontales.
383
18.8 El momento de inercia del disco mostrado respecto a O es I = 20 kg-m2. En t = 0, el disco en reposo se somete a un par de torsión constante de 50 N-m. a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular del disco? b) ¿A qué velocidad (en rpm) estará girando el disco cuando t = 4 s?
a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del go-cart? b) ¿Cuáles son las fuerzas normales ejercidas sobre las ruedas en A y en B?
50 N-m
O
15 pulg
Problema 18.8 6 pulg
4 pulg
A
B 16 pulg 60 pulg
Problema 18.6 18.7 En la figura, el peso total de la bicicleta y su conductor es de 160 lb. Se muestra la posición del centro de masa combinado. Las dimensiones mostradas son b = 21 pulg, c = 16 pulg y h = 38 pulg. ¿Cuál es la aceleración máxima que puede tener la bicicleta sin que la rueda delantera se levante del suelo? Ignore la fuerza horizontal ejercida por el camino sobre la rueda frontal. Estrategia: Se desea determinar el valor de la aceleración que ocasiona que la fuerza normal ejercida por el camino sobre la rueda frontal sea igual a cero.
18.9 La barra de 10 lb que se muestra en la figura está sobre una mesa horizontal lisa. En la figura se muestra la barra vista desde arriba. Su momento de inercia respecto al centro de masa es I = 0.8 slug-pie2. La barra está en reposo cuando se aplica la fuerza F = 5 lb en la dirección paralela al eje y. En ese instante, determine a) la aceleración del centro de masa, y b) la aceleración del punto A. 18.10 La barra de 10 lb que se muestra en la figura está sobre una mesa horizontal lisa. En la figura se muestra la barra vista desde arriba. Su momento de inercia respecto al centro de masa es I = 0.8 slug-pie2. La barra está en reposo cuando se aplica la fuerza F = 5 lb en la dirección paralela al eje y. En ese instante, determine la aceleración del punto B. y
A
2 pies
2 pies
B
F x
h
Problemas 18.9/18.10
A
B
www.FreeLibros.org b
c
Problema 18.7
384
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.11 El momento de inercia del astronauta y la unidad de maniobras mostrados respecto al eje que pasa por su centro de masa perpendicular a la página es I = 40 kg-m2. Un propulsor puede ejercer una fuerza T = 10 N. Por seguridad, el sistema de control de la unidad de maniobras no permite que su velocidad angular sea mayor a 15° por segundo. Si en un inicio el astronauta no está girando, y en t = 0 activa el propulsor hasta quedar girando a 15° por segundo, ¿cuántos grados habrá rotado en t = 10 s?
18.13 Los momentos de inercia de las poleas mostradas son IA = 0.0025 kg-m2, IB = 0.045 kg-m2 e IC = 0.036 kg-m2. Se aplica un par de 5 N-m sobre la polea A en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine las aceleraciones angulares resultantes para las tres poleas.
100 mm 100 mm A
B 200 mm
C
200 mm
Problema 18.13
T 300 mm
18.14 El momento de inercia del ventilador del túnel de viento mostrado es de 225 kg-m2. El ventilador parte desde el reposo, el par de torsión ejercido sobre él por el motor está dado en función de la velocidad angular del ventilador como T = 140 - 0.02v2 N-m. a) Cuando el ventilador ha girado a 620 revoluciones, ¿cuál es su velocidad angular en rpm (revoluciones por minuto)? b) ¿Cuál es la máxima velocidad angular en rpm que alcanza el ventilador? Estrategia: Escriba la ecuación del movimiento angular a fin de determinar la aceleración angular del ventilador en términos de su velocidad angular. Después use la regla de la cadena:
Problema 18.11
a =
dv du dv dv = = v. dt du dt du
18.12 El momento de inercia del rotor del helicóptero mostrado es de 420 slug-pie2. El rotor parte desde el reposo. En t = 0, el piloto comienza a acelerar de manera que el par de torsión (en lb-pie) ejercido por el motor sobre el rotor está dado como una función del tiempo en segundos por T = 200t. a) ¿Cuánto tiempo tardará el rotor en girar diez revoluciones? b) ¿Cuál será la velocidad angular del rotor (en rpm) después de haber girado diez revoluciones?
Problema 18.14
www.FreeLibros.org Problema 18.12
Problemas 18.15 El momento de inercia de la polea mostrada respecto a su eje es I = 0.005 kg-m2. Si la masa A de 1 kg se suelta desde el reposo, ¿a qué distancia cae en 0.5 s? Estrategia: Dibuje diagramas de cuerpo libre individuales de la polea y la masa.
385
18.18 La barra delgada de 5 kg se suelta desde el reposo en la posición horizontal mostrada. Determine la aceleración angular de la barra en sentido contrario al de las manecillas del reloj a) en el instante de su liberación y b) en el instante que ha girado 45°. 18.19 La barra delgada de 5 kg se suelta desde el reposo en la posición horizontal mostrada. En el instante que ha girado 45°, su velocidad angular es de 4.16 rad/s. En ese instante, determine la magnitud de la fuerza ejercida sobre la barra por el soporte de pasador. (Vea el ejemplo 18.4).
100 mm
A
Problema 18.15 18.16 El radio de la polea es de 125 mm y el momento de inercia respecto a su eje es I = 0.05 kg-m2. Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿a qué distancia cae la masa de 20 kg en 0.5 s? ¿Cuál es la tensión en la cuerda entre la masa de 20 kg y la polea?
18.20 La barra delgada de 5 kg se suelta desde el reposo en la posición horizontal mostrada. Determine la magnitud de su velocidad angular cuando ha caído hasta la posición vertical. Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra cuando ésta ha caído un ángulo arbitrario u y aplique la ecuación de movimiento angular para determinar la aceleración angular de la barra en función de u. Después use la regla de la cadena para escribir la aceleración angular como a =
dv du dv dv = = v. dt du dt du
1.2 m
Problemas 18.18 –18.20
4 kg
18.21 El objeto mostrado consiste en la barra delgada ABC de 2 kg soldada a la barra delgada BDE de 3 kg. El eje y es vertical. a) ¿Cuál es el momento de inercia del objeto respecto al punto D? b) En el instante mostrado, determine la aceleración angular del objeto en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
20 kg
Problema 18.16 18.17 El momento de inercia de la polea mostrada es de 0.4 slug-pie2. El coeficiente de fricción cinética entre el peso de 5 lb y la superficie horizontal es mk = 0.2. Para cada caso, determine la magnitud de la aceleración del peso de 5 lb.
18.22 El objeto mostrado consiste en la barra delgada ABC de 2 kg soldada a la barra delgada BDE de 3 kg. El eje y es vertical. En el instante mostrado, el objeto tiene una velocidad angular de 5 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine las componentes de la fuerza ejercida sobre el objeto por el soporte de pasador.
A
5 lb
5 lb
y
0.2 m
B 6 pulg
D
6 pulg 2 lb
2 lb
0.4 m
0.2 m
E
x
0.2 m
www.FreeLibros.org (a)
(b)
Problema 18.17
C
Problemas 18.21/18.22
386
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.23 La longitud de la barra delgada que se muestra en la figura es l = 4 m y su masa es m = 30 kg. Se suelta desde el reposo en la posición mostrada. a) Si x = 1 m, ¿cuál es la aceleración angular de la barra en el instante que se suelta? b) ¿para qué valor de x la aceleración angular de la barra horizontal es máxima? ¿Cuál es esa aceleración angular máxima? m x l
Problema 18.23 18.24 Modele el brazo ABC mostrado como un cuerpo rígido sencillo. Su masa es de 320 kg y el momento de inercia respecto a su centro de masa es I = 360 kg-m2. Si el punto A está en reposo y el pistón hidráulico ejerce una fuerza de 14 kN sobre el brazo en B, ¿cuál es la aceleración angular del brazo?
18.26 El brazo BC de la figura tiene una masa de 12 kg y el momento de inercia respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. El punto B está en reposo y el brazo BC tiene una velocidad angular constante de 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante mostrado, determine el par y las componentes de la fuerza ejercida sobre el brazo BC en B. 18.27 El brazo BC de la figura tiene una masa de 12 kg y el momento de inercia respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. En el instante mostrado el brazo AB tiene una velocidad angular constante de 2 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj y el brazo BC tiene una velocidad angular de 2 rad/s en la dirección contraria y una aceleración angular de 4 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. Determine el par y las componentes de la fuerza ejercida sobre el brazo BC en B. y
C 0 30 m m
y
40
1.80 m 1.40 m B
C
A
x
B
0.30 m 0.80 m
700 mm
x
A 0.70 m
Problemas 18.26/18.27
Problema 18.24 18.25 La plataforma del camión mostrado pesa 8000 lb y su momento de inercia respecto a O es de 33,000 slug-pie2. En el instante mostrado, las coordenadas del centro de masa de la plataforma son (10, 12) pies y las coordenadas del punto B son (15, 11) pies. Si la plataforma tiene una aceleración angular de 0.2 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico AB sobre la plataforma en B? y
18.28 El motor del control de altura del transbordador espacial ejerce dos fuerzas Ff = 8 kN y Fr = 2 kN. Los vectores de fuerza y el centro de masa G pertenecen al plano x-y del marco de referencia inercial. La masa del transbordador es de 54,000 kg, y su momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa, paralelo al eje z, es 4.5 * 106 kg-m2. Determine la aceleración del centro de masa y la aceleración angular (se puede ignorar la fuerza ejercida sobre el transbordador por su peso). 18.29 En el problema 18.28, suponga que Ff = 4 kN y se desea que la aceleración angular del transbordador sea cero. Determine la fuerza Fr necesaria y la aceleración resultante del centro de masa. y 2m 2m
B
Ff 30
5
A x
O
Fr G 18 m
6 12 m
www.FreeLibros.org x
Problema 18.25
Problemas 18.28/18.29
Problemas 18.30 Los puntos B y C pertenecen al plano x-y; el eje y es vertical. El centro de masa del brazo BC de 18 kg está en el punto medio de la línea que va de B a C, y el momento de inercia del brazo respecto al eje que pasa por el centro de masa, paralelo al eje z es de 1.5 kg-m2. En el instante mostrado, los vectores de la velocidad y la aceleración angulares del brazo AB son vAB = 0.6k (rad/s) y aAB = -0.3k 1rad/s22. Los vectores de la velocidad y la aceleración angulares del brazo BC son vBC = 0.4k 1rad/s2 y aBC = 2k 1rad/s22. Determine la fuerza y el par ejercidos sobre el brazo BC en B.
18.32 El radio del disco de 2 kg que se muestra en la figura es R = 80 mm. Su momento de inercia es I = 0.0064 kg-m2 y rueda sobre la superficie inclinada. Si el disco se suelta desde el reposo, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de su centro dos segundos después? (Vea el ejemplo activo 18.2). 18.33 El radio del disco de 2 kg que se muestra en la figura es R = 80 mm. Su momento de inercia es I = 0.0064 kg-m2. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario para que el disco ruede sin deslizar, en vez de deslizarse, sobre la superficie inclinada? (Vea el ejemplo activo 18.2).
18.31 Los puntos B y C pertenecen al plano x-y. El eje y es vertical. El centro de masa del brazo BC de 18 kg está en el punto medio de la línea que va de B a C, y el momento de inercia del brazo respecto al eje que pasa por el centro de masa, paralelo al eje z es de 1.5 kg-m2. En el instante mostrado, los vectores de la velocidad y la aceleración angulares del brazo AB son vAB = 0.6k 1rad/s2 y aAB = -0.3k 1rad/s22. El vector de la velocidad angular del brazo BC es vBC = 0.4k 1rad/s2. Si se desea programar el robot de manera que la aceleración angular del brazo BC sea cero en ese instante, ¿cuál es el par que debe ejercerse sobre el brazo BC en B? y
z
R
30
Problemas 18.32/18.33 18.34 Un anillo delgado y un disco circular homogéneo, cada uno de masa m y radio R, se sueltan desde el reposo sobre una superficie inclinada. Determine la razón vanillo >vdisco de las velocidades de sus centros cuando han rodado una distancia D.
C
mm
R
R
D
D
0
50
m
m
15
90
760
A
387
B
x
Problema 18.34 18.35 El carretedisco escalonado que se muestra en la figura pesa 40 lb y su momento de inercia es I = 0.2 slug-pie2. Si se suelta desde el reposo, ¿cuánto tarda el centro del carretedisco en caer 3 pies? (Suponga que la cuerda permanece vertical). Problemas 18.30/18.31
4 pulg
www.FreeLibros.org 8 pulg
Problema 18.35
388
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.36 El radio de la polea mostrada es R = 100 mm y su momento de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg y la constante del resorte es k = 135 N/m. El sistema se suelta desde el reposo con el resorte sin estirar. En el instante cuando la masa ha caído 0.2 m, determine a) la aceleración angular de la polea y b) la tensión en la cuerda entre la masa y la polea. 18.37 El radio de la polea mostrada es R = 100 mm y su momento de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg y la constante del resorte es k = 135 N/m. El sistema se suelta desde el reposo con el resorte sin estirar. ¿Cuál es la máxima distancia que cae la masa antes de rebotar? Estrategia: Suponga que la masa ha caído una distancia arbitraria x. Escriba las ecuaciones de movimiento para la masa y la polea y úselas para determinar la aceleración a de la masa en función de x. Después aplique la regla de la cadena: dv dx dv dv = = v. dt dx dt dx
a) Si el disco rueda sobre la superficie, ¿cuál es la aceleración de su centro? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario para que el disco ruede en vez de deslizarse al aplicar la fuerza?
F
Problema 18.39 18.40 Una esfera de 42 lb y radio R = 4 pulg se coloca sobre una superficie horizontal con velocidad angular inicial v0 = 40 rad/s. El coeficiente de fricción cinética entre la esfera y la superficie es mk = 0.06. ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzará el centro de la esfera y cuánto tardará en llegar a ella? Estrategia: La fuerza de fricción ejercida por la superficie sobre la esfera giratoria causará que ésta acelere hacia la derecha. La fuerza de la fricción también causará que su velocidad angular disminuya. El centro de la esfera acelerará hasta que ésta ruede sobre la superficie en lugar de deslizarse. Use la relación entre la velocidad del centro y la velocidad angular de la esfera cuando está rodando a fin de determinar el instante en que empieza a rodar.
R
k
18.39 El disco mostrado pesa 12 lb y su radio es de 6 pulg. Está en reposo sobre la superficie cuando se aplica la fuerza F = 10 lb.
m x
v0
Problemas 18.36/18.37 18.38 La masa del disco mostrado es de 45 kg, y su radio es R = 0.3 m. La constante del resorte es k = 600 N/m. El disco se rueda hacia la izquierda hasta que el resorte se comprime 0.5 m y es soltado desde el reposo. a) Si se supone que el disco rueda, ¿cuál es su aceleración angular en el instante que se suelta? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo para que el disco no se deslice al soltarlo?
Problema 18.40
R
k
www.FreeLibros.org Problema 18.38
Problemas 18.41 Un jugador de fútbol patea el balón hacia un compañero que está a 8 m. El balón sale del pie del jugador a 6 m/s paralelo al terreno sin velocidad angular. El coeficiente de fricción cinética entre el balón y el césped es mk = 0.32. ¿Cuánto tarda el balón en llegar al compañero? El radio del balón es de 112 mm y su masa es de 0.4 kg. Estime el momento de inercia del balón usando la ecuación para un cascarón esférico delgado: I = 23 mR2.
389
18.43 El engrane anular mostrado está fijo. La masa y el momento de inercia del engrane central son mS = 320 kg e IS = 40 kg-m2. La masa y el momento de inercia de cada engrane periférico son mP = 38 kg e IP = 0.60 kg-m2. Si se aplica un par M = 200 N-m al engrane central, ¿cuál es la aceleración angular resultante en los engranes periféricos. 18.44 En el problema 18.43, ¿cuál es la magnitud de la fuerza tangencial ejercida sobre el engrane central por cada engrane periférico en sus puntos de contacto cuando se aplica la fuerza de 200 N-m al engrane central?
Engrane anular
0.18 m
0.86 m
M 0.50 m
Problema 18.41 Engranes periféricos (3)
18.42 El disco cilíndrico de 100 kg mostrado está en reposo cuando la fuerza F se aplica a una cuerda enrollada a su alrededor. Los coeficientes estático y cinético de fricción entre el disco y la superficie es igual a 0.2. Determine la aceleración angular del disco si a) F = 500 N y b) F = 1000 N. Estrategia: Primero resuelva el problema suponiendo que el disco no se desliza, sino que rueda sobre la superficie. Determine la fuerza de fricción y vea si excede el producto del coeficiente de fricción por la fuerza normal. Si es así, resuelva de nuevo el problema suponiendo que el disco se desliza.
Engrane central
Problemas 18.43/18.44 18.45 La escalera de 18 kg se suelta desde el reposo en la posición mostrada. Modélela como una barra delgada e ignore la fricción. En el instante en que se libera, determine a) la aceleración angular de la escalera y b) la fuerza normal que ejerce el piso sobre la escalera. (Vea el ejemplo activo 18.3).
F 300 mm 30 4m
Problema 18.42
Problema 18.45
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390
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.46 La escalera de 18 kg se suelta desde el reposo en la posición mostrada. Modélela como una barra delgada e ignore la fricción. Determine su aceleración angular en el instante de la liberación.
18.48 Las masas de la barra y el disco mostrados son 14 kg y 9 kg, respectivamente. El sistema se suelta desde el reposo con la barra horizontal. Determine la aceleración angular de la barra en ese instante si a) la barra y el disco están soldados en A y si b) la barra y el disco están conectados mediante un pasador liso en A. Estrategia: En el inciso b), dibuje diagramas de cuerpo libre individuales de la barra y el disco.
30 A
4m
O 1.2 m 0.3 m
Problema 18.48 20
Problema 18.46
18.49 La barra horizontal de 5 lb está conectada con el disco de 10 lb mediante un pasador liso en A. El sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuáles son las aceleraciones angulares de la barra y el disco en ese instante?
18.47 La barra delgada de 4 kg se suelta desde el reposo en la posición mostrada. Determine su aceleración angular en ese instante si a) la superficie es rugosa y la barra no se desliza, y si b) la superficie es lisa.
A O 3 pies
1 pie
Problema 18.49
1m
60
18.50 La barra delgada de 0.1 kg y el disco cilíndrico de 0.2 kg mostrados se sueltan desde el reposo con la barra horizontal. El disco rueda sobre la superficie curva. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra en el instante de la liberación?
40 mm
Problema 18.47
120 mm
www.FreeLibros.org Problema 18.50
Problemas 18.51 En la figura, la masa del objeto suspendido A es de 8 kg. La masa de la polea es de 5 kg, y su momento de inercia es de 0.036 kg-m2. Si la fuerza T = 70 N, ¿cuál es la magnitud de la aceleración de A?
391
18.53 La barra delgada de 2 kg y el bloque de 5 kg se sueltan desde el reposo en la posición mostrada. Si la fricción es insignificante, ¿cuál es la aceleración del bloque en ese instante? (Vea el ejemplo 18.5). 18.54 La barra delgada de 2 kg y el bloque de 5 kg se sueltan desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuál es el mínimo coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie horizontal, que sería necesario para que el bloque no se moviera al soltar el sistema? (Vea el ejemplo 18.5).
T
120 mm
1m A 55
Problema 18.51
18.52 En la figura, el objeto suspendido A pesa 20 lb. Las poleas son idénticas; cada una de ellas pesa 10 lb y tiene un momento de inercia de 0.022 slug-pie2. Si la fuerza T = 15 lb, ¿cuál es la magnitud de la aceleración de A?
T
Problemas 18.53/18.54
18.55 Como resultado del par constante M aplicado al disco de 1 kg que se muestra en la figura, la aceleración angular de la barra delgada de 0.4 kg es igual a cero. Determine M y la aceleración angular del disco rodante en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
40 4 pulg
1m
0.25 m
4 pulg M A
Problema 18.55 Problema 18.52
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392
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.56 La barra delgada mostrada pesa 40 lb y la caja pesa 80 lb. En el instante mostrado, la velocidad de la caja es cero y tiene una aceleración de 14 pies/s2 hacia la izquierda. La superficie horizontal es lisa. Determine el par M y la tensión en la cuerda.
18.59 En la figura, las masas de las barras delgadas AB y BC son de 10 kg y 12 kg, respectivamente. Las velocidades angulares de las barras son iguales a cero en el instante mostrado y la fuerza horizontal F = 150 N. La superficie horizontal es lisa. Determine las aceleraciones angulares de las barras.
18.57 La barra delgada mostrada pesa 40 lb y la caja pesa 80 lb. En el instante mostrado, la velocidad de la caja es cero y tiene una aceleración de 14 pies/s2 hacia la izquierda. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie horizontal es mk = 0.2. Determine el par M y la tensión en la cuerda.
A
B
0.4 m
C 6 pies
0.4 m
F
0.2 m
Problema 18.59 M
18.60 Considere que el momento total de inercia de las dos ruedas y el eje traseros del automóvil mostrado es IR, y que el momento total de inercia de las dos ruedas delanteras es IF. Los radios de las llantas es R, y la masa total del automóvil, incluyendo las ruedas, es m. Si el motor del automóvil ejerce un par de torsión T sobre las llantas traseras y éstas no se deslizan, demuestre que la aceleración de automóvil es
6 pies
3 pies
Problemas 18.56/18.57
18.58 La barra AB mostrada está girando con una velocidad angular constante de 10 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. La barra delgada BC de 8 kg se desliza sobre la superficie horizontal. En el instante mostrado, determine la fuerza total (incluyendo su peso) que actúa sobre la barra BC y el momento total respecto a su centro de masa.
a =
RT R 2m + IR + IF
.
Estrategia: Aísle las ruedas y dibuje los diagramas de cuerpo libre.
y B
0.4 m A
C
10 rad/s
0.4 m
x
0.8 m
Problema 18.58
Problema 18.60
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393
Problemas 18.61 La masa combinada de la motocicleta y su conductor es de 160 kg. Cada rueda de 9 kg tiene un radio de 330 mm y un momento de inercia I = 0.8 kg-m2. El motor impulsa la rueda trasera. Si la rueda trasera ejerce una fuerza horizontal de 400 N sobre el camino y no se ignora la fuerza horizontal que ejerce la rueda frontal sobre el camino, determine a) la aceleración de la motocicleta y b) las fuerzas normales que ejercen las ruedas trasera y frontal sobre el camino. (Se muestra la posición del centro de masa de la motocicleta sin incluir sus ruedas).
18.64 Cada una de las barras mostradas tiene una longitud de 1 m y una masa de 2 kg. Ambas giran en el plano horizontal. La barra AB gira con una velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante mostrado, la barra BC gira a 6 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra BC?
4 rad/s A
B
18.62 En el problema 18.61, si la rueda frontal se levanta ligeramente del camino cuando el conductor acelera, determine a) la aceleración de la motocicleta y b) el par ejercido por el motor sobre la rueda trasera.
6 rad/s 135
aBC
C
Problema 18.64
18.65 Cada una de las barras OQ y PQ pesa 6 lb. El peso P del collarín y la fricción entre el collarín y la barra horizontal son insignificantes. Si el sistema se suelta desde el reposo con u = 45°, ¿cuáles son las aceleraciones angulares de las dos barras? 723 mm
18.66 En el problema 18.65, ¿cuáles son las aceleraciones angulares de las dos barras si el collarín P pesa 2 lb? A
649 mm
B
Q
1500 mm
Problemas 18.61/18.62 2 pies
18.63 El momento de inercia de la manija vertical mostrada respecto a O es 0.12 slug-pie2. El objeto B pesa 15 lb y permanece en reposo sobre una superficie lisa. El peso de la barra AB es insignificante (lo que significa que la barra puede considerarse como un elemento de dos fuerzas). Si la persona ejerce una fuerza horizontal de 0.2 lb sobre la manija a 15 pulg arriba de O, ¿cuál es la aceleración angular resultante de la manija?
2 pies
u O P
Problemas 18.65/18.66
A 6 pulg
B O
www.FreeLibros.org 12 pulg
Problema 18.63
394
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.67 La barra delgada de 4 kg que se muestra en la figura están articuladas a los bloques deslizadores de 2 kg en A y B. Si la fricción es insignificante y el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuál es la aceleración angular de la barra en ese instante?
18.69 La barra AB mostrada gira en el plano horizontal con una velocidad angular constante de 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Las masas de las barras delgadas BC y CD son 3 kg y 4.5 kg, respectivamente. En el instante mostrado, determine las componentes x e y de las fuerzas ejercidas sobre la barra BC por los pasadores en B y C. y
A
C
B
0.2 m
10 rad/s 1.2 m
D x
A
0.2 m
45
0.2 m
Problema 18.69
B
0.5 m
Problema 18.67 18.68 En la figura, la masa de la barra delgada es m y la masa del disco homogéneo es 4m. El sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada. Si el disco rueda y la fricción entre la barra y la superficie horizontal es insignificante, muestre que la aceleración angular del disco es a = 6g>95R en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
R
18.70 La barra de 2 kg mostrada gira en el plano horizontal alrededor de un pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre la barra lisa. En el instante mostrado, r = 1.2 m, v = 0.4 rad/s, y el collarín se está deslizando hacia fuera a 0.5 m/s respecto a la barra. Si se ignora el momento de inercia del collarín (es decir, si se trata al collarín como una partícula), ¿cuál es la aceleración angular de la barra? Estrategia: Dibuje diagramas individuales de cuerpo libre de la barra y del collarín y escriba la Segunda Ley de Newton, para el collarín, en coordenadas polares. 18.71 En el problema 18.70, suponga que el momento de inercia del collarín respecto a su centro de masa es 0.2 kg-m2. Determine la aceleración angular de la barra y compare su respuesta con la solución al problema 18.70. v
2R A
Problema 18.68
r
2m
www.FreeLibros.org Problemas 18.70/18.71
395
Apéndice: Momentos de inercia
Apéndice: Momentos de inercia Cuando un cuerpo rígido está sometido a fuerzas y pares, el movimiento rotacional resultante depende no sólo de su masa, sino también de cómo está distribuida la masa. Aunque los dos objetos de la figura 18.7 tienen la misma masa, las aceleraciones angulares causadas por el par M son diferentes. Esta diferencia se refleja en la ecuación del movimiento angular M = Ia a través del momento de inercia I. El objeto de la figura 18.7a tiene un momento de inercia menor respecto al eje L, por lo que su aceleración angular es mayor. Al deducir las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido en las secciones 18.1 y 18.2, se modeló un cuerpo como un número finito de partículas y se expresó su momento de inercia de masa respecto a un eje LO como
IO = a mi r 2i ,
M L
(a)
M L
(b)
i
donde mi es la masa de la i-ésima partícula y ri es la distancia perpendicular desde LO hasta la i-ésima partícula (figura 18.8a). Para calcular momentos de inercia de objetos, suele ser más conveniente modelarlos como distribuciones continuas de masa y expresar el momento de inercia de masa respecto a LO como
Figura 18.7 Objetos de igual masa con momentos de inercia de masa diferentes respecto a L.
r 2 dm, (18.21) Lm donde r es la distancia perpendicular de LO al elemento diferencial de masa dm (figura 18.8b). Cuando el eje pasa por el centro de masa del cuerpo, se denota con L el eje y con I el momento de inercia de masa respecto a L. Las dimensiones del momento de inercia de un objeto son 1masa2 * 1longitud22. Observe que la definición implica que su valor debe ser positivo. IO =
Objetos simples Se comienza por determinar los momentos de inercia de algunos objetos sencillos. En la siguiente subsección se describirá el teorema de los ejes paralelos, que simplifica la tarea de determinar los momentos de inercia de objetos compuestos por combinaciones de partes sencillas. Barras delgadas Se determinará el momento de inercia de una barra recta esbelta respecto a un eje perpendicular L que pasa por el centro de masa de la barra (figura 18.9a). “Delgada” significa que la longitud de la barra es mucho mayor que su ancho. Sea l la longitud de la barra, A el área de su sección transversal y m su masa. Se supone que A es uniforme a lo largo de la barra y que el material es homogéneo. Considere un elemento diferencial de la barra de longitud dr a una distancia r del centro de masa (figura 18.9b). La masa del elemento es igual al producto de su volumen por su densidad: dm = rA dr. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (18.21), se obtiene el momento de inercia de la barra respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masa: l>2
I =
r 2 dm =
Lm
L-l>2
rAr 2 dr =
mi ri
LO (a)
dm r
LO (b)
Figura 18.8 Determinación del momento de inercia de masa modelando un objeto como a) un número finito de partículas y b) una distribución continua de masa.
1 3 12 rAl .
La masa de la barra es igual al producto de la densidad por su volumen 1m = rAl2, y se puede expresar el momento de inercia de masa como
I =
1 2 12 ml .
(18.22)
www.FreeLibros.org Para obtener este resultado, se han ignorado las dimensiones laterales de la barra. Es decir, se consideró al elemento diferencial de masa dm como si estuviera concentrado sobre el eje de la barra. En consecuencia, la ecuación (18.22) es una aproximación
396
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
para el momento de inercia de masa de una barra. Más adelante se determinarán los momentos de inercia para una barra de dimensiones laterales finitas y se verá que la ecuación (18.22) es una buena aproximación cuando el ancho de la barra es pequeño en comparación con su longitud.
L
l
Placas delgadas Considere una placa plana homogénea con masa m y espesor uniforme T. No se especificará la forma de su sección transversal. Considere un sistema coordenado cartesiano ordenado de modo que la placa quede en el plano x-y (figura 18.10a). El objetivo aquí es determinar los momentos de inercia de la placa respecto a los ejes x, y y z. Se puede obtener un elemento diferencial de volumen de la placa proyectando un elemento de área dA a través del espesor T de la placa (figura 18.10b). El volumen resultante es T dA. La masa de este elemento de volumen es igual al producto de la densidad por el volumen: dm = rT dA. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (18.9), se obtiene el momento de inercia de la placa respecto al eje z en la forma
(a) dm
r
dr
(b)
Figura 18.9 (a) Barra delgada. (b) Elemento diferencial de longitud dr.
r 2 dm = rT r 2 dA, Lm LA donde r es la distancia desde el eje z hasta dA. Como la masa de la placa es m = rTA, donde A es el área de la sección transversal, el producto rT = m>A. La integral de la derecha es el momento polar de inercia JO de la sección transversal de la placa. Por lo tanto, se puede escribir el momento de inercia de masa de la placa respecto al eje z como Ieje z =
Ieje z =
(18.23)
De la figura 18.10b, se observa que la distancia perpendicular del eje x al elemento de área dA es la coordenada y de dA. En consecuencia, el momento de inercia de la placa respecto al eje x es
y
y
m JO. A
T
x
Ieje x =
z
(a)
dm
dA y
r x
x
LA
y 2 dA =
m Ix, A
(18.24)
donde Ix es el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje x. El momento de inercia de la placa respecto al eje y es
y
y
Lm
y 2 dm = rT
z
(b)
Figura 18.10 (a) Placa de forma arbitraria y espesor uniforme T. (b) Elemento de volumen obtenido al proyectar un elemento de área dA a través de la placa.
Ieje y =
m x 2 dm = rT x 2 dA = Iy, A Lm LA
(18.25)
donde Iy es el momento de inercia de la sección transversal de la placa respecto al eje y. Como la suma de los momentos de inercia Ix e Iy del área es igual al momento polar de inercia JO, el momento de inercia de la placa delgada respecto al eje z es igual a la suma de sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y: Ieje z = Ieje x + Ieje y.
(18.26)
Así, se han expresado los momentos de inercia de masa de una placa delgada homogénea de espesor uniforme en términos de los momentos de inercia de la sección transversal de la placa. De hecho, estos resultados explican por qué las integrales de área Ix, Iy y JO se llaman momentos de inercia. El uso de la misma terminología y símbolos similares para los momentos de inercia de áreas y los momentos de inercia de objetos puede resultar confuso, pero es muy utilizada en la práctica de la ingeniería. El tipo de momento de inercia al que se hace referencia puede determinarse por el contexto o por las unidades, 1longitud24 para momentos de inercia de áreas y 1masa2 * 1longitud22 para momentos de inercia de objetos.
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397
Apéndice: Momentos de inercia
Ejemplo 18.6
Momento de inercia de una barra en forma de L ( Relacionado con el problema 18.72)
Dos barras delgadas homogéneas, cada una de longitud l, masa m y área de sección transversal A, están soldadas formando el cuerpo en forma de L que se muestra en la figura. Use la integración para determinar el momento de inercia del objeto respecto al eje LO que pasa por O. El eje LO es perpendicular a las dos barras.
l
Estrategia Usando el mismo procedimiento de integración que se empleó para una sola barra, se puede determinar el momento de inercia de masa de cada barra respecto a LO y sumar los resultados.
O
l LO
Solución Se orienta un sistema coordenado con el eje z a lo largo de LO y el eje x colineal con la barra 1 (figura a). La masa del elemento diferencial de longitud dx de la barra 1 es dm = rA dx. El momento de inercia de la barra 1 respecto a LO es
1IO21 =
y
l
Lm
r 2 dm =
rAx 2 dx = 13 rAl 3.
L0
En términos de la masa de la barra, m = rAl, este resultado puede escribirse como
2
1IO21 = 13 ml 2.
dm 1 x
O
La masa del elemento de la barra 2 de longitud dy que se muestra en la figura b es dm = rA dy. En la figura, se observa que la distancia perpendicular desde LO hasta el elemento es r = 2l 2 + y 2 . Por lo tanto, el momento de inercia de la barra 2 respecto a LO es
1IO22 =
x
dx
(a) Elemento diferencial de la barra 1.
l
Lm
r2 dm =
L0
rA1l2 + y22 dy = 43 rAl3.
y
dy dm
En términos de la masa de la barra, se obtiene
1IO22 = 43 ml 2. El momento de inercia de masa del cuerpo en forma de L respecto a LO es
IO = 1IO21 + 1IO22 = 13 ml 2 + 43 ml 2 = 53 ml 2.
Razonamiento crítico En este ejemplo se usó la integración para determinar un momento de inercia de un objeto consistente en dos barras rectas. El mismo procedimiento podría aplicarse a objetos más complicados construidos con barras de este tipo, pero obviamente esto podría resultar fastidioso. Una vez que se ha usado la integración para determinar un momento de inercia de una sola barra, como en la ecuación (18.22), sería muy conveniente usar ese resultado para determinar momentos de inercia de objetos compuestos hechos de barras sin tener que recurrir de nuevo a la integración. En la siguiente sección se mostrará cómo hacer esto.
r
y 2 x
O 1
(b) Elemento diferencial de la barra 2.
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398
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Momentos de inercia de una placa triangular ( Relacionado con el problema 18.76)
Ejemplo 18.7
La placa delgada homogénea de la figura tiene un espesor uniforme y masa m. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z.
y
Estrategia Los momentos de inercia respecto a los ejes x e y están dados por las ecuaciones (18.24) y (18.25) en términos de los momentos de inercia del área de la sección transversal de la placa. A partir de la ecuación (18.26) se puede determinar el momento de inercia de masa de la placa respecto al eje z.
h
x b
Solución De acuerdo con el apéndice B, los momentos de inercia del área triangular respecto 1 1 a los ejes x e y son Ix = 12 bh3 e Iy = 4 hb3. Por lo tanto, los momentos de inercia de la placa respecto a los ejes x e y son
Ieje x =
m m 1 3 bh B = 61 mh2 Ix = 1 A 12 A bh 2
Ieje y =
m m I = 1 A 41 hb3 B = 21 mb2. A y 2 bh
y
El momento de inercia respecto al eje z es
Ieje z = Ieje x + Ieje y = m A 61 h2 + 21 b2 B .
Razonamiento crítico Como lo demuestra este ejemplo, los momentos de inercia de las áreas tabuladas en el apéndice B pueden usarse para determinar momentos de inercia de placas delgadas homogéneas. Para placas con formas más complicadas, se pueden usar métodos con los que se determinan momentos de inercia de áreas compuestas.
Teorema de los ejes paralelos El teorema de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia de un objeto compuesto cuando se conocen los momentos de inercia de sus partes. Suponga que se conoce el momento de inercia I respecto a un eje L que pase por el centro de masa de un objeto, y que se desea determinar su momento de inercia de masa IO respecto a un eje paralelo LO (figura 18.11a). Para determinar IO, se introducen sistemas coordenados paralelos xyz y x¿y¿z¿, con el eje z a lo largo de LO y el eje z¿ a lo largo de L, como se muestra en la figura 18.11b. (En esta figura, los ejes LO y L son perpendiculares a la página). El origen O del sistema coordenado xyz está contenido en el plano x¿-y¿. Los términos dx y dy son las coordenadas del centro de masa respecto al sistema coordenado xyz. El momento de inercia del cuerpo respecto a LO es
IO =
Lm
r 2 dm =
Lm
1x2 + y22 dm,
(18.27)
donde r es la distancia perpendicular desde LO hasta el elemento diferencial de masa dm, x y y son las coordenadas de dm en el plano x-y. Las coordenadas x-y de dm están relacionadas con sus coordenadas x¿-y¿ por
www.FreeLibros.org x = x¿ + dx
y
y = y¿ + dy.
Apéndice: Momentos de inercia y
399
y
dx r
dm r x dy
d L
O
x
LO (a)
(b)
Figura 18.11 (a) Eje L que pasa por el centro de masa de un objeto y un eje paralelo LO. (b) Sistemas coordenados x y z y x¿y¿z¿.
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (18.27), ésta puede escribirse como
IO =
[1x¿22 + 1y¿22] dm + 2dx x¿dm + 2dy y¿dm Lm Lm Lm +
1d2x + d2y2 dm. Lm
(18.28)
Como 1x¿22 + 1y¿22 = 1r¿22, donde r¿ es la distancia perpendicular desde L hasta dm, la primera integral en el lado derecho de esta ecuación es el momento de inercia de masa I del objeto respecto a L. Recuerde que las coordenadas x¿ e y¿ del centro de masa del objeto respecto al sistema coordenado x¿y¿z¿ están definidas por
x¿ =
Lm
x¿dm
Lm
, dm
y¿ =
Lm
y¿dm . dm
Lm
Como el centro de masa del objeto está en el origen del sistema x¿y¿z¿, – x¿ = 0 e – y ¿ = 0. Por lo tanto, las integrales en los términos segundo y tercero del lado derecho de la ecuación (18.28) son iguales a cero. En la figura 18.11b, se observa que d 2x + d 2y = d 2, donde d es la distancia perpendicular entre los ejes L y LO. Por lo tanto, se obtiene I O = I + d 2m .
(18.29)
Éste es el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia de objetos. La ecuación (18.29) relaciona el momento de inercia I de un objeto respecto a un eje que pasa por el centro de masa con su momento de inercia IO respecto a cualquier otro eje paralelo, donde d es la distancia perpendicular entre los dos ejes y m es la masa del objeto. Con el teorema de los ejes paralelos es posible determinar los momentos de inercia de objetos compuestos. La determinación del momento de inercia respecto a un eje LO dado suele requerir tres pasos: 1. Elegir las partes. Trate de dividir el objeto en partes cuyos momentos de inercia puedan determinarse con facilidad. 2. Determinar el momento de inercia de las partes. Determine el momento de inercia de cada parte respecto al eje que pasa por su centro de masa paralelo a LO. Luego se puede usar el teorema de los ejes paralelos para determinar su momento de inercia respecto a LO. 3. Sumar los resultados. Sume los momentos de inercia de las partes (o réstelos en el caso de agujeros o recortes) para obtener el momento de inercia del objeto compuesto.
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400
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Aplicación del teorema de los ejes paralelos ( Relacionado con los problemas 18.82, 18.83)
Ejemplo 18.8
l
O
Dos barras delgadas homogéneas, cada una de longitud l y masa m, están soldadas entre sí creando el objeto en forma de L que se muestra en la figura. Determine el momento de inercia del cuerpo respecto al eje LO que pasa por el punto O. (El eje LO es perpendicular a las dos barras).
Estrategia El momento de inercia de una barra delgada homogénea respecto a un eje perpendicular que pasa por su centro de masa está dado por la ecuación (18.22). Se puede usar el teorema de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia de las barras respecto al eje LO y sumarlos a fin de obtener el momento de inercia de la barra compuesta.
l LO
Solución Elección de las partes barra 2 (figura a).
Las partes son las dos barras, que se llamarán barra 1 y
2
l2
12 l
2 1/2
1 LO
1 l 2
(a) Las distancias desde LO hasta los ejes paralelos que pasan por los centros de masa de las barras 1 y 2.
Determinación de los momentos de inercia de las partes De acuerdo con el apéndice C, el momento de inercia de cada barra respecto a un eje perpendicular 1 que pasa por su centro de masa es I = – ml 2. La distancia desde LO hasta el eje 12 paralelo que pasa por el centro de masa de la barra 1 es –12 l (figura a). Por lo tanto, el momento de inercia de masa de la barra 1 respecto a LO es
1IO21 = I + d2m =
1 2 12 ml
+
2 A 21 l B m = 13 ml2.
La distancia desde LO hasta el eje paralelo que pasa por el centro de masa de la barra 2 es [l 2 + A –21 l B2]1>2. El momento de inercia de la barra 2 respecto a LO es
1IO22 = I + d 2m =
1 2 12 ml
+ C l2 +
A 21 l B 2 D m = 43 ml 2.
Suma de los resultados El momento de inercia del objeto en forma de L respecto a LO es
IO = 1IO21 + 1IO22 = 13 ml 2 + 43 ml 2 = 53 ml 2.
Razonamiento crítico Compare esta solución con el ejemplo 18.6, donde se usó integración para determinar el momento de inercia del mismo objeto respecto a LO. Se obtuvo el resultado con mayor facilidad usando el teorema de los ejes paralelos, pero es necesario conocer los momentos de inercia de las barras respecto a los ejes que pasan por sus centros de masa.
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401
Apéndice: Momentos de inercia
Ejemplo 18.9
Momentos de inercia de un objeto compuesto ( Relacionado con los problemas 18.102, 18.103)
El objeto mostrado consiste en una barra delgada de 3 kg soldada a un disco delgado circular de 2 kg. Determine su momento de inercia de masa respecto al eje L que pasa por su centro de masa. (El eje L es perpendicular a la barra y al disco).
0.2 m
Estrategia Se debe localizar el centro de masa del objeto compuesto y aplicar el teorema de los ejes paralelos. Del apéndice C se pueden obtener los momentos de inercia de la barra y del disco. Solución Elección de las partes Las partes son la barra y el disco. Introduciendo el sistema coordenado de la figura a, se tiene, para la coordenada x del centro de masa del objeto compuesto,
x= =
0.6 m L
y
x
xbarrambarra + xdiscomdisco mbarra + mdisco 10.3 m213 kg2 + 10.6 m + 0.2 m212 kg2 13 kg2 + 12 kg2
0.3 m
0.8 m
= 0.5 m.
Determinación de los momentos de inercia de las partes La distancia desde el centro de masa de la barra hasta el centro de masa del objeto compuesto es 0.2 m (figura b). Por lo tanto, el momento de inercia de la barra respecto a L es
Ibarra =
1 12 13
_ x
(a) Coordenada –x del centro de masa del objeto.
y
kg210.6 m22 + 13 kg210.2 m22 = 0.210 kg-m2.
0.5 m x
La distancia desde el centro de masa del disco hasta el centro de masa del objeto compuesto es de 0.3 m (figura c). El momento de inercia del disco respecto a L es
Idisco = 21 12 kg210.2 m22 + 12 kg210.3 m22 = 0.220 kg-m2. Suma de los resultados El momento de inercia del objeto compuesto respecto a L es I = Ibarra + Idisco = 0.430 kg-m2. Razonamiento crítico Este ejemplo demuestra el procedimiento más común en aplicaciones de ingeniería para determinar momentos de inercia de objetos. Por lo general, éstos consisten en partes ensambladas. Se debe determinar el centro de masa de cada parte y el momento de inercia respecto al eje que pasa por dicho centro de masa (puede ser necesario determinar esta información de manera experimental, aunque en ocasiones es proporcionada por los fabricantes de subensambles). Después se determina el centro de masa del objeto compuesto, y se usa el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de cada parte respecto al eje que pasa por el centro de masa del objeto compuesto. Por último, se suman los momentos de inercia individuales para obtener el momento de inercia del objeto compuesto.
0.2 m
(b) Distancia desde L hasta el centro de masa de la barra.
y 0.5 m
x
0.3 m
(c) Distancia desde L hasta el centro de masa del disco.
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402
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 18.10
Momentos de inercia de un cilindro homogéneo ( Relacionado con los problemas 18.95, 18.96) El cilindro homogéneo mostrado, tiene masa m, longitud l y radio R. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z.
y
x
R l z
Estrategia Se pueden determinar los momentos de inercia del cilindro por medio de una interesante aplicación del teorema de los ejes paralelos. Primero se usa para determinar los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z de un elemento infinitesimal del cilindro que consiste en un disco de espesor dz. Después se integran los resultados con respecto a z para obtener los momentos de inercia del cilindro. Solución Considere un elemento del cilindro de espesor dz a una distancia z del centro del cilindro (figura a). (Usted puede imaginar que este elemento se obtiene “rebanando” el cilindro perpendicularmente a su eje). La masa del elemento es igual al producto de la densidad por el volumen del elemento: dm = r1pR2dz2. Se obtienen los momentos de inercia del elemento usando los valores para una placa delgada circular dados en el apéndice C. El momento de inercia respecto al eje z es
dIeje z = 21 dm R 2 = 21 1rpR 2 dz2R 2. Se integra este resultado respecto a z desde -l>2 hasta l>2, sumando de esta manera los momentos de inercia de los elementos infinitesimales de disco que forman el cilindro. El resultado es el momento de inercia del cilindro respecto al eje z:
y
l>2
x
Ieje z = x
L-l>2
1 4 2 rpR
dz = 21 rpR 4l.
Este resultado puede escribirse en términos de la masa del cilindro, m = r1pR2l2, como
z
z dz
(a) Elemento diferencial del cilindro en la forma de un disco.
Ieje z = 21 mR 2. El momento de inercia del elemento de disco respecto al eje x¿ es
dIeje x¿ = 41 dm R 2 = 41 1rpR 2 dz2R 2. Se usa este resultado y el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del elemento respecto al eje x:
dIeje x = dIeje x¿ + z 2 dm = 41 1rpR 2 dz2R 2 + z 21rpR 2 dz2. Integrando esta expresión con respecto a z desde -l>2 hasta l>2, se obtiene el momento de inercia del cilindro respecto al eje x: l>2
A 41 rpR 4 + rpR 2z 2 B dz = 41 rpR 4l +
www.FreeLibros.org Ieje x =
L-l>2
1 2 3 12 rpR l .
Problemas
403
En términos de la masa del cilindro,
Ieje x = 41 mR 2 +
1 2 12 ml .
Debido a la simetría del cilindro, Ieje y = Ieje x. Razonamiento crítico Cuando el cilindro es muy largo en comparación con su ancho 1l W R2, el primer término en la ecuación para Ieje x se puede ignorar y así obtener el momento de inercia de una barra delgada respecto a un eje perpendicular, ecuación (18.22). Por otra parte, cuando el radio del cilindro es mucho mayor que su longitud 1R W l2, el segundo término en la ecuación para Ieje x se puede ignorar y así obtener el momento de inercia para un disco delgado circular respecto a un eje paralelo al disco. Esto indica la magnitud de los términos que se ignoran al usar las expresiones aproximadas para los momentos de inercia de una barra “delgada” o “esbelta” y de un disco “delgado”.
Problemas 18.72 En la figura, el eje LO es perpendicular a ambos segmentos de la barra delgada en forma de L. La masa de la barra es de 6 kg y el material es homogéneo. Use integración para determinar el momento de inercia de la barra respecto a LO. (Vea el ejemplo 18.6).
1m
18.74 La barra delgada mostrada se encuentra en el plano x-y. Su masa es de 6 kg y el material es homogéneo. Use integración para determinar su momento de inercia respecto al eje z. 18.75 La barra delgada mostrada se encuentra en el plano x-y. Su masa es de 6 kg y el material es homogéneo. Use integración para determinar su momento de inercia respecto al eje y.
y
LO
2m
2m
Problema 18.72 18.73 Dos barras delgadas homogéneas, cada una con masa m y longitud l, están soldadas para crear el cuerpo en forma de T que se muestra en la figura. Use integración para determinar el momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por O y que es perpendicular a las barras.
O
50 x 1m
Problemas 18.74/18.75
l l
www.FreeLibros.org Problema 18.73
404
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.76 La placa delgada homogénea que se muestra en la figura tiene una masa m = 12 kg y dimensiones b = 1 m y h = 2 m. Determine los momentos de inercia de la placa respecto a los ejes x, y y z. (Vea el ejemplo 18.7).
18.80 La masa del objeto mostrado es de 10 kg. Su momento de inercia respecto a L1 es de 10 kg-m2. ¿Cuál es su momento de inercia respecto a L2? (Los tres ejes están en el mismo plano).
y
h x
0.6 m
b
0.6 m
L
Problema 18.76
L1
L2
Problema 18.80 18.77 La arandela de latón mostrada tiene un espesor uniforme y masa m. a) Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x y z. b) Considere que Ri = 0 y compare sus resultados con los valores dados en el apéndice C para una placa delgada circular.
18.81 Un ingeniero que está recabando datos para diseñar una unidad de maniobras determina que el centro de masa de la astronauta está en x = 1.01 m, y = 0.16 m y que su momento de inercia de masa respecto al eje z es de 105.6 kg-m2. La masa de la astronauta es de 81.6 kg. ¿Cuál es su momento de inercia de masa respecto al eje z¿ que pasa por su centro de masa?
y y
Ro
y
Ri x
x
x
Problema 18.77
Problema 18.81
18.78 La placa delgada homogénea de la figura tiene espesor uniforme y pesa 20 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje y.
18.82 Dos barras delgadas homogéneas, cada una de masa m y longitud l, están soldadas entre sí formando el objeto en forma de T mostrado. Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por O y que es perpendicular a las barras. (Vea el ejemplo 18.8).
18.79 Determine el momento de inercia de la placa de 20 lb respecto al eje x. y
18.83 Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del objeto en forma de T mostrado respecto al eje que pasa por el centro de masa del objeto y que es perpendicular a las dos barras. (Vea el ejemplo 18.8).
1 y 4 x2 pies 4
x
Problemas 18.78/18.79
l
O l
www.FreeLibros.org Problemas 18.82/18.83
Problemas 18.84 La masa de la barra delgada homogénea mostrada es de 30 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje z. 18.85 La masa de la barra delgada homogénea mostrada es de 30 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje z¿ que pasa por su centro de masa.
405
18.89 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en la figura es de 36 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje x. 18.90 Determine el momento de inercia de la placa de 36 kg respecto al eje z.
y
y
y x
0.4 m
0.4 m
0.8 m
0.3 m
x 2m
0.6 m
Problemas 18.84/18.85
0.3 m x
18.86 La barra delgada homogénea pesa 5 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje z. 18.87 Determine el momento de inercia de la barra de 5 lb respecto al eje z¿ que pasa por su centro de masa. y
y
Problemas 18.89/18.90 18.91 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en la figura es de 20 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje x. 18.92 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en la figura es de 20 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje y.
4 pulg
y x
1000 mm
x
400 mm
8 pulg
Problemas 18.86/18.87 18.88 El cohete mostrado se utiliza para hacer investigación atmosférica. Su peso y su momento de inercia respecto al eje z que pasa por su centro de masa (incluyendo el combustible) son 10,000 lb y 10,200 slug-pie2 respectivamente. El combustible pesa 6000 lb, su centro de masa está en x = -3 pies, y = 0, z = 0 y el momento de inercia de masa del combustible respecto al eje paralelo al eje z que pasa por el centro de masa del combustible es de 2200 slug-pie2. Cuando el combustible se agota, ¿cuál es el momento de inercia del cohete respecto al eje que pasa por su nuevo centro de masa y que es paralelo al eje z?
400 mm
200 mm
200 mm
x
Problemas 18.91/18.92
y
x
www.FreeLibros.org Problema 18.88
406
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.93 El radiador térmico mostrado (que se usa para eliminar el exceso de calor de un satélite) puede modelarse como una placa delgada rectangular homogénea. Su masa es de 5 slugs. Determine su momento de inercia de masa respecto a los ejes x, y y z.
18.97 El objeto homogéneo mostrado tiene la forma de un cono trunco y está hecho de bronce con densidad r = 8200 kg/m3. Determine el momento de inercia del objeto respecto al eje z. 18.98 Determine el momento de inercia del objeto descrito en el problema 18.97 respecto al eje x.
y 3 pies
6 pies
y 3 pies
x 2 pies
60 mm
x
180 mm
Problema 18.93
180 mm
18.94 En la figura, la masa de la placa delgada homogénea es de 2 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje que pasa por el punto O y que es perpendicular a la placa.
80 mm 10 mm
O
z
Problemas 18.97/18.98
18.99 El paralelepípedo rectangular homogéneo mostrado tiene masa m. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z y compárelos con los valores dados en el apéndice C.
30 mm
y
30 mm 130 mm
a
Problema 18.94 18.95 El cono homogéneo mostrado tiene masa m. Determine su momento de inercia respecto al eje z y compare su resultado con el valor dado en el apéndice C. (Vea el ejemplo 18.10).
z b
c
18.96 En la figura, determine los momentos de inercia del cono homogéneo de masa m respecto a los ejes x e y, y compare sus resultados con los valores dados en el apéndice C. (Vea el ejemplo 18.10).
x
Problema 18.99
y
x
R
h
z
www.FreeLibros.org Problemas 18.95/18.96
Problemas 18.100 El cono con cabeza de esfera mostrado está hecho de un material con densidad de 7800 kg/m3. El radio R = 80 mm. Determine su momento de inercia respecto al eje x. 18.101 Determine el momento de inercia del cono con cabeza de esfera descrito en el problema 18.100 respecto al eje y. y
407
18.104 La parte de máquina homogénea que se muestra en la figura está hecha de una aleación de aluminio con densidad de masa r = 2800 kg/m3. Determine el momento de inercia de la parte respecto al eje z. 18.105 Determine el momento de inercia de la parte de máquina descrita en el problema 18.104 respecto al eje x. y
y 20 mm x
z
40 mm 120 mm z
R
40 mm
Problemas 18.104/18.105 x
4R
18.106 El cuerpo mostrado está hecho de acero con densidad r = 7800 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al eje LO que pasa por el punto O.
Problemas 18.100/18.101
18.107 Determine el momento de inercia del objeto descrito en el problema 18.106 respecto al eje que pasa por el centro de masa del objeto y que es paralelo a LO.
18.102 El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio (Al) con densidad 2700 kg/m3 y hierro (Fe) con densidad de 7860 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al eje x¿. (Vea el ejemplo 18.9). 18.103 Determine el momento de inercia del cilindro compuesto descrito en el problema 18.102 respecto al eje y¿. (Vea el ejemplo 18.9).
20 mm O 100 mm
10 mm
30 mm LO
y
Problemas 18.106/18.107 y
18.108 La placa delgada de la figura está hecha de acero con densidad r = 15 slug/pie3. Determine su momento de inercia de masa respecto al eje z.
Al z
Fe 600 mm 200 mm z
18.109 Determine el momento de inercia del objeto descrito en el problema 18.108 respecto al eje x.
600 mm
y
x, x
Problemas 18.102/18.103
2 pulg
4 pulg
y
2 pulg x
z
4 pulg
www.FreeLibros.org 4 pulg
8 pulg
4 pulg
Problemas 18.108/18.109
4 pulg
408
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Problemas de repaso 18.110 El avión mostrado está en el inicio de su carrera de despegue. Su peso es de 1000 lb, y el empuje inicial T ejercido por su motor es de 300 lb. Suponga que el empuje es horizontal e ignore las fuerzas tangenciales ejercidas sobre sus ruedas. a) Si la aceleración del avión permanece constante, ¿cuánto tarda en alcanzar su velocidad de despegue de 80 mi/h? b) Determine la fuerza normal ejercida sobre la rueda delantera al inicio de la carrera de despegue.
18.112 Una caja de 2 kg está sometida a una fuerza horizontal de 40 N. Ignore la fricción. a) Si la caja permanece sobre el piso, ¿cuál es su aceleración? b) Determine el intervalo de valores de c para los cuales la caja permanecerá sobre el piso cuando se aplique la fuerza. 40 N c
T A
B
6 pulg
100 mm
100 mm
Problema 18.112 7 pies
1 pie
Problema 18.110
18.111 Las poleas mostradas pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador. Sus momentos de inercia son IA = 0.002 kg-m2, IB = 0.036 kg-m2, e IC = 0.032 kg-m2. Está inicialmente en reposo y en t = 0 se aplica a la polea A un par constante M = 2 N-m. ¿Cuál es la velocidad angular de la polea C y cuántas revoluciones ha girado en t = 2 s?
18.113 La barra delgada AB de 2 slug tiene 3 pies de longitud. Está articulada al carro en A y se apoya contra él en B. a) Si la aceleración del carro es a = 20 pies/s2, ¿qué fuerza normal ejerce el carro sobre la barra en B? b) ¿Cuál es la aceleración máxima a para la cual la barra permanecerá en contacto con la superficie en B? B a
100 mm A
100 mm
A 200 mm
60
200 mm B
Problema 18.111
C
Problema 18.113 18.114 Para determinar el momento de inercia de masa de un neumático de 4.5 kg, un ingeniero lo deja rodar hacia abajo sobre una superficie inclinada. Si tarda 3.5 s en rodar 3 m partiendo del reposo, ¿cuál es el momento de inercia de masa del neumático respecto a su centro de masa? 330 mm
www.FreeLibros.org 15
Problema 18.114
Problemas de repaso 18.115 La polea A pesa 4 lb, IA = 0.060 slug-pie2, e IB = 0.014 slug-pie2. Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿qué distancia cae el peso de 16 lb en 0.5 s?
8 pulg B
409
18.118 Para reducir el ángulo de elevación de la escalera fija de 200 kg que se muestra en la figura, los engranes que la elevan se desacoplan y una fracción de segundo después se acopla un segundo conjunto de engranes que la bajan. En el instante en que los engranes que la elevan se desacoplan, ¿cuál es la aceleración angular de la escalera y cuáles son las componentes de la fuerza ejercida sobre la escalera por su soporte en O? El momento de inercia de la escalera respecto a O es IO = 14,000 kg-m2, y las coordenadas de su centro de masa en el instante en que los x = 3 m, –y = 4 m. engranes se desacoplan son –
y
12 pulg A
16 lb 8 lb
Problema 18.115
O
x
18.116 Modele el brazo ABC de la excavadora mostrada como un cuerpo rígido. Su masa es de 1200 kg, y el momento de inercia respecto a su centro de masa es I = 3600 kg-m2. La velocidad angular del brazo es cero y su aceleración angular es de 1 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Qué fuerza ejerce el cilindro hidráulico vertical sobre el brazo en B? Problema 18.118 18.117 Modele el brazo ABC de la excavadora mostrada como un cuerpo rígido. Su masa es de 1200 kg, y el momento de inercia respecto a su centro de masa es I = 3600 kg-m2. La velocidad angular del brazo es 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj y su aceleración angular es de 1 rad/s2 en la misma dirección. ¿Cuáles son las componentes de la fuerza ejercida sobre el brazo en A?
18.119 Las barras delgadas mostradas pesan cada una 4 lb y tienen una longitud de 10 pulg. La placa homogénea pesa 10 lb. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuál es la aceleración angular de las barras en ese instante?
y
45 C 8 pulg B
40 pulg 2.4 m
3.0 m
A
Problema 18.119 x
1.7 m
1.7 m
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410
Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.120 Una barra delgada de masa m se suelta desde el reposo en la posición mostrada. Los coeficientes de fricción estática y cinética en el piso y la pared tienen el mismo valor m. Si la barra se desliza, ¿cuál es su aceleración angular en el instante en que se suelta?
18.122 La barra AB mostrada gira con velocidad angular constante de 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Las masas de las barras delgadas BC y CDE son 2 kg y 3.6 kg, respectivamente. El eje y señala hacia arriba. Determine las componentes de las fuerzas ejercidas por los pasadores en B y C sobre la barra BC en el instante mostrado.
y B 400 mm C
10 rad/s
A
E
D
x
l 400 mm
700 mm
700 mm
u
Problema 18.122
Problema 18.120
18.123 En el instante mostrado, los brazos del manipulador robótico tienen velocidades angulares constantes vAB = - 0.5 rad/s, vBC = 2 rad/s y vCD = 4 rad/s. La masa del brazo CD es de 10 kg, y su centro de masa está en su punto medio. En este instante, ¿qué fuerza y par se ejercen sobre el brazo CD en C?
18.121 Cada una de las ruedas frontales del go-cart mostrado pesa 5 lb y tiene un momento de inercia de masa de 0.01 slug-pie2. Las dos ruedas traseras y el eje trasero forman un cuerpo rígido que pesa 40 lb y tiene un momento de inercia de 0.1 slug-pie2. El peso total del vehículo y el conductor es de 240 lb. (En la figura se muestra la posición del centro de masa del vehículo y el conductor sin incluir las ruedas frontales, las ruedas traseras o el eje trasero). Si el motor ejerce un par de 12 lb-pie sobre el eje trasero, ¿cuál es la aceleración del go-cart?
y 250
m 0m
mm
30
30
B
20 D C
A
x 250 mm
Problema 18.123 15 pulg 6 pulg
4 pulg
A
B 16 pulg 60 pulg
Problema 18.121
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411
Problemas de repaso 18.124 En la figura cada barra tiene longitud de 1 m y masa de 4 kg. La superficie inclinada es lisa. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son las aceleraciones angulares de las barras en ese instante? 18.125 En la figura cada barra tiene longitud de 1 m y masa de 4 kg. La superficie inclinada es lisa. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, en ese instante ¿cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre la barra OA por el soporte O en ese instante?
18.128* Si en el instante mostrado en el problema 18.127, el cigüeñal AB tiene una velocidad angular de 2000 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la aceleración del pistón debida al par M y a la fuerza ejercida por la mezcla de combustible y aire? 125 m
m
m
m 50
B 40
A
A
C
M
Problemas 18.127/18.128 O
45
B 30
Problemas 18.124/18.125 18.126* El engrane anular fijo está en el plano horizontal. Los engranes piñón y periférico están unidos. La masa y el momento de inercia de los engranes piñón y periférico combinados son mHP = 130 kg e IHP = 130 kg-m2. El momento de inercia del engrane central es IS = 60 kg-m2. La masa de la barra acopladora biela es de 5 kg y se puede idealizar como una barra delgada. Si se aplica al engrane central un par de 1 kN-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la aceleración angular resultante en los engranes piñón y periférico unidos? Engrane periférico Engrane piñón Barra acopladora
140 mm
340 mm
Proyecto de diseño Investigue los efectos de los coeficientes de fricción y las dimensiones b, c y h sobre la capacidad del conductor de la bicicleta para acelerar y desacelerar. Considere un rango de coeficientes de fricción que puedan abarcar superficies secas, húmedas y congeladas. Al estudiar la desaceleración considere los casos en que los frenos actúan sólo sobre la rueda frontal, únicamente sobre la rueda trasera y sobre ambas ruedas. Preste atención especial a la restricción de que las ruedas trasera y delantera de la bicicleta no pueden separarse del suelo. Escriba un informe breve donde presente los análisis y haga observaciones acerca de sus implicaciones para el diseño de bicicletas. Observe que el conductor puede alterar las dimensiones h, b y c hasta cierto punto al cambiar la posición de la parte alta de su cuerpo. Comente sobre la manera en que el conductor puede afectar el desempeño de la bicicleta en lo referente a la aceleración y la desaceleración.
240 mm 720 mm Engrane central Engrane anular
Problema 18.126 18.127* El sistema está en reposo en el momento mostrado. La fuerza neta ejercida sobre el pistón por la mezcla explosiva de combustible y aire y por la fricción es de 5 kN hacia la izquierda. Un par M = 200 N-m actúa sobre el cigüeñal AB en el sentido de las manecillas del reloj. El momento de inercia del cigüeñal respecto a A es de 0.0003 kg-m2. La masa de la biela BC es de 0.36 kg, y su centro de masa está a 40 mm de B sobre la línea de B a C. El momento de inercia de la biela respecto a su centro de masa es de 0.0004 kg-m2. La masa del pistón es de 4.6 kg. ¿Cuál es la aceleración del pistón? (Ignore las fuerzas gravitatorias sobre el cigüeñal y la biela).
h
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c
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CAPÍTULO
19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos En los capítulos 15 y 16 se demostró que los métodos de la energía y de la cantidad de movimiento son muy útiles para resolver ciertos tipos de problemas en dinámica. Si las fuerzas sobre un objeto se conocen como funciones de la posición, se puede usar el principio del trabajo y la energía para relacionar el cambio en la magnitud de la velocidad del objeto con su movimiento entre dos posiciones. Si las fuerzas se conocen como funciones del tiempo, se puede usar el principio del impulso y la cantidad de movimiento para determinar el cambio en la velocidad del objeto durante un intervalo de tiempo. Ahora se extienden estos métodos a situaciones en las que se deben considerar tanto los movimientos traslacionales como los rotatorios de los objetos.
M du L
El viento realiza trabajo sobre el rotor de la turbina de viento (aeroturbina), lo que ocasiona que ésta gire y active un generador eléctrico.
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414
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.1 Trabajo y energía ANTECEDENTES mi
Se demostrará que el trabajo realizado sobre un cuerpo rígido, por fuerzas y pares externos mientras éste se mueve entre dos posiciones, es igual al cambio en su energía cinética. Para llegar a este resultado, se adopta el mismo método usado en el capítulo 18 donde se obtuvieron las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido. Se deducirá el principio del trabajo y la energía para un sistema de partículas y se utilizará en la obtención del principio para un cuerpo rígido. Sea mi la masa de la i-ésima partícula de un sistema de N partículas, y sea ri la posición de la i-ésima partícula respecto a un punto O que está fijo en relación con un marco de referencia inercial (figura 19.1). La suma de las energías cinéticas de las partículas se denota con
ri
O
Figura 19.1 Sistema de partículas. El vector ri es el vector de posición de la i-ésima partícula.
T = a 21 mi vi # vi,
(19.1)
i
donde vi = dri>dt es la velocidad de la i-ésima partícula. El objetivo aquí es relacionar el trabajo realizado sobre el sistema con el cambio en T. Se inicia con la segunda ley de Newton para la i-ésima partícula,
d E a fij + f i = dt 1mi vi2, j donde fij es la fuerza ejercida sobre la i-ésima partícula por la j-ésima partícula y f Ei es la fuerza externa sobre la i-ésima partícula. Se toma el producto punto de esta ecuación por vi y se suma desde i = 1 hasta N: E# # #d a a fij vi + a f i vi = a vi dt 1mi vi2. i
j
i
(19.2)
i
El término del lado derecho de esta ecuación puede expresarse como la razón de cambio de la energía cinética total:
d dT 1 #d # a vi dt 1mi vi2 = dt a 2 mi vi vi = dt . i i Multiplicando la ecuación (19.2) por dt se obtiene E# # a a fij dri + a f i dri = dT. i
j
i
Al integrar esta ecuación resulta 1ri22
m1
f12
f21
aa i
j
L1ri21
fij # dri + a i
1ri22
L1ri21
f Ei # dri = T2 - T1.
(19.3)
m2
r2 r1
O
Los términos del lado izquierdo son el trabajo realizado sobre el sistema por las fuerzas internas y externas cuando las partículas se mueven de las posiciones 1ri21 a 1ri22. Se observa que el trabajo realizado por fuerzas internas y externas cuando un sistema de partículas se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en la energía cinética total del sistema. Si las partículas representan un cuerpo rígido, se supone que las fuerzas internas entre cada par de partículas están dirigidas a lo largo de la recta que las une, el trabajo que realizan las fuerzas internas es igual a cero. Para demostrar que esto es cierto se consideran dos partículas de un cuerpo rígido llamadas 1 y 2 (figura 19.2).
www.FreeLibros.org Figura 19.2 Partículas 1 y 2 y las fuerzas que ejercen entre sí.
19.1 Trabajo y energía
415
La suma de las fuerzas que las dos partículas ejercen entre sí es cero 1f12 + f21 = 02, por lo que la razón a la que las fuerzas realizan trabajo (la potencia) es
f12 # v1 + f21 # v2 = f21 # 1v2 - v12.
Se puede demostrar que f21 es perpendicular a v2 - v1 y, consecuentemente, que la razón a la que las fuerzas internas realizan trabajo entre estas dos partículas es cero. Como éstas son puntos de un cuerpo rígido, su velocidad relativa puede expresarse en términos de la velocidad angular del cuerpo rígido como
v2 - v1 = * 1r2 - r12.
(19.4)
Esta ecuación demuestra que la velocidad relativa v2 - v1 es perpendicular a r2 - r1, que es el vector de posición de la partícula 1 a la partícula 2. Como la fuerza f21 es paralela a r2 - r1, es perpendicular a v2 - v1. Este argumento puede repetirse para cada par de partículas del cuerpo rígido y ver que la razón total a la que las fuerzas internas realizan trabajo es cero. Esto implica que el trabajo que realizan cuando un cuerpo rígido se mueve entre dos posiciones es cero. Observe que si un objeto no es rígido, las fuerzas internas pueden realizar trabajo. Por lo tanto, en el caso de un cuerpo rígido, el trabajo realizado por las fuerzas internas en la ecuación (19.3) se suprime. Si se denota con U12 el trabajo efectuado por las fuerzas externas, se obtiene el principio del trabajo y la energía para un cuerpo rígido: El trabajo realizado por fuerzas y pares externos cuando un cuerpo rígido se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en la energía cinética total del cuerpo: U12 = T2 - T1.
mi
(19.5)
Ri
También se puede establecer este principio para un sistema de cuerpos rígidos: El trabajo realizado por fuerzas y pares externos e internos cuando un sistema de cuerpos rígidos se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en la energía cinética total del sistema. ri r
Energía cinética La energía cinética de un cuerpo rígido puede expresarse en términos de la velocidad del centro de masa del cuerpo y de su velocidad angular. Primero se considerará un movimiento plano general y después la rotación alrededor de un eje fijo. Movimiento plano general A continuación se modelará un cuerpo rígido como un sistema de partículas. Sea Ri el vector de posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa del cuerpo (figura 19.3). La posición del centro de masa es
r =
O
Figura 19.3 Representación de un cuerpo rígido como un sistema de partículas.
a mi ri i
, m donde m es la masa del cuerpo rígido. La posición de la i-ésima partícula respecto a O está relacionada con su posición respecto al centro de masa por r i = r + R i,
(19.6)
y los vectores Ri satisfacen la relación
a mi Ri = 0.
(19.7)
i
La energía cinética del cuerpo rígido es la suma de las energías cinéticas de sus partículas, dada por la ecuación (19.1):
www.FreeLibros.org T = a 21 mi vi # vi. i
(19.8)
416
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Plano de movimiento y
mi Ri
L z
y
mi
ri Ri sen b k Ri
L
k
z
x
Ri b x
r
Figura 19.4 (a) Sistema coordenado con el eje z alineado con L. (b) La magnitud de k * Ri es la distancia perpendicular de L a mi.
O (b)
(a)
Derivando con respecto al tiempo la ecuación (19.6) se obtiene
vi = v +
dRi , dt
donde v es la velocidad del centro de masa. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (19.8) y usando la ecuación (19.7), se obtiene la energía cinética del cuerpo rígido en la forma
dRi T = 21 mv2 + a 21 mi dt i
# dRi ,
(19.9)
dt
donde v es la magnitud de la velocidad del centro de masa. Sea L el eje que pasa por el centro de masa y que es perpendicular al plano de movimiento (figura 19.4a). En términos del sistema coordenado mostrado, se puede expresar el vector de velocidad angular como = vk. La velocidad de la i-ésima partícula respecto al centro de masa es dRi >dt = vk * Ri, por lo que se puede escribir la ecuación (19.9) como
T = 21 mv2 + 21 c a mi1k * Ri2 # 1k * Ri2 d v2.
(19.10)
i
La magnitud del vector k * Ri es la distancia perpendicular ri desde L hasta la i-ésima partícula (figura 19.4b), por lo que el término entre corchetes en la ecuación (19.10) es el momento de inercia del cuerpo respecto a L: 2 2 # a mi1k * Ri2 1k * Ri2 = a mi ƒ k * Ri ƒ = a mi r i = I. i
i
i
Así, se obtiene la energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano general con la forma
v v
1 1 T mv2 Iv2 2 2
Figura 19.5 Energía cinética en movimiento plano general.
T = 21 mv 2 + 21 Iv 2,
(19.11)
donde m es la masa del cuerpo rígido, v es la magnitud de la velocidad del centro de masa, I es el momento de inercia respecto al eje L que pasa por el centro de masa y v es la velocidad angular. Se observa que la energía cinética consiste en dos términos: la energía cinética traslacional, debida a la velocidad del centro de masa, y la energía cinética rotatoria debida a la velocidad angular (figura 19.5).
www.FreeLibros.org Rotación con un eje fijo Un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo está en movimiento plano general y su energía cinética está dada por la ecuación (19.11).
19.1 Trabajo y energía
Pero en este caso hay otra expresión para la energía cinética que suele ser conveniente. Suponga que un cuerpo rígido gira con velocidad angular v respecto a un eje fijo O. En términos de la distancia d desde O hasta el centro de masa del cuerpo, la velocidad del centro de masa es v = vd (figura 19.6a). Según la ecuación (19.11), la energía cinética es
T = 21 m1vd22 + 21 Iv2 = 21 1I + d 2m2v2.
417
v vd v d
O
(a)
De acuerdo con el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia respecto a O es IO = I + d 2 m, por lo que se obtiene la energía cinética de un cuerpo rígido girando respecto a un eje fijo O en la forma (figura 19.6b)
T =
T
v
1 2 2 IOv .
(19.12)
Trabajo y energía potencial
1 I v2 2 O
O (b)
Los procedimientos para determinar el trabajo que realizan los diferentes tipos de fuerzas, así como las expresiones para las energías potenciales de fuerzas que se estudiaron en el capítulo 15, proporcionan las herramientas esenciales para aplicar el principio del trabajo y la energía a un cuerpo rígido. El trabajo realizado sobre un cuerpo rígido por una fuerza F está dado por
Figura 19.6 (a) Velocidad del centro de masa. (b) Energía cinética de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo.
1rp22
U12 =
L1rp21
F # drp,
(19.13)
donde rp es la posición del punto de aplicación de F (figura 19.7). Si el punto de aplicación está fijo, o si la dirección de su movimiento es perpendicular a F, no se realiza trabajo. Una fuerza F es conservativa si existe una energía potencial V tal que F drp = -dV.
(19.14)
En términos de su energía potencial, el trabajo efectuado por una fuerza conservativa F es 1rp22
U12 =
L1rp21
F # drp =
V2
LV1
- dV = - 1V2 - V12,
donde V1 y V2 son los valores de V en 1rp21 y 1rp22. Si un cuerpo rígido está sometido a un par M (figura 19.8a), ¿cuál es el trabajo realizado mientras el cuerpo se mueve entre dos posiciones? Se puede evaluar el trabajo representando el par mediante fuerzas (figura 19.8b) y determinando el
F F
(rp)2
Figura 19.7 El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo rígido se determina por la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza.
www.FreeLibros.org (rp)1
O
418
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
trabajo que efectúan éstas. Si el cuerpo gira un ángulo du en la dirección del par (figura 19.8c), el trabajo que realiza cada fuerza es A –21 D duBF, por lo que el trabajo total es DF du = M du. Integrando esta expresión se obtiene el trabajo realizado por un par M al girar el cuerpo de u1 a u2 en la dirección de M: M u2
U12 =
(a)
F
Lu1
M du.
(19.15)
Si M es constante, el trabajo es simplemente el producto del par por el desplazamiento angular: U12 = M1u2 - u12
D
(par constante)
Un par M es conservativo si existe una energía potencial V tal que
F
M du = - dV.
(b) 1 Ddu 2
F du
(19.16)
El trabajo realizado por un par conservativo puede expresarse en función de su energía potencial: V2
u2
U12 = F 1 Ddu 2
(c)
Figura 19.8 (a) Cuerpo rígido sometido a un par. (b) Par equivalente que consiste en dos fuerzas: DF = M. (c) Determinación del trabajo realizado por las fuerzas.
Lu1
M du =
LV1
-dV = - 1V2 - V12.
Por ejemplo, en la figura 19.9 un resorte torsional ejerce sobre una barra un par que es proporcional al ángulo de rotación de la barra: M = - ku. En la relación M du = - ku du = - dV, se observa que la energía potencial debe satisfacer la ecuación
dV = ku. du Integrando esta ecuación, se encuentra que la energía potencial del resorte torsional es
V = 21 ku 2.
(19.17)
Si todas las fuerzas y todos los pares que trabajan sobre un cuerpo rígido son conservativos, se puede expresar el trabajo realizado al moverse entre las posiciones 1 y 2 en términos de la energía potencial total de las fuerzas y pares: U12 = V1 - V2. Combinando esta relación con el principio del trabajo y la energía, ecuación (19.5), se concluye que la suma de la energía cinética y la energía potencial total es constante—la energía se conserva: T1 + V1 = T2 + V2
(19.18)
Si un sistema está sujeto tanto a fuerzas conservativas como a no conservativas, el principio del trabajo y la energía puede escribirse en la forma T1 + V1 + U12 = T2 + V2
(19.19)
El término U12 incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan sobre el sistema cuando se mueve de la posición 1 a la posición 2. Si una fuerza es conservativa, hay una decisión que debe tomarse. El trabajo que realiza la fuerza puede calcularse e incluirse en U12, o bien la energía potencial de la fuerza se puede incluir en V.
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19.1 Trabajo y energía
Potencia
419
k
El trabajo que realiza una fuerza F sobre un cuerpo rígido durante un desplazamiento infinitesimal drp de su punto de aplicación es
(a)
F drp. Se obtiene la potencia P transmitida al cuerpo rígido —la razón a la que se realiza trabajo sobre él— dividiendo esta expresión entre el intervalo de tiempo dt durante el cual tiene lugar el desplazamiento. Se obtiene ku
P = F vp,
u
(19.20)
donde vp es la velocidad del punto de aplicación de F. De manera similar, el trabajo realizado por un par M sobre un cuerpo rígido en movimiento plano durante una rotación infinitesimal du en la dirección de M es M du. Dividiendo esta expresión entre dt, se encuentra que la potencia transmitida al cuerpo rígido es el producto del par por la velocidad angular: P = M v.
(19.21)
(b)
Figura 19.9 (a) Resorte torsional lineal conectado a una barra. (b) El resorte ejerce un par de magnitud ku en la dirección opuesta a la rotación de la barra.
El trabajo total realizado sobre un cuerpo rígido durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo, por lo que la potencia total transmitida es igual a la razón de cambio de su energía cinética:
P =
dT . dt
El promedio con respecto al tiempo de la potencia durante un intervalo de tiempo de t1 a t2 es t
Pprom =
T
2 2 T2 - T1 1 1 P dt = dT = . t2 - t1 LT1 t2 - t1 Lt1 t2 - t1
Esta expresión muestra que la potencia promedio transmitida a un cuerpo rígido o desde él durante un intervalo de tiempo se puede determinar dividiendo el cambio en su energía cinética, o el trabajo total realizado, entre el intervalo de tiempo:
Pprom =
T2 - T1 U12 = . t2 - t1 t2 - t1
(19.22)
RESULTADOS
Principio del trabajo y la energía Sea T la energía cinética total de un sistema de cuerpos rígidos. El principio del trabajo y la energía establece que el trabajo realizado por fuerzas y pares internos y externos, cuando el sistema se mueve entre dos posiciones, es igual al cambio en la energía cinética total del sistema.
U12 T2 T1.
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420
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Energía cinética v v
La energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano general es la suma de la energía cinética traslacional y la energía cinética rotacional.
T 12 mv2 12 Iv2.
(19.11)
T 12 IOv2.
(19.12)
v O
Energía cinética de un cuerpo rígido que experimenta movimiento plano respecto a un eje fijo O. IO es el momento de inercia del cuerpo rígido respecto a O.
Trabajo realizado por una fuerza
F F
(rp)2 (rp)1 O
Trabajo realizado sobre un cuerpo rígido por una fuerza F cuando el punto de aplicación de la fuerza se mueve de la posición (rp)1 a la posición (rp)2. Una fuerza F es conservativa si existe una energía potencial V tal que (19.14) F drp dV.
(rp)2
U12
L (rp)1
F drp.
(19.13)
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19.1 Trabajo y energía
421
Trabajo realizado por un par
M
Trabajo realizado sobre un cuerpo rígido por un par M cuando el cuerpo rígido gira desde una posición angular (en radianes) u1 hasta la posición angular u2. Un par M es conservativo si existe una energía potencial V tal que M du dV.
(19.16)
u2
U12
L u1
M du.
(19.15)
Si M es constante, U12 M (u2 u1).
Conservación de la energía Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un sistema de cuerpos rígidos son conservativas, la suma de la energía cinética total y la energía potencial total es la misma en cualesquiera dos posiciones.
T1 V1 T2 V2.
Cuando sobre un sistema de cuerpos rígidos realizan trabajo tanto fuerzas conservativas como no conservativas, el principio del trabajo y la energía puede expresarse en términos de la energía potencial V de las fuerzas conservativas y el trabajo U12 realizado por las fuerzas no conservativas.
T1 V1 U12 T2 V2.
(19.18)
(19.19)
1. Identificar las fuerzas y los pares que realizan trabajo. Use diagramas de cuerpo libre para determinar qué fuerzas y pares externos realizan trabajo sobre el sistema. La aplicación de los métodos energéticos a un cuerpo rígido o sistema de cuerpos rígidos suele implicar tres pasos.
2. Aplicar el principio del trabajo y la energía o de la conservación de la energía. Iguale el trabajo total realizado durante un cambio de posición con el cambio en la energía cinética, o bien iguale la suma de las energías cinética y potencial en las dos posiciones. 3. Determinar relaciones cinemáticas. Para completar la solución, a menudo es necesario obtener relaciones entre las velocidades de los puntos de los cuerpos rígidos con sus velocidades angulares.
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422
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Potencia La potencia transmitida a un cuerpo rígido por una fuerza. El término vp es la velocidad del punto de aplicación de la fuerza.
P F vp.
(19.20)
La potencia transmitida a un cuerpo rígido por un par es el producto del par por la velocidad angular del cuerpo rígido.
P Mv.
(19.21)
La potencia promedio transmitida a un cuerpo rígido durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo, o el trabajo total realizado durante ese tiempo, dividido entre el intervalo de tiempo.
Ejemplo activo 19.1
Pprom
U12 T2 T1 . t2 t1 t2 t1
(19.22)
Aplicación del trabajo y la energía a un disco rodante ( Relacionado con los problemas 19.19, 19.20) 1
Un disco de masa m y momento de inercia I = 2 mR 2 se suelta desde el reposo sobre la superficie inclinada que se muestra en la figura. Suponiendo que el disco rueda sin deslizarse, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de su centro cuando se ha desplazado una distancia b?
R
Estrategia Se igualará el trabajo realizado cuando el disco rueda una distancia b con el cambio en su energía cinética. Para determinar la velocidad del centro del disco, se necesitará la relación entre la velocidad del centro y la velocidad angular del disco.
b b
Solución Identificación de las fuerzas y los pares que realizan trabajo
mg sen b
Diagrama de cuerpo libre del disco. N y f son las fuerzas normal y de fricción ejercidas por la superficie inclinada. El peso del disco realiza trabajo al rodar, pero la fuerza normal y la fuerza de fricción no lo hacen. Para explicar por qué sucede esto, el trabajo efectuado por una fuerza F puede escribirse como (rp)2
mg cos b
f N
L (rp)1
F drp
t2
L t1
F
t2 drp dt F vp dt, dt L t1
donde vp es la velocidad del punto de aplicación de F. Como la velocidad del punto en que actúan las fuerzas normal y de fricción es igual a cero, éstas no realizan trabajo.
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19.1 Trabajo y energía
423
Aplicación del trabajo y la energía
El trabajo realizado por el peso del disco es el producto de la componente del peso en la dirección del movimiento por la distancia b. Observe que este resultado también se obtiene al multiplicar el peso del disco mg por la disminución en la altura del centro de masa.
Iguale el trabajo con el cambio en la energía cinética del disco. La energía cinética inicial es igual a cero. Sea v la velocidad del centro del disco y v su velocidad angular cuando el centro se ha movido una distancia b.
U12 (mg sen b)b.
mgb sen b 12 mv2 12 Iv2 0.
(1)
v Rv.
(2)
Determinación de las relaciones cinemáticas
v R
v
Relación entre la velocidad del centro del disco y la velocidad angular en el movimiento rodante.
Despejando v y v de las ecuaciones (1) y (2) y sustituyendo I 12 mR2 se obtiene la velocidad.
v
4gb sen b . 3
Problema de práctica Suponga que el disco se suelta desde el reposo y está sometido a un par constante M en el sentido de las manecillas del reloj cuando rueda hacia abajo sobre la superficie inclinada. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del centro del disco cuando se ha movido una distancia b?
www.FreeLibros.org Mb 4 Respuesta: v = A agb sen b + mR b . 3
424
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.2
Aplicación del trabajo y la energía a una motocicleta ( Relacionado con los problemas 19.27, 19.28) Cada rueda de la motocicleta mostrada tiene masa mW = 9 kg, radio R = 330 mm y momento de inercia I = 0.8 kg-m2. La masa combinada del conductor y la motocicleta, sin incluir las ruedas es mC = 142 kg. La motocicleta parte desde el reposo y su motor ejerce un par constante M = 140 N-m sobre la rueda trasera. Suponga que las ruedas no se deslizan. ¿Qué distancia horizontal b debe recorrer la motocicleta para alcanzar una velocidad de 25 m/s?
R
R
Estrategia Para determinar la distancia b, se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al sistema que consiste en el conductor y la motocicleta, incluyendo las ruedas. Solución La determinación de la distancia b requiere tres pasos. Identificación de las fuerzas y los pares que realizan trabajo En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema. Los pesos no realizan trabajo porque el movimiento es horizontal, y las fuerzas ejercidas por el camino sobre las ruedas no trabajan porque la velocidad de sus puntos de aplicación es cero. (Vea el ejemplo activo 19.1). Así, las fuerzas y los momentos pares externos no realizan ningún trabajo. Sin embargo, el par M que ejerce el motor sobre la rueda trasera sí trabaja (figura b). Aunque se trata de un par interno para el sistema considerado (las ruedas ejercen un par opuesto sobre el cuerpo de la motocicleta) se realiza un trabajo neto porque las ruedas giran y el cuerpo no.
mC g mWg
mWg Ax
Bx
www.FreeLibros.org Ay
By
(a) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
19.1 Trabajo y energía
M
Cy Cx mWg
mC g
M Cx
Ax
425
mWg Cy
Ay
Bx By
(b) Rueda trasera aislada.
Aplicación del trabajo y la energía Si la motocicleta se mueve una distancia horizontal b, las ruedas giran un ángulo b>R rad y el trabajo realizado por el par constante M es
b U12 = M1u2 - u12 = M a b . R Sea v la velocidad de la motocicleta y v la velocidad angular de las ruedas cuando se ha movido una distancia b. El trabajo es igual al cambio en la energía cinética total:
1 1 1 b M a b = mC v2 + 2 a mW v2 + Iv2 b - 0. R 2 2 2
(1)
Determinación de las relaciones cinemáticas La velocidad angular de las ruedas está relacionada con la velocidad v por v = v>R. Sustituyendo esta relación en la ecuación (1) y despejando b, se obtiene
I Rv 2 1 b = a mC + mW + 2 b 2 M R 0.8 kg-m 2 10.33 m2 125 m/s2 1 = c 1142 kg2 + 19 kg2 + d 2 140 N-m 10.33 m22
2
= 129 m. Razonamiento crítico Aunque se dibujaron por separado los diagramas de cuerpo libre de la motocicleta y su rueda trasera para clarificar el trabajo realizado por el par que ejerce el motor, observe que se trata a la motocicleta, incluyendo sus ruedas, como un solo sistema al aplicar el principio del trabajo y la energía. Al hacerlo así, no fue necesario considerar el trabajo realizado por las fuerzas internas entre el cuerpo de la motocicleta y sus ruedas. Al aplicar el principio del trabajo y la energía a un sistema de cuerpos rígidos, suele ser más sencillo expresar el principio para el sistema en su conjunto. Lo anterior contrasta con la determinación del movimiento de un sistema de cuerpos rígidos usando las ecuaciones de movimiento, lo que usualmente requiere dibujar diagramas de cuerpo libre de cada cuerpo rígido y aplicarles las ecuaciones de manera individual.
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426
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.3
Aplicación de la conservación de la energía a un mecanismo ( Relacionado con el problema 19.40) Las barras delgadas AB y BC del mecanismo mostrado tienen masa m y longitud l, el collarín C tiene masa mC. Un resorte torsional en A ejerce un par en el sentido de las manecillas del reloj horario ku sobre la barra AB. El sistema se libera desde el reposo en la posición u = 0 y se permite que caiga. Ignorando la fricción, determine la velocidad angular v = du>dt de la barra AB como función de u. Estrategia El objetivo en este ejemplo —la determinación de una velocidad angular en función de la posición del sistema— incita al uso de un método energético. Primero se deben identificar las fuerzas y pares que realizan trabajo sobre el sistema: si son conservativos, se puede aplicar la conservación de la energía para determinar v como una función de u. Si existen fuerzas no conservativas que efectúen trabajo sobre el sistema, se puede explicar el principio del trabajo y la energía.
C
Solución Identificación de las fuerzas y los pares que realizan trabajo En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema. Las fuerzas y pares que trabajan —los pesos de las barras y el collarín y el par ejercido por el resorte torsional— son conservativos. Para determinar v en función de u, se puede usar la conservación de la energía y las relaciones cinemáticas entre las velocidades angulares de las barras y la velocidad del collarín. Aplicación de la conservación de la energía El centro de masa de la barra BC se denota con G y su velocidad angular con vBC (figura b). El momento de inercia 1 de cada barra respecto a su centro de masa es I = – ml 2. Como la barra AB gira 12 alrededor de un punto fijo A, se puede escribir su energía cinética como
B
u
A
Tbarra AB = 21 IAv2 = C
N
1 2
C I + A 21 l B 2m D v2 = 61 ml 2v 2.
La energía cinética de la barra BC es 2 Tbarra BC = 21 mv G2 + 21 IvBC = 21 mvG2 +
mCg
La energía cinética del collarín C es
u
Tcollarín = 21 mC vC2 .
mg
B
1 2 2 24 ml vBC.
Usando el nivel de referencia de la figura a, se obtienen las energías potenciales de los pesos:
Vbarra AB + Vbarra BC + Vcollarín = mg121 l cos u2 + mg123 l cos u2 + mcg12 l cos u2.
u Ay
La energía potencial del resorte torsional está dada por la ecuación (19.17): mg ku
Ax
Nivel de referencia
(a) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Vresorte = 21 ku2. Ahora se tienen todos los elementos para aplicar la conservación de la energía. Se iguala la suma de las energías cinética y potencial en la posición u = 0 con la suma de las energías cinética y potencial en un valor arbitrario de u:
T1 + V1 = T2 + V2: 0 + 2mgl + 2mC gl = 61 ml 2v 2 + 21 mvG2 +
1 2 2 24 ml vBC
+ 21 mC vC2
+ 2mgl cos u + 2mC gl cos u + 21 ku2. Para determinar v a partir de esta ecuación, se debe expresar las velocidades vG, vC y vBC en términos de v.
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427
19.1 Trabajo y energía
vC
Determinación de las relaciones cinemáticas Se puede determinar la velocidad del punto B en términos de v y después expresar la velocidad del punto C en función de la velocidad del punto B y de la velocidad angular vBC. La velocidad de B es
vB = vA +
AB
* rB>A
u
i j k 3 = 0 + 0 0 v3 - l sen u l cos u 0 = - lv cos u i - lv sen uj.
BC
y u v
* rC>B
i = - lv cos u i - lv sen uj + 3 0 l sen u
j 0 l cos u
k vBC 3 . 0
Igualando las componentes i y j se obtiene vBC = -v,
G
B
La velocidad de C, expresada en términos de la velocidad de B, es
vC j = vB +
C vBC
x A
(b) Velocidades angulares de las barras y velocidad del collarín.
vC = -2lv sen u.
(El signo menos indica que las direcciones de las velocidades son opuestas a las direcciones supuestas en la figura b). Ahora que se conoce la velocidad angular de la barra BC en términos de v, se puede determinar la velocidad de su centro de masa en términos de v, expresándola en función de vB:
vG = vB +
BC
* rG>B
= - lv cos u i - lv sen uj + 3
i 0 1 2 l sen u
j 0 1 2 l cos u
k -v 3 0
= - 21 lv cos u i - 23 lv sen uj. Sustituyendo estas expresiones para vBC, vC y vG en la ecuación de la conservación de la energía y despejando v se obtiene
v = c
2gl1m + mC2 11 - cos u2 - 21 ku 2 1 2 3 ml
+ 1m + 2mC2l sen u 2
2
d
1>2
.
Razonamiento crítico En este ejemplo puede aplicarse la segunda ley de Newton y la ecuación del movimiento angular para un cuerpo rígido en vez de la conservación de la energía. ¿Cómo se decide el método que debe usarse? Por lo general, los métodos energéticos que se han descrito son útiles sólo cuando se puede determinar con facilidad el trabajo realizado por las fuerzas y los pares que actúan sobre un sistema o sus energías potenciales asociadas. Cuándo se da este caso a menudo es preferible usar un método energético. Para aplicar la segunda ley de Newton y la ecuación del movimiento angular a este ejemplo, sería necesario dibujar diagramas de cuerpo libre individuales de las dos barras y el collarín C, con lo que se introducirían en la formulación las fuerzas ejercidas sobre las barras y el collarín en los pasadores que los conectan. En contraste, fue posible aplicar la conservación de la energía al sistema en su conjunto, lo que simplificó en gran medida la solución.
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428
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Problemas 19.1 El momento de inercia del rotor de la centrifugadora médica mostrada es I = 0.2 kg-m2. El rotor parte desde el reposo y el motor ejerce un par de torsión constante de 0.8 N-m sobre él. a) ¿Cuánto trabajo habrá realizado el motor sobre el rotor cuando este último haya girado cuatro revoluciones? b) ¿Cuál será la velocidad angular del rotor (en rpm) cuando éste haya girado cuatro revoluciones?
19.4 En un inicio, la estación espacial no está girando. Su sistema de control por propulsión ejerce un par constante sobre ella hasta que ha girado 90°, después ejerce un par constante de la misma magnitud en la dirección opuesta de manera que su velocidad angular disminuya a cero cuando la estación haya logrado un giro de 180°. La maniobra requiere 6 horas. El momento de inercia de la estación respecto al eje de rotación es I = 1.5 * 1010 kg-m2. ¿Cuánto trabajo se realiza al efectuar esta maniobra? En otras palabras, ¿cuánta energía se gasta en la forma de combustible de control por propulsión?
Problema 19.1 19.2 La barra delgada de 4 lb que se muestra en la figura tiene una longitud de 2 pies. Partió desde el reposo en una posición inicial respecto al marco de referencia inercial. Cuando está en la posición mostrada, la velocidad del extremo A es 2i + 6j (pies/s) y la barra tiene una velocidad angular de 12 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuánto trabajo se realizó sobre la barra mientras ésta se movía desde su posición inicial hasta su posición actual?
Problema 19.4
y B
A
30 x
19.5 El rotor del helicóptero mostrado parte desde el reposo. Suponga que su motor ejerce un par constante de 1200 lb-pie sobre el rotor y la resistencia aerodinámica es insignificante. El momento de inercia del rotor es I = 400 slug-pie2. a) Use el trabajo y la energía para determinar la magnitud de la velocidad angular del rotor cuando ha girado 5 revoluciones. b) ¿Cuál es la potencia promedio transferida al rotor mientras éste gira 5 revoluciones?
Problema 19.2 19.3 El disco de 20 kg mostrado está en reposo cuando se aplica el par constante de 10 N-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular del disco (en rpm) cuando ha girado cuatro revoluciones a) aplicando la ecuación del movimiento angular ©M = Ia y b) aplicando el principio del trabajo y la energía.
19.6 El rotor del helicóptero mostrado parte desde el reposo. El momento ejercido sobre él (en N-m) está dado en función del ángulo que ha girado en radianes por M = 6500 - 20u. El momento de inercia del rotor es I = 540 kg-m2. Determine la velocidad angular del rotor (en rpm) cuando ha girado 10 revoluciones.
10 N-m 0.25 m
www.FreeLibros.org Problema 19.3
Problemas 19.5/19.6
Problemas 19.7 Durante una actividad extravehicular, la velocidad angular de una astronauta es inicialmente igual a cero. Ella activa dos impulsores de su unidad de maniobras, ejerciendo fuerzas iguales y opuestas T = 2 N. El momento de inercia de la astronauta y su equipo respecto al eje de rotación es de 45 kg-m2. Use el principio del trabajo y la energía para determinar el ángulo que ha girado cuando su velocidad angular llega a 15° por segundo.
429
19.9 La barra de 20 lb mostrada se suelta desde el reposo en la posición horizontal 1 y cae a la posición 2. Además de la fuerza ejercida sobre la barra por su peso, está sometida a un par M = 30 lb-pie en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad angular de la barra en la misma dirección en la posición 2.
y 4 pies 1
T
A M
1.0 m
x
40
T
M 2
Problema 19.9
19.10 El objeto mostrado consiste en una barra delgada de 8 lb soldada a un disco circular. Cuando el objeto se suelta desde el reposo en la posición 1, su velocidad angular en la posición 2 es de 4.6 rad/s. ¿Cuál es el peso del disco? Problema 19.7 19.8 La barra delgada de 8 kg que se muestra en la figura se suelta desde el reposo en la posición horizontal 1 y cae a la posición 2. a) ¿Cuánto trabajo es realizado por el peso de la barra cuando ésta cae de la posición 1 a la posición 2? b) ¿Cuánto trabajo es realizado por la fuerza ejercida sobre la barra por el soporte de pasador cuando la barra cae de la posición 1 a la posición 2? c) Use la conservación de la energía para determinar la velocidad angular de la barra cuando está en la posición 2.
19.11* El objeto mostrado consiste en una barra delgada de 8 lb soldada a un disco circular de 12 lb. El objeto se suelta desde el reposo en la posición 1. Determine las componentes x e y de las fuerzas ejercidas sobre el objeto por el soporte de pasador cuando se encuentra en la posición 2. y 22 pulg 5 pulg 1
y
A
x
45
2m 1
A
x
2
Problemas 19.10/19.11
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Problema 19.8
430
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.12 La masa de cada una de las cajas mostradas es de 4 kg. El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia es de 0.032 kg-m2. Las superficies son lisas. Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿a qué velocidad se estarán moviendo las cajas cuando la caja izquierda se haya movido 0.5 m a la derecha?
el principio del trabajo y la energía para determinar las velocidades angulares de los engranes cuando el engrane A haya girado 100 revoluciones.
19.13 La masa de cada una de las cajas mostradas es de 4 kg. El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia es de 0.032 kg-m2. El coeficiente de fricción cinética entre las cajas y las superficies es mk = 0.12. Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿a qué velocidad se estarán moviendo las cajas cuando la caja izquierda se haya movido 0.5 m a la derecha?
M
90 mm B A 60 mm
Problema 19.15 30
Problemas 19.12/19.13
19.14 La barra de 4 kg que se muestra en la figura se suelta desde el reposo en la posición horizontal 1 y cae a la posición 2. La longitud sin estirar del resorte es de 0.4 m y la constante del resorte es k = 20 N/m. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando está en la posición 2?
19.16 Los momentos de inercia de los engranes A y B son IA = 0.02 kg-m2 e IB = 0.09 kg-m2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con constante k = 12 N-m/rad. Si al engrane B se le da una velocidad angular inicial de 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj con el resorte torsional sin estirar, ¿cuál es el ángulo máximo a través del cual gira el engrane B en sentido contrario al de las manecillas del reloj?
1m
0.6 m
200 mm B
A
1
60
A
140 mm
Problema 19.16
2
Problema 19.14
19.15 Los momentos de inercia de dos engranes que pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador son IA = 0.002 kg-m2 e IB = 0.006 kg-m2. Los engranes están en reposo cuando se aplica un par constante M = 2 N-m al engrane B. Ignore la fricción y use
19.17 Los momentos de inercia de las tres poleas mostradas, que pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador, son IA = 0.002 kg-m2, IB = 0.036 kg-m2 e IC = 0.032 kg-m2. Las poleas están en reposo cuando se aplica un par constante M = 2 N-m a la polea A. ¿Cuál es la velocidad angular de la polea A cuando ha girado 10 revoluciones? 100 mm 100 mm M
www.FreeLibros.org A
200 mm
200 mm
B
Problema 19.17
C
Problemas 19.18 Modele el brazo ABC mostrado como un solo cuerpo rígido. Su masa es de 300 kg y el momento de inercia respecto a su centro de masa es I = 360 kg-m2. Partiendo desde el reposo con su centro de masa 2 m arriba del suelo (posición 1), los cilindros hidráulicos empujan el brazo ABC hacia arriba. Cuando está en la posición mostrada (posición 2), su velocidad angular es de 1.4 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuánto trabajo realizan los cilindros hidráulicos sobre el brazo al moverlo de la posición 1 a la posición 2?
431
19.20 La masa del disco cilíndrico homogéneo mostrado es m = 5 kg y su radio es R = 0.2 m. El ángulo b = 15°. El disco está en reposo cuando se aplica sobre él un par constante M = 10 N-m en el sentido de las manecillas del reloj. Si el disco rueda sin deslizarse, ¿cuál es la velocidad del centro del disco cuando se ha movido una distancia b = 0.4 m? (Vea el ejemplo activo 19.1). R M
1.80 m 1.40 m B
C 0.30 m
b
b
0.80 m A
Problema 19.20
0.70 m 2.25 m
Problema 19.18 19.19 La masa del disco circular mostrado es de 5 kg y su radio es R = 0.2 m. El disco está en reposo cuando se le aplica un par constante M = 10 N-m en el sentido de las manecillas del reloj, con lo que el disco rueda hacia la derecha. Considere el instante cuando el centro del disco se ha movido una distancia b = 0.4 m. a) ¿Cuánto trabajo ha realizado el par M sobre el disco? b) ¿Cuánto trabajo ha realizado la fuerza de fricción ejercida por la superficie sobre el disco? c) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del centro del disco? (Vea el ejemplo activo 19.1).
b M
19.21 La masa del carrete disco escalonado que se muestra en la figura es de 18 kg y su momento de inercia de masa es de 0.28 kg-m2. Si el carrete disco se libera desde el reposo, ¿cuál será su velocidad angular cuando el centro del carrete disco haya caído 1 m?
0.1 m
0.2 m
Problema 19.21 19.22 El disco cilíndrico homogéneo de 100 kg que se muestra en la figura está en reposo cuando se aplica la fuerza F = 500 N a una cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando que el disco ruede. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del disco cuando éste ha girado una revolución. F 300 mm
Problema 19.19
Problema 19.22
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432
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.23 Al disco cilíndrico homogéneo de 1 slug que se muestra en la figura se le da una velocidad angular de 2 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj con el resorte sin estirar. La constante del resorte es k = 3 lb/pie. Si el disco rueda, ¿cuánto se moverá su centro hacia la derecha?
k
1 pie
Problema 19.23 19.24 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. El momento de inercia de la polea es 0.03 slug-pie2. La superficie inclinada es lisa. Determine la magnitud de la velocidad del peso de 10 lb cuando éste ha caído 2 pies.
19.27 El momento de inercia total de las dos ruedas traseras y el eje trasero del automóvil mostrado es IR, y el momento de inercia total de las dos ruedas frontales es IF. El radio de las llantas es R y la masa total del automóvil, incluyendo las llantas, es m. El automóvil se mueve a velocidad v0 cuando el conductor aplica los frenos. Si éstos ejercen un par de retardo constante M sobre cada rueda y las llantas no se deslizan, determine la velocidad del automóvil como una función de la distancia s desde el punto en que los frenos fueron aplicados. (Vea el ejemplo 19.2). 19.28 El momento de inercia total de las dos ruedas traseras y el eje trasero del automóvil mostrado es de 0.24 kg-m2. El momento de inercia total de las dos ruedas frontales es de 0.2 kg-m2. El radio de las llantas es de 0.3 m. La masa del automóvil, incluyendo las llantas, es de 1480 kg. El vehículo se mueve a 100 km/h. Si los frenos del auto ejercen un par de retardo constante de 650 N-m sobre cada rueda y las llantas no se deslizan, ¿cuál es la distancia requerida para que el automóvil se detenga? (Vea el ejemplo 19.2).
19.25 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. El momento de inercia de la polea es de 0.03 slug-pie2. El coeficiente de fricción cinética entre el peso de 5 lb y la superficie inclinada es mk = 0.3. Determine la magnitud de la velocidad del peso de 10 lb cuando éste ha caído 2 pies. s
Problemas 19.27/19.28 5 lb
19.29 El radio de la polea es R = 100 mm y su momento de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg. La constante del resorte es k = 135 N/m. El sistema se suelta desde el reposo con el resorte sin estirar. Determine la velocidad a la que se estará moviendo la masa cuando haya caído 0.5 m.
6 pulg 20
10 lb
R
Problemas 19.24/19.25 19.26 Cada una de las cuatro ruedas del carro mostrado pesa 3 lb, tiene un radio de 5 pulg y un momento de inercia I = 0.01 slug-pie2. El carro (sin incluir sus ruedas) pesa 20 lb. El carro está en reposo cuando se aplica la fuerza horizontal constante F = 10 lb. ¿A qué velocidad se estará moviendo el carro cuando se haya desplazado 2 pies a la derecha?
k
m
F
Problema 19.29
www.FreeLibros.org Problema 19.26
Problemas 19.30 Las masas de la barra y el disco mostrados son de 14 kg y 9 kg respectivamente. El sistema se libera desde el reposo con la barra horizontal. Determine la velocidad angular de la barra cuando esté vertical si la barra y el disco están soldados en A. 19.31 Las masas de la barra y el disco mostrados son de 14 kg y 9 kg respectivamente. El sistema se libera desde el reposo con la barra horizontal. Determine la velocidad angular de la barra cuando esté vertical si la barra y el disco están conectados mediante un pasador liso en A.
433
19.34 La masa de la barra delgada de 2m de longitud mostrada es de 8 kg. Un resorte torsional ejerce un par ku en sentido contrario al de las manecillas del reloj sobre la barra, donde k = 40 N-m/rad y u está en radianes. La barra se suelta desde el reposo con u = 5°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando u = 60°?
u
k A O
Problema 19.34 1.2 m
19.35 La masa del objeto suspendido A es de 8 kg. La masa de la polea es de 5 kg y su momento de inercia es 0.036 kg-m2. Si se aplica la fuerza T = 70 N al sistema en reposo, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de A cuando se ha elevado 0.2 m?
0.3 m
Problemas 19.30/19.31 19.32 La caja de 45 kg es jalada hacia arriba por el malacate sobre el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es mk = 0.4. El momento de inercia de masa del tambor en que está enrollado el cable, es IA = 4 kg-m2. La caja parte desde el reposo y el motor ejerce un par constante M = 50 N-m sobre el tambor. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la caja cuando se ha desplazado 1 m.
M
0.15
m
T
120 mm
A A
Problema 19.35 20
Problema 19.32
19.36 La masa de la polea izquierda es de 7 kg y su momento de inercia es de 0.330 kg-m2. La masa de la polea derecha es de 3 kg y su momento de inercia es de 0.054 kg-m2. Si el sistema parte desde el reposo, ¿cuál es la velocidad de la masa de 18 kg cuando ha caído 0.1 m?
19.33 En la figura, cada una de las barras delgadas de 2 pies pesa 4 lb y la placa rectangular pesa 20 lb. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuál será la velocidad de la placa cuando las barras estén verticales?
0.2 m B
0.3 m 45
A
18 kg
www.FreeLibros.org 9 kg
Problema 19.33
Problema 19.36
434
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.37 La escalera de 18 kg mostrada se suelta desde el reposo con u = 10°. La pared y el piso son lisos. Modelando la escalera como una barra delgada, use la conservación de la energía para determinar su velocidad angular cuando u = 40°.
19.39 La masa de la barra mostrada es m = 4 kg y su longitud es l = 1.2 m. La constante del resorte es k = 180 N/m. Si la barra se suelta desde el reposo en la posición u = 10°, ¿cuál es su velocidad angular cuando ha caído a u = 20°?
k
u 4m
l
u
Problema 19.39
Problema 19.37
19.38 La barra delgada de 8 kg mostrada se suelta desde el reposo con u = 60°. La superficie horizontal es lisa. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra cuando u = 30°?
2m
19.40 La barra delgada de 4 kg que se muestra en la figura está articulada a un pistón de 2 kg en A y a un disco cilíndrico homogéneo de 4 kg en B. Ignore la fuerza de fricción sobre el pistón y suponga que el disco rueda. Si el sistema se suelta desde el reposo con u = 60°, ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando u = 0? (Vea el ejemplo 19.3).
A
u
1m
Problema 19.38 u B
200 mm
Problema 19.40
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Problemas 19.41* El collarín de la manga P se desliza sobre la barra horizontal lisa. La masa de cada barra es de 4 kg y la masa del collarín de la manga P es de 2 kg. Si el sistema se suelta desde el reposo con u = 60°, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del collarín de la manga P cuando u = 40°?
435
19.44* La barra AB pesa 5 lb. Cada uno de los collarines de las mangas A y B pesa 2 lb. El sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando el collarín de la manga B se ha movido 3 pulg hacia la derecha?
Q y 1.2 m
1.2 m A
θ
O
9 pulg P
B x
Problema 19.41 4 pulg
19.42* El sistema está en equilibrio en la posición mostrada. La masa de la barra delgada ABC es de 6 kg, la masa de la barra delgada BD es de 3 kg y la masa del collarín deslizador en C es de 1 kg. La constante del resorte es k = 200 N/m. Si se aplica en A una fuerza constante de 100 N hacia abajo, ¿cuál es la velocidad angular de la barra ABC cuando ha girado 20° desde su posición inicial?
A
12 pulg
Problema 19.44
19.45* Cada una de las barras mostradas tiene una masa de 8 kg y una longitud de 1 m. La constante del resorte es k = 100 N/m y el resorte está sin estirar cuando u = 0. Si el sistema se suelta desde el reposo con las barras en posición vertical, ¿cuál es la magnitud de la velocidad angular de las barras cuando u = 30°?
1m
1m
B k
1m 50
k
50
D
C u
Problema 19.42 19.43* Las masas de las barras AB y BC mostradas son 5 kg y 3 kg respectivamente. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras en el instante anterior a que la articulación junta B toque el piso liso? A
B
u
Problema 19.45
1m C
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Problema 19.43
1m
436
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.46* El sistema mostrado parte desde el reposo con la manivela AB en posición vertical. Un par constante M ejercido sobre la manivela ocasiona que ésta gire en el sentido de las manecillas del reloj, comprimiendo el gas en el cilindro. Sea s el desplazamiento (en metros) del pistón hacia la derecha respecto a su posición inicial. La fuerza neta hacia la izquierda ejercida sobre el pistón por la presión atmosférica y el gas en el cilindro es 350>11 - 10s2 N. El momento de inercia de la manivela respecto a A es de 0.0003 kg-m2. La masa de la biela BC es de 0.36 kg y su centro de masa está en su punto medio. El momento de inercia de la biela respecto su centro de masa es de 0.0004 kg-m2. La masa del pistón es de 4.6 kg. Si la velocidad angular de la manivela AB en el sentido de las manecillas del reloj es de 200 rad/s cuando ésta ha girado 90° desde su posición inicial, ¿qué valor tiene M? (Ignore el trabajo realizado por los pesos de la manivela y la biela).
19.47* En el problema 19.46, si el sistema parte desde el reposo con la manivela AB en posición vertical y el par M = 40 N-m, ¿cuál es la velocidad angular de AB en el sentido de las manecillas del reloj cuando la manivela ha girado 45° desde su posición inicial?
125 m
m
m
50
m
B
A
C
M
Problemas 19.46/19.47
19.2 Impulso y cantidad de movimiento ANTECEDENTES En esta sección se hace un repaso del principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales del capítulo 16, y después se deduce el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares para un cuerpo rígido. Estos principios relacionan integrales, respecto al tiempo de las fuerzas y pares sobre un cuerpo rígido, con los cambios en la velocidad de su centro de masa y su velocidad angular.
Cantidad de movimiento lineal Al integrar la segunda ley de Newton respecto al tiempo se obtiene el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales para un cuerpo rígido: t2
Lt1
©F dt = mv2 - mv1.
(19.23)
Aquí, v1 y v2 son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2 (figura 19.10). Si se conocen las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido en función del tiempo, con este principio puede obtenerse el cambio en la velocidad del centro de masa durante un intervalo de tiempo. En términos del promedio de la fuerza total desde t1 hasta t2, t
©Fprom =
2 1 ©F dt, t2 - t1 Lt1
se puede escribir la ecuación (19.23) como 1t2 - t12 ©Fprom = mv2 - mv1.
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Esta forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales suele ser útil cuando un objeto está sometido a fuerzas impulsivas. (Vea la sección 16.1).
19.2 Impulso y cantidad de movimiento
Tiempo t1
437
mv1 Tiempo t2 F
f F dt mv mv t2
t1
2
1
mv2
Figura 19.10 Principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales.
Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos cuerpos rígidos A y B son las fuerzas que éstos ejercen entre sí, o si otras fuerzas son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva: mAvA + mBvB = constante.
(19.25)
Cantidad de movimiento angular Cuando se aplican los principios de las cantidades de movimiento a cuerpos rígidos, a menudo es necesario determinar tanto las velocidades de sus centros de masa como sus velocidades angulares. Para esta tarea no basta el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal. En esta sección se deduce el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares para un cuerpo rígido en movimiento plano. Principios del impulso y la cantidad de movimiento angular El momento total respecto al centro de masa de un cuerpo rígido en movimiento plano es igual al producto del momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa por la aceleración angular: ©M = Ia. Esta ecuación puede escribirse en la forma
©M =
dH , dt
(19.26)
donde H = Iv
(19.27)
es la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido respecto a su centro de masa. Al integrar la ecuación (19.26) con respecto al tiempo, se obtiene una forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales: t2
Lt1
©M dt = H2 - H1.
(19.28)
Aquí, H1 y H2 son los valores de la cantidad de movimiento angular en los tiempos t1 y t2. Esta ecuación dice que el impulso angular respecto al centro de masa del cuerpo rígido durante el intervalo de tiempo entre t1 y t2 es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido respecto a su centro de masa. Si se conoce el momento total respecto al centro de masa como una función del tiempo, la ecuación (19.28) puede usarse para determinar el cambio en la velocidad angular desde t1 hasta t2. Se puede deducir otra forma útil de este principio: sea r el vector de posición del centro de masa del cuerpo rígido respecto a un punto fijo O (figura 19.11). En
v v
r
O
www.FreeLibros.org Figura 19.11 Cuerpo rígido en movimiento plano con velocidad v y velocidad angular v.
438
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
mv1 Iv1
Iv 2 MO r1
Figura 19.12 El impulso respecto a O es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular respecto a O.
mv2
r2 O
f M
(r1 mv1) k Iv1
t2
t1
O
dt (r2 mv2) k Iv 2
el capítulo 18 se dedujo una relación entre el momento total respecto a O debido a las fuerzas y pares externos y la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido respecto a O:
©MO = donde
v
dHO , dt
(19.29)
HO = 1r * mv2 k + Iv.
(19.30)
Integrando la ecuación (19.29) con respecto al tiempo se obtiene una segunda forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares: t2
r
Lt1 MO
O
k
Figura 19.13 Dirección de k.
©MO dt = HO2 - HO1.
(19.31)
El impulso angular respecto a un punto fijo O durante el intervalo de tiempo desde t1 hasta t2 es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido respecto a O (figura 19.12). El término 1r * mv2 k en la ecuación (19.30) es la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido respecto a O debido a la velocidad de su centro de masa. Este término tiene la misma forma que el momento de una fuerza, pero con la cantidad de movimiento lineal mv en lugar de la fuerza. Si se definen ©MO y v como positivas en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el vector unitario k apunta hacia fuera de la página (figura 19.13) y 1r * mv2 k es el “momento” en sentido contrario al de las manecillas del reloj de la cantidad de movimiento lineal. La expresión vectorial puede usarse para calcular esta cantidad, pero a menudo es más fácil usar el hecho de que su magnitud es el producto de la magnitud de la cantidad de movimiento lineal y la distancia perpendicular desde el punto O hasta la línea de acción de la velocidad. El “momento” es positivo si es en sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura 19.14a) y es negativo si tiene la misma dirección que las manecillas del reloj (figura 19.14b).
v v
v
v
D D
O
O Cantidad de movimiento angular HO D(mv) Iv
www.FreeLibros.org Figura 19.14 Determinación de la cantidad de movimiento angular respecto a O calculando el “momento” de la cantidad de movimiento lineal.
Cantidad de movimiento angular HO D(mv) Iv (a)
(b)
19.2 Impulso y cantidad de movimiento
Fuerzas y pares impulsivos masa desde t1 hasta t2 es
439
El promedio del momento respecto al centro de t
©Mprom =
2 1 ©M dt. t2 - t1 Lt1
Usando esta ecuación se puede escribir la ecuación (19.28) como 1t2 - t12©Mprom = H2 - H1.
A
(19.32) R
De la misma manera se puede expresar la ecuación (19.31) en términos del momento promedio respecto al punto O: 1t2 - t121©MO2prom = HO2 - HO1.
rp
(19.33)
Cuando se conocen el valor promedio del momento y su duración, es posible usar la ecuación (19.32) o la (19.33) para determinar el cambio en la cantidad de movimiento angular. Con frecuencia, estas ecuaciones son útiles cuando un cuerpo rígido está sometido a fuerzas y pares impulsivos.
O
A
Conservación de la cantidad de movimiento angular La ecuación (19.31) puede usarse para obtener una ecuación de conservación de la cantidad de movimiento angular total de dos cuerpos rígidos. Sean A y B cuerpos rígidos que se mueven en dos dimensiones en el mismo plano y suponga que están sometidos sólo a las fuerzas y pares que se ejercen entre sí, o que las otras fuerzas y pares son insignificantes. Considere que MOA es el momento respecto a un punto fijo O debido a las fuerzas y pares que actúan sobre A, y sea MOB el momento respecto a O debido a las fuerzas que actúan sobre B. Bajo el mismo supuesto que se hizo al deducir las ecuaciones de movimiento —las fuerzas entre cada par de partículas están dirigidas a lo largo de la línea entre las partículas— el momento MOB = -MOA. Por ejemplo, en la figura 19.15, A y B ejercen fuerzas de contacto entre sí. Los momentos resultantes respecto a O son MOA = 1rp * R2 k y MOB = [rp * 1-R2] k = -MOA. Se aplica la ecuación (19.31) a A y B para los tiempos arbitrarios t1 y t2, de donde se obtiene
B
R B
rp
O
Figura 19.15 Cuerpos rígidos A y B ejerciendo fuerzas entre sí por contacto.
t2
Lt1
MOA dt = HOA2 - HOA1
y t2
Lt1
MOB dt = HOB2 - HOB1.
Sumando estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y resulta HOA1 + HOB1 = HOA2 + HOB2. Se ve que la cantidad de movimiento angular total de A y B respecto a O se conserva: HOA + HOB = constante.
(19.34)
Observe que este resultado es válido aunque A y B estén sometidos a fuerzas y pares externos si el momento total respecto a O debido a esas fuerzas y pares es igual a cero. En ocasiones se puede escoger el punto O de manera que esta condición se satisfaga. El resultado también se aplica a un número arbitrario de cuerpos rígidos: su cantidad de movimiento angular total respecto a O se conserva si el momento total respecto a O debido a fuerzas y pares externos es igual a cero.
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440
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
RESULTADOS
Cantidad de movimiento lineal Tiempo t1
mv1 Tiempo t2 F mv2
El principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales establece que el impulso lineal aplicado a un cuerpo rígido es igual al cambio en su cantidad de movimiento lineal.
t2
L t1
F dt mv2 mv1.
(19.23)
Impulso lineal
Introduciendo el promedio de la fuerza total con respecto al tiempo desde t1 hasta t2, t
Fprom
2 1 F dt, t2 t1 L t1
(t2 t1) Fprom mv2 mv1.
(19.24
el principio del impulso y la cantidad de movimiento puede expresarse en términos de la fuerza promedio.
Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos cuerpos rígidos A y B son las fuerzas que ejercen entre sí, o si las otras fuerzas son despreciables, su cantidad de movimiento lineal se conserva.
mAvA mBvB constante.
(19.25)
Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en movimiento plano H Iv.
Cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa.
Una forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares establece que el impulso angular respecto al centro de masa durante un intervalo de tiempo desde t1 hasta t2 es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa.
(19.27)
t2
L t1
M dt H2 H1.
(19.28)
Impulso angular
www.FreeLibros.org La ecuación (19.28) puede expresarse en términos del momento promedio respecto al centro de masa.
(t2 t1) Mprom H2 H1.
(19.32)
19.2 Impulso y cantidad de movimiento
441
v v y r
x
O
Cantidad de movimiento angular respecto a un punto fijo O.
HO (r mv) k Iv.
(19.30)
v v
v
El término (r mv) k puede evaluarse calculando el ìmomento ” de la cantidad de movimiento angular respecto a O.
v
D O
D
Cantidad de movimiento angular HO D(mv) Iv
O Cantidad de movimiento angular HO D(mv) Iv
mv1 Iv1
Iv 2
r1
MO r2
mv2
O
Una segunda forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares establece que el impulso angular respecto a un punto fijo O durante un intervalo de tiempo entre t1 hasta t2 es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular respecto a O.
t2
L t1
MO dt HO2 HO1.
(19.31)
Impulso angular
La ecuación (19.31) puede expresarse en términos del momento promedio respecto al punto O.
(t2 t1)( MO)prom HO2 HO1.
(19.33)
Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos cuerpos rígidos A y B son las fuerzas que ejercen entre sí, o si el momento debido a otras fuerzas respecto a un punto fijo O es despreciable, la cantidad de movimiento angular total de A y B respecto a O se conserva.
HOA HOB constante.
(19.34)
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442
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 19.4
Principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares ( Relacionado con el problema 19.55) Antes del contacto, el disco A mostrado tiene una velocidad angular v0 en sentido contrario al de las manecillas del reloj y el disco B está en reposo. En t = 0, el disco A se pone en contacto con el disco B. Debido a la fricción, la velocidad angular de A disminuye y la velocidad angular de B en el sentido de las manecillas del reloj aumenta hasta que no hay deslizamiento entre los discos. ¿Cuáles son las velocidades angulares finales vA y vB? Los momentos de inercia de los discos son IA e IB.
ω0 A
B
RA
RB
Antes del contacto
ωB
ωA A
B
Velocidades angulares finales
Estrategia Los discos giran respecto a ejes fijos que pasan por sus centros de masa mientras están en contacto, por lo que puede aplicarse el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares en la forma dada por la ecuación (19.28) a cada disco. Cuando ya no hay deslizamiento entre los discos, sus velocidades son iguales en su punto de contacto. Con esta relación cinemática y las expresiones que se obtienen con el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares, es posible determinar las velocidades angulares finales.
Solución
Ay
f Ax mAg
N f
N
By
Bx mB g
Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los discos en contacto. N y f son las fuerzas normal y de fricción que ejercen entre sí.
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19.2 Impulso y cantidad de movimiento
Sea tf el tiempo al cual se acaba el deslizamiento. Aplique el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares al disco A desde t 0 hasta t tf, considerando a los momentos y las velocidades angulares con sentido contrario al de las manecillas del reloj como positivos.
Aplique el principio del impuso y la cantidad de movimiento angulares al disco B desde t 0 hasta t tf, considerando a los momentos y las velocidades angulares con sentido contrario al de las manecillas del reloj como positivos.
443
t2
L t1
M dt H2 H1:
tf
RA f dt IAvA IAv0 .
L 0
(1)
t2
L t1
M dt H2 H1:
tf
L 0
RB f dt IB vB 0.
(2)
Divida la ecuación (1) entre la ecuación (2).
RA I A v A I A v0 . RB IB v B
(3)
Cuando el deslizamiento se acaba, las velocidades de los discos son iguales en su punto de contacto.
RAvA RBvB .
(4)
1
vA 1
RA2 IB RB2 IA
v0,
Resuelva las ecuaciones (3) y (4) para vA y vB. vB
RA2/RB 2
R I 1 A2 B RB I A
v0.
Problema de práctica El disco A tiene una velocidad angular v0 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Antes de que el disco A entre en contacto con el disco B, suponga que usted desea que el disco B tenga una velocidad angular inicial tal que, cuando se acabe el deslizamiento entre los dos discos, su velocidad angular sea cero, ¿cuál es la velocidad angular inicial necesaria del disco B? Respuesta:
RBIA v0 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. RAIB
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444
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.5
Fuerza impulsiva sobre un cuerpo rígido ( Relacionado con el problema 19.56) A fin de ayudar en la prevención de lesiones en pasajeros, ciertos ingenieros diseñan un poste de alumbrado público de manera que falle al nivel del suelo al ser golpeado por un vehículo. A partir de los videos de una prueba de impacto, los ingenieros estiman que la velocidad angular del poste es v = 0.74 rad/s y que la velocidad horizontal de su centro de masa es v = 6.8 m/s después del impacto, y calculan que la duración del impacto es ¢t = 0.01 s. Si el poste se modela como una barra delgada de 70 kg con longitud l = 6 m, el auto lo golpea a una altura h = 0.5 m sobre el suelo, y el par ejercido sobre el poste por sus soportes se puede ignorar, ¿cuál es la fuerza promedio requerida para cortar los pernos que soportan al poste? Estrategia Se determinará la fuerza promedio aplicando los principios del impulso y la cantidad de movimiento lineales y angulares, expresados en términos de las fuerzas promedio y los momentos promedios ejercidos sobre el poste. El principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares puede aplicarse usando la ecuación (19.32) o bien la (19.33). Se empleará la ecuación (19.33) para demostrar su uso. Solución En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del poste, donde F es la fuerza promedio ejercida por el auto y S es la fuerza cortante media ejercida por los pernos sobre el poste. Sea m la masa del poste y v y v la velocidad del centro de masa y su velocidad angular al final del impacto (figura b). A partir de la ecuación (19.24), el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal expresado en términos de la fuerza horizontal promedio es 1t2 - t121©Fx2prom = 1mvx22 - 1mvx21: ¢t1F - S2 = mv - 0.
(1)
Para aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares se usa la ecuación (19.33), colocando el punto fijo O en el extremo inferior del poste (figuras a y b). La cantidad de movimiento angular del poste respecto a O al final del impacto es
HO2 = 31r * mv2 # k + Iv42 =
C A 21 lj B * m1vi2 D # k + Iv
= - 21 lmv + Iv. y
mg F h
1 l 2
x
www.FreeLibros.org S
O
(a) Diagrama de cuerpo libre del poste.
19.2 Impulso y cantidad de movimiento
445
y
v v
r
1 l 2
x O
(b) Velocidad y velocidad angular al final del impacto.
También se puede obtener este resultado calculando el “momento” de la cantidad de movimiento lineal respecto a O y sumando el término Iv. La magnitud del “momento” es el producto de la magnitud de la cantidad de movimiento lineal 1mv2 por la distancia perpendicular desde O hasta la línea de acción de la cantidad de movimiento lineal A 21 l B , y es negativo porque el “momento” tiene el sentido de las manecillas del reloj. (Vea la figura 19.14). A partir de la ecuación (19.33), se obtiene
1t2 - t121©MO2prom = HO2 - HO1: ¢t1 -hF2 = - 21 lmv + Iv - 0. Resolviendo esta ecuación junto con la ecuación (1) para la fuerza cortante promedio S, se obtiene
S = =
A 21 l - h B mv - Iv C
1 2 16
h ¢t
m2 - 0.5 m D 170 kg2 16.8 m/s2 -
C 121 170 kg2 16 m22 D 10.74 rad/s2
10.5 m2 10.01 s2
= 207,000 N. Razonamiento crítico Con este ejemplo se demuestran tanto el poder como las limitaciones de los métodos de la cantidad de movimiento. Cuando el automóvil choca con el poste de alumbrado, la estructura del vehículo y el poste de luz se deforman y los pernos que sostienen el poste fallan. La sucesión de eventos de la fuerza ejercida por el impacto sobre el automóvil y el poste indican los detalles de este complicado fenómeno. Usando los métodos de la cantidad de movimiento y la información acerca del movimiento del poste después del impacto, fue posible estimar el valor promedio de la fuerza pero no se pudo determinar su sucesión de eventos. Para hacer esto se requerirían experimentos incluso mucho más elaborados o un análisis de la colisión en el que se modelan las deformaciones del automóvil y el poste. Este tipo de circunstancias ocurre con frecuencia en ingeniería. Por lo general es posible obtener información limitada acerca de un fenómeno rápidamente, como se hizo en este ejemplo, pero podría obtenerse información más exacta y completa invirtiendo el tiempo y los recursos necesarios. La pregunta que debe responderse es si la inversión adicional es esencial para alcanzar los objetivos requeridos en ingeniería.
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446
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.6
Conservación de la cantidad de movimiento angular ( Relacionado con el problema 19.58)
r1 r1 v1
En una demostración famosa de la conservación de la cantidad de movimiento lineal, una persona se para sobre una plataforma giratoria sosteniendo una masa m en cada mano. El momento de inercia combinado de la persona y la plataforma respecto a su eje de rotación es IP = 0.4 kg-m2 y cada masa m = 4 kg. Ignore los momentos de inercia de las masas que sostiene la persona respecto a sus centros de masa; es decir, trátelas como partículas. Si la velocidad angular de la persona con los brazos extendidos hasta r1 = 0.6 m es v1 = 1 revolución por segundo, ¿cuál es su velocidad angular v2 cuando ella jala las masas hacia sí hasta r2 = 0.2 m? (Este fenómeno puede observarse en los patinadores sobre hielo quienes lo usan para controlar su velocidad angular en un giro al alterar las posiciones de sus brazos).
Estrategia Si se ignora la fricción en la plataforma giratoria, la cantidad de movimiento angular total de la persona, la plataforma y las masas respecto al eje de rotación se conserva. Esta condición puede usarse para determinar v2.
r2
r2
v2
Solución La cantidad de movimiento angular total es la suma de la cantidad de movimiento angular de la persona y la plataforma y la cantidad de movimiento angular de las dos masas. Cuando los brazos de la persona se extienden, la velocidad de cada masa m es r1v1, por lo que el “momento” de la cantidad de movimiento angular de cada masa respecto al eje de rotación es r11mr1v12. La cantidad de movimiento angular total es HO1 = IPv1 + 2r11mr1v12. Cuando ella jala las masas hacia sí, la cantidad de movimiento angular total es HO2 = IPv2 + 2r21mr2v22. La cantidad de movimiento angular total se conserva. HO1 = HO2: 1IP + 2mr 212v1 = 1IP + 2mr 222v2, [0.4 kg-m2 + 214 kg210.6 m22]v1 = [0.4 kg-m2 + 214 kg210.2 m22]v2. Lo anterior produce v2 = 4.56v1 = 4.56 revoluciones por segundo.
Razonamiento crítico Calcule la energía cinética total de la plataforma, las masas y la persona, cuando sus brazos están extendidos y cuando jala las masas hacia sí. Encontrará que la energía cinética total es mayor en el segundo caso. Es evidente que la conservación de la energía se viola. Sin embargo, la persona realiza trabajo sobre los pesos al jalarlos hacia sí; su energía fisiológica proporciona la energía cinética adicional.
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Problemas
447
Problemas 19.48 El momento de inercia del disco mostrado respecto a O es de 22 kg-m2. En t = 0, el disco en reposo se somete a un par de torsión constante de 50 N-m. a) Determine el impulso angular ejercido sobre el disco desde t = 0 hasta t = 5 s. b) ¿Cuál es la velocidad angular del disco en t = 5 s? 50 N-m
19.51 La masa combinada del astronauta mostrado y su equipo es de 122 kg, y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa común es de 45 kg-m2. La unidad de maniobras ejerce una fuerza impulsiva T de 0.2 s de duración, dando al astronauta una velocidad angular de 1 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj. a) ¿Cuál es el valor promedio de la fuerza impulsiva? b) ¿Cuál es la magnitud del cambio resultante en la velocidad del centro de masa del astronauta?
O
Problema 19.48 T
19.49 El momento de inercia del ensamble giratorio del motor de propulsión mostrado es de 400 kg-m2. El ensamble parte desde el reposo. En t = 0, la turbina del motor ejerce un par sobre él que está dado como una función del tiempo por M = 6500 - 125t N-m. a) ¿Cuál es la magnitud del impulso angular ejercido sobre el ensamble desde t = 0 hasta t = 20 s? b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular del ensamble (en rpm) en t = 20 s?
300 mm
Problemas 19.50/19.51
19.52 Un volante unido a un motor eléctrico está inicialmente en reposo. En t = 0, el motor ejerce un par M = 200e-0.1t N-m sobre el volante. El momento de inercia del volante es de 10 kg-m2. a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante en t = 10 s? b) ¿Cuál es la velocidad angular máxima que alcanzará el volante?
Problema 19.49 19.50 Un astronauta dispara un impulsor de su unidad de maniobras ejerciendo una fuerza T = 211 + t2 N, donde t está en segundos. La masa combinada del astronauta mostrado y su equipo es de 122 kg, y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa común es de 45 kg-m2. Modelando al astronauta y a su equipo como un cuerpo rígido, use el principio del impulso angular y la cantidad de movimiento angular para determinar cuánto tarda su velocidad angular en alcanzar el valor de 0.1 rad/s.
Problema 19.52
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448
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.53 Una rueda del tren de aterrizaje principal de un Boeing 777 tiene un radio de 0.62 m y su momento de inercia es de 24 kg-m2. Después de que el avión aterriza a 75 m/s, se miden las marcas de deslizamiento que deja la llanta y se determina que tienen 18 m de largo. Determine la fuerza de fricción promedio ejercida sobre la rueda por la pista. Suponga que la velocidad del avión es constante durante el tiempo que la llanta se desliza sobre la pista.
19.55 En un inicio, el disco A mostrado tiene una velocidad angular v0 = 50 rad/s. Los discos B y C están inicialmente en reposo. En t = 0, el disco A se pone en contacto con el disco B. Determine las velocidades angulares de los tres discos cuando han dejado de deslizarse entre sí. Las masas de los discos son mA = 4 kg, mB = 16 kg y mC = 9 kg. (Vea el ejemplo activo 19.4).
v0 0.4 m
0.2 m
0.3 m
A B
C
Problema 19.55
Problema 19.53
19.54 En la figura se muestra la fuerza que un bastón ejerce sobre una pelota de golf de 0.045 kg. La pelota tiene 42 mm de diámetro y se puede modelar como una esfera homogénea. El bastón está en contacto con la pelota durante 0.0006 s y la magnitud de la velocidad del centro de masa de la pelota después del golpe es de 36 m/s. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de la pelota después de ser golpeada?
19.56 En el ejemplo 19.5, suponga que en una segunda prueba a una velocidad más alta, la velocidad angular del poste inmediatamente después del impacto es de v = 0.81 rad/s, la velocidad horizontal de su centro de masa es v = 7.3 m/s, y la duración del impacto es ¢t = 0.009 s. Determine la magnitud de la fuerza promedio que ejerce el automóvil sobre el poste para cortar los pernos de soporte. Para hacer esto aplique el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares en la forma dada por la ecuación (19.32). 19.57 En la figura, la fuerza ejercida sobre la bola blanca por el taco es horizontal. Determine el valor de h para el cual la bola rueda sin resbalar. (Suponga que la fuerza promedio de fricción ejercida sobre la bola por la mesa es insignificante).
2.5 mm
F
R h
Problema 19.54
Problema 19.57
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Problemas 19.58 En el ejemplo 19.6, al calcular la cantidad de movimiento angular total de la persona, la plataforma y las masas, se ignoraron los momentos de inercia de las dos masas m respecto a los ejes que pasan por sus centros de masa. Suponga que el momento de inercia de cada masa respecto el eje vertical que pasa por su centro de masa es IM = 0.001 kg-m2. Si la velocidad angular de la persona con los brazos extendidos hasta r1 = 0.6 m es v1 = 1 revolución por segundo, ¿cuál es su velocidad angular v2 cuando jala las masas hacia sí hasta r2 = 0.2 m? Compare su resultado con la respuesta obtenida en el ejemplo 19.6. 19.59 Dos satélites de investigación de la gravedad 1mA = 250 kg, IA = 350 kg-m2, mB = 50 kg, IB = 16 kg-m2) están unidos mediante un cable. Los satélites y el cable giran con velocidad angular v0 = 0.25 rpm. Los controladores en Tierra ordenan al satélite A desenrollar lentamente 6 m de cable adicional. ¿Cuál es la velocidad angular después de esto?
v0 B
A
12 m
449
19.60 La barra de 2 kg mostrada gira en un plano horizontal respecto al pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre la barra lisa. Suponga que el momento de inercia del collarín A respecto a su centro de masa es despreciable; es decir, trate al collarín como una partícula. En el instante mostrado, la velocidad angular de la barra es v0 = 60 rpm y la distancia desde el centro del collarín es r = 1.8 m. Determine la velocidad angular de la barra cuando r = 2.4 m. 19.61 La barra de 2 kg mostrada gira en un plano horizontal respecto al pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre la barra lisa. El momento de inercia del collarín A respecto a su centro de masa es de 0.2 kg-m2. En el instante mostrado, la velocidad angular de la barra es v0 = 60 rpm y la distancia entre el pasador y el collarín es r = 1.8 m. Determine la velocidad angular de la barra cuando r = 2.4 m y compare su respuesta con la del problema 19.60. 19.62* La barra de 2 kg mostrada gira en el plano horizontal respecto al pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre la barra lisa. El momento de inercia del collarín A respecto a su centro de masa es de 0.2 kg-m2. El resorte está sin estirar cuando r = 0, y la constante del resorte es k = 10 N/m. En el instante mostrado, la velocidad angular de la barra es v0 = 2 rad/s, la distancia entre el pasador y el collarín es de r = 1.8 m y la velocidad radial del collarín es cero. Determine la velocidad radial del collarín cuando r = 2.4 m.
Problema 19.59
v0
k A
r
3m
Problemas 19.60–19.62
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450
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.63 Una barra circular se suelda a las flechas verticales mostradas, que pueden girar libremente sobre cojinetes en A y B. Sea I el momento de inercia de la barra circular y de las flechas respecto al eje vertical. La barra circular tiene una velocidad angular inicial v0 y la masa m se suelta en la posición mostrada sin velocidad en relación con la barra. Determine la velocidad angular de la barra circular en función del ángulo b entre la vertical y la posición de la masa. Ignore el momento de inercia de la masa respecto a su centro de masa; es decir, trate a la masa como una partícula.
A
R
b m v0 B
Problema 19.63
19.3 Impactos ANTECEDENTES En el capítulo 16 se analizaron los impactos entre cuerpos para determinar las velocidades de sus centros de masa después de la colisión. Ahora se analizará cómo determinar las velocidades de los centros de masa y las velocidades angulares de cuerpos rígidos después de que chocan.
Conservación de la cantidad de movimiento Suponga que dos cuerpos rígidos A y B, que se mueven bidimensionalmente en el mismo plano, chocan. ¿Qué dicen los principios de la cantidad de movimiento lineal y angular sobre sus movimientos después de la colisión? Cantidad de movimiento lineal Si otras fuerzas son insignificantes en comparación con las de impacto que A y B ejercen entre sí, su cantidad de movimiento lineal total es la misma antes y después del impacto. Pero este resultado debe aplicarse con cuidado. Por ejemplo, si uno de los cuerpos tiene un soporte de pasador (figura 19.16), las reacciones que éste ejerce no se pueden ignorar y la cantidad de movimiento no se conserva.
A
B
O
www.FreeLibros.org Figura 19.16 Cuerpos rígidos A y B en colisión. Debido al soporte de pasador, su cantidad de movimiento lineal total no se conserva, pero sí su momento angular total respecto a O.
19.3 Impactos
P A
B
451
Figura 19.17 Cuerpos rígidos A y B que chocan en P. Si sólo se ejercen fuerzas en P, se conservan el momento angular de A respecto a P y el momento angular de B respecto a P.
Cantidad de movimiento angular Si otras fuerzas y pares son insignificantes en comparación con los de impacto que A y B ejercen entre sí, su cantidad de movimiento tu (momento) angular total respecto a cualquier punto fijo O es el mismo antes y después del impacto. [Vea la ecuación (19.34)]. Si además A y B ejercen sólo fuerzas entre sí en su punto de impacto P y no ejercen ningún par entre ellos, el momento angular respecto a P de cada cuerpo es el mismo antes y después del impacto (figura 19.17). Este resultado se infiere del principio del impulso angular y su momento angular, ecuación (19.31), porque las fuerzas de impacto sobre A y B no ejercen momento respecto a P. Si uno de los cuerpos rígidos tiene un soporte de pasador en un punto O, como en la figura 19.16, su momento angular total respecto a O es el mismo antes y después del impacto.
Coeficiente de restitución Si dos cuerpos rígidos se adhieren y se mueven como uno solo después de chocar, sus velocidades y velocidades angulares se pueden determinar usando sólo la conservación de su momento angular y las relaciones cinemáticas. Estas relaciones no bastan si los cuerpos no se adhieren, pero algunos impactos de este tipo se pueden analizar con el concepto de coeficiente de restitución. Sea P el punto de contacto de los cuerpos rígidos A y B durante un impacto (figura 19.18). Considere que sus velocidades en P son vAP y vBP justo antes del impacto y v¿AP y v¿BP justo después. El eje x es perpendicular a las superficies de contacto en P. Si la fricción que resulta del impacto es insignificante, se puede demostrar que las componentes de las velocidades normales a la superficie en P se relacionan con el coeficiente de restitución e mediante
e =
œ œ 2x - 1vAP 2x 1vBP
1vAP2x - 1vBP2x
.
(19.35)
Para deducir este resultado, es necesario considerar los efectos del impacto sobre los cuerpos individuales. Sea t1 el tiempo en el que entran por primera vez en contacto. Los objetos no son realmente rígidos, sino que se deformarán por la colisión. En un tiempo tC ocurrirá la deformación máxima y los cuerpos entrarán en una fase de “recuperación” en la que tienden a retomar sus formas originales. Sea t2 el tiempo en que se separan.
A y P
www.FreeLibros.org x
B
Figura 19.18 Cuerpos rígidos A y B que chocan en P. El eje x es perpendicular a las superficies en contacto.
452
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
A y rP/A P
R
y
R P
x rP/B
x
B
Figura 19.19 Fuerza normal R resultante del impacto.
El primer paso consiste en aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales a A y B para los intervalos desde t1 hasta tC y desde tC hasta t2. Sea R la magnitud de la fuerza normal ejercida durante el impacto (figura 19.19). Se denota con vA, vAC y v¿A la velocidad del centro de masa de A en los tiempos t1, tC y t2 y con vB, vBC y v¿B las velocidades correspondientes del centro de masa de B. Para A se tiene tC
Lt1 t2
LtC
-R dt = mA1vAC2x - mA1vA2x,
(19.36)
-R dt = mA1vAœ 2x - mA1vAC2x.
(19.37)
y para B, tC
R dt = mB1vBC2x - mB1vB2x,
(19.38)
R dt = mB1vBœ 2x - mB1vBC2x.
(19.39)
Lt1 t2
LtC
El coeficiente de restitución es la relación entre el impulso lineal durante la fase de recuperación y el impulso lineal durante la fase de deformación: t2
e =
LtC
R dt .
tC
Lt1
(19.40)
R dt
Si se divide la ecuación (19.37) entre la (19.36) y la ecuación (19.39) entre la (19.38), las ecuaciones resultantes pueden escribirse como 1v¿A2x = -1vA2xe + 1vAC2x11 + e2,
www.FreeLibros.org 1v¿B2x = -1vB2xe + 1vBC2x11 + e2.
(19.41)
19.3 Impactos
453
Ahora se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares a A y B en los intervalos de tiempo desde t1 hasta tC y desde tC hasta t2. Se denota con vA, vAC y v¿A la velocidad angular de A en sentido contrario al de las manecillas del reloj en los tiempos t1, tC y t2 y con vB, vBC y v¿B las velocidades angulares correspondientes de B. Se escriben los vectores de posición de P respecto a los centros de masa de A y B como (figura 19.19)
rP>A = xA i + yA j, rP>B = xB i + yB j.
(19.42)
El momento respecto al centro de masa de A de la fuerza ejercida sobre A por el impacto es rP>A * 1- Ri2 = yA Rk. A partir de la ecuación (19.28), se obtienen las ecuaciones tC
yA R dt = IAvAC - IAvA,
(19.43)
yA R dt = IAvAœ - IAvAC.
(19.44)
Lt1 t2
LtC
Las ecuaciones correspondientes para B son tC
Lt1 t2
LtC
- yB R dt = IB vBC - IB vB,
(19.45)
- yB R dt = IB vBœ - IB vB C.
(19.46)
Dividiendo la ecuación (19.44) entre la (19.43) y la ecuación (19.46) entre la (19.45), se pueden escribir las ecuaciones resultantes como
vAœ = - vA e + vAC11 + e2, vBœ = - vB e + vBC11 + e2.
(19.47)
Expresando la velocidad del punto de A en P en términos de la velocidad del centro de masa de A y de la velocidad angular de A, y expresando la velocidad del punto de B en P en términos de la velocidad del centro de masa de B y de la velocidad angular de B, se obtiene
1vAP2x = 1vA2x - vA yA, œ 2x = 1vAœ 2x - vAœ yA, 1vAP
(19.48)
www.FreeLibros.org 1vBP2x = 1vB2x - vB yB,
œ 1vBP 2x = 1vBœ 2x - vBœ yB.
454
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
En el tiempo tC, las componentes x de las velocidades de los dos objetos son iguales en P, de donde se obtiene la relación
1vAC2x - vAC yA = 1vBC2x - vBC yB.
(19.49)
A partir de las ecuaciones (19.48), œ œ 2x - 1vAP 2x 1vBP
1vAP2x - 1vBP2x
=
1vBœ 2x - vBœ yB - 1vAœ 2x + vAœ yA
1vA2x - vA yA - 1vB2x + vB yB
.
Sustituyendo las ecuaciones (19.41) y (19.47) en esta ecuación y agrupando términos, resulta œ œ 2x - 1vAP 2x 1vBP
1vAP2x - 1vBP2x
= e - c
1vAC2x - vAC yA - 1vBC2x + vBC yB 1vA2x - vA yA - 1vB2x + vB yB
d1e + 12.
Por la ecuación (19.49), el término entre corchetes desaparece y se obtiene la ecuación que relaciona las componentes normales de las velocidades en el punto de contacto con el coeficiente de restitución:
e =
œ œ 2x - 1vAP 2x 1vBP
1vAP2x - 1vBP2x
.
(19.50)
Para obtener esta ecuación, se supuso que las superficies de contacto son lisas, por lo que la colisión no ejerce fuerza sobre A o B en la dirección tangente a sus superficies de contacto. Aunque se dedujo la ecuación (19.50) con la hipótesis de que los movimientos de A y B no están restringidos, también es válida si lo están; por ejemplo, si uno de ellos está conectado a un soporte de pasador.
RESULTADOS Suponga que dos cuerpos rígidos A y B en movimiento plano, chocan.
Cantidad de movimiento lineal Si otras fuerzas son despreciables en comparación con las fuerzas de impacto que A y B ejercen entre sí, su cantidad de movimiento lineal total es la misma antes y después del impacto.
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19.3 Impactos
455
Cantidad de movimiento angular Si otras fuerzas son despreciables en comparación con las fuerzas de impacto que A y B ejercen entre sí, su cantidad de movimiento angular total respecto a cualquier punto fijo O es la misma antes y después del impacto. Si, además, A y B ejercen fuerzas entre sí únicamente en su punto de impacto P, la cantidad de movimiento angular respecto a P de cada uno de los cuerpos rígidos es la misma antes y después del impacto.
P A
Si uno de los dos cuerpos rígidos tiene un soporte de pasador en el punto O, su cantidad de movimiento angular total respecto a O es la misma antes y después del impacto.
A
B
B
O
Coeficiente de restitución
A y P x
B
Sea P el punto de impacto de los cuerpos rígidos A y B, y sean vAP y vBP sus velocidades en P justo antes del impacto y v¿AP y v¿BP sus velocidades en P justo después del impacto. Las componentes de las velocidades perpendiculares al plano del impacto están relacionadas por el coeficiente de restitución.
e
(v¿BP)x (v¿AP)x . (vAP)x (vBP)x
(19.35)
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456
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 19.7
Impacto de una esfera y una barra suspendida ( Relacionado con el problema 19.70)
C
La bola de masa mA que se muestra en la figura se está moviendo con velocidad horizontal vA cuando golpea la barra delgada en reposo de masa mB y longitud l. El coeficiente de restitución del impacto es e. a) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto? b) Si la duración del impacto es ¢t, ¿qué fuerza horizontal promedio ejerce el soporte de pasador C sobre la barra como resultado del impacto?
h
Estrategia a) La cantidad de movimiento angular total respecto a C de la bola y la barra es la misma antes y después del impacto. El coeficiente de restitución relaciona las velocidades de la bola y la barra en el punto de impacto antes y después del impacto. Con estas dos ecuaciones y las relaciones cinemáticas es posible determinar la velocidad de la bola y la velocidad angular de la barra después del impacto. b) Se puede determinar la fuerza promedio que ejerce el soporte en C sobre la barra aplicando a ésta el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares.
vA
Solución (a)
Aplique la conservación de la cantidad de movimiento angular respecto a C. Después del impacto, v¿A es la velocidad de la bola, v¿B es la velocidad del centro de masa de la barra, y v¿B es la velocidad angular de la barra. IB es el momento de inercia de la barra respecto a su centro de masa.
y
HCA HCB H¿CA H¿CB : h(mAvA) 0 h(mAv¿A) 12 l(mBv¿B) IB v¿B.
(1)
y
x
x
C v B 1 l 2
h v B
v A
v BP
Aplique el coeficiente de restitución. Después del impacto, v¿BP es la velocidad de la barra en el punto del impacto.
e
v¿BP v¿A . vA 0
www.FreeLibros.org (2)
19.3 Impactos
Determine las relaciones cinemáticas. Como la barra gira respecto al punto fijo C, sus velocidades en el centro de masa y en el punto de impacto pueden expresarse en términos de la velocidad angular de la barra.
v¿B
1 2
lv¿B,
457
(3)
v¿BP hv¿B,
(4)
Resuelva las ecuaciones (1) a (4) para v¿A, v¿B, 1 v¿BP y v¿B, y use la relación IB 12 mBl2 para
v¿B
obtener la velocidad angular de la barra.
(b)
(1e)hmAvA
.
(5)
h2mA 13 mBl2
y Cy Cx
Diagrama de cuerpo libre de la barra que muestra las fuerzas promedio ejercidas durante el impacto. h
F
x
P
Aplique el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares en la forma dada por la ecuación (19.33) respecto al punto P donde ocurre el impacto. Resuelva la ecuación (6) para Cx y use las 1 mBl2. ecuaciones (3) y (5) y la relación IB 12
(t2 t1)( MP)prom H¿B HB:
t(hCx) h
(1 e) Cx
l mBv¿B IBv¿B 0.
12 h 13 l lm m v
h m 2
1 2
A
A
1 3
2
m Bl
t
(6)
B A
.
Problema de práctica Suponga que se retira el soporte de pasador en C, y que la bola golpea la barra vertical en reposo con velocidad horizontal vA. Suponga que mA = mB y h = 43 l . ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto?
www.FreeLibros.org Respuesta: v¿ B =
12 11 (1
+ e)vA l
.
458
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Impacto con un obstáculo fijo ( Relacionado con los problemas 19.89, 19.90)
Ejemplo 19.8
La masa combinada de la motocicleta y el conductor de la figura es m = 170 kg y su momento de inercia combinado respecto a su centro de masa es de 22 kg-m2. Después de un salto, la motocicleta y el conductor están en la posición mostrada justo antes de que la rueda trasera toque el suelo. La velocidad de su centro de masa tiene magnitud ƒ vG ƒ = 8.8 m/s y velocidad angular v = 0.2 rad/s. Si la motocicleta y el conductor se modelan como un solo cuerpo rígido y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.8, ¿cuáles son la velocidad angular v¿ y la velocidad v¿G después del impacto? Ignore la componente tangencial de la fuerza ejercida sobre la rueda de la motocicleta durante el impacto.
y
v
G
780 mm 30
x vG
20
650 mm
Estrategia Como se decide despreciar la componente tangencial de la fuerza sobre la rueda de la motocicleta durante el impacto, la componente de la velocidad del centro de masa paralela al suelo no cambia con el impacto. El coeficiente de restitución relaciona la velocidad de la motocicleta normal al suelo en el punto de impacto antes de éste con su valor después del impacto. Además, la fuerza del impacto no ejerce momento respecto al punto de impacto, por lo que el momento angular de la motocicleta respecto a ese punto se conserva (se supone que el impacto es tan breve que el impulso angular debido al peso es despreciable). Con esas tres relaciones es posible determinar las dos componentes de la velocidad del centro de masa y la velocidad angular después del impacto. Solución En la figura a se alinea un sistema coordenado paralelo y perpendicular al suelo en el punto P, donde ocurre el impacto. Sean vG = vx i + vy j y v G¿ = v¿x i + v¿y j, las componentes de la velocidad del centro de masa antes y después del impacto, respectivamente. Las componentes x e y son
y 0.65 m G
P
50 50 50 vG
0.78 m x
rP/G 20
vx = 8.8 cos 50° = 5.66 m/s y vy = - 8.8 sen 50° = - 6.74 m/s. Como la componente de la fuerza del impacto tangencial al terreno es insignificante, la componente x de la velocidad del centro de masa no cambia:
www.FreeLibros.org (a) Eje x del sistema coordenado, alineado con la tangente al suelo en P.
v¿x = vx = 5.66 m/s.
19.3 Impactos
459
Se puede expresar la componente y de la velocidad de la rueda en P antes del impacto en función de la velocidad del centro de masa y la velocidad angular (figura a) como:
j # vP = j # 1vG + * rP>G2 = j
#
c vx i + vy j + 3
i 0 - 0.65
j 0 - 0.78
k v3 s 0
= vy - 0.65v. (Observe que esta expresión proporciona la componente y de la velocidad en P aun cuando la rueda se está deslizando). La componente y de la velocidad de la rueda en P después del impacto es œ + ¿ * rP>G2 j # vPœ = j # 1vG
= vyœ - 0.65v¿. El coeficiente de restitución relaciona las componentes y de la velocidad de la rueda en P antes y después del impacto:
e =
- 1j # vPœ 2 j # vP
=
- 1vyœ - 0.65v¿2 vy - 0.65v
.
(1)
La fuerza del impacto no ejerce momento respecto a P, por lo que el momento angular respecto a P se conserva:
HP = H P¿ : [1rG>P * mvG2 k + Iv] = [1rG>P * mv¿G2 k + Iv¿], i 3 0.65 mvx
j 0.78 mvy
k 03 0
#k
i + Iv = 3 0.65 mvxœ
j 0.78 mvyœ
k 03 0
#k+
Iv¿.
Desarrollando los determinantes y evaluando los productos punto se obtiene 0.65mvy - 0.78mvx + Iv = 0.65mv¿y - 0.78mv¿x + Iv¿.
(2)
Como ya se determinó v¿x, se pueden resolver las ecuaciones (1) y (2) para v¿y y v¿. Los resultados son v¿y = - 3.84 m/s y v¿ = - 14.4 rad/s. La velocidad del centro de masa después del impacto es v¿G = 5.66i - 3.84j m/s, y la velocidad angular es 14.4 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Razonamiento crítico Aunque con frecuencia las fuerzas resultantes de un impacto son tan grandes que los efectos de otras fuerzas se pueden ignorar, no siempre se da este caso. En este ejemplo se despreció el peso de la motocicleta y el conductor al determinar su velocidad y su velocidad angular después del impacto de la rueda trasera con el suelo. Siempre que existe una duda en las aplicaciones a la ingeniería de los métodos de la cantidad de movimiento, estos efectos deben incluirse en el análisis. Para hacer esto, es necesario conocer o estimar la duración del impacto de manera que se puedan evaluar los impulsos lineal y angular debidos a otras fuerzas.
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460
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.9
Automóviles en colisión ( Relacionado con los problemas 19.91, 19.92) Un ingeniero simula una colisión entre dos autos de 1600 kg modelándolos como cuerpos rígidos. El momento de inercia de masa de cada uno respecto a su centro de masa es de 960 kg-m2. El ingeniero supone que las superficies de contacto en P son lisas y paralelas al eje x y que el coeficiente de restitución e = 0.2. ¿Cuáles son las velocidades angulares de los autos y las velocidades de sus centros de masa después de la colisión?
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Mostrar ecuaciones
A 1m
30 m/s y
20 A
1.8 m 1.8 m
P
x
1m B
20 m/s
B
Estrategia Como las superficies de contacto son lisas, las componentes x de las velocidades de los centros de masa no cambian con el impacto. Las componentes y de las velocidades deben satisfacer la conservación de la cantidad de movimiento lineal, y las componentes y de las velocidades en el punto del impacto antes y después de éste se relacionan mediante el coeficiente de restitución. La fuerza del impacto no ejerce momento respecto a P sobre ninguno de los autos, por lo que el momento angular de cada uno respecto a P se conserva. A partir de estas condiciones y de las relaciones cinemáticas entre las velocidades de los centros de masa y las velocidades en P, se pueden determinar las velocidades angulares y las velocidades de los centros de masa después del impacto.
Solución Las componentes de las velocidades de los centros de masa antes del impacto son vA = 30 cos 20°i - 30 sen 20°j = 28.2i - 10.3j (m/s)
www.FreeLibros.org y
vB = 20 i (m/s).
461
19.3 Impactos
Las componentes x de las velocidades no cambian con el impacto: v¿Ax = vAx = 28.2 m/s,
v¿Bx = vBx = 20 m/s.
Las componentes y de las velocidades deben satisfacer la conservación de la cantidad de movimiento lineal: mAvAy + mBvBy = mAv¿Ay + mBv¿By.
(1)
Sean vAP y vBP las velocidades de los dos autos en P antes de la colisión. El coeficiente de restitución e = 0.2 relaciona sus componentes y en P:
0.2 =
œ œ - vAPy vBPy
vAPy - vBPy
.
(2)
Se pueden expresar las velocidades en P después del impacto en función de las velocidades de los centros de masa y las velocidades angulares después del impacto (figura a). La posición de P respecto al centro de masa del auto A es
y 1.8 m
rP>A = [11.82 cos 20° - 112 sen 20°]i - [11.82 sen 20° + 112 cos 20°] j
A
1m
= 1.35i - 1.56j 1m2.
rP/A 20 rP/B
Por lo tanto, la velocidad del punto P del auto A después del impacto es
P
x 1m
B
œ = vAœ + Aœ * rP>A: vAP
1.8 m
i œ œ œ œ i + vAPy j = vAx i + vAy j + 3 0 vAPx 1.35
j 0 - 1.56
k vAœ 3 . 0
(a) Vectores de posición de P respecto a los centros de masas.
Igualando las componentes i y j en esta ecuación se obtiene v¿APx = v¿Ax + 1.56v¿A, v¿APy = v¿Ay + 1.35v¿A.
(3)
La posición de P respecto al centro de masa del auto B es rP>B = 1.8i + j 1m2. La velocidad del punto P del auto B después del impacto se puede expresar como œ = vBœ + Bœ * rP>B: vBP
œ vBPx i
œ vBPy j
œ vBx i
œ vBy j
i 3 + 0 1.8
j 0 1
k vBœ 3 . 0
www.FreeLibros.org +
=
+
462
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Igualando las componentes i y j se obtiene v¿BPx = v¿Bx - v¿B, v¿BPy = v¿By + 1.8v¿B.
(4)
El momento angular del auto A respecto a P se conserva: œ : HPA = HPA
31rA>P * mA vA2 # k + IAvA4 = 31rA>P * mA vAœ 2 # k + IAvAœ 4, i 3 -1.35 mA vAx
j 1.56 mA vAy
k 03 0
#k+
i 0 = 3 - 1.35 œ mA vAx
j 1.56 œ mA vAy
k 03 0
#k+
IAvAœ .
Desarrollando los determinantes y evaluando los productos escalares se obtiene
-1.35mA vAy - 1.56mA vAx œ œ - 1.56mA vAx + IAvAœ . = - 1.35mA vAy
(5)
La cantidad de movimiento angular del auto B respecto a P también se conserva, œ HPB = HPB :
31rB>P * mB vB2 # k + IB vB4 = 31rB>P * mB vBœ 2 # k + IB vBœ 4, i 3 - 1.8 mB vBx
j -1 0
k 03 0
#k+
i 0 = 3 - 1.8 œ mB vBx
j -1 œ mB vBy
k 03 0
#k+
IB vBœ .
A partir de esta ecuación, se deduce que œ œ + mB vBx + IB vBœ . mB vBx = - 1.8mB vBy
(6)
Se pueden resolver las ecuaciones (1) a (6) para v¿A, v¿AP, v¿A, v¿B, v¿BP y v¿B. Los resultados para las velocidades de los centros de masa de los autos y sus velocidades angulares son
vAœ = 28.2i - 9.08j 1m/s2,
vAœ = 2.65 rad/s,
vBœ = 20.0 i - 1.18 j 1m/s2,
vBœ = - 3.54 rad/s.
Razonamiento crítico El momento angular total de los dos automóviles respecto a cualquier punto es el mismo antes y después de su colisión, porque se despreciaron los efectos de las fuerzas horizontales distintas a la fuerza debida al choque. Pero para determinar sus movimientos después de la colisión, se debió usar el hecho de que la cantidad de movimiento angular de cada auto respecto a P es la misma antes y después del impacto. Esto es cierto porque el momento respecto a P ejercido sobre cada automóvil por la fuerza de la colisión es igual a cero. Observe que se pudo haber evitado el supuesto de que la cantidad de movimiento angular de cada auto respecto a cualquier punto es la misma antes y después del impacto.
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Problemas
463
Problemas 19.64 Una barra de 10 lb se suelta desde el reposo en la posición a 45° que se muestra en la figura. La barra cae y su extremo golpea la superficie horizontal en P. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6. Cuando la barra rebota, ¿cuál es el ángulo relativo a la horizontal que gira? 19.65 Una barra de 10 lb se suelta desde el reposo en la posición a 45° que se muestra en la figura. La barra cae y su extremo golpea la superficie horizontal en P. La barra rebota hasta una posición a 10° respecto a la horizontal. Si la duración del impacto es de 0.01 s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza vertical promedio que ejerció la superficie horizontal sobre la barra en P?
19.68 La masa del barco mostrado es de 544,000 kg y el momento de inercia del navío con respecto a su centro de masa es de 4 * 108 kg-m2. El viento ocasiona que el barco se mueva lateralmente a 0.1 m/s y golpee el muelle fijo en P. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.2. ¿Cuál es la velocidad angular del barco después del impacto? 19.69 En el problema 19.68, si la duración del impacto del barco con el muelle es de 10 s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida por el impacto sobre el barco?
16 m 45 m P
3 pies
45
Problemas 19.68/19.69 P
19.70 En el ejemplo activo 19.7, suponga que la bola A pesa 2 lb, la barra B pesa 6 lb y la longitud de la barra es de 3 pies. La bola se mueve a vA = 10 pies/s antes del impacto y golpea a la barra en h = 2 pies. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto si la bola se adhiere a la barra?
Problemas 19.64/19.65
19.66 La barra de 4 kg mostrada se suelta desde el reposo en la posición horizontal sobre el obstáculo fija en A. La distancia b = 0.35 m. Si se sabe que el impacto de la barra con el obstáculo es plástico, es decir, el coeficiente de restitución del impacto es e = 0, ¿cuál es la velocidad angular de la barra inmediatamente después del impacto? 19.67 La barra de 4 kg mostrada se suelta desde el reposo en la posición horizontal sobre el obstáculo fija en A. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6. ¿Qué valor de la distancia b causaría que la velocidad del centro de masa fuera cero inmediatamente después del impacto? ¿Cuál es la velocidad angular de la barra inmediatamente después del impacto?
19.71 La esfera A de 2 kg mostrada se mueve hacia la derecha a 4 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 5 kg. Inmediatamente después del impacto, la esfera A se mueve hacia la derecha a 1 m/s. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto? 19.72 La esfera A de 2 kg mostrada se mueve hacia la derecha a 4 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 5 kg. El coeficiente de restitución es e = 0.4. La duración del impacto es de 0.002 segundos. Determine la magnitud de la fuerza horizontal promedio ejercida sobre la barra por el soporte de pasador como resultado del impacto.
O 1m B
0.2 m
1m A b
www.FreeLibros.org Problemas 19.66/19.67
A
4 m/s
Problemas 19.71/19.72
464
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.73 La esfera A de 2 kg se mueve hacia la derecha a 10 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 4 kg cuyo movimiento no está restringido. Si la esfera se adhiere a la barra, ¿cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto?
19.74 La esfera A de 2 kg se mueve hacia la derecha a 10 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 4 kg cuyo movimiento no está restringido. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6. ¿Cuáles son los valores de la velocidad de la esfera y de la velocidad angular de la barra después del impacto?
19.75 La pelota de 5 onzas mostrada se desplaza con velocidad vA = 80 pies/s perpendicular al bate justo antes del impacto. El jugador abanica el bate de 31 onzas con velocidad angular v = 6p rad/s. El punto C es el centro instantáneo del bate antes y después del impacto. Las distancias b = 14 pulg y –y = 26 pulg. El momento de inercia de masa del bate respecto a su centro de masa es IB = 0.033 slug-pie2. El coeficiente de restitución es e = 0.6 y la duración del impacto es de 0.008 s. Determine la magnitud de la velocidad de la pelota después del impacto y la fuerza media Ax que ejerce el jugador sobre el bate durante el impacto si (a) d = 0, (b) d = 3 pulg, y (c) d = 8 pulg.
19.76 En el problema 19.75 demuestre que la fuerza Ax es cero si d = IB>1mB–y 2, donde mB es la masa del bate. B vA v d 1m
10 m/s A
Ay 0.25 m
Ax
y
Problemas 19.73/19.74
b
C
Problemas 19.75/19.76
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Problemas 19.77 Una barra delgada de 10 lb con longitud l = 2 pies se libera desde el reposo en la posición horizontal a una altura h = 2 pies sobre una clavija (figura a). Un pequeño gancho en el extremo de la barra se engarza a la clavija, y la barra oscila desde la clavija (figura b). ¿Cuál es la velocidad angular de la barra inmediatamente después de engarzarse en la clavija? 19.78 Una barra delgada de 10 lb con longitud l = 2 pies se libera desde el reposo en la posición horizontal a una altura h = 1 pie sobre una clavija (figura a). Un pequeño gancho en el extremo de la barra se engarza a la clavija, y la barra oscila desde la clavija (figura b). a) ¿Cuál es el máximo ángulo que gira la barra respecto a su posición cuando se engarza en la clavija? b) En el instante cuando la barra alcanza el ángulo determinado en el inciso a), compare su energía potencial gravitatoria con la que tenía al haber sido liberada desde el reposo. ¿Cuánta energía se ha perdido?
465
19.81 La longitud de la barra mostrada es de 1 m, y su masa es de 2 kg. Justo antes de que la barra golpee el piso, su velocidad angular es v = 0 y su centro de masa se mueve hacia abajo a 4 m/s. Si el extremo de la barra se adhiere al piso, ¿cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto? 19.82 La longitud de la barra mostrada es de 1 m, y su masa es de 2 kg. Justo antes de que la barra golpee el piso liso, su velocidad angular es v = 0 y su centro de masa se mueve hacia abajo a 4 m/s. Si el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4, ¿cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto? 19.83 La longitud de la barra mostrada es de 1 m, y su masa es de 2 kg. Justo antes de que la barra golpee el piso liso, su velocidad angular es v y su centro de masa se mueve hacia abajo a 4 m/s. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4. ¿Qué valor de v causaría que la barra no tuviera velocidad angular después del impacto?
l v
h 60
Problemas 19.81–19.83
(a)
(b)
Problemas 19.77/19.78
19.79 El disco de 1 slug mostrado rueda a una velocidad v = 10 pies/s hacia un escalón de 6 pulg. La rueda permanece en contacto con el escalón y no se desliza mientras rueda sobre él. ¿Cuál es la velocidad de la rueda una vez que está sobre el escalón? 19.80 El disco de 1 slug mostrado rueda hacia un escalón de 6 pulg. La rueda permanece en contacto con el escalón y no se desliza mientras rueda sobre él. ¿Cuál es la velocidad mínima v que la rueda debe tener al rodar hacia el escalón para poder subirlo?
19.84 Durante su rutina de barras paralelas, la velocidad del centro de masa de la gimnasta de 90 lb es 4i - 10j (pies/s) y su velocidad angular es cero justo antes de que sujete la barra en A. En la posición mostrada, su momento de inercia respecto a su centro de masa es 1.8 slug-pie2. Si aprieta sus hombros y piernas de manera que pueda modelarse como un cuerpo rígido, ¿cuál es la velocidad de su centro de masa y su velocidad angular justo antes de que sujete la barra? y
A x
18 pulg
v
6 pulg (–8, –22) pulg
www.FreeLibros.org Problemas 19.79/19.80
Problema 19.84
466
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.85 La placa rectangular homogénea de 20 kg mostrada se libera desde el reposo (figura a) y cae 200 mm antes de que la cuerda unida a la esquina A se tense (figura b). Suponiendo que la componente vertical de la velocidad de A es cero justo después de que la cuerda se tensa, determine la velocidad angular de la placa y la magnitud de la velocidad de la esquina B en ese instante.
19.88* Cada una de las barras A y B mostradas tienen 2 m de longitud y 4 kg de masa. En la figura a, la barra A no tiene velocidad angular y se mueve hacia la derecha a 1 m/s y la barra B está en reposo. Si las barras se unen con el impacto (figura b), ¿cuál es su velocidad angular v¿ después del choque?
B B A
v 200 mm
300 mm
A B
A
500 mm B
1 m/s
A
(b)
(a)
(a)
Problema 19.85
(b)
Problema 19.88 19.86* Cada una de las barras A y B mostradas tienen 2 m de longitud y 4 kg de masa. En la figura a, la barra A no tiene velocidad angular y se mueve hacia la derecha a 1 m/s y la barra B está en reposo. Si las barras se unen con el impacto (figura b), ¿cuál es su velocidad angular v¿ después del choque? 19.87* En el problema 19.86, si las barras no se unen con el impacto y el coeficiente de restitución es e = 0.8, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras después del impacto?
19.89* La velocidad horizontal del avión mostrado al aterrizar es de 50 m/s, su velocidad vertical (razón de descenso) es de 2 m/s y su velocidad angular es cero. La masa del avión es de 12 Mg y el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es 1 * 105 kg-m2. Cuando las ruedas traseras tocan la pista, permanecen en contacto con ella. Ignorando la fuerza horizontal ejercida por la pista sobre las ruedas, determine la velocidad angular del avión justo después de aterrizar. (Vea el ejemplo 19.8). 19.90* Determine la velocidad angular del avión del problema 19.89 inmediatamente después de que toca la pista si las ruedas no permanecen en contacto con ésta y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4. (Vea el ejemplo 19.8).
B B
1.8 m A
A v 1 m/s
0.3 m
Problemas 19.89/19.90
www.FreeLibros.org (a)
(b)
Problemas 19.86/19.87
Problemas 19.91* Mientras trataba de conducir por primera vez en una calle cubierta de hielo, un estudiante derrapó en su auto (A) de 1260 kg y golpeó el Rolls-Royce estacionado (B) del rector cuya masa es de 2700 kg. El punto de impacto es P. Suponga que las superficies de impacto son lisas y paralelas al eje y, y que el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.5. Los momentos de inercia de los automóviles respecto a sus centros de masa son IA = 2400 kg-m2 e IB = 7600 kg-m2. Determine las velocidades angulares de los automóviles y las velocidades de sus centros de masa después de la colisión. (Vea el ejemplo 19.9).
467
19.94* El módulo espacial Apollo (A) se acerca a la estación espacial Soyuz (B). La masa del Apollo es mA = 18 Mg y su momento de inercia de masa respecto al eje que pasa por su centro de masa paralelo al eje z es IA = 114 Mg-m2. La masa de la Soyuz es mB = 6.6 Mg y su momento de inercia de masa respecto al eje por su centro de masa paralelo al eje z es IB = 70 Mg-m2. La Soyuz está en reposo respecto al marco de referencia mostrado y el módulo espacial se le aproxima con velocidad vA = 0.21i + 0.05j (m/s) y sin velocidad angular. ¿Cuál es su velocidad angular después de que se acoplan?
19.92* El estudiante del problema 19.91 alegó que conducía a 5 km/h antes de la colisión, pero la policía estima que el centro de masa del Rolls-Royce se desplazaba a 1.7 m/s después del choque. ¿Cuál era la velocidad real del estudiante? (Vea el ejemplo 19.9). y 7.3 m A
5 km/h
(A)
0.6 m 1.7 m
y
x
P 0.6 m
B
3.2 m
x
Problemas 19.91/19.92 4.3 m
19.93 Cada una de las barras delgadas mostradas tiene 48 pulg de longitud y pesa 20 lb. La barra A se libera de la posición horizontal mostrada. Las barras son lisas y el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.8. Determine el ángulo que gira B después del impacto.
(B)
Problema 19.94
28 pulg A
B
Problema 19.93
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468
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Problemas de repaso 19.95 El momento de inercia de la polea mostrada es de 0.2 kg-m2. El sistema se libera desde el reposo. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del cilindro de 10 kg cuando ha caído 1 m. 19.96 El momento de inercia de la polea mostrada es de 0.2 kg-m2. El sistema se libera desde el reposo. Use los principios de la cantidad de movimiento para determinar la velocidad del cilindro de 10 kg un segundo después de que el sistema se libera.
19.98 El carrito de la figura está en reposo cuando se le aplica una fuerza constante F. ¿Cuál será su velocidad cuando haya rodado una distancia b? La masa del cuerpo del carrito es mc y cada una de las cuatro ruedas tiene masa m, radio R y momento de inercia I.
F
150 mm
Problema 19.98
5 kg
19.99 Cada polea mostrada tiene un momento de inercia I = 0.003 kg-m2, y la masa de la banda es de 0.2 kg. Si se aplica a la polea inferior un par constante M = 4 N-m, ¿cuál será su velocidad angular cuando haya girado 10 revoluciones?
10 kg
Problemas 19.95/19.96
19.97 El brazo BC mostrado tiene una masa de 12 kg y su momento de inercia respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. El punto B está en reposo. El brazo BC está inicialmente alineado con el eje x (horizontal) con velocidad angular cero, y un par constante M aplicado en B lo hace girar hacia arriba. Cuando está en la posición mostrada, su velocidad angular es de 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine M.
100 mm
y
C 0 30 m m M
A
40 B
M
x
Problema 19.99
www.FreeLibros.org Problema 19.97
469
Problemas de repaso 19.100 El engrane anular mostrado está fijo. La masa y el momento de inercia de masa del engrane central son mS = 22 slug e IS = 4400 slug-pie2. La masa y el momento de inercia de cada engrane periférico son mP = 2.7 slug, IP = 65 slug-pie2. Se aplica al engrane central un par M = 600 lb-pie. Use el trabajo y la energía para determinar la velocidad angular del engrane central después de que ha girado 100 revoluciones.
Engrane anular
7 pulg
34 pulg
19.103 Cada una de las ruedas frontales del go-cart mostrado pesa 5 lb y tiene un momento de inercia de masa de 0.01 slug-pie2. Las dos ruedas y el eje traseros forman un solo cuerpo rígido que pesa 40 lb y tiene un momento de inercia de masa de 0.1 slug-pie2. El peso total del conductor y el vehículo, incluyendo las ruedas es de 240 lb. El vehículo parte del reposo, su motor ejerce un par constante de 15 lb-pie sobre el eje trasero y sus ruedas no se deslizan. Si se ignoran la fricción y la resistencia aerodinámica, ¿qué velocidad tiene el vehículo cuando ha recorrido 50 pies? 19.104 Determine la potencia máxima y la potencia promedio transmitida al go-cart del problema 19.103 por su motor.
M 20 pulg
Engranes periféricos (3) Engrane central
Problema 19.100
6 pulg
4 pulg
A
19.101 Los momentos de inercia de los engranes A y B son IA = 0.014 slug-pie2 e IB = 0.100 slug-pie2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con k = 0.2 lb-pie/rad. Si el resorte no está estirado y se retira la superficie que soporta al peso de 5 lb, ¿cuál es la velocidad del peso cuando ha caído 3 pulg? 19.102 Considere el sistema del problema 19.101. a) ¿Qué distancia máxima cae el peso de 5 lb cuando se retira la superficie de soporte?
B 60 pulg
Problemas 19.103/19.104
19.105 El sistema mostrado parte desde el reposo con la barra delgada de 4 kg en posición horizontal. La masa del cilindro suspendido es de 10 kg. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra cuando está en la posición mostrada?
b) ¿Qué velocidad máxima logra el peso?
3 pulg
6 pulg
10 pulg 3m
B A 45
5 lb
2m
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Problema 19.105
470
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.106 La barra delgada de 0.1 kg y el disco cilíndrico de 0.2 kg mostrados se liberan desde el reposo con la barra en posición horizontal. El disco rueda sobre la superficie curva. ¿Cuál será la velocidad angular de la barra cuando esté vertical?
19.108 La barra delgada de 4 kg que se muestra en la figura está articulada a los deslizadores A y B de 2 kg. Si la fricción es insignificante y el sistema parte desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando el deslizador A ha caído 0.5 m?
A 40 mm
1.2 m 120 mm
45 B
0.5 m
Problema 19.106
19.107 La barra delgada de masa m mostrada se libera desde el reposo en posición vertical y se deja caer. Ignorando la fricción y suponiendo que permanece en contacto con el piso y la pared, determine su velocidad angular en función de u.
Problema 19.108
19.109 La semiesfera homogénea de masa m se libera desde el reposo en la posición mostrada. Si rueda sobre la superficie horizontal, ¿cuál será su velocidad angular cuando su parte plana esté en posición horizontal? 19.110 La semiesfera homogénea de masa m se libera desde el reposo en la posición mostrada. Si rueda sobre la superficie horizontal, ¿qué fuerza normal ejerce la superficie horizontal sobre la semiesfera en el instante en que su parte plana está en posición horizontal?
l
R
u
Problema 19.107
3R 8
www.FreeLibros.org Problemas 19.109/19.110
Problemas de repaso 19.111 La barra delgada mostrada gira libremente en un plano horizontal respecto a un eje vertical en O. La barra pesa 20 lb y su longitud es de 6 pies. El collarín A pesa 2 lb. Si la velocidad angular de la barra es v = 10 rad/s y la componente radial de la velocidad de A es cero cuando r = 1 pie, ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando r = 4 pies? (El momento de inercia de A respecto a su centro de masa es insignificante; es decir, considere a A como una partícula).
19.113 Un ingeniero decide controlar la velocidad angular de un satélite desplegando pequeñas masas unidas a cables. Si la velocidad angular del satélite en la configuración a) es de 4 rpm, determine la distancia d en la configuración b) que hará que la velocidad angular sea de 1 rpm. El momento de inercia del satélite es I = 500 kg-m2 y cada masa es de 2 kg (suponga que los cables y las masas giran con la misma velocidad angular que el satélite; ignore los cables y los momentos de inercia de las masas respecto a sus centros de masa). 4 rpm
v
A 2m
1 rpm
2m
d
(a)
r
O
471
d
(b)
Problema 19.113 Problema 19.111
19.112 Un satélite se lanza con velocidad angular v = 1 rad/s (figura a). En cierto momento se extienden dos antenas, cada una de longitud igual al diámetro del satélite, y la velocidad angular de éste disminuye a v¿ (figura b). Modelando el satélite como una esfera de 500 kg y 1.2 m de radio y cada antena como una barra delgada de 10 kg, determine v¿.
19.114 Un disco cilíndrico homogéneo de masa m rueda sobre la superficie horizontal con velocidad angular v. Si no resbala o deja la superficie inclinada al entrar en contacto con ella, ¿cuál es la velocidad angular v¿ del disco inmediatamente después? v
R b
v
Problema 19.114 19.115 La barra delgada de 10 lb mostrada cae desde el reposo en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6, la duración del impacto es 0.1 s y b = 1 pie. Determine la fuerza promedio ejercida sobre la barra en B debido al impacto.
1.2 m v (a)
2.4 m
2.4 m (b)
Problema 19.112
19.116 La barra delgada de 10 lb mostrada cae desde el reposo en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.6 y la duración del impacto es 0.1 s. Determine el valor de la distancia b para el que la fuerza promedio ejercida sobre la barra por el soporte A como resultado del impacto sea igual a cero.
3 pies
www.FreeLibros.org A
B
b
Problemas 19.115/19.116
472
Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.117 La esfera A de 1 kg mostrada se está moviendo a 2 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 2 kg que se encuentra en reposo. Si la velocidad de la esfera después del impacto es de 0.8 m/s hacia la derecha, ¿cuál es el coeficiente de restitución?
19.121 Una barra delgada A se mueve sin girar con velocidad v0 cuando golpea una barra delgada B en reposo. Cada barra tiene masa m y longitud l. Si las barras se adhieren al chocar, ¿cuál es su velocidad angular después del impacto?
B
B
2m
A
2 m/s 400 mm
l 2
A
v0
Problema 19.117 19.118 La barra delgada se suelta desde el reposo en la posición mostrada en la figura a y cae una distancia h = 1 pie. Cuando la barra golpea el piso, su extremo queda soportado por una escalón y permanece en contacto con el piso (figura b). La longitud de la barra es de 1 pie y su peso es de 4 onzas. ¿Cuál es su velocidad angular v justo después de que toca el piso?
45 v h
(a)
(b)
Problema 19.118 19.119 La barra delgada mostrada se libera desde el reposo con u = 45° y cae una distancia h = 1 m sobre el piso liso. La longitud de la barra es 1 m y su masa es 2 kg. Si el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4, ¿cuál es la velocidad angular de la barra justo después de tocar el piso?
Problema 19.121 19.122 Una astronauta se traslada hacia un satélite sin rotación a 1.0 i (m/s) respecto al satélite. Su masa es de 136 kg y su momento de inercia respecto al eje que pasa por su centro de masa paralelo al eje z es de 45 kg-m2. La masa del satélite es de 450 kg y su momento de inercia respecto al eje z es de 675 kg-m2. En el instante en que la astronauta se conecta al satélite y empieza a moverse con él, la posición del centro de masa de la mujer es 1- 1.8, - 0.9, 02 m. El eje de rotación del satélite, después de que ella se conecta, es paralelo al eje z. ¿Cuál es la velocidad angular de ambos? 19.123 En el problema 19.122 suponga que los parámetros de diseño del sistema de control del satélite requieren que su velocidad angular no exceda de 0.02 rad/s. Si la astronauta se mueve paralelamente al eje x y la posición de su centro de masa cuando ella se conecta es 1- 1.8, - 0.9, 02 m, ¿cuál es la velocidad relativa máxima a la que ella debería acercarse al satélite? y
19.120 La barra delgada mostrada se libera desde el reposo y cae una distancia h = 1 m sobre el piso liso. La longitud de la barra es 1 m y su masa es 2 kg. El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4. Determine el ángulo u para el cual la velocidad angular de la barra justo después de que toca el piso es máxima. ¿Cuál es esa velocidad angular máxima?
x 1 m/s
u
h
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Problemas 19.122/19.123
Problemas de repaso 19.124 Un automóvil de 2800 lb que derrapa sobre hielo golpea un poste de concreto a 3 mi/h. El momento de inercia del vehículo respecto a su centro de masa es de 1800 slug-pie2. Si las superficies del impacto son lisas y paralelas al eje y, y el coeficiente de restitución es e = 0.8, ¿cuál es la velocidad angular del coche y la velocidad de su centro de masa después del impacto? y
3 mi/h 2 pies
x
473
Proyecto de diseño Diseñe y realice experimentos para determinar los momentos de inercia de a) una barra delgada homogénea, por ejemplo una vara de un metro de longitud y b) un balón de fútbol o de básquetbol. Para la barra delgada, compare sus valores experimentales para los momentos de inercia con el valor 1 – teórico I = 12 ml 2 para una barra delgada de longitud l. Para el balón, compare sus valores experimentales con el valor 2 teórico I = –3 mR 2 para un cascarón esférico delgado de radio R. Investigue qué tan repetibles son sus métodos experimentales. Escriba un reporte breve donde describa sus experimentos, analice las posibles fuentes de error y presente sus resultados.
Problema 19.124
19.125 El receptor abierto de 170 lb salta verticalmente para recibir un pase y está en reposo en el instante en que atrapa el balón. En el mismo instante es golpeado en P por un defensivo de 180 lb que se mueve horizontalmente a 15 pies/s. El momento de inercia del receptor respecto a su centro de masa es de 7 slug-pie2. Si los jugadores se modelan como cuerpos rígidos y se supone que e = 0, ¿cuál es la velocidad angular del receptor inmediatamente después del impacto?
(a)
(b)
14 pulg P
Problema 19.125
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CAPÍTULO
20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos En muchas aplicaciones de la ingeniería, como el diseño aeronáutico y de otros vehículos, se debe considerar el movimiento tridimensional. Después de explicar cómo se describe el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido se deducen las ecuaciones del movimiento y se utilizan para analizar movimientos simples. Finalmente, se presentan los ángulos de Euler usados para especificar la orientación de un cuerpo rígido en tres dimensiones y expresar en sus términos las ecuaciones del movimiento angular.
Z z
x
Y X
y
Con el fin de realizar investigaciones de ingeniería genética, la centrifugadora somete a los tejidos vegetales a altas aceleraciones.
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476
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.1 Cinemática ANTECEDENTES Si un ciclista conduce una bicicleta en una trayectoria recta, las ruedas de la misma describen un movimiento plano. Pero si el ciclista da vueltas, el movimiento de las ruedas será tridimensional (figura 20.1a). De manera similar, un avión puede permanecer en movimiento plano mientras vuela a nivel, desciende, asciende o realiza bucles. Pero si se inclina y vira, está en movimiento tridimensional (figura 20.1b). Al hacer girar un trompo éste permanece en movimiento plano durante un periodo breve, girando alrededor de un eje vertical fijo. Pero en algún momento, el eje del trompo empieza a inclinarse y a girar. El trompo está entonces en movimiento tridimensional y muestra un interesante comportamiento, en el que aparentemente desafía a la gravedad (figura 20.1c). En esta sección se inicia el análisis de tales movimientos estudiando la cinemática de cuerpos rígidos en el movimiento tridimensional.
Velocidades y aceleraciones Ya se han estudiado algunos de los conceptos necesarios para describir el movimiento tridimensional de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia dado. En el capítulo 17 se mostró que el teorema de Euler implica que un cuerpo rígido sometido a cualquier movimiento que no sea traslación tiene un eje instantáneo de rotación. La dirección de este eje en un instante particular y la razón con que el cuerpo rígido gira alrededor del eje, pueden especificarse por medio del vector de velocidad angular.
(a)
(b)
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Figura 20.1 Ejemplos de movimientos planos y tridimensionales.
20.1 Cinemática
477
B
rA/B
Figura 20.2 Los puntos A y B de un cuerpo rígido. La velocidad de A se puede determinar si se conocen la velocidad de B y el vector de velocidad angular del cuerpo rígido. La aceleración de A se puede determinar si se conocen la aceleración de B, la velocidad angular y el vector de la aceleración angular .
A
O
También se ha mostrado que la velocidad del cuerpo rígido está completamente especificada por su vector de velocidad angular y la velocidad de un solo punto del cuerpo. Para el cuerpo rígido y el marco de referencia de la figura 20.2, suponga que se conoce el vector de velocidad angular y la velocidad vB de un punto B. Entonces, la velocidad de cualquier otro punto A del cuerpo está dada por la ecuación (17.8):
vA = vB + * rA>B.
(20.1)
La aceleración de un cuerpo rígido está completamente especificada por su vector de aceleración angular = d>dt, su vector de velocidad angular y la aceleración de uno de los puntos del cuerpo. Si se conoce , , y la aceleración aB del punto B de la figura 20.2, la aceleración de cualquier otro punto A está dada por la ecuación (17.9):
aA = aB + * rA>B + * 1 * rA>B2.
(20.2)
Marcos de referencia en movimiento Las velocidades y las aceleraciones en las ecuaciones (20.1) y (20.2) se miden respecto al marco de referencia indicado en la figura 20.2, al que se hará referencia como marco de referencia primario. Aunque algunas situaciones requieren otras alternativas, el marco de referencia primario usado más comúnmente en las aplicaciones de ingeniería es uno que esté fijo respecto a la Tierra. Cuándo no se establezca otra cosa, debe suponerse que el marco de referencia primario está fijo a la Tierra. También se usa un marco de referencia secundario que se mueve respecto al marco de referencia primario. El marco de referencia secundario y su movimiento se eligen por su conveniencia para describir el movimiento de un cuerpo rígido en particular. En algunas situaciones, el marco de referencia secundario se define fijo con respecto al cuerpo rígido. En otros casos, resulta ventajoso usar un marco de referencia secundario que se mueva en relación con el marco de referencia primario, pero que no esté fijo con respecto al cuerpo rígido. (Vea los ejemplos 20.1-20.3). En la figura 20.3 se muestra un marco de referencia primario, un marco de referencia secundario xyz y un cuerpo rígido. La velocidad angular del marco
y x Marco de referencia secundario Marco de referencia primario
Figura 20.3 Marcos de referencia primario y secundario. El vector es la velocidad angular del marco de referencia secundario respecto al marco de referencia primario. El vector es la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario.
www.FreeLibros.org z
O
478
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
de referencia secundario respecto al marco de referencia primario está especificado por el vector , y la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario se especifica mediante el vector . Si el marco de referencia secundario está fijo con respecto al cuerpo rígido, . Si se expresa en términos de sus componentes en el marco de referencia secundario como
= vx i + vy j + vz k, el vector de la aceleración angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario es
=
dvx dvz di dvy dj dk d i + vx j + vy k + vz . = + + dt dt dt dt dt dt dt
(20.3)
Las derivadas de i, j y k pueden expresarse en términos del vector de velocidad angular como (vea la sección 17.5)
dj = * j, dt
di = * i, dt
dk = * k. dt
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (20.3), se obtiene el vector de aceleración angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario en la forma
=
dvy dvx dvz i + j + k + * . dt dt dt
(20.4)
Observe que, en general, las derivadas dvx>dt, dvy>dt, son las componentes de
sólo cuando 0 o cuando . En caso contrario, el vector de aceleración angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario debe determinarse a partir de la ecuación (20.4). Cuando el marco de referencia secundario no está fijo al cuerpo rígido, resulta conveniente expresar el vector de velocidad angular del cuerpo como la suma del vector de velocidad angular del marco de referencia secundario y el vector de velocidad angular rel del cuerpo rígido relativo al marco de referencia secundario (figura 20.4): = + rel.
(20.5) rel
Figura 20.4 El vector rel es la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia secundario y el vector es la velocidad angular del marco de referencia secundario respecto al marco de referencia primario. El vector de velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario es rel .
y x Marco de referencia secundario Marco de referencia primario
www.FreeLibros.org z
O
20.1 Cinemática
479
RESULTADOS
rA/B
B
A
O
La velocidad y la aceleración de un punto A perteneciente a un cuerpo rígido (respecto a un marco de referencia dado) puede expresarse en términos de la velocidad y la aceleración de un punto B, la posición de A respecto a B, la velocidad angular del cuerpo rígido y la aceleración angular d/dt del cuerpo rígido.
vA vB rA/B,
(20.1)
aA aB rA/B ( rA/B).
(20.2)
y
z O
x Marco de referencia secundario Marco de referencia primario
La razón de rotación del marco de referencia secundario respecto al marco de referencia primario se describe mediante el vector de velocidad angular . Si la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario se expresa en términos de componentes en el marco de referencia secundario, vxi vyj vyk, la aceleración angular d/dt del cuerpo rígido relativa al marco de referencia primario contiene un término que surge de la rotación del marco de referencia secundario.
dvz dv dvx k . i yj dt dt dt
(20.4)
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480
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos rel
y
z O
x Marco de referencia secundario Marco de referencia primario
Sea rel la velocidad angular del cuerpo rígido relativa al marco de referencia secundario. En ocasiones es conveniente expresar la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario como la suma de la velocidad angular del marco de referencia secundario y la velocidad angular del cuerpo rígido relativa al marco de referencia secundario.
Ejemplo activo 20.1
rel .
(20.5)
Uso de un marco de referencia secundario ( Relacionado con el problema 20.2) El neumático del automóvil que se muestra en la figura está rodando sobre una superficie nivelada. Mientras el auto vira, el punto medio B de la llanta se mueve a 5 ms en una trayectoria circular respecto al punto fijo P (vea la vista superior) y el neumático permanece perpendicular a la línea que une a B con P. ¿Cuál es el vector de velocidad angular del neumático respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra? P
10 m (No está a escala)
B
0.36 m B
A 0.36 m
Vista superior
Estrategia Considere un marco de referencia secundario con su origen en B y su eje y a lo largo de la línea que une a B con P. Mientras la llanta rueda, se supone que el eje y sigue apuntando hacia P y que el eje x permanece horizontal. El movimiento de este sis-
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20.1 Cinemática
481
tema coordenado es simple: Gira respecto a su eje z mientras el automóvil vira. El movimiento de la llanta respecto este sistema coordenado también es sencillo: Gira respecto al eje y. Al determinar la velocidad angular del sistema coordenado secundario respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra y la velocidad angular del neumático respecto al marco de referencia secundario, se puede usar la ecuación (20.5) para determinar la velocidad angular de la llanta respecto al marco de referencia fijo a la Tierra. P
10 m (No está a escala) y
Sistema coordenado secundario en rotación. El origen B permanece en el centro de la llanta, el eje y sigue apuntando hacia P y el eje x permanece horizontal.
5 m/s
A
B
x
0.36 m
Velocidad angular del sistema coordenado secundario La magnitud de la velocidad angular de la línea PB alrededor de P es (5 m/s)/(10 m) 0.5 rad/s.
0.5k (rad/s).
El sistema coordenado secundario gira alrededor de su eje z en el sentido de las manecillas del reloj, por lo que su vector de velocidad angular apunta en la dirección negativa de z. Velocidad angular de la llanta respecto al sistema coordenado secundario El centro de la llanta se mueve a 5 m/s y su radio es de 0.36 m, por lo que la magnitud de la velocidad angular de la llanta respecto al eje y es (5 m/s)/(0.36 m) 13.9 rad/s. La regla de la mano derecha indica que el vector de velocidad angular apunta a la dirección negativa de y. Velocidad angular de la llanta respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra Aplique la ecuación (20.5).
rel 13.9j (rad/s).
rel 0.5k 13.9j (rad/s).
Problema de práctica Determine la velocidad del punto A, el punto en la posición más posterior del neumático en el instante mostrado, respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra.
www.FreeLibros.org Respuesta: vA = - 5i - 0.18j + 5k (m/s).
482
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo 20.2
Velocidad angular y aceleración angular de un disco giratorio ( Relacionado con el problema 20.10) El disco mostrado es perpendicular a la parte horizontal de la flecha y gira respecto a ésta con velocidad angular constante vd. Respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, la flecha gira alrededor del eje vertical con velocidad angular constante v0. Determine los vectores de velocidad angular y de aceleración angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
vd
v0 R
Estrategia El movimiento del disco relativo al marco de referencia fijo a la Tierra es bastante complicado. Sin embargo, en relación con un marco de referencia que está fijo con respecto a la flecha, el disco simplemente gira alrededor de un eje fijo con velocidad angular constante. Por lo tanto se introducirá un sistema coordenado secundario que esté fijo con respecto a la flecha. El vector de velocidad angular que se busca es la suma del vector de velocidad angular del sistema coordenado secundario y el vector de velocidad angular del disco relativo al sistema coordenado secundario. El vector de aceleración angular del disco está dado por la ecuación (20.4). Solución Se introduce el sistema coordenado secundario que se muestra en la figura a, el cual está fijo con respecto a la flecha. El vector de velocidad angular del sistema coordenado secundario respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es 0 j. El vector de velocidad angular del disco respecto al sistema coordenado secundario es rel vdi. Por lo tanto, el vector de velocidad angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es
y
vd
z
= + rel = vd i + v0 j.
v0 R
x
Como vd y v0 son constantes, se encuentra a partir de la ecuación (20.4) que el vector de aceleración angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es
= * = - v 0 vd k. (a)
Razonamiento crítico Si las componentes del vector de velocidad angular del disco son constantes, ¿cómo puede el disco tener una aceleración angular respecto al marco de referencia fijo a la Tierra? Recuerde que vd y v0 son las componentes de expresadas en términos del sistema coordenado secundario. En este ejemplo, la magnitud y la dirección del vector son constantes respecto al sistema coordenado secundario, pero gira respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
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20.1 Cinemática
Ejemplo 20.3
483
Velocidad angular y aceleración angular de un disco rodante ( Relacionado con los problemas 20.20–20.22)
La barra doblada que se muestra en la figura está unida rígidamente a la flecha vertical, la cual gira con velocidad angular constante v0. El disco circular está articulado a la barra doblada y rueda sobre la superficie horizontal. (a) Determine el vector de velocidad angular disco y el vector de aceleración angular disco del disco. (b) Determine la velocidad del punto P, que es el punto en la posición más alta del disco circular, en el instante presente.
h b
b
Estrategia (a) En este ejemplo, el marco de referencia primario está fijo con respecto a la superficie sobre la que rueda el disco. Para simplificar el análisis del movimiento angular del disco, se usará un sistema coordenado secundario que está fijo con respecto a la barra doblada. Aplicando la ecuación (20.1) a la barra doblada, se determinará la velocidad del centro del disco. Se encontrará el vector de velocidad angular del disco reconociendo que la velocidad del punto del disco en contacto con la superficie horizontal es cero. Después se puede usar la ecuación (20.4) para determinar el vector de aceleración angular del disco. (b) Conociendo la velocidad del centro del disco y el vector de velocidad angular del disco, se puede aplicar la ecuación (20.1) al disco para determinar la velocidad del punto P.
P
v0
R
Vector de velocidad angular de la y barra y el h sistema coordenado barra b
Solución (a) Considere que el sistema coordenado de la figura a está fijo con respecto a la barra doblada. El eje x coincide con la parte horizontal de la barra y el eje y coincide con la flecha vertical. El vector de velocidad angular barra de la barra y el vector de velocidad angular del sistema coordenado son iguales:
z
B b
A
barra bar = = v0 j.
R
Sea el punto B el origen en reposo del sistema coordenado, y sea el punto A el centro del disco (figura a). El vector de posición de A respecto a B es
rA>B = 1h + b cos b2i - b sen bj.
(a) Vector de velocidad angular del disco respecto al sistema coordenado
A partir de la ecuación (20.1), la velocidad del punto A es
vA = vB +
barra
x
v0
y
* rA>B
i = 0 + 3 0 h + b cos b
= - v01h + b cos b2k.
j v0 - b sen b
k 03 0
Como el sistema coordenado está fijo con respecto a la barra doblada, se puede escribir el vector de velocidad angular del disco respecto al sistema coordenado como (figura b)
Vector de velocidad angular del disco respecto al sistema coordenado
v0j z b
x P vrel A vrel
www.FreeLibros.org rel
= vrel cos bi - vrel sen bj.
C
(b) Análisis del movimiento del disco.
484
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Sea el punto C de la figura b el punto del disco que está en contacto con la superficie. Para determinar vrel, se usa la condición vC 0. La posición de C respecto a A es
rC>A = - R sen bi - R cos bj. Por lo tanto,
vC = vA +
disco *
rC>A
i = - v01h + b cos b2k + 3 vrel cos b -R sen b
j v0 - vrel sen b - R cos b
k 0 3 = 0. 0
Despejando vrel de esta ecuación, se obtiene
vrel = - v0 a
h b + cos b - sen bb . R R
El vector de velocidad angular del sistema coordenado es v0 j, por lo que el vector de velocidad angular del disco es disco
=
+
rel
= vrel cos bi + 1v0 - vrel sen b2j.
Aun cuando las componentes de disco son constantes, se encuentra a partir de la ecuación (20.4) que la aceleración angular del disco no es igual a cero: disco =
*
3 disco =
i 0 vrel cos b
j v0 v0 - vrel sen b
k 03 0
= - v 0vrel cos bk. (b) El vector de posición del punto P respecto al centro del disco es
rP>A = R sen bi + R cos bj. Usando la ecuación (20.1) y el resultado para la velocidad vA del centro del disco, se determina la velocidad del punto P:
vP = vA +
disco
* rP>A
i = - v01h + b cos b2k + 3 vrel cos b R sen b
j v0 - vrel sen b R cos b
= 3 - v01h + b cos b + R sen b2 + vrel R4k
k 03 0
= - 2v01h + b cos b2k.
Razonamiento crítico En comparación con el ejemplo 20.2, este ejemplo se complicó por el hecho de que no se conocía la velocidad angular del disco respecto a la barra. Sin embargo, sí se conocía la dirección de su eje de rotación. Observe que fue posible usar esa información y el hecho de que la velocidad el punto C del disco en contacto con la superficie es cero para determinar vrel. Éste fue el paso esencial para la determinación del vector de velocidad angular del disco respecto al marco de referencia primario.
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Problemas
485
Problemas 20.1 La velocidad angular de un avión respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, expresada en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo mostrado, es 0.62i 0.45j 0.23k (rads). Las coordenadas del punto A del avión son (3.6, 0.8, 1.2) m. ¿Cuál es la velocidad del punto A respecto a la velocidad del centro de masa del avión?
20.3 La velocidad angular de un cubo respecto al marco de referencia primario, expresada en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo mostrado, es = - 6.4i + 8.2j + 12k (rad/s) . La velocidad del centro de masa G del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante mostrado es vG 26i 14j 32k (ms). ¿Cuál es la velocidad del punto A del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante mostrado? 20.4 El sistema coordenado que se muestra en la figura está fijo con respecto al cubo. La velocidad angular del cubo respecto al marco de referencia primario, = - 6.4i + 8.2j + 12k (rad/s), es constante. La aceleración del centro de masa G del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante mostrado es aG = 136i + 76j - 48k (m/s2) . ¿Cuál es la aceleración del punto A del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante mostrado?
y
A
z
x
Problema 20.1
20.5 El origen del sistema coordenado secundario que se muestra en la figura está fijo al centro de masa G del cubo. La velocidad del centro de masa G del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante mostrado es vG = 26i + 14j + 32k (m/s). El cubo gira respecto al sistema coordenado secundario con velocidad angular rel 6.2i 5j 8.8k (rads). El sistema coordenado secundario gira respecto al marco de referencia primario con velocidad angular 2.2i 4j 3.6k (rads). a) ¿Cuál es la velocidad del punto A del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante mostrado? b) Si las componentes de los vectores rel y son constantes, ¿cuál es la aceleración angular del cubo respecto al marco de referencia primario?
20.2 En el ejemplo activo 20.1, suponga que el centro del neumático se mueve a una velocidad constante de 5 ms mientras el automóvil vira (en consecuencia, cuando la velocidad angular de la llanta respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra se expresa en términos de componentes en el marco de referencia secundario, vxi vyj vzk, las componentes vx, vy y vz son constantes). ¿Cuál es la aceleración angular del neumático respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra?
y
2m
G
A
z x
O
Marco de referencia primario
Problemas 20.3–20.5
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486
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.6 Los puntos A y B del paralelepípedo rígido mostrado están fijos respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra y el cuerpo gira alrededor del eje AB con una velocidad angular de 30 rads. Determine las velocidades de los puntos C y D respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
20.7 Los puntos A y B de un paralelepípedo rígido están fijos respecto al sistema coordenado xyz mostrado y el cuerpo gira alrededor del eje AB con una velocidad angular de 30 rads. Respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, el punto A está fijo y el sistema coordenado xyz gira con velocidad angular 5i 8j 6k (rads). Determine las velocidades de los puntos C y D respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
y
20.8 La flecha vertical mostrada gira alrededor de su eje con velocidad angular v0 4 rads, respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. El sistema coordenado secundario xyz está fijo con respecto a la flecha y su origen está en reposo. Respecto al sistema coordenado secundario, el disco (radio 8 pulg) gira con velocidad angular vd 6 rads. En el instante mostrado, determine la velocidad del punto A a) respecto al marco de referencia secundario y b) respecto al marco de referencia fijo a la Tierra. 20.9 La flecha vertical mostrada gira alrededor de su eje con velocidad angular constante v0 4 rads, respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. El sistema coordenado secundario xyz está fijo con respecto a la flecha y su origen está en reposo. Respecto al sistema coordenado secundario, el disco (radio 8 pulg) gira con velocidad angular constante vd 6 rads. a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra? b) En el instante mostrado, determine la aceleración del punto A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
C B D
y z
0.2 m
A
30 rad/s 0.4 m 0.4 m
x
vd
A
Problemas 20.6/20.7 45 x
z
v0
Problemas 20.8/20.9
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Problemas 20.10 El radio del disco mostrado es R 2 pies. El disco está perpendicular a la parte horizontal de la flecha y gira alrededor de ésta con velocidad angular constante vd 36 rads. Respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, la flecha gira alrededor del eje vertical con velocidad angular constante v0 8 rads. a) Determine la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto P, que es el punto en la posición más alta del disco. b) Determine el vector de aceleración angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
487
20.11 La flecha vertical que soporta la antena parabólica mostrada gira con velocidad angular constante v0 0.2 rads. El ángulo u entre la horizontal y el eje de la antena es de 30° en el instante mostrado y está aumentando a una razón constante de 15° por segundo. El sistema coordenado secundario xyz que se muestra en la figura está fijo con respecto al plato. a) ¿Cuál es la velocidad angular del plato respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra? b) Determine la velocidad del punto de la antena con coordenadas (4, 0, 0) m respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra.
(Vea el ejemplo 20.2.)
P
20.12 La flecha vertical que soporta la antena parabólica mostrada gira con velocidad angular constante v0 0.2 rads. El ángulo u entre la horizontal y el eje de la antena es de 30° en el instante mostrado y está aumentando a una razón constante de 15° por segundo. El sistema coordenado secundario xyz que se muestra en la figura está fijo con respecto al plato.
vd
a) ¿Cuál es la aceleración angular del plato respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra?
y
3 pies
z v0 R
Problema 20.10
x
b) Determine la aceleración del punto de la antena con coordenadas (4, 0, 0) m respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra.
y
x
u
v0
Problemas 20.11/12.12
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488
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.13 El radio del disco circular mostrado es R 0.2 m y b 0.3 m. El disco gira con velocidad angular vd 6 rads respecto a la barra horizontal, la cual a su vez gira con velocidad angular vb 4 rads respecto a la flecha vertical. Por su parte, la flecha vertical gira con velocidad angular v0 2 rads respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. Suponga que el marco de referencia secundario mostrado está fijo con respecto a la barra horizontal. a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular rel del disco respecto al marco de referencia secundario? b) Determine la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto P, que es el punto en la posición más alta del disco. y
b P
vb
vd z v0
x
R
Problema 20.13 20.14 El objeto de la figura a está sostenido por cojinetes en A y B como se muestra en la figura b. El disco circular horizontal está soportado por una flecha vertical que gira con velocidad angular v0 6 rads. La barra horizontal gira con velocidad angular v 10 rads. En el instante mostrado, ¿cuál es la velocidad respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra del extremo C de la barra vertical? 20.15 El objeto de la figura a está sostenido por cojinetes en A y B como se muestra en la figura b. El disco circular horizontal está soportado por una flecha vertical que gira con velocidad angular constante v0 6 rads. La barra horizontal gira con velocidad angular constante v 10 rads. a) ¿Cuál es la aceleración angular del objeto respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra? b) En el instante mostrado, ¿cuál es la aceleración respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra del extremo C de la barra vertical? y
v
A
y
C
0.1 m z
B
x 0.2 m
x
0.1 m 0.4 m (a) v0
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(b)
Problemas 20.16 Respecto a un marco de referencia primario, el bastidor del giroscopio circular mostrado gira alrededor del eje vertical a 2 rads. La rueda de 60 mm de diámetro gira a 10 rads respecto al bastidor. Determine las velocidades de los puntos A y B respecto al marco de referencia primario. 20.17 Respecto a un marco de referencia primario, el bastidor del giroscopio circular mostrado gira alrededor del eje vertical con una velocidad angular constante de 2 rads. La rueda de 60 mm de diámetro gira con una velocidad angular constante de 10 rads respecto al bastidor. Determine las aceleraciones de los puntos A y B respecto al marco de referencia primario.
y 2 rad/s Marco 60 mm
Rueda
20.18 La punta de un trompo permanece en un punto fijo sobre el piso, que es el origen O del marco de referencia secundario mostrado. La velocidad angular del trompo respecto al marco de referencia secundario, rel 50k (rads), es constante. La velocidad angular del marco de referencia secundario respecto a un marco de referencia primario fijo a la Tierra es 2j 5.6k (rads). Las componentes de este vector son constantes (observe que está expresado en términos del marco de referencia secundario). Determine la velocidad respecto al marco de referencia primario del punto del trompo con coordenadas (0, 20, 30) mm. 20.19 La punta de un trompo permanece en un punto fijo sobre el piso, que es el origen O del marco de referencia secundario mostrado. La velocidad angular del trompo respecto al marco de referencia secundario, rel 50k (rads), es constante. La velocidad angular del marco de referencia secundario respecto a un marco de referencia primario fijo a la Tierra es 2j 5.6k (rads). Las componentes de este vector son constantes (observe que está expresado en términos del marco de referencia secundario). a) ¿Cuál es la aceleración angular del trompo respecto al marco de referencia primario. b) Determine la aceleración respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto del trompo con coordenadas (0, 20, 30) mm.
B 20
A z
489
10 rad/s
z x 80 mm y
Problemas 20.16/20.17
O
x
Problemas 20.18/20.19
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490
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.20* El cono mostrado rueda sobre la superficie horizontal, la cual está fija con respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. El eje x del marco de referencia secundario coincide en forma permanente con el eje del cono, y el eje z permanece horizontal. Mientras el cono rueda, el eje z gira en el plano horizontal con velocidad angular de 2 rads. a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del marco de referencia secundario? b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular rel del cono respecto al marco de referencia secundario? (Vea el ejemplo 20.3). Estrategia: Para resolver el inciso b), considere el hecho de que la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra de los puntos del cono en contacto con la superficie es igual a cero. 20.21* El cono mostrado rueda sobre la superficie horizontal, la cual está fija con respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. El eje x del marco de referencia secundario coincide en forma permanente con el eje del cono, y el eje z permanece horizontal. Mientras el cono rueda, el eje z gira en el plano horizontal con velocidad angular de 2 rads. Determine la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto de la base del cono con coordenadas x 0.4 m, y 0 y z 0.2 m. (Vea el ejemplo 20.3). 20.22* El cono mostrado rueda sobre la superficie horizontal, la cual está fija con respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. El eje x del marco de referencia secundario coincide en forma permanente con el eje del cono, y el eje z permanece horizontal. Mientras el cono rueda, el eje z gira en el plano horizontal con velocidad angular constante de 2 rads. Determine la aceleración respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto de la base del cono con coordenadas x 0.4 m, y 0 y z 0.2 m. (Vea el ejemplo 20.3).
20.23* El radio y la longitud del cilindro mostrado son R 0.1 m y l 0.4 m. La superficie horizontal está fija con respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. Un extremo del cilindro rueda sobre la superficie mientras su centro, el origen del marco de referencia secundario, permanece en reposo. El ángulo b 45°. El eje z del marco de referencia secundario coincide en forma permanente con el eje del cilindro, y el eje y permanece horizontal. Mientras el cilindro rueda, el eje y gira en un plano horizontal con velocidad angular v0 2 rads. a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del marco de referencia secundario? b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular rel del cilindro respecto al marco de referencia secundario?
20.24* El radio y la longitud del cilindro mostrado son R 0.1 m y l 0.4 m. La superficie horizontal está fija con respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. Un extremo del cilindro rueda sobre la superficie mientras su centro, el origen del marco de referencia secundario, permanece en reposo. El ángulo b 45°. El eje z del marco de referencia secundario coincide en forma permanente con el eje del cilindro, y el eje y permanece horizontal. Mientras el cilindro rueda, el eje y gira en un plano horizontal con velocidad angular v0 2 rads. Determine la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto del extremo superior del cilindro con coordenadas x 0.1 m, y 0, y z 0.2 m. x z l
R
y v0 b
y
0.2 m
x
Problemas 20.23/20.24
2 rad/s z 0.4 m
Problemas 20.20–20.22
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20.2 Ecuaciones de Euler 20.25* El tren de aterrizaje del avión P-40 usado en la Segunda Guerra Mundial se retrae al girar 90° alrededor del eje horizontal hacia la parte posterior del avión. Mientras la rueda se retrae, un mecanismo gira el puntal que sostiene la rueda 90° alrededor del eje longitudinal del puntal de manera que la rueda quede horizontal en la posición retraída (visto desde el eje horizontal hacia la rueda, el puntal gira en el sentido de las manecillas del reloj). El eje x del sistema coordenado que se muestra en la figura permanece paralelo al eje horizontal y el eje y permanece paralelo al puntal mientras la rueda se retrae. Sea vW la magnitud de la velocidad angular de la rueda cuando el avión despega y suponga que ésta permanece constante. Sea v0 la magnitud de la velocidad angular constante del puntal alrededor del eje horizontal mientras el tren de aterrizaje se retrae. La magnitud de la velocidad angular del puntal respecto a su eje longitudinal también es igual a v0. El tren de aterrizaje comienza a retraerse en t 0. Determine el vector de velocidad angular de la rueda respecto al avión como una función del tiempo.
491
Posición retraída y
x
z y
Eje horizontal Puntal
vW
Posición desplegada
z
x
Problema 20.25
20.2 Ecuaciones de Euler ANTECEDENTES Las ecuaciones tridimensionales de movimiento para un cuerpo rígido se llaman ecuaciones de Euler. Consisten en la segunda ley de Newton,
©F = ma,
(20.6)
la cual establece que la suma de las fuerzas externas sobre un cuerpo rígido es igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa, y las ecuaciones de movimiento angular. Para deducir las ecuaciones de movimiento angular, se considera primero el caso especial del giro de un cuerpo rígido respecto a un punto fijo y después el movimiento general tridimensional de un cuerpo rígido.
Rotación respecto a un punto fijo Sea mi la masa de la i-ésima partícula de un cuerpo rígido y ri su posición respecto a un punto fijo O que está fijo respecto a un marco de referencia primario inercial (figura 20.5). En la sección 18.1 se mostró que para un sistema de partículas, la suma de los momentos respecto a O es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular total respecto a O:
dHO , dt
©MO =
mi ri O
(20.7)
donde la cantidad de movimiento angulares
Figura 20.5 Masa y posición de la i-ésima partícula de un cuerpo rígido.
dri HO = a ri * mi . dt i Si el cuerpo rígido gira respecto a O con velocidad angular , la velocidad de la i-ésima partícula es dri>dt = * ri, y la cantidad de movimiento angular es
www.FreeLibros.org HO = a ri * mi1 * ri2. i
(20.8)
492
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos y
(xi , yi , zi) ri
O
x
z
Figura 20.6 Sistema coordenado secundario con su origen en O.
En la figura 20.6, se introduce un sistema coordenado con su origen en O. Los vectores y ri se expresan en términos de sus componentes en este sistema coordenado como
= vx i + vy j + vz k y
ri = xi i + yi j + zi k,
donde 1xi, yi, zi2 son las coordenadas de la i-ésima partícula. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (20.8) y evaluando los productos cruz, las componentes resultantes del vector de la cantidad de movimiento angular pueden escribirse en las formas
HOx = Ixx vx - Ixy vy - Ixz vz, HOy = - Iyx vx + Iyy vy - Iyz vz,
(20.9)
HOz = - Izx vx - Izy vy + Izz vz. Los coeficientes
Ixx = a mi1y 2i + z 2i 2, i
Iyy = a mi1x 2i + z 2i 2,
(20.10)
i
Izz = a mi1x 2i + y 2i 2 i
se llaman momentos de inercia respecto a los ejes x, y, z, y los coeficientes
Ixy = Iyx = a mi xi yi, i
Iyz = Izy = a mi yi zi,
(20.11)
i
Ixz = Izx = a mi xi zi
www.FreeLibros.org i
se llaman productos de inercia. (La evaluación de los momentos y productos de inercia se analiza en el apéndice de este capítulo).
20.2 Ecuaciones de Euler
493
Para obtener las ecuaciones de movimiento angular, es necesario sustituir las componentes de la cantidad de movimiento angular dadas por las ecuaciones (20.9) en la ecuación (20.7). El sistema coordenado secundario en el que se expresan estas componentes se elige usualmente como fijo, por lo que gira respecto al marco de referencia primario con la velocidad angular del cuerpo rígido. Sin embargo, en la sección anterior se vio que en algunas situaciones es conveniente usar un sistema coordenado que gire, pero que no esté fijo al cuerpo. El vector de velocidad angular del sistema coordenado secundario se denota con , donde si el sistema coordenado está fijo al cuerpo. Expresando el vector de la cantidad de movimiento angular en términos de sus componentes como
HO = HOx i + HOy j + HOz k, se obtiene la derivada de HO con respecto al tiempo:
di dj dk dHOx dHOy dHOz dHO i + HOx j + HOy k + HOz . = + + dt dt dt dt dt dt dt Usando esta expresión y escribiendo las derivadas respecto al tiempo de los vectores unitarios en términos de la velocidad angular del sistema coordenado,
dj = * j, dt
di = * i, dt
dk = * k, dt
se puede escribir la ecuación (20.7) como
©MO =
dHOx dHOy dHOz i + j + k + * HO. dt dt dt
Sustituyendo las componentes de HO de la ecuación (20.9) en esta ecuación, se obtienen las ecuaciones del movimiento angular (vea el problema 20.60):
©MOx = Ixx
dvx dvy dvz - Ixy - Ixz dt dt dt
-
z1- Iyxvx
+ Iyyvy - Iyzvz2
+
y1- Izxvx
- Izyvy + Izzvz2,
©MOy = - Iyx + -
z1Ixxvx
- Ixyvy - Ixzvz2
x1- Izxvx
©MOz = - Izx -
dvx dvy dvz + Iyy - Iyz dt dt dt
(20.12)
- Izyvy + Izzvz2,
dvx dvy dvz - Izy + Izz dt dt dt
y1Ixxvx
- Ixyvy - Ixzvz2
www.FreeLibros.org +
x1- Iyxvx
+ Iyyvy - Iyzvz2.
494
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Al realizar este paso final, se ha supuesto que los momentos y productos de inercia son constantes. Lo anterior sucede cuando el marco de referencia secundario está fijo al cuerpo, pero debe confirmarse cuando las condiciones son diferentes. Las ecuaciones (20.12) pueden escribirse como la ecuación matricial
©MOx Ixx C ©MOy S = C -Iyx ©MOz -Izx
-
0 +C
z
0
z
-
-Ixy Iyy -Izy
y
x
-Ixz dvx>dt -Iyz S C dvy>dt S dvz>dt Izz -Ixy Iyy -Izy
Ixx - x S C -Iyx 0 -Izx y
-Ixz vx -Iyz S Cvy S , (20.13) Izz vz
donde
-Ixy Iyy -Izy
Ixx C -Iyx -Izx
-Ixz -Iyz S = 3I4 Izz
(20.14)
se llama matriz de inercia del cuerpo rígido.
Movimiento tridimensional general Sea Ri la posición de la iésima partícula de un cuerpo rígido respecto al centro de masa del cuerpo (figura 20.7). En la sección 18.1 se mostró que la suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular del cuerpo respecto a su centro de masa; es decir,
dH , dt
©M =
(20.15)
donde la cantidad de movimiento angular total es
dRi . H = a Ri * mi dt i En términos de la velocidad angular del cuerpo rígido, la velocidad de la i-ésima partícula es dRi>dt = * Ri, y la cantidad de movimiento angular es
H = a Ri * mi1 * Ri2.
(20.16)
i
mi Ri
www.FreeLibros.org Figura 20.7 Posición de la i-ésima partícula de un cuerpo rígido respecto al centro de masa del cuerpo.
20.2 Ecuaciones de Euler
495
y (xi, yi, zi) Ri
x
z
Figura 20.8 Sistema coordenado con su origen en el centro de masa del cuerpo.
Se introduce un sistema coordenado secundario con su origen en el centro de masa (figura 20.8) y se expresan los vectores y Ri en términos de sus componentes en este sistema coordenado como
= vx i + vy j + vz k y
Ri = xi i + yi j + z i k. Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (20.16) y evaluando los productos cruz, se obtienen las componentes del vector de la cantidad de movimiento angular en las formas
Hx = Ixx vx - Ixy vy - Ixz vz, Hy = - Iyx vx + Iyy vy - Iyz vz,
(20.17)
y
Hz = - Izx vx - Izy vy + Izz vz, donde las expresiones para los momentos y productos de inercia están dados de nuevo por las ecuaciones (20.10) y (20.11). Denotando con el vector de velocidad angular del sistema coordenado y siguiendo los mismos pasos usados para obtener las ecuaciones (20.12), se obtienen las ecuaciones del movimiento angular,
©Mx = Ixx +
dvx dvy dvz - Ixy - Ixz dt dt dt z1- Iyxvx y1- Izxvx
©My = - Iyx + -
- Izyvy + Izzvz2,
dvx dvy dvz + Iyy - Iyz dt dt dt
z1Ixxvx
- Ixyvy - Ixzvz2
x1- Izxvx
©Mz = - Izx
+ Iyyvy - Iyzvz2
(20.18)
- Izyvy + Izzvz2,
dvx dvy dvz - Izy + Izz dt dt dt
y1Ixxvx
- Ixyvy - Ixzvz2
www.FreeLibros.org -
+
x1- Iyxvx
+ Iyyvy - Iyzvz2,
496
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
que pueden escribirse como la ecuación matricial
Ixx ©Mx C ©My S = C -Iyx ©Mz -Izx
-
0 + C
Ixx - x S C -Iyx 0 -Izx
z
y
0
z
-
-Ixz dvx>dt -Iyz S C dvy>dt S Izz dvz>dt
-Ixy Iyy -Izy
y
x
-Ixy Iyy -Izy
-Ixz vx -Iyz S C vy S . Izz vz
(20.19)
Se han obtenido ecuaciones que son idénticas en forma a las ecuaciones de movimiento angular para la rotación respecto a un punto fijo. Las ecuaciones (20.12) y (20.13) se expresan en términos del momento total respecto a un punto fijo O alrededor del cual gira el cuerpo rígido, y los momentos y productos de inercia y las componentes de los vectores se expresan en términos de un sistema coordenado con su origen en O. Las ecuaciones (20.18) y (20.19) se expresan en términos del momento total respecto al centro de masa del cuerpo, y los momentos y productos de inercia y las componentes de los vectores se expresan en términos de un sistema coordenado con su origen en el centro de masa. Si el sistema coordenado secundario usado para aplicar las ecuaciones (20.12), (20.13), (20.18) y (20.19) está fijo al cuerpo, los términos dvxdt, dvydt, y dvz dt son las componentes de la aceleración angular del cuerpo rígido. Pero por lo general esto no sucede si el sistema coordenado secundario gira pero no está fijo al cuerpo. [Vea la ecuación (20.4)].
Ecuaciones de movimiento plano Aquí se demuestra cómo pueden obtenerse las ecuaciones del movimiento angular para un cuerpo rígido en movimiento plano a partir de las ecuaciones tridimensionales. Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo LO . Se introduce un sistema coordenado secundario fijo al cuerpo con el eje z alineado con LO de manera que el vector de velocidad angular del cuerpo rígido es V vzk (figura 20.9). Sustituyendo x vx 0, y vy 0, y z vz en las ecuaciones (20.12), se encuentra que la tercera ecuación se reduce a ©MOz = Izz1dvz>dt2. Introduciendo la notación más simple ©MOz = ©MO, Izz = IO, y vz = v, se obtiene
©MO = IO
dv . dt
(20.20)
Ésta es la ecuación que se usó en el capítulo 18 para analizar el giro de un cuerpo rígido alrededor de un eje fijo. [Vea la ecuación (18.17)]. El momento total respecto al eje fijo es igual al producto del momento de inercia respecto al eje fijo por la aceleración angular y
x
z
www.FreeLibros.org LO
Figura 20.9
20.2 Ecuaciones de Euler
Para el movimiento plano general, se introduce un sistema coordenado secundario fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa del cuerpo y el eje z perpendicular al plano del movimiento (figura 20.10). El vector de velocidad angular del cuerpo rígido es vzk. Sustituyendo x vx 0, y vy 0, y z vz en las ecuaciones (20.18), la tercera ecuación se reduce a Mz Izz(dvzdt). Con la notación Mz M, Izz I y vz v, se obtiene
y
z
©M = I
dv . dt
497
x
(20.21) Plano del movimiento
Ésta es la ecuación del movimiento angular que se usó en el capítulo 18 para analizar el movimiento plano de un cuerpo rígido. [Vea la ecuación (18.20)]. El momento total respecto al centro de masa del cuerpo es igual al producto del momento de inercia respecto al centro de masa por la aceleración angular (el término I es el momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa y que es perpendicular al plano del movimiento).
Figura 20.10
RESULTADOS Las ecuaciones de movimiento tridimensional para un cuerpo rígido se llaman ecuaciones de Euler. Consisten en la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento angular.
Segunda ley de Newton
La suma de las fuerzas externas sobre un cuerpo rígido es igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa respecto a un marco de referencia inercial.
F ma.
(20.6)
Giro respecto a un punto fijo
Considere un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de un punto O que está fijo respecto a un marco de referencia inercial. El sistema coordenado secundario xyz tiene su origen en O. es el vector de velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia inercial y es el vector de velocidad angular del sistema coordenado xyz respecto al marco de referencia inercial. Si el sistema coordenado xyz está fijo al cuerpo, .
y
O
x
www.FreeLibros.org z
498
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
dvy dvx dvz Ixz Ixy dt dt dt Vz(Iyx vx Iyy vy Iyz vz)
MOx Ixx
Vy(Izx vx Izy vy Izz vz),
Ecuaciones de movimiento angular. Los términos MOx, MOy, y MOz son las componentes del momento externo total respecto al punto O que actúan sobre el cuerpo rígido. Los términos Ixx, Iyy, e Izz son los momentos de inercia del cuerpo rígido respecto a los ejes x, y y z, y los términos Ixy Iyx, Iyz Izy, y Izx Ixz son los productos de inercia.
dvy dvx dvz Iyz Iyy dt dt dt Vz(Ixx vx Ixy vy Ixz vz)
MOy Iyx
(20.12)
Vx(Izx vx Izy vy Izz vz), dvy dvx dvz Izz Izy dt dt dt Vy(Ixx vx Ixy vy Ixz vz)
MOz Izx
Vx(Iyx vx Iyy vy Iyz vz).
Las ecuaciones (20.12) pueden escribirse como una ecuación matricial.
Ixy Ixz
dvx/dt
Iyy
Iyz
dvy/dt
Izx
Izy
Izz
dvz/dt
0
Vz
Vy
Ixx
Vz
0
Vx
Iyx
Iyy
Iyz
Vy
Vx
0
Izx
Izy
Izz
MOx
Ixx
MOy Iyx MOz
Ixy Ixz
vx vy ,
(20.13)
vz
donde Ixx
Ixy Ixz
Iyx
Iyy
Izx
Izy
Iyz [I ]
(20.14)
Izz
es la matriz de inercia del cuerpo rígido.
Movimiento tridimensional general Considere un cuerpo rígido en movimiento tridimensional general respecto a un marco de referencia inercial. El sistema coordenado secundario xyz tiene su origen en el centro de masa. es el vector de velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia inercial y es el vector de velocidad angular del sistema coordenado xyz respecto al marco de referencia inercial. Si el sistema coordenado secundario está fijo al cuerpo, .
y
x
www.FreeLibros.org z
20.2 Ecuaciones de Euler
499
dvy dvx dvz Ixz Ixy dt dt dt Vz(Iyx vx Iyy vy Iyz vz)
Mx Ixx
Vy(Izx vx Izy vy Izz vz), dvy dvx dvz Iyz Iyy dt dt dt Vz(Ixx vx Ixy vy Ixz vz)
Ecuaciones del movimiento angular. Los términos Mx, My, y Mz son las componentes del momento externo total respecto al centro de masa del cuerpo rígido.
My Iyx
(20.18)
Vx(Izx vx Izy vy Izz vz), dvy dvx dvz Izz Izy dt dt dt Vy(Ixx vx Ixy vy Ixz vz)
Mz Izx
Vx(Iyx vx Iyy vy Iyz vz). Las ecuaciones (20.18) pueden escribirse como una ecuación matricial.
Mx
Ixy Ixz
dvx/dt
Iyy
Iyz
dvy/dt
Izx
Izy
Izz
dvz/dt
0
Vz
Vy
Ixx
Vz
0
Vx
Iyx
Iyy
Iyz
Vy
Vx
0
Izx
Izy
Izz
Ixx
My Iyx Mz
Ixy Ixz
vx vy ,
(20.19)
vz
1. Escoja un sistema coordenado. Si un objeto gira respecto a un punto fijo O, por lo general es preferible usar un sistema coordenado secundario con su origen en O y expresar las ecuaciones del movimiento angular en las formas dadas por las ecuaciones (20.12). En caso contrario, es necesario usar un sistema coordenado secundario con su origen en el centro de masa y expresar las ecuaciones del movimiento angular en las formas dadas por las ecuaciones (20.18). En ambos casos, casi siempre resulta conveniente elegir un sistema coordenado que simplifique la determinación de los momentos y productos de inercia. Con excepción de ciertas aplicaciones que involucran objetos simétricos, debe usarse un sistema coordenado fijo al cuerpo de manera que los momentos y productos de inercia sean constantes. 2. Dibuje el diagrama de cuerpo libre. Aísle el objeto e identifique las fuerzas y pares externos que actúan sobre él. 3. Aplique las ecuaciones de movimiento. Use las ecuaciones de Euler para relacionar las fuerzas y pares que actúan sobre el objeto con la aceleración de su centro de masa y su aceleración angular.
Por lo general, el uso de las ecuaciones de Euler para analizar movimientos tridimensionales de cuerpos rígidos implica tres pasos.
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500
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 20.4
Dinámica tridimensional de una barra ( Relacionado con el problema 20.26) Una barra delgada vertical de masa m está rígidamente unida al disco horizontal mostrado. El disco está unido a una flecha vertical que gira con velocidad angular constante v0. Determine la fuerza y el par ejercidos por el disco sobre la barra.
b
Estrategia Las fuerzas y pares externos que actúan sobre la barra son su peso, y la fuerza y el par ejercidos por el disco. Se conocen la velocidad y la aceleración angulares de la barra, y es posible determinar la aceleración de su centro de masa. Por lo tanto pueden usarse las ecuaciones de Euler para determinar la fuerza y el par totales ejercidos sobre la barra.
l
v0
Solución Selección de un sistema coordenado y
El sistema coordenado está fijo al cuerpo y su origen está en el centro de masa de la barra. El eje y apunta hacia arriba. El eje x apunta radialmente hacia fuera desde el eje de rotación del disco.
v0 b z x
Dibujo del diagrama de cuerpo libre y
La barra está sujeta a su peso y a la fuerza F y el par C ejercidos por el disco.
b z mg
x
F C
Aplicación de la segunda ley de Newton
Cuando el disco gira con velocidad angular constante v0, el centro de masa de la barra se mueve en una trayectoria circular con radio b. En consecuencia, el centro de masa tiene una componente normal de aceleración bv20i.
F ma: F mgj m(bv20i).
www.FreeLibros.org La fuerza ejercida por el disco sobre la barra F mbv20i mgj.
20.2 Ecuaciones de Euler
501
Aplique la ecuación de movimiento angular
i M C
El momento total respecto al centro de masa de la barra es la suma del par C y el momento debido a F respecto al centro de masa.
j
k
12 l 0
0
mbv02 mg C Ixx
Momentos y productos de inercia para una barra delgada en términos del sistema coordenado xyz.
Iyx Izx
1 2
mlbv20k.
Ixy Ixz
1 ml2 12
0
0
0
0
0
1 ml2 12
Iyz
Iyy Izy
0
0
Izz
0
dvy dvx dvz Ixz Ixy dt dt dt Vz(Iyx vx Iyy vy Iyz vz)
Mx Ixx
Vy(Izx vx Izy vy Izz vz): Cx 0. dvy dvx dvz Iyz Iyy dt dt dt Vz(Ixx vx Ixy vy Ixz vz)
My Iyx
Vx(Izx vx Izy vy Izz vz):
Aplique las ecuaciones (20.18) con vx Vx 0, vy Vy v0, y vz Vz 0.
Cy 0. dvy dvx dvz Izy Izz dt dt dt Vy(Ixx vx Ixy vy Ixz vz)
Mz Izx
Vx(Iyx vx Iyy vy Iyz vz): Cz
1 2
mlbv02 0.
El par ejercido por el disco sobre la barra es C Problema de práctica Se puede considerar que la barra gira respecto a cualquier punto dado sobre el eje fijo de rotación del disco. El origen O del sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra en la figura se encuentra sobre el eje de rotación del disco y el eje y apunta hacia arriba. Los momentos y productos de inercia de la barra en términos de este sistema coordenado son Ixx C - Iyx - Izx
- Ixy Iyy - Izy
1 2 - Ixz 3 ml - Iyz S = C - 21 mlb 0 Izz
- 21 mlb mb2 0
1 2
2
mlbv0k. y
v0
0 0 S. 1 2 2 ml + mb 3
Use la segunda ley de Newton y las ecuaciones (20.12) para determinar la fuerza y el par ejercidos por el disco sobre la barra.
O z
www.FreeLibros.org Respuesta: F = - mbv20i + mgj, C = 21 mlbv20k.
x
502
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo 20.5
Dinámica tridimensional de una placa ( Relacionado con el problema 20.27) Durante un proceso de ensamblado, la placa rectangular de 4 kg mostrada se mantiene fija en O por medio de un manipulador robótico. El punto O está fijo. En el instante mostrado, la placa está horizontal, su velocidad angular es 4i 2j (rads) y su vector de aceleración angular es 10i 6j (rads2). Determine el par que ejerce el manipulador sobre la placa. y
z
150 mm 150 mm 300 mm O 300 mm x
Estrategia La placa gira respecto al punto fijo O, por lo que se puede usar la ecuación (20.13) para determinar el momento total ejercido sobre la placa respecto a O.
Solución Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se denota con F y C la fuerza y el par que ejerce el manipulador sobre la placa (figura a). z
F
y C
O
300 mm
150 mm (4)(9.81) N x
(a) Diagrama de cuerpo libre de la placa.
Aplicación de las ecuaciones de movimiento El momento total respecto a O es la suma del par ejercido por el manipulador y el momento respecto a O debido al peso de la placa:
©MO = C + 10.15i + 0.30j2 * 3 -14219.812k4 = C - 11.77i + 5.89j 1N-m2.
(1)
www.FreeLibros.org Para obtener el par desconocido C se puede determinar el momento total respecto a O con la ecuación (20.13).
20.2 Ecuaciones de Euler
503
Considere que el sistema coordenado secundario está fijo al cuerpo, por lo que su velocidad angular es igual a la velocidad angular de la placa . En el ejemplo 20.9 se determina la matriz de inercia de la placa, y se obtiene
0.48 3I4 = C - 0.18 0
- 0.18 0.12 0
0 0 S kg-m2. 0.6
Por lo tanto, el momento total respecto a O ejercido sobre la placa es
- Ixy Iyy - Izy
©MOx Ixx C ©MOy S = C - Iyx ©MOz - Izx 0 + C vz - vy 0.48 = C - 0.18 0 0 + C0 2
0 0 4
- Ixz dvx>dt - Iyz S C dvy>dt S Izz dvz>dt
- vz 0 vx
vy Ixx - vx S C -Iyx 0 -Izx
- 0.18 0.12 0
0 - 10 0 SC 6 S 0.6 0
-2 0.48 - 4 S C - 0.18 0 0
-0.18 0.12 0
-Ixy Iyy -Izy
-Ixz vx -Iyz S C vy S Izz vz
0 4 0 S C -2 S 0.6 0
- 5.88 = C 2.52 S N-m. 0.72 Sustituyendo este resultado en la ecuación (1), se obtiene
©MO = C - 11.77i + 5.89j = - 5.88i + 2.52j + 0.72k, y se despeja el par C:
C = 5.89i - 3.37j + 0.72k 1N-m2. Razonamiento crítico Observe que se especificaron la velocidad y la aceleración angulares de la placa y se usaron las ecuaciones de movimiento angular para determinar el par ejercido sobre ella. En este capítulo, se estudiarán muchos ejemplos en los que se especifica el movimiento de un objeto y se usan las ecuaciones de Euler para determinar las fuerzas y los pares que actúan sobre éste. El problema inverso, la determinación del movimiento tridimensional de un objeto cuando se conocen las fuerzas y pares que actúan sobre él, es más difícil y por lo general debe resolverse con métodos numéricos.
www.FreeLibros.org
504
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo 20.6
Dinámica tridimensional de un cilindro inclinado ( Relacionado con los problemas 20.55, 20.56) El cilindro inclinado homogéneo que se muestra en la figura experimenta un movimiento estable en el cual un extremo rueda sobre el piso mientras su centro de masa permanece fijo. El ángulo b entre el eje del cilindro y la horizontal permanece constante, y el eje del cilindro gira respecto al eje vertical con velocidad angular constante v0. El cilindro tiene masa m, radio R y longitud l. ¿Qué valor tiene v0?
v0 R
l
b
v0 x
z b
Estrategia Expresando las ecuaciones del movimiento angular en términos de v0, se puede determinar el valor de v0 necesario para satisfacer las ecuaciones. Por lo tanto, la primera tarea consiste en determinar la velocidad angular del cilindro en términos de v0. Esta tarea puede simplificarse usando un sistema coordenado secundario que no esté fijo al cuerpo. Solución Selección de un sistema coordenado Se usa un sistema coordenado secundario cuyo eje z permanezca alineado con el eje del cilindro y cuyo eje y permanezca horizontal (figura a). La razón para hacerlo así es que la velocidad angular del sistema coordenado es fácil de describir —el sistema coordenado gira respecto al eje vertical con velocidad angular v0— y la rotación del cilindro respecto al sistema coordenado es también fácil de describir. El vector de velocidad angular del sistema coordenado es
= v0 cos bi + v0 sen bk. C mg
P N
(a) Sistema coordenado con el eje z alineado con el eje del cilindro y el eje y horizontal.
Respecto al sistema coordenado, el cilindro gira alrededor del eje z. Escribiendo su velocidad angular respecto al sistema coordenado como vrelk, el vector de velocidad angular del cilindro se expresa como
=
+ vrel k = v0 cos bi + 1v0 sen b + vrel2k.
Se puede determinar vrel a partir de la condición de que la velocidad del punto P en contacto con el piso es igual a cero. Expresando la velocidad de P en términos de la velocidad del centro de masa C, se obtiene
vP = vC + * rP>C: 0 = 0 + 3v0 cos bi + 1v0 sen b + vrel2k4 * 3 -Ri - 21 lk4 =
C 21 lv0 cos b - R1v0 sen b + vrel2 D j.
Despejando vrel se obtiene
l vrel = c 21 a b cos b - sen b d v0. R Por lo tanto, el vector de velocidad angular del cilindro es
www.FreeLibros.org = v0 cos bi +
1 2
l a b v0 cos bk. R
20.2 Ecuaciones de Euler
505
Dibujo del diagrama de cuerpo libre En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del cilindro, mostrando su peso y la fuerza normal ejercida por el piso. Como el centro de masa del cilindro está en reposo, el piso no ejerce fuerza horizontal sobre el cilindro y que la fuerza normal es N mg. Aplicación de las ecuaciones de movimiento masa debido a la fuerza normal es
El momento respecto al centro de
©M = A mgR sen b - 21 mgl cos b B j. Según el apéndice C, los momentos y productos de inercia son
C
1 2 4 mR
+ 0 0
1 2 12 ml
1 2 4 mR
0 + 0
1 2 12 ml
0 0 S. 1 2 mR 2
Aunque el sistema coordenado que se utiliza no está fijo al cuerpo, observe que los momentos y productos de inercia son constantes debido a la simetría del cilindro. Sustituyendo las expresiones para Æ, , ©M, y los momentos y productos de inercia en la ecuación del movimiento angular, ecuación (20.19), y evaluando los productos matriciales, se obtiene la ecuación
mg A R sen b - 21 l cos b B =
A 41 mR 2 + -
A
1 1 2 2 2 mR
1 2 12 ml
B v 20 sen b cos b
B v 20 a b cos 2 b. l R
De esta ecuación puede despejarse v 20:
v 20
=
A 41 R 2 +
g A R sen b - 21 l cos b B 1 2 12 l
B sen b cos b - 41 lR cos 2 b
.
(1)
Razonamiento crítico
Rv20 = g
sen b - cos b 7 12 sen
.
b cos b - 21 cos2 b
Rv 20/g
Si la solución produce un valor negativo de v20 para un valor dado de b, el supuesto movimiento estable del cilindro no es posible. Por ejemplo, si el diámetro del cilindro es igual a su longitud 12R = l2, se puede escribir la ecuación (1) como
25 20 15 10 5 0 5 10 15 20 25
www.FreeLibros.org En la figura se muestra la gráfica de esta ecuación en función de b. Para valores de b desde 40° hasta 45° aproximadamente, no hay solución real para v0.
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
b
506
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Problemas 20.26 En el ejemplo activo 20.4, suponga que la flecha que soporta al disco está inicialmente en reposo, y en t 0 está sometida a una aceleración angular constante a0 en sentido contrario al de las manecillas del reloj vista desde arriba del disco. Determine la fuerza y el par ejercidos por el disco sobre la barra en ese instante. 20.27 En el ejemplo 20.5, suponga que la placa horizontal está inicialmente en reposo, y que en t 0 el manipulador robótico ejerce un par C sobre la placa en el punto fijo O de tal manera que la aceleración angular de la placa en ese instante es = 150i + 320j + 25k (rad/s2). Determine C. 20.28 Un manipulador robótico mueve una pieza de fundición. Se presenta la matriz de inercia de la pieza en términos de un sistema coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa. En el instante presente, la velocidad y la aceleración angulares de la pieza son 1.2i 0.8j 0.4k (rads) y 0.26i 0.07j 0.13k (rads2). ¿Cuál es el momento ejercido por el manipulador respecto al centro de masa de la pieza?
20.30 Un cuerpo rígido gira alrededor del punto fijo O. Se muestra su matriz de inercia en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo. En el instante presente, la velocidad angular del cuerpo rígido es 6i 6j 4k (rads) y su aceleración angular es cero. ¿Cuál es el momento total respecto a O ejercido sobre el cuerpo rígido? 20.31 Un cuerpo rígido gira alrededor del punto fijo O. Se muestra su matriz de inercia en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo. En el instante presente, la velocidad angular del cuerpo rígido es 6i 6j 4k (rads). El momento total respecto a O debido a las fuerzas y pares que actúan sobre el cuerpo rígido son iguales a cero. ¿Qué valor tiene su aceleración angular? y
20.29 Un manipulador robótico mueve una pieza de fundición. Se presenta la matriz de inercia de la pieza en términos de un sistema coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa. En el instante presente, la pieza está en reposo. Si el manipulador ejerce un momento ©M = 0.042i 0.036j 0.066k (N-m) respecto al centro de masa, ¿cuál es la aceleración angular de la pieza en ese instante? y
O z x
x Ixx Iyx Izx
Ixy Iyy Izy
Ixz 4 Iyz 2 0 Izz
2 3 1
0 2 1 slug-pie . 5
Problemas 20.30/20.31 20.32 Las dimensiones de la placa delgada de 20 kg que se muestra en la figura son h 0.4 m y b 0.6 m. La placa está en reposo respecto a un marco de referencia inercial cuando se aplica la fuerza F 10 N en la dirección perpendicular a la placa. No existen otras fuerzas o pares que actúen sobre la placa. En el instante que se aplica F, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del punto A respecto al marco de referencia inercial?
A b
h Ixx Iyx Izx
Ixy Iyy Izy
Ixz 0.05 0.03 0 kg-m2. Iyz 0.03 0.08 0 0 Izz 0 0.04
www.FreeLibros.org Problemas 20.28/20.29
F
Problema 20.32
Problemas 20.33 En términos del sistema coordenado que se muestra en la figura, la matriz de inercia de la barra delgada de 6 kg es Ixx C -Iyx -Izx
-Ixy Iyy - Izy
- Ixz 0.500 - Iyz S = C 0.667 0 Izz
0.667 2.667 0
0 0 S kg-m2. 3.167
La barra está en reposo respecto a un marco de referencia inercial cuando se aplica la fuerza F 12k (N) en el extremo derecho de la barra. No existe otro par o fuerza que actúe sobre la barra. Determine a) la aceleración angular de la barra respecto al marco de referencia inercial y b) la aceleración del extremo derecho de la barra respecto al marco de referencia inercial en el instante que se aplica la fuerza. y
507
20.35 En la figura se presenta la matriz de inercia de una placa de 2.4 kg en términos del sistema coordenado dado. El vector de velocidad angular de la placa es 6.4i 8.2j 14k (rads) y su vector de aceleración angular es 60i 40j 120k (rads2). ¿Cuáles son las componentes del momento total ejercido sobre la placa respecto a su centro de masa? 20.36 En la figura se presenta la matriz de inercia de una placa de 2.4 kg en términos del sistema coordenado dado. En t 0, la placa está en reposo y sometida a una fuerza F 10k (N) en el punto con coordenadas (220, 0, 0) mm. No existen otras fuerzas o pares que actúen sobre la placa. Determine a) la aceleración del centro de masa de la placa y b) la aceleración angular de la placa en el instante que se aplica la fuerza. y
1m
220 mm x 150 mm
2m
x
Problema 20.33 20.34 En términos del sistema coordenado que se muestra en la figura, la matriz de inercia de la barra delgada de 12 kg es Ixx C -Iyx -Izx
-Ixy Iyy - Izy
-Ixz 2 -Iyz S = C -3 0 Izz
-3 8 0
0 0 S kg-m2. 10
La barra está en reposo respecto a un marco de referencia inercial cuando se aplica una fuerza F 20i 40k (N) en el punto x 1 m, y 1 m. No existen otras fuerzas o pares que actúen sobre la barra. Determine a) la aceleración angular de la barra y b) la aceleración del punto x 1 m, y 1 m, respecto al marco de referencia inercial en el instante que se aplica la fuerza.
50 mm Ixx Iyx Izx
Ixy Iyy Izy
Ixz 0.0318 0.0219 Iyz 0.0219 0.0357 0 Izz 0
0 kg-m2. 0 0.0674
Problemas 20.35/20.36 20.37 Una barra delgada de 3 kg está rígidamente unida a un disco circular delgado de 2 kg. En términos del sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra, la velocidad angular del cuerpo compuesto es 100i 4j 6k (rads) y su aceleración angular es cero. ¿Cuáles son las componentes del momento total ejercido sobre el objeto respecto a su centro de masa?
y 1m x
20.38 Una barra delgada de 3 kg está rígidamente unida a un disco circular delgado de 2 kg. En t 0, el objeto compuesto está en reposo y sometido al momento M 10i 10j (N-m) respecto a su centro de masa. Ninguna otra fuerza o par actúan sobre el objeto. Determine su aceleración angular en t 0.
1m
y 1m
200 mm z
x
1m
www.FreeLibros.org 600 mm
Problema 20.34
Problemas 20.37/20.38
508
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.39 La flecha vertical que soporta la antena parabólica mostrada gira con una velocidad angular constante de 1 rads. El ángulo u 30°, dudt 20°s y d2u>dt2 = - 40°/s2. La masa de la antena es de 280 kg, y sus momentos y productos de inercia en kg-m2 son Ixx 140, Iyy Izz 220, e Ixy Iyz Izx 0. Determine el par ejercido sobre la antena en A por su soporte en ese instante.
y
20.43 Un subensamble de una estación espacial se puede modelar como dos barras delgadas rígidamente unidas, cada una con masa de 5000 kg. El subensamble no está girando en t 0 cuando un motor de reacción de control ejerce una fuerza F 400k (N) en B. ¿Cuál es la aceleración del punto A respecto al centro de masa del subensamble en t 0?
20.44 Un subensamble de una estación espacial se puede modelar como dos barras delgadas rígidamente unidas, cada una con masa de 5000 kg. Si el subensamble gira respecto al eje x a razón constante de 1 revolución cada 10 minutos, ¿cuál es la magnitud del par que su sistema de reacción de control está ejerciendo sobre ella?
x
u
y 20 m v0
x
A
B 20 m
Problema 20.39
Problemas 20.43/20.44
20.40 La placa triangular de 5 kg que se muestra en la figura está conectada en O mediante un soporte de bola y cuenca. Si la placa se suelta desde el reposo en la posición horizontal, ¿cuáles son las componentes de su aceleración angular en ese instante? 20.41 Si la placa de 5 kg mostrada se suelta desde el reposo en la posición horizontal, ¿cuál es la fuerza que ejerce el soporte de bola y cuenca sobre la placa en ese instante?
20.45 El disco circular delgado de radio R 0.2 m y masa m 4 kg, que se muestra en la figura está rígidamente unido a la flecha vertical. El disco está inclinado en un ángulo b 30° respecto al plano horizontal. La flecha gira con velocidad angular constante v0 25 rads. Determine la magnitud del par que ejerce la flecha sobre el disco.
20.42 La placa triangular de 5 kg que se muestra en la figura está conectada en O mediante un soporte de bola y cuenca. Si la placa se suelta desde el reposo en la posición horizontal con velocidad angular 4i (rads), ¿cuáles son las componentes de su vector de aceleración angular en ese instante? R 0.6 m
y
0.9 m
b
x
v0
O
www.FreeLibros.org Problema 20.45
Problemas 20.40–20.42
Problemas 20.46 La barra delgada de masa m 8 kg y longitud l 1.2 m que se muestra en la figura está soldada a un eje horizontal que gira con velocidad angular constante v0 25 rads. El ángulo b 30°. Determine las magnitudes de la fuerza F y el par C ejercidos por el eje sobre la barra. (Escriba las ecuaciones del movimiento angular en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra). x
20.49 El eje vertical mostrado gira con velocidad angular constante v0. El ángulo de 35° entre el borde de la placa rectangular delgada de 10 lb articulada al eje y éste permanece constante. Determine v0.
v0
y v0
509
b 2 pies l 2
35
1 pie
Problema 20.46 20.47 La barra delgada de masa m 8 kg y longitud l 1.2 m que se muestra en la figura está soldada a un eje horizontal que gira con velocidad angular constante v0 25 rads. El ángulo b 30°. Determine las magnitudes de la fuerza F y el par C ejercidos por el eje sobre la barra (escriba las ecuaciones del movimiento angular en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra. Vea el problema 20.98). y v0
b x l 2
Problema 20.49
20.50 El radio del disco circular delgado de 20 lb que se muestra en la figura es R 1 pie. El disco está montado sobre un flecha horizontal que gira respecto a la misma con velocidad angular constante vd 10 rads. La flecha horizontal de 2 pies de largo flecha vertical que gira con velocidad angular constante v0 4 rads. Determine la fuerza y el par que ejerce la flecha horizontal en el centro del disco. y
Problema 20.47 20.48 La barra delgada de longitud l y masa m está articulada al eje vertical en O. El eje vertical gira con velocidad angular constante v0. Muestre que el valor v0 necesario para que la barra permanezca en un ángulo constante b respecto a la vertical es v0 = 23g>12l cos b2.
vd z
x R
v0
v0
Problema 20.50 O l b
www.FreeLibros.org Problema 20.48
510
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.51 El objeto de la figura a consiste en dos barras delgadas verticales de 1 kg soldadas a la barra delgada horizontal de 4 kg. En la figura b, el objeto está sostenido por cojinetes en A y B. El disco circular horizontal está soportado por una flecha vertical que gira con velocidad angular constante v0 6 rads. La barra horizontal gira con velocidad angular constante v 10 rads. En el instante mostrado, determine las componentes y y z de las fuerzas ejercidas sobre el objeto en A y B. y
v
A
y
0.1 m z
B
x
x
0.1 m
0.2 m
0.1 m
0.1 m
(a)
v0
(b)
Problema 20.51 20.52 El disco circular delgado de 10 lb de la figura está unido rígidamente a la flecha delgada horizontal de 12 lb. Ambos giran respecto al eje de la flecha con velocidad angular constante vd 20 rads. El ensamble completo gira respecto al eje vertical con velocidad angular constante v0 4 rads. Determine las componentes de la fuerza y el par que ejerce el disco sobre la flecha horizontal.
20.53 El telescopio Hubble está girando respecto a su eje longitudinal con velocidad angular constante v0. El sistema coordenado está fijo en relación con al panel solar. Respecto al telescopio, el panel solar gira alrededor del eje x con velocidad angular constante vx. Suponga que se conocen los momentos de inercia Ixx, Iyy e Izz, y que Ixy Iyz Izx 0. Muestre que el momento respecto al eje x que deben ejercer los mecanismos de servicio sobre el panel solar es sin u cos u. ©Mx = 1Izz - Iyy2v20 sen
vd
12 pulg v0
18 pulg Ay
y
18 pulg
Az
u y 18 pulg
ωx
By
Ax
x x
Bx
Panel solar
ω0
www.FreeLibros.org z
z
Problema 20.52
Problema 20.53
Problemas 20.54 La placa rectangular delgada que se muestra en la figura está unida al bastidor rectangular por medio de pasadores. El bastidor gira con velocidad angular constante v0. Demuestre que d 2b dt 2
z
= - v 20 sen sin b cos b.
511
20.55* En la figura, el eje del cono circular recto de masa m, altura h y radio R gira respecto al eje vertical con velocidad angular constante v0. El centro de masa del cono es fijo y su base rueda sobre el piso. Demuestre que la velocidad angular necesaria para este movimiento es v0 = 210g>3R. (Vea el ejemplo 20.6).
b v0
v0
x
z R
h y
b h
Problema 20.55
x
Problema 20.54
20.56 El cono homogéneo inclinado que se muestra en la figura experimenta un movimiento estable en el que su extremo plano rueda sobre el piso mientras el centro de masa permanece en reposo. El ángulo b entre el eje y la horizontal permanece constante, y el eje gira respecto al eje vertical con velocidad angular constante v0. El cono tiene masa m, radio R y altura h. Demuestre que la velocidad angular v0 que se requiere para este movimiento satisface la ecuación v20 =
g(R sen sin b - 41 h cos b) 3 2 20 (R
+
1 2 sen 4 h ) sin
b cos b -
3 40 hR
cos 2 b
.
(Vea el ejemplo 20.6). v0
b
h R
www.FreeLibros.org Problema 20.56
512
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.57* Los dos discos delgados que se muestran en la figura están rígidamente conectados mediante una barra delgada. El radio del disco grande es de 200 mm y su masa es de 4 kg. El radio del disco pequeño es de 100 mm y su masa es de 1 kg. La barra tiene 400 mm de longitud y su masa es insignificante. El objeto compuesto experimenta un movimiento estable en el que gira respecto al eje vertical y que pasa por su centro de masa con velocidad angular v0. La barra está horizontal durante este movimiento y el disco grande rueda sobre el piso. ¿Cuál es el valor de v0?
20.59 Si el conductor de la motocicleta mostrada vira a su izquierda, ¿tenderá el par que ejercen las ruedas sobre la motocicleta a ocasionar que ésta se incline hacia el lado izquierdo o hacia el derecho del conductor?
y v0
x
z
Problema 20.59
Problema 20.57 20.58 En la figura a se muestra el tren de aterrizaje de un avión visto desde la parte posterior del aeroplano. El radio de la rueda es de 300 mm y su momento de inercia es de 2 kg-m2. El avión despega a 30 ms. Después del despegue, el tren se recoge girando hacia el lado derecho del avión, como se muestra en la figura b. Determine la magnitud del par ejercido por la rueda sobre su soporte (ignore el movimiento angular del avión).
20.60* Sustituyendo las componentes de HO dadas por las ecuaciones (20.9), en la ecuación ©MO =
dHOy dHOz dHOx i + j + k + * HO, dt dt dt
deduzca las ecuaciones (20.12).
45 grad/s
300 mm
www.FreeLibros.org (a)
(b)
Problema 20.58
513
20.3 Ángulos de Euler
20.3 Ángulos de Euler ANTECEDENTES Las ecuaciones del movimiento angular relacionan el momento total que actúa sobre un cuerpo rígido con su velocidad y aceleración angulares. Si se conocen el momento total y la velocidad angular, es posible determinar la aceleración angular. Sin embargo, ¿cómo puede usarse la aceleración angular para determinar la posición angular u orientación en función del tiempo? Para explicar cómo se hace esto, primero se debe mostrar cómo especificar la orientación de un cuerpo rígido en tres dimensiones.
Z, z
Y,y
Se ha visto que para describir la orientación de un cuerpo rígido en movimiento plano se requiere sólo el ángulo u que especifica la rotación del cuerpo respecto a alguna orientación de referencia. En el movimiento tridimensional se requieren tres ángulos. Para entender por qué, considere un eje particular fijo respecto a un cuerpo rígido. Se necesitan dos ángulos para especificar la dirección del eje y un tercer ángulo para especificar la rotación del cuerpo rígido respecto al eje. Aunque comúnmente se usan varios sistemas de ángulos para describir la orientación de un cuerpo rígido, el mejor sistema conocido es el de los ángulos de Euler. En esta sección se definen tales ángulos y se expresan las ecuaciones del movimiento angular en términos de ellos.
X, x (a) Z , z
y Y
Objetos con un eje de simetría Primero se explica cómo usar los ángulos de Euler para describir la orientación de un cuerpo que tiene un eje de simetría rotacional, porque este caso proporciona las ecuaciones más sencillas para el movimiento angular. Definiciones Se supone que un objeto tiene un eje de simetría rotacional y se introducen dos sistemas coordenados: un sistema coordenado secundario xyz, con su eje z coincidiendo con el eje de simetría del cuerpo, y el sistema coordenado primario XYZ. Se comienza con el objeto en una posición de referencia tal que los sistemas xyz y XYZ quedan sobrepuestos (figura 20.11a). El primer paso consiste en girar el objeto y el sistema xyz juntos a través de un ángulo c respecto al eje Z (figura 20.11b). En esta orientación intermedia se denota con x y z el sistema coordenado secundario. Enseguida, se gira el objeto y el sistema xyz juntos a través de un ángulo u respecto al eje x (figura 20.11c). Finalmente, se gira el objeto respecto al sistema xyz a través de un ángulo f respecto a su eje de simetría (figura 20.11d). Observe que el eje x permanece en el plano XY. Los ángulos c y u especifican la orientación del sistema secundario xyz respecto al sistema primario XYZ. El ángulo c se denomina ángulo de precesión y u se llama el ángulo de nutación. El ángulo f que especifica el giro del cuerpo rígido respecto al sistema xyz, se llama ángulo de giro. Estos tres ángulos especifican la orientación del cuerpo rígido respecto al sistema coordenado primario y se llaman ángulos de Euler. Se puede obtener cualquier orientación del objeto respecto al sistema coordenado de referencia mediante una elección apropiada de estos ángulos: se escoge c y u para obtener la dirección deseada del eje de simetría, y después se elige f para obtener la posición giratoria deseada del objeto respecto a su eje de simetría. Ecuaciones del movimiento angular Para analizar el movimiento de un objeto en términos de los ángulos de Euler, se deben expresar las ecuaciones del movimiento angular en función de ellos. En la figura 20.12a se muestra la rotación c desde la orientación de referencia del sistema xyz hasta su orientación intermedia a la razón de cambio x¿y¿z¿. La velocidad angular del sistema coordenado debido # de c se representa con el vector de velocidad angular c apuntando en la dirección z¿ (se usa el punto para denotar la derivada respecto al tiempo). En la figura 20.12b
c
X
x
(b) y
Z , z u
z
y Y
c
X
x , x
(c) y
Z u
z Y
f
X
c
x
(d)
Figura 20.11 (a) Posición de referencia. (b) Rotación c respecto al eje Z. (c) Rotación u respecto al eje x . (d) Rotación f del objeto respecto al sistema xyz.
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514
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
se muestra la segunda rotación u. La velocidad angular debida a la razón de cam# bio de u se representa mediante el vector f apuntando en la dirección x. También se descompone el vector de velocidad angular c en componentes en las direcciones y y z. Las componentes de la velocidad angular del sistema xyz respecto al sistema coordenado primario son
Z , z
c
y
y
# = u, # = c sen u,
z
# = c cos u.
x
Y
y c
x
X
En la figura 20.12c, se representa # la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al sistema xyz con el vector f. Sumando esta velocidad angular a la del sistema xyz, se obtienen las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al sistema XYZ:
(a) z
y
# vx = u, # sin u, vy = c sen
u c
z
c sen u
c cos u
# # vz = f + c cos u.
Derivando estas ecuaciones respecto al tiempo se obtiene
u
$ dvx = u, dt dvy $ # # = c sen sin u + cu cos u, dt
x , x
(b)
(20.23)
y
y
y
z
(20.22)
f
(20.24)
y
dvz dt
f
(c)
x
$ $ # # = f + c cos u - cu sen sin u.
A causa de la simetría rotacional del cuerpo, los productos de inercia Ixy, Ixz e Iyz son cero, e Ixx Iyy. La matriz de inercia es de la forma
I
0
0
xx Figura 20.12 # (20.25) 0 S. 0 Ixx 3I4 = C (a) Rotación c y velocidad angular# c. 0 0 Izz (b) Rotación u, velocidad angular y componentes u , # de la velocidad angular c. # (c) Rotación f y velocidad angular f. Sustituyendo las ecuaciones (20.22) a (20.25) en las ecuaciones (20.18), se obtie-
nen las ecuaciones del movimiento angular en términos de los ángulos de Euler:
$ # # # ©Mx = Ixxu + 1Izz - Ixx2c2 sen sin u cos u + Izzfc sen sin u, $ # # # # # # ©My = Ixx1c sen sin u + 2cu cos u2 - Izz1fu + cu cos u2, $ $ # # ©Mz = Izz1f + c cos u - cu sen sin u2.
(20.26) (20.27) (20.28)
www.FreeLibros.org Para determinar los ángulos de Euler en función del tiempo cuando se conoce el momento total, esas ecuaciones suelen resolverse por integración numérica.
515
20.3 Ángulos de Euler
Sin embargo, se puede obtener una clase importante de soluciones cerradas suponiendo un tipo específico de movimiento. Precesión estable El movimiento llamado precesión estable se observa común# mente en trompos y giróscopos. La razón de giro f del objeto respecto al sistema coordenado xyz se supone constante (figura 20.13). El ángulo de nutación u, es decir, la inclinación # del eje de giro z respecto al eje Z, se supone constante; y la razón de precesión c, que es la razón a la que el sistema xyz gira respecto al eje Z, también se supone constante. El último supuesto explica el nombre dado a este movimiento. Con estos supuestos, las ecuaciones (20.26) a (20.28) se reducen a
y
# # # sin u cos u + Izzfc sen sin u, ©Mx = 1Izz - Ixx2c2 sen
(20.29)
©My = 0,
(20.30)
©Mz = 0.
(20.31)
Z
y
u= const. z f= const. Y
c= const. x
X
Figura 20.13 Precesión estable.
Se analizarán dos ejemplos: la precesión estable de un trompo girando y la precesión estable de un objeto axialmente simétrico que está libre de momentos externos. Precesión de un trompo El comportamiento peculiar de un trompo (figura 20.14a) inspiró algunos de los primeros estudios analíticos de los movimientos tridimensionales de cuerpos rígidos. Cuando el trompo se pone en movimiento, su eje de giro es inicialmente vertical, y se dice que el trompo está dormido. Conforme la fricción reduce la razón de giro, el eje de rotación se inclina girando alrededor del eje vertical. Esta fase del movimiento se aproxima a la precesión estable (la razón de giro disminuye debido a la fricción, pero en la precesión estable se supone que es constante). Para analizar el movimiento, se coloca el sistema coordenado primario XYZ con su origen en la punta del trompo y el eje Z hacia arriba. Luego se alinea el eje z del sistema xyz con el eje de giro (figura 20.14b). Se supone que la punta del trompo descansa en una pequeña depresión, de modo que permanece en un punto fijo sobre el piso. El ángulo de precesión c y el de nutación u especifican la orientación # del eje de giro, y la razón de giro del trompo respecto al sistema xyz es f. El peso del trompo ejerce un momento ©Mx mgh sen u respecto al origen, y los momentos ©My 0 y ©Mz 0. Sustituyendo ©Mx mgh sen u en la ecuación (20.29), se obtiene
mgh = 1Izz
# # # - Ixx2c2 cos u + Izzfc,
(a) Z z
u
h
f
(20.32)
mg
y las ecuaciones (20.30) y (20.31) se satisfacen de manera idéntica. La ecuación (20.32) relaciona la razón de giro, el ángulo de nutación y la razón de precesión. Por # ejemplo, si se conoce la razón de giro f y el ángulo de nutación u, se puede despe# jar la razón de precesión del trompo c. Precesión estable libre de momento Un objeto simétrico a su eje en rotación, sin momentos externos, como un satélite simétrico a su eje en órbita, puede exhibir un movimiento similar al de precesión estable de un trompo. Este movimiento se observa cuando se lanza un balón de fútbol americano en espiral “oscilante”. Para analizarlo, se coloca el origen del sistema xyz en el centro de masa del objeto (figura 20.15a). La ecuación (20.29) se vuelve
y
Y
X
c x (b)
Figura 20.14 (a) Un trompo girando parece desafiar la gravedad. (b) El ángulo de precesión c y el ángulo de nutación u especifican la orientación del eje de giro.
www.FreeLibros.org # # 1Izz - Ixx2c cos u + Izzf = 0,
(20.33)
516
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos Figura 20.15 (a) Objeto simétrico a su eje. (b) Los puntos sobre la línea recta inclinada el ángulo b respecto al eje z están fijos respecto al sistema coordenado XYZ. (c), (d) Conos de cuerpo y espacial. El cono de cuerpo rueda sobre el cono espacial fijo. (e) Cuando b u, la superficie interior del cono de cuerpo rueda sobre el cono espacial fijo.
Z Z u
y
y
z
u f
z b Y
x
c X (a)
(b)
Z Z
Cono espacial
u
Z
Cono espacial
u
z
z
z
u
Cono espacial
b
y
y
b f
b Cono del cuerpo
Y
(c)
Cono del cuerpo X
c
x
Y
Cono del cuerpo c
(d)
X
x
(e)
y las ecuaciones (20.30) y (20.31) se satisfacen de manera idéntica. Para un valor dado del ángulo de nutación, la ecuación (20.33) relaciona las razones de precesión y giro del objeto. La ecuación (20.33) puede interpretarse de manera que sea posible visualizar el movimiento. Se busca un punto en el plano y-z para el cual la velocidad del cuerpo respecto al centro de masa sea cero en el instante actual. Se desea encontrar un punto con coordenadas (0, y, z) tal que
# # # * 1yj + zk2 = 31c sen sin u2j + 1f + c cos u2k4 * 3yj + zk4 # # # = 3zc sen sin u - y1f + c cos u24i = 0.
Esta ecuación se satisface en puntos del plano y-z tales que
# c sen sin u y # . = # z f + c cos u
Esta relación se satisface con los puntos sobre la recta negra punteada de la figura 20.15b, donde
# c sen sin u y # . tan b = = # z f + c cos u # Despejando de la ecuación (20.33) f y sustituyendo el resultado en la ecuación anterior, se obtiene Izz tan b = a b tan u. Ixx
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20.3 Ángulos de Euler
Si Ixx Izz, el ángulo b u. En la figura 20.15c se muestra un cono imaginario de la mitad del ángulo b, llamado cono de cuerpo, cuyo eje coincide con el eje z. Este cono está en contacto con uno fijo llamado cono espacial, cuyo eje coincide con el eje Z. Si el cono de cuerpo rueda sobre la superficie curva del cono espacial conforme el eje z precesa respecto al eje Z (figura 20.15d), los puntos del cono de cuerpo sobre la recta de la figura 20.15b tienen velocidad cero respecto al sistema XYZ. Esto significa que el movimiento del cono de cuerpo es idéntico al del objeto. Se puede visualizar el movimiento del objeto observando el movimiento del cono de cuerpo a medida que rueda alrededor de la superficie exterior del cono espacial. Este movimiento se llama precesión directa. Si Ixx Izz, el ángulo b u. En este caso se debe visualizar la superficie interior del cono de cuerpo rodando sobre el cono espacial fijo (figura 20.15e). Este movimiento se llama precesión retrógrada.
517
Z, z
Y, y
X, x (a)
Objetos arbitrarios Z , z
En el análisis de objetos axialmente simétricos, se consideró que el objeto se movía respecto al sistema coordenado secundario xyz, girando alrededor del eje z. En consecuencia, sólo se requieren dos ángulos —el ángulo de precesión c y el ángulo de nutación u— para especificar la orientación del sistema coordenado xyz, y esto simplifica las ecuaciones de movimiento angular. El objeto debe ser axialmente simétrico respecto al eje z, por lo que los momentos y productos de inercia no cambiarán mientras éste gira. En el caso de un objeto arbitrario, los momentos y productos de inercia serán constantes sólo si el sistema coordenado xyz está fijo al cuerpo. Esto significa que se requieren tres ángulos para especificar la orientación del sistema coordenado; las ecuaciones de movimiento angular resultantes son más complicados. Definiciones Se comienza con una posición de referencia en la que los sistemas fijo al cuerpo xyz y primario XYZ están sobrepuestos (figura 20.16a). Primero se gira el sistema xyz a través del ángulo de precesión c respecto al eje Z (figura 20.16b) y se denota con x y z en esta orientación intermedia. Luego se gira el sistema xyz a través del ángulo de nutación u respecto al eje x (figura 20.16c) y se denota con x yz. Se obtiene la orientación final del sistema xyz girándolo a través del ángulo f respecto al eje z (figura 20.16d). Observe que se ha usado una rotación más del sistema xyz que en el caso de un objeto axialmente simétrico. Por medio de estas tres rotaciones se puede obtener cualquier orientación del sistema coordenado fijo al cuerpo respecto al sistema coordenado de referencia. Se escoge c y u para obtener la dirección deseada del eje z y después se elige f para obtener la orientación deseada de los ejes x e y. Como en el caso de un cuerpo con simetría rotacional, se deben expresar las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido en términos de los ángulos de Euler para obtener las ecuaciones del movimiento angular. En la figura 20.17a, se muestra la rotación c desde la orientación de referencia del sistema xyz hasta la orientación intermedia x y z . La velocidad angular del sistema coordenado fijo al # cuerpo debido a la razón de cambio de c se representa con el vector c apuntando en la dirección z . En la figura 20.17b se muestra la siguiente rotación u que lleva al sistema fijo al cuerpo a la orientación intermedia xyz.# La velocidad angular debida a la razón de cambio de u se representa con el vector u apuntando en la dirección x. En # esta figura, también se muestran las componentes del vector de velocidad angular c en las direcciones y y z . En la figura 20.17c se muestra la tercera rotación f que lleva al sistema fijo al cuerpo a su orientación final definida por los tres ángulos de Euler. La # velocidad angular debida a la razón de cambio de f se representa con el vector f apuntando en la dirección z.
y Y
X
x
c (b) Z , z
y
u
z
y Y
X
x , x
c (c) y
y
z, z
x
f x (d)
Figura 20.16 (a) Posición de referencia. (b) Rotación c respecto al eje Z. (c) Rotación u respecto al eje x¿. (d) Rotación f respecto al eje z–.
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518
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos z
Z, z c
z y
X
c
u c senu y
c cos u
Y
y
y
c
c cos u
u
x
c sen u
f
z, z
x u
f x
x , x
(a)
y
(b)
(c) y
y y
c sen u
y
y
x
c sen u cos f
x
u cos f
f c sen u sen f x
u
z
f x
c cos u f
u sen f (d)
c sen u cos f u sen f
(e)
x c sen u sen f u cos f
(f)
Figura 20.17 # (a) Rotación c y velocidad angular# c. # (b) Rotación u, velocidad angular u, # y componentes de c en el sistema x–y–z– (c) Rotación f y velocidad angular f. # # sin u y u en el sistema xyz. (d), (e) Componentes de las velocidades angulares c sen (f) Velocidades angulares vx, vy, vz.
Para determinar vx, vy y vz en términos de los ángulos de Euler, es necesario determinar las componentes de las velocidades de la figura 20.17c en las # angulares # direcciones de los ejes x, y y z. Los vectores f y c cos u apuntan en la dirección del eje z. En las figuras 20.17d y e, que están dibujadas con el eje z apuntando hacia # # afuera de la página, se determinan las componentes de los vectores c sen sin u y f en las direcciones de los ejes x– y y–. Sumando las componentes de las velocidades angulares en las tres direcciones coordenadas (figura 20.17f), se obtiene
# # vx = c sen sin u sen sin f + u cos f, # # vy = c sen sin u cos f - u sen sin f, # # vz = c cos u + f.
(20.34)
Las derivadas respecto al tiempo de estas ecuaciones son
$ # # # # dvx = c sen sin u sen sin f + cu cos u sen sin f + cf sen sin u cos f dt $ # # + u cos f - uf sen sin f, dvy dt
$ # # # # = c sen sin u cos f + cu cos u cos f - cf sen sin u sen sin f
$ # # - u sen sin f - uf cos f, $ # # $ dvz = c cos u - cu sen sin u + f. dt
www.FreeLibros.org (20.35)
20.3 Ángulos de Euler
519
Ecuaciones del movimiento angular Con las ecuaciones (20.34) y (20.35) se pueden expresar las ecuaciones del movimiento angular en términos de los tres ángulos de Euler. Para simplificar las ecuaciones, se supone que el sistema coordenado xyz fijo al cuerpo es un conjunto de ejes principales. (Vea el apéndice de este capítulo). Entonces, las ecuaciones del movimiento angular, ecuaciones (20.18), se convierten en
dvx - 1Iyy - Izz2vy vz, dt dvy - 1Izz - Ixx2vz vx, ©My = Iyy dt dvz - 1Ixx - Iyy2vx vy. ©Mz = Izz dt ©Mx = Ixx
Sustituyendo las ecuaciones (20.34) y (20.35) en estas relaciones, se obtienen las ecuaciones del movimiento angular en términos de los ángulos de Euler:
$ $ ©Mx = Ixx c sen sin u sen sin f + Ixx u cos f # # # # # # sin f + cf sen sin u cos f - uf sen sin f2 + Ixx1cu cos u sen # # # # - 1Iyy - Izz21c sen sin u cos f - u sen sin f21c cos u + f2, $ $ (20.36) sin u cos f - Iyy u sen sin f ©My = Iyy c sen # # # # # # + Iyy1cu cos u cos f - cf sen sin u sen sin f - uf cos f2 # # # # sin u sen sin f + u cos f2, - 1Izz - Ixx21c cos u + f21c sen # # $ $ sin u ©Mz = Izz c cos u + Izz f - Izz c u sen # # # # - 1Ixx - Iyy21c sen sin u sen sin f + u cos f21c sen sin u cos f - u sen sin f2. Si se conocen los ángulos de Euler junto con sus primeras y segundas derivadas respecto al tiempo, se pueden resolver las ecuaciones (20.36) para obtener las componentes del momento total. O, si se conoce el momento total, los ángulos de Euler y sus primeras derivadas respecto al tiempo, es posible determinar las segundas derivadas de los ángulos de Euler. De esta manera se pueden encontrar los ángulos de Euler en función del tiempo cuando se conoce el momento total, pero usualmente se requiere una integración numérica.
RESULTADOS Los ángulos de Euler son un conjunto de ángulos usados para describir la orientación de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia primario.
Ángulos de Euler para un objeto con un eje de simetría Z, z
Y, y
Objeto con un eje de simetría. El sistema coordenado primario XYZ y un sistema coordenado secundario xyz están superpuestos. Los ejes Z y z están alineados con el eje de simetría del objeto.
www.FreeLibros.org X, x
520
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos Z, z¿
El primer ángulo de Euler c, el ángulo de precesión, especifica una rotación del sistema coordenado secundario y el objeto respecto al eje Z. Observe que la rotación está en la dirección positiva de la regla de la mano derecha cuando el pulgar de dicha mano apunta en la dirección positiva del eje Z. En esta posición intermedia, el sistema coordenado secundario se marca x¿ y¿ z¿.
y¿ Y
c
X
x¿ y
Z, z¿ u
z
El segundo ángulo de Euler u, el ángulo de nutación, especifica una rotación del sistema coordenado secundario y el objeto respecto al eje x¿.
y¿ Y
c
X
y
Z
El tercer ángulo de Euler f, el ángulo de giro, especifica una rotación del objeto respecto al sistema coordenado secundario alrededor del eje z. Esto significa que el sistema coordenado secundario no está fijo al cuerpo. Sin embargo, debido a la simetría del objeto, los momentos y productos de inercia expresados en términos del sistema coordenado xyz son constantes.
Las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al sistema coordenado primario pueden expresarse en términos de los ángulos de Euler. Los puntos denotan derivadas respecto al tiempo.
x¿, x
u
z Y
f
X
c
. vx u, . vy c sen u, . . vz f c cos u.
x
(20.23)
Precesión estable Z
y
u = const. z f = const. Y
c = const. X
x
Ecuaciones de movimiento angular en precesión estable,. en las que se supone la razón.de giro f, la razón de precesión c, y el ángulo de nutación u son constantes.
. .. Mx (Izz Ixx)c2 sen u cos u Izz fc sen u,
(20.29)
www.FreeLibros.org My 0,
(20.30)
Mz 0.
(20.31)
20.3 Ángulos de Euler
521
Z z
u
h
f
y
mg
Y
c
X
x
.. . mgh (Izz Ixx)c2 cos u Izz fc.
Ecuación que describe la precesión estable de un trompo simétrico.
(20.32)
Precesión estable libre de momento
Z u
y
z f
Y
c
x
X
www.FreeLibros.org Ecuación que describe la precesión estable de un objeto simétrico que no está sometido a momentos externos.
. . (Izz Ixx)c cos u Izz f 0.
(20.33)
522
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Conos espacial y de cuerpo Z
Una forma de visualizar la precesión estable libre de momento. El cono espacial está fijo en el espacio. El cono de cuerpo rueda sobre la superficie del cono espacial. El objeto en precesión experimenta el mismo movimiento que el cono de cuerpo. El ángulo b se relaciona con el ángulo de nutación mediante Izz tan b tan u. Ixx
Z u z
Cono espacial
u
Cono espacial y
z
b f
b Cono de Y cuerpo
Cono de cuerpo
x
c
X Z z
u
Cono espacial
b
y
Si b u, la superficie interior del cono de cuerpo rueda sobre la superficie exterior del cono espacial.
Y
Cono de cuerpo
x
c
X
Ángulos de Euler para un objeto arbitrario Z, z
Z , z
y Y, y
El sistema coordenado xyz está fijo al cuerpo y alineado con el sistema coordenado primario XYZ en la orientación inicial (a). El ángulo de precesión c es una rotación del objeto respecto al eje Z (b). El ángulo de nutación u es una rotación del objeto respecto al eje x¿ (c). El ángulo de giro f es una rotación del objeto respecto al eje z– (d).
Y
X
X, x
(b)
(a)
Z , z
y y
y
z, z
u
z
x
c
x
y f Y
www.FreeLibros.org x
X
c
(c)
x , x
(d)
20.3 Ángulos de Euler
Las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al sistema coordenado primario pueden expresarse en términos de los ángulos de Euler. Los puntos denotan derivadas respecto al tiempo.
vx vy vz
. . c. sen u sen f u. cos f, c. sen u cos .f u sen f, c cos u f.
..
..
. . .
. ..
.
.
.. ..
..
.. .
. ..
.. .
Ejemplo activo 20.7
(20.34)
..
. . Ecuaciones de movimiento angular en términos de los ángulos de Euler cuando el sistema coordenado xyz es un conjunto de ejes principales.
523
(20.36)
.
. . . .
.
.
Precesión estable de un disco ( Relacionado con el problema 20.63) El disco circular delgado de radio R y masa m que se muestra en la figura rueda a lo largo de una trayectoria circular de radio r sobre una superficie horizontal. El ángulo u entre el eje del disco y la vertical permanece constante (una moneda rodando describe un movimiento de este tipo). Determine la magnitud v de la velocidad del centro del disco en función del ángulo u.
r u
R
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524
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Estrategia Se puede determinar la velocidad del centro del disco suponiendo que éste se encuentra en precesión estable y determinando las condiciones necesarias para que las ecuaciones del movimiento se satisfagan.
Considere que el eje z de un sistema coordenado secundario está alineado con el eje de giro del disco y suponga que el eje x permanece paralelo a la superficie horizontal. u es el ángulo de notación. El centro del disco se mueve en una trayectoria circular de radio rG r R cos u. Por lo tanto, la razón de precesión —la razón a la que el eje x gira en el plano horizontal— es . v (1) c . rG
Determine la razón de giro del disco en términos de la velocidad v usando el hecho de que la velocidad del punto del disco en contacto con la superficie es cero.
y rG r R cos u
u z v
x
De las ecuaciones (20.23), las componentes de la velocidad angular del disco son . vx u 0, v . vy c sen u sen u, rG . . . v vz f c cos u f cos u, rG . donde f es la razón de giro. Se expresa la velocidad del punto del disco en contacto con la superficie en términos de la velocidad del centro: 0 vi (Rj) i vi 0 0
j
k
. v v cos u . sen u f rG rG R
0
Desarrollando el determinante y despejando la razón de giro se obtiene . 1 1 cos u . f v rG R
(2)
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20.3 Ángulos de Euler
525
y
u z an mg T
v2 rG x
N
Aplique la segunda ley de Newton. El centro de masa del disco no tiene aceleración vertical, por lo que la fuerza normal ejercida por la superficie es igual al peso del disco. Como un resultado del movimiento del centro de masa a lo largo de su trayectoria circular, tiene una componente normal de aceleración an v2/ rG.
Usando las ecuaciones (3) y (4), calcule el momento total respecto al eje x.
N mg, Tm
v . rG
(4)
Mx TR sen u NR cos u m
Sustituya las ecuaciones (1), (2) y (5) en la ecuación (20.29) para la precesión estable y use las relaciones Ixx 14 mR2 e Izz 12 mR2
(3) 2
v
v2 R sen u mgR cos u. rG
(5)
4g(r R cos u)2 cot u . 6r 5R cos u
para determinar la velocidad.
Problema de práctica Suponga que el objeto rodante es un aro circular de radio R y masa m, de manera que Ixx = 21 mR2 e Izz = mR2. Determine la magnitud v de la velocidad del centro del aro como una función del ángulo u.
www.FreeLibros.org Respuesta: v = A
2g(r - R cos u)2 cot u 4r - 3R cos u
.
526
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Problemas 20.61 Un barco tiene un motor de turbina. El eje de giro de la turbina axial asimétrica que se muestra en la figura es horizontal y está alineada con el eje longitudinal del barco. La turbina gira a 10,000 rpm. Su momento de inercia respecto a su eje de giro es de 1000 kg-m2. Si el barco vira a una razón constante de 20 grados por minuto, ¿cuál es la magnitud del momento que ejerce la turbina sobre el barco? Estrategia: Trate el movimiento de la turbina como una precesión estable con ángulo de nutación u 90°.
20.63 El radio del disco de 5 kg que se muestra en la figura es R 0.2 m. El disco está articulado con la flecha horizontal y gira con velocidad angular constante vd 6 rads respecto a la flecha. La flecha vertical gira con velocidad angular constante v0 2 rads. Tratando el movimiento del disco como una precesión estable, determine la magnitud del par ejercido por la flecha horizontal sobre el disco. (Vea el ejemplo activo 20.7).
vd
R v0
Problema 20.63
Problema 20.61 20.62 El centro de la rueda A del auto mostrado viaja en una trayectoria circular alrededor de O a 15 mih. El radio de la rueda es de 1 pie y su momento de inercia respecto a su eje de rotación es de 0.8 slug-pie2. ¿Cuál es la magnitud del momento externo total respecto al centro de masa de la rueda? Estrategia: Trate el movimiento de la rueda como una precesión estable con ángulo de nutación u 90°.
20.64 El helicóptero de la figura se encuentra en reposo. El eje z del sistema coordenado fijo al cuerpo apunta hacia abajo y coincide con el eje del rotor del helicóptero. El momento de inercia del rotor respecto al eje z es de 8600 kg-m2. Su velocidad angular es 258k (rpm). Si el helicóptero comienza una maniobra de lanzamiento durante la cual su velocidad angular es 0.02j (rads), ¿cuál es la magnitud del momento giroscópico ejercido por el rotor sobre el helicóptero? ¿El momento tiende a causar que el helicóptero ruede respecto al eje x en el sentido de las manecillas del reloj (como se ve en la fotografía) o en la dirección contraria?
O x y 18 pies z
A
Problema 20.64
www.FreeLibros.org Problema 20.62
Problemas 20.65 La barra doblada que se muestra en la figura está rígidamente unida a la flecha vertical, la cual gira con velocidad angular constante v0. El disco de masa m y radio R está articulado a la barra doblada y gira con velocidad angular constante vd respecto a la barra. Determine las magnitudes de la fuerza y el par ejercidos por la barra sobre el disco. 20.66 La barra doblada que se muestra en la figura está rígidamente unida a la flecha vertical, la cual gira con velocidad angular constante v0. El disco de masa m y radio R está articulado a la barra doblada y gira con velocidad angular constante vd respecto a la barra. Determine el valor de vd para el cual la barra no ejerce ningún par sobre el disco.
527
20.68 El cohete está en precesión estable libre # de momento con ángulo de nutación u 40° y razón de giro f = 4 revoluciones por segundo. Sus momentos de inercia son Ixx 10,000 kg-m2 e # Izz 2000 kg-m2. ¿Cuál es la razón de precesión del cohete c en revoluciones por segundo? 20.69 Trace un bosquejo de los conos de cuerpo y espacial para el movimiento del cohete del problema 20.68. Z
z
u
y
f R
Y
vd b
x
c
X
v0
Problemas 20.68/20.69 b
20.70 El trompo de la figura está en precesión estable con ángulo # de nutación u = 15° y razón de precesión c = 1 revolución por segundo. La masa del trompo es de 8 104 slugs, su centro de masa está a 1 pulg de la punta y sus momentos de inercia son Ixx 6 106# slug-pie2 e Izz 2 106 slug-pie2. ¿Cuál es la razón de giro f del trompo en revoluciones por segundo?
h
Problemas 20.65/20.66
20.67 Un disco circular delgado experimenta precesión estable libre de momento. El eje z es perpendicular al #disco. Demuestre que # la razón de precesión del disco es c = - 2f>cos u. (Observe que cuando el ángulo de nutación es pequeño, la razón de precesión es aproximadamente igual a dos veces la razón de giro).
20.71 Suponga que el trompo descrito en el problema 20.70 # tiene una razón de giro f = 15 revoluciones por segundo. Dibuje una gráfica de la razón de precesión (en revoluciones por segundo) en función del ángulo de nutación u para valores de u entre cero y 45°. Z z
Z
z
u
y
u f
f
y
Y
c
Y
x c
X
X
Problema 20.67
x
Problemas 20.70/20.71
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528
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.72 El rotor de un giróscopo bamboleante puede modelarse como si estuviera en precesión estable libre de momentos. Los momentos de inercia del giróscopo #son Ixx Iyy 0.04 kg-m2 e Izz 0.18 kg-m2. Su razón de giro es f = 1500 rpm y la nutación del ángulo es u 20°. a) ¿Cuál es la razón de precesión del giróscopo en rpm? b) Trace un bosquejo de los conos de cuerpo y espacial. 20.73 Un satélite puede modelarse como un cilindro de 800 kg de 4 m de longitud y 2 m de# diámetro. Si el ángulo de nutación es u 20° y su razón de giro f es# de una revolución por segundo, ¿cuál es su razón de precesión c en revoluciones por segundo?
20.76* Los dos discos delgados que se muestran en la figura están rígidamente conectados mediante una barra delgada. El radio del disco grande es de 200 mm y su masa es de 4 kg. El radio del disco pequeño es de 100 mm y su masa es de 1 kg. La barra tiene 400 mm de longitud y su masa es insignificante. El objeto compuesto experimenta un movimiento estable en el que gira respecto al eje vertical y que pasa por su centro de masa con velocidad angular v0. Durante este movimiento, la barra se encuentra en posición horizontal y el disco grande rueda sobre el piso. Determine v0 tratando el movimiento como precesión estable. y v0
Z z
u
y
x f z Y
c
x
X
Problema 20.76 Problema 20.73
20.74* El trompo mostrado consiste en un disco delgado unido a una barra delgada. El radio del disco es de 30 mm y su masa es de 0.008 kg. La longitud de la barra es de 80 mm y su masa es insignificante en comparación con el disco. Cuando el trompo está en precesión estable con un ángulo de nutación de 10°, se observa que la razón de precesión es de 2 revoluciones por segundo en la misma dirección en la que está girando el trompo. ¿Cuál es la razón de giro del trompo? 10
20.77* Suponga que usted está probando un auto y que usa acelerómetros y giróscopos para medir sus ángulos de Euler y sus derivadas respecto a un sistema coordenado de referencia. En un instante particular, c 15°, u 4°, f 15°, las razones de cambio de los ángulos de derivadas $ $ Euler$son cero y sus segundas respecto al tiempo son c = 0, u = 1 rad/s2, y f = - 0.5 rad/s2. Los momentos de inercia principales del auto en kg-m2 son Ixx 2200, Iyy 480 e Izz 2600. ¿Cuáles son las componentes del momento total respecto al centro de masa del auto? 20.78* Si los ángulos de Euler y sus segundas derivadas para el automóvil descrito en el problema # 20.77 tienen los # valores dados, pero sus razones de cambio son c = 0.2 rad/s, u = - 2 rad/s, y # f = 0, ¿cuáles son las componentes del momento total respecto al centro de masa del automóvil? 20.79* Suponga que los ángulos de Euler del auto descrito en el problema 20.77 son c 40°, u 20° y f 5°, sus razones de cambio son cero y las componentes del momento total respecto al centro de masa del auto son ©Mx 400 N-m, ©My 200 N-m y ©Mz 0. ¿Cuáles son las componentes x, y y z de la aceleración angular del automóvil? z Z
Problema 20.74
y x
www.FreeLibros.org 20.75 Resuelva el problema 20.58 tratando el movimiento como precesión estable.
Y
X
Problemas 20.77–20.79
529
Apéndice: Momentos y productos de inercia
Apéndice: Momentos y productos de inercia Para usar las ecuaciones de movimiento a fin de predecir el comportamiento de un cuerpo rígido en tres dimensiones, es necesario conocer sus momentos y productos de inercia, dados por las ecuaciones (20.10) y (20.11). En este apéndice se demuestra cómo pueden evaluarse los momentos y productos de objetos simples como barras delgadas y placas delgadas. Se deducen los teoremas de los ejes paralelos, lo que hace posible determinar los momentos y productos de inercia de objetos compuestos. También se introduce el concepto de ejes principales, que simplifica las ecuaciones de movimiento angular.
y
Objetos simples dm
Si se modela un cuerpo rígido como una distribución continua de masa, es posible expresar la matriz de inercia [ecuaciones (20.10) y (20.11)] como
- Ixy Iyy - Izy
Ixx 3I4 = C -Iyx -Izx Lm = F
- Ixz - Iyz S Izz
1y2 + z22 dm -
Lm
x z z
-
Lm
xy dm
1x2 + z22 dm Lm
yx dm Lm
-
zx dm
y
Lm
zy dm
-
xz dm
Lm
Lm
V, (20.37)
yz dm
x
Figura 20.18 Determinación de los momentos y productos de inercia modelando un objeto como una distribución continua de masa.
1x2 + y22 dm Lm
donde x, y y z son las coordenadas del elemento diferencial de masa dm (figura 20.18). Barras delgadas Considere que el origen del sistema coordenado está en el centro de masa de una barra delgada, con el eje x dirigido a lo largo de la barra (figura 20.19a). La barra tiene longitud l, área A en su sección transversal, y masa m. Se supone que A es uniforme a lo largo de la barra y el material es homogéneo. Considere un elemento diferencial de la barra de longitud dx a una distancia x del centro de masa (figura 20.19b). La masa del elemento es dm = rA dx, donde r es su densidad de masa. Se decide ignorar las dimensiones laterales de la barra y se supone que las coordenadas del elemento diferencial dm son (x, 0, 0). Como consecuencia de esta aproximación, el momento de inercia de la barra respecto al eje x es cero:
Ixx =
Lm
1y2 + z22 dm = 0. y
y
dm rA dx
A z
l
z
x
Figura 20.19 (a) Barra delgada y un sistema coordenado con el eje x alineado con la barra. (b) Un elemento diferencial de masa con longitud dx.
www.FreeLibros.org dx
x
(a)
(b)
x
530
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos z
l
x
y
Figura 20.20 Alineación del eje y con la barra.
El momento de inercia respecto al eje y es
Iyy =
1x 2 + z 22 dm =
Lm
1>2
L-1>2
rAx 2 dx =
1 3 12 rAl .
Expresando este resultado en términos de la masa de la barra m = rAl, se obtiene
Iyy =
1 2 12 ml .
El momento de inercia respecto al eje z es igual al momento de inercia respecto al eje y:
Izz =
Lm
1x 2 + y 22 dm =
1 2 12 ml .
Como las coordenadas y y z de dm son cero, los productos de inercia son cero y la matriz de inercia de la barra delgada es
0 3I4 = C 0 0
0 1 2 12 ml
0
0 0 S. 1 2 12 ml
(20.38)
Es importante recordar que los momentos y productos de inercia dependen de la orientación del sistema coordenado respecto al cuerpo. En términos del sistema coordenado alternativo que se muestra en la figura 20.20, la matriz de inercia de la barra es
3I4 = C
1 2 12 ml
0 0
0 0 0
0 0 S. 1 2 12 ml
Placas delgadas Suponga que una placa homogénea de espesor uniforme T, área A y forma indefinida está contenida en el plano x-y (figura 20.21a). Sus momentos de inercia pueden expresarse en términos de los momentos de inercia del área de su sección transversal.
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Apéndice: Momentos y productos de inercia y
531
y
A T x
O
z
(a) y
y
dm rTdA
dA
x
y
r
x
O
z
(b)
Figura 20.21 (a) Placa delgada contenida en el plano x-y. (b) Obtención de un elemento diferencial de masa proyectando un elemento de área dA a través de la placa.
Al proyectar un elemento de área dA a través del espesor T de la placa (figura 20.21b), se obtiene un elemento diferencial de masa dm = rT dA. Se decide ignorar el espesor de la placa al calcular los momentos de inercia, por lo que las coordenadas del elemento dm son (x, y, 0). El momento de inercia de la placa respecto al eje x es
Ixx =
Lm
1y 2 + z 22 dm = rT
LA
y 2 dA = rTIx,
donde Ix es el momento de inercia del área de la sección transversal de la placa respecto al eje x. Como la masa de la placa es m = rTA, el producto rT = m/A, y se obtiene el momento de inercia en la forma
Ixx =
m I . A x
El momento de inercia respecto al eje y es
Iyy =
Lm
1x 2 + z 22 dm = rT
LA
x 2 dA =
m Iy, A
donde Iy es el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje y. El momento de inercia respecto al eje z es
www.FreeLibros.org Izz =
1x 2 + y 22 dm =
Lm
m J , A O
532
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
donde JO Ix Iy es el momento polar de inercia del área de la sección transversal. El producto de inercia Ixy es
Ixy =
m xy dm = IA , A xy Lm
donde
IA xy =
LA
xy dA
es el producto de inercia del área de la sección transversal (se usa un superíndice A para distinguir el producto de inercia del área de la sección transversal de la placa, del producto de inercia de su masa). Si el área A de su sección transversal es simétrica respecto al eje x o al eje y, IA xy = 0. Como la coordenada z de dm es cero, los productos de inercia Ixz e Iyz son cero. Por lo tanto, la matriz de inercia para la placa delgada es
m Ix A m - IA 3I4 = F A xy
m A Ixy A m I A y
-
0
0
0 0 V.
(20.39)
m J A O
Si se conocen, o se pueden determinar, los momentos y los productos de inercia del área de la sección transversal de la placa, se puede usar la ecuación (20.39) para obtener los momentos y productos de inercia de la placa.
Teoremas de los ejes paralelos
Suponga que se conoce la matriz de inercia 3I¿4 de un objeto en términos de un sistema coordenado x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa, y se desea determinar la matriz de inercia [I ] en términos de un sistema coordenado paralelo xyz (figura 20.22). Sean 1dx, dy, dz2 las coordenadas del centro de masa en el sistema xyz. Las coordenadas de un elemento diferencial de masa dm en el sistema xyz están dadas en términos de sus coordenadas en el sistema x¿y¿z¿ por
x = x¿ + dx,
y = y¿ + dy,
z = z¿ + dz.
(20.40)
y y dm x (dx, dy, dz) z
www.FreeLibros.org Figura 20.22 Sistema coordenado x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa y un sistema coordenado paralelo xyz.
O
z
x
Apéndice: Momentos y productos de inercia
533
Sustituyendo esas expresiones en la definición de Ixx se obtiene
Ixx =
Lm
C 1y¿22 + 1z¿22 D dm + 2dy
+ 2dz
z¿ dm + 1d 2y + d 2z 2
Lm
y¿ dm Lm Lm
(20.41)
dm.
La primera integral de la derecha es el momento de inercia del objeto respecto al eje x¿ . Se puede demostrar que la segunda y la tercera integrales son iguales a cero usando las definiciones del centro de masa del cuerpo expresado en términos del sistema coordenado x¿y¿z¿ :
x¿ =
Lm
x¿ dm
Lm
,
y¿ =
dm
y¿ dm Lm Lm
dm
,
z¿ =
Lm
z¿ dm
Lm
. dm
El centro de masa del objeto está en el origen del sistema x¿y¿z¿ , y entonces x¿ = y¿ = z¿ = 0. Por lo tanto, en la ecuación (20.41) la segunda y tercera integrales de la derecha son cero, y se obtiene
Ixx = Ix¿x¿ + 1d y2 + d 2z 2 m, donde m es la masa del objeto. Sustituyendo las ecuaciones (20.40) en la definición de Ixy se obtiene
Ixy =
x¿y¿ dm + dx y¿ dm + dy x¿ dm + dx dy dm Lm Lm Lm Lm = Ix¿y¿ + dx dy m.
Si se procede de esta manera para cada uno de los momentos y productos de inercia, se obtienen los teoremas de los ejes paralelos:
Ixx = Ix¿x¿ + 1d y2 + d 2z 2 m, Iyy = Iy¿y¿ + 1d x2 + d z22 m, Izz = Iz¿z¿ + 1d x2 + d 2y2 m,
(20.42)
Ixy = Ix¿y¿ + dx dy m, Iyz = Iy¿z¿ + dy dz m, Izx = Iz¿x¿ + dz dx m. Si se conoce la matriz de inercia de un objeto en términos de un sistema coordenado particular, se pueden usar estos teoremas para determinar su matriz de inercia en términos de cualquier sistema coordenado paralelo. También es posible utilizarlos para determinar las matrices de inercia de objetos compuestos.
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534
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Momento de inercia respecto a un eje arbitrario y
LO e
O
x
z
Figura 20.23 Cuerpo rígido que gira alrededor de LO.
Si se conoce la matriz de inercia de un cuerpo rígido en términos de un sistema coordenado dado con origen O, es posible determinar su momento de inercia respecto a cualquier eje arbitrario que pase por O. Suponga que el cuerpo rígido gira con velocidad angular respecto a un eje arbitrario fijo LO que pasa por O, y sea e un vector unitario con la misma dirección que (figura 20.23). Entonces, en términos del momento de inercia IO respecto a LO, el momento angular del cuerpo rígido respecto a LO es
HO = IO ƒ ƒ . El vector de velocidad angular puede expresarse como
= ƒ ƒ 1ex i + ey j + ez k2, por lo que vx = ƒ ƒ ex, vy = ƒ ƒ ey, y vz = ƒ ƒ ez. Usando estas expresiones y las ecuaciones (20.9), se obtiene el momento angular respecto a LO:
HO = HO # e = 1Ixx ƒ ƒ ex - Ixy ƒ ƒ ey - Ixz ƒ ƒ ez2ex + 1 - Iyx ƒ ƒ ex + Iyy ƒ ƒ ey - Iyz ƒ ƒ ez2ey + 1 -Izx ƒ ƒ ex - Izy ƒ ƒ ey + Izz ƒ ƒ ez2ez. Igualando las dos expresiones para HO , resulta
IO = Ixx e2x + Iyy e2y + Izz e2z - 2Ixy ex ey - 2Iyz ey ez - 2Izx ez ex. (20.43) Observe que el momento de inercia respecto a un eje arbitrario depende de los productos de inercia y los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados. Si se conoce la matriz de inercia de un objeto, es posible usar la ecuación (20.43) para determinar su momento de inercia respecto a un eje que pase por O y cuya dirección esté especificada por el vector unitario e.
Ejes principales Para cualquier objeto y origen O, existe al menos un sistema coordenado para el cual los productos de inercia son cero:
Ixx 3I4 = C 0 0
0 Iyy 0
0 0 S. Izz
(20.44)
Esos ejes coordenados se llaman ejes principales y los momentos de inercia se denominan momentos de inercia principales. Si se conoce la matriz de inercia de un objeto rígido en un sistema coordenado x¿y¿z¿ y los productos de inercia son cero, entonces x¿y¿z¿ es un conjunto de
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Apéndice: Momentos y productos de inercia
535
y
ejes principales. Suponga que los productos de inercia no son cero y que se desea encontrar un conjunto de ejes principales xyz y los momentos de inercia principales correspondientes (figura 20.24). Se puede demostrar que los momentos de inercia principales son raíces de la ecuación cúbica
y
I3 - 1Ix¿x¿ + Iy¿y¿ + Iz¿z¿2I2 + 1Ix¿x¿ Iy¿y¿ + Iy¿y¿ Iz¿z¿ + Iz¿z¿ Ix¿x¿ - I2x¿y¿ - I2y¿z¿ - I2z¿x¿2I - 1Ix¿x¿ Iy¿y¿ Iz¿z¿ -
Ix¿x¿ I2y¿z¿
-
Iy¿y¿ I2x¿z¿
-
Iz¿z¿ I2x¿y¿
z
(20.45)
x
O
- 2Ix¿y¿ Iy¿z¿ Iz¿x¿2 = 0.
z x
Para cada momento de inercia principal I, el vector V con componentes
Figura 20.24 El sistema x¿y¿z¿ con su origen en O y un conjunto de ejes principales xyz.
Vx¿ = 1Iy¿y¿ - I21Iz¿z¿ - I2 - I2y¿z¿, Vy¿ = Ix¿y¿1Iz¿z¿ - I2 + Ix¿z¿ Iy¿z¿,
(20.46)
Vz¿ = Ix¿z¿1Iy¿y¿ - I2 + Ix¿y¿ Iy¿z¿ es paralelo al eje principal correspondiente. Cuando se conoce la matriz de inercia de un objeto en términos de un sistema coordenado con origen O, la determinación de los momentos de inercia principales asociados y de un conjunto de ejes principales implica dos pasos: 1. Determine los momentos de inercia principales obteniendo las raíces de la ecuación (20.45). 2. Si los tres momentos de inercia principales son distintos sustituya cada uno de ellos en las ecuaciones (20.46) para obtener las componentes de un vector paralelo a los ejes principales correspondientes. Los tres ejes principales pueden denotarse con x, y, z de manera arbitraria, siempre y cuando el sistema coordenado resultante sea derecho. Si los tres momentos de inercia principales son iguales, el momento de inercia respecto a cualquier eje que pase por O tiene el mismo valor, y cualquier sistema coordenado con origen en O es un conjunto de ejes principales. Esto ocurre si, por ejemplo, el objeto es una esfera homogénea con origen en su centro O (figura 20.25a). Si sólo dos de los momentos principales son iguales, el tercero se puede sustituir en las ecuaciones (20.46) para determinar el eje principal asociado. Entonces, el momento de inercia respecto a cualquier eje que pase por O y que sea perpendicular al eje determinado tiene el mismo valor, por lo tanto cualquier sistema coordenado con origen O que tenga un eje coincidente con el eje determinado es un conjunto de ejes principales. Esto sucede cuando un objeto tiene un eje de simetría rotacional y O está sobre el eje (figura 20.25b).
x y
y x
O
Figura 20.25 (a) Esfera homogénea. Cualquier sistema coordenado con su origen en el centro es un conjunto de ejes principales. (b) Objeto rotacionalmente simétrico. El eje de simetría es un eje principal y cualquier eje perpendicular es un eje principal.
www.FreeLibros.org z
z
(a)
(b)
536
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo 20.8
Teorema de los ejes paralelos ( Relacionado con los problemas 20.90, 20.91) El aguilón AB de la grúa mostrada tiene una masa de 4800 kg; el aguilón BC tiene una masa de 1600 kg y es perpendicular a AB. Modelando cada uno de ellos como una barra delgada y tratándolos como un sólo objeto, determine los momentos y productos de inercia del objeto en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura. x 6m B
C
y
18 m
50 A
Estrategia Se pueden aplicar los teoremas de los ejes paralelos a cada aguilón para determinar sus momentos y productos de inercia en el sistema coordenado dado. Los momentos y productos de inercia del objeto combinado son las sumas de los correspondientes a los dos aguilones. x, x B y
Solución Aguilón AB En la figura a, se introduce un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa del aguilón AB. En términos del sistema x¿y¿z¿ , la matriz de inercia del aguilón AB es
0 3I¿4 = C 0 0
18 m
y
9m A
0 1 2 12 ml
0
0 0 0 S = C0 1 2 0 ml 12
0
1 2 12 1480021182
0
0 0 S kg-m2. 1 2 12 1480021182
Las coordenadas del origen del sistema x¿y¿z¿ respecto al sistema xyz son dx 9 m, dy 0, dz 0. Aplicando los teoremas de los ejes paralelos, se obtiene
Ixx = Ix¿x¿ + 1d2y + d2z2 m = 0, (a) Aplicación de los teoremas de los ejes paralelos al aguilón AB.
Iyy = Iy¿y¿ + 1d2x + d2z2 m = Izz = Iz¿z¿ +
1d2x
+
d2y2
1 2 12 1480021182 2
+ 1922148002
1 2 12 1480021182 2
+ 1922148002
= 518,400 kg-m , m =
= 518,400 kg-m , Ixy = Ix¿y¿ + dx dy m = 0, Iyz = Iy¿z¿ + dy dz m = 0,
www.FreeLibros.org y
Izx = Iz¿x¿ + dz dx m = 0.
537
Apéndice: Momentos y productos de inercia
Aguilón BC En la figura b se introduce un sistema coordenado x¿y¿z¿ paralelo con su origen en el centro de masa del aguilón BC. En términos del sistema x¿y¿z¿ , la matriz de inercia de BC es
3I¿4 = C
1 2 12 ml
0 0 0
0 0
1 2 0 12 116002162 0 S = C 0 1 2 0 ml 12
0 0 0
0 S kg-m2. 0 1 2 12 116002162
y
x
6m x
B 3m 18 m
C
y
Las coordenadas del origen del sistema x¿y¿z¿ respecto al sistema xyz son dx 18 m, dy 3 m, dz 0. Aplicando los teoremas de los ejes paralelos, se obtiene
Ixx = Ix¿x¿ +
1d2y
Iyy = Iy¿y¿ +
1d2x
+
d2z2
+
d2z2
m =
1 2 12 116002162 2
+ 1 -32 116002 2
(b) Aplicación de los teoremas de los ejes paralelos al aguilón BC.
= 19,200 kg-m ,
m = 0 + 11822116002 = 518,400 kg-m2,
Izz = Iz¿z¿ + 1d2x + d2y2 m =
1 2 12 116002162
+ 311822 + 1 - 3224116002
= 537,600 kg-m2,
Ixy = Ix¿y¿ + dx dy m = 0 + 11821 - 32116002 = - 86,400 kg-m2, Iyz = Iy¿z¿ + dy dz m = 0, y
Izx = Iz¿x¿ + dz dx m = 0. Sumando los resultados para los dos aguilones, se obtiene la matriz de inercia del objeto compuesto:
19,200 3I4 = C - 1- 86,4002 0 19,200 = C 86,400 0
- 1- 86,4002 518,400 + 518,400 0
86,400 1,036,800 0
0 0 S 518,400 + 537,600
0 0 S kg-m2. 1,056,000
Razonamiento crítico La mayoría de los objetos que se encuentran en la práctica de la ingeniería son ensambles de partes más simples, como el aguilón de grúa de este ejemplo. Cuando se conocen los momentos y productos de inercia de las partes, los momentos y productos de inercia del ensamble pueden determinarse usando el procedimiento de este ejemplo. Se aplican los teoremas de los ejes paralelos a cada parte para determinar sus momentos y productos de inercia en términos de un sistema coordenado específico, después se suman los resultados para las partes a fin de obtener los momentos y productos de inercia del ensamble en términos de ese sistema coordenado. Observe que para aplicar los teoremas de los ejes paralelos, los momentos y productos de inercia de las partes deben expresarse en términos de sistemas coordenados paralelos.
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538
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo 20.9
Matriz de inercia de una placa ( Relacionado con los problemas 20.82, 20.83) La placa rectangular de 4 kg se encuentra en el plano x-y del sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra en la figura. (a) Determine los momentos y productos de inercia de la placa. (b) Determine el momento de inercia de la placa respecto al eje diagonal LO. (c) Si la placa está girando respecto al punto fijo O con velocidad angular 4i 2j (rads), ¿cuál es la cantidad de movimiento angular de la placa respecto a O? z y
300 mm
O LO 600 mm
x
Estrategia (a) A partir del apéndice B se pueden obtener los momentos y productos de inercia del área rectangular de la placa y usar las ecuaciones (20.39) para obtener sus momentos y productos de inercia. (b) Una vez conocidos los momentos y productos de inercia, se puede usar la ecuación (20.43) para determinar el momento de inercia respecto a LO. (c) El momento angular respecto a O está dado por la ecuación (20.9). Solución (a) Del apéndice B, los momentos de inercia del área de la sección transversal de la
placa son (figura a):
Ix = 13 bh3, Iy = 13 hb3,
1 2 2 IA xy = 4 b h ,
JO = 13 1bh3 + hb32.
z
y
b 300 mm
h 600 mm x
www.FreeLibros.org (a) Determinación de los momentos de inercia del área de la placa.
Apéndice: Momentos y productos de inercia
539
Por lo tanto, los momentos y productos de inercia son
142 m 1 Ix = a b 10.3210.623 = 0.48 kg-m2, A 10.3210.62 3 142 m 1 = Iy = a b10.6210.323 = 0.12 kg-m2, A 10.3210.62 3 142 m A 1 = Ixy = a b10.32210.622 = 0.18 kg-m2, A 10.3210.62 4
Ixx = Iyy Ixy
Izz =
142 m 1 JO = a b 310.3210.623 + 10.6210.3234 = 0.60 kg-m2, A 10.3210.62 3
y
Ixz = Iyz = 0. (b) Para aplicar la ecuación (20.43) se deben determinar las componentes de un vector unitario paralelo a LO:
e =
300 i + 600j ƒ 300 i + 600j ƒ
= 0.447i + 0.894j.
El momento de inercia respecto a LO es
IO = Ixx e2x + Iyy e2y + Izz e2z - 2Ixy ex ey - 2Iyz ey ez - 2Izx ez ex
= 10.48210.44722 + 10.12210.89422 - 210.18210.447210.8942 = 0.048 kg-m2.
(c) La cantidad de movimiento angular de la placa respecto a O es
Ixx HOx C HOy S = C - Iyx HOz - Izx 0.48 = C -0.18 0
- Ixy Iyy - Izy
- Ixz vx - Iyz S C vy S Izz vz
- 0.18 0.12 0
0 4 0 S C -2 S 0.6 0
2.28 = C - 0.96 S kg-m2/s. 0 Razonamiento crítico ¿Podrían usarse los resultados del inciso a) y los teoremas de los ejes paralelos para determinar los momentos y productos de inercia de la placa en términos de cualquier otro sistema coordenado? Recuerde que los teoremas de los ejes paralelos relacionan los momentos y productos de inercia de un objeto en términos de un sistema coordenado que tiene su origen en el centro de masa con aquellos en términos de un sistema coordenado paralelo. Por lo tanto, primero sería necesario aplicar los teoremas de los ejes paralelos a los resultados del inciso a) para determinar los momentos y productos de inercia de la placa en términos de un sistema coordenado paralelo con su origen en el centro de masa.
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540
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
Ejemplo 20.10
Ejes y momentos de inercia principales ( Relacionado con el problema 20.96) En términos de un sistema coordenado x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa, la matriz de inercia de un cuerpo rígido es
-2 2 -1
4 3I¿4 = C - 2 1
1 -1 S kg-m2. 3
Determine los momentos de inercia principales y las direcciones de un conjunto de ejes principales respecto al sistema x¿y¿z¿ . Estrategia Los momentos de inercia principales son las raíces de la ecuación (20.45). Para cada momento principal de inercia, las ecuaciones (20.46) proporcionan las componentes de un vector que es paralelo al eje principal correspondiente. Solución Sustituyendo los momentos y productos de inercia en las ecuaciones (20.45), se obtiene la ecuación 20
I3 - 9I2 + 20I - 10 = 0.
15 10 5 0 5 10 15 20
0
1
2
3
4
I (kg-m2)
5
6
7
(1)
En la gráfica se muestra el valor del lado izquierdo de esta ecuación en función de I. Las tres raíces, que son los valores de los momentos de inercia principales en kg-m2, son I1 0.708, I2 2.397 e I3 5.895. Sustituyendo el momento de inercia principal I1 0.708 kg-m2 en las ecuaciones (20.46) y dividiendo el vector resultante V entre su magnitud, se obtiene un vector unitario paralelo al eje principal correspondiente:
e1 = 0.473i + 0.864j + 0.171k. Sustituyendo I2 2.397 kg-m2 en las ecuaciones (20.46) se obtiene el vector unitario
e2 = - 0.458i + 0.076j + 0.886k, y sustituyendo I3 5.895 kg-m2 en las ecuaciones (20.46) se obtiene el vector unitario
e3 = 0.753i - 0.497j + 0.432k. y y
0.473i 0.864j 0.171k 0.458i 0.076j 0.886k z
x 0.753i 0.497j 0.432k
www.FreeLibros.org z
x
Problemas
541
Se han determinado los momentos de inercia principales y las componentes de los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. Se muestran los ejes principales, designándolos en forma arbitraria de modo que Ixx 5.895 kg-m2, Iyy 0.708 kg-m2 e Izz 2.397 kg-m2. Razonamiento crítico Existen muchas calculadoras programables y paquetes de software que permiten determinar las raíces de ecuaciones algebraicas no lineales. Así es como se obtuvieron los valores precisos de las raíces de la ecuación (1) para este ejemplo. Fue necesario determinar las tres raíces de la ecuación cúbica. A menos que el programa usado esté diseñado para encontrar todas las raíces de una ecuación de orden N, se puede dar el caso de que el programa continúe convergiendo en una raíz que ya se había determinado, en vez de encontrar la que se está buscando. Lo anterior puede evitarse de una manera sencilla. En este ejemplo, se comenzaría por pedirle al programa la determinación de una raíz de la ecuación (1). Suponga que la raíz encontrada es 0.708 (este valor está redondeado a tres cifras significativas; conserve tanta precisión como sea posible en su computadora). Después busque una raíz de la ecuación
I3 - 9I2 + 20I - 10 = 0. I - 0.708 De esta forma, se estará “dividiendo” la raíz ya determinada. Si la siguiente raíz obtenida es 2.937, obtenga la raíz final buscando una raíz de la ecuación
I3 - 9I2 + 20I - 10 = 0. 1I - 0.70821I - 2.3972
Problemas 20.80 La masa de la barra mostrada es de 6 kg. Determine los momentos y productos de inercia de la barra en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura.
20.81 El objeto mostrado consiste en dos barras delgadas verticales de 1 kg soldadas a una barra delgada horizontal de 4 kg. Determine sus momentos y productos de inercia en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura. y
y
0.1 m x 1m 0.1 m
www.FreeLibros.org x
2m
Problema 20.80
0.1 m
0.2 m
0.1 m
Problema 20.81
542
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.82 La placa rectangular delgada de 4 kg mostrada está en el plano x-y. Determine los momentos y productos de inercia de la placa en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura. (Vea el ejemplo 20.9). 20.83 Si la placa de 4 kg mostrada está girando con velocidad angular 6i 4j 2k (rads), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular respecto a su centro de masa? (Vea el ejemplo 20.9). z
20.86 Determine la matriz de inercia de la placa de acero de 2.4 kg en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura. 20.87 La masa de la placa de acero mostrada es de 2.4 kg. a) Determine sus momentos y productos de inercia en términos de un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa de la placa. b) Si la placa está girando con velocidad angular 20i 10j 10k (rads), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular respecto a su centro de masa? y
y 220 mm 300 mm 600 mm 150 mm
x
Problemas 20.82/20.83
x
20.84 La placa triangular de 30 lb mostrada está en el plano x-y. Determine sus momentos y productos de inercia en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura. 20.85 La placa triangular de 30 lb mostrada está en el plano x-y. (a) Determine sus momentos y productos de inercia en términos de un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa de la placa.
50 mm
Problemas 20.86/20.87 20.88 La barra delgada de masa m que se muestra en la figura gira respecto al punto fijo O con velocidad angular vy j vzk. Determine su cantidad de movimiento angular a) respecto a su centro de masa y b) respecto a O. y
(b) Si la placa está girando con velocidad angular 20i 12j 16k (rads), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular respecto a su centro de masa?
O z
z
l x
4 pies
y
x 6 pies
Problemas 20.84/20.85
Problema 20.88 20.89 La barra delgada de masa m que se muestra en la figura es paralela al eje x. Si el sistema coordenado está fijo al cuerpo y su velocidad angular respecto al punto fijo O es vy j, ¿cuál es la cantidad de movimiento angular de la barra respecto a O? y
l h
O
www.FreeLibros.org z
x
Problema 20.89
Problemas 20.90 En el ejemplo 20.8, los momentos y productos de inercia del objeto compuesto formado por los aguilones AB y BC se determinaron en términos del sistema coordenado xyz mostrado en el ejemplo. Determine los momentos y productos de inercia del objeto en términos de un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa del objeto. 20.91 Suponga que la grúa descrita en ejemplo 20.8 experimenta una rotación de cuerpo rígido respecto al eje vertical de 0.1 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuando se ve desde arriba. a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular de la grúa en términos del sistema coordenado xyz fijo al cuerpo que se muestra en el ejemplo?
20.94* La barra delgada homogénea de 8 kg de la figura tiene soportes de bola y cuenca en A y B. a) ¿Cuál es su momento de inercia respecto al eje AB? b) Si la barra gira respecto al eje AB a 4 rads, ¿cuál es la magnitud de su momento angular respecto a su eje de rotación? 20.95* La barra delgada homogénea de 8 kg de la figura se suelta desde el reposo en la posición mostrada. (El plano x-z es horizontal). ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular de la barra respecto al eje AB en el instante de la liberación? B
b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del objeto formado por los aguilones AB y BC respecto a su centro de masa? 20.92 Una barra delgada de 3 kg está unida rígidamente a un disco circular delgado de 2 kg. En términos del sistema coordenado fijo al cuerpo que se muestra, la velocidad angular del objeto compuesto es 100i 4j 6k (rads). ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del objeto respecto a su centro de masa?
543
1m
y
x A 2m
y 1m
200 mm z
x
Problemas 20.94/20.95
600 mm
20.96 En términos de un sistema coordenado x¿y¿z¿ con origen en el centro de masa, la matriz de inercia de un cuerpo rígido es
Problema 20.92 20.93* La masa de la barra delgada homogénea que se muestra en la figura es m. Si la barra gira con velocidad angular v0(24i 12j 6k), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular respecto a su centro de masa?
20 3I¿4 = C 10 - 10
10 60 0
- 10 0 S kg-m2. 80
Determine los momentos de inercia principales y los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. (Vea el ejemplo 20.10).
y b x
b
20.97 Para el objeto del problema 20.81, determine los momentos de inercia principales y los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. Trace un bosquejo del objeto donde muestre los ejes principales.
b z b
www.FreeLibros.org Problema 20.93
544
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.98 La barra delgada de 1 kg y 1 m de longitud mostrada está en el plano x¿– y¿ . Su matriz de inercia en kg-m2 es 3I¿4 = C
1 sin22 b 12 sen 1 - 12 sen sin b cos
b
0
1 - 12 sin b cos b sen 1 2 12 cos b 0
0 0 S.
20.99* La masa de la placa delgada homogénea de la figura es de 3 slugs. Para un sistema coordenado con origen en O, determine los momentos de inercia principales y los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes.
1 12
Use las ecuaciones (20.45) y (20.46) para determinar los momentos de inercia principales y los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes.
y 3 pies
y 2 pies x
O b 4 pies
x
z
Problema 20.99
Problema 20.98
Problemas de repaso 20.100 El disco de la figura está articulado al eje horizontal y gira respecto a él con velocidad angular vd. Respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, el eje vertical gira con velocidad angular v0.
20.102 El cono de la figura está conectado a un poste de 100 mm mediante una junta de bola y cuenca en su vértice. El radio de su base es de 100 mm y la base rueda sobre el piso. La velocidad del centro de la base es vC 2k (ms).
a) Determine vector de velocidad angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del cono? b) ¿Cuál es la velocidad del punto A?
b) ¿Cuál es la velocidad del punto A del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra? 20.101 El disco de la figura está articulado al eje horizontal y gira respecto a él con velocidad angular constante vd. Respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, el eje vertical gira con velocidad angular constante v0. ¿Cuál es la aceleración del punto A del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra?
y 400 mm z
A 100 mm 60
y
C b x A u
z v0
R
Problema 20.102 x
www.FreeLibros.org vd
Problemas 20.100/20.101
Problemas de repaso 20.103 El mecanismo mostrado es un tipo de junta universal llamada de yunque y araña. El eje L se encuentra en el plano x-z. Determine la velocidad angular vL y el vector de velocidad angular S de la “araña” en forma de cruz, en términos de la velocidad angular vR en el instante mostrado. y
L
vL
vR
545
20.106 Determine la matriz de inercia de la placa delgada de 0.6 slug en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura. 20.107 En t 0, la placa delgada de 0.6 slug tiene velocidad angular 10i 10j (radm) y está sometida a la fuerza F 10k (lb) que actúa en el punto (0, 6, 0) pulg. Ninguna otra fuerza o par actúa sobre la placa. ¿Cuáles son las componentes de su aceleración angular en ese instante? y
x
f 2b z
2b
6 pulg
1.5 pulg x
Problema 20.103 3 pulg
20.104 La matriz de inercia de un cuerpo rígido en un sistema coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa es 4 3I4 = C 1 -1
1 2 0
-1 0 S kg-m2. 6
Si la velocidad angular del cuerpo rígido es 10i 5j 10k (rads), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa? 20.105 ¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo rígido descrito en el problema 20.104 respecto al eje que pasa por el origen y el punto (4, 4, 7) m? Estrategia: Determine las componentes de un vector unitario paralelo al eje y use la ecuación (20.43).
Problemas 20.106/20.107 20.108 La matriz de inercia de un cuerpo rígido en un sistema coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa es 4 3I4 = C 1 -1
1 2 0
-1 0 S kg-m2. 6
Si la velocidad angular del cuerpo rígido es 10i 5j 10k (rads) y su aceleración angular es cero, ¿cuáles son las componentes del momento total respecto a su centro de masa? 20.109 Si el momento total respecto al centro de masa del cuerpo rígido descrito en el problema 20.108 es cero, ¿cuáles son las componentes de su aceleración angular?
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546
Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.110 La barra delgada de longitud l y masa m de la figura está articulada a la barra en forma de L en O. La barra en L gira respecto al eje vertical con una velocidad angular constante v0. Determine el valor de v0 necesario para que la barra permanezca con un ángulo constante b respecto a la vertical.
20.112* Una placa delgada de masa m gira alrededor de un eje vertical con su plano perpendicular al piso. La esquina de la placa en O descansa en una ranura de manera que permanece en el mismo punto sobre el piso. La placa gira con velocidad angular constante v0 y el ángulo b también es constante. a) Demuestre que la velocidad angular v0 está relacionada con el ángulo b por hv20
=
g v0
2 cos b - sen sin b . sin22 b - 2 sen sin b cos b - cos2 b sen
b) La ecuación obtenida en el inciso a) indica que v0 0 cuando 2 cos b sen b 0. ¿Qué interpretación se le puede dar a este resultado?
O
20.113* En el problema 20.112, determine el intervalo de valores del ángulo b para los cuales la placa permanecerá en el movimiento estable descrito.
l
b
v0 b
Problema 20.110
h 2h
20.111 Una barra delgada de longitud l y masa m está rígidamente unida al centro de un disco circular delgado de radio R y masa m. El objeto compuesto está sometido a un movimiento en el que la barra gira en un plano horizontal con velocidad angular constante v0 respecto al centro de masa del objeto compuesto, y el disco rueda sobre el piso. Demuestre que v0 = 2 2g>R.
b
O v0
Problemas 20.112/20.113
v0 R
l
Problema 20.111
20.114 El brazo BC tiene una masa de 12 kg y sus momentos y productos de inercia en términos del sistema coordenado de la figura son Ixx 0.03 kg-m2, Iyy Izz 4 kg-m2 e Ixy Iyz Ixz 0. En el instante mostrado, el brazo AB está girando en un plano horizontal con una velocidad angular constante de 1 rads en sentido contrario al de las manecillas del reloj vista desde arriba. Respecto al brazo AB, el brazo BC está girando respecto al eje z con velocidad angular constante de 2 rads. Determine la fuerza y el par ejercidos sobre el brazo BC en B. x 2 rad/s C m
y
0m
30
1 rad/s
40 A
B
700 mm
www.FreeLibros.org Problema 20.114
Problemas de repaso 20.115 Un balón de fútbol americano se lanza con un movimiento espiral oscilante y un ángulo de nutación de 25°. Los 2 momentos de inercia del balón son Ixx Iyy # 0.003 slug-pie e Izz 0.001 slug-pie2. Si su razón de giro es f = 4 revoluciones por segundo, ¿cuál es su magnitud de la razón de precesión (la razón a la que oscila el balón)? 20.116 Dibuje los conos de cuerpo y espacial para el movimiento del balón de fútbol americano del problema 20.115. z 25
547
20.118 Los momentos de inercia principales en slug-pie2 del avión mostrado son Ixx 8000, Iyy 48,000 e Izz 50,000. (a) El avión parte de la posición de referencia mostrada y maniobra con la orientación c u f 45°. Dibuje un esquema que muestre la orientación del avión relativa al sistema XYZ. (b) Si el avión está con la orientación descrita en el inciso a), de cambio# de los ángulos de Euler son # las razones # c = 0, u = 0.2 rad/s, y f = 0.2 rad/s, y las segundas derivadas de los ángulos respecto al tiempo son cero, ¿cuáles son las componentes del momento total respecto al centro de masa del avión? 20.119 ¿Cuáles son las componentes x, y y z de la aceleración angular del avión descrito en el problema 20.118?
Z
20.120 Si la orientación del avión del problema 20.118 es c 45°, u 60°# y f # 45°, las razones# de cambio de los ángulos de Euler son c = 0, u = 0.2 rad/s,y f = 0.1 rad/s, y las componentes del momento total respecto al centro de masa son ©Mx 400 lb-pie, ©My 1200 lb-pie y ©Mz 0, ¿cuáles son las componentes x, y y z de la aceleración angular del avión?
Problemas 20.115/20.116 Z, z X, x
20.117 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en la figura es de 1 kg. Para el sistema de coordenadas mostrado, determine los momentos de inercia principales y las direcciones de los vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. y 160 mm
Problemas 20.118–20.120 160 mm
160 mm x
O 400 mm z
Problema 20.117
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CAPÍTULO
21 Vibraciones Las vibraciones han sido del interés de la ingeniería desde el principio de la Revolución Industrial. Empezando con el desarrollo de dispositivos electromecánicos capaces de crear y medir vibraciones mecánicas, las aplicaciones en ingeniería de las vibraciones han incluido las diversas áreas de la acústica, desde la acústica arquitectónica hasta la detección y análisis de sismos. En este capítulo se consideran sistemas vibratorios de un grado de libertad, es decir, en los que la posición o configuración de cada sistema se especifica con una sola variable. Los conceptos fundamentales que se presentan, incluyendo la amplitud, la frecuencia, el periodo, el amortiguamiento y la resonancia, también se usan en el análisis de sistemas con múltiples grados de libertad.
Los sismos —vibraciones naturales de la Tierra— representan un gran desafío para el análisis y el diseño en ingeniería. En este capítulo se analizan las vibraciones de sistemas mecánicos simples.
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550
Capítulo 21 Vibraciones
21.1 Sistemas conservativos ANTECEDENTES Se inicia con la presentación de diferentes ejemplos de sistemas con un grado de libertad, sometidos a fuerzas conservativas, y se demuestra que sus movimientos pueden describirse mediante la misma ecuación diferencial. Después se examinan soluciones de esta ecuación y se utilizan para describir las vibraciones de sistemas conservativos con un grado de libertad.
x k
(a)
Ejemplos
x kx mg N (b)
El sistema oscilatorio masa-resorte (figura 21.1a) es el ejemplo más sencillo de un sistema vibratorio con un grado de libertad. Una sola coordenada x que mide el desplazamiento de la masa respecto a un punto de referencia es suficiente para especificar la posición del sistema. En la figura 21.1b se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la masa ignorando la fricción y suponiendo que el resorte está sin estirar cuando x = 0. Aplicando la segunda ley de Newton, se puede escribir la ecuación del movimiento horizontal de la masa como
d 2x k + x = 0. m dt 2
(21.1)
k
Esta ecuación puede obtenerse usando un método diferente que resulta muy útil. La única fuerza que realiza trabajo sobre la masa, la fuerza ejercida por el resorte, es conservativa, lo que significa que la suma de las energías cinética y potencial es constante: x
dx 2 1 m a b + 21 kx 2 = constant. constante. 2 dt (c)
Figura 21.1 (a) El sistema oscilatorio masa-resorte tiene un grado de libertad. (b) Diagrama de cuerpo libre de la masa. (c) Masa suspendida.
Derivando esta ecuación respecto al tiempo, el resultado puede escribirse como
a
k dx d 2x b a 2 + x b = 0, m dt dt
obteniendo de nuevo la ecuación (21.1). Suponga que la masa está suspendida del resorte, como se muestra en la figura 21.1c, y que experimenta un movimiento vertical. Si el resorte está sin estirar cuando x = 0, resulta fácil confirmar que la ecuación del movimiento es
k d 2x + x = g. m dt 2 Si la masa suspendida está en reposo, la magnitud de la fuerza ejercida por el resorte debe ser igual al peso 1kx = mg2, por lo que la posición de equilibrio es x = mg>k (observe que también se puede determinar la posición de equilibrio igualando a cero la aceleración en la ecuación de movimiento). Se introducirá una nueva variable 苲 x que mida la posición de la masa respecto a su posición de equilibrio: 苲 x = x - mg>k. Escribiendo la ecuación de movimiento en términos de esta variable, se obtiene
www.FreeLibros.org ~ d 2x k~ + x = 0, 2 m dt
(21.2)
21.1 Sistemas conservativos
que es idéntica a la ecuación (21.1). El movimiento vertical de la masa de la figura 21.1c respecto a su posición de equilibrio está descrito por la misma ecuación que describe el movimiento horizontal de la masa en la figura 21.1a respecto a su posición de equilibrio. Ahora se considerará un sistema diferente con un-grado-de-libertad. Si se gira la barra de la figura 21.2a a través de cierto ángulo y se suelta, oscilará de un lado a otro (un objeto que oscila desde un punto fijo se llama péndulo). Existe un solo grado de libertad, puesto que u especifica la posición de la barra. Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la barra (figura 21.2b) y escribiendo la ecuación del movimiento angular respecto a A, se obtiene
551
A
u
(a)
3g d 2u sen u = 0. + sin 2 2l dt
(21.3)
Ay Ax
Esta ecuación también puede obtenerse usando la conservación de la energía. La 1 energía cinética de la barra es T = 2 IA1du>dt22. Si se coloca el nivel de referencia en el plano del punto A (figura 21.2b), la energía potencial asociada con el 1 peso de la barra es V = - mg A 2 l cos u B , por lo que
T + V =
A
1 1 2 2 3 ml
Ba
du 2 constante. b - 21 mgl cos u = constant. dt
1 l 2
mg
Derivando esta ecuación respecto al tiempo y escribiendo el resultado en la forma
a
Nivel de referencia
3g du d 2u sen sin u b = 0, ba 2 + dt 2l dt
(b)
Figura 21.2 (a) Péndulo formado por una barra delgada. (b) Diagrama de cuerpo libre de la barra.
se obtiene la ecuación (21.3). Observe que la ecuación (21.3) no tiene la misma forma que la ecuación (21.1). Sin embargo, si se expresa sen u en términos de series de Taylor, sen sin u = u -
1 6
u3 +
1 5 120 u
+ Á,
y se supone que u permanece suficientemente pequeño como para aproximar sen u mediante u, entonces la ecuación (21.3) se vuelve idéntica en forma a la ecuación (21.1):
3g d 2u + u = 0. 2l dt 2
(21.4)
Los análisis realizados para el sistema oscilatorio masa-resorte y el péndulo produjeron ecuaciones de movimiento idénticas en forma. Para lograr esto en el caso del oscilador masa-resorte, se tuvo que expresar la ecuación del movimiento en términos del desplazamiento relativo a la posición de equilibrio. En el caso del péndulo, fue necesario suponer que las amplitudes eran pequeñas. Pero dentro de esas restricciones, la forma de ecuación obtenida describe los movimientos de muchos sistemas conservativos con un-grado-de-libertad.
Soluciones Considere la ecuación diferencial
www.FreeLibros.org d 2x + v 2x = 0, dt 2
(21.5)
552
Capítulo 21 Vibraciones
donde v es una constante. Se vio que con v2 = k>m, esta ecuación describe el movimiento de un sistema oscilatorio masa-resorte, y con v2 = 3g>2l, describe los pequeños movimientos de una barra delgada suspendida. La ecuación (21.5) es una ecuación diferencial ordinaria porque se expresa en términos de derivadas ordinarias (no parciales) de la variable dependiente x con respecto a la variable independiente t. Asimismo, la ecuación (21.5) es lineal, lo que significa que no contiene términos no lineales de x o de sus derivadas, y es homogénea, pues cada término contiene a x o a una de sus derivadas. Finalmente, la ecuación (21.5) tiene coeficientes constantes, es decir que los coeficientes que multiplican a la variable dependiente x o a su derivada en cada término no dependen de la variable independiente t. El método más común para resolver una ecuación diferencial de este tipo consiste en suponer que la solución es de la forma x = Celt,
(21.6)
donde C y l son constantes. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (21.5) se obtiene Celt1l2 + v22 = 0. Esta ecuación se satisface para cualquier valor de la constante C si l = iv o l = -iv, donde i = 2 -1, por lo que existen dos soluciones no triviales con la forma de la ecuación (21.6), que se escribe como x = Ceivt + De-ivt.
(21.7)
Usando la identidad de Euler eiu = cos u + i sen u, la ecuación (21.7) puede expresarse en la forma alternativa x = A sen vt + B cos vt,
(21.8)
donde A y B son constantes arbitrarias. Aunque en problemas prácticos la ecuación (21.8) es a menudo la forma más conveniente de la solución de la ecuación (21.5), las propiedades de la solución se pueden describir con mayor facilidad al expresarla en la forma alternativa x = E sen 1vt - f 2,
(21.9)
donde E y f son constantes. Para demostrar que esta solución es equivalente a la ecuación (21.8), se usa la identidad E sen (vt - f) = E(sen vt cos f - cos vt sen f) = (E cos f) sen vt + (-E sen f) cos vt. Esta expresión es idéntica a la ecuación (21.8) si las constantes A y B están relacionadas con E y f mediante
www.FreeLibros.org A = E cos f, y B = -E sen f.
(21.10)
21.1 Sistemas conservativos
553
x
E f vt
Figura 21.3 Gráfica de x en función de vt.
La ecuación (21.9) demuestra claramente la naturaleza oscilatoria de la solución de la ecuación (21.5). Llamada movimiento armónico simple, describe una función sinusoidal de vt (figura 21.3). La constante positiva E se llama amplitud de la vibración. Elevando al cuadrado las ecuaciones (21.10) y sumándolas se obtiene una relación entre la amplitud y las constantes A y B:
E = 2A2 + B2.
(21.11)
La ecuación (21.9) puede interpretarse en términos del movimiento uniforme de un punto a lo largo de una trayectoria circular. Se dibuja un círculo cuyo radio es igual a la amplitud (figura 21.4) y se supone que la línea que une a O y a P gira en sentido contrario al de las manecillas del reloj con velocidad angular constante v. Si se elige la posición de P en t = 0 como se indica, la proyección de la línea OP sobre el eje vertical es E sen1vt - f 2. Así, existe una correspondencia uno-a-uno entre el movimiento circular de P y la ecuación (21.9). El punto P realiza una revolución completa, o ciclo, durante el tiempo requerido para que el ángulo vt crezca 2p radianes. El tiempo t = 2p>v requerido para un ciclo se llama periodo de la vibración. Como t es el tiempo requerido para un ciclo, su inverso f = 1>t es el número de ciclos por unidad de tiempo, o frecuencia de la vibración. La fre-
x
P E f O
vt f
vt
Posición de P en t 0
www.FreeLibros.org Figura 21.4 Correspondencia del movimiento armónico simple con el movimiento circular de un punto.
554
Capítulo 21 Vibraciones t1 t2 t3 t4 f1 f2 f3 f4
x
3
1 2
4
vt
Figura 21.5 Efecto de incrementar el periodo (disminución de la frecuencia) del movimiento armónico simple.
cuencia suele expresarse en ciclos por segundo, o Hertz (Hz). En la figura 21.5 se ilustra el efecto de cambiar el periodo y la frecuencia. Se observa que el periodo y la frecuencia están dados por
t =
2p , v
(21.12)
f =
v . 2p
(21.13)
El periodo y la frecuencia de un sistema se determinan mediante sus propiedades físicas y no dependen de la forma funcional en la que se expresa su movimiento. La frecuencia f es el número de revoluciones que el punto P se mueve alrededor de la trayectoria circular de la figura 21.4 en un tiempo unitario, por lo que v = 2pf es el número de radianes por unidad de tiempo. Por lo tanto, v también es una medida de la frecuencia y se expresa en radianes por segundo (rad s). Suponga que la ecuación (21.9) describe el desplazamiento del sistema oscilatorio masa-resorte de la figura 21.1a, de modo que v2 = k/m. Entonces, la energía cinética de la masa es
T = 21 m a
dx 2 b = 21 mE2v2 cos21vt - f2, dt
(21.14)
y la energía potencial del resorte es
sin21vt - f2. V = 21 kx2 = 21 mE2v2 sen
(21.15) 1
La suma de las energías cinética y potencial, T + V = 2 mE2v2, es constante (figura 21.6). Cuando el sistema vibra, su energía total oscila entre energía cinética y energía potencial. Observe que la energía total es proporcional al cuadrado de la amplitud y al cuadrado de la frecuencia natural.
Cinética
Total
Potencial
0.5
Energía/
1 mE2v2 2
1
www.FreeLibros.org Figura 21.6 Energías cinética, potencial y total de un sistema oscilatorio masa-resorte.
0
0
1
2
3
4
5
6
vtf
21.1 Sistemas conservativos
555
RESULTADOS Se dice que un sistema tiene un grado de libertad si su posición, o configuración, puede especificarse sólo con una variable. Un sistema conservativo es aquel en el que las fuerzas que realizan trabajo son conservativas.
Si la configuración de un sistema conservativo se especifica sólo con una variable, su ecuación de movimiento puede obtenerse al evaluar la derivada con respecto al tiempo t de la suma de sus energías cinética y potencial T V constante.
d (T V) 0. dt
x k
El sistema oscilatorio masa-resorte es el ejemplo más sencillo de un sistema vibratorio con un grado de libertad.
Con v2 k/m, esta ecuación rige el desplazamiento de la masa de un sistema oscilatorio masa-resorte especto a su posición de equilibrio. Las vibraciones pequeñas de muchos sistemas conservativos con un-grado-de-libertad respecto a una posición de equilibrio están regidas por esta misma ecuación, con la constante v determinada por las características físicas del sistema.
d2x v2x 0. dt2
(21.5)
Formas alternativas de la solución general de la ecuación (21.5), donde A, B, E y f son constantes.
x A sen vt B cos vt, x E sen (vt f).
(21.8) (21.9)
Amplitud de la vibración descrita por las ecuaciones (21.8) y (21.9).
E A2 B2.
(21.11)
x
t
t
El periodo t de la vibración regida por la ecuación (21.5) es el tiempo requerido para una oscilación completa, o ciclo. La frecuencia f es el número de ciclos por unidad de tiempo. Un ciclo por segundo se denomina un Hertz (Hz). El término v 2pf también es una medida de la frecuencia y se expresa en rad/s.
2p , v v . f 2p
t
(21.12)
www.FreeLibros.org (21.13)
556
Capítulo 21 Vibraciones
Ejemplo activo 21.1
Vibración de un sistema conservativo con un-grado-de-libertad ( Relacionado con los problemas 21.1, 21.2) La polea mostrada tiene radio R y momento de inercia I. La masa m se desplaza hacia abajo desde su posición de equilibrio y se libera. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones resultantes del sistema?
R
k
m
Estrategia Con una sola coordenada que especifica la posición vertical de la masa se puede especificar la posición del sistema, por lo que se tiene un sistema con un grado de libertad. Si la ecuación de movimiento del sistema puede expresarse en la forma de la ecuación (21.5), es posible determinar la frecuencia de sus vibraciones a partir de la ecuación (21.13). Primero se obtendrá la ecuación de movimiento dibujando diagramas de cuerpo libre y aplicando las ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido. Después se demostrará cómo puede obtenerse usando la conservación de la energía. Determinación de la ecuación de movimiento aplicando las ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido. a Ay Ax
kx Nivel de x referencia
TC TC
mg
Sea x el desplazamiento hacia abajo de la masa respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar. TC es la tensión en el cable entre la masa y la polea. a es la aceleración angular de la polea en el sentido de las manecillas del reloj.
Despejando TC de la ecuación (2), sustituyendo el resultado en la ecuación (1) y usando la relación cinemática 1 d2x a R dt2 se obtiene la ecuación de movimiento del sistema en términos de x.
La segunda ley de Newton para la masa es mg TC m
d2x . dt2
(1)
La ecuación del movimiento angular de la polea es RTC R(kx) Ia.
(2)
d 2x
m R dt I
2
2
kx mg.
(3)
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21.1 Sistemas conservativos
557
Determinación de la ecuación de movimiento aplicando la conservación de la energía
Exprese la energía cinética total en términos de x. La velocidad angular v de la polea está relacionada con la velocidad de la masa por 1 dx . v R dt
Exprese la energía potencial total en términos de x. Se coloca el nivel de referencia para la energía potencial asociada con el peso de la masa en x 0.
Obtenga la ecuación de movimiento evaluando la derivada con respecto a t de la suma de las energías cinética y potencial T V constante.
1 dx 2 m 2 dt I 1 m 2 R 2
T
1 2 Iv 2 dx 2 . dt
V mgx
1 2 kx . 2
d dx dx I dx d2x 0: (T V) m 2 kx mg dt dt dt R dt dt2
d2x
m R dt I
2
2
kx mg.
(3)
Expresión de la ecuación de movimiento en términos del desplazamiento respecto a la posición de equilibrio.
Haciendo d2x/dt2 0 en la ecuación (3), se observa que la posición de equilibrio del sistema es x mg/k. Considere que una nueva variable x~ x mg/k denota el desplazamiento del sistema respecto a la posición de equilibrio y exprese la ecuación ~ (3) en términos de x.
La ecuación (4) es de la forma de la ecuación (21.5). La frecuencia de vibración del sistema está dada por la ecuación (21.13).
x d2~ v2~x 0, dt2 donde v2
f
v 2p
1 2p
k m
I R2
.
k m
(4)
I R2
(5)
.
Problema de práctica La masa m se desplaza hacia abajo a una distancia h de su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo en t = 0. Determine la posición de la masa respecto a su posición de equilibrio como una función del tiempo.
www.FreeLibros.org ~ = h cos vt. Respuesta: x
558
Capítulo 21 Vibraciones
Ejemplo 21.2
Frecuencia de un sistema ( Relacionado con los problemas 21.32, 21.33) El resorte unido a la barra delgada de masa m que se muestra en la figura está sin estirar cuando u = 0. Ignorando la fricción, determine la frecuencia de las vibraciones pequeñas que experimenta la barra respecto a su posición de equilibrio.
k
u
l
Estrategia El ángulo u especifica la posición de la barra, por lo que hay un grado de libertad. Se pueden expresar las energías cinética y potencial en términos de u y de su derivada respecto al tiempo y derivar respecto al tiempo la energía total para obtener la ecuación de movimiento. Solución La energía cinética de la barra es
T = 21 mv 2 + 21 Ia
du 2 b , dt 1 2 12 ml . La distancia desde el 1 masa es 2 l (figura a), por lo que
donde v es la velocidad del centro de masa e I = centro instantáneo de la barra hasta su centro de v = A 21 l B 1du>dt2, y la energía cinética es
T = 21 m c 21 la
du 2 bd + dt
1 2
1 a 12 ml 2 b a
du 2 du 2 b = 61 ml 2 a b . dt dt
Centro instantáneo
Alargamiento l l cos u
1 l 2 u
(a) Determinación de la velocidad del centro de masa, del alargamiento del resorte y de la altura del centro de masa sobre el nivel de referencia.
v
1 l cos u 2 Nivel de referencia
En términos de u, el alargamiento del resorte es l - l cos u. El plano de referencia para la energía potencial asociada con el peso se coloca en las parte baja de la barra (figura a), por lo que la energía potencial total es
V = mg A 21 l cos u B + 21 k1l - l cos u22. La suma de las energías cinética y potencial es constante:
T + V = 61 ml 2 a
du 2 b + 21 mgl cos u + 21 kl 211 - cos u2 2 = constante. dt
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21.1 Sistemas conservativos
559
Derivando esta ecuación respecto al tiempo, se obtiene la ecuación del movimiento: 2 1 2d u 3 ml 2
dt
- 21 mglsen u + kl 211 - cos u2 sen u = 0.
(1)
Para expresar esta ecuación en la forma de la ecuación (21.5), es necesario escribirla considerando oscilaciones pequeñas respecto a la posición de equilibrio. Sea ue el valor de u cuando la barra está en equilibrio. Haciendo d2u>dt2 = 0 en la ecuación (1), se encuentra que ue debe satisfacer la relación
cos ue = 1 ~
mg . 2kl
(2)
~
Se define u = u - ue, y se desarrolla sen u y cos u en series de Taylor en ~
términos de u
~ ~ sen u = sen1ue + u 2 = sen ue + cos ue u + Á , ~ ~ cos u = cos1ue + u 2 = cos ue - sen ue u + Á . ~
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), ignorando los términos en u de segundo orden y superiores, y usando la ecuación (2), se obtiene ~
d 2u ~ + v 2 u = 0, dt 2 donde
v2 =
3g mg a1 b. l 4kl
De la ecuación (21.13), la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la barra es
f =
3g mg v 1 a1 = b. 2p 2p B l 4kl
Razonamiento crítico Con este ejemplo se demuestra la ventaja de utilizar la conservación de la energía para obtener la ecuación de movimiento de un sistema conservativo con un grado de libertad. Se recomienda comprobar que también se puede obtener la ecuación de movimiento dibujando el diagrama de cuerpo libre de la barra y aplicando la segunda ley de Newton y la ecuación de movimiento angular. Sin embargo, ese procedimiento es considerablemente más complicado, en parte porque es necesario considerar las fuerzas normales ejercidas sobre los extremos de la barra. En este caso fue posible ignorar dichas fuerzas al aplicar la conservación de la energía debido a que no realizan trabajo sobre la barra.
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560
Capítulo 21 Vibraciones
Problemas 21.1 En el ejemplo activo 21.1, suponga que la polea tiene un radio R = 100 mm y su momento de inercia es I = 0.005 kg-m2. La masa m = 2 kg y la constante del resorte es k = 200 N/m. Si la masa se desplaza hacia abajo desde su posición de equilibrio y se suelta, ¿cuáles son el periodo y la frecuencia de la vibración resultante?
21.2 En el ejemplo activo 21.1, suponga que la polea tiene un radio R = 4 pulg y su momento de inercia es I = 0.06 slug-pie2. El objeto suspendido pesa 5 lb, y la constante del resorte es k = 10 lb/pie. El sistema está inicialmente en reposo. En t = 0, se le da al objeto suspendido una velocidad hacia abajo de 1 pie/s. Determine la posición del objeto suspendido respecto a su posición de equilibrio como una función del tiempo.
21.5 En la figura, la masa m = 4 kg y la constante del resorte es k = 64 N/m. Para la vibración del sistema oscilatorio masa-resorte respecto de su posición de equilibrio, determine a) la frecuencia en Hz y b) el periodo.
21.6 En la figura, la masa m = 4 kg y la constante del resorte es k = 64 N/m. El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0, x = 0 y la masa tiene una velocidad de 2 m/s hacia abajo sobre la superficie inclinada. ¿Cuál es el valor de x en t = 0.8 s?
k x
21.3 Se tiene la masa m = 4 kg. El resorte está sin estirar cuando x = 0. Se mide el periodo de vibración de la masa y se determina que es de 0.5 s. La masa se desplaza hasta la posición x = 0.1 m y se suelta desde el reposo en t = 0. Determine su posición en t = 0.4 s.
m 20
Problemas 21.5/21.6 21.4 Se tiene la masa m = 4 kg. El resorte está sin estirar cuando x = 0. Se mide la frecuencia de vibración de la masa y se determina que es de 6 Hz. La masa se desplaza hasta la posición x = 0.1 m y se le da una velocidad dx>dt = 5 m/s en t = 0. Determine la amplitud de la vibración resultante.
x k m
21.7 Suponga que en un curso de diseño mecánico se le pide diseñar un reloj de péndulo y usted inicia por el péndulo. La masa del disco es de 2 kg. Determine la longitud L de la barra para que el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo sea de 1 s. Para esta estimación preliminar, ignore la masa de la barra.
21.8 En la figura, la masa del disco es de 2 kg y la masa de la barra delgada es de 0.4 kg. Determine la longitud L de la barra para que el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo sea de 1 s. Estrategia: Dibuje una gráfica del valor del periodo para un intervalo de longitudes L a fin de estimar el valor de L correspondiente a un periodo de 1 s.
Problemas 21.3/21.4
L
50 mm
www.FreeLibros.org Problemas 21.7/21.8
Problemas 21.9 La constante del resorte mostrado es k = 785 N/m. El resorte está sin estirar cuando x = 0. Ignore la masa de la polea, es decir, suponga que la tensión en la cuerda es la misma en ambos lados de la polea. El sistema se suelta desde el reposo con x = 0. Determine x en función del tiempo. 21.10 La constante del resorte mostrado es k = 785 N/m. El resorte está sin estirar cuando x = 0. El radio de la polea es de 125 mm y el momento de inercia respecto a su eje es I = 0.05 kg-m2. El sistema se suelta desde el reposo con x = 0. Determine x en función del tiempo.
561
21.12 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m y el resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa de cada objeto es de 30 kg. La superficie inclinada es lisa. Ignore la masa de la polea. El sistema se suelta desde el reposo con x = 0. a) Determine la frecuencia y el periodo de la vibración resultante. b) ¿Cuál es el valor de x en t = 4 s? 21.13 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m, y el resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa de cada objeto es de 30 kg. La superficie inclinada es lisa. El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia I = 0.03 kg-m2. En t = 0, x = 0 y dx>dt = 1 m/s. a) Determine la frecuencia y el periodo de la vibración resultante. b) ¿Cuál es el valor de x en t = 4 s?
k 20 kg
4 kg
20
x
x k
Problemas 21.12/21.13
Problemas 21.9/21.10
21.11 Un saltador de bungee que pesa 160 lb salta desde un puente sobre un río. La cuerda del bungee tiene una longitud sin estirar de 60 pies, y se estira 40 pies adicionales antes de que el saltador rebote. Modele la cuerda como un resorte lineal. Cuando el movimiento del saltador está cerca de detenerse, ¿cuáles son el periodo y la frecuencia de sus oscilaciones verticales? (Durante la primera parte del movimiento no es posible modelar la cuerda como un resorte lineal. ¿Por qué no?)
21.14 El disco de 20 lb mostrado rueda sobre la superficie horizontal. Su radio es R = 6 pulg. Determine la constante k del resorte de manera que la frecuencia de vibración del sistema respecto a su posición de equilibrio sea f = 1 Hz. 21.15 El disco de 20 lb mostrado rueda sobre la superficie horizontal. Su radio es R = 6 pulg. La constante del resorte es k = 15 lb/pie. En t = 0, el resorte está sin estirar y el disco tiene una velocidad angular de 2 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones resultantes del centro del disco?
k
R
Problemas 21.14/21.15
www.FreeLibros.org Problema 21.11
562
Capítulo 21 Vibraciones
21.16 La barra de 2 lb que se muestra en la figura está articulada al disco de 5 lb. El disco rueda sobre la superficie circular. ¿Cuál es la frecuencia de las pequeñas vibraciones del sistema respecto a su posición de equilibrio vertical?
21.19 La placa rectangular delgada está unida al marco rectangular mostrado mediante pasadores. El marco gira con velocidad angular constante v0 = 6 rad/s. El ángulo b entre el eje z del sistema coordenado fijo al cuerpo y la vertical está regido por la ecuación d 2b dt 2
15 pulg 4 pulg
= - v 20 sen sin b cos b.
Determine la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la placa respecto a su posición horizontal. Estrategia: Escribiendo sen b y cos b en términos de sus series de Taylor y suponiendo que b es pequeño, demuestre que la ecuación que rige a b puede expresarse en la forma de la ecuación (21.5). 21.20 Considere el sistema descrito en el problema 21.19. En t = 0, el ángulo b = 0.01 rad y db>dt = 0. Determine b en función del tiempo.
Problema 21.16
z
21.17 La masa del objeto suspendido A es de 4 kg. La masa de la polea es de 2 kg y su momento de inercia es de 0.018 N-m2. La constante del resorte es k = 150 N/m. Para la vibración del sistema respecto a su posición de equilibrio, determine a) la frecuencia en Hz y b) el periodo.
b
v0
21.18 La masa del objeto suspendido A es de 4 kg. La masa de la polea es de 2 kg y su momento de inercia es de 0.018 N-m2. La constante del resorte es k = 150 N/m. El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0, el sistema se suelta desde el reposo con x = 0. ¿Cuál es la velocidad del objeto A en t = 1 s?
b
y
h
x k
Problemas 21.19/21.20
120 mm
A x
Problemas 21.17/21.18
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Problemas 21.21 Una barra delgada de masa m y longitud l está articulada a un soporte fijo. Un resorte torsional de constante k unido a la barra en el soporte está sin estirar cuando la barra se encuentra en posición vertical. Demuestre que la ecuación que rige las vibraciones pequeñas de la barra desde su posición vertical de equilibrio es d 2u
+ v 2 u = 0,
dt 2
where v2 = cuando
A k - 21 mgl B 1 2 3 ml
.
21.22* Las condiciones iniciales de la barra delgada del problema 21.21 son
21.23 Ciertos ingenieros usan el dispositivo mostrado para medir el momento de inercia de un astronauta. La tabla horizontal está articulada en O y soportada por el resorte horizontal con constante k = 12 kN/m. Cuando el astronauta no está presente, se mide la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la tabla respecto a O y se determina que es de 6.0 Hz. Cuando el astronauta está sobre la tabla como se muestra en la figura, la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la tabla respecto a O es de 2.8 Hz. ¿Cuál es el momento de inercia del astronauta respecto al eje z? 21.24 En el problema 21.23, el centro de masa del astronauta está en x = 1.01 m, y = 0.16 m, y su masa es de 81.6 kg. ¿Cuál es su momento de inercia respecto al eje z que pasa por su centro de masa? y
u = 0 # t = 0 c du = u 0. dt a) Si k 7
1 2 mgl,
y'
x'
demuestre que u está dada en función del
tiempo por u =
563
# A k - 21 mgl B u0 2 sin vt, where v = . cuando sen t, 1 2 v 3 ml
b) Si k 6 21 mgl, demuestre que u está dada en función del
tiempo por # A 21 mgl - k B u0 ht u = 1e - e-ht2, cuando where h2 = . 1 2h ml2 3
Estrategia: Para resolver el inciso b), busque una solución de la ecuación de movimiento de la forma x = Celt, donde C y l son constantes.
x
O 1.90 m
Problemas 21.23/21.24
21.25* Una boya flotante (dispositivo medidor del sonido) está en equilibrio en la posición vertical mostrada (su centro de masa está suficientemente bajo para mantenerse estable en esta posición). El dispositivo es un cilindro de 10 kg de 1 m de longitud y 125 mm de diámetro. La densidad del agua es de 1025 kg/m3, y la fuerza de flotación que soporta a la boya es igual al peso del agua que ocuparía el volumen de la parte del cilindro bajo la superficie. Si la boya se empuja ligeramente hacia abajo y se suelta, ¿cuál es la frecuencia de las vibraciones verticales resultantes?
u
k
Problemas 21.21/21.22 Problema 21.25
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564
Capítulo 21 Vibraciones
21.26 El disco mostrado gira en el plano horizontal con velocidad angular constante = 12 rad/s. La masa m = 2 kg se desliza en una ranura lisa del disco y está unida a un resorte con constante k = 860 N/m. La posición radial de la masa cuando el resorte no está estirado es r = 0.2 m. a) Determine la posición de “equilibrio” de la masa, es decir el valor de r en que la masa permanecerá en reposo respecto al centro del disco. b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de la masa respecto a su posición de equilibrio? Estrategia: Aplique la segunda ley de Nevton a la masa en términos de coordenadas polares.
21.28 Un disco homogéneo de 100 lb con radio R = 1 pie está unido a dos barras cilíndricas idénticas de acero de longitud L = 1 pie. La relación entre el momento M que ejerce una de las barras sobre el disco y el ángulo de giro u del disco es GJ u, L
M =
donde J es el momento polar de inercia de la sección transversal de la barra y G = 1.7 * 109 lb/pie2 es el módulo de cortante del acero. Determine el radio requerido de las barras si la frecuencia de las vibraciones rotacionales del disco debe ser de 10 Hz. u
21.27 El disco mostrado gira en el plano horizontal con velocidad angular constante = 12 rad/s. La masa m = 2 kg se desliza en una ranura lisa del disco y está unida a un resorte con constante k = 860 N/m. La posición radial de la masa cuando el resorte no está estirado es r = 0.2 m. En t = 0, la masa está en la posición r = 0.4 m y dr>dt = 0. Determine la posición r en función del tiempo.
R
V L
L
Problema 21.28
m k r
Problemas 21.26/21.27
21.29 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son IA = 0.025 kg-m2 e IB = 0.100 kg-m2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con constante k = 10 N-m/rad. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones angulares pequeñas de los engranes? 21.30 En t = 0, el resorte torsional del problema 21.29 está sin estirar y el engrane B tiene velocidad angular de 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la posición angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj del engrane B respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo.
200 mm A
B
140 mm
www.FreeLibros.org Problemas 21.29/21.30
Problemas 21.31 En la figura, cada barra delgada de 2 kg tiene 1 m de longitud. ¿Qué valores tienen el periodo y la frecuencia de las vibraciones pequeñas del sistema?
565
21.33* Las masas de la barra y el disco del problema 21.32 son m = 2 kg y md = 4 kg, respectivamente. Las dimensiones son l = 1 m y R = 0.28 m, y la constante del resorte es k = 70 N/m. a) Determine el ángulo ue con el que el sistema está en equilibrio. b) El sistema está en reposo en la posición de equilibrio cuando al disco se le imparte una velocidad angular de 0.1 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine u en función del tiempo. (Vea el ejemplo 21.2).
k
Problema 21.31 l
21.32* Las masas de la barra delgada y el disco homogéneo mostrados son m y md respectivamente. El resorte está sin estirar cuando u = 0. Suponga que el disco rueda sobre la superficie horizontal.
u
a) Demuestre que el movimiento está regido por la ecuación R
3md 3md 1 du 2 d2u sen a + cos2ub 2 sin u cos ua b 3 2m 2m dt dt g k - sen sin u + 11 - cos u2 sen sin u = 0. m 2l b) Si el sistema está en equilibrio en el ángulo u = ue y ~ u = u - ue, demuestre que la ecuación que rige las vibracio-
Problemas 21.32/21.33 21.34 En la figura, la masa de cada barra delgada es de 1 kg. Si la frecuencia de las vibraciones pequeñas del sistema es 0.935 Hz, ¿cuál es la masa del objeto A?
nes pequeñas respecto a la posición de equilibrio es a
~
3md 1 d2 u + cos2ue b 2 3 2m dt
+ c
280 mm
350 mm A
g k ~ 2 1cos ue - cos2ue + sen sin ue2 - cos ue d u = 0. m 2l
(Vea el ejemplo 21.2.)
350 mm
Problema 21.34 21.35* La barra delgada de 4 kg tiene una longitud de 2 m. Se mantiene en equilibrio en la posición u0 = 35° mediante un resorte torsional con constante k. El resorte está sin estirar cuando la barra se encuentra en posición vertical. Determine el periodo y la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la barra respecto a la posición de equilibrio mostrada.
u0
k
www.FreeLibros.org Problema 21.35
566
Capítulo 21 Vibraciones
21.2 Vibraciones amortiguadas ANTECEDENTES Si la masa de un sistema oscilatorio masa-resorte se desplaza y se libera, ésta no vibrará de manera indefinida. Su movimiento disminuirá y finalmente se detendrá debido a la fricción o a los mecanismos de amortiguamiento que actúan sobre el sistema. Estos mecanismos amortiguan o atenúan la vibración. En algunos casos, los ingenieros incluyen intencionalmente mecanismos amortiguadores en los sistemas vibratorios. Por ejemplo, los amortiguadores de los autos se diseñan para absorber vibraciones de la suspensión respecto al bastidor. En la sección previa se decidió ignorar el amortiguamiento y las soluciones que se obtuvieron describen sólo movimientos en periodos suficientemente breves para poder ignorar el amortiguamiento. Ahora se verá un método sencillo para modelar el amortiguamiento en sistemas vibratorios. El sistema oscilatorio masa-resorte de la figura 21.7a tiene un elemento amortiguador. El diagrama esquemático para el elemento amortiguador representa un pistón que se mueve en un cilindro con fluido viscoso. La fuerza requerida para alargar o acortar un elemento amortiguador se define como el producto de una constante c, llamada constante de amortiguamiento, y la razón de cambio de la longitud del elemento (figura 21.7b). Por lo tanto, la ecuación del movimiento de la masa es
-c
dx d 2x - kx = m 2 . dt dt
Definiendo v = 2k>m y d = c>2m, se puede escribir esta ecuación en la forma
d 2x dx + 2d + v 2x = 0. dt dt 2
(21.16)
Esta ecuación describe las vibraciones de muchos sistemas amortiguados con ungrado-de-libertad. La forma de su solución, y en consecuencia el carácter del comportamiento del sistema que describe la ecuación, depende de si la constante d es menor, igual o mayor que v. En las siguientes secciones se estudiarán estos casos.
Amortiguamiento subcrítico Si d v, se dice que el sistema está subcríticamente amortiguado. Suponiendo una solución de la forma
x = Celt
(21.17)
y sustituyéndola en la ecuación (21.16), se obtiene
l2 + 2dl + v2 = 0.
x
c
dx dt
x
c mg
kx
www.FreeLibros.org Figura 21.7 (a) Sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado. (b) Diagrama de cuerpo libre de la masa.
k
N
(a)
(b)
21.2 Vibraciones amortiguadas
567
Esta ecuación cuadrática produce dos valores para la constante l que se pueden escribir como
l = - d ; ivd, donde
vd = 2v2 - d2.
(21.18)
Debido a que se ha supuesto que d v, la constante vd es un número real. Las dos raíces para l proporcionan dos soluciones en la forma de la ecuación (21.17). La solución general resultante de la ecuación (21.16) es
x = e-dt1Ceivdt + De-ivdt2, donde C y D son constantes. Usando la identidad de Euler eiu = cos u + i sen u, se puede expresar la solución en la forma x = e-dt(A sen vdt + B cos vdt),
(21.19)
donde A y B son constantes. La ecuación (21.19) es el producto de una función exponencial decreciente en el tiempo por una expresión idéntica en forma a la solución que se obtuvo para un sistema sin amortiguamiento. La función exponencial describe el efecto esperado de amortiguamiento: la amplitud de la vibración se atenúa con el tiempo. El coeficiente d determina la razón con que disminuye la amplitud. El amortiguamiento tiene un efecto importante además de la atenuación. Como la parte oscilatoria de la solución es idéntica en forma a la ecuación (21.8), excepto que el término v es reemplazado por vd, se infiere de las ecuaciones (21.12) y (21.13) que el periodo y la frecuencia del sistema amortiguado son
td =
2p , vd
fd =
vd . 2p
(21.20)
De la ecuación (21.18), se observa que vd v, por lo que el periodo de vibración aumenta y su frecuencia disminuye como resultado del amortiguamiento subcrítico. A menudo, la razón de amortiguamiento se expresa en términos del decremento logarítmico d, que es el logaritmo natural de la razón de la amplitud en un tiempo t sobre la amplitud en un tiempo t + td. Como la amplitud es proporcional a e-dt, se puede obtener una relación sencilla entre el decremento logarítmico, el coeficiente d y el periodo:
d = ln c
e-dt
e-d1t + td2
d = dtd.
Amortiguamientos crítico y supercrítico Cuando d v, el carácter de la solución de la ecuación (21.16) es diferente del caso de amortiguamiento subcrítico. Suponga que d v. Cuando éste es el caso, se dice que el sistema está supercríticamente amortiguado. De nuevo se sustituye una solución de la forma x = Celt
(21.21)
www.FreeLibros.org en la ecuación (21.16) y se obtiene l2 + 2dl + v2 = 0.
(21.22)
568
Capítulo 21 Vibraciones
Las raíces de esta ecuación pueden escribirse como
l = - d ; h, donde
h = 2d2 - v2.
(21.23)
La solución general resultante de la ecuación (21.16) es
x = Ce-1d - h2t + De-1d + h2t,
(21.24)
donde C y D son constantes. Cuando d = v, se dice que el sistema está críticamente amortiguado. La constante h = 0, por lo que la ecuación (21.22) tiene una raíz repetida l = - d, y se obtiene sólo una solución de la forma (21.21). En este caso, se puede demostrar que la solución general de la ecuación (21.16) es
x = Ce-dt + Dte-dt,
(21.25)
(a)
(b)
(c)
(d)
Desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento
donde C y D son constantes. Las ecuaciones (21.24) y (21.25) indican que el movimiento del sistema no es oscilatorio cuando d v. Estas ecuaciones están expresadas en términos de funciones exponenciales y no contienen senos ni cosenos. La condición d = v define la cantidad mínima de amortiguamiento necesario para evitar un comportamiento oscilatorio, que es la razón por la que se le llama caso críticamente amortiguado. En la figura 21.8 se muestra el efecto de cantidades crecientes de amortiguamiento sobre el comportamiento de un sistema vibratorio. El concepto de amortiguamiento crítico tiene importantes implicaciones en el diseño de muchos sistemas. Por ejemplo, es deseable introducir suficiente amortiguamiento en la suspensión de un automóvil para que su movimiento no sea oscilatorio, aunque demasiado amortiguamiento haría muy “rígida” la suspensión.
d0 t
dv t
dv t
d v t
Figura 21.8 Historial de desplazamiento de un sistema vibratorio que (a) no está amortiguado, (b) está subcríticamente amortiguado, (c) está críticamente amortiguado y (d) supercríticamente amortiguado.
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21.2 Vibraciones amortiguadas
569
RESULTADOS
x c k
c
kx
dx dt
El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado es el ejemplo más sencillo de un sistema vibratorio amortiguado con un grado de libertad. El elemento de amortiguamiento ejerce una fuerza de resistencia que es proporcional a la velocidad de la masa.
x
mg N
Con v2 k/m y d c/2m, esta ecuación rige el desplazamiento de la masa de un sistema oscilatorio masaresorte amortiguado respecto a su posición de equilibrio. Las vibraciones pequeñas de muchos sistemas amortiguados con un-grado-de-libertad respecto a una posición de equilibrio están regidas por esta misma ecuación, donde las constantes v y d están determinadas por las características físicas del sistema.
dx d 2x 2d v2x 0. dt dt 2
(21.16)
x edt(A sen vdt B cos vdt),
(21.19)
Amortiguamiento subcrítico Cuando d v, se dice que el sistema está subcríticamente amortiguado. La solución general de la ecuación (21.6) es el producto de una función del tiempo exponencialmente decreciente por una expresión idéntica en forma a la solución general para un sistema sin amortiguamiento.
El periodo de vibración del sistema aumenta y la frecuencia disminuye como resultado de amortiguamiento subcrítico.
El decremento logarítmico, una medida de atenuación, es el logaritmo natural de la razón de la amplitud en el tiempo t sobre la amplitud en el tiempo t td.
donde vd v2 d2.
td
(21.18)
vd 2p , fd . 2p vd
(21.20)
www.FreeLibros.org d ln
e e
dt
d(t td)
dt . d
570
Capítulo 21 Vibraciones
Amortiguamiento crítico y supercrítico
x Ce(d h)t De(d h)t,
Cuando d v, se dice que el sistema está supercríticamente amortiguado. En este caso, la solución general de la ecuación (21.16) no presenta comportamiento oscilatorio.
donde h d2 v2.
Cuando d v, el sistema está críticamente amortiguado. Ésta es la cantidad mínima de amortiguamiento para la cual la solución de la ecuación (21.16) no presenta comportamiento oscilatorio.
Ejemplo activo 21.3
(21.23)
x Cedt Dtedt.
(21.24)
(21.25)
Sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado ( Relacionado con los problemas 21.36–21.38) El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado de la figura tiene masa m = 2 kg, constante de resorte k = 8 N/m y constante de amortiguamiento c = 1 N-s/m. En el tiempo t = 0, la masa se suelta desde reposo en la posición x = 0.1 m. Determine su posición en función del tiempo.
x c k
Estrategia La ecuación de movimiento para el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado está dada por la ecuación (21.16). Calculando los valores de v y d, se determinará si el amortiguamiento es subcrítico, crítico o supercrítico y en consecuencia se elegirá la forma apropiada de la solución. Después se pueden usar las condiciones iniciales para obtener la posición en función del tiempo.
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21.2 Vibraciones amortiguadas
571
Solución
v Evalúe v y d. El amortiguamiento es subcrítico. d
La solución general está dada por la ecuación (21.19) con
k m
8 N/m 2 rad/s, 2 kg
1 N-s/m c 0.25 rad/s. 2(2 kg) 2m
x edt(A sen vdt B cos vdt), e0.25t(A sen 1.98t B cos 1.98t).
vd v2 d2 1.98 rad/s.
En t 0, la posición de la masa es x 0.1 m y su velocidad es dx/dt 0. Use estas condiciones iniciales para despejar las constantes A y B. Al sustituir los resultados en la ecuación (1) se determina la posición de la masa en función del tiempo.
(1)
dx 0.25e0.25t(A sen 1.98t B cos 1.98t) dt 1.98e0.25t(A cos 1.98t B sen 1.98t).
(2)
Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecuaciones (1) y (2) y resolviendo se obtiene A 0.0126 m, B 0.1 m. La posición en función del tiempo es x e0.25t(0.0126 sen 1.98t 0.1 cos 1.98t) m.
La gráfica de la posición para los primeros 10 s de movimiento muestra claramente la atenuación de la amplitud.
x (m)
0.1
0
5
t (s) 10
0.1
Problema de práctica Suponga que el elemento de amortiguamiento del sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado se reemplaza con una constante de amortiguamiento c = 12 N-s/m. En el tiempo t = 0, la masa se suelta desde el reposo en la posición x = 0.1 m. Determine su posición en función del tiempo. Respuesta: x = 0.117e- 0.764t - 0.0171e- 5.24t m.
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572
Capítulo 21 Vibraciones
Movimiento de un sistema amortiguado ( Relacionado con los problemas 21.53, 21.54)
Ejemplo 21.4
c
k
La masa del carrete que se muestra en la figura es m = 20 kg, su radio R = 0.3 m 1 y su momento de inercia es I = 2 mR2. La constante del resorte es k = 60 N/m y la constante de amortiguamiento es c = 24 N-s/m. Determine la posición del centro del disco en función del tiempo si el disco se suelta desde el reposo con el resorte sin estirar. Estrategia Se obtendrá la ecuación de movimiento para el disco dibujando su diagrama de cuerpo libre y usando la segunda ley de Newton y la ecuación del movimiento angular. Si la ecuación resultante puede expresarse en la forma de la ecuación (21.16), este movimiento se puede analizar usando el mismo método aplicado al sistema oscilatorio masa-resorte del ejemplo activo 21.3.
R 2R
Solución Sea x el desplazamiento hacia abajo del centro del disco respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar. De la posición del centro instantáneo del disco (figura a), se puede ver que la razón a la que el resorte se estira es 21dx>dt2 y la razón a la que el elemento de amortiguamiento se alarga es 31dx>dt2. Cuando el centro del disco se desplaza una distancia x, el alargamiento del resorte es 2x. En la figura b se dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco, donde se muestran las fuerzas ejercidas por el resorte, el elemento de amortiguamiento y la tensión en el cable. La segunda ley de Newton es x
mg - T - 2kx - 3c dx dt 2
dx dt 3
dx d2x = m 2, dt dt
y la ecuación del movimiento angular es
dx dt
RT - R12kx2 - 2R a3c
(a) Uso del centro instantáneo para determinar las relaciones entre las velocidades.
dx b = dt
A 21 mR2 B a.
La aceleración angular está relacionada con la aceleración del centro del disco por a = 1d2x>dt22>R. Eliminando T de la segunda ley de Newton y la ecuación de movimiento angular, se obtiene la ecuación de movimiento: T
2kx
3c
x R 2R mg
a
dx dt
dx 3 d2x m + 9c + 4kx = mg. 2 dt2 dt Igualando en esta ecuación d2x>dt2 y dx>dt con cero, se encuentra que la posición de equilibrio del disco es x = mg>4k. Expresando la ecuación del movimiento en términos de la posición del centro del disco respecto a su posición de equilibrio, ~ = x - mg>4k, se obtiene x
(b) Diagrama de cuerpo libre del disco.
www.FreeLibros.org ~ ~ 8k ~ d2 x 6c dx + a b x = 0. + a b 2 m dt 3m dt
21.2 Vibraciones amortiguadas
573
Esta ecuación es idéntica en forma a la ecuación (21.16), donde las constantes son
d =
1621242 6c = = 3.60 rad/s 2m 1221202
v =
1821602 8k = = 2.83 rad/s. A 3m B 1321202
y
El amortiguamiento es supercrítico 1d v2, por lo que el movimiento está descrito por la ecuación (21.24) con h = 2d2 - v2 = 2.23 rad/s: ~ = Ce-1d - h2t + De-1d + h2t = Ce-1.37t + De-5.83t. x
La velocidad es ~ dx = - 1.37Ce-1.37t - 5.83De-5.83t. dt ~ = - mg>4k = - 0.818 m y dx ~>dt = 0. De estas condiciones se En t = 0, x obtiene C = -1.069 m y D = 0.252 m, por lo que la posición del centro del disco respecto a su posición de equilibrio es ~ = - 1.069e-1.37t + 0.252e-5.83t m. x
En la siguiente gráfica se muestra la posición para los primeros cuatro segundos del movimiento. 0
~ x (m)
0.2 0.4 0.6 0.8 1 0
1
2
3
4
t (s)
Razonamiento crítico El disco de este ejemplo gira y su centro se mueve en dirección vertical. ¿Por qué es éste un sistema con un grado de libertad? Cuando el disco se mueve hacia abajo una distancia x, el disco gira a través de un ángulo u = x>R en el sentido de las manecillas del reloj. Por consiguiente, tanto la posición del centro del disco como su posición angular se especifican al expresar x. El sistema tiene un grado de libertad.
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574
Capítulo 21 Vibraciones
Problemas 21.36 En la figura, la masa m = 2 slug, la constante del resorte es k = 72 lb/pie, y la constante de amortiguamiento es c = 8 lbs/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa se desplaza hasta la posición x = 1 pie y se suelta desde el reposo. a) Si el amortiguamiento es subcrítico, ¿cuál es la frecuencia de las vibraciones amortiguadas resultantes? b) ¿Cuál es el valor de x en t = 1 s? (Vea el ejemplo activo 21.3). 21.37 En la figura, la masa m = 2 slug, la constante del resorte es k = 72 lb/pie, y la constante de amortiguamiento es c = 32 lb-s/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa se desplaza hasta la posición x = 1 pie y se suelta desde el reposo. a) Si el amortiguamiento es subcrítico, ¿cuál es la frecuencia de las vibraciones amortiguadas resultantes? b) ¿Cuál es el valor de x en t = 1 s? (Vea el ejemplo activo 21.3).
21.39 En la figura, la masa m = 2 kg, la constante del resorte es k = 8 N/m y el coeficiente de amortiguamiento es c = 12 N-s/m. El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0, la masa se suelta desde el reposo con x = 0. Determine el valor de x en t = 2 s. 21.40 En la figura, la masa m = 0.15 slugs, la constante del resorte es k = 0.5 lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento es c = 0.8 lb-s/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0, la masa se suelta desde el reposo con x = 0. Determine el valor de x en t = 2 s.
c x k m
21.38 En la figura, la masa m = 4 slug y la constante del resorte es k = 72 lb/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. a) ¿Cuál es el valor de la constante de amortiguamiento c que causa que el sistema esté críticamente amortiguado? b) Suponga que c tiene el valor determinado en el inciso a). En t = 0, x = 1 pie y dx>dt = 4 pies/s. ¿Cuál es el valor de x en t = 1 s? (Vea el ejemplo activo 21.3).
20
Problemas 21.39/21.40
x c m k
Problemas 21.36–21.38
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Problemas 21.41 Un automóvil de prueba de 2570 lb se mueve con velocidad v0 = 5 mi/h y choca contra una barrera rígida en t = 0. Como resultado del comportamiento de su parachoques-amortiguador, la respuesta del automóvil a la colisión puede simularse mediante el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en la figura con k = 8000 lb/pie y c = 3000 lb-s/pie. Suponga que la masa se mueve hacia la izquierda con velocidad v0 = 5 mi/h y que el resorte está sin estirar en t = 0. Determine la posición del automóvil a) en t = 0.04 s y b) en t = 0.08 s. 21.42 Un automóvil de prueba de 2570 lb se mueve con velocidad v0 = 5 mi/h y choca contra una barrera rígida en t = 0. Como resultado del comportamiento de su parachoques-amortiguador, la respuesta del automóvil a la colisión puede simularse mediante el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en la figura con k = 8000 lb/pie y c = 3000 lb-s/pie. Suponga que la masa se mueve hacia la izquierda con velocidad v0 = 5 mi/h y que el resorte está sin estirar en t = 0. Determine la desaceleración del automóvil a) inmediatamente después de hacer contacto con la barrera, b) en t = 0.04 s y c) en t = 0.08 s.
y
x Automóvil que choca contra una barrera rígida.
Resorte helicoidal x
x m
k
c
Amortiguador del impacto
Problema 21.43
a) ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la barra? b) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibración disminuya a la mitad de su valor inicial? 21.45 A la barra descrita en el problema 21.44 se le da un desplazamiento u = 2° y se suelta desde el reposo en t = 0. ¿Cuál es el valor de u (en grados) cuando t = 2 s?
y
c k
21.43 El movimiento de la suspensión de automóvil mostrada puede modelarse mediante un sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado con m = 36 kg, k = 22 kN/m, y c = 2.2 kN-s/m. Suponga que no existen fuerzas externas que actúen sobre la llanta y la rueda. En t = 0, el resorte está sin estirar y a la llanta y rueda se les da una velocidad dx>dt = 10 m/s. Determine la posición x en función del tiempo.
21.44 En la figura, la barra delgada de 4 kg tiene 2 m de longitud. La resistencia aerodinámica sobre la barra y la fricción en el soporte ejercen un momento resistente respecto al soporte de pasador con magnitud de 1.41du>dt2 N-m, donde du>dt es la velocidad angular en rad/s.
v0
v0
575
x Modelo de simulación
Problemas 21.41/21.42
u
Problemas 21.44/21.45
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576
Capítulo 21 Vibraciones
21.46 El radio de la polea mostrada es R = 100 mm y su momento de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg y la constante del resorte k = 135 N/m. El cable no se desliza respecto a la polea. La coordenada x mide el desplazamiento de la masa respecto a la posición en que el resorte está sin estirar. Determine x en función del tiempo si c = 60 N-s/m y el sistema se suelta desde el reposo con x = 0.
21.47 Para el sistema descrito en el problema 21.46, determine x en función del tiempo si c = 120 N-s/m y el sistema se suelta desde el reposo con x = 0.
21.48 Para el sistema descrito en el problema 21.46, escoja el valor de c de manera que el sistema sea críticamente amortiguado y determine x en función del tiempo si el sistema se suelta desde el reposo con x = 0.
21.49 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m, y el resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa de cada objeto es de 30 kg y la superficie inclinada es lisa. El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia es I = 0.03 kg-m2. Determine la frecuencia y el periodo de vibración del sistema respecto a su posición de equilibrio si a) c = 0 y b) c = 250 N-s/m. 21.50 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m, y el resorte está sin estirar cuando x = 0. La constante de amortiguamiento es la masa de cada objeto es de 30 kg y la superficie inclinada es lisa. El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia es I = 0.03 kg-m2. En t = 0, x = 0 y dx>dt = 1 m/s. ¿Cuál es el valor de x en t = 2 s?
c k
20
x
R
Problemas 21.49/21.50 m k
c
x
21.51 El disco homogéneo mostrado pesa 100 lb, su radio es R = 1 pie y rueda sobre la superficie plana. La constante del resorte es k = 100 lb/pie y la constante de amortiguamiento es c = 3 lb-s/pie. Determine la frecuencia de las vibraciones pequeñas del disco respecto a su posición de equilibrio.
Problemas 21.46–21.48 21.52 En el problema 21.51, el resorte está sin estirar en t = 0 y el disco tiene una velocidad angular horaria de 2 rad/s. ¿Cuál es la velocidad angular del disco cuando t = 3 s?
c R k
Problemas 21.51/21.52
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Problemas 21.53 El momento de inercia del carrete que se muestra en el ejemplo es I. Sea u el desplazamiento angular del disco respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar. Demuestre que la ecuación que rige a u es idéntica en forma a la ecuación (21.16), donde d =
R 2c 2I
y and
v2 =
4R 2k . I
577
21.55 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son IA = 0.025 kg-m2 e IB = 0.100 kg-m2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con la constante k = 10 N-m/rad. El cojinete que soporta al engrane B contiene un elemento amortiguador que ejerce un momento resistente sobre el engrane B de magnitud 21duB>dt2 N-m, donde duB>dt es la velocidad angular el engrane B en rad/s. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones pequeñas angulares de los engranes?
(Vea el ejemplo 21.4). 21.54 En el problema 21.53, el radio R = 250 mm, k = 150 N/m y el momento de inercia del disco es I = 2 kg-m2. a) ¿Qué valor de c hará que el sistema esté críticamente amortiguado? b) En t = 0, el resorte está sin estirar y la velocidad angular del disco es de 10 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine u en función del tiempo si el sistema está críticamente amortiguado.
21.56 En t = 0, el resorte torsional del problema 21.55 está sin estirar y el engrane B tiene una velocidad angular de 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la posición angular del engrane B en sentido contrario al de las manecillas del reloj, respecto a su posición de equilibrio y como una función del tiempo.
c) Usando el resultado del inciso b), determine el máximo desplazamiento angular resultante del disco y el tiempo en que ocurre. (Vea el ejemplo 21.4.) 200 mm u
A
B
140 mm 2R R
Problemas 21.55/21.56
c
k
21.57 Para el caso del movimiento críticamente amortiguado, confirme que la expresión x = Ce-dt + Dte-dt
Problemas 21.53/21.54
es una solución de la ecuación (21.16).
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578
Capítulo 21 Vibraciones
21.3 Vibraciones forzadas ANTECEDENTES El término vibraciones forzadas significa que fuerzas externas afectan las vibraciones de un sistema. Hasta ahora se ha analizado la vibración libre de sistemas, la vibración no afectada por fuerzas externas. Por ejemplo, durante un sismo, un edificio experimenta vibraciones forzadas inducidas por fuerzas oscilatorias ejercidas sobre su cimentación. Después de que el sismo cesa, el edificio vibra libremente hasta que su movimiento termina por amortiguamiento. El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado de la figura 21.9a está sometido a una fuerza horizontal F1t2 dependiente del tiempo. A partir del diagrama de cuerpo libre de la masa (figura 21.9b), su ecuación de movimiento es
F1t2 - kx - c
dx d2x = m 2. dt dt
Definiendo d = c>2m, v2 = k>m, y a1t2 = F1t2>m, se puede escribir esta ecuación en la forma
dx d 2x + 2d + v 2x = a1t2. dt dt 2
(21.26)
La expresión a1t2 se denomina función forzante de excitación. La ecuación (21.26) describe las vibraciones forzadas de muchos sistemas amortiguados con un grado de libertad. No es homogénea, porque la función forzante de excitación no contiene a x o a una de sus derivadas. Su solución general consta de dos partes, la solución homogénea y la solución particular:
x = xh + xp. La solución homogénea xh es la solución general de la ecuación (21.26) con el lado derecho igualado a cero. Por lo tanto, es la solución general para vibraciones libres, que se describieron en la sección 21.2. La solución particular xp es una solución que satisface a la ecuación (21.26). En las secciones siguientes se analizarán las soluciones particulares para dos tipos de funciones de excitación que ocurren con frecuencia en las aplicaciones.
x
c
c F(t)
dx dt
x F(t) mg
kx
k
N (a)
(b)
www.FreeLibros.org Figura 21.9 (a) Sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado sometido a una fuerza dependiente del tiempo. (b) Diagrama de cuerpo libre de la masa.
21.3 Vibraciones forzadas
579
Función forzante oscilatoria Las ruedas y ejes desbalanceados ejercen fuerzas que oscilan a sus frecuencias de rotación. Cuando las ruedas de un automóvil están desbalanceadas, ejercen fuerzas oscilatorias que causan vibraciones perceptibles para los pasajeros. Los ingenieros diseñan dispositivos electromecánicos que transforman corrientes oscilatorias en fuerzas oscilatorias para usarlas en pruebas de sistemas vibratorios. Sin embargo, la razón principal por la que este tipo de función de excitación resulta interesante, es que casi cualquiera de ellas puede representarse como una suma de funciones forzantes oscilatorias de excitación con diferentes frecuencias o un espectro continuo de frecuencias. Al estudiar el movimiento de un sistema vibratorio sometido a una función forzante oscilatoria, es posible determinar su respuesta en función de la frecuencia de la fuerza. Suponga que la función forzante de excitación es una función oscilatoria de la forma
sin v0 t + b0 cos v0 t, a1t2 = a0 sen
(21.27)
donde a0, b0, y la frecuencia circular v0 de la función forzante de excitación son constantes dadas. La solución particular de la ecuación (21.26) se puede obtener buscando una solución de la forma
xp = Ap sen sin v0 t + Bp cos v0 t,
(21.28)
donde Ap y Bp son constantes por determinar. Sustituyendo esta expresión y la ecuación (21.27) en la ecuación (21.26), se puede escribir el resultado como
1 - v20Ap - 2dv0 Bp + v2Ap - a02sin sen v0 t + 1 - v20Bp + 2dv0 Ap + v2Bp - b02cos v0 t = 0. Igualando los coeficientes de sen v0t y cos v0t a cero y despejando Ap y Bp, se obtiene
Ap =
1v2 - v202a0 + 2dv0 b0 1v2 - v2022 + 4d2v20
y
Bp =
- 2dv0 a0 + 1v2 - v202b0 1v2 - v2022 + 4d2v20
.
(21.29)
Al sustituir estos resultados en la ecuación (21.28) resulta la solución particular:
xp = c
1v2 - v202a0 + 2dv0 b0 1v2 - v2022 + 4d2v20
d sen sin v0 t
www.FreeLibros.org + c
- 2dv0 a0 + 1v2 - v202b0 1v2 - v2022 + 4d2v20
dcos v0 t.
(21.30)
580
Capítulo 21 Vibraciones
La amplitud de la solución particular es
Ep = 2A2p + B2p =
2a20 + b20
21v2 - v2022 + 4d2v20
.
(21.31)
En la sección 21.2 se mostró que la solución de la ecuación que describe la vibración libre de un sistema amortiguado se atenúa con el tiempo. Por esta razón, la solución particular para el movimiento de un sistema vibratorio amortiguado sujeto a una fuerza oscilatoria externa también se denomina solución de estado estable. El movimiento se aproxima a la solución de estado estable al aumentar el tiempo. (Vea el ejemplo 21.5). Para ilustrar los efectos del amortiguamiento y la frecuencia de la función forzante de excitación sobre la amplitud de la solución particular, en la figura 21.10 se dibuja la expresión adimensional v2Ep> 2a20 + b20 como función de v0>v para varios valores del parámetro d>v. Cuando no hay amortiguamiento 1d = 02, la amplitud de la solución particular tiende al infinito si la frecuencia circular v0 de la función de excitación tiende a la frecuencia v. Cuando el amortiguamiento es pequeño, la amplitud de la solución particular tiende a un valor máximo finito para un valor de v0, menor que v. La frecuencia a la que la amplitud de la solución particular es máxima se llama frecuencia de resonancia. (Vea el problema 21.67). El fenómeno de resonancia resulta familiar en la vida diaria. Por ejemplo, cuando la rueda de un automóvil está desbalanceada, se perciben las vibraciones resultantes cuando el automóvil se mueve a cierta velocidad. A esa velocidad, las ruedas giran a la frecuencia de resonancia de la suspensión del auto. La resonancia es de importancia práctica en muchas aplicaciones, puesto que las fuerzas oscilatorias relativamente pequeñas pueden ocasionar grandes amplitudes de vibración que generan daños o interfieren con el funcionamiento de un sistema. El ejemplo clásico es el de un pelotón de soldados marchando sobre un puente. Si el paso común del pelotón coincide con una de las frecuencias de resonancia del puente, éste se puede dañar aun cuando pueda soportar con seguridad el peso de los soldados cuando se encuentran en reposo.
4
d/v 0 0.2 0.4 0.6 1.0 3.0
2
v 2Ep
/
a20 b02
3
1
0
0
0.5
1
1.5
v 0/v
2
www.FreeLibros.org Figura 21.10 Amplitud de la solución particular (estado estable) basada en la frecuencia de la función forzante de excitación.
21.3 Vibraciones forzadas
581
Función forzante de excitación polinomial Suponga que la función forzante de excitación a1t2 de la ecuación (21.26) es una función polinomial del tiempo; es decir,
a1t2 = a0 + a1 t + a2 t2 + Á + aN tN, donde a0, a1, Á , aN son constantes dadas. Esta función de excitación es importante en las aplicaciones porque muchas funciones se pueden aproximar con polinomios en un intervalo dado de tiempo. En este caso, se obtiene la solución particular de la ecuación (21.26) buscando una solución de la misma forma, a saber,
xp = A0 + A1 t + A2 t2 + Á + AN tN,
(21.32)
donde A0, A1, A2, Á , AN son constantes por determinar. Por ejemplo, si a1t2 = a0 + a1 t, la ecuación (21.26) es
dx d 2x + 2d + v 2x = a0 + a1 t, dt dt 2
(21.33)
y se busca una solución particular de la forma xp = A0 + A1 t. Sustituyendo esta solución en la ecuación (21.33), se puede escribir la ecuación resultante como
12dA1 + v2A0 - a02 + 1v2A1 - a12t = 0.
Esta ecuación se puede satisfacer en un intervalo de tiempo sólo si
2dA1 + v2A0 - a0 = 0 y
v2A1 - a1 = 0.
Despejando A0 y A1, de estas dos ecuaciones se obtiene la solución particular:
xp =
a0 - 2da1>v2 + a1 t v2
.
www.FreeLibros.org Se puede comprobar que ésta es una solución particular sustituyéndola en la ecuación (21.33).
582
Capítulo 21 Vibraciones
RESULTADOS El término vibración forzada implica que existen fuerzas externas que afectan la vibración de un sistema.
x c F(t)
Sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado sujeto a una fuerza F(t) dependiente del tiempo.
k
Con v2 k/m, d c/2m y a(t) F(t)/m, esta ecuación rige el desplazamiento de la masa del sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado respecto a su posición de equilibrio. Las vibraciones pequeñas de muchos sistemas forzados con un grado de libertad respecto a una posición de equilibrio están regidos por la misma ecuación, con v y d constantes y la función forzante de excitación a(t) determinada por las características físicas del sistema y las fuerzas externas que actúan sobre él.
Una ecuación diferencial lineal homogénea consiste de términos que son lineales en la variable dependiente o sus derivadas. La ecuación (21.26) no es homogénea debido al término a(t). Su solución general consiste en la suma de la solución homogénea xh y la solución particular xp. La solución homogénea es la solución general de la ecuación (21.26) con el lado derecho igualado a cero, que se estudió en la sección 21.2. La solución particular es aquélla que satisface la ecuación (21.26).
dx d2x 2d v2x a(t). 2 dt dt
(21.26)
x xh xp.
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21.3 Vibraciones forzadas
583
Solución particular para una función forzante oscilatoria
Solución particular de la ecuación (21.26) si la función de excitación es una función forzante oscilatoria de la forma a(t) a0 sen v0t b0 cos v0t, (21.27) donde a0, b0, y v0 son constantes.
xp
(v2 v20)a0 2dv0b0 (v2 v20)2 4d2v20
sen v0t
2dv0a0 (v2 v20)b0 cos v0t. (v2 v20)2 4d2v20
Amplitud de la vibración descrita por la ecuación (21.30).
Ep
a20 b20 (v2 v20)2 4d2v20
(21.30)
(21.31)
Solución particular para una función forzante polinomial
Solución particular de la ecuación (21.26) si la función forzante es una función polinomial de la forma a(t) a0 a1t a2t 2 aNt N .
xp A0 A1t A2t 2 AN t N .
(21.32)
donde a0, a1 y aN son constantes. Las constantes A0, A1, ... , AN deben determinarse sustituyendo la ecuación (21.23) en la ecuación (21.26).
Solución particular de la ecuación (21.26) si la función forzante de excitación es el polinomio a(t) a0 a1t.
xp
a0 2da1 / v2 a1t v2
.
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584
Capítulo 21 Vibraciones
Ejemplo activo 21.5
Función forzante oscilatoria ( Relacionado con el problema 21.61) Una ingeniera que diseña un sistema aislante de vibraciones para la consola de un instrumento modela ésta y el sistema de aislamiento como el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado de la figura con masa m = 2 kg, constante de resorte k = 8 N/m y constante de amortiguamiento c = 1 N-s/m. Para determinar la respuesta del sistema a vibraciones externas, se supone que la masa está inicialmente en reposo y que en t = 0 se aplica a la masa una fuerza F1t2 = 20 sen 4t N. Determine la posición de la masa en función del tiempo.
x c F(t) k
Estrategia La función de excitación es a1t2 = F1t2>m = 10 sen 4t m/s2, que tiene la forma de la ecuación (21.27). La solución particular puede obtenerse a partir de la ecuación (21.30). También se debe determinar si el amortiguamiento es subcrítico, crítico o supercrítico y escoger la forma apropiada de la solución homogénea. Después pueden usarse las condiciones iniciales para determinar las constantes desconocidas en la solución homogénea, con lo que se completa la solución.
Solución
La función de excitación tiene la forma de la ecuación (21.27) con a0 10 m/s2, b0 0, y v0 4 rad/s. Las constantes v k/m 2 rad/s y d c/ 2m = 0.25 rad/s.
xp 0.811 sen 4t 0.135 cos 4t
Sustituyendo estos valores en la ecuación (21.30) se obtiene la solución particular.
Como d v, el sistema está subcríticamente amortiguado. El término vd v2 d2 1.98 rad/s. La
xh e0.25t(A sen 1.98t B cos 1.98t).
solución homogénea está dada por la ecuación (21.19).
La solución completa es la suma de las soluciones homogénea y particular.
x xh xp e0.25t(A sen 1.98t B cos 1.98t) 0.811 sen 4t 0.135 cos 4t.
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21.3 Vibraciones forzadas
En t 0, x 0 y dx/dt 0. Usando estas condiciones para determinar las constantes A y B se obtiene la posición de la masa en función del tiempo.
585
x e0.25t(1.651 sen 1.98t 0.135 cos 1.98t) 0.811 sen 4t 0.135 cos 4t m.
2
x (m)
1
t (s)
0
10
15
20
25
1 2
Solución homogénea xh. 2 1
x (m)
La solución homogénea se atenúa con el tiempo, por lo que después de una fase inicial transitoria la solución completa tiende a la solución particular. Por esta razón, la solución particular resultante de una función forzante oscilatoria también se denomina solución de estado estable.
t (s)
0
25 1 2
Solución particular xp. 2
x (m)
1
t (s)
0
25 1 2
Solución total xh xp.
Problema de práctica ¿Cuál es la amplitud de la solución particular?
www.FreeLibros.org Respuesta: 0.822 m.
586
Capítulo 21 Vibraciones
Función de excitación polinomial ( Relacionado con el problema 21.63)
Ejemplo 21.6
El disco homogéneo mostrado tiene radio R = 2 m y masa m = 4 kg. La constante del resorte es k = 30 N/m. El disco está inicialmente en reposo en su posición de equilibrio y en t = 0 se aplica al centro del disco una fuerza hacia abajo F1t2 = 12 + 12t - 0.6t2 N. Determine la posición del centro del disco en función del tiempo.
k
Estrategia La fuerza F1t2 es un polinomio de segundo orden, por lo que se buscará una solución particular en la forma de un polinomio de segundo orden como el de la ecuación (21.32).
m x
R
F(t)
Solución Sea x el desplazamiento del centro del disco respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar. En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco, donde T es la tensión en el cable en el lado izquierdo del disco. A partir de la segunda ley de Newton,
F1t2 + mg - 2kx - T = m
T
2kx a
d 2x . dt 2
(1)
La aceleración angular del disco en el sentido de las manecillas del reloj está relacionada con la aceleración del centro del disco por a = 1d 2x>dt 22>R. Usando esta expresión, se puede escribir la ecuación del movimiento angular del disco como
©M = Ia: 1 d 2x 1 b. TR - 2kxR = a mR 2 b a 2 R dt 2 mg
F(t)
(a) Diagrama de cuerpo libre del disco.
Despejando T de esta ecuación y sustituyendo el resultado en la ecuación (1), se obtiene la ecuación de movimiento:
3 d 2x m + 4kx = F1t2 + mg. 2 dt 2
(2)
Haciendo d 2x>dt 2 = 0 y F1t2 = 0 en esta ecuación, se encuentra que la posición de equilibrio del disco es x = mg>4k. En términos de la posición del centro del ~ = x - mg>4k, la ecuación (2) es disco respecto a su posición de equilibrio x ~ 8k ~ 2F1t2 d 2x + x = . 2 3m 3m dt
Esta ecuación es idéntica en forma a la ecuación (21.26). Sustituyendo los valores de k y m y la función polinomial F1t2, se obtiene ~ d 2x ~ = 2 + 2t - 0.1t 2. + 20x dt 2
(3)
Comparando esta ecuación con la ecuación (21.26), se observa que d = 0 (no hay amortiguamiento) y v2 = 20 (rad/s)2. De la ecuación (21.19), la solución homogénea es
www.FreeLibros.org ~ = A sen 4.472t + B cos 4.472t. x h
21.3 Vibraciones forzadas
587
Para obtener la solución particular, se busca una solución en la forma de un polinomio del mismo orden que F1t2. Es decir ~ = A + A t + A t2, x p 0 1 2
donde A0, A1 y A2 son constantes que se deben determinar. Se sustituye esta expresión en la ecuación (3) y se agrupan los términos de igual potencia en t:
12A2 + 20A0 - 22 + 120A1 - 22t + 120A2 + 0.12t2 = 0. Esta ecuación se satisface si los coeficientes que multiplican a cada potencia igual de t se igualan a cero, de donde resulta
2A2 + 20A0 = 2, 20A1 = 2, y
20A2 = - 0.1. Despejando A0, A1 y A2 de estas tres ecuaciones, se obtiene la solución particular: ~ = 0.101 + 0.100t - 0.005t2. x p
La solución completa es ~ = x ~ + x ~ x h p
= A sen 4.472t + B cos 4.472t + 0.101 + 0.100t - 0.005t2.
~ = 0 y dx ~>dt = 0. Usando estas condiciones para determinar A En t = 0, x y B, se obtiene la posición del centro del disco (en metros) como una función del tiempo: ~ = - 0.022 sen 4.472t - 0.101 cos 4.472t + 0.101 + 0.100t - 0.005t2. x
En la gráfica se muestra la posición para los primeros 25 segundos de movimiento. La solución homogénea oscilatoria no amortiguada se presenta superpuesta a la solución particular que varía con lentitud.
~ x (m)
1
0
5
10
15
20
25
t (s)
1
Razonamiento crítico Por lo general, las funciones de excitación que surgen en las aplicaciones de ingeniería pueden expresarse como una serie de Taylor o pueden aproximarse mediante una serie de potencias sobre cierto intervalo de tiempo. Cuando se da ese caso, es posible analizar la respuesta del sistema durante dicho intervalo de tiempo mediante el método usado en este ejemplo.
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588
Capítulo 21 Vibraciones
Ejemplo 21.7 xi
Transductores de desplazamiento ( Relacionado con el problema 21.70–21.73) x
c m
k
Para medir el desplazamiento de un objeto se puede usar un sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado, o algún dispositivo que pueda modelarse de esta forma oscilatorio masa-resorte amortiguado. Suponga que la base del sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en la figura está unida a un objeto y que la coordenada xi es un desplazamiento que debe medirse respecto a un marco de referencia inercial. La coordenada x mide el desplazamiento de la masa respecto a la base. Cuando x = 0, el resorte está sin estirar. Suponga que el sistema está inicialmente en reposo y que en t = 0 la base experimenta el movimiento oscilatorio
xi = ai sen vi t + bi cos v i t.
(1)
Si m 2 kg, k 8 N/m, c 4 N-s/m, ai 0.1 m, bi 0.1 m y vi 10 rad/s, ¿cuál es la amplitud de estado estable resultante del desplazamiento de la masa respecto a la base? Estrategia Es necesario obtener la ecuación de movimiento para la masa tomando en cuenta el efecto de la base oscilatoria. Para hacer esto, se debe escribir la segunda ley de Newton en términos de la aceleración de la masa respecto al marco de referencia inercial. Solución La aceleración de la masa respecto a la base es d 2x>dt 2, por lo que su aceleración respecto al marco de referencia inercial es 1d 2x>dt 22 + 1d 2xi>dt 22. La segunda ley de Newton para la masa es
d 2xi dx d 2x b. - kx = ma 2 + dt dt dt 2 Esta ecuación puede escribirse como -c
dx d 2x + 2d + v 2x = a1t2, 2 dt dt donde d = c>2m = 1 rad/s, v = 2k>m = 2 rad/s, y la función
a1t2 = -
d 2xi dt 2
= aiv2i sen vi t + biv2i cos vi t.
(2)
Así, se obtiene una ecuación de movimiento idéntica en forma a la del sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado sujeto a una fuerza oscilatoria. Comparando la ecuación (2) con la ecuación (21.27) se puede obtener la amplitud de la solución particular (estado estable) a partir de la ecuación (21.31) haciendo a0 = aiv2i , b0 = biv2i , y v0 = vi:
Ep =
v2i 2a2i + b2i
21v2 - v2i 22 + 4d2v2i
.
(3)
Por lo tanto, la amplitud de estado estable del desplazamiento de la masa respecto a su base es
11022 210.122 + 10.122
www.FreeLibros.org Ep =
231222 - 1102242 + 4112211022
= 0.144 m.
Problemas
589
Problemas 21.58 En la figura, la masa m = 2 slug y la constante del resorte tiene el valor k = 72 lb/pie. El resorte no está estirado cuando x = 0. La masa está inicialmente en reposo con el resorte sin estirar y en t = 0 se aplica la fuerza F1t2 = 10 sen 4t lb sobre la masa. ¿Cuál es la posición de la masa en t = 2 s?
21.59 En la figura, la masa m = 2 slug y la constante del resorte es k = 72 lb/pie. El resorte no está estirado cuando x = 0. En t = 0, x = 1 pie, dx>dt = 1 pie/s, y se aplica la fuerza F1t2 = 10 sen 4t + 10 cos 4t lb sobre la masa. ¿Cuál es la posición de la masa en t = 2 s?
21.62 El disco mostrado con momento de inercia I = 3 kg-m2 gira respecto a un eje fijo y está conectado a un resorte torsional con constante k = 20 N-m/rad. En t = 0, el ángulo u = 0, la velocidad angular es du>dt = 4 rad/s y el disco está sometido a un par M1t2 = 10 sen 2t N-m. Determine u en función del tiempo.
u
k
M(t)
x k F(t)
m
Problema 21.62 Problemas 21.58/21.59
21.60 El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en la figura está inicialmente en reposo con el resorte sin estirar. En t = 0 se aplica una fuerza constante F1t2 = 6 N sobre la masa. a) ¿Cuál es la solución (particular) de estado estable?
21.63 El carrete de la figura pesa 20 lb y su momento de inercia es I = 0.6 slug-pie2. Rueda sobre la superficie horizontal. El carrete está inicialmente en reposo con el resorte sin estirar y en t = 0 se le aplica una fuerza constante F = 10 lb como se muestra. Determine la posición del centro del carrete en función del tiempo. (Vea el ejemplo 21.6).
b) Determine la posición de la masa en función del tiempo. F
21.61 El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en la figura está inicialmente en reposo con el resorte sin estirar. En t = 0 se aplica una fuerza F1t2 = 6 cos 1.6t N sobre la masa.
16 lb/pie
16 pulg
8 lb-s/pie 8 pulg
a) ¿Cuál es la solución (particular) de estado estable? b) Determine la posición de la masa en función del tiempo. (Vea el ejemplo activo 21.5). Problema 21.63 x 12 N/m F(t) 6 N-s/m
3 kg
Problemas 21.60/21.61
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590
Capítulo 21 Vibraciones
21.64* Un motor eléctrico está atornillado a una mesa. Cuando el motor está encendido, la parte superior de la mesa vibra horizontalmente. Suponga que las patas de la mesa se comportan como resortes lineales e ignore el amortiguamiento. El peso total del motor y la mesa es de 150 lb. Cuando el motor está apagado, la frecuencia de la vibración horizontal de la mesa y el motor es de 5 Hz. Cuando el motor está girando a 600 rpm, la amplitud de la vibración horizontal es de 0.01 pulg. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza oscilatoria ejercida sobre la mesa por el motor a esta velocidad?
21.66* Un cilindro de 1.5 kg está montado sobre una barra en un túnel de viento con su eje transversal a la dirección del flujo. Cuando no hay flujo, una fuerza vertical de 10 N aplicada al cilindro lo flexiona 0.15 mm. Cuando fluye aire en el túnel, los vórtices someten al cilindro a fuerzas laterales alternantes. La velocidad del aire es de 5 m/s, la distancia entre vórtices es de 80 mm y la magnitud de las fuerzas laterales es de 1 N. Si las fuerzas laterales se modelan mediante la función oscilatoria F1t2 = 11.02 sen v0t N, ¿cuál es la amplitud del movimiento lateral de estado estable del cilindro?
80 mm
Problema 21.64
Problema 21.66
21.65 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados son IA = 0.014 slug-pie2 e IB = 0.100 slug-pie2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con la constante k = 2 pies-lb/rad. El sistema está en equilibrio en t = 0 cuando se le somete a una fuerza oscilatoria F1t2 = 4 sen 3t lb. ¿Cuál es el desplazamiento hacia abajo del peso de 5 lb en función del tiempo?
21.67 Demuestre que la amplitud de la solución particular dada por la ecuación (21.31) es máxima cuando la frecuencia de la función de excitación oscilatoria es v0 = 2v 2 - 2d 2.
10 pulg 3 pulg
A
B
6 pulg
5 lb F(t)
Problema 21.65
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Problemas 21.68* Una boya acústica (dispositivo para medir el sonido) flota en un tanque. El dispositivo es un cilindro de masa m con área transversal A. La densidad del agua es r y la fuerza de flotación que soporta a la boya es igual al peso del agua que ocuparía el volumen de la parte del cilindro bajo la superficie. Cuando el agua del tanque está en reposo, la boya está en equilibrio en la posición vertical mostrada en la figura de la izquierda. Luego se generan olas en el tanque, ocasionando que la profundidad del agua en la posición de la boya respecto a su profundidad original sea d = d0 sen v0t. Sea y la posición vertical de la boya respecto a su posición original. Demuestre que la posición vertical está dada por la ecuación d 2y dt
2
+ a
21.72 Un equipo de estudiantes de ingeniería construye el sismógrafo sencillo que se muestra en la figura. La coordenada xi mide el movimiento local horizontal del suelo. La coordenada x mide la posición de la masa respecto al marco del sismógrafo. El resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa m = 1 kg, la constante del resorte k = 10 N/m y c = 2 N-s/m. Suponga que el sismógrafo está inicialmente en reposo y que en t = 0 se somete a un movimiento oscilatorio del suelo xi = 10 sen 2t mm. ¿Cuál es la amplitud de la respuesta de estado estable de la masa? (Vea el ejemplo 21.7).
21.73 En el problema 21.72, determine la posición x de la masa respecto a la base en función del tiempo. (Vea el ejemplo 21.7).
Arg Arg by = a bd0 sen sin v0 t. m m
21.69 Suponga que la masa de la boya en el problema 21.68 es m = 10 kg, su diámetro es de 125 mm y la densidad del agua es r = 1025 kg/m3. Si la profundidad del agua es d = 0.1 sen 2t m, ¿cuál es la magnitud de las vibraciones verticales de estado estable de la boya?
VISTA SUPERIOR
xi y
591
x
d k m c
VISTA LATERAL
Problemas 21.68/21.69 21.70 La masa mostrada pesa 50 lb. La constante del resorte es k = 200 lb/pie y c = 10 lb-s/pie. Si la base está sometida a un desplazamiento oscilatorio xi con amplitud de 10 pulg y frecuencia vi = 15 rad/s, ¿cuál es la amplitud resultante de estado estable del desplazamiento de la masa respecto a la base? (Vea el ejemplo 21.7).
Problemas 21.72/21.73
21.71 La masa mostrada es de 100 kg. La constante del resorte es k = 4 N/m y c = 24 N-s/m. La base está sometida a un desplazamiento oscilatorio de frecuencia vi = 0.2 rad/s. Se mide la amplitud de estado estable del desplazamiento de la masa respecto a la base y se determina que es de 200 mm. ¿Cuál es la amplitud del desplazamiento de la base? (Vea el ejemplo 21.7). xi
x c m k
www.FreeLibros.org Problemas 21.70/21.71
592
Capítulo 21 Vibraciones
Problemas de repaso 21.74 La coordenada x mide el desplazamiento de la masa respecto a la posición en que el resorte no está estirado. La masa tiene las siguientes condiciones iniciales: x = 0.1 m, t = 0 c dx = 0. dt
21.77 A fin de determinar los momentos de inercia de ciertos candidatos a astronauta, un ingeniero conecta la plataforma horizontal mostrada con una barra vertical de acero. El momento de inercia de la plataforma respecto a L es de 7.5 kg-m2, y la frecuencia de las oscilaciones torsionales de la plataforma descargada es de 1 Hz. Con un candidato a astronauta en la posición mostrada, la frecuencia de las oscilaciones torsionales es de 0.520 Hz. ¿Cuál es el momento de inercia del candidato respecto a L?
a) Determine la posición de la masa en función del tiempo. b) Dibuje gráficas de la posición y velocidad de la masa en función del tiempo para los primeros 5 s de movimiento.
L
21.75 Cuando t = 0, la masa mostrada se encuentra en la posición en que el resorte está sin estirar y tiene una velocidad de 0.3 m/s hacia la derecha. Determine la posición de la masa en función del tiempo y la amplitud de la vibración a) expresando la solución en la forma dada por la ecuación (21.8) y b) expresando la solución en la forma dada por la ecuación (21.9).
Problema 21.77
x 90 N/m 10 kg
Problemas 21.74/21.75 21.76 El disco homogéneo mostrado de masa m y radio R gira alrededor de un eje fijo y está unido a un resorte torsional con constante k. (El resorte torsional ejerce un momento restaurador de magnitud ku, donde u es el ángulo de rotación del disco respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar). Demuestre que el periodo de las vibraciones rotacionales del disco es t = pR 22m>k.
21.78 La plataforma P de 22 kg mostrada descansa sobre cuatro cojinetes de rodillo que pueden modelarse como cilindros homogéneos de 1 kg con 30 mm de radio. La constante del resorte es k = 900 N/m. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones horizontales de la plataforma respecto a su posición de equilibrio?
21.79 En t = 0, la plataforma descrita en el problema 21.78 está 0.1 m a la izquierda de su posición de equilibrio y se está moviendo hacia la derecha a 2 m/s. ¿Cuáles son la posición y la velocidad de la plataforma en t = 4 s?
k
k
P
Problemas 21.78/21.79
R
www.FreeLibros.org Problema 21.76
Problemas de repaso 21.80 Los momentos de inercia de los engranes A y B son IA = 0.014 slug-pie2 e IB = 0.100 slug-pie2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con constante k = 2 pies-lb/rad. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones angulares de los engranes respecto a su posición de equilibrio? 21.81 El peso de 5 lb en el problema 21.80 se eleva 0.5 pulg desde su posición de equilibrio y se suelta del reposo en t = 0. Determine la posición angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj del engrane B respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo.
10 pulg 3 pulg
21.83 Una semiesfera homogénea de radio R y masa m descansa sobre una superficie a nivel. Si la semiesfera se hace girar ligeramente desde su posición de equilibrio y se suelta, ¿cuál es la frecuencia de sus vibraciones?
R
Problema 21.83 21.84 Se mide la frecuencia del sistema oscilatorio masaresorte mostrado y se determina que es de 4.00 Hz. El sistema oscilatorio se coloca en un barril de aceite y su frecuencia es ahora de 3.80 Hz. ¿Cuál es el decremento logarítmico de las vibraciones de la masa cuando el sistema oscilatorio está inmerso en aceite? 21.85 Considere el sistema oscilatorio inmerso en aceite del problema 21.84. Si la masa se desplaza 0.1 m hacia la derecha de su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo, ¿cuál es su posición respecto a la de equilibrio en función del tiempo?
B
A
593
6 pulg
5 lb
k 10 kg
Problemas 21.80/21.81 21.82 La masa de la barra delgada mostrada es m. El resorte está sin estirar cuando la barra se encuentra en posición vertical. El collarín ligero C se desliza sobre la barra vertical lisa de manera que el resorte permanece horizontal. Determine la frecuencia de las pequeñas vibraciones de la barra.
Problemas 21.84/21.85
k C
l
Problema 21.82
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594
Capítulo 21 Vibraciones
21.86 El carrete que se muestra en la figura pesa 20 lb y su momento de inercia es I = 0.6 slug-pie2. Rueda sobre la superficie horizontal. Si c = 8 lb-s/pie, ¿cuál es la frecuencia de las vibraciones pequeñas del disco? 21.87 El carrete descrito en el problema 21.86 está inicialmente en equilibrio, y en t = 0 recibe una velocidad angular de 1 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la posición del centro del carrete respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo. 21.88 El carrete descrito en el problema 21.86 está inicialmente en equilibrio, y en t = 0 recibe una velocidad angular de 1 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. Determine la posición del centro del carrete respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo si c = 16 lb-s/pie.
21.91 Los momentos de inercia de los engranes A y B son IA = 0.014 slug-pie2 e IB = 0.100 slug-pie2. El engrane A está conectado a un resorte torsional con k = 2 pies-lb/rad. El cojinete que soporta al engrane B contiene un elemento amortiguador que ejerce un momento resistente sobre el engrane B de magnitud 1.51duB>dt2 lb-pie, donde duB>dt es la velocidad angular del engrane B en rad/s. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones angulares pequeñas de los engranes? 21.92 El peso de 5 lb en el problema 21.91 se eleva 0.5 pulg desde su posición de equilibrio y se suelta desde el reposo en t = 0. Determine la posición angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj del engrane B respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo.
10 pulg 16 lb/pie
3 pulg
16 pulg
c 8 pulg
A
B
6 pulg
Problemas 21.86–21.88 5 lb
21.89 La plataforma P de 22 kg mostrada descansa sobre cuatro cojinetes de rodillo que pueden modelarse como cilindros homogéneos de 1 kg con radios de 30 mm. La constante del resorte es k = 900 N/m. La plataforma está sometida a una fuerza F1t2 = 100 sen 3t N. ¿Cuál es la magnitud de su vibración horizontal de estado estable? 21.90 En t = 0, la plataforma descrita en el problema 21.89 está 0.1 m a la derecha de su posición de equilibrio y está moviéndose hacia la derecha a 2 m/s. Determine la posición de la plataforma respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo.
Problemas 21.91/21.92 21.93 La base y la masa m están inicialmente en reposo. Después, la base se somete a un desplazamiento vertical h sen vit respecto a su posición original. ¿Cuál es la magnitud de la vibración de estado estable resultante de la masa m respecto a la base?
m k
P F(t) k
Problemas 21.89/21.90 Base
www.FreeLibros.org Problema 21.93
Problemas de repaso
595
21.94* La masa del remolque mostrado, sin incluir sus ruedas y eje, es m y la constante del resorte de su suspensión es k. Para analizar el comportamiento de la suspensión, un ingeniero supone que la altura de la superficie del camino respecto a la altura media del remolque es h sen 12px>l2. Suponga que las ruedas del remolque permanecen sobre el camino y que la componente horizontal de su velocidad es v. Ignore el amortiguamiento debido a los amortiguadores de la suspensión.
21.96* Un disco con momento de inercia I gira respecto a un eje fijo y está conectado a un resorte torsional con constante k. El ángulo u mide la posición angular del disco respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar. El disco está inicialmente en reposo con el resorte sin estirar. En t = 0, se aplica al disco un momento dependiente del tiempo M1t2 = M011 - e-t2, donde M0 es una constante. Demuestre que la posición angular del disco en función del tiempo es
a) Determine la magnitud de la vibración vertical de estado estable del remolque respecto a la superficie del camino.
u =
b) ¿A qué velocidad v ocurrirá la resonancia?
M0 1 1 csin vt - 2 cos vt sen 2 I v11 + v 2 v 11 + v22 +
21.95* El remolque en el problema 21.94, sin incluir sus ruedas y eje, pesa 1000 lb. La constante del resorte de su suspensión es k = 2400 lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento de sus amortiguadores es c = 200 lb-s/pie. Los parámetros de la superficie del camino son h = 2 pulg y l = 8 pies. La velocidad horizontal del remolque es v = 6 mi/h. Determine la magnitud de las vibraciones verticales de estado estable del remolque respecto a la superficie del camino, a) ignorando el amortiguamiento debido a los amortiguadores y b) sin ignorar el amortiguamiento.
1 v
2
-
1
11 + v22
e-t d .
Estrategia: Para determinar la solución particular, busque una solución de la forma up = Ap + Bp e-t, donde Ap y Bp son constantes que se deben determinar. u
k
l
Problemas 21.94/21.95
M(t)
x
Problema 21.96
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APÉNDICE
A Repaso de matemáticas A.1 Álgebra Ecuaciones cuadráticas Las soluciones de la ecuación cuadrática ax 2 + bx + c = 0 son
x =
- b ; 2b2 - 4ac . 2a
Logaritmos naturales El logaritmo natural de un número real positivo x se denota con ln x y se define como el número tal que e ln x = x, donde e = 2.7182 . . . es la base de los logaritmos naturales. Los logaritmos tienen las siguientes propiedades: ln1xy2 = ln x + ln y, ln1x>y2 = ln x - ln y, ln y x = x ln y.
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598
Apéndice A Repaso de matemáticas
A.2 Trigonometría Las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo son c
a
a
sen a =
1 a = , csc a c
cos a =
1 b = , sec a c
tan a =
1 a = . cot a b
b
El seno y el coseno satisfacen la relación sen2 a + cos2 a = 1, y el seno y el coseno de la suma y la resta de dos ángulos satisfacen sen1a b2 sen a cos b cos a sen b, sen1a b2 sen a cos b cos a sen b, cos1a b2 cos a cos b sen a sen b, cos1a b2 cos a cos b sen a sen b. La ley de los cosenos para un triángulo arbitrario es
ab c
a ac
aa b
c2 = a2 + b2 - 2ab cos ac, y la ley de los senos es
sen aa sen ac sen ab = = . a c b
A.3 Derivadas d n x = nxn - 1 dx
d sen x = cos x dx
d senh x = coshx dx
d x e = ex dx
d cos x = -sen x dx
d cosh x = senhx dx
d 1 ln x = x dx
d 1 tan x = dx cos2 x
1 d tanh x = dx cosh2 x
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A.4 Integrales
599
A.4 Integrales
L
L
xn dx =
xn + 1 n + 1
1n Z - 12
dx
=
1>2 1 1 ln cx + a 2 + x2 b d a a
dx
=
1 arcsen ax a
L 11 + a2x221>2
x-1 dx = ln x
L 11 - a2x221>2
1 - arccos ax a
o
1ab21>2x dx 1 = arctan 2 a 1ab21>2 L a - bx
L
a + x1ab21>2 dx 1 = ln 2 21ab21>2 a - x1ab21>2 L a - bx
L
1 x dx = - ln1a - bx22 2 2b a bx L
1 1 sen2 x dx = - sen x cos x + x 2 2 L
L
1a + bx21>2 dx =
2 1a + bx23>2 3b
L 3>2
L
L
x1a + bx21>2 dx = 11 + a2x221>2 dx =
L -
L
15b2
1 e x11 + a2x221>2 2 +
L
212a - 3bx21a + bx2
x11 + a2x221>2 dx = x211 + a2x221>2 dx =
1>2 1 1 lnc x + a 2 + x2 b d f a a
3>2 a 1 a 2 + x2 b 3 a 3>2 1 1 ax a 2 + x2 b 4 a
1>2 1 1 1 2 2 1>2 2 x11 + a x 2 lnc x + a + x b d 8a3 a2 8a2
11 - a2x221>2 dx =
1 1 c x11 - a2x221>2 + arcsen axd a 2
3>2 a 1 x11 - a2x221>2 dx = - a 2 - x2 b 3 a L
1 x21a2 - x221>2 dx = - x1a2 - x223>2 4 L
sen x dx = - cos x cos x dx = sen x
cos2 x dx =
1 1 sen x cos x + x 2 2
1 sen3 x dx = - cos x1sen2 x + 22 3 L
L
L
L
L
L
L
1 sen x1cos2 x + 22 3
cos4 x dx =
3 1 1 x + sen 2x + sen 4x 4 32 8
senn x cos x dx =
L
L
cos3 x dx =
1sen x2n + 1 n + 1
1n Z - 12
senh x dx = cosh x
cosh x dx = senh x
tanh x dx = ln cosh x
eax dx =
eax a
xeax dx =
eax 1ax - 12 a2
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1 2 x a cx1a2 - x221>2 + a2 arcsen d a 8
600
Apéndice A Repaso de matemáticas
A.5 Series de Taylor La serie de Taylor de una función f1x2 es
f1a + x2 = f1a2 + f¿1a2x +
1 1 f–1a2x2 + f‡1a2x3 + Á , 2! 3!
donde las primas indican derivadas. Algunas series de Taylor útiles son
ex = 1 + x +
x2 x3 + + Á, 2! 3!
sen1a + x2 = sen a + 1cos a2x -
1 1 1sen a2x2 - 1cos a2x3 + Á , 6 2
cos1a + x2 = cos a - 1sen a2x -
1 1 1cos a2x2 + 1sen a2x3 + Á , 6 2
tan1a + x2 = tan a + a + a
sen a 1 b x + a 3 b x2 2 cos a cos a 1 sen2 a + b x3 + Á . 4 cos a 3 cos2 a
A.6 Análisis vectorial Coordenadas cartesianas
Coordenadas cilíndricas
El gradiente de un campo escalar c es
El gradiente de un campo escalar c es
§c =
0c 0c 0c i + j + k. 0x 0y 0z
La divergencia y el rotacional de un campo vectorial v = vx i + vy j + vz k son
§#v =
0vy 0vz 0vx + + , 0x 0y 0z
i 0 § * v = 4 0x vx
j 0 0y vy
k 0 4 . 0z vz
§c =
0c 0c 1 0c e + e + e. r 0u u 0r r 0z z
La divergencia y el rotacional de un campo vectorial v = vr er + vu eu + vz ez son
§#v =
0vz 0vr vr 1 0vu + + , + r r 0u 0r 0z
er 14 0 § * v = r 0r vr
reu 0 0u rvu
ez 0 4 . 0z vz
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APÉNDICE
B Propiedades de áreas y líneas B.1 Áreas Las coordenadas del centroide de un área A son
LA
x =
x dA y =
,
LA
dA
LA
y
y dA
LA
A
.
– y
dA
O
x
– x
El momento de inercia respecto al eje x, Ix, el momento de inercia respecto al eje y, Iy, y el producto de inercia Ixy son
Ix =
LA
y2 dA,
Iy =
LA
x2 dA,
Ixy =
LA
xy dA.
El momento polar de inercia respecto a O es
JO =
LA
r2 dA =
LA
1x2 + y22 dA = Ix + Iy.
Área = bh
y
y b
Ix =
Ix¿
1 3 bh , 3
1 3 = bh , 12
Iy =
Iy¿
1 3 hb , 3 1 3 = hb , 12
Ixy =
1 2 2 bh 4
Ix¿y¿ = 0
1 h 2
x h O
1 b 2 Área rectangular
x
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602
Apéndice B Propiedades de áreas y líneas 1 y h 3
y
Area Área = h x x
2 b 3
O
b Área triangular
y
Ix =
1 3 bh , 12
Iy =
1 3 hb , 4
Ix¿ =
1 3 bh , 36
Iy¿ =
Ixy =
1 3 hb , 36
1 2 2 bh 8
Ix¿y¿ =
1 2 2 bh 72
a
h 1 h 3 O
1 bh 2
1 (a b) 3 b
x
Area Área =
1 bh 2
Ix =
1 3 bh , 12
Ix¿ =
1 3 bh 36
x
Área triangular
y R x
Area Área = pR2
Ix¿ = Iy¿ =
1 pR4, 4
Ix¿y¿ = 0
Área circular
y y
Area Área = R O
x, x
4R 3p Área semicircular
Ix¿ =
1 pR2 2
1 pR4, 8
Ix = Iy = Iy¿ = a
1 pR4, 8
p 8 bR4, 8 9p
Ixy = 0 Ix¿y¿ = 0
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603
B.1 Áreas
Área = Area
1 2 pR 4
Ix¿ = Iy¿ = a
1 pR4, 16
Ix = Iy =
p 4 b R 4, 16 9p
Ix¿y¿ = a
Ixy =
1 4 R 8
y
y
R
1 4 bR 4 8 9p
x x
O
4R 3 Área de un cuarto de círculo y
Área = aR2 Ix =
R
1 4 1 R a a - sen 2ab , 2 4
Iy =
1 4 1 R aa + sen 2ab , 4 2
a O
Ixy = 0
x
a
2R sen a 3a Sector circular y
x2 y2 2 1 a2 b
1 Area Área = pab 4 b
1 pab3, Ix = 16
1 Iy = pa3b, 16
Ixy
1 = a2b2 8
4b 3p O 4a 3p
x a
Área de un cuarto de elipse
y
cbn + 1 Area = Área n + 1 Ix =
c3b3n + 1 , 9n + 3
y cxn
Iy =
cbn + 3 , n + 3
Ixy =
c2b2n + 2 4n + 4
(n 1)cbn 4n 2 (n 1)b n2 b
x
Enjunta (Sector general)
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604
Apéndice B Propiedades de áreas y líneas
B.2 Líneas Las coordenadas del centroide de la línea L son
x =
LL
x dL
LL
y =
, dL
LL
y dL
LL
z =
, dL
LL
z dL
LL
. dL
y L
– y z
– x
x
– z
y R x
Longitud = pR
2R p Arco semicircular
y
Longitud = 12 pR
2R p
R
x 2R p Arco de un cuarto de círculo
y R
Longitud = 2aR
a
x
a R sen a a Arco circular
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APÉNDICE
C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos Los momentos y productos de inercia del objeto en términos del sistema coordenado x y z son,
Ieje x = Ixx =
1y2 + z22 dm, Lm
Ieje y = Iyy =
1x2 + z22 dm,
Ieje z = Izz = Ixy = Izx =
Lm
Lm
Lm Lm
y
dm y z
x
z
x
1x2 + y22 dm,
xy dm, Iyz =
Lm
yz dm,
zx dm.
Ieje x = 0,
Ieje y = Ieje z =
1 2 ml , 3
Ixy = Iyz = Izx = 0. Ieje x¿ = 0,
Ieje y¿ = Ieje z¿ =
y 1 y l 2 z
1 2 ml , 12
O
l
z
x, x Barra delgada
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
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606
Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos y
Ieje x¿ = Ieje y¿ =
R
1 mR2, 4
Ieje z¿ =
1 mR2, 2
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
z
x
Placa circular delgada
y
y
Ieje x =
1 b 2 h
Ixy =
b 1 h 2 O
z
1 mbh, 4
Ieje x¿ =
x
1 2 mh , 3
1 mh2, 12
Ieje y =
1 2 mb , 3
Ieje z =
1 m1b2 + h22, 3
Iyz = Izx = 0. Ieje y¿ =
1 mb2, 12
Ieje z¿ =
1 m1b2 + h22, 12
z x
Placa rectangular delgada
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
y
Ieje x = A
z
Ixy =
x
m A I , A xy
Ieje y =
m I, A y
Ieje z = Ieje x + Ieje y,
Iyz = Izx = 0.
A (Los términos Ix, Iy e I xy son los momentos y el producto de inercia del área A de la sección transversal de la placa).
Placa delgada
Volumen = abc
y b
z
m I , A x
a c
x
Ieje x¿ =
1 m1a2 + b22, 12
Ieje y¿ =
1 m1a2 + c22, 12
Ieje z¿ =
1 m1b2 + c22, 12
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
Prisma rectangular
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607
Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos
Volumen = pR2l 1 1 Ieje x = Ieje y = ma l2 + R2 b, 3 4
Ieje z =
1 mR2, 2
1 l 2
O
R
x x
l
z, z
Ixy = Iyz = Izx = 0. Ieje x¿ = Ieje y¿ = ma
y
y
Cilindro circular
1 2 1 l + R2 b , 4 12
1 mR2, 2
Ieje z¿ =
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
Volumen =
1 pR2h 3
y y
3 3 2 R b, Ieje x = Ieje y = ma h2 + 5 20
Ieje z =
3 mR2, 10
z, z
Ixy = Iyz = Izx = 0. Ieje x¿ = Ieje y¿ = m a
O 3 h 4 x
R
x h
Cono circular
3 2 3 2 R b, h + 20 80
Ieje z¿ =
3 mR2, 10
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
Volumen =
4 pR3 3
Ieje x¿ = Ieje y¿ = Ieje z¿ =
y
2 mR2, 5
R
x
Ix¿y¿ = Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
z Esfera
Volumen =
2 pR3 3
Ieje x = Ieje y = Ieje z = Ieje x¿ = Ieje y¿
y y
2 mR2 5
83 = mR2, 320
Ieje z¿
3R 8
R
2 = mR2 5
O
x x
z, z
www.FreeLibros.org Semiesfera
APÉNDICE
D Coordenadas esféricas En este apéndice se resumen las ecuaciones de cinemática y calculo vectorial en coordenadas esféricas. Los vectores de posición, de velocidad y de aceleración son
r = rer,
z er P f
v =
eu
df du dr ef + r sen feu, er + r dt dt dt
ef r y
df 2 d2r du 2 2 r r ¢ ≤ ¢ ≤ sen fR er dt dt dt2
a = B
u
+ Br
x
+ Br
d2f dt2
+ 2
du 2 dr df - r ¢ ≤ sen f cos fR ef dt dt dt
df du d2u dr du sen f + 2 sen f + 2r cos f R eu. 2 dt dt dt dt dt
El gradiente de un campo escalar c es
§c =
0c 0c 1 0c 1 e + eu. er + r 0f f r sen f 0u 0r
La divergencia y el rotacional de un campo vectorial v = vrer + vueu + vfef son
§#v =
0vu 1 0 2 1 0 1 (r vr) + (v sen f) + , r sen f 0f f r sen f 0u r2 0r
er 1 0 4 § * v = 2 0r r sen f vr
ref 0 0f rvf
r sen feu 0 4. 0u r sen fvu
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APÉNDICE
E Principio de D’Alembert En este apéndice se describe un método alternativo para obtener las ecuaciones de movimiento plano para un cuerpo rígido. Al escribir la segunda ley de Newton como ©F + 1-m a2 = 0,
F
(E.1) ma
puede considerarse como una ecuación de “equilibrio” que establece que la suma de las fuerzas externas, incluida una fuerza inercial -ma, es igual a cero (figura E.1). Para establecer la ecuación del movimiento angular en una forma equivalente se usa la ecuación (18.19), que relaciona el momento total respecto a un punto fijo O con la aceleración angular del centro de masa y la aceleración angular en el movimiento plano general:
Figura E.1 La suma de las fuerzas externas y la fuerza inercial es cero.
©MO = 1r * m a2 k + Ia. ma
Esta ecuación se escribe como ©MO + [r * 1-m a2] k + 1-Ia2 = 0.
(E.2)
El término [r * 1-ma2] k es el momento respecto a O debido a la fuerza inercial -ma. Por lo tanto, puede verse esta ecuación como una ecuación de “equilibrio” que establece que la suma de los momentos respecto a cualquier punto fijo, incluido el momento debido a la fuerza inercial -ma que actúa en el centro de masa y un par inercial -Ia, es igual a cero. Planteadas de esta manera, las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido son análogas a las ecuaciones para el equilibrio estático: La suma de las fuerzas es igual a cero y la suma de los momentos respecto a cualquier punto fijo es igual a cero cuando se toman en cuenta de manera apropiada las fuerzas y los pares inerciales. Esto se denomina el principio de D’Alembert. Si se definen ©MO y a como positivas en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el vector unitario k de la ecuación (E.2) apunta hacia fuera de la página y el término [r * 1-ma2] k es el momento en sentido contrario al de las manecillas del reloj debido a la fuerza inercial. Con esta operación vectorial se determina el momento, o bien puede evaluarse usando el hecho de que su magnitud es el producto de la magnitud de la fuerza inercial por la distancia perpendicular desde el punto O hasta la línea de acción de la fuerza (figura E.2 a). El momento es positivo si tiene una dirección inversa a la de las manecillas del reloj, como en la figura E.2a, y negativo en el caso contrario. Observe que el sentido del par inercial es opuesto al de la aceleración angular (figura E.2b).
D
O (a)
Ia
(b)
Figura E.2 (a) La magnitud del momento debido a la fuerza inercial es ƒ -ma ƒD. (b) Un par inercial en el sentido de las manecillas del reloj resulta de una aceleración angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
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610
Apéndice E Principio de D’Alembert
Como un ejemplo, considere un disco de masa m y momento de inercia I que está rodando sobre una superficie inclinada (figura E.3). Se puede usar el principio de D’Alembert para determinar la aceleración angular del disco y las fuerzas que sobre él ejerce la superficie. En la figura E.4a se muestra la aceleración angular del disco y la aceleración de su centro. En la figura E.4b se dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco, donde se muestra su peso, las fuerzas normal y de fricción ejercidas por la superficie, y la fuerza y el par inerciales. La ecuación (E.1) es
R
©F + 1-m a2 = 0:
Figura E.3 Disco rodando sobre una superficie inclinada.
1mg sen b - f 2i + 1N - mg cos b2j - m a x i = 0. A partir de esta ecuación vectorial, se obtienen las ecuaciones mg sen b - f - m a x = 0, (E.3)
N - mg cos b = 0.
y
Ahora se aplica la ecuación (E.2). Al evaluar momentos respecto al punto donde el disco está en contacto con la superficie, se pueden eliminar f y N de la ecuación resultante:
a
©MO + [r * 1-m a2] k + 1-Ia2 = 0:
ax
(E.4)
-R1mg sen b2 + R1m a x 2 - Ia = 0.
x
La aceleración del centro del disco rodante se relaciona con la aceleración angular en sentido contrario al de las manecillas del reloj por ax = -Ra. Sustituyendo esta relación en la ecuación (E.4) y despejando la aceleración angular, se obtiene
(a)
a = -
y
mR2 + I
.
A partir este resultado también se conoce ax y, por consiguiente, es posible resolver las ecuaciones (E.3) para las fuerzas normal y de fricción, de donde se obtiene
Ia max
N = mg cos b,
mg f N
mgR sen b
x
(b)
f =
mgI sen b mR2 + I
.
En la ecuación (E.4) se evaluó el momento debido a la fuerza inercial simplemente multiplicando la magnitud de la fuerza por la distancia perpendicular desde O hasta su línea de acción; también podría haberse evaluado mediante la expresión vectorial [r * 1-m a2] k = [1R j2 * 1-m a x i2] k = R1m a x2.
Figura E.4 (a) Aceleración del centro del disco y su aceleración angular. (b) Diagrama de cuerpo libre incluyendo la fuerza y el par inerciales.
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Solución a problemas de práctica Ejemplo activo 12.1 Convierta pies a millas. Convierta segundos a horas. 10 pies/s 10 pies/s
5280 pies 1 mi
3600 s 1h
6.82 mi/h.
Ejemplo activo 12.4 Use la ecuación (12.6) para calcular el peso en newtons.
W mg (0.397 kg) (9.81 m/s2) 3.89 N.
Ejemplo activo 13.1 Integre la aceleración para determinar la velocidad en función del tiempo. A es una constante de integración.
Integre la velocidad para determinar la posición en función del tiempo. B es una constante de integración.
Use las condiciones conocidas en t = 3 s para determinar A y B, de donde se obtiene A = 5 y B = 6.
Comenzando con la componente x de la posición, diferencie para determinar las componentes x de la velocidad y de la aceleración en función del tiempo.
dv 2t, dt v t 2 A. a
ds t 2 A, dt 1 s t 3 At B. 3
v
s t3 s 30
1 (3)3 A(3) B, 3
v t3 s 14 (3)2 A. x 8t 2 pies, dx vx 16t pies/s, dt dvx ax 16 pies/s2. dt
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612
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 13.4 Primero aplique la regla de la cadena para expresar la aceleración en términos de la velocidad y la posición en vez de la velocidad y el tiempo.
dv dv ds dv v 0.004v2. dt ds dt ds
Separe variables.
dv 0.004 ds. v
v
Integre, definiendo s = 0 como la posición a la que la velocidad es de 80 m/s. Aquí, v es la velocidad en la posición s.
s
dv 0.004 ds, L80 v L0 v
s
[ln v]80 0.004[s]0 , lnv ln80 0.004(s 0).
Resuelva para s en términos de la velocidad. A partir de esta ecuación se encuentra que la distancia requerida para que la velocidad disminuya a 10 m/s es de 520 m.
s 250 ln
v . 80
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Solución a problemas de práctica
613
Ejemplo activo 13.6 vx Integre la componente x de la velocidad para determinar la componente x de la posición en función del tiempo.
dx 0.3t 2 , dt
x
t
dx 0.3 t 2 dt, L L 0 0 x 0.1t 3 .
Evalúe la componente x de la posición en t 6 s.
x t 6 s 0.1(6)3 21.6 m.
vy Integre la componente y de la velocidad para determinar la componente y de la posición en función del tiempo.
y
dy 1.8t 0.18t 2 , dt t
dy (1.8t 0.18t 2 ) dt, L L 0 0 y 0.9t 2 0.06t 3 .
Evalúe la componente y de la posición en t 6 s.
y t6 s 0.9(6)2 0.06(6)3 19.4 m/s2.
Exprese el vector de posición en t = 6 s en términos de sus componentes.
r t6 s 21.6i 19.4j (m).
y
30 m
Posición del helicóptero en función del tiempo.
t8s
t 10 s
t6s t4s t2s 50 m
100 m
x
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614
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 13.8 Use la regla de la cadena para expresar la aceleración angular en términos de la velocidad angular y el ángulo en vez de la velocidad y el tiempo, después separe variables.
dv dv du dv v 0.02v, du dt du dt dv 0.02du. a
1000p/30
u
dv 0.02 du, L0 L 10,000p/30
Integre, definiendo u 0 como el ángulo al que la velocidad angular es de 10,000 rpm 10,000p/30 rad/s.
1000p/30
u
v 10,000p/300.02 u 0 , 1000p 10,000p 0.02u. 30 30
Despeje u.
u 15,000p rad 7500 revoluciones.
Ejemplo activo 13.9 Calcule la componente tangencial de la aceleración en t 10 s.
at 2 0.2(10) 4 m/s2.
an Calcule la componente normal de la aceleración en t 10 s.
Exprese la aceleración en t = 10 s como un vector en términos de las componentes normal y tangencial.
v2 r
(30 m/s)2 400 m 2.25 m/s2.
a atet anen. 4et 2.25en (m/s2).
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Solución a problemas de práctica
615
Ejemplo activo 13.13 dr p sen 2pt, dt
Determine las derivadas en la expresión para la aceleración.
d 2r 2p2 cos 2pt, dt2 du 0.4p cos 2pt, dt d2u 0.8p2 sen 2pt. dt2 du 2 d2r r dt dt2 2p2 cos 2pt (1 0.5 cos 2pt) ( 0.4p cos 2pt)2,
ar Determine las componentes de la aceleración como funciones del tiempo.
au r
dr du d2u 2 dt dt dt2
(1 0.5 cos 2pt) ( 0.8p2 sen 2pt) 2(p sen 2pt) (0.4p cos 2pt). Evalúe la aceleración en t 0.8 s.
a 5.97er 4.03eu (m/s2).
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616
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 13.16 N E
W
y
S 5 nudos vA/B
vA
vB 2 nudos O
x
La velocidad del barco respecto a la Tierra es igual a la velocidad del agua respecto a la Tierra más la velocidad del barco respecto al agua.
Determine la magnitud de la velocidad vA respecto a la Tierra.
Las componentes de la velocidad del barco respecto al agua indican que el timonel debe apuntar el barco a arctan (2/4.58) 23.6 al noroeste del norte para viajar hacia el norte respecto a la Tierra.
vA vB vA/B
vA (5 nudos)2 (2 nudos)2 4.58 nudos.
vA/B 2i 4.58j (nudos).
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Solución a problemas de práctica
617
Ejemplo activo 14.1 Fx W sen 20 max:
Aplique la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de la caja cuando no existe fuerza de fricción.
Integre para determinar la velocidad de la caja en función del tiempo. En t = 1 s, la caja se mueve a 11.0 pies/s.
ax
mg sen 20 (32.2) sen 20 11.0 m/s2. m
ax
dvx 11.0 pies/s2, dt
vx
L 0
t
dvx
L 0
11.0 dt,
vx 11.0t pies/s.
Ejemplo activo 14.2 Comenzando con la componente x de la posición, diferencie para determinar las componentes x de la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.
x 8t 2 pies, dx vx 16t pies/s, dt dvx ax 16 pies/s2. dt
Comenzando con la componente y de la posición, diferencie para determinar las componentes y de la velocidad y la aceleración como funciones del tiempo.
y t 3 pies, dy vy 3t 2 pies/s, dt dvy ay 6t pies/s2. dt
Determine la masa del objeto.
m
W 10 lb 0.311 slug. g 32.2 pies/s2
Fx maxt4 s Use la segunda ley de Newton para determinar las componentes de la fuerza total.
(0.311 slug)(16 pies/s2) 4.97 lb, Fy mayt4 s (0.311 slug)[(6)(4) pies/s2] 7.45 lb.
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618
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 14.5 Ft mat: 200t lb (37.3 slug)at,
Aplique la segunda ley de Newton en la dirección tangencial para determinar la componente tangencial de la aceleración de la lancha en función del tiempo.
at
200t lb 37.3 slug
5.37t pies/s2. at Integre la aceleración tangencial para determinar la velocidad de la lancha en función del tiempo.
dv 5.37t pies/s2: dt
v
L 20
t
dv
L 0
5.37t dt,
v 20 2.68t 2 pies/s. v 20 2.68(2)2
Evalúe la velocidad en t 2 s.
Determine la componente normal de la aceleración de la lancha en t 2 s.
Aplique la segunda ley de Newton en la dirección normal para determinar la fuerza normal que actúa sobre la lancha en t 2 s.
30.7 pies/s.
an
v2 (30.7 pies/s)2 23.6 pies/s2. 40 pies r
Fn man (37.3 slug)(23.6 pies/s2) 880 lb.
Ejemplo activo 14.6 La suma de las fuerzas en la dirección vertical (perpendicular a la trayectoria circular del tren) debe ser igual a cero.
Aplique la segunda ley de Newton en la dirección en.
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) con m 20,000 kg, g 9.81 m/s2, r 150 m, y S 0 se obtiene M 256 kN y v 35.1 m/s.
M cos 40 S sen 40 mg 0.
(1)
Fn man: M sen 40 S cos 40 m
v2 . r
(2)
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Solución a problemas de práctica
619
Ejemplo activo 14.9 Aplique la segunda ley de Newton en la dirección transversal. Observe que a dv/dt 0.
Fu mau:
N m ra 2
Sustituya la expresión para vr como una función de r obtenida en el ejemplo, a fin de determinar N en función de r.
N 2mv0
dr v 2mv0vr. dt
v
2 0
k 2k (r2 r20) r0 (r r0). m m
Ejemplo activo 14.10 Cuando un satélite terrestre con órbita elíptica está en la posición de radio mínimo, llamada su perigeo, y cuando está en la posición de radio máximo, llamada su apogeo, tiene sólo una componente transversal de velocidad. Por lo tanto, las velocidades en el perigeo y el apogeo satisfacen la ecuación (14.14). Sea va la velocidad en el apogeo.
r0v0 rmáxva, r0 va r v0 máx
6600 km (9240 m/s) 16,000 km
3810 m/s.
Ejemplo activo 15.1 En este caso la fuerza normal N = (120 kg)(9.81 m/s2) = 1180 N. s2
U12 Evalúe el trabajo realizado mientras el contenedor se mueve desde su posición inicial hasta s 1 m.
Ft ds
L s1 1
L 0
(F mkN)ds 1
L 0
[(700 150s) (0.26)(1180)]ds
319 N-m.
Aplique el principio del trabajo y la energía para determinar la velocidad del contenedor cuando éste alcanza s 1 m. Al resolver se obtiene v2 2.31 m/s.
1 1 mv22 mv21: 2 2 1 319 N-m (120 kg)v22 0. 2 U12
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620
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 15.4 Calcule el trabajo realizado por el peso: El martillo cae, por lo que el trabajo es positivo, y su magnitud es el producto del peso por el cambio en la altura.
Upeso (peso)(cambio en la altura) [(40 kg)(9.81 m/s2)](0.4 m) 157 N-m.
S1 0, S2 (0.3 m)2 (0.4 m)2 0.3 m Calcule el trabajo realizado por cada uno de los resortes. Los resortes están sin estirar en la posición 1.
0.2 m, Uresorte 12 k(S22 S21) 12 (1500 N/m)[(0.2 m)2 (0)2] 30 N-m.
Aplique el trabajo y la energía para obtener la velocidad del martillo en la posición 2.
Upeso 2(Uresorte)
1 2
mv22
1 2
157 N-m 2(30 N-m)
1 2
(40 kg)v22
mv21 : 1 2
(40 kg) (2 m/s)2.
Resolviendo, se obtiene v2 2.97 m/s.
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Solución a problemas de práctica
621
Ejemplo activo 15.7 Elija un nivel de referencia para la energía potencial asociada con el peso del martillo. Considere que el nivel de referencia (y = 0) está en la posición 2.
Vpeso mgy.
y
Martillo 1 k
k
400 mm
2 Nivel de referencia Pieza de trabajo 300 mm
Energía potencial de uno de los resortes en términos del estiramiento S del resorte.
Calcule el estiramiento de uno de los resortes en las posiciones 1 y 2.
Vresorte
1 2
kS2.
S1 0, S2 (0.3 m)2 (0.4 m)2 0.3 m 0.2 m,
(Vpeso)1 2(Vresorte)1
Aplique la conservación de la energía a las posiciones 1 y 2 para determinar la velocidad en la posición 2.
mgy1 2
1 2
kS21
1 2
mv21 (Vpeso)2 2(Vresorte)2
1 2
mv21 mgy2 2
(40 kg)(9.81 m/s2)(0.4 m) 0 02
1 2
1 2
(1500 N/m)(0.2 m)2
1 2
kS22
1 2
1 2
mv22:
mv22,
(40 kg) (2 m/s)2 1 2
mv22.
Resolviendo, se obtiene v2 2.97 m/s.
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622
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 15.10 La definición de una fuerza conservativa es que existe una energía potencial, por lo que el hecho de que la fuerza se obtuvo de su energía potencial garantiza que es conservativa. De manera alternativa, se puede confirmar que la fuerza es conservativa al demostrar que su rotacional es igual a cero:
Use la ecuación (15.31) para evaluar la rotacional de la fuerza.
1 F r 0.
er
reu
ez
r
u
z
mgRE2 r2
0
0
Ejemplo activo 16.1 (t2 t1) Fprom mv2 mv1: Aplique la ecuación (16.2) al intervalo de tiempo entre t 10 s y t 20 s.
(20 10) Fprom (1200)(36i 8j) (1200)(30i 3j), 10 Fprom 7200i 6000j. Resolviendo se obtiene Fprom 720i 600j (N).
Ejemplo activo 16.2 La componente tangencial de la fuerza en función del tiempo varía linealmente desde 300 N en t = 0 hasta 300 9(30) 30 N en t 30 s, por lo que su valor promedio es
F ©F t prom t av =
300 N + 30 N = 165 N, 2
este valor puede verificarse mediante la ecuación (16.4).
(t2 t1) Ft mv2 mv1: Aplique la ecuación (16.4) al intervalo de tiempo entre t 0 y t 30 s.
(30 s 0) Ft (225 kg)(22 m/s) (225 kg)(0). Resolviendo, se obtiene Ft 165 N.
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Solución a problemas de práctica
623
Ejemplo activo 16.4 Cuando la persona se encuentra en reposo en su posición inicial, la cantidad de movimiento lineal de la persona y la barcaza es cero. Las únicas fuerzas horizontales sobre la persona y la barcaza son las fuerzas que ejercen entre sí, por lo que su cantidad de movimiento lineal cuando la persona está corriendo debe ser cero.
Aplique la conservación de la cantidad de movimiento lineal. Sea vB la velocidad de la barcaza hacia la izquierda.
mPvP mB(vB) 0. La velocidad de la barcaza es vB (mP/mB)vP hacia la izquierda.
Ejemplo activo 16.5 Si las masas se adhieren después de la colisión, su velocidad puede determinarse simplemente de la conservación de la cantidad de movimiento lineal.
Aplique la ecuación (16.10) (conservación de la cantidad de movimiento lineal) con v¿A v¿B v¿.
mAvA mBvB (mA mB)v¿: (4 kg)(10 m/s) (4 kg)(5 m/s) (4 kg 4 kg)v¿. Resolviendo se obtiene v¿ 2.5 m/s.
Ejemplo activo 16.7 Exprese r en términos del radio inicial r0 y la velocidad constante v0.
En el movimiento plano bajo una fuerza central, el producto de la distancia radial desde el centro del movimiento por la componente transversal de la velocidad es constante.
Exprese la velocidad como una función del tiempo en términos de coordenadas cilíndricas.
r r0 v0t.
rvu r0v0, por lo que r0v0 vu r r 0 v0 . r0 v0t
v vrer vueu v0er
r0v0 e. r0 v0t u
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624
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 16.9 Determine la velocidad del flujo de masa respecto al objeto.
La velocidad del agua que sale del trineo es vf vj 300j (m/s).
La razón del flujo de masa que sale del trineo es Determine la razón del flujo de masa.
dmf rvA dt (1000 kg/m3)(300 m/s)(0.01 m2) 3000 kg/s.
La fuerza ejercida sobre el trineo es Aplique la ecuación (16.27).
dmf v dt f (3000 kg/s)[300j (m/s)]
Ff
900, 000j (N).
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Solución a problemas de práctica
625
Ejemplo activo 17.1 Las componentes normal y tangencial de la aceleración pueden determinarse a partir de las ecuaciones (17.3). Para hacer esto, se deben encontrar la velocidad angular y la aceleración angular del engrane A en función del tiempo.
Integre aA dvA/dt 0.2t rad/s2 para determinar la velocidad angular en el sentido de las manecillas del reloj del engrane A como una función del tiempo.
vA
3 0
t
dvA
3 0
0.2t dt:
vA 0.1t2 rad/s. vA 0.1(10)2
Determine la velocidad angular y la aceleración angular de A en t 10 s.
10 rad/s, aA 0.2(10) 2 rad/s2. at aA (0.05 m) (2 rad/s2)(0.05 m)
Calcule las componentes tangencial y normal de la aceleración de PA.
0.1 m/s2, an vA2 (0.05 m) (10 rad/s)2(0.05 m) 5 m/s2.
a a2t a2n Calcule la magnitud de la aceleración.
(0.1 m/s2)2(5 m/s2)2 5.00 m/s2
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626
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 17.2 vB vA AB rB/A Sea vAB la velocidad angular desconocida de la barra AB, de manera que el vector de velocidad angular de la barra AB es AB vABk. Aplique la ecuación (17.6) para determinar la velocidad del punto B en términos de vAB.
i
j
k
0 0
0
vAB
0.4
0
0.4
0.4vABi 0.4vAB j.
vC vB BC rC/B:
La velocidad angular vBC de la barra BC también es desconocida, pero la velocidad del punto C sí se conoce. Aplicando la ecuación (17.6) a los puntos B y C se obtienen dos ecuaciones en términos de vAB y vBC.
i
j
k
3i 0.4vABi 0.4vAB j 0
0
vBC
0.8 0.4 0 (0.4vAB 0.4vBC)i (0.4vAB 0.8vBC)j. Igualando las componentes i y j, 3 0.4vAB 0.4vBC, 0 0.4vAB 0.8vBC, y resolviendo se obtiene vAB 5 rad/s y vBC 2.5 rad/s.
Ejemplo activo 17.4 C
B
8m vC A
vCD
D
Use el centro instantáneo de la barra CD para determinar la velocidad del punto C.
vC ( 8 m) vCD, ( 8 m) (5 rad/s) 5 8 m/s.
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Solución a problemas de práctica
627
Centro instantáneo de la barra BC vBC
8m
2m B
C vC
A
D
Use el centro instantáneo de la barra BC y la velocidad del punto C para determinar la velocidad angular de la barra BC.
5 8 m/s (8 m)vBC, por lo que vBC
5 8 m/s 5 rad/s. 8m
Ejemplo activo 17.5 Aplique la ecuación (17.10). El vector de velocidad angular del disco es vk, por lo que su aceleración angular es dv dv k ak. dt dt El vector de posición de A respecto a B es rA/B Ri.
aA aB rA/B v2rA/B i aRi 0 R
j 0 0
k a v2 (Ri) 0
aRi aRj v2Ri.
y
B
A rA/B x
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628
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 17.7 aA aB aA rel 2AB vA rel AB rA/B v2ABrA/B i 0 aA rel 2 Aplique la ecuación (17.15) a los puntos A y B.
i
j
0 0.8
0 0.4
j
0 0 3.2 1.6
k 2 0
k 10 (2)2 (0.8i 0.4j) 0
aA rel 0.8i 6.4j.
(1)
y aA rel
A
400 mm B
b
C
x
800 mm
La aceleración del pasador A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo es paralela a la ranura. Sea aA rel la aceleración desconocida de A a lo largo de la ranura.
Sustituya la ecuación (2) en la ecuación (1).
aA rel aA rel cos 26.6 i aA rel sen 26.6 j.
aA (aA rel cos 26.6 0.8)i (aA rel sen 26.6 6.4)j.
(2)
(3)
aA aC AC rA/C v2AC rA/C Sea aAC la aceleración angular desconocida en sentido contrario al de las manecillas del reloj de la barra AC. Aplique la ecuación (17.10) a los puntos A y C.
i
j
0 0
0
0
k aAC (10)2(0.4j)
0.4
0
0.4aAC i 40j.
(4)
(aA rel cos 26.6 0.8)i + (aA rel sen 26.6 6.4) j 0.4aAC i 40j. Al igualar las componentes i y j resultan las dos ecuaciones Iguale las expresiones (3) y (4) para determinar aA rel y aAC.
aA rel cos 26.6 0.8 0.4aAC, aA rel sen 26.6 6.4 40.
www.FreeLibros.org Resolviendo se obtiene aA rel 75.1 m/s2 y aAC 170 rad/s2. En este instante, el pasador A está acelerando respecto a la ranura a 75.1 m/s2 hacia B.
Solución a problemas de práctica
629
Ejemplo activo 17.10 En este caso, vA rel = 0 y aA rel = 0. Las ecuaciones (17.16) y (17.17) pueden usarse para determinar la velocidad vA y la aceleración aA respecto a la Tierra.
vA vB vA rel rA/B Aplique la ecuación (17.16).
00
i
j
k
0
0
v
R
0
0
vRj. aA aB aA rel 2 vA rel Aplique la ecuación (17.17).
rA/B v2rA/B 0 0 0 0 v2(Ri) v2Ri. v
y vR
La persona A está en reposo respecto al marco de referencia, pero tiene velocidad y aceleración respecto a la Tierra.
B
v2R A
x
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630
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 18.1 Aplique la segunda ley de Newton para determinar la fuerza de empuje total de los motores del avión.
Fx T max (25,800 slug) (9 pies/s2) 232,000 lb.
El avión no tiene aceleración vertical, por lo que la suma de las fuerzas verticales es igual a cero.
Fy A B W 0.
El avión no tiene aceleración angular, por lo que la suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a cero.
M (6 pies)T (68 pies)B (16 pies)A 0.
(1)
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) con W 830,000 lb y T 232,000 lb produce A 688,000 lb y B 142,000 lb.
Ejemplo activo 18.2 Resuelva las ecuaciones (1) a la (3) para determinar el valor de la fuerza de fricción cuando el disco rueda.
Determine la fuerza normal. La suma de las fuerzas sobre el disco en la dirección normal a la superficie es igual a cero.
Suponga que el disco está a punto de deslizarse y resuelva para b.
1 f mg sen b. 3
N mg cos b.
f msN : 1 mg sen b msmg cos b. 3 De esto se obtiene b arctan (3ms).
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Solución a problemas de práctica
631
Ejemplo activo 18.3 En el instante que la barra se libera, v = 0. Las ecuaciones (1) a la (5) pueden resolverse para determinar P y N.
Sustituya la ecuación (5) en la ecuación (1) y la ecuación (4) en la ecuación (2).
Sustituya las ecuaciones (6) y (7) en la ecua1 ción (3) y resuelva para a, using I ml2. 12
Sustituya la ecuación (8) en las ecuaciones (6) y (7). Con u 30 , estas expresiones resultan en N 0.813mg y P 0.325mg.
1 mla cos u, (6) 2 1 N mg mla sen u. (7) 2 P
a
3 g sen u. (8) 2 l
3 mg sen u cos u, 4 3 2 N mg mg sen u. 4 P
Ejemplo activo 19.1 Aplicación del trabajo y la energía
Trabajo realizado por el peso del disco y por el par M. Como el centro del disco se mueve a una distancia b, el disco gira a través de un ángulo (en radianes) b/R en el sentido de las manecillas del reloj. Por lo tanto, el trabajo que realiza el par constante es Mb/R.
U12 (mg sen b)b M
Iguale el trabajo con el cambio en la energía cinética del disco. La energía cinética inicial es cero. Sea v la velocidad del centro del disco y v su velocidad angular cuando el centro se ha movido una distancia b.
mgb sen b M
b. R
1 1 b mv2 Iv2 0. 2 2 R
(1)
Determinación de las relaciones cinemáticas
Relación entre la velocidad del centro del disco y la velocidad angular en el movimiento rodante.
v Rv.
Despejando v y v de las ecuaciones 1 (1) y (2) y sustituyendo I mR2 2 se obtiene la velocidad.
v
(2)
Mb 4 gb sen b . 3 mR
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632
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 19.4 Sea tf el tiempo en el que finaliza el deslizamiento. Aplique al disco A el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares desde t 0 hasta t tf, considerando a los momentos y velocidades angulares en sentido contrario al de las manecillas del reloj como positivos.
Sea vB0 la velocidad angular inicial en sentido contrario al de las manecillas del reloj del disco B. Aplique el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares al disco B desde t 0 hasta t tf, considerando a los momentos y velocidades angulares en sentido contrario al de las manecillas del reloj como positivos. Divida la ecuación (1) entre la ecuación (2), a fin de obtener una ecuación para vB0.
t2
M dt H2 H1 :
L t1 tf
RA f dt 0 IAv0 .
L 0
(1)
t2
M dt H2 H1:
L t1 tf
L 0
RB f dt 0 IB v B0 0. (2)
vB0
RBIA v. RAIB 0
Ejemplo activo 19.7 En este caso, la cantidad de movimiento lineal total es la misma antes y después del impacto.
En este caso, la cantidad de movimiento angular total respecto a cualquier punto fijo es la misma antes y después del impacto. Aplique la conservación de la cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa de la barra.
Aplique el coeficiente de restitución. Después del impacto v¿BP , es la velocidad de la barra en el punto de impacto.
mAvA 0 mAv¿A mBv¿B.
(1)
HA HB H¿A H¿B:
h 2 l (m v ) 0 h 2 l (m v¿ ) I v¿ . (2) 1
1
A A
e
v¿BP v¿A . vA 0
A A
B B
(3)
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Solución a problemas de práctica
633
v¿BP v¿A ¿B rP/B: Determine las relaciones cinemáticas. La velocidad de la barra en el punto de impacto puede expresarse en términos de la velocidad del centro de masa.
v¿BPi v¿Bi
i
j
k
0
0
v¿B
1 0 h l 2
v¿BP v¿B h
,
0
1 l v¿B. 2
(4)
Resolviendo las ecuaciones (1) a (4) para v¿A, v¿B, y v¿BP, y v¿B y use las relaciones 3 1 m l2 para h l, mA mB, e IB 4 12 B obtener la velocidad angular de la barra.
v¿B
12 11
(1 e)vA l
.
Ejemplo activo 20.1 vA vA rA/B i Aplique la ecuación (20.1).
5i
0 0.36
j
k
13.9 0.5 0
0
5i 0.18j 5k (m/s).
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634
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 20.4 Dibujo del diagrama de cuerpo libre y
La barra está sometida a su peso y a la fuerza F y el par C ejercidos por el disco. O
mg
z F C
x
Aplicación de la segunda ley de Newton
F ma: El centro de masa tiene una componente normal de aceleración bv20i.
F mgj m(bv20i). La fuerza que el disco ejerce sobre la barra es F mbv20i mgj.
Aplicación de la ecuación de movimiento angular
i El momento total respecto al punto O es la suma del par C y el momento respecto a O debido al peso y a la fuerza F.
M C b 0
j
k
i
j
k
1 l 2
0
b
0
0
mg
0
mbv20 mg
0
C.
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Solución a problemas de práctica
635
dvy dvz dvx Ixz Ixy dt dt dt Vz (Iyx v x Iyy v y Iyz v z)
MOx Ixx
Vy (Izx v x Izy v y Izz v z): Cx 0. dvy dvx dvz Iyz Iyy dt dt dt Vz (Ixx v x Ixy v y Ixz v z)
MOy Iyx
Vx (Izx v x Izy v y Izz v z),
Aplique las ecuaciones (20.12) con vx Vx 0, vy Vy v0, y vz Vz 0.
Cy 0. dvy dvx dvz Izy Izz dt dt dt Vy (Ixx v x Ixy v y Ixz v z)
MOz Izx
Vx (Iyx v x Iyy v y Iyz v z): 1 Cz mlbv20. 2 El par que ejerce el disco sobre la barra es 1 C mlbv20k. 2
Ejemplo activo 20.7 Sustituya las ecuaciones (1), (2) y (5) en la ecuación (20.29) para la precesión estable y 1 1 use las relaciones Ixx mR2 y Izz mR2. 2 2
m
v2 1 v2 R sen u mgR cos u mR2 2 sen u cos u rG 2 rG mR2
v2 1 1 cos u sen u. rG R rG
Resolviendo para v se obtiene
v =
2g(r - R cos u)2 cot u B
4r - 3R cos u
.
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636
Solución a problemas de práctica
Ejemplo activo 21.1 La ecuación (4) es la ecuación de movimiento del sistema en términos del desplazamiento de la masa respecto a su posición de equilibrio. La solución general de esta ecuación está dada por la ecuación (21.8), donde A y B son constantes.
En t 0, la posición de la masa es ~ x h y su veloci~ 0. Use estas condiciones iniciales a fin dad es dx/dt de resolver para las constantes A y B. Sustituyendo los resultados en la ecuación (5) determine la posición de la masa en función del tiempo.
x~ A sen vt B cos vt,
(5)
dx~ Av cos vt Bv sen vt. (6) dt Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecuaciones (5) y (6) se obtiene A 0, B h. La posición en función del tiempo es x~ h cos vt.
Ejemplo activo 21.3 v Evalúe v y d. El amortiguamiento es supercrítico. d La solución general está dada por la ecuación (21.24) con h d2 v2 2.24 rad/s.
En t 0, la posición de la masa es x 0.1 m y su velocidad es dx/dt 0. Use estas condiciones iniciales a fin de resolver para las constantes C y D. Sustituyendo los resultados en la ecuación (1) se determina la posición de la masa en función del tiempo.
k m
8 N/m 2 rad/s, 2 kg
12 N-s/m c 3 rad/s. 2(2 kg) 2m x Ce(d h)t De(d h)t
Ce0.764 t De5.24 t.
(1)
dx 0.764Ce0.764 t 5.24De5.24 t. (2) dt Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecuaciones (1) y (2) y resolviendo se obtiene C 0.117 m, D 0.0171 m. La posición en función del tiempo es x 0.117e0.764 t 0.0171De5.24 t m.
Ejemplo activo 21.5 La función de excitación a(t) F(t)/m 10 sen 4t m/s2 tiene la forma de la ecuación (21.27) con a0 10 m/s2, b0 0, y v0 4 rad/s. Las constantes v k/m 2 rad/s y d c/2m 0.25 rad/s.
Ep
a20 b20 (v2 v20)2 4d2v20
www.FreeLibros.org Sustituir estos valores en la ecuación (21.31) produce la amplitud de la solución particular.
0.822 m.
Respuestas a los problemas con número par Capítulo 12 12.2 12.4 12.6 12.8 12.10 12.12 12.14 12.16 12.18 12.20 12.22 12.24 12.26 12.28 12.30
(a) e = 2.7183; (b) e = 7.3891; (c) e = 7.3892. 17.8 m2. La llave de 1 pulg se ajusta a la tuerca de 25 mm. (a) 267 mi/h; (b) 392 pies/s. 310 N-m. g = 32.2 pies/s2. (a) 0.0208 m2; (b) 32.2 pulg2. 2.07 * 106 Pa. 27.4 lb/pie. (a) kg-m/s; (b) 2.70 slug-pie/s. (a) 0.397 kg; (b) 0.643 N. (a) 4.60 * 1019 slug; (b) 6.71 * 1020 kg. 163 lb. 32.1 km. 345,000 km. 2
2
Capítulo 13 13.2 v = 0, a = -4 pulg/s2. 13.4 (a) v = 13.0 m/s, a = 1.28 m/s2; (b) v = 14.7 m/s en t = 6.67 s. 13.6 (a) v = 28 m/s en t = 4 s; (b) a = 0. 13.8 (a) v = -1.78 m/s, a = -11.2 m/s2; (b) 2.51 m/s; (c) Cero. 13.10 (a) 0.628 m/s; (b) 3.95 m/s2. 13.12 s = 77 m, v = 66 m/s. 13.14 s = 100 m, v = 80 m/s. 13.16 4.33 m/s2. 13.18 2.47 s, 2430 m/s. 13.20 a = -6.66 m/s2. 13.22 s = 505 pies. 13.24 s = 1070 m, a = -24 m/s2. 13.26 825 pies. 13.28 3630 pies. 13.30 No. 66.7 pies/s (45.5 mi/h). 13.32 51.9 años solares. 13.34 (a) 45.5 s; (b) 3390 m. 13.36 10 s. 13.38 v = 6.73 pies/s, a = -8.64 pies/s2. 13.40 20 s. 13.42 v = 3.33 m/s. 13.44 v = 2.80 pulg/s. 13.46 11.2 km. 13.48 3240 pies. 13.50 2300 m. 13.52 42.5 m/s. 13.54 v = 3.42 pies/s. 13.56 c = 38,900.
1/2
13.126 13.128
v = –2(1-s2) m/s. (a) 1.29 pies; (b) 4.55 pies/s. v0 = 35,900 pies/s = 24,500 mi/hr. 1266 s o 21.1 min. r = 266.0i + 75.3j-36.7k (m). (a) R = 35.3 m; (b) R = 40.8 m; (c) R = 35.3 m. 98.3 pies/s. 19.0 m. 31.2 6 v0 6 34.2 pies/s. (a) Sí; (b) No. 82.5 m. | v | = 38.0 pies/s, t = 1.67 s. 17.2 m. v = 0.602i-4.66j (m/s). a = –0.099i + 0.414j (m/s2). (a) Positiva; (b) 7.27 * 10-5 rad/s, la Tierra rota 15°. 430 s. 14.6 s. (a) v = 1.70 rad/s; (b) u = 1 rad 157.3°2. de>dt = –8.81i + 13.4j. v = 12.5et (m/s), a = 3et + 0.391en (m/s2). (a) 1730 rpm; (b) 3.01 rad/s2. 1060 m/s2 (108 g’s). (a) v = 16et (m/s), a = 16et + 64en (m/s2); (b) s = 8 m. (a) vB = 87.3 et (pies/s); (b) vB = -61.7i - 61.7j(pies/s). v = R 2g>RE. v = 18.3et 1m/s2, a = 0.6 et + 6.68en 1m/s22. v = 12.05et (m/s), a = 0.121et + 2.905en (m/s2). (a) |a| = 45.0 pies/s2; (b) |a| = 59.9 pies/s2. v = 6.46et (m/s). (a) v = 15.2et (m/s), a = –1.63et + 9.67en (m/s2); (b) r = 24.0 m. 218 m. a = 3.59et + 1.72en (m/s2).
13.130
an = g> 31 + (gt>v0) .
13.58 13.60 13.62 13.66 13.68 13.70 13.72 13.74 13.76 13.78 13.80 13.82 13.84 13.86 13.90 13.94 13.96 13.98 13.100 13.102 13.104 13.106 13.108 13.110 13.112 13.114 13.116 13.118 13.120 13.122 13.124
2
13.132 dy>dt = 0.260 m/s, d2y>dt2 = - 0.150 m/s2. 13.134 (a) r = 16.7 pies; (b) an = 77.3 pies/s2. 13.138 v = - 0.971er - 1.76eu (m/s) . 13.140 aA = 0.331 er + 0.480 eu (m/s2) . 13.142 (a) vA = 3.75er + 1.40eu (pies/s); (b) du>dt = 0.468 rad/s. 13.144 (a) v = 0.32er + 2.03eu (m s); (b) v = 0.32i + 2.03j (m s). 13.146 aA = - 58.0er - 27.0eu 1m/s22.
www.FreeLibros.org 13.148 13.152 13.154
aA = - 1.09er 1m/s22. vC = 13.2 er + 18 eu (m/s) . a = 0, a = –0.631 rad/s2.
637
638
Respuestas a los problemas con número par
13.156 (a) a = –3.52er + 4.06eu (m/s2); (b) a = –0.38i - 5.36j (m/s2). 13.158 (a) a = –225er - 173eu (pies/s2); (b) a = –108i - 263j (pies/s2). 13.160 v = 1047eu + 587ez (pies/s), a = –219,000er (pies/s2). 13.162 (a), (b) vA>B = - 3.66i + 3.66j (m/s). 13.164 aA>B = 200i + 200j (pies/s2). 13.166 aA>B = 5i - 2j (pies/s2). 13.168 9.93° al este del nortenoreste, 42.0 min. 13.170 2.34 m/s, 342 s. 13.172 (a) 7.10 m; (b) 2.22 s; (c) 11.8 m/s. 13.174 v = 42.3 m/s. 13.176 13.1 s. 13.178 68.6 pies/s. 13.180 |v| = 2.19 m/s, |a| = 5.58 m/s2. 13.182 a = –2.75er - 4.86eu (m/s2). 13.184 (a) v = –2.13er + 6.64eu (m/s); (b) v = –5.90i + 3.71j (m/s).
Capítulo 14 14.2 14.4 14.6 14.8 14.10 14.12 14.14 14.16 14.18 14.20 14.22 14.24 14.26 14.28 14.30 14.32 14.34 14.36 14.38 14.40 14.42 14.44 14.46 14.48 14.50 14.52 14.54 14.56 14.58 14.60 14.62 14.64 14.66 14.68 14.70
(a) 6.70 m/s; (b) 10.0 m. F = 9.91 lb. 4.03 m/s hacia abajo sobre la superficie inclinada. 1.77 s. V = [22i + 2j + 40k] m/s. ©F = 2.40i + 1.20j + 2.08k 1kN2. 18.8 pies/s2. (a) No; (b) Sí, ax = 0.5 m/s2; (c) x = 2 m. Fx = - 198 N, Fy = 1800 N. W = 88.3 kN, T = 61.7 kN, L = 66.9 kN. L = 293.2 kN, D = 33.0 kN. (66, 138, –58) m. Fx = 0.359 N, Fy = 19.888 N. 2.10 m/s. (a) 3.93 lb; (b) 19.5 pies/s. (a) 1.01 m/s2; (b) 6.47 m/s2. F = 125 N. 4.43 pies hacia arriba sobre la superficie. (a) 1200 N; (b) 1.84 m/s. 0.332 m/s2 hacia delante, 7.04 m/s2 hacia atrás. v = ; 2 24 - s2 m/s . (a) 773 pies/s2 (24 g); (b) 28.0 pies/s. (a) 11.9 pies; (b) 813 lb. y = –18.8 mm. (a) 50 s; (b) 40.8 N; (c) 4.8i + j (m/s). 2.06 m/s2 hacia la parte superior de la barra. @ aA @ = 7.89 pies/s2. t = 0.600 s. Fx = –0.544 N. Fx = –73.4 N, Fy = 612 N. 0.284 s. vx = 0.486 m/s, vy = –0.461 m/s. © Ft = 0, © Fn = 373 lb . v = 17.6 m/s, © Fn = 620 N . La tensión es de 4.8 N, la fuerza es de 0.6 N.
(a) ©Ft = 9740 lb, ©Fn = 28,800 lb; (b) du>dt = 3.95°/s. 14.76 u = 49.9°, |v| = 10.8 pies/s. 14.78 2.62 v 3.74 m/s. 14.80 (a) 207,000 lb; (b) 41,700 pies. 14.82 (a) v = 140 m/s; (b) r = 815 m.
14.72
14.86 14.88 14.90 14.92 14.94 14.96 14.98 14.100 14.102 14.104 14.106 14.108 14.110 14.112 14.114 14.116
u = L0>R - 3(L0>R) - (2v0>R)t . r = 697 m, e = 0.916i-0.308j + 0.256k. b = 68.2° 11.4 m/s2. ©Fr = - 16.8 N, ©Fu = 20.7 N. 9.46er + 3.44eu (N). vr = 14.8 m/s. |v| = 2.89 m/s, T = 41.6 N. N = 1.02 lb. ms = 0.406. La masa se desliza hacia O. –1.48er-0.20eu (lb). k = 2mv20. 11.5er + 44.2eu + 10ez (N). @ ©F @ = 8.36 N en t = 4.39 s. (a) |v| = 1020 m/s; (b) t = 2.36 * 106 s (27.3 días). 2
14.118 v0 = 35,500 pies/s. 14.120 (a) 34.6 pies/s2, 3490 lb; (b) ms = 1.07. 14.122 (a) F1 = 63 kN, F2 = 126 kN, F3 = 189 kN. (b) F1 = 75 kN, F2 = 150 kN, F3 = 225 kN. 14.124 La desaceleración es de 1.49 m/s2, en comparación con 8.83 m/s2 sobre un camino nivelado. 14.126 14,300 pies (2.71 mi). 14.128 10.5 lb. 14.130 aA = 4.02 pies/s2, T = 17.5 lb. 14.132 29.7 pies. 14.134 9.30 N. 14.136 tan a = v2>rg. 14.138 ©F = -10.7er + 2.55eu (N).
Capítulo 15 15.2 8.06 m. 15.4 3.50 pies/s. 15.6 Pprom = 1.62 kW (kilowatts). 15.8 (a) 2.57 * 106 pie-lb/s (4670 hp). (b) 1.57 * 106 pie-lb/s (2850 hp). 15.10 (a) 1.32 * 107 pie-lb/s (24,000 hp). (b) 6.60 * 106 pie-lb/s (12,000 hp). 15.12 3.27 m/s.
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Respuestas a los problemas con número par 15.14 15.16 15.18 15.20 15.22 15.24 15.26 15.28 15.30 15.32 15.34 15.36 15.38 15.40 15.42 15.44 15.46 15.48 15.50 15.52 15.54 15.56 15.58 15.60 15.62 15.64 15.66 15.68 15.70 15.72 15.74 15.76 15.78 15.80 15.82 15.84 15.86 15.88 15.90 15.92 15.94
117 pies/s (80.0 mi/h). (a) 2160 pies-lb; (b) 7.39 lb. (a) -12.5 pies-lb; (b) 5.67 pies s. Trabajo = 509 N-m, v = 2.52 m/s. v = 21.8 m/s. 4.04 m/s. 2.58 pies/s. v = 1.72 m/s. V = 1.135 m/s. (a), (b), (c) 117 pies/s. (a) 5.98 m/s; (b) 5.56 m/s. 3.55 m/s. 12.7 pies/s. v0 = 15.66 m/s, vsuperior = 7.00 m/s 11.2 pies/s. 39.3 pies/s o 26.8 mi/hr. -107 kN-m. (a) U12 = 0.210 N-m; (b) v2 = 1.45 m/s. 621 lb/pie. (a) k = 900 lb/pie; (b) 274 pies/s2. 2.18 m/s. 2.83 m/s. (a) 5 pies; (b) 6.34 pies/s. 0.785 m. 0.385 m. v2 = 7.03 m/s. 5.77 m/s. k = 997 lb/pie. 4.90 m/s. 193,000 lb. 26,600 km. 2.25 * 1010 N-m. (a) 50 pies-lb; (b) 50 pies-lb; (c) 13.9 pies/s. (a), (b) 6.48 m. 3.95 m/s. (a) a = 60°; (b) Antes, 39.2 N; después, 58.9 N. u = 51.2°. (a) No; (b) 857 N. W[1 + 11 + 4C>W]. 1.56 m/s. 1.99 m/s.
V = 21 kS2 + 41 qS4. v = 2.30 m/s. v = 8.45 pies/s. v = 5.29er + 4eu (m/s). v = 11.0 km/s. 2880 m/s. v = 419 m/s. (a) F = -2xi - 3y2j (N); (b) -2 N-m a lo largo de cada trayectoria. 15.112 F = -[k1r - r02 + q1r - r023]er. 15.114 (a) F = (sen u - 2r cos2 u)er + (cos u + 2r - sen u cos u)eu. (b) El trabajo es de 2 lb-pie para cualquier trayectoria entre 1 y 2. 15.118 (a), (b) 193 pies.
15.96 15.98 15.100 15.102 15.104 15.106 15.108 15.110
15.120
15.122 15.124 15.126 15.128 15.130 15.132 15.134 15.136 15.138 15.140 15.142 15.144 15.146
639
Debe escoger (b). La velocidad del impacto es de 11.8 m/s, el trabajo es de 251 kN-m. En a), la velocidad del impacto es de 13.9 m/s, el trabajo es de -119 kN-m. v = 2.08 m/s. (a) 14.3 * 107 pies-lb; (b) v = 88[1 - e-1F0>88m2t]. k = 163 lb/pie. (a) k = 809 N/m; (b) v2 = 6.29 m/s. 4.39 pie/s. h = 0.179 m. (a) u = 27.9°; (b) 159 lb; (c) 222 lb. v1 = 4.73 pies/s. 1.02 m. 2.00 m/s. 24.8 pies/s. (a) v = 0; (b) v = 1gRE >2 = 18,300 pies/s o 12,500 mi/hr. (a) 11.3 MW (megawatts); (b) 9.45 MW
Capítulo 16 16.2 16.4 16.6 16.8 16.10 16.12 16.14 16.16 16.18 16.20 16.22 16.24
16.26 16.28 16.30 16.32 16.34 16.36 16.38 16.40 16.42 16.44 16.46 16.48
16.50 16.52 16.54 16.56 16.58
(a) 68.8 lb-s; (b) 22.2 pies s. 4.72 m/s (9.18 nudos). F0 = 0.856 N. v = 5.11i + 5.67j - 1.53k (m/s). v = 4.29i (pies/s). (a) 335 kN-s; (b) 7.84 s. 18.0 m/s. (a) 222 N-s; (b) 1.85 m/s. 0.199 s. 17.2 pies/s. 2.01 m/s. (a) v = 10i - 12.1j (m/s); (b) –589j (N-s); (c) v = 10i - 12.1j (m/s). (a) Fx = -32 cos 4t N, Fy = -32 sen 4t N; (b) v = 3.03i - 2.61j (m/s). 5.99 s. 37.3 m/s. 105 m/s. (a) 2070 lb; (b) 23.8 pies/s2. 75.1 lb (aproximadamente 600 veces el peso del reloj). La fuerza horizontal es de 0.234 N, la fuerza vertical es de 0.364 N. 1.54 lb. @vA @ = 2.07 m/s, @vB @ = 2.76 m/s. (a), (b) 1.63 pies/s hacia la derecha. (a), (b) 1.64 m/s hacia la derecha. (a) 6.47 * 10-4 m/s hacia la izquierda; (b) Cero; (c) 4 m hacia su izquierda. 2.41 m/s. 603 m/s. 96.9 mm. (a) 4i + 30j (mm/s); (b) x = 6.2 m, y = 6 m. A: 0.215 pie/s hacia la izquierda. B: 1.385 pies/s hacia la derecha.
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640 16.60 16.62 16.64 16.66 16.68 16.70 16.72 16.74 16.76 16.78 16.80 16.84 16.86 16.88 16.90 16.92 16.94 16.96 16.100 16.102 16.104 16.106 16.108 16.110 16.112 16.114 16.116 16.118 16.120 16.122 16.124 16.126 16.128 16.130 16.132 16.134 16.136 16.138 16.140 16.142 16.144 16.146 16.148
Respuestas a los problemas con número par A: 0.6 m/s hacia la izquierda. B: 0.4 m/s hacia la derecha. A: 228 pie/s2 (7.09 g’s). B: 155 pies/s2 (4.81 g’s). vA 1mk>2 . vA = 42.2 pies/s (28.8 mi/h). 3.00 m. e = 0.77. 4.5 pies/s hacia arriba. 0.963 m/s hacia la izquierda. 33.2°. vA = - 5.71i + 4j + 8k (m/s), vB = 3.89i - 6j + 5k (m/s). v¿A = i + j (m/s), v¿B = - i + j (m/s). vS = 35.3 m/s. (a) v = 12 t2i + 2tj (m/s), r = 16 t3i + t2 j (m); (b), (c) - 432k (kg-m2/s). @vr @ = 2490 m/s, @vu @ = 4310 m/s. v = 3.84 rad/s, vr = ; 0.262 m/s. 2.31 m. 6 N-m. (a) –1440k (kg-m2/s); (b) 1.2 m/s. 103 lb. 750 N. (a) 351i-849j (N); (b) 1200i-1200j(N); (c) 2400i (N). 0.406k (N-m). 51.9i-282.2j (N). 1530 m/s. m0 v = vf ln a b - gt. . m0 - m# f t (a) F = 3s + 12/32.2 lb. (b) 25.5 pies-lb. v = v0/C1 + ArL/2mBsD. 6820 N. 18.5 kN. (a) 180i + 360j (lb-s); (b) 12i + 44j (pies/s). 877 kN. (a) 34.9 pies/s; (b) 15,700 pies-lb. (a) 4.80 pies/s; (b) 415 pies. (a) 3.45 m/s; (b) 18.7 kN. (a) 8.23 kN; (b) 16.5 kN. @vA @ = 2.46 m/s, @vB @ = 2.90 m/s. 1.57 pies. e = 0.304. 2.30 m. x = –11.13 pulg, y = 6.42 pulg. @vr @ = 11,550 pie/s, @vu @ = 9430 pies/s. 867 lb (incluyendo el peso del tambor). (a) 30.1 pies/s; (b) 46.8 pies/s.
Capítulo 17 (a) 10.1 pies/s; (b) Tangencial, 2.51 pies/s2; normal, 50.5 pies/s2. 17.4 (a) 1.2 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, 0.4 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj; (b) @vA @ = 2.4 m/s, @aA @ = 2.99 m/s2. 17.6 (a) 2.67; (b) 2.67 rad/s.
17.8 17.10 17.12 17.14 17.16 17.18
17.20 17.22 17.24 17.26
17.28 17.30 17.32
17.34 17.36 17.38 17.40 17.42 17.44 17.46 17.48 17.50 17.52 17.54 17.56 17.58 17.60 17.62 17.64 17.66 17.68 17.70
17.72 17.74 17.76 17.78
17.2
vA = 83.8i + 83.8j (pulg/s), vB = -168j (pulg/s). Tangencial, 25 pies/s2; normal, 11,800 pies/s2. @vB @ = 2.37 m/s, @aB @ = 22.1 m/s2. V = 30i (rad/s). VOQ = -4k (rad/s), VPQ = 4k (rad/s). (a) vA>B = 4.8j (m/s); (b) V = 12k (rad/s); (c) vA>B = 4.8j (m/s). vB = 1.2i + 2.4j (m/s). vA = –5i + 8.66j (m/s). vA = 5i (m/s), vB = –3.54i-3.54j (m/s), vC = –3.54i + 3.54j (m/s). (a) 101 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj; (b) -117i - 117j (pies/s). vT = 12.4i + 5.1j (m/s). vG = 1.5i - 0.546j (m/s). vOQ = 1.18 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, vPQ = 1.18 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. vBD = 8 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, vD = 6.40i - 1.28j (m/s). 14.5 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. vBC = 3.33 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, vdisco = 20 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. vE = –12.3j (m/s). 0.0857 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. vAB = 2.31 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, vB = 3.15 m/s hacia la izquierda. vC = 25.1i pulg/s. vA = 1.2i + 1.2j (m/s). vBC = 2.61 rad/s, vC = –9.1i (m/s). 0.95 m/s. vC = 0.282i + 0.202j (m/s). vD = –0.557i + 0.815j (m/s). vW = 0.2 m/s, 4 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 35.5 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. Velocidad angular = 52.1 rad/s, o 497 rpm, @vA @ = 5.21 m/s. xC = 3 m, yC = 0, vB = 10 m/s. x = 0.35 pie, y = –1.5 pies. vB = 6i + 3.46j (pies/s). vBC = 5 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. vCD = 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 6.57 pulg/s. 1.67 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (a) x = 225 mm, y = 225 mm; (b) vC = 13.5i (m/s). vBC = 5.33 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, vCD = 4.57 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. (a) x = –0.425 m, y = 0.737 m; (b) vB = 2.31 m/s, v = 2.35 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (a), (b) aA = –73.3i + 27.0j (m/s2).
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17.82
Respuestas a los problemas con número par 17.84 aT = 2.02i + 2.37j (m/s2). 17.86 aA = –0.5j (m/s2), aB = 0.3j (m/s2). 17.88 vAC = 0, aAC = 1.13 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 17.90 500i - 100j (m/s2). 17.92 aOQ = 1.39 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. aPQ = 1.39 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.94 1.77 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.96 aBC = 26.8 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. aCD = 12.3 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.98 aAB = 19.0 rad/s2. 17.100 aBC = 6.67 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, adisco = 93.3 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.102 vAB = –0.879 rad/s, aAB = –1.06 rad/s2, vBC = –1.15 rad/s, aBC = –2.41 rad/s2. 17.104 aE = –12.3j (m/s2). 17.106 aC = –7.78i-33.54j (m/s2). 17.108 aD = –0.135i-0.144j (m/s2). 17.110 vAB = 3.55 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, aAB = 12.1 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj, vBC = 2.36 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, aBC = 16.5 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.112 0.0571 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 17.114 aplaneta = 41.4 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj, asol = 82.9 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.116 aCD = 26.5 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. aDE = 31.1 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.118 aA = –200i + 80j (pie/s2). 17.120 aC = –8.80i + 5.60j (m/s2). 17.122 vAC = 3 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, aAC = 6 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.124 0.549 m/s hacia la izquierda. 17.126 0.0972 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.128 vBC = 6.17° por segundo en sentido contrario al de las manecillas del reloj, la razón de extensión es de 0.109 m/s. 17.130 vAC = 8.66 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y la barra AC se desliza a través del collarín de la manga a 5 m/s hacia A. 17.132 vAC = 0.293 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, vC = - 0.738i - 1.370j (pie/s). 17.134 0.801 pie/s. 17.136 vAB = 2 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, vB rel = 2 m/s hacia C. 17.138 vAB = 5.18 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
641
17.140 vplaca = 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, y la velocidad a la que el pasador se desliza respecto a la ranura es de 0.2 m/s hacia abajo. 17.144 vA = 1.44i + 0.934j (pies/s). 17.146 vA = –3.5i + 0.5j + 4k (m/s), aA = –10i-6.5j-19.25k (m/s2). 17.148 –2i (m/s). 17.150 aA rel = –14i-2j (pies/s2). 17.152 (a) v = vj, a = –Av2/RE B i; (b) v = vj-vE RE cos Lk, a = -1v2>RE + v 2E RE cos2 L2i + v 2E RE sen L cos Lj + 2vEv sen Lk. 17.154 (a) –9.81k (m/s2); (b) 3.29i-9.81k (m/s2). 17.156 (a) 0.1i + 0.1j (m/s2); (b) 0.125i + 0.085j + 0.106k (m/s2). 17.160 OQ: 9.29 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, PQ: 2.92 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. 17.162 vC = –32.0j (pies/s). 17.164 aAB = 13.60 * 103 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj, aBC = 8.64 * 103 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.166 aD = - 3490i (pulg/s2). 17.168 aG = - 8.18i - 26.4j (pulg/s2). 17.170 vC = - 1.48i + 0.79j (m/s). 17.172 aC = - 2.99i - 1.40j (m/s2). 17.174 La velocidad es de 55.9 pulg/s hacia la derecha; la aceleración es de 390 pulg/s2 hacia la izquierda. 17.176 vBD = 0.733 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 17.178 vAB = 0.261 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj, vBC = 2.80 rad/s en sentido contrario de las manecillas del reloj. 17.180 vBC = 1.22 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, 18.0 m/s desde B hacia C. 17.182 Velocidad = 6.89 pies/s hacia arriba; aceleración = 169 pies/s2 hacia arriba. 17.184 5.66 N. 17.186 0.103 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Capítulo 18 18.2 18.4 18.6 18.8 18.10 18.12 18.14 18.16 18.18 18.20 18.22 18.24
(a) 0.980 pie/s2; (b) NA = 57.7 lb, NB = 172 lb. 9.23 m/s. (a) 3.22 pies/s2; (b) NA = 182 lb, NB = 58 lb. (a) 2.5 rad/s2; (b) 95.5 rpm. -8.9j (pies/s2). (a) 9.25 s; (b) 195 rpm. (a) 565 rpm; (b) 799 rpm. Cae 0.721 m, la tensión es de 80.8 N. (a) 12.3 rad/s2; (b) 8.67 rad/s2. 4.95 rad/s. Dx = 27.5 N, Dy = 23.6 N. 0.581 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
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642
Respuestas a los problemas con número par
18.26 MB = 27.1 N-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Bx = –11.0 N, By = 108.5 N. 18.28 aG = 0.1108i-0.0168j (m/s2), a = –0.000427 rad/s2. 18.30 FB = –19.1i + 183.3j (N), MB = 62.6k (N-m). 18.32 6.54 m/s. 18.34
vanillo>vdisco = 23>4.
18.112 18.114 18.116 18.118 18.120 18.122
2
18.36 (a) 14.7 rad/s ; (b) 41.7 N. 18.38 (a) 14.8 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. (b) ms = 0.227. 18.40 Velocidad = 3.81 pies/s, tiempo = 1.97 s. 18.42 (a) No se desliza, a = 22.2 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. (b) Se desliza, a = 53.6 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 18.44 27.9 N. 18.46 2.35 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 18.48 (a) 9.38 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. (b) 9.57 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 18.50 61.3 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 18.52 3.16 pies/s2. 18.54 ms = 0.108. 18.56 M = 402 lb-pie, la tensión es de 49.2 lb. 18.58 © F = -340i - 160j (N), © M = 20 N-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 18.62 (a) 9.34 m/s2; (b) 516 N-m. 18.64 aBC = 17.0 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 18.66 aOQ = 4.88 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. aPQ = 4.88 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 18.70 a = 0.255 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 18.72 I0 = 14 kg-m2. 18.74 Ieje z = 15.1 kg-m2. 18.76 Ieje x = 2.667 kg-m2, Ieje y = 0.667 kg-m2, Ieje z = 3.333 kg-m2. 18.78 Ieje y = 1.99 slug-pie2. 18.80 20.8 kg-m2. 18.82 18.84 18.86 18.88 18.90 18.92 18.94 18.96 18.98 18.100 18.102 18.104 18.106 18.108 18.110
17 I0 = 12 ml2. Ieje z = 74.0 kg-m2. Ieje z = 0.0803 slug-pie2. 3810 slug-pie2. Ieje z = 9.00 kg-m2. Ieje y = 3.07 kg-m2. I0 = 0.0188 kg-m2.
3 Ieje x = Ieje y = m A 20 R2 +
Ieje x = 0.844 kg-m2. Ix = 0.0535 kg-m2. Ix¿ = 0.995 kg-m2. Ieje z = 0.00911 kg-m2. I0 = 0.00367 kg-m2. Ieje z = 0.714 slug-pie2. (a) 12.1 s; (b) 144 lb.
18.124
18.126 18.128
Capítulo 19 19.2 19.4 19.6 19.8 19.10 19.12 19.14 19.16 19.18 19.20 19.22 19.24 19.26 19.28 19.30 19.32 19.34 19.36 19.38 19.40 19.42 19.44 19.46 19.48
3 5
h2 B .
(a) 20 m/s2; (b) c 49.1 mm. I = 2.05 kg-m2. 40.2 kN. a = –0.420 rad/s2, Fx = 336 N, Fy = 1710 N. a = (g/l)C3A1-m2 B sen u-6m cos uD/A2-m2 B en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Bx = –1959 N, By = 1238 N, Cx = 2081 N, Cy = –922 N. aOA = 0.425 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, aAB = 1.586 rad/s2 en sentido de las manecillas del reloj. aHP = 5.37 rad/s2 en el sentido de las manecillas del reloj. 208 m/s2 hacia la izquierda.
19.50 19.52 19.54 19.56 19.58 19.60 19.62 19.64 19.66
20.7 pies-lb. 1270 N-m. 353 rpm (37.0 rad/s). (a) 78.5 N-m; (b) Cero; (c) 3.84 rad/s. 22.2 lb. 1.39 m/s. 3.33 rad/s. 0.731 rad = 41.9°. U12 = 5630 N-m. 2.59 m/s hacia la derecha. 16.7 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. 7.52 pies/s. 5.72 pies/s. s = 66.1 m. 4.33 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. 0.384 m/s. 1.79 rad/s. 0.899 m/s. 2.57 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 4.52 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 2.80 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 2.34 rad/s. M = 28.2 N-m. (a) 250 N-m-s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (b) 11.4 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 3 s. (a) 126 rad/s; (b) 200 rad/s. 510 rad/s 14870 rpm2. 246 kN. v2 = 4.55 revoluciones por segundo. 3.94 rad/s (37.6 rpm). 1.46 m/s. 14.7°. 3.37 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
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Respuestas a los problemas con número par 19.68 19.70 19.72 19.74 19.78 19.80 19.82 19.84
19.86 19.88 19.90 19.92 19.94 19.96 19.98 19.100 19.102 19.104 19.106 19.108 19.110 19.112 19.114 19.116 19.118 19.120 19.122 19.124
0.00196 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 1.54 rad/s. 1.27 kN. vA = 1.47 m/s, vB = 12.8 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. (a) 229°; (b) 2.5 pie-lb. 5.96 pies/s. 9.6 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Velocidad = 5.77i - 2.10j (pies/s), velocidad angular = 3.15 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. v¿ = 0.375 rad/s. v¿ = 0.3 rad/s. v = 0.0997 rad/s = 5.71 grad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 15.0 km/hr. 0.00336 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. v = 2.05 m/s. v = 2Fb> C 21 mc + 2(m + I>R2) D . vS = 12.5 rad/s. (a) 1.13 pies; (b) 1.09 pies/s. Pmáx = 580 pies-lb/s (1.05 hp), Pprom = 290 pies-lb/s (0.53 hp). 11.1 rad/s. 1.77 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. N = (373/283)mg. v¿ = 0.721 rad/s. v¿ = A 13 + 23 cos b B v. b = 2 pies. v = 8.51 rad/s. u = 54.7°, v = 10.7 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. 0.0822k (rad/s). 0.641 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj, v¿ = -2.24i (pies/s).
Capítulo 20 20.2 20.4 20.6 20.8 20.10 20.12 20.14 20.16
a = - 6.94i (rad/s2). aA = -205i - 63.0j - 135k (m/s2). vC = 4i + 4k (m/s), vD = 4i - 8j (m/s). (a) -33.9j + 33.9k (pulg/s); (b) 22.6i - 33.9j + 33.9k (pulg/s). (a) vP = 48k (pies/s); (b) = -288k (rad/s2). (a) = 0.0453i - 0.0262j (rad/s2); (b) - 0.394i + 0.0693j + 0.209k (m/s2). vC = 0.4k (m/s). vA = 80i (mm/s), vB = -102.6i + 281.9j - 56.4k (mm/s). v = - 1.05i (m/s). (a) æ = 0.894i + 1.789j (rad/s); (b) rel = -4.47i (rad/s). a = -1.28i + 0.64j - 3.20k (m/s2).
643
20.24 v = 0. 20.26 F = mg j - mba0k, C = - 21 mlba0i. 20.28 ©M = 0.0135i - 0.0086j + 0.01k (N-m). 20.30 ©M = -76i + 36j - 60k (lb-pie). 20.32 ƒ aA ƒ = 2.5 m/s2. 20.34 (a) = 28.57i + 5.71j - 2.00k (rad/s2); (b) a = - 0.33i + 2.00j - 19.52k (m/s2). 20.36 (a) a = - 4.17k (m/s2); (b) = 49.5i + 137.7j (rad/s2). 20.38 A = -500.0i + 24.4j (rad/s2). 20.40 A = 14.5j (rad/s2). 20.42 A = 14.53j + 4.65k (rad/s2). 20.44 27.4 N-m. 20.46 @ F @ = 78.5 N, @ M @ = 260 N-m. 20.50 La fuerza es 20j - 19.9k (lb), el par es 12.4i (lb-pie). 20.52 -10j + 14.9k (lb), -12.4i (lb-pie). 20.58 157 N-m. 20.62 21.5 lb-pie. 20.64 4650 N-m. En sentido contrario al de las manecillas del reloj. 20.66 vd = - 21 v0 sen b. . 20.68 c = 1.31 rev/s. 20.70 29.1# rev/s. 20.72 (a) c = - 2050 rpm. (b) Z z 20 Cono de cuerpo
58.6
Cono de espacio
20.74 20.76 20.78
309 rad/s (49.1 revoluciones por segundo). v 0 = 10.7 rad/s. ©M = 2123i - 155j - 534k 1N-m2.
20.80
Ixx = 0.67 kg-m2, Iyy = 5.33 kg-m2, Izz = 6 kg-m2, Ixy = Iyz = Izx = 0.
20.82
Ixx = 0.12 kg-m2, Iyy = 0.03 kg-m2, Izz = 0.15 kg-m2, Ixy = Iyz = Izx = 0.
20.84
Ixx = 2.48 slug-pie2, Iyy = 16.77 slug-pie2, Izz = 19.25 slug-pie2, Ixy = 5.59 slug-pie2, Iyz = Izx = 0.
20.86
Ixx = 0.0318 kg-m2, Iyy = 0.0357 kg-m2, Izz = 0.0674 kg-m2, Ixy = 0.0219 kg-m2, Iyz = Izx = 0.
20.88
20.90
1 2 12 ml (vy j + vzk); 1 (b) HO = 3 ml2(vy j + vzk). Ix¿x¿ = 15,600 kg-m2, Iy¿y¿ = 226,800 kg-m2, Iz¿z¿ = 242,400 kg-m2, Ix¿y¿ = - 32,400 kg-m2,
(a) H =
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20.22
Iy¿z¿ = Iz¿x¿ = 0.
20.92
H = 2.00i - 1.64j + 2.58k 1kg-m2/s2.
644 20.94 20.96
20.98 20.100
20.102 20.104 20.106 20.108 20.110
Respuestas a los problemas con número par (a) I = 3.56 kg-m2; (b) 14.22 kg-m2/s. I1 = 16.15, I2 = 62.10, I3 = 81.75 kg-m2, e1 = 0.964i-0.220j + 0.151k, e2 = –0.204i-0.972j-0.114k, e3 = 0.172i + 0.079j-0.982k. 1 1 I1 = 0, I2 = 12 , I3 = 12 kg-m2, e1 = cos bi + sen bj, e2 = -sen bi + cos bj, e3 = k. (a) = vdi + v0 j; (b) vA = - Rv0 cos ui + Rvd cos uj + (Rvd sen u - bv0)k. (a) = 20i-5j (rad/s); (b) vA = 0.25i + 1.00j + 3.73k (m/s). aB = 166j (pies/s2), = 7.31i-5.52j + 22.89k (rad/s2). H = 25i + 50k (kg-m2/s). Ixx = 0.0398 slug-pie2, Iyy = 0.0373 slug-pie2, Izz = 0.0772 slug-pie2, Ixy = Iyz = Izx = 0. ©M = -250i - 250j + 125k (N-m).
2 20.112 v0 = C gsen b> A 3 l sen b cos b + b cos b B D . 20.114 (b) Si v0 = 0, la placa se encuentra en reposo. La solución de la ecuación 2 cos b - sen b = 0 es el valor de b para el cual el centro de masa de la placa está directamente arriba del punto O; la placa está balanceada sobre una esquina. 20.116 FB = 52.72i + 97.35j + 9.26k (N), MB = 0.05i-10.25j + 30.63k (N-m). z 20.118 1>2
8.85
25 Z
21.28 0.39 pulg. 21.30 uB = 0.172 sen 11.6t rad. 21.32 mA = 4.38 kg. 21.36 (a) f d = 0.900 Hz; (b) x = 0.0816 pie. 21.38 (a) c = 33.9 lb-s/pie; (b) x = 0.133 pie. 21.40 x = 2.38 pies. 21.42 (a) 276 pies/s2 (8.56 g’s); (b) 67.6 pies/s2 (2.10 g’s); (c) 15.8 pies/s2 (0.490 g’s). 21.44 (a) td = 2.32 s, fd = 0.431 Hz; (b) 5.28 s. 21.46 x = e-2t1- 0.325 sen 2.24t - 0.363 cos 2.24t2 + 0.363 m. 21.48 x = - 10.363 + 1.090t2e-3t + 0.363 m. 21.50 x = 0.237 m. 21.52 0.153 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj. 21.54 (a) 277 N-s/m; (b) u = 10te-4.33t rad; (c) umáx = 0.850 rad en t = 0.231 s. 21.56 uB = 0.209e-6.62t sen 9.55t rad. 21.58 x = 0.337 pie. 21.60 (a) xp = 0.5 m; (b) x = e-t1-0.289 sen 1.73t - 0.5 cos 1.73t2 + 0.5 m. 21.62 u = 0.581 sen 2.58t + 1.250 sen 2t rad. 21.64 11.5 lb. 21.66 0.113 mm. 21.70 16.5 pulg. 21.72 5.5 mm. 21.74 (a) x = (0.1) cos 3t m. 0.4 (b) v, m/s
x, m
0.3 0.2 0.1 0 0.1 0.2
20.120 ©M = -283i - 2546j - 800k (lb-pie). 20.122 A = 0.0535i + 0.0374j + 0.0160k (rad/s2).
0.3 0.4
0
1
2
3
4
5
t, segundos
Capítulo 21 21.2 21.4 21.6 21.8 21.10 21.12 21.14 21.16 21.18 21.20 21.24 21.26
'
x = 0.264 sen 3.79t pie. Amplitud = 0.166 m. x = 0.390 m. L = 0.203 m. x = 0.200 11 - cos 5.37t2. (a) f = 0.581 Hz, t = 1.72 s; (b) x = 0.351 m. k = 36.8 lb/pie. 0.692 Hz. 0.287 m/s hacia abajo. b = 0.01 cos 6t rad. I1eje z¿2 = 24.2 kg-m2. (a) r = 0.301 m; (b) f = 2.69 Hz.
f = 0.985 Hz. 1.03 Hz. f = 11>2p2 23[k>m2 3[1k/m2-1g>2l2] 1g/2l2].. d = 2.07. f d = 0.714 Hz. x = 0.118e-2.68t - 0.118e-14.01t pies. uB = e-5.05t10.244 sen 3.45t + 0.167 cos 3.45t2 rad. x = 0.253 sen 6.19t + 0.100 cos 6.19t + 0.145 sen 3.00t m. 21.94 1a2 Ep = 12pv>l22h>[1k>m2 - 12pv>l22];
21.78 21.80 21.82 21.84 21.86 21.88 21.90 21.92
1b2 v = l1k>m>2p.
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Índice A Aceleración angular, 61, 63-64, 119 de una línea, 61 de un cuerpo rígido, 285, 316, 318 centrípeta, 86, 91 constante, 28, 30, 32-33 de Coriolis, 86, 91, 345-346 de un cuerpo rígido, 285, 316, 318 de una línea, 61 en el movimiento curvilíneo, 49-55 en términos de coordenadas cartesianas, 49-55 en términos de coordenadas polares, 84-88 en términos de las componentes normal y tangencial, 67-72 problema de un proyectil, 50-51, 54-55 en el movimiento rectilíneo, 24-35 como una función de la posición, 42-43, 45 como una función de la velocidad, 41-44 como una función del tiempo, 26-31 constante, 28, 30, 32-33 gravitatoria, 15-16, 45 relativa, 23-24, 99, 315-317, 328-331 y la segunda ley de Newton, 7-8, 26, 107, 108-111 Amortiguamiento crítico, 566-567, 568 subcrítico, 566-567, 569-570 supercrítico, 566-567, 570 Amplitud, 549, 553-554, 567, 580
Ángulo conversiones de unidades, 8 de Euler, 475, 513-521, 523 de giro, 513, 520, 522 de nutación, 513, 515, 522 de precesión, 513, 515, 517, 520, 522 Atenuación, 566-567, 569, 571
C Cantidad de movimiento angular, 64-65, 257-259, 437-438, 442-444 conservación de la, 439 de un sistema de partículas, 366-369 principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares, 255-258, 436-437 Cantidad de movimiento lineal, 108, 255-258, 366-367, 436-437 conservación de la, 238-239 definición de la, 108 de un sistema de partículas, 366-367 principio del impulso y la cantidad de movimiento, 255-258, 436-437 Centrifugadora, 78-79 Centro de masa, 22, 26 ecuación de movimiento para el, 108-110 y la segunda ley de Newton, 108-110, 365-367 Centros instantáneos, 308-309 Ciclo, 553
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Índice
Cifras significativas, 5 Cilindro homogéneo, momentos de inercia de un, 402-403 Cinemática de un cuerpo rígido: en el movimiento plano, 279-363 en el movimiento tridimensional, 475-479, 508-547 de un punto, 21-105 Coeficiente de restitución, 240, 241, 243, 275, 451-454 Componentes normal y tangencial, 67-77 movimiento circular, 70 movimiento curvilíneo, 67-72 movimiento en términos de, 74-75 movimiento plano, 67-70, 72 movimiento tridimensional, 71-72 relación de las componentes cartesianas con las, 76-77 segunda ley de Newton, aplicación a, 133-139 Cono de cuerpo, 517, 522 de espacio, 517, 522 Conservación de la cantidad de movimiento lineal, 238-239, 242, 244-245 de la energía, 165, 197-206, 260, 421 Constante gravitatoria universal, 15 Contactos deslizantes, 328-331 barra que se desliza respecto a un soporte, 334-336 definición de, 328 mecanismo con, 332-333 Coordenadas cartesianas, 49-52, 214 cilíndricas, 87-89, 214 definición de, 87-88 segunda ley de Newton, aplicación de la, 146-147 esféricas, 608 polares, 84-88 análisis del movimiento en términos de, 90 segunda ley de Newton en, 146 Cuerpos rígidos cinemática en el movimiento plano, 279-363 en el movimiento tridimensional, 475-479, 508-547 definición de, 280 dinámica en el movimiento plano, 365-411 en el movimiento tridimensional, 475, 476, 494-496, 498 ecuaciones de movimiento para, en el movimiento plano, 365, 366-372 en el movimiento tridimensional, 491-516
D Decrecimiento logarítmico, 569 Derivadas, 552 Desplazamiento, 23, 25, 28 Diagramas de cuerpo libre, 107, 112 Dinámica, 4 plana de cuerpos rígidos, 365-411 tridimensional de una barra, 500-501 de un cilindro inclinado, 504-505
E Ecuación dimensionalmente homogénea, 11 Ecuaciones cuadráticas, 567 de Euler, 491-516 en términos de los ángulos de Euler, 519 movimiento tridimensional general, 494-496 rotación respecto a un punto fijo, 491-492, 497-498 de movimiento, 4 centro de masa, 108-110 de un cuerpo rígido en movimiento plano, 365, 366-371, 372 de un cuerpo rígido en movimiento tridimensional (ecuaciones de Euler), 491-516 de un sistema de partículas, 366-369 segunda ley de Newton, 112-113, 369, 372 Eje de giro, 515, 524, 526 de rotación instantáneo, 292, 476 fijo, rotación respecto a un, 281, 282-285 principal, 519 Empuje de un cohete, 264-265, 267 Energía cinética, 13, 169 definición de, 165 de un cuerpo rígido, 475-547 movimiento plano general, 497 rotación respecto a un eje fijo, 281, 283-285, 369, 415 rotacional, 416, 420 traslacional, 416, 420 y trabajo, 166-169 Energía potencial, 165, 196-197 asociada con el peso de un objeto, 180-181 asociada con un resorte lineal, 199 asociada con un resorte torsional, 426-427 conservación de la energía, 165, 197-206, 260, 421 determinación de la fuerza a partir de la, 215
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Índice
fuerzas conservativas, 197-201, 225 principio del trabajo y la energía, 166-167, 169, 170-171, 224-225, 255, 413-422 Espacio, 5 Estática, 4 Estrategias para la resolución de problemas, 4
F Flujos de masa, 263-264, 267 empuje de un cohete, 264-265, 267 fuerza resultante de, 267 motores de propulsión, 268 Frecuencia, 553 resonante, 580 Fuerza(s), 7 conservativas, 197-201, 225 impulsiva, 224-227 determinación, 229 relaciones entre energía potencial y, 213-215 y la segunda ley de Newton, 108-110 Función de excitación oscilatoria, 579-580, 583, 584-585 polinomial, 581-582, 583, 586-587
conservación de la cantidad de movimiento lineal en, 244-245, 450 perfectamente elásticos, 241, 251, 274 perfectamente plásticos, 239, 241-243, 274 Impulso angular, 257-259, 436-437 lineal, 224, 226 principios del impulso y la cantidad de movimiento, 255-258, 436-437 Integrales, 533
J Joules (J), 167
K Kepler, Johannes, 6, 96, 153 kilo, 7 Kilogramo (kg), 7, 9 Kilolibra (kip), 8 Kilómetro (km), 7 Kilonewtons (kN), 7
G
L
Galileo, 105 giga, 7 Grado de libertad, 555 Gravedad de la Tierra, trabajo realizado por la, 188 Gravitación de Newton, 15-19 energía potencial, 196-197 y trabajo, 180-182
Leyes de Newton, 6-7 Libra (lb), 7, 8, 9
H Hertz (Hz), 555 Hora (h), 5, 8, 9
I Impactos, 239-241, 450-454 centrales directos, 239-241, 243 centrales oblicuos, 241, 243 coeficiente de restitución, 240, 241, 243, 275, 451-454 conservación de la cantidad de movimiento angular en, 451
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M Marco de referencia cartesiano, descripción del movimiento en términos de, 52-53, 73 centrados en la Tierra, marco de referencia no giratorio, 343-344 definición de, 22, 24 fijo al cuerpo, 328, 330-331, 355 inercial (newtoniano), 110-112, 167, 241, 255, 258, 342-346 marco de referencia fijo a la Tierra, 110, 125, 144, 281, 330-331, 344-345 móviles, 342-348, 477-478 movimiento de un punto respecto a, 342-343 y cinemática de cuerpos rígidos en el movimiento tridimensional, 476-478 polar, descripción del movimiento en términos de, 91 primario, 329-331, 477 secundario, 328, 331, 342-343, 347-348, 477-480, 485
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Índice
Masa, Vea también Centro de masa conversión de unidades, 8 en unidades de uso común en Estados Unidos, 8 en unidades SI, 7 y la segunda ley de Newton, 7 Matriz de inercia definición, 494 de una barra delgada, 529-530 de una placa delgada, 530-532 Mecánica aplicaciones a la ingeniería, 4 aprendizaje, 4 como ciencia, 4 conceptos fundamentales, 5-8 cronología de desarrollos en mecánica hasta el Principia de Newton, 6 de órbitas, 153-157 e ingeniería, 4-8 leyes de Newton, 6-7 principios de la, 5 resolución de problemas, 4 mega, 7 Métodos de la cantidad de movimiento, 223-277 cantidad de movimiento angular, 64-65, 257-259, 437-438, 442-444 conservación de la cantidad de movimiento lineal, 238-239, 242, 244-245 flujos de masa, 263-264, 267 impactos, 239-242, 450-454 movimiento de fuerza central, 256-257 principio del impulso angular, 255-258, 436-437 Métodos energéticos conservación de la energía, 165, 197-206, 260, 421 energía cinética, 13, 169 de un cuerpo rígido, 475-547 energía potencial, 165, 196-197 asociada con el peso del objeto, 180-181 asociada con un resorte lineal, 199 asociada con un resorte torsional, 426-427 fuerzas conservativas, 197-198, 200-201, 225 potencia, 168-169, 415, 422 trabajo, 165 evaluación del, 167-168 realizado por el peso de un objeto, 180-181 realizado por un par, 418, 421 realizado por un resorte, 182 trabajo y la energía, principio del, 166-167, 169, 170-171, 224-225, 255, 413-422 Metro (m), 5, 9 mili, 7 Milla (mi), 8 Minuto (min), 5, 8
Momentos de inercia, 395-398 polares, 396 principales, 534-535 respecto a un eje arbitrario, 534 teoremas de los ejes paralelos, 398-400, 417, 529, 532-533 Movimiento armónico simple, 553-554 circular, 73, 87 componentes normal y tangencial, 70 y coordenadas polares, 87 curvilíneo, 49-55 componentes normal y tangencial, 67-72 coordenadas cartesianas, 49-52 coordenadas polares y cilíndricas, 84-88 problema de un proyectil, 50-51, 54-55 de fuerza central, 256-257 de un punto, 21-105 coordenadas polares, 84-88, 90-91 movimiento curvilíneo, 49-55, 84, 99 movimiento rectilíneo, 24-25 movimiento relativo, 99-101 de un trompo dormido, 515 plano (bidimensional), 67-70, 72 rectilíneo, 24-25 análisis del, 26-28 aplicación de la segunda ley de Newton a, 112-113, 115, 116 con aceleración constante, 28, 32-33 descripción del, 24-26 solución gráfica del, 33, 34-35 trabajo y energía en, 166-167 y coordenadas cartesianas, 112-121 relativo, 99-101 tridimensional, 71-72 de un cuerpo rígido, 475, 476, 494-496, 498 de un punto, 21-105
N nano, 7 Newton (N), 7, 9, 106 Newton, Isaac, 6-7 Nivel de referencia, 198-199, 201 Números, 5 cifras significativas, 5 uso de los, en el texto, 5
O
www.FreeLibros.org Objeto compuesto, momentos de inercia de un, 397, 401
Índice
Oscilador resorte-masa, 555, 566 amortiguado, 570-571
P Pascales (Pa), 10, 14 Péndulo, 5, 551, 560 Periodo, 553, 580 Peso determinación del, 17 energía potencial del, 202-203 trabajo realizado por el, 184-188 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Newton), 6 Pie, 5, 8 pie-lb, 13, 167 Placa triangular, momentos de inercia de una, 398 Plano osculatriz, 71-72 Posición, 22-24, 28 aceleración en función de la, 42-43, 45 angular, 61, 63, 150 desplazamiento, 23, 25, 28 Potencia, 168-169, 415, 422 definición, 168 y trabajo, 168-170 Precesión, 515 estable, 515, 520 estable libre de momento, 521 de un trompo, 515 libre de momento, 515-517 retrógrada, 517 Prefijos, usados en las unidades SI, 7 Presión, conversión de unidades de, 10 Principio(s) de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas, 366-369 de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal, 366-367, 369 de momento y la cantidad de movimiento angular, 367-368, 369 del impulso y la cantidad de movimiento angulares, 255-258, 436-437 del trabajo y la energía, 166-167, 169, 170-171, 224-225, 255, 413-422 Problema(s) de fuerza central y coordenadas polares, 84 órbita circular, 75 proyectil, 50-51, 54-55 Productos de inercia, 492, 495, 498, 499, 501, 517, 520, 529-535 Pulgada (pulg), 8 Punto fijo, rotación respecto a un, 491-492, 497-498
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R Radianes (rad), 8 Radio de curvatura instantáneo, 72 Razón de flujo de masa, 264 de precesión, 515 Redondeo de números a cifras significativas, 5 Regla de la cadena, 25, 29, 42 Resonancia, 580 Resortes energía potencial de, 201, 202-203 torsionales, 66 trabajo realizado por, 182 Rodamiento, 291-294 Rotación respecto a un eje fijo, 281, 283-285, 369, 415 respecto a un punto fijo, y ecuaciones de Euler, 491-492, 497-498 Rowlett, Russ, 9
S Segunda ley de Newton, 7, 8, 26, 107-158, 165, 166, 223-226, 280, 342 mecánica de órbitas, 153-157 y aceleración, 7-8, 26, 107, 108-111 y componentes normal y tangencial, 133-139 y coordenadas cilíndricas, 146-147 y coordenadas polares, 148-149 y marcos de referencia inerciales, 110-111 y movimiento rectilíneo, 112-115 Segundo(s), 8, 9 Seguridad, e ingeniería, 4 Series de Taylor, 212, 551, 587 Sistema internacional de unidades (unidades SI), 7, 9 prefijos usados en el, 7 Slug, 8 Solución de estado estable, 580, 585, 588
T Tiempo, 5 conversiones de unidades, 8 Teorema de Euler, 292, 476 Teoremas de los ejes paralelos, 398-400, 417, 529, 532-533 Tercera ley de Newton, 109, 238, 366 Trabajo, 165 evaluación del, 167-168
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Índice
principio del trabajo y la energía, 166-167, 169, 170-171, 224-225, 255, 413-422 realizado por el peso de un objeto, 180-181 realizado por un par, 418, 421 realizado por un resorte, 182 Traslación, 281, 309, 310 Trayectoria, 21 Trompo, movimiento de un, 476, 515
U Unidad angular, 8 básica, 7, 9 conversión de, 8-10 de uso común en Estados Unidos, 5-6, 8, 9 derivada, 7 Sistema Internacional de unidades, 7
V Vector de aceleración angular, 317 Vector de posición en coordenadas, 22-24 cartesianas, 49 cilíndricas, 88 esféricas, 608 polares, 84 Vector unitario giratorio, 61-63 Velocidad, 5, 24, 28 angular, 6, 61, 63 de una línea, 61
de un cuerpo rígido, 282-285, 290-291 relativa, 23-24, 99, 290-294, 308-309, 328-331 vector de, 292-296, 370 de escape, 45, 75 movimiento curvilíneo, 49-55 en términos de coordenadas cartesianas, 49-52 en términos de coordenadas polares, 50-51, 54-55 en términos de las componentes normal y tangencial, 67-72 relativa, 23-24, 99, 290-294, 308-309, 328-331 Vibraciones amortiguadas, 566-573 amortiguamiento crítico, 566-567, 568 amortiguamiento subcrítico, 566-567, 569-570 amortiguamiento supercrítico, 566-567, 570 atenuación de, 566-567, 569, 571 constante de amortiguamiento, 566 elemento de amortiguamiento, 566 mecanismos de amortiguamiento, 566 oscilador resorte-masa amortiguado, 570-571 amplitud de, 549, 553-554, 567, 580 ciclo de, 553 forzadas, 578-582 definición de, 578 función de excitación, 578, 582 función de excitación oscilatoria, 579-580, 583, 584-585 función de excitación polinomial, 581, 583, 586-587 frecuencia de las, 557, 560, 561 libres, 578 periodo de las, 560, 569 sistemas conservativos, 550-554
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Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos Los momentos y productos de inercia del objeto en términos del sistema coordenado xyz son,
y
dm y x
z
x
z
y 1 2l
I eje x = I xx =
∫m ( y
2
+ x 2 ) dm,
I eje y = I yy =
∫m ( x
2
+ z 2 ) dm,
I eje z = I zz =
∫m ( x
2
+ z 2 ) dm,
I xy =
∫m xy dm,
I zx =
∫m zx dm.
I eje x = 0,
y
I yz =
∫m yz dm,
I eje y = I eje z =
1 2 ml , 3
I xy = I yz = I zx = 0.
O
l
z z
x, x
I eje x ′ = 0,
I eje y′ = I eje z′ =
1 ml 2 , 12
I x ′y′ = I y′z′ = I z′x ′ = 0.
Barra delgada y
1 mR 2 , 4 = I z′x ′ = 0.
I eje x ′ = I eje y′ = I x ′y′ = I y′z′
R z
I eje z′ =
1 mR 2 , 2
x
Placa circular delgada
y
I eje x =
y 1 2b
1h 2
O x
z
I eje y =
1 2 mb , 3
1 mbh, I yz = I zx = 0. 4 1 1 I eje x ′ = mh 2 , I eje y ′ = mb 2 , 12 12 I x ′y ′ = I y ′z ′ = I z ′x ′ = 0.
I eje z =
1 m(b 2 + h 2 ),, 3
I xy =
b
h
1 2 mh , 3
z x
I eje z ′ =
1 m(b 2 + h 2 ), 12
www.FreeLibros.org Placa rectangular delgada
