CINEMATICA DE LA PARTICULA EN EL ESPACIO MOVIMIENTO ABSOLUTO • En este capitulo explicaremos como se puede localizar un punto en el espacio a partir de un sistema de referencia. • Determinaremos la Posicion, velocidad y aceleracion de una particula en el espacio. • Una posicion esta determinada por un conjunto de coordenadas, sean rectangulares, cilindricas o esfericas.
• 1. Indicando una posición en una via
Mapa de una via en una ciudad
Ubicando la posicion de una particula con un GPS
Una Posicion en el espacio
CINEMÁTICA
• Orientacion de dos espacios:
• Espacios Positivos y Negativos:
CINEMÁTICA Coordenada en el Espacio
• Orientacion del vector:
CINEMÁTICA
• Coordenada Positiva:
• Coordenada Negativa:
Movimiento curvilíneo de una partícula: Cuando una partícula no se desplaza en línea recta se dice que la partícula ; describe un movimiento curvilíneo. Tanto en el plano, como en el espacio existen tres procedimientos de descripción del movimiento de una partícula: •Procedimiento vectorial •Procedimiento de coordenadas •Procedimiento natural Procedimiento vectorial
•Vector posición ( •Velocidad media:
; para •Velocidad instantánea (
•Aceleración media(
•Aceleración instantánea
Movimiento curvilíneo en coordenadas rectangulares •Vector posición (
•Velocidad (
•Aceleración (
=
MOVIMIENTO PARTICULA EN COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL se utiliza en plano y en el espacio, pero es de mas utilidad practica en problemas de movimiento plano.
v
a
v e t
a
v e t
a
dv dt
vet
det ds v dt ds d e t v2 ds
et v
t ve
radio de curvatura
a
et v
a
et v
d et ds v dt ds 2 d et v ds ds
del grafico: et et también:
d
0
d et e t et ds d e t et ds a
et v
d et ds et
0
et
en
d et ds d et ds
v2 en
escalarmente: at
v
d 2s dt 2
dv ; an dt
v2 /
0 1 en
De la figura tenemos algunas propiedades importantes:
at
v a ; an v
v a ; v
a
at 2
an 2
v3 v a
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL Es util para aplicaciones en problemas de movimiento plano. Vector Posiciòn:
r
rer
v
Velocidad: Aceleraciòn: donde:
r e
r
r e
a (r - r )er (r 2r )e
ar r - r ; a
r 2r
Caso particular: Movimiento Circular:
v
r e
a
-r er
r e
r
R
dR
v
R r e
dt
a
d 2R ( r dt 2
zk
re r
r
2
z k
r e r
)e
r
( r r
2 r ) e
zk
Los carros de un parque de atracciones están sujetos a unos brazos de longitud constante R=8m, los que están articulados en un plato central giratorio que arrastra al conjunto en torno a su centro, siguiendo la relación z=(h/2)(1-cos2θ). Si h=4m y =8k rad/s constante, para θ=π/4 rad, determine: 1.
La magnitud de la velocidad transversal V . (m/s)
2.
La aceleración transversal a .(m/s2)
En primer lugar determinamos las variaciones de respecto del tiempo
• Para h=4 m, reemplazamos en la expresión Z.
Expresiones de Z y sus derivadas respecto del tiempo:
Expresiones de r y sus derivadas respecto del tiempo:
Ordenando la informacion obtenida:
r
7.7459m
rad
z
2m
4
r r
8.2623m
s
141.011 m 2 s
rad 8
z
32
m s
s
rad 0 s
2
z
0
m s2
La velocidad en coordenadas cilíndricas esta dado por
Vr
8.2623 m
s
V
61.9672 m
s
Vz
32 m
La aceleración en coordenadas cilíndricas esta dado por:
s
e
eR
R
e X
V
dR dt
d ReR dt
Y
R
ReR
ReR
d eR R dt
MOVIMIENTO DE LA PARTICULA EN COORDENADAS ESFERICAS
R ReR
POSICION:
VELOCIDAD:
vR ACELERACION:
v
v R eR
R ; vθ
a
v e
v e
Rθ Cosφ ; vφ
a R eR
a e
Rφ
a e
Por consiguiente tenemos:
aR
R - R 2 - R 2 Cos 2
a
Cos R
a
1 d 2 (R ) R dt
d 2 ( R ) - 2R Sen dt 2 R Sen Cos
Transformacion de Coordenadas Nos sirven para determinar velocidades y aceleraciones en un sistema,en base a otros conocidos. Considerando que las ecuaciones de transformacion son lineales, utilizando el algebra matricial, definiremos los 6 casos de transformacion: Caso I.- De coordenadas rectangulares a coordenadas cilindricas:
cos T
[v( r , [a( r ,
Sen 0 ,z)
sen
0
cos 0
0 1
] [T ][v( x , y , z ) ]
,z)
] [T ][a( x , y , z ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso II.- De coordenadas cilindricas a coordenadas rectangulares:
Cos T
1
Sen
Sen 0
Cos 0
[v( x, y , z ) ] [T
1
[a( x, y , z ) ] [T
1
][v( r , ][a( r ,
0 0 1
,z)
]
,z)
]
Transformacion de Coordenadas Caso III.- De coordenadas cilindricas a coordenadas esfericas:
Cos T
0 Sen
0
Sen
1 0 0 Cos
[v( R ,
, )
] [T ][v( r ,
,z)
]
[a( R ,
, )
] [T ][a( r ,
,z)
]
Transformacion de Coordenadas Caso IV.- De coordenadas esfericas a coordenadas cilindricas:
T
1
[v( r , [a( r ,
,z)
,z)
Cos
0
0 Sen
1 0
] [T
1
] [T
1
Sen 0 Cos
][v( R,
, )
]
][a( R,
, )
]
Transformacion de Coordenadas Caso V.- De coordenadas rectangulares a coordenadas esfericas:
cos cos T T
Sen Sen Cos
Cos Sen Cos Sen Sen
Sen 0 Cos
[v( R ,
, )
] [T ][T ][v( x , y , z ) ]
[a( R ,
, )
] [T ][T ][a( x , y , z ) ]
Transformacion de Coordenadas Caso VI.- De coordenadas esfericas a coordenadas rectangulares:
Cos Cos T
1
T
1
Sen
Sen Cos Sen
Cos 0 1
Cos Sen Sen Sen Cos
1
[v( x, y , z ) ] [T ][T ][v( R, 1
, )
]
, )
]
1
[a( x, y , z ) ] [T ][T ][a( R,
PROBLEMA DE APLICACIÓN 1
Un vehículo se desplaza con rapidez constante de 1,5m/s. La distancia entre crestas consecutivas es de 12m.
Z 1.- Determinar la rapidez VR. 2.- Determinar la magnitud de la aceleración aR. 3.- Determinar la magnitud de la aceleración ax. 4:- Determinar la magnitud de la aceleración ay. 5.- Determinar la magnitud de la aceleración az 10 m
12 m
Y
X
Z
Y
X
V = 1,5 m/s (rapidez constante) r = 10m (distancia del origen al vehículo) p = 12m (paso)
Y
PROYECCIÓN LATERAL
tg
5 3
Por las condiciones del problema
LUEGO DE UNA TRANSFORMACIÓN
v
0,2814 ;0,14734 ; 1,0336
R
v
R
0,2814 m
s
AHORA CALCULAMOS LA ACELERACIÓN
a
a
ºº r z
r r
º2
ºº
ê
r
r
º º
2r
ºº ^
ê
zk
^ r z
0,21709 . êr 0 ê
0k
RESPUESTAS
Nº
Cantidad Escalar
Valor Numérico
Unidades
1.-
VR
0,2814
m/s
2.-
aR
0,21709
m/s2
3.-
ax
0
m/ s2
4.-
ay
0,21709
m/ s2
5.-
az
0
m/ s2
PROBLEMA DE APLICACIÓN 2
En el instante mostrado el rociador de agua está girando con =2 rad/s = 3 rad/s2 . Si la tobera se halla en el plano vertical y el agua fluye por ella a razón constante con respecto al eje de 3 m/s y la tobera gira Z con = 5 rad/s y =8 rad/s2
Calcular: 1.- La magnitud de la velocidad del agua en la salida. (m/s) 2.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje X. (m/s2) 3.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Y. (m/s2) 4.- La magnitud de la aceleración del agua en la salida ,en el eje Z. (m/s2)
De la figura :
Recopilando datos a utilizar
R 0.2m R 3 m s R 0 m 2 s
rad
2 5 Rad s 8 Rad 2 s
rad
4 2 rad s rad 3 2 s
CALCULO DE LA VELOCIDAD En coordenadas esféricas, la velocidad está dada por:
V
vr er v e
ve
V
R 3 m s Rx x cos
V
0.2 x(5) xCos(45º ) 0.7071 m
Vr
V
R 0.2 x(2)
0.4 m
s
s
• Calculando el modulo : 2
V V
vr 2
v
2
v
2
2
3.1080 m 0.4
2
3
0.7071
V
3.1080 m / s
s
3.1080 m
s
CALCULO DE ACELERACIONES En coordenadas esféricas la aceleración está dada por:
a ar er
ar
ar
R R 2
2 R Cos
0 0.2 x2
2
ar
a
ae
ae
2
2
0.2 x5 xCos 45º 2
3.3 m / s 2 R Cos R Cos
2 R Sen
a
2 x3x5xCos45º 0.2 x8xCos45º 2 x0.2 x5x2 xSen45º a
a a
19 .5161 m / s
2
2 2R R R Sen Cos 2
2 x3x 2 0.2 x3 0.2 x5 xSen45 º Cos 45 º
a
15 .1 m / s
2
Aplicamos transformación de coordenadas esféricas a coordenadas cartesianas según la ecuación: 1
1
[a( x, y , z ) ] [T ][T ][a( r ,
, )
]
…(1)
en donde:
cos cos T
1
T
1
sen cos sen
sen cos 0
cos sen sen sen cos
reemplazando datos en (1):
ax
0
ay az
0.7071 0.7071
1 0 0
0
3.3
0.7071 19 .5161 0.7071 15 .1
resolviendo:
ax
19 .5161
ay az
13 .0106 8.3438
Finalmente 01.
VA =
3.1080
m/s
02.
aAx =
19.5161
m/s²
03.
aAy =
13.0106
m/s²
04.
aAz =
8.3438
m/s²
II. SISTEMA BIDIMENSIONAL a) Coordenada s Rectangula res F ma xiˆ ma y ˆj } Fx
ma x
mx
Fx
mx
Fy
ma y
my
Fy
my
Trabajando el movimiento de la partícula con respecto a un solo sistema inercial
c) Componente s tangencia l y normal F
mvet
v2 m en }
Ft Fn
m m
dv dt v2
d) Componente s radial y tranvers al F ma m ar a ma r er ma e F r m r r F
m r 2r
mv mw 2
III. SISTEMA TRIDIMENSIONAL a) Componente s Rectangula res F ma mxiˆ myˆj mzkˆ F x mx F y my F z mz d) Componente s Cilindrica s F ma ma r er ma e F r ma r
m r r
F
m r 2r
ma
F z ma z
mz
ma z k
d) Componente s Esféricas F ma ma r er ma e
ma e
F r ma r
R mR
R cos 2
F
ma
m
cos R
F z ma z
m
1 d 2 R R dt
d 2 R dt
2 R sen R 2 sen cos
Ecuaciones del movimiento introduciendo el concepto de movimiento relativo: • Sea A un punto material de masa “m” Luego : F ma A Donde aA; es la aceleración absoluta de A (con respecto al Sistema Inercial XYZ) Luego : aA F
aB
m aB
w rA / B w rA / B
w (w rA / B ) 2w vrelA/ B arelA/ B w ( w rA / B ) 2w vrelA/ B
arelA/ B
• Esta ecuación se utiliza en muchos casos cuando es necesario obtener la solución del problema en sistemas no inerciales (por ejemplo el movimiento de un péndulo simple en un vagón que se mueve con aceleración), el movimiento de un satélite en relación a la superficie de la tierra, etc.
